Текст книги "Логика и рост научного знания"

Автор книги: Карл Поппер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 34 (всего у книги 44 страниц)

С другой стороны, Гегель является релятивистом

и не подвержен изменениям, ибо изменение его было бы изменением

к худшему...» [1, с, 315]. (См. также [2, с. 435].) (см. [44, гл. 15; 42, прил. к т. II]). Он считает, что на-

ша задача состоит не в том, чтобы искать противоречия

462

463

с целью их устранения, ибо он полагает, что противоре-

отцом современной зпистемичесхой логики11. Однако я

чия так же хороши, как (или даже лучше) и непроти-

думаю, что его никоим образом нельзя подвергать та-

воречивые теоретические·системы: они обеспечивают ме-

кой критике, которая должна быть сделана в адрес

ханизм, посредством которого Дух движет себя вперед.

эпистемической логики и которую я собираюсь предло-

Таким образом, рациональная критика, так же как и

жить ниже (см. разд. 7) : насколько я могу судить, он

человеческое творчество (см. [33]), не играет никакой ро-

не думал об эпистемологии в этих контекстах – в смыс-

ли в гегелевском автоматизме.

ле теории научного знания.

(3) В то время как Платон разрешает своим гипо-

стазированным Идеям населять некоторое небесное

– 5.4. Эмпиризм

царство, Гегель персонализирует свой Дух в некое бо-

Эмпиризм Локка, Беркли и Юма должен быть по-

жественное сознание: Идеи живут в нем так же, как

нят в свете исторической обстановки: его главной про-

человеческие идеи живут в человеческом сознании.

блемой была, говоря упрощенно, религия против ирре-

В целом его учение состоит в том, что Дух не только

лигии, или, более точно, рациональное оправдание, или

мыслит, но и сам является неким субъектом. В проти-

оправдываемость, христианства по отношению к науч-

воположность этому мой третий мир не похож ни на

ному знанию.

какое человеческое сознание. И хотя его первыми оби-

Это объясняет, почему знание повсюду рассматри-

тателями являются продукты человеческого сознания, валось как вид веры – веры, оправдываемой эмпири-

они в целом отличаются от идей сознания или от мыс-

ческими данными, особенно перцептивными данными, лей всубъективном смысле.

свидетельством наших органов чувств.

Хотя точки зрения Локка, Беркли12 и Юма по во-

5.3. Больцано и Фреге

просу об отношении науки и религии абсолютно раз-

личаются, они приходят к согласию по существу в тре-

Ясно, что такие понятия Больцано, как высказы-

бовании (которое Юм иногда понимает как недосягае-

вания сами по себе и истины сами по себе, являются

мый идеал), что мы должны отвергать все суждения

жителями моего, третьего мира.Однако Больцано очень

(и особенно суждения с экзистенциальным смыслом), далек от понимания их отношений с остальным миром10.

которые не имеют удовлетворительных свидетельств, и

В некотором смысле именно центральную трудность

принимать только те суждения, которые имеют доста-

Больцано я и пытался решить путем сравнения статуса

точное свидетельство, то есть которые могут быть до-

и автономии третьего мира со статусом и автономией

казаны, или проверены, посредством свидетельств на-

продуктов деятельности животных, а также посредством

ших органов чувств.

указания на то, как третий мир возникает из высших

Данная позиция может быть проанализирована раз-

функций человеческого языка.

личными путями. До некоторой степени самый общий

Что касается Фреге, то он несомненно ясно разли-

анализ мог бы быть представлен в виде следующей цепи

чал субъективные акты мышления, мышление в субъ-

уравнений или эквивалентных утверждений, большинство

ективном смысле, и объективное мышление, или содер-

из которых может быть подкреплено цитатами из произ-

жание мышления (см. выше, цитату в разд. 1 из [15, ведений английских эмпириков, и даже из Рассела13: с. 188] и [16]).

Возможно, его интерес к подчиненным частям речи

11 Это направление идет от Фреге к Расселу [52, с. 19] и Витген-

в сложном предложении и к косвенной речи сделал его

штейну <[56, утверждение 5.542].

12 О позиции Беркли см. [44,гл. 3, разд. I, гл. 6].

10 Больцано говорит [4, т. 1, с. 78], что высказывания (и исти-

13 См. у Рассела: «Истина есть качество веры» [50, с. 45].

ны) сами по себе не обладают бытием (Dasein), существованием или

«Я буду использовать слова «вера» и «суждение» как синонимы [50, реальностью. Однако он также говорит, что высказывание само по

с. 172] или: «...суждение есть ... множественное отношение мышления

себе не просто«что-то излагает, а предполагает человека, который

к различным другим терминам, с которыми суждение имеет дело»

это излагает».

[50, с. 180]. Он также утверждает, что «восприятие всегда истинно

464

30—913

465

р верифицировано или доказано чувственным опы-

ра как математика. Однако, возможно, мне будет по-

том = существует достаточная причина или оправдание

зволительно критиковать его эпистемологию и его фи-

для нас верить в р=мы полагаем, судим, утверждаем, лософию интуиционистской математики. Я осмеливаюсь

соглашаемся ,или знаем, что pистинно=р истинно = р.

на это только в надежде сделать вклад, каким бы он

Эту позицию, объединяющую свидетельство (или до-

ни был маленьким, в прояснение и дальнейшее разви-

казательство) и утверждение, которое должно быть

тие идей Брауэра.

доказано,характеризует одно примечательное обстоя-

В своей лекции 1912 года Брауэр начинает "с Канта.

тельство, а именно: любой, кто утверждает это, должен, Он говорит, что в свете неевклидовой геометрии интуи-

отвергать закон исключенного третьего,ибо очевидно, ционистская философия геометрии Канта, то есть его

что может возникнуть такая ситуация (фактически она

концепция чистой интуиции пространства, должна быть

была бы практически нормальной ситуацией), где ни

отброшена. Однако, говорит Брауэр, нет необходимости

р,ни не-р не могут быть полностью подкреплены, или

делать это, так как мы можем арифметизировать гео-

доказаны, доступным свидетельством. Однако, по-види-

метрию: мы можем прямо основываться на кантовской

мому, это не было замечено никем до Брауэра.

теории арифметики и на его концепции, что арифмети-

Указанная несостоятельность с отбрасыванием зако-

ка опирается на чистую интуицию времени.

на исключенного третьего особенно поразительна у

Я чувствую, что эта позиция Брауэра больше не мо-

Беркли. Ибо если esse = percipi, тогда истина любого

жет быть принята. Ибо если мы говорим, что кантов-

высказывания о реальности может быть установлена

ская теория пространства сокрушена, перечеркнута не-

только перцептивными высказываниями. Однако Берк-

евклидовой геометрией, тогда мы должны сказать, что

ли, в значительной степени подобно Декарту, предла-

его теория времени сокрушена специальной теорией от-

гает в своих «Трех разговорах...»

носительности, так как Кант говорит совершенно явно, 1 4 , что мы должны от-

вергать р, если не существует основания верить в него.

что имеется только одновремя и что интуитивная идея

Однако отсутствие таких оснований может быть совме-

(абсолютной) одновременности является решающим

стимо с отсутствием оснований верить в не-р.

аргументом в этом отношении16.

Можно было бы утверждать, подобно тому, как это

6. Оценка и критика эпистемологии Брауэра

делал Рейтинг17, что Брауэр не смог бы развить свои

эпистемологические и философские идеи об интуицио-

В настоящем разделе я хочу отдать дань уважения

нистской математике, если бы знал в то время об ана-

Л. Э. Я. Брауэру

логии между эйнштейновской релятивизацией времени

1 5 . Было бы самонадеянны м для мен я

хвалить и тем более самонадеянным критиковать Брауэ

и неевклидовой геометрией. Перефразируя Рейтинга, можно сказать, что это было бы печально.

(даже в мечтах и галлюцинациях)» [50, с. 181]; или: «...по с т о ч к и

зрения теории познания и определения истины важными являются

именно те предложения, которые выражают веру» [53, с. 183]. (См.

ДО того конгресса, на котором был прочитай настоящий доклад. Для

также [52, с. 19] и об «эпистемических установках» у Дгокасса в

тех, кто не знаком с брауэровской (или кантовской) интуиционист-

[13, с. 701—711].) Ясно, что как Рассел, так и Дюкасс принадлежи г

ской философией математики, может быть, лучше опустить этот раз-

к тем традиционным эпистемологам, кто изучает знание в его субъек-

Дел и продолжать читать с разд. 7.

тивном смысле, в смысле второго мира. Традиция идет значительно

10 В «Трансцендентально й эстетике» [31, с. 135] Кант в пункте 1

дальше эмпиризма.

параграфа 4 подчеркивает априорный характер одновременности, 14 См. у Беркли второй разгово р между Гиласом и Филонусом : в пунктах 3 и 4 – что может быть только одновремя и в пункте 4 —

«Для меня достаточное основание не верить в существование чего-

что время является не дискурсивным понятием,а некоторой «чистой

нибудь, если я не вижу основания верить в это» [3, с. 309]. См. так-

формой чувственного созерцания» (или, более точно, определенной

же у Декарта: «Я ... должен ... отбросить как безусловно ложное

чистой формой чувственной интуиции). В последнем параграфе пе-

(«Eperte f a l s a » в латинском варианте) все, в чем мог вообразить

ред заключением он ясно говорит, что интуиция пространства и вре-

малейший повод к сомнению» [12, с. 32].

мени не является интеллектуальной интуицией. (У Канта под созер-

цанием понимается интуиция. – Прим. перев.)15 Этот раздел о Брауэре был вставлен, чтобы отдать дань ува -

жения этому великому математику и философу, умершему незадолго

"См. цитату из работы Рейтинга в разд. 1.

466

30*

467

Однако маловероятно, что на Брауэра оказала

не являются понятиями, сконструированными в нашей

сильное впечатление специальная теория относитель-

чистой интуиции пространства и времени

ности. Он мог бы отказаться ссылаться на Канта как

16.Только та-

ким путем мы можем получить синтетическое знание

на предшественника своего интуиционизма. Но он мог

a priori: наш интеллект в его существенных чертах дис-

бы сохранить свою собственную теорию личноговреме-

курсивен, он обязательно должен действовать в согла-

ни – времени нашего собственного личного и непосред-

сии с логикой, которая является пустой по своему со-

ственного опыта (см. [8] ). И это никоим образом не

держанию, то есть «аналитической».

произошло под воздействием понятия относительности, Согласно Канту, чувственная интуиция предполагает

хотя кантовская теория подверглась подобному воздей-

чистую интуицию: наши чувства не могут делать свою

ствию.

работу, не упорядочивая свои восприятия в рамках

Таким образом, нет необходимости рассматривать

пространства и времени. Таким образом, пространство·

Брауэра как кантианца. Однако мы не можем так лег-

и время предшествуют всей чувственной интуиции; тео-

ко обособлять его от Канта, ибо идея интуиции у Брауэ-

рии пространства и времени – геометрия и арифмети-

ра и использование им термина «интуиция» не могут

ка– также верны a priori. Источник их априорной

быть полностью поняты без анализа такой его пред-

верности есть человеческая способность чистой интуи-

посылки, как кантовская философия.

ции,которая строго ограничена лишь этой областью и

Для Канта интуиция есть источник знания.И «чис-

четко отличается от интеллектуального или дискурсив-

тая» интуиция («чистая интуиция пространства и вре-

ного способа мышления.

мени») является неисчерпаемым источником знания: из

Кант защищает концепцию, что аксиомы математики

нее берет начало абсолютная уверенность.Это есть са-

основываются на чистой интуиции (см. [31, с. 613]): мое важное для понимания идей Брауэра, который яв-

они могут быть «увидены» или «восприняты» в качестве

но заимствует у Канта эту эпистемологическую кон-

истинных нечувственным способом «видения» или «вос-

цепцию.

приятия». Кроме того, чистая интуиция участвует в

Данная концепция имеет свою историю. Кант взял

каждом шаге каждого доказательства в геометрии(и в

ее у Плотина, Фомы Аквинского, Декарта и др. Перво-

математике вообще)

начально интуиция означает, конечно, восприятие: это

19. Чтобы следить за доказатель-

ством, нам требуется глядеть на (нарисованный) чер-

есть то, что мы видим или воспринимаем, если смотрим

теж. Это «смотрение» является не чувственной, а чис-

на некоторый объект или пристально его рассматриваем.

той интуицией, о чем свидетельствует то, что чертеж

Однако начиная по крайней мере уже с Плотина, раз-

часто может быть убедительным, даже если будет изо-

рабатывается противоположность между интуицией,с

бражен в довольно грубой манере, а также то, что ри-

одной стороны, и дискурсивныммышлением – с другой.

В соответствии с этим интуиция есть божественный спо-

соб познания чего-нибудь лишь одним взглядом, в один

18 У Канта «...конструироватьпонятие – значит показать a priori соответствующее ему созерцание» ι[31, с. 600]. Далее: «Мы старались

миг, вне времени, а дискурсивное мышление есть чело-

только ясно показать, как велико различие между дискурсивным при-

веческий способ познания, состоящий в том, что мы в

менением разума согласно понятиям и интуитивным применением его

ходе некоторого рассуждения, которое требует време-

посредством конструирования понятий» [31, с. 604]. «Конструирова-

ни, шаг за шагом развертываем нашу аргументацию.

ние понятий» в дальнейшем объясняется следующим образом: «Мы

можем свои понятия определить a priori в созерцании, создавая себе·

Кант защищает (направленную против Декарта) в пространстве и времени посредством однородного синтеза самые

концепцию, состоящую в том, что мы не владеем cnoj предметы» [31, с. 607].

собностью интеллектуальной интуиции и что по этой

19 См. у Канта место, где он говорит о доказательствах в мате-

причине наш интеллект, наши понятия остаются пус-

матике («даже в алгебре») : «Все выводы гарантированы от ошибок: тем, что каждый из них показан наглядно» [31, с. 614]. Кант говорит

тыми или аналитическими, если они в действительности

также о «цепи выводов», в которой философ «руководствуется все

не применены к материалу, который поставляют нам

время созерцанием» '[31, с. 602]. В том же самом разделе слово «кон-

наши чувства (чувственная интуиция), или если они

струировать» объясняется как «представить a priori в созерцании»·

[31, с. 601].

468

469

•сунок треугольника может выступать для нас (в одном

ее лингвистическим выражением и ее коммуникативной

рисунке) в виде бесконечного количества возможных

функцией.Математику саму по себе он рассматривал

вариантов треугольников всех форм и размеров.

как внелингвистическую деятельность, по существу, Аналогичные рассуждения справедливы и для ариф-

деятельность мысленного конструирования на основе

метики, которая, согласно Канту, основывается на сче-

нашей чистой интуиции времени. Посредством такого·

те– процессе, в свою очередь основывающемся, по су-

конструирования мы создаем в нашей интуиции, в на-

ществу, на чистой интуиции времени.

.—тем уме объекты математики, которые впоследствии —

Эта теория источников математического знания в

ιпосле их создания – мы можем попытаться описать или

своей кантовской форме порождает серьезные труд-

сообщить о них другим. Таким образом, лингвистиче-

ности. Даже если мы примем, что все сказанное Кан-

ское описание и дискурсивная аргументация со своей

том правильно, мы не можем уйти от трудных про-

. логикой появляются, в сущности, после математической

блем, ибо евклидова геометрия, независимо от того, деятельности: они всегда имеют место только тогда, использует она чистую интуицию или нет, несомненно, когда объекты математики – такие, как доказатель-

опирается на интеллектуальную аргументацию, логиче-

ство, – уже созданы.

скую дедукцию. Невозможно отрицать, что математика

Подход Брауэра решает проблему, которую мы об-

оперирует дискурсивным мышлением.Ход рассуждений

чНаружили в кантовской «Критике чистого разума». То, Евклида осуществляется шаг за шагом во всех сужде-

что на первый взгляд выступает противоречием у Кан-

ниях и во всех книгах: он не постигается в одно-един-

та, упраздняется, самым оригинальным способом посред-

ственное интуитивное мгновение. Даже если мы допу-

ством концепции, согласно которой мы должны четко

стим (ради аргументации) необходимость наличия чис-

различать два уровня: один уровень – интуитивный, той интуиции в каждом отдельном шаге рассуждений

мысленный и присущ математическому мышлению, дру-

без исключения(а это допущение для современных

гой – дискурсивный, лингвистический и присущ только

людей трудно сделать), ступенчатая, дискурсивная и

коммуникации.

логическая процедура выводов Евклида настолько без-

Подобно любой великой теории, ценность этой тео-

ошибочна и хорошо известна в целом, найдя подража-

рии Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она од-

телей в лице Спинозы и Ньютона, что трудно подумать

ним усилием решает три группы крупных проблем фи-

о том, что Кант мог игнорировать это. Фактически

лософии математики.

Кант знал все это, вероятно, так же, как любой дру-

(1) Эпистемологические проблемыоб источнике ма-

гой. Однако указанная позиция довлела над ним (1) в

тематической достоверности, природы математических

силу структуры «Критики чистого разума», в которой

данных и природы математического доказательства.

«Трансцендентальная эстетика» предшествует «Транс-

Эти проблемы соответственно решены с помощью кон-

цендентальной логике», и (2) в силу его четкого раз-

цепции интуиции как источника знания, концепции о

личения (я должен сказать, что это четкое различение

несостоятельно) между интуитивным и дискурсивным

1 том, что мы можем интуитивно видеть математически е

• объекты, которые конструируем, и концепции о том, мышлением. Распространена точка зрения, что кантов-

что математическое доказательство является последо-

ское исключение дискурсивных аргументов из геометрии

. нательным конструированием или построением конст-

и арифметики – не просто пробел, а противоречие.

рукций.

То, что это не соответствует действительности, было

(2) Онтологические проблемыо природе математи-

показано Брауэром, который заполнил данный пробел.

ческих объектов и способе их существования. Эти про-

Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между

блемы были решены Брауэром посредством выдвиже-

математикой, с одной стороны, и языком и логикой—

– ния концепции, которая имела два аспекта: с одной сто-

с другой.

роны, конструктивизм,а с другой стороны, – мента-

Брауэр решил данную проблему тем, что провел

лизм.Согласно ментализму, все математические объек-

четкое различение между математикой как таковойи

ты находятся в той сфере, которую я называю «вторым.

470

471

:миром». Математические объекты – это конструкции че-

дать существование опровержения, то есть доказатель-

.ловеческого ума, и они существуют единственно как

ства ее абсурдности. Это непосредственно ведет к от-

конструкции в человеческом уме. Их объективность, то

брасыванию Брауэром закона исключенного третьего,, есть то, что они суть объекты и что они существуют

к его отрицанию косвенных доказательств и к требова-

объективно, всецело опирается на возможность повто-

нию, что существование может быть доказано только

рения их конструирования по нашему желанию.

реальным построением рассматриваемых математиче-

Таким образом, Брауэр в своей лекции 1912 года

ских объектов, то есть изображением их, так сказ'ать, ви-

предполагал, что для интуициониста математические

димыми.

объекты существуют в человеческом уме, в то время

Это также ведет к отрицанию Брауэром «платониз-

как для формалиста они существуют «на бумаге»

ма», под которым мы понимаем учение, согласно кото-

20.

(3) Методологические проблемыо математических

рому математические объекты обладают тем, что я на-

доказательствах.

зываю «автономным» способом существования: они

Мы можем упрощенно различать два главных под-

могут существовать, не будучи созданными нами и, хода ученых к математике. Одни математики могут

следовательно, без доказательства своего существова-

интересоваться главным образом теоремами – истин-

ния.

ностью или ошибочностью математических суждений, До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте-

другие – главным образом доказательствами: вопроса-

мологию, исходя из предположения прежде всего, что

ми существования доказательств той или иной теоремы

она проистекает из попытки решить трудности филосо-

и спецификой таких доказательств. Если преобладаю-

фии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что

щим является первый подход (как это имеет место, содержится в названии данного раздела, – к оценке и

например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с

критике брауэровской эпистемологии.

интересом в открытии математических «фактов» и по-

Исходя из положений настоящего доклада, можно

этому с платонизированной математической эвристикой.

утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, Если же преобладающим выступает второй подход, тог-

по моему мнению, является его понимание того, что

да доказательства являются не просто средствами фор-

математика и, как я могу добавить, весь третий мир

мирования уверенности в теоремах о математических

созданы человеком.

объектах, а самостоятельными математическими объ-

Эта идея является настолько радикально антиплато-

ектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ-

новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности

ром: те построения, которые были доказательствами, не

ее связи с некоторой формой платонизма, под которой

только создавали и утверждали математические объек-

я имею в виду концепцию частичной автономииматема-

ты, они были в то же время сами математическими

тики и третьего мира в том виде, как она описана вы-

–объектами, возможно даже наиболее важными такими

ше, в разд. 3.

объектами. Таким образом, утверждать некоторую тео-

Другим великим достижением Брауэра в философ-

рему означало утверждать существование некоторого

ском плане был его антиформализм – признание им

доказательства для нее и отрицать ее означало утверж-

того, что математические объекты должны существо-

.вать до того, как мы можем говорить о них.

Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэров-

20 См. конец третьег о параграф а работы Брауэр а [5]. Он пишет

ского решения трех групп главных проблем философии

там о существовании не математики, а «математической точности», математики, сформулированных ранее в данном раз-

и, как видно, этот отрывок относится к проблемам (1) и (3) даже

–больше, чем к онтологической проблеме (2). Однако не может быть

деле.

никакого сомнения в том, что он имеет определенное отношение к

(Г) Эпистемологические проблемы:интуиция в це-

проблеме (2). В данном отрывке Брауэр пишет так: «На вопрос, где

лом и теория времени в частности.

существует математическая точность, отвечают πα-разпому... Ин-

Я не предлагаю заменить название «интуиционизм».

туиционист говорит: «В человеческом интеллекте», формалист гово-

рит: «На бумаге»».

Это название, без сомнения, сохранится, но нам важна

473

отказаться от ошибочной философии интуиции как не-

стиц отличается от роли времени в физике твердого

погрешимого источника знания.

тела, особенно в оптике. В то время как физика эле-

Не существует авторитетных источников знания, н

ментарных частиц утверждает о существовании лезвие-

ни один «источник» не является абсолютно надеж-

подобного непротяженного мгновения, «pimctum tem-

ным21. Все приветствуется как источник вдохновения, poris», которое отделяет прошлое от будущего, и тем, стимулирования, включая «интуицию», особенно если

самым существование временной координаты, образо-

она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не

ванной из (континуума) непротяженных мгновений, а в

является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.

конечном итоге мира, «состояние» которого может быть

К тому же следует подчеркнуть, что кантовское чет-

задано для любого такого непротяженного мгновения, кое различение между интуицией и дискурсивным мыш-

ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому

лением не может быть нами принято. «Интуиция», ка-

как существуют пространственно протяженные растры

кой бы она ни была, в значительной степени является

в оптике, чьи части взаимодействуют на значительном-

продуктом нашего культурного развития и наших успе-

пространственном расстоянии, так существуют и протя-

хов в дискурсивном мышлении. Кантовская идея об од-

женные во времени события (волны, обладающие часто-

ном стандартном типе чистой интуиции, присущем всем

тами), чьи части взаимодействуют в течение значитель-

нам (по всей вероятности, только не животным, хотя

ного промежутка времени. Поэтому в силу законов

их перцептуальные возможности сходны с человечески-

оптики в физике не может быть какого-либо состояния

ми), едва ли может быть принята. Ибо после того как

мира в некоторый момент времени.Эта аргументация

мы овладели дискурсивным мышлением, наше интуи-

должна дать и действительно дает совершенно другое

тивное понимание становится весьма отличным от того, понимание нашей интуиции: то, что называлось неопре-

что было у нас прежде.

деленным психологическим даром, не является ни не-

Все сказанное справедливо и в отношении нашей ин-

определенным, ни характерным только для психологии, туиции времени. Я лично считаю сообщение Уорфа о

интуиция подлинна и имеет место уже в физике22.

чрезвычайно специфической интуиции времени индей-

Таким образом, не только общая концепция интуи-

цев племени хопп (см. [55]) убедительным. Однако

дии как непогрешимого источника знания является ми-

даже если это сообщение ошибочно (что, я думаю, ма-

фом, но и наша интуиция времени подвержена критике

ловероятно), оно свидетельствует о возможностях, кото-

и исправлению – точно таким же образом, как, соглас-

р_ые ни Кант, ни Брауэр никогда не рассматривали.

. но брауэровскому допущению, это происходит с нашей

Если Уорф прав, тогда наше интуитивное понимание

• интуицией пространства.

времени, то есть способ, которым мы «видим» времен-

В главном пункте этих своих рассуждений я обязан

ные отношения, частично зависит от нашего языка, на-

философии математики Лакатоса. Этот пункт состоит

ших теорий и мифов, включенных в язык, иначе гово-

P том, что математика (а не только естественные на-

ря – наша европейская интуиция времени в значитель-

уки) растет благодаря критике догадок и выдвижению

ной степени обусловлена греческим происхождением

смелых неформальных доказательств, а это предпола-

нашей· цивилизации с его акцентом на дискурсивное

гает лингвистическую формулировку таких догадок и

мышление.

Доказательств и поэтому определение их статуса в

В любом случае наша интуиция времени может ме-

третьем мире. Язык, являясь вначале просто средством

няться с изменением наших теорий. Интуиции Ньюто-

коммуникативного описания долингвистическнх объек-

на, Канта и Лапласа отличаются от интуиции Эйн-

штейна, и роль времени в физике элементарных ча-

22 «Если мы хоти м довести эту мысль до своего логическог о за-

вершения, то мы должны сказать, что pimctum temporis не может

21 Я подробно рассмотрел эту проблему в моей лекции «Об ис-

Даже выступать в качестве бессмысленной точки, так как свет имеет

точниках знания и незнания», которая помещена в качестве введе-

."Частоту» ,[18, с. 297]. (Данный аргумент может быть подкреплен рас-

ния к [44].

суждениями, рассматривающими предельные условия.) 474

TOB, превращается в силу этого в существенную часть

тации. Это же означает, что язык является необходи-

научной деятельности, даже в математике, которая в

мым как способ аргументации, как способ критической

свою очередь становится частью третьего мира. В язы-

дискуссии [33].

ке тем самым существуют слои, или уровни (независи-

Сказанное поясняет, почему я считаю ошибочным

мо от того, формализованы они в иерархию метаязыков

субъективистскую эпистемологию Брауэра и философ-

или нет).

ское оправдание его интуиционистской математики. Су-

Если бы интуиционистская эпистемология была бы

ществует процесс взаимного обмена между конструи-

•права, то вопрос о математической компетентности не

рованием, критикой, «интуицией» и даже традицией, и

составлял бы проблемы. (И если бы кантовская теория

этот процесс не учитывался Брауэром.

была бы права, то непонятно, почему мы, а точнее, Однако я готов допустить, что даже в своем оши-

Платон и его школа, должны были так долго ждать

бочном взгляде на статус языка Брауэр частично прав.

Евклида23.) Однако эта проблема существует, так как

Хотя объективность всех наук, включая математику, даже весьма компетентные математики-интуициони-

неотделимо связана с их критикуемостыо и тем самым

сты могут не соглашаться между собой по некоторым

с их лингвистическим формулированием, Брауэр был

трудным вопросам24. Для нас нет необходимости иссле-

прав тогда, когда активно выступал против идеи рас-

довать, какая сторона в этом споре права. Достаточно

сматривать математику лишькак формальную языко-

указать, что раз интуиционистское конструирование

вую игру, или, другими словами, считать, что не суще-

подвергается критике, то рассматриваемая проблема

ствует таких вещей, как внелингвистические математи-

может быть решена лишь путем существенного исполь-

ческие объекты, то есть мысли (или, более точно, с

зования аргументативной функции языка.Конечно, кри-

моей точки зрения, содержание мышления). Он настаи-

тическое использование языка, по существу, не предпи-

вал на том, что беседа на математические темы являет-

сывает нам использовать аргументы, запрещенные ин-

ся беседой обэтих объектах, и в этом смысле матема-

туиционистской математикой (хотя и здесь существует

тический язык выступает вторичным образованием по

проблема, как будет показано ниже). Моя точка зре-

отношению к этим объектам. Однако это вовсе не озна-

ния в данный момент заключается просто в следую-

чает, что мы можем конструировать математику без

щем: раз допустимость предложенного интуиционизмом

языка: не может быть никакого конструирования без

математического конструирования может быть подверг-

постоянного критического контроля и никакой критики

нута сомнению, и, конечно, оно действительно подвер-

без выражения наших конструктов в лингвистической

гается сомнению, то язык выступает более чем просто

форме и обращения с ними как с объектами третьего

средством коммуникации, без которого можно в прин-

мира. Хотя третий мир не идентичен миру лингвистиче-

ципе обойтись: он является необходимым средством

ских форм, он возникает вместе с аргументативной

критического обсуждения, дискуссии. Соответственно

функцией языка, то есть является побочным продуктом

этому он не представляет собой только интуиционист-

языка. Это объясняет, почему, раз наши конструкции

ской конструкции, «которая объективна в том смысле, делаются проблематичными, систематизированными и