Текст книги "Логика и рост научного знания"

–>-/»—»-(Φ?*– *М],или короче: [(φ,—>-φ

ния рв антецеденте, которую можно обозначить через

ρ) · (fp—>-/,)]—>-

–>-(/?– >-q). *Элементарный характер этой формулы, о котором го-

(fpX,тавтологически следует (или логически выводима) ворится в тексте, становится очевидным, если мы запишем

из соответствующей функции высказывания q(которую

«[(о– >-Ь) · (с—>-rf)|—>-[(&– *-с)– >(а—»-rf)]» и в соответствии с

текстом заменим «о—»-с» на «р» и «а—>-rf» на «g» и т. д.

можно обозначить через <(qx),но не эквивалентна по-

is TO, что я называю большей универсальностью высказывания, следней; другими словами, если «(х) (учх—мрря)» яв-

грубо говоря, соответствует тому, что в классической логике может

ляется тавтологией(или логической истиной). Анало-

быть названо большим «объемом субъекта», а то, что я называю

гичным образом мы будем говорить, что р имеет боль-

большей точностью, соответствует меньшему объему, или «ограниче-

шую точность, чем q,если « ( х ) (fнию предиката». Правило для отношения выводимости, которое

px– vfqx)»являетс я

мы только что обсуждали, может рассматриваться как уточнение

тавтологией, то есть если предикат р(или функция вы-

и сочетание классического «dictum de omni et nulle» с принципом

сказывания в консеквенте) имеет меньший объем, чем

«nota-notae» – «фундаментального принципа опосредованной преди-

кации» (см. [4, т. II, § 263, № 1 и 4] и [49, § 34, разд. 5 и 7]).

162

11·

163

37. Логические пространства возможностей.

технику измерения*14. Это показывает, что господствую-

Замечания по поводу теории измерения

щая техника измерения определяет некоторое простран-

ство возможностей, то есть область, внутри которой

Если высказывание pлегче фальсифицировать, чем

теорией допускаются расхождения между наблюде-

высказывание q,в силу его более высокого уровня уни-

ниями.

версальности или точности, то класс допускаемых pба-

Таким образом, из правила, согласно которому тео-

зисных высказываний является собственным подклас-

рии должны иметь наивысшую достижимую степень

сом класса базисных высказываний, допускаемых q.

проверяемости (и поэтому должны допускать только

Отношение включения между классами допускаемых

наименьшее пространство возможностей), вытекает тре-

высказываний противоположно отношению включения

бование о том, что степень точности при измерении

между классами запрещаемых высказываний (потен-

должна быть высокой, насколько это возможно.

циальных фальсификаторов). Об этих отношениях мож-

Часто говорят, что любое измерение состоит в опре-

но сказать, что они являются обратными (или допол-

делении совпадения точек. Однако любое такое опреде-

нительными). Класс базисных высказываний, допускае-

ление может быть корректным только внутри некоторых

мых некоторым высказыванием, можно назвать «про-

границ. В строгом смысле не существует совпадения

странством возможностей» (range) этого высказывания

точек*

1 3 .

15. Две физические «точки», скажем штрих на

«Пространство возможностей», которое некоторое вы-

линейке и штрих на измеряемом теле, в лучшем случае

сказывание оставляет реальности, является, так ска-

могут быть достаточно точно совмещены, но они не мо-

зать, количеством «простора» (или степенью свободы), гут совпасть, то есть срастись в однуточку. Сколь бы

которое оно предоставляет реальности. Пространство

банальным это замечание ни казалось в любом другом

возможностей и эмпирическое содержание (см. разд. 35) контексте, оно важно для рассмотрения вопроса о точ-

являются обратными (или дополнительными) понятия-

ности при измерении, так как напоминает нам о том, ми. Соответственно пространства возможностей двух

что измерение следует описывать следующим образом.

высказываний относятся к друг другу точно так же, Мы обнаруживаем, что данная точка измеряемого тела

как их логические вероятности (см. разд. 34).

лежит междудвумя делениями или отметками на ли-

Я ввел понятие пространства возможностей потому, нейке или, скажем, что стрелка нашего измерительного

что оно помогает нам рассмотреть некоторые вопросы, прибора находится между двумяделениями шкалы.

связанные со степенью точности при измерении.Пред-

Тогда можно либо рассматривать эти деления и отмет-

положим, что следствия двух теорий столь мало раз-

ки как две оптимальные границы ошибки, либо продол-

личаются во всех областях их применения, что эти

жать дальше оценку положения, скажем стрелки внут-

очень малые различия между рассчитанным« наблю-

ри интервала между этими делениями, и таким образом

даемыми событиями не могут быть обнаружены именно

получить более точный результат. Второй случай мож-

потому, что степень точности, достижимая при наших

но описать, сказав, что мы считаем стрелку располо-

измерениях, недостаточно велика. В этом случае невоз-

женной между двумя воображаемыми делениями на

можно сделать выбор между двумя теориями на осно-

шкале. Таким образом, некоторый интервал или неко-

вании эксперимента, если сначала не улучшить нашу

торое пространство возможностей остается всегда.

Для физиков стало обычаем оценивать этот интервал

Для каждого измерения. (Так, следуя Милликену, они

13 Понятие пространства возможностей (Spielraum) введено

в 1886 году фон Кризом [48], сходные идеи имеются у Больцано [4].

определяют, например, элементарный заряд электрона, Вайсманн [89, с. 228] попытался соединить теорию пространства

возможностей с частотной теорией (см. [70, разд. 72]). * Кейнс пере-

*14 Это положение, как мне кажется, было ложно интерпретиро-

вел Spielraum термином «область» (field) [44, с. 88]; я же пере-

вано Дюгемом (см. [23, с. 137]).

вожу этот термин как «пространство возможностей («range»). Кейнс

*15 Заметим, что я говорю здесь об измерении, а не о счете. (Раз-

также использует [44, с. 224] термин «сфера» («scope»), что, на мой

личие между двумя этими процессами тесно связано с различием

взгляд, означает в точности то же самое.

между действительными и рациональными числами.) 164

165

Верно, что даже в случае качественных оценок, напри-

измеряемый в электростатических единицах, как

мер оценки высоты музыкального звука, иногда можно

е = 4,774-10"'°, добавляя, что область неточности равна

указать интервал точности таких оценок. Однако если

±0,005-10~10.) Однако при этом возникает проблема.

измерения не проводятся, то такой интервал может

Какова же цель нашей замены одной отметки на шкале

быть только очень расплывчатым, поскольку в таких

двумя, аименно двумя границами интервала, когда для

случаях понятие сжимающейся границы не может быть

каждой из этих границ снова возникает тот же вопрос: применено. Это понятие применимо только там, тде мы

каковы же пределы точности для границ данного интер-

говорим о порядках величины, а следовательно, там, вала?

где определяются методы измерения. Я использую по-

Использование границ интервала, конечно, бесполез-

нятие сжимающихся границ интервалов точности для

но, если такие границы в свою очередь не могут быть

обсуждения проблем теории вероятностей (см. [70, зафиксированы со степенью точности, значительно пре-

разд. 68]).

восходящей ту степень, которую мы можем надеяться

достигнуть при исходном измерении. Иначе говоря, 38. Степени проверяемости,

границы должны быть зафиксированы с такими соб-

сравниваемые посредством размерностей

ственными интервалами неточности, которые были бы

на несколько порядков меньше, чем интервалы, кото-

До сих пор мы рассматривали сравнение теорий по

рые определяют результаты исходного измерения. Это

степени их проверяемости только в той мере, в какой

возможно, если границы интервала не являются жестки-

они могут сравниваться с помощью отношения вклю-

ми границами, а в действительности представляют со-

чения классов. В некоторых случаях этот метод вполне

бой очень малые интервалы, границами которых яв-

успешно помогает нам сделать выбор между теориями.

ляются еще значительно меньшие интервалы, и т. д.

Так, мы можем теперь сказать, что введенный Паули

Следуя по этому пути, мы приходим к идее о том, что

принцип исключения, упомянутый в качестве примера в

можно было бы назвать «нежесткими границами» или

разд. 20, действительно оказывается в высокой степени

«сжимающимися границами»таких интервалов.

удовлетворительным в качестве дополнительной гипо-

Высказанные соображения не предполагают ни ма-

тезы именно потому, что он резко увеличивает степень

тематической теории ошибок, ни теории вероятностей.

точности и вместе с ней степень проверяемости старой

Они выражают другой подход к проблеме. На основе

квантовой теории (аналогично соответствующему

анализа понятия измерения интервала они закладывают

утверждению новой квантовой теории, согласно которо-

основание, без которого статистическая теория ошибок

му антисимметричные состояния реализуются электро-

имеет очень мало смысла. Если мы много раз измеряем

нами, а симметричные состояния – незаряженными или

некоторую величину, то мы получаем оценки, которые

многократно заряженными частицами).

с разными плотностями распределены по некоторому

Вместе с тем для многих целей сравнение теорий по-

интервалу точности, зависящему от имеющейся измери-

средством отношения включения классов недостаточно.

тельной техники. Только тогда, когда мы знаем, что мы

Так, Франк, например, указал, что высказывания высо-

ищем, а именно сжимающиеся границы интервала, мы

кого уровня универсальности типа принципа сохранения

можем применять к этим оценкам теорию ошибок н

энергии в формулировке Планка легко могут стать тав-

определять границы интервала*16.

тологиями и потерять свое эмпирическое содержание, Все сказанное, как мне представляется, проливает

если начальные условия не могут быть определены

некоторый свет на превосходство методов, использую-

«с помощью немногихизмерений... то есть с помощью

щих измерения, над чисто качественными методами.

малого числа величин, характеризующих состояние си-

стемы» [26, с. 24]. Вопрос о числе параметров, которые

должны быть установлены и подставлены в соответ-

» I G дти соображения тесно связаны н подкрепляются некоторы-

ми результатами, которые обсуждаются в [70, прил. *1Х. третья за-

ствующие формулы, не может быть прояснен с помощью

метка, п. 8 и далее].

167

166

отношения включения классов, несмотря на то, что

этот вопрос тесно связан с проблемой проверяемости и

фальсифицируемое™ и их степеней. Чем меньше необ-

качестве класса элементарныхили атомарных,высказы-

ходимо величин для определения начальных условий, ваний17, из которых все остальные высказывания мож-

тем менее неэлементарными (см. прям. *3 к этой гла-

но было бы получить при помощи конъюнкции и других

ве) будут базисные высказывания, обеспечивающие

логических операций. Если бы нам это удалось, тогда

фальсификацию теории, так как фальсифицирующее

мы смогли бы тем самым определить «абсолютный

базисное высказывание представляет собой конъюнкцию

нуль» неэлементарности, а неэлементарность любого

начальных условий с отрицанием выводимого предска-

высказывания могла бы быть выражена, так сказать, зания (см. разд. 28). Таким образом, можно сравнивать

через абсолютные степени неэлементарности*18. Однако

теории по степени их проверяемости путем установле-

по ранее указанной причине такую процедуру следует

ния минимальной степени неэлементарности, которую

рассматривать как совершенно неудовлетворительную, должно иметь базисное высказывание, чтобы оно мог-

так как она накладывает серьезные ограничения на

ло вступить в противоречие с теорией. Конечно, все

свободное использование научного языка*19.

это возможно при условии, что мы можем найти способ

И все же имеется возможность сравнивать степени

сравнивать базисные высказывания, позволяющий уста-

неэлементарности базисных высказываний, а тем самым

новить, являются ли они более или менее неэлементар-

и всех других высказываний. Это можно сделать, про-

ными, то есть соединениями большего или меньшего

извольно выделив класс относительноатомарных вы-

числа базисных высказываний более простого вида. Не-

сказываний, которые будут использоваться как основа-

зависимо от своего содержания все базисные высказы-

вания, чья степень неэлементарности не достигает не-

17 «Элементарные предложения» рассматриваются в «Логико-

обходимого минимума, допускаются теорией просто по

философском трактате» Витгенштейна: «Предложение есть функция

истинности элементарных предложений» [95, с. 61], а «атомарные

причине их малой степени неэлементарности.

предложения» (в противоположность неэлементарным «молекуляр-

Однако любая такая программа сталкивается с за-

ным предложениям») – в «Principia Mathematica» Уайтхеда и Рассе-

труднениями, поскольку в общем случае на основании

ла [92, т. I, с. XV]. Огден перевел витгенштейновский термин

простого наблюдения не так легко установить, является

«Elementarsatz», как «элементарное предложение» («elementary pro-

ли некоторое высказывание неэлементарным, то есть эк-

position») (см. [95, с. 553]), тогда как Рассел в своем предисловии

к [95, с. 16] переводит его как «атомарное предложение» («atomic вивалентным конъюнкции более простых высказыва-

proposition»). Последний термин получил широкое распространение.

ний. Действительно, во все высказывания входят уни-

*18 Абсолютные степени неэлементарности, конечно, определили

версальные имена и, анализируя эти имена, часто

бы абсолютные степени содержания и, следовательно, абсолютные

можно разложить такие высказывания на конъюнктив-

степени невероятности. Такая программа введения понятия невероят-

ности, а значит, и понятия вероятности посредством выделения не-

ные компоненты (так, высказывание «В месте kимеет-

которого класса абсолютных атомарных высказываний (ранее наме-

ся стакан воды» вполне можно в ходе анализа разло-

ченная Витгенштейном) в последнее время разрабатывалась Карна-

жить на конъюнктивные компоненты «В месте kимеет-

пом с целью построения теории индукции [17]. В предисловии к

ся стакан, содержащий жидкость» и «В месте kимеет-

английскому изданию этой моей книги я указывал на то, что третий

модельный язык (карнаповская языковая система) не позволяет вы-

ся вода»). При этом нет никакой надежды найти

разить^ измеряемые свойства (он не позволяет также – в своей совре-

какой-нибудь естественный предел рассечения выска-

менной форме – ввести пространственный и временной порядок.

зываний при помощи этого метода, в частности потому,

*19 Словосочетание «научный язык» используется здесь в обы-

что мы всегда можем вводить новые универсалии, денном значении, и его не следует интерпретировать в техническом

смысле как то, что ныне называется «языковой системой». Более того, определенные специально с целью сделать возможным

моя основная позиция состоит в том, что мы должны хорошо по-

дальнейшее рассечение высказываний.

мнить о том, что ученые не могут пользоваться «языковой системой», Для обеспечения сравнимости степеней неэлемен-

поскольку им постоянно приходится изменять свой язык с каждым

тарности всех базисных высказываний можно было ^бы

новым шагом, который они делают. Понятия «материя» и «атом»

осле Резерфорда, «материя» и «энергия» после Эйнштейна стали

предложить выбрать некоторый класс высказываний в

значать нечто совершенно отличное от того, что они означали ра-

е· -значение этих понятий есть функция постоянно изменяющейся

168

•теории.

169

Выражение «размерность» хорошо подходит для опи-

ние для сравнения. Такой класс относительно атомар-

сания данной ситуации потому, что мы можем пред-

ных высказываний можно определить при помощи

ставить все возможные ге-ки, принадлежащие опреде-

порождающей схемыили матрицы(ее можно пояснить

ленной области, как пространственно упорядоченные

следующим примером: «В месте... существует измери-

(в бесконечном конфигурационном пространстве). Если, тельное устройство для ... указательная стрелка которо-

к примеру, d = 3,то высказывания, являющиеся прием-

го расположена между отметками шкалы... и ...»). С ее

лемыми на том основании, что их степень неэлементар-

помощью относительно атомарные и, следовательно, ности слишком мала, образуют трехмерное подпро-

равно неэлементарные высказывания можно определить

странство данной конфигурации. Переход от d = 3к

как класс всех высказываний, получающихся из такого

d = 2соответствует переходу от трехмерного простран-

рода матрицы (или функции высказывания) при под-

ства к плоскости. Чем меньше размерность d,тем более

становке в нее определенных значений. Класс таких вы-

жестко ограничен класс тех допустимых высказываний, сказываний вместе со всеми конъюнкциями, которые

которые безотносительно к их содержанию не могут

могут быть составлены из членов этого класса, можно

противоречить теории по причине своей малой степени

назвать «областью».Конъюнкцию nразличных отно-

неэлементарности, и тем выше будет степень фальси-

сительно атомарных высказываний некоторой области

фицируемости данной теории.

можно назвать «n-кой, принадлежащей данной обла-

Понятие области применения не ограничивается ба-

сти», и мы можем сказать, что степень неэлементарности

зисными высказываниями. Сингулярные высказывания

этой коньюнкции равна числу п.

всех других типов могут быть высказываниями, при-

Если для теории tсуществует область сингулярных

надлежащими к области применения. Сравнивая их

высказываний (но необязательно базисных высказыва-

размерности при помощи данной области, мы можем

ний), таких, что для некоторого числа атеория tне

оценить степень неэлементарпости базисных высказы-

может быть фальсифицирована никакой d-кой из дан-

ваний. (Мы предполагаем, что сингулярным высказы-

ной области, но она может быть фальсифицирована не-

ваниям, обладающим высокой степенью неэлементар-

которыми ci+1-ками, то мы назовем d характеристиче-

ности, соответствуют базисные высказывания, также

ским, числомтеории по отношению к этой области. Все

обладающие высокой степенью неэлементарности.) Та-

высказывания данной области, чья степень неэлемен-

ким образом, можно предположить, что теории большей

тарности меньше или равна d,являются в таком случае

размерности соответствует класс базисных высказыва-

совместимыми с теорией и допускаются ею безотноси-

ний большей размерности, таких, что все высказыва-

тельно к их содержанию.

ния, принадлежащие этому классу, допускаются тео-

Итак, возможно проводить сравнение степени про-

рией независимо от того, что они утверждают.

веряемости теорий, исходя из характеристического чис-