Текст книги "Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 89 (всего у книги 132 страниц)

426

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ Другое расширение стандартной логики предикатов связано с рассмотрением т. н. обобщенных кванторов (кванторов Генки на). Если в стандартной кванторной приставке любой формулы, находящейся в предваренной нормальной форме, каждый квантор содержится в области действия всех предшествующих ему кванторов, то обобщенные кванторы представляют собой кванторные комплексы, составляющие которых не обязаны более быть упорядочены отношением строгого линейного порядка. Введение обобщенных кванторов позволяет строить адекватные модели достаточно сложных фрагментов естественного языка. В первопорядковой логике предикатов, как уже говорилось, разрешается квалификация только предметных переменных, т. е. кванторы могут быть соотнесены лишь с предметами, индивидами («всякий предмет», «некоторый предмет»). Для логического анализа контекстов, в которых кванторы соотносятся также со свойствами, отношениями, функциями, необходим переход к логике второго порядка. В алфавите ее языка наряду с предикаторными константами Р", Qn, Rn, Р^,... имеются предикаторные переменные различной местности Р1, Q", /Р1, Р,п,– (в алфавит могут быть введены также и предметно-функциональные переменные/, g", /*",/[",.-•)• В атомарных формулах n(t,,t2,...,tn) на месте П могут использоваться как предикаторные константы, так и предикаторные переменные(аналогично,всложныхтермахФ(1],12,...Дп)вроли Ф может выступать теперь предметно-функциональная переменная). «Кванторные» пункты в определении формулы видоизменяются за счет разрешения использовать в формулах видов VolA и ЗаА на месте а не только предметные, но также предикаторные и предметно-функциональные (если они есть в алфавите) переменные. Средствами языка второпорядковой логики предикатов могут быть воспроизведены логические формы многих высказываний, которые нельзя выразить в первопорядковом языке (напр., «У Марса и Земли есть общие свойства» – ЗР(Р(а) л Р(Ь)), «Марс обладает всеми свойствами, присущими каждой планете» – V/\/x(S(x) z> Рх)) z> P(a)), где константам a, b и S соответствуют термины «Марс», «Земля», «планета»). Семантически логика предикатов второго порядка строится по аналогии с первопорядковой. При распределении значений переменных предикаторным и предметно-функциональным переменным приписываются сущности тех же типов, которые сопоставляются в модели соответствующим константам. Правила установления значений термов и формул незначительно адаптируются с учетом синтаксических особенностей второпоряд– кового языка. Понятие общезначимой формулы – обычное. Синтаксическое построение логики предикатов второго порядка сталкивается с фундаментальной проблемой метатео– ретического характера – класс общезначимых формул второпорядковой логики принципиально не аксиоматизируем, не формализуем, т. е. не существует исчисления, класс теорем которого совпадал бы с классом общезначимых формул. Тем не менее в качестве второпорядкового исчисления предикатов обычно рассматривают некоторую неполную формальную систему, которая получается естественным обобщением первопорядкового исчисления. Логика предикатов второго порядка является очень богатой логической теорией. В ней, напр., может быть определен пре– дикатор равенства: а = ? = DftP(P(a) = Рф)) (это определение по своей сути повторяет лейбницевский принцип «тождественности неразличимых»: равными, тождественными объявляются объекты, обладающие одинаковыми свойствами). Один из возможных путей расширения выразительных средств логики второго порядка состоит во введении в ее язык предикаторов более высоких ступеней, «предикаторов от предикаторов». Они выражают свойства свойств или отношений, отношения между свойствами или отношениями. Так, в контексте «Отношение родства симметрично» термин «симметрично» репрезентирует свойство отношения (родства), а в контексте «Щедрость и скупость – противоположные качества» термин «противоположно» представляет отношение между свойствами (щедростью и скупостью). При указанном подходе натуральные числа 0,1,2,... могут рассматриваться как свойства свойств и определяться средствами второпорядковой логики предикатов следующим образом: 0(Р) ее u-BxPlx), ЦР) = n-BxPfx), 2(F) ^ ^xByi-TX = = УЛ Р(х) А Р(у) A /z(P(z) ^>(Z = XVZ = y)))uT. Д. Среди неклассических систем логики предикатов следует особо выделить т. н. свободную логику – нестандартную теорию квалификации, при построении которой отказываются от обязательного существования индивидов в области интерпретации, а также допускают пустоту термов. Часто неклассические исчисления предикатов строятся так, что их отличие от классического проявляется – в самой системе аксиом и правил вывода – лишь на пропозициональном уровне: вместо схем аксиом классического исчисления высказываний выбираются схемы аксиом соответствующего неклассического пропозиционального исчисления (подобным образом обычно строятся кванторные системы интуиционистской логики и минимальной, многие системы модальной логики и релевантной логики). В этом отношении специфичным является конструктивное исчисление предикатов, в котором (наряду с модификацией пропозициональной части) принимаются особые, характерные именно для кванторной теории постулаты, формализующие т. н. принцип Маркова (простейшая формулировка данного принципа такова: Vjc(P(jc) v -,P(jc)) 3 (-r^JcP(jc) => BjcP(jc)). Весьма нетривиальной и интересной с философской точки зрения оказалась проблема построения кванторных расширений модальных логик, известная также как проблема кванти– фикации в модальных контекстах. При попытке построения модальной логики предикатов возникает ряд существенных трудностей содержательного характера, на которые обратил внимание У. Куайн. Помимо известных проблем, связанных с нарушением принципа взаимозаменимости в неэкстенсиональных контекстах (а модальные контексты – один из их типов), обнаружилось, что к неожиданным результатам в модальной логике приводит применение правила введения квантора существования (знаменитый куайновский парадокс Вечерней и Утренней звезды); во многих кванторных модальных системах ряд теорем не согласуются с интуицией (к ним относятся, напр., формула Баркан 03хР(х)зЕЬс0Р(х), позволяющая заключать от возможности существования к актуальному существованию некоторого объекта, теорема VjcVj

427

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ В современной модальной логике, особенно в результате разработки ее точных формальных семантик, удалось снять многие возражения У Куайна. Так, А. Смульяном была установлена необходимость учета областей действий дескрипций при замене равного равным в модальных контекстах. С. Крипке предложил способ построения богатых систем модальной логики предикатов без формулы Баркан и других парадоксальных законов. Т. Парсонс точными методами продемонстрировал непричастность данных теорий эссен– циализму показал, что можно развивать модальную логику в антиэссенииалистском ключе—с отрицанием эссенциалист– ского принципа в качестве аксиомы. Тем не менее проблема адекватной экспликации кванторных модальных контекстов языка, особенно эпистемических контекстов (утверждений о знании, мнении, вере), и по сей день остается актуальной. Особую важность для логики предикатов, как и для любой логической теории, представляет иссследование ее метатеоре– тических свойств (см. Метшмогшкш). В связи с наличием двух способов построения логических теорий – семантического и синтаксического (в виде исчислений) – возникает вопрос о соотношении класса общезначимых в семантике формул и множества теорем исчисления. Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво (корректно), т. е. каждая его теорема универсально общезначима. Наличие данного свойства обосновывается стандартным методом: демонстрируется общезначимость всех аксиом исчисления и инвариантность его правил вывода относительно свойства «быть общезначимой формулой». Более трудным оказалось доказательство семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов, т. е. того, что всякая универсально общезначимая формула является теоремой исчисления. Впервые этот результат был получен К. Геделем (1930). Позднее Л. Генкин предложил изящный (хотя и неконструктивный) метод доказательства полноты, существенно опирающийся на лемму Линденбаума (о возможности расширения любого непротиворечивого множества формул логики предикатов до непротиворечивого насыщенного множества). Еще более простой метод, использующий технику т. н. модельных множеств, был разработан Я. Хинтиккой. Наличие свойств семантической непротиворечивости и полноты у первопорядкового исчисления предикатов свидетельствует о том, что оно представляет собой адекватную формализацию семантически построенной логики предикатов, т. е. что у важнейших понятий – общезначимой формулы (закона логики) и логического следования (имеющего место между посылками и заключением в корректном рассуждении) – имеются точные синтаксические аналоги. Данное свойство, как уже было сказано ранее, отсутствует у логики предикатов второго порядка. Исчисление предикатов (как первопорядковое, так и вто– ропорядковое) обладает также свойством синтаксической непротиворечивости, т. е. не существует формулы А, такой, что |–А и 1-г-А. Однако, в отличие от классического исчисления высказываний, исчисление предикатов не является синтаксически полным (максимальным, непополнимым), т. е. к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой. Синтаксическая неполнота исчисления предикатов имеет серьезное в методологическом отношении следствие: обеспечивается возможность построения на базе данной логической системы нетривиальных прикладных теорий за счет присоединения их собственных постулатов, не обладающих статусом логических законов. Особую важность применительно к логике предикатов имеет исследование проблемы разрешения. А. Чёрчем был получен фундаментальный результат, свидетельствующий о том, что в общем случае эта проблема не имеет решения: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы языка логики предикатов решить вопрос о том, является ли она законом данной теории, т. е. любое адекватное понятие закона логики предикатов существенным образом неэффективно, не содержит алгоритмической процедуры распознавания элементов своего объема. Тем не менее в некоторых частных случаях проблема разрешения находит свое решение. Установлено, напр., что логика предикатов разрешима относительно свойства «быть общезначимой формулой на множестве с конечным числом элементов». Алгоритм проверки формул логики предикатов на общезначимость в области, содержащей п объектов, состоит в элиминации кванторов и преобразовании данной формулы в формулу языка логики высказываний (для последнего проблема разрешения решена). При устранении кванторов общности и существования используется их связь с пропозициональными связками конъюнкции и дизъюнкции, соответственно: если а,, а^..., ап – имена всех объектов данной конечной области, то утверждение УхА(х) эквивалентно утверждению А(а,) л A(Oj) л ... л А(ап),а 3 vA(x) эквивалентно А(а,) V A(Oj) V... V А(ав). Разрешимой является т. н. логика одноместных предикатов – фрагмент логики предикатов, формулы которого не содержат предикаггорных констант местности большей 1. Можно показать, что любая подобная формула с к предикаторными константами универсально общезначима тогда и только тогда, когда она общезначима во всех конечных областях не более чем с 2* элементами (а этот вопрос, как уже было сказано, может быть решен эффективным образом). Разрешающая процедура имеется также для некоторых типов формул, приведенных к предваренной нормальной форме. Напр., вопрос об универсальной общезначимости формул с кванторной приставкой 3 а, 3 о^... 3 ап может быть сведен к вопросу о ее общезначимости на одноэлементном множестве, подобный вопрос о формулах с приставками Vo^Vo^... VanH VOjVOj... Van3?,3f^,... 3?n сводится к вопросу об общезначимости на множестве из п элементов. Создание логики предикатов связано с именами Г, Фреге, Б. Ршсселт и А УЫмхедш, Современные формулировки клас– сическогопервопорядковогоисчисленияпредикатовиегоде– тальный анализ был осуществлен Д Гтмбертом и его учениками В. Аккерманом и П. Бернайсом. Большую роль в оформлении точной теоретико-множественной семантики лотки предикатовсыграли работы А Терского. Значительный вклад в установление метатеоретическихсвойствлогики предикатов внесли Л. Лёвингейм, Т. Сколем, К. Гсдель, А Чёр% Ж. Эрб– ран, Л. Генкин. Серьезные научные результаты в данной области были получены также П Геяцешом, Л. Кальмаром, С Кмиаац В. Крейгом, У. Дротом, А А Мшрковъш, А. И. Мальцевым, Я. С Новшковылц К А Смяршшыщ К. Шютге и многими другими исследователями. Лп: Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947; Предикатов исчисление (Ееенин-Вояышн А. С.).– В кн.: Философская энциклопедия, т. 4. М., 1967; Киши С. К. Введение в метаматематику М, 1957; Мендельсон Э. Введение в математическую логику М, 1976; Новиков П. С. Элементы математической логики. М.

428

ЛОГАКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ 1973; Смирнов A А. Формальный вывод и логические исчисления. М., 1972; ЧёрчА. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960; A philosophical companion to first-order logic, ed. R. I. G. Hughe, 1993; From Frege to Godel: A source book in mathematical logic 1879—1931, Harvard University Press, 1967; SmuUyon Я M. First-order Logic. N. Y, 1968. A Я. Маркин

ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ– математическая логика, теоретическая логика – область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислении на основе строгого символического языка. Термин «символическая логика» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880. Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в 17 в. L Летающем. Однако только к сер. 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, необычайные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа^ родоначальником которой можно считать А. де Моргана (Augustus de Morgan, 1806—71 ), который в 1847 опубликовал книгу «Formal logic; or the calculus of inference, necessary and probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля (1815—64). В 1847 он публикует брошюру «Mathematical analaysis of logic», а в 1854 опубликовал свой главный труд по логике «An Investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулем, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 можно считать началом алгебры логшкш, первоначальный этап развития которой был завершен Е. Шредером в трехтомной монографии «brlesungugen uber die Algebra der Logik (1890-1905)». С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г. Фреге (1848—1925) и ?. С. Пар– са (1839—1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begrinsschrift» (лучшая книга по символической логике 19 в.) изобрел символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (напр., формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов (см. Логика аредалааюш). Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день. Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеаао (1858—1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его знаменитый труд «Formulaire de mathematiques», опубликованный в 1894—1908 (в соавторстве), был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А И. УЫтиедоми R Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematjca» (1910—1913), а затем воспринята Д Гшлбертюж Т. о., был введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки отрицания ~, конъюнкции &, дизъюнкции V, импликации Z) , кванторов всеобщности V и существования 3. Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 а возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами. Основным стимулом развития символической логики в нач. 20 в. была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Т. о., вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в 1-м томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V). Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств (см. Парадокс логшческшм) стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логшшшзм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), шнтушштоишзм (нужна новая логика), теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теориимножеств2Р(вводятсяофаничениянаобразованиемно– жеств) (см. Множеств теоршя) и формалшш (программа Гильберта). Как отмечает Э. Мендельсон: «Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. В этом состоит одна из задач математической логики» (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М., 1984, с. 11). Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гиль-

429

ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ берта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, т. е. доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой ~А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория), после чего, считал Гильберт, используятолькофинитныеметоды (см. Финитизм), можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и т. о. решить проблему оснований математики. Однако результат К. Геделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, т. е. всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г. Гениеном (1936). Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча—Тьюринга (см. Алгоритм), утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы. И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость А из остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно). Тогда А является независимой аксиомой. Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. В предисловии к «Handbook of mathematical logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD– 1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются ч– астью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гильберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно (см. Неклассические логики, Философская логика). Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Геделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, т. е. логики предикатов. Поэтому последняя, являясь весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть ее, неполна, т. е. в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Геделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, т. е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии сокрушителен! Поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях? Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, вопрос о том, что такое логика? Дело в том, что в отличие от математики рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик (см., напр., Интуиционистская логика, Многозначные логики, Паранепроти– воречивая логика). Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в возможных миров семантике в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится все большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определенных классов. Становится все более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат 21 веку. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic». Лит.: Математическая логика (Адян С. И.). – В кн.: Математическая энциклопедия, т. 3. М., 1912; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики: М., 1979; Они же. Основания математики. Теория доказательств. М., 1982;

430

логицизм Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М, 1979; Клипы С. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Колмогоров А. Н, ДрагалинА. Г. Введение в математическую логику. М, 1982; Колмогоров А. Я., ДрагалинА. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. М.. 1984; Марков А. А. Элементы математической логики. М.. 1984; Мендельсон Э. Введение в математическую логику, 3-е изд. М., 1984; Непейвода H. H Прикладная логика. Ижевск, 1997; Новиков П. С. Элементы математической логики, 2-е изд. М., 1973; Справочная книга по математической логике, т. 1—4. М., 1982—83; Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. М., 1960; Bochenski J. A history of fonnal logic, 2d. ed. Chelsea, 1970; Church A. A bibliography of symbolic logic. Providence, 1938; Copi I. M. Symbolic logic, 5th ed. Prentice Hall, 1979; From Dedkind to Godel: Essys on the development of the foundations of mathematics, Ed. J. Hintikka. Dordrecht, 1995; Klenk V. Understanding symbolic logic. 3rd ed., 1994; MostowskiA. Thirty years of foundational studies. Oxf., 1966. А. С. Карпенко

ЛОГИКА ТРАДИЦИОННАЯ– см. Логика. «ЛОГИКА ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНАЯ» – понятие и термин, введенные И. Кантом в «Критике чистого разума» для обозначения «науки о чистом, происходящем из рассудка и разума, знании, посредством которого предметы мыслятся вполне a priori» и определяющей происхождение, объем и объективное значение подобных знаний. В кантовской классификации логик трансцендентальная логика—это по существу частная логика для метафизики. В «Критике чистого разума» трансцендентальная логика делится на трансцендентальную аналитику и трансцендентальную диалектику. Первая – это «логика истины». Она представляет собой теорию понятий (категорий) и суждений (основоположений чистого рассудка), которые описывают структуры чистого знания, его принципы и способы применения этих структур к предметам опыта. Материал для построения новой – трансцендентальной – логики у Канта дает уже существующая и, по его мнению, завершенная наука чистого разума – общая логика, классификация суждений которой (с некоторыми модификациями, напр., введением бесконечных суждений) используется в роли образца для формирования системы категорий. Трансцендентальная аналитика описывает систему категорий и условия применения их к предметам опыта. Трансцендентальная аналитика рассматривает чистые понятия как функции синтеза многообразия чистого априорного созерцания. Из этого вытекает их связь с априорными условиями опыта и невозможность их применения за пределами опыта. Вторая часть трансцендентальной аналитики – аналитика основоположений – содержит правила объективного (т. е. не выводящего за пределы возможного опыта) применения категорий. Основоположения являются описанием априорной структуры возможного опыта, с которой должно согласовываться любое эмпирическое суждение, претендующее на истину (напр., закон физики или биологии). Трансцендентальная диалектика есть логика трансцендентальной иллюзии, т. е. иллюзии необходимым образом возникающей в ходе деятельности разума. Такие иллюзии порождаются разумом, если его принципы, которые относятся только к понятиям рассудка, применяются непосредственно к предметам. Напр., необходимость поиска условий для каждого обусловленного превращается в необходимость существования безусловного. Тогда возникают трансцендентные основоположения и трансцендентальные идеи, с необходимостью влекущие нас за пределы возможного опыта. Всего таких идей три: психологическая идея (душа), космологическая идея (мир), теологическая идея (Бог). Однако эти идеи, выводя разум за пределы опыта, порождают диалектические (т. е. ошибочные) умозаключения: трансцендентальные паралогизмы, антиномии космологической идеи и идеал чистого разума (В 398). Однако трансцендентальные идеи имеют и «превосходное» регулятивное применение как основания для синтеза понятий рассудка, приводящие к расширению и единству знания. В таком случае трансцендентальные идеи рассматриваются как эвристические принципы и могут плодотворно применяться в науке в виде принципов однородности, спецификации и сродства форм. Трансцендентальная аналитика является каноном оценки эмпирического применения рассудка и способности суждения, трансцендентальная диалектика есть дисциплина чистого разума в его теоретическом применении. После Канта трансцендентальная логика развивалась в немецком идеализме (Фихте, Гегель) как альтернатива формальной логике, включающая (в отличие от кантовского подхода) принципы, противоречащие принципам формальной логики (напр., утверждение противоречия). В неокантианстве (марбургская школа) трансцендентальная диалектика развивалась в русле, более близком к кантовскому замыслу. В 20 в. Э. Гуссерль пытался развить трансцендентальную логику как учение о последних, глубочайших и универсальнейших принципах и нормах всей науки. В настоящее время предпринимаются попытки интерпретировать трансцендентальную логику как вид логики, взаимодействующей с аппаратом формальной логики при построении логических выводов (трансцендентальной дедукции). Лит.: Кант И. Критика чистого разума.– Соч. б 6 т., т. 3. М., 1964; Husserl Е. Formale und transzendentale Logik. Versuch einer Kritik der logischen Venunft.– Gesammelte Schriften. Hrcg. von Elisabeth Stroeker, Bd. 7, Hamb., 1992; Stulman-Laeisz R. Kants Logik: Eine Interpretation auf der Grundlage von fariesungen, veroffentlichten Werken und Nachla?, B.-N. Y, 1976: Reich K. Die Vollstandigkeit der Kantischen Urteilstafel, 3 Aufl., Hamb., 1986: Baum M. Deduktion und Beweis in Kants Transzendentalphilosophie: Untersuchungen zur«Kritikderreinenfernunft». Konigstein/Ts., 1986; Kants transzendentale Deduktion und die Moglichkeit von Transzendentalphilosop hie. Fr./M., 1988; Tonelli G. Kant's critique of pure reason within the tradition of modern logic. A Commentary on its History. Hildesheim, 1994; Bryushinkin V. The Interaction of Fonnal and Transcendental Logic– Proceedings of the Eighth International Kant Congress. Memphis, 1995, p. 553– 566. B. H. Брюшинкин