Текст книги "Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 123 (всего у книги 132 страниц)

590

МНОЖЕСТВО тов подвергается в целом существенной модификации, и наш исследователь «вступает» в новый «мир» (онтологический негеоцентризм). Хотя концепция множественности материальных миров в онтологическом смысле является гораздо более обшей и абстрактной, чем старая концепция множественности материальных миров в естественнонаучном смысле, тем не менее она обладает еще более развитой и потому более глубокой эвристической функцией, чем это было в случае концепции естественнонаучного негеоцентризма. В области релятивистской космологии она делает понятным, почему релятивистские космологические модели не ограничиваются, подобно классическим, модификацией только «модусов» материи, но затрагивают фундаментальные характеристики таких атрибутов, как пространство и время. Более того, концепция онтологического негеоцентризма ориентирует научное исследование в области космогонии и космологии на модификацию не только фундаментальных характеристик пространства и времени, но и таких атрибутов материи, как движение, структура, причинность, взаимодействие и т. п. В области нерелятивистской квантовой механики онтологический негеоцентризм позволяет обнаружить двойственный характер боровского принципа дополнительности; 1) взаимо– исключаемость макроскопического, пространственно-временного и макроскопического причинного описания поведения микрообъектов: и 2) взаимоисключаемость пространственно– временного и причинного описания вообще. Он показывает правильность первой формулировки и ошибочность второй. В области релятивистской квантовой механики (теория элементарных частиц) концепция онтологического негеоцентризма позволяет наметить новую стратегию научного поиска. Оказывается, что наряду с квантово-полевым подходом к объединению известных физических взаимодействий возможен иной (не полевой) подход. Этот подход приводит к построению квантовой теории относительности, осуществляющей содержательный синтез релятивистских и квантовых принципов (в отличие от квантовой теории поля, объединяющей эти принципы лишь формально). Еще более общая формулировка концепции множественности миров была дана Лейбницем (17 в.) в его учении о множественности логически возможных миров. Согласно Лейбницу, объективное существование может обрести любой мысленно воображаемый мир, если его структура не противоречит законам формальной логики. Наблюдаемый нами мир потому стал действительным (существующим актуально), что он оказался (с христианской точки зрения) наилучшим из логически возможных миров. Он является наилучшим по той причине, что в нем имеется, так сказать, оптимальное сочетание добра и зла. Благодаря этому наблюдаемый мир оказывается лучшей школой для обучения добру (соблюдению в человеческих действиях норм христианской морали). Т. о., согласно концепции логически возможных миров, реально возможны миры с любым отклонением от атрибутов материи (внепространственный и вневременной мир; абсолютно неизменный или абсолютно изменчивый мир; мир «чистых» сущностей без явлений или «чистых» явлений без сущностей; абсолютно упорядоченный или абсолютно хаотический мир и т. п.). Следовательно, множественность логически возможных миров допускает объективное существование не только принципиально наблюдаемых, но и принципиально ненаблюдаемых миров. Лейбницевская концепция логически возможных миров получила дальнейшее развитие в современной логике (Р. Кар– нап, Л. Витгенштейн, С. Крипке и др.). Так как многообразие логически возможных миров существенно зависит от системы логических законов, лежащих в основании формальной логики, то, модифицируя эту систему (изобретая новое логическое исчисление), можно модифицировать и множество логически возможных миров. Наконец, в истории философии известна и такая интерпретация проблемы множественности миров, которая допускает объективное существование мира (или даже нескольких миров), в котором не соблюдаются не только законы природы, но и законы логики («иррациональный» мир). В этом случае мы имеем дело не только с принципиально ненаблюдаемым, но и с таким ненаблюдаемым, которое иррационально, т. е. непостижимо с помощью какого угодно логического мышления (независимо от характера логического исчисления, которое при этом используется). Познание такого мира, согласно концепции философского иррационализма, возможно только с помощью особого мистического чувства. Итак, в конце 20 в. понятие «множественности миров» употребляется в следующих существенно разных значениях: 1) множественность материальных миров в традиционном естественнонаучном смысле (естественнонаучный негеоцентризм); 2) множественность материальных миров в онтологическом смысле (онтологический негеоцентризм); 3) множественность логически возможных миров (логический негеоцентризм); 4) множественность произвольных миров (мистический негеоцентризм). Значения (1) и (2) допускают объективное существование только принципиально наблюдаемых миров; при этом ( 1 ) связывает принципиальную наблюдаемость с однородностью всеобщего содержания атрибутов материи, а (2) – с неоднородностью этого содержания. Значения (3) и (4) допускают объективное существование принципиально ненаблюдаемых миров; причем (3) предполагает, что принципиально ненаблюдаемый мир должен обязательно подчиняться законам логики, тогда как (4) постулирует неподчинение этого мира логическим законам. Лет.: Бруно Д. О бесконечности, вселенной и мирах. М., 1936; Бранский В. П. Философское значение проблемы наглядности в современной физике. Л., 1962; Он же. Философские основания проблемы синтеза релятивистских и квантовых принципов. Л., 1973; Визгин В. П. Идея множественности миров. М, 1988; Ильин В. В. Негеоцентрические мотивы в современной науке.– В кн.: Эволюция материи и ее структурные уровни, вып. 1. М., 1981; Кармин А. С. Познание бесконечного. М., 1981; Мостепаненко А. М. Проблема существования в физике и космологии. Л., 1987; Фатиев И. И. «Возможные миры» в философии и логике. Иркутск, 1993. В. П. Бранский

МНОЖЕСТВО– философская категория, рассматриваемая, как правило, совместно с категорией единого, а также одно из главных понятий математики, развитое на основании этих категорий. Платон вводит понятие множества, исходя из противопоставления единого и иного. Единое, по определению, не подразумевает ничего, кроме себя, т. е. не допускает никакого отношения и может быть мыслимо лишь само по себе. Иное же всегда есть иное по отношению к чему-то (также иному по отношению к нему). Следовательно, иное подразумевает мно-

591

МНОЖЕСТВО жество. Однако множество невозможно мыслить, исключив представление о едином, поскольку в противном случае каждая его часть (элемент) не может быть рассмотрена как единство, а будет дробиться до бесконечности. Этот аргумент был впоследствии развит Пропит, который всякое множество рассматривал как причастное единому в двух отношениях: ю-первьгх,какофаниченнсюцелое,аво-вторых,каксоставлен– ное из единичностей. Мысль о причастности множества единому он истолковал так, что всякое множество произведено от единого-в-себе, а единство является одновременно производящей мощью, которая уменьшается вместе с количественным ростом множества, поскольку последний означает уменьшение причастности единому. Важный аспект отношения единого и многого был рассмотрен Аристотелем, который среди других значений единства указал непрерывность. Непрерывное количество (величина) едино и противопоставляется раздельному количеству (см. число), которое есть множество единиц. Попытка рассмотрения непрерывного количества как множества является грубой логической ошибкой, приводящей к апориям. Возникновение последних Аристотель объясняет именно неправомерным представлением единого (непрерывного) как множества – единого интервала времени как множества моментов или единого отрезка прямой как множества точек. Философия Нового времени не уделила понятию множества такого серьезного внимания, как античная. Кант ввел эту категорию в свою таблицу чистых понятий рассудка как одну из трех категорий количества (две другие – единство и цельность), но, рассматривая схемы количества, говорил уже не о множестве, а об экстенсивной величине. Последняя должна бь1тьрассма1ренакакцельность,формируемаяпоследователь– ным прибавлением друг к другу множества частей. Дальнейший философский интерес к понятию множества обусловлен развитием множеств теории в математике. Именно с этой теорией был в значительной мере связан кризис оснований математики, потребовавший значительной переоценки не только содержания математического знания, но и его философских оснований. В качестве математической теории «учение о множествах» было создано Кантором, который, впрочем, рассматривал его не как одну из математических дисциплин, а как фундамент для всей математики. Из понятия множества предполагалось вывести все основные математические понятия, прежде всего понятие числа. В основе канторовского представления о множестве лежит аристотелевское определение сущности, т. е. того, что может выступать лишь как подлежащее предложения и о чем сказываются его свойства. Кантор рассматривает множество как класс предметов, наделенных общим свойством и ясно отличимых, на основании исключенного третьего закона, от всех других предметов, этим свойством не обладающих. Само множество также рассматривается как сущность и может объединяться в совокупность с другими множествами. Причем часто используемый Кантором прием формирования множеств состоит в выделении всех предметов, обладающих данным свойством. Этот прием вызвал в дальнейшем серьезные подозрения из-за того, что не указывает никакой конструктивной процедуры, а потому вводит в рассмотрение объекты, имеющие сомнительный онтологический статус. Для Кантора ясное указание свойства было достаточным основанием признать существующим и предмет, которому это свойство приписывается. Иными словами, свойство конституирует сущность, о которой сказывается. Но поскольку свойство отождествлено с множеством, всякое множество является конституирующим для своих элементов. Существование объекта всегда обусловлено его включением в множество. Поэтому Кантор строит бесконечную иерархию все более мощных множеств, последовательно включаемых одно в другое. Это явно противоречит идеям Прокла, который в наращивании множественности видел угасание производящей мощи и нарастание неопределенности (беспредельность). Завершением этой иерархии явилось «множество всех множеств, не являющихся собственным элементом». Введенное так понятие содержит очевидное противоречие, однако способ его образования ничем не отличается от способов образования других понятий канторовской теории. Последнее обстоятельство поставило под подозрение все созданное Кантором учение о множествах, а заодно и значительную часть всей математики, поскольку остался неясен сам механизм появления противоречия. Еще одно введенное Кантором понятие, которое порождает трудности, – это понятие непрерывного множества. Важным результатом Кантора является теорема о том, что мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. В частности, множество всех подмножеств множества натуральных чисел превосходит последнее по мощности, т. е. является несчетным. Кантор доказал также существование взаимно-однозначного соответствия между этим несчетным множеством и множеством всех точек произвольного отрезка прямой или множеством всех действительных чисел, лежащих в заданном интервале. Такие множества Кантор назвал непрерывными, а их множество – континуумом. Хотя эти множества довольно прочно вошли во многие учебники, их использование нельзя считать полностью логически оправданным. Уже Аристотель считал рассмотрение непрерывной конфигурации как множества грубой ошибкой. К этому можно добавить, что если признать, напр., отрезок прямой состоящим из бесконечного числа отличимых друг от друга элементов, то невозможно представить никакого способа индивидуации этих элементов и их реального различения между собой, поскольку всякое множество имен или предложений языка может быть только счетным. Канторовский проект создания теории множеств как основания математики был позднее осуществлен Цермело, который создал аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории действительно оказалось возможным дать определения основных понятий математики, исходя из понятия множества. Однако за подходом Цермело можно увидеть совершенно иные, нежели у Кантора, философские основания. Термины «множество» и «элемент множества» вводятся как неопределяемые, точнее, они определяются системой отношений, фиксированных в аксиомах. Последнее может значить, что они должны быть рассмотрены не как сущности, обладающие свойствами, а как неопределенные сами по себе объекты, обозначающие лишь места в заданной теорией абстрактной структуре. Лит.: Кантор Г. Труды по теории множеств. M, I985; Платон. Пар– менид.– Собр. соч. в четырех томах, т. 2, с. 346—412; Прокл. Первоосновы теологии.– В кн.: Лосев А. Ф. История античной эстетики. Высокая классика. М., 1974; Френкель А., Бар-Химел И. Основания теории множеств. М, 1966; Новоселов M. M. Абстракция множества и парадокс Рассела.– В кн.: Тр. научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН (1998). М., 1999. Г. Б. Гутнер

592

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА– область логики, в которой изучаются логические операторы, называемые модальностями. В качестве стандартных обычно используются (алетичес– кие) модальности: «необходимость» и «возможность». Первые исследования в области модальной логики принадлежат Аристотелю, который наряду с ассерторическими силлогизмами ввел в обращение модальные силлогизмы, в которых хотя бы одна из посылок является высказыванием типа «А необходимо принадлежит В», «А возможно принадлежит В». При этом необходимое Аристотель не считал возможным. Следующий шаг в развитии модальной логики сделал ученик Аристотеля Теофраст, который стал относить модальность к высказываниям в целом, а не к отдельным понятиям. Кроме того, он принял тезис: все необходимое возможно, что открыло дорогу к определению возможности через необходимость: «возможно А» эквивалентно «не необходимо не-А». В средние века произошло разделение модальностей на модальности de dicto (о речи), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re (о вещи), относящиеся к свойствам. Современные исследования модальной логики связаны во многом с именем К, Льюиса, построившего исчисления SI – S6. Характерным примером могут служить его исчисления S4 и S5 (в трактовке К. Гёделя). Эти исчисления строятся как расширения классической логики высказываний и классической логики предикатов. Язык логики пополняется модальным оператором d (необходимо), действующим на предложения языка. Оператор возможности 0 вводится как сокращение для —I и —I. Определение формулы пополняется пунктом: если – А формула, то а А – тоже формула. Аксиоматику пропозиционального модального исчисления получаем, добавляя к аксиомным схемам и правилам вывода классической логики высказываний модальную схему аксиом °(Л=> B)z)(nAz>nB)H правило вывода: «если доказуемо A z> В, то доказуемо dAz> dB» (правило С). Это пропозициональное модальное исчисление С2. Заменив правило С более сильным правилом вывода: «доказуемо А —>доказуемо dA» (правило Геделя) и добавив к С2 одну из аксиомных схем d A z> A, oAz>ddA,-idAz> o-ioA, получаем пропозициональные модальные исчисления Т, S4 и S5 соответственно. С этими исчислениями не возникает никаких принципиальных проблем. Совершенно иная ситуация возникает, если эти «модальные приставки» добавлять к классической логике предикатов, поскольку в предикатных модальных контекстах может нарушаться закон подстановочности тождественных VxVy(x = у з (F(x) z> F{y) • К примеру (пример Куайна), утверждение «необходимо, что 9 больше 7» и его экзистенциальное обобщение «3х такой, что необходимо, что х больше 7» верно, если х есть 9 и 9 есть натуральное число, но неверно, если х есть 9 и 9 есть число планет. Согласно Куайну, вхождение переменной х в открытую формулу «необходимо, что х больше 7» референциально неясно, поскольку нельзя гарантировать, что, будучи связанной, переменная х именует в точности один объект. Поэтому модальная логика предикатов требует некоторого изменения принципов, на которых построена немодальная стандартная теория квантификации. В частности, экзистенциальное обобщение в модальных контекстах должно основываться на следующем правиле: 3 -кван– тификация открытого предложения справедлива, если, и только если, имеется замкнутый терм, подстановка которого на место переменной квантификации приводит к истинному предложению. Соответственно подстановочность тождественного имеет место, если, и только если, взаимозаменяемые термины являются синонимами. Принятие такого принципа в теории квантификации ведет к т. н. подстановочной интерпретации кванторов, в отличие от стандартной, или объективной, их интерпретации. В стандартной интерпретации значениями связанных переменных являются объекты универсума, в подстановочной – термины языка. Подстановочная теория ничего не говорит о существовании или несуществовании объектов; она исследует лишь определенные отношения между утверждениями языка. Все истины теорий подстановочного типа являются в общем случае лингвистическими, и их использование для описания конкретных ситуаций требует дополнительных допущений о характере универсума (множестве объектов, допустимых в данной ситуации). Еще один способ обоснования квантификации в модальных контекстах основан на допущении, согласно которому значениями связанных переменных в модальных контекстах являются не объекты и не термины, а смыслы, т. е. определенные способы понимания объектов. При этом одному и тому же объекту могут соответствовать различные смыслы (подробнее см.: Именования теория, Экстенсиональность). С учетом этих разъяснений становится понятным, что, хотя чисто технически нет никаких препятствий к построению предикатных модальных исчислений С2, Т, S4, S5 посредством указанных выше «модальных приставок», в этих исчислениях (за исключением S5) нельзя гарантировать безусловного выполнения принципа подстановочности тождественного. Поэтому поступают следующим образом: помимо предикатных исчислений С2, Т, S4 введением дополнительной аксиомной схемы, известной как формула Баркан: V хоА(х) з d V хА(х) (в S5 эта формула является теоремой). Принцип подстановочности тождественного строго выполняется в ВС2, ВТ, BS4, S5. В модальных предикатных исчислениях с равенством («модальная приставка» присоединяется в этом случае к классическому исчислению предикатов с равенством) для обеспечения подстановочности тождественного должно выполняться условие V х V у(х=у z> u(x=y)). Содержательные трудности возникают и в связи с самой «модальной приставкой». Исчисления с правилом Геделя и аксиомной схемой аАз А называются нормальными, т. е. соответствующими содержательным стандартам логической необходимости: всякая теорема логически необходима (логически истинна) и всякое необходимо истинное утверждение истинно. Все остальные исчисления не считаются нормальными, и для них отдельно должны быть указаны смыслы, в каких они используют операторы необходимости и возможности. Вот некоторые возможные смыслы этих операторов, отличные от указанного выше «алетического» смысла d и 0.1 ) а означает доказуемость, а 0 – непротиворечивость (интуиционистские модальности, не исключающие, впрочем, существования специальной логики доказуемости); 2) d означает обязательность в смысле необходимости соблюдения норм, а 0 – позволение, или отсутствие запрещения (деонтические модальности); 3) d означает приемлемость эмпирической гипотезы, а 0 – ее неот– вергаемость (индуктивные модальности); 4) d означает «везде» или «всегда», а 0 – «кое-где» или «иногда» (пространственно– временные модальности); 5) d означает «знаю, что», а 0 – «не знаю не» (эпистемические модальности). Существенно, что этот список потенциально неограничен (т. е. он ограничен только нашей изобретательностью, а не существом дела).

593

моделей теория Синтаксические характеристики операторов d и 0 во всех этих случаях должны быть различными. Напр., для деонтических модальностей не проходит аксиомная схема dAz> A, поскольку нормы могут быть нарушены. Вместо нее должна использоваться аксиомная схема oAz> —id—iA (обязательная норма допустима). Для всех этих и многих других модальных исчислений остро встала проблема их формальной интерпретации: построение адекватной им формальной семантики, в которой: 1) каждая формула исчисления является либо истинной, либо ложной; 2) каждая доказуемая формула истинна (непротиворечивость исчисления); 3) каждая истинная формула доказуема (полнота исчисления); 4) установлена тесная связь с содержательной семантикой. Первый шаг был сделан Р. Карнапом. Используя идеи Лейбница, он строит семантику на основе множества описаний состояния (положений дел, характеризуемыхсредствамиязы– ка, или «возможных миров»). Высказывание «А возможно» семантически характеризуется им как «А истинно хотя бы в одном описании состояния (возможном мире)» и высказывание «А необходимо» как «А истинно во всех описаниях состояния (возможных мирах)». Следующий шаг связан с именем С Крипке. Он отказался от обязательного представления возможного мира в виде описания состояния, зависящего от структуры логического языка. Такое представление сохраняется только в канонических моделях (максимально непротиворечивых множествах), тогда как в общем случае возможный мир – это просто элемент произвольного непустого множества (возможных миров). При этомдопускаетсявозможностьсуществованияизолированных элементов такого множества (элементов, не связанных ни с какими другими элементами множества). Для формального выражения этой идеи Крипке вводит отношение достижимости – некоторое бинарное отношение R, определимое на множестве возможных миров. Пусть а и b – возможные миры. Тогда, если имеет место a R Ь, то эти миры связаны: из мира а можно достичь мира Ь. В противном случае это оказывается невозможным. Формальные семантики для различных исчислений различаются теперь только свойствами отношения R. Так, чтобы получить адекватную семантику для S4, достаточно предположить, что отношение R рефлексивно и транзитивно. Если дополнительно предположить симметричность этого отношения, то получим адекватную семантику для S5. В этом последнем случае каждый возможный мир достижим из каждого, и надобность в специальном отношении достижимости отпадает. Предложенная Карнапом формальная модальная семантика соответствует этому частному случаю и годится, следовательно, только для S5. Далее, для каждой предикатной модели каждый мир w из множества возможных миров W, на котором определено бинарное отношение достижимости R, характеризуется непустым множеством Dw индивидов, существующих в этом мире. Существует также выделенный элемент w*, называемый действительным миром. Для разных w множества Dw могут быть разными. С этой точки зрения понятно, почему принцип подстановоч– ности тождественного и экзистенциальное обобщение требуют ограничений в модальных контекстах. Если индивидные константы или переменные находятся в сфере действия модального оператора, то они могут обозначать один и тот же индивид в действительном (выделенном) мире, но различные индивиды в других возможных мирах (а в каких-то мирах ничего не обозначать). Поэтому, чтобы указанные принципы были применимыми в модальных контекстах, каждый входящий в этот контекст индивидный символ должен обозначать один и тот же объект во всех мирах, связанных с данным миром отношением R. Быстрый рост числа модальных исчислений в 70—80-е гг. поставил вопрос о создании более общей и более богатой по своим возможностям формальной семантики, чем семантика Крипке. Один из путей создания такой семантики связан с именем 3. Стахняка. Его основная идея элегантна и проста, хотя ее реализация технически может быть очень сложной. Семантика Крипке является теоретико-множественной. Каждый «возможный мир» есть просто лишенный внутренней структурыэлементнекоторогомножества,которому(элемен– ту) в предикатных интерпретациях приписано еще одно множество – множество индивидов, допустимых в этом мире. Вся ее изобразительная сила определяется поэтому только свойствами отношения R. Если удастся наделить и сами элементы внутренней структурой, то изобразительная мощь формальной семантики резко возрастет. Для реализации этой идеи Стахняк использовал сочетание алгебраических и теоретико-множественных подходов. На исходном множестве, рассматриваемом в качестве алгебраического объекта, можно построить вторичное множество алгебраических структур (напр., ультрафильтров). На новом множестве процесс можно повторить, получая множество элементов с более богатой структурой, а затем построить на нем отношение достижимости R. Тем самым мы получаем семантику возможных миров, в которой в отличие от семантики Крипке элементы базисного множества могут быть наделены сколь угодно сложной внутренней структурой. Такого рода формальная семантика обладает огромной изобразительной силой. Ее можно использовать не только для интерпретации существующих модальных исчислений, но и для построения новых модальных исчислений, обладающих наперед заданными желательными семантическими свойствами. Фактически впервые появилась возможность того, что современная формальнаялогикаможетбытьиспользованане тол ько и даже не столько в качестве преимущественного средства для построения оснований математики, как это повелось со времен Д. Гильберта, сколько в качестве метода построения оснований любого вида научного знания, в том числе философского. Лит.: Gabbay D. M. Investigations in Modal and Tense Logics with applications to problems in Philosophy and linguistics. N. Y., 1976; Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик I. IL– В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981; Костюк В. Н. Элементы модальной логики. К., 1976; Крипке С. Семантический анализ модальной логики.– В кн.: Фейс Р. Модальная логика. М, 1974; Stachniak Z Introduction to model theory for Lesniewski's Ontology. Wroclaw, 1981; Hughes G E. and Cresswell M. J. A Compation to Modal Logic. Methuen – London, 1984; Van Benthem J. A. F. K. Modal and Classical Logic. Napoli, 1983; Zeman J. J. Modal Logic. The Lewis– Modal Systems. Oxf., 1973; Segerberg К. An essay in classical modal logic – «Filosofiska Studier», Uppsala, 1971, N 13; Chagrov A. V., Zakhar– yaschev M. Modal Logic. Oxf, 1997. В. Н. Костюк

МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ– раздел математической логики, изучающий модели формальных теорий, соотношения между моделями и теориями и преобразования моделей. Предшественниками теории моделей были Б. Больцано и Э. Шредер, осознавшие понятие выполнимости формулы на интер-

594

МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ претации. В настоящий момент теория моделей делится на следующие разделы: Классическая теория моделей (КМТ), изучающая теоретико– множественные модели классических теорий. Алгебраическая теория моделей (ATM), изучающая прежде всего модели неклассических логик, базирующиеся на обобщенной семантике истинностных значений. Теория моделей Крипке (СВМ), изучающая модели неклассических логик, базирующиеся на возможных миров семантике. Интерпретации реализуемости (ИР), моделирующие логики и теории как исчисления задач.

КМТберет начало от работ Лёвенгейма (1915) и Скулема (1920), установивших существование моделей любой бесконечной мощности для любой непротиворечивой теории, имеющей бесконечную модель. Этот результат вначале рассматривался как парадоксальный, потому что из него следовало существование счетных моделей несчетных множеств, а мощность множества в те времена содержательно интерпретировали как число элементов, по аналогии с конечными множествами, а не как сложность его задания, как сейчас делается по аналогии с теорией алгоритмов. Фундаментальным результатом КМТ явилась теорема Геделя о полноте классической логики предикатов (первого порядка), из которой следует существование моделей у любых (основанных на этой логике) непротиворечивых теорий. В 70-е гг. выяснилось, что теорема Геделя о полноте эквивалентна аксиоме выбора множеств теории. Если задана некоторая сигнатура (перечисление констант, функциональных символов и предикатов вместе с числом аргументов у них), то (классической) интерпретацией данной сигнатуры является непустое множество объектов – универсум интерпретации, и функция вычисления значения C, сопоставляющая каждой константе – элемент универсума, n-местной функции/—функционал W—> ^л-местному предикату Р– функционал W —»{0,1}. В интерпретации естественно определяется понятие значения любого терма и любой формулы теории (точное определение истинности формулы в интерпретации было впервые дано А. Тарским). Интерпретация называется моделью теории, если в ней истинны все аксиомы теории. Еще одной формулировкой теоремы полноты Геделя является совпадение множества теорем с множеством формул, истинных в любой модели теории. По теореме Мальцева о компактности, теория имеет модель тогда, и только тогда, когда любое конечное число ее аксиом имеет модель. Эта теорема послужила основой для построения нестандартных моделей традиционных математических объектов, таких, как действительные и натуральные числа. В самом деле, взяв в качестве теории все истинные на стандартной модели формулы и добавив новое число ю и бесконечную совокупность аксиом ю > 0, со > 1, © > п, мы получаем, что любая конечная совокупность новых аксиом удовлетворяется на стандартной модели. Значит, есть и модель, где они все выполнены. Она сохраняет все выразимые на языке логики предикатов свойства стандартной модели, но пополнена новыми элементами. Позитивно использовал существование нестандартных моделей А. Робинсон (1960). Он показал, что в нестандартной модели анализа можно на строгой основе возродить методы математиков 17—18 вв., использовавших бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основополагающим явился здесь результат, что любое конечное нестандартное число однозначно разлагается в сумму стандартного и бесконечно малого. Далее, сохранение всех выразимых свойств используется для установления принципов переноса, которые позволяют отбрасывать бесконечно малые либо доказывать общее утверждение о стандартных числах на основе рассмотрения одной бесконечно малой либо бесконечно большой величины. Но здесь приходится строго разделять формулы стандартного языка и формулы метаязыка, говорящего о нестандартной модели. В частности, утверждения, явно включающие предикат «быть (не)стандартным», уже могут нарушать все свойства стандартной модели. Дальнейшее развитие нестандартного анализа привело к теории полумножеств Г. Хаека и к альтернативной теории множеств С. Вопенки, где конечные нестандартные совокупности могут включать бесконечные подклассы. Современная КМТ развивается во многих направлениях, большинство из которых в данный момент имеют дело со сложнейшими идеальными математическими понятиями (абстрактными объектами) без выхода на общенаучные либо методологические результаты. Правда, приятным исключением является совокупность теорем, характеризующих теории частного вида через их модели. V -теория – это теория, все аксиомы которой имеют вид /хА(х), где х – совокупность переменных, и А не содержит кванторов. Теорема Лося. Теория представима как V -теория тогда, и только тогда, когда каждая подсистема ее модели также является ее моделью. Эта теорема при внешней простоте формулировки требует использования абстрактных и сложных конструкций КМТ Таковы же и другие теоремы характеризации. В частности, совокупность систем называется многообразием, если она является множеством моделей теории с аксиомами вида /xP(t(x) , где Р—предикат. Многообразия – это V -теории, модели которых сохраняются при гомоморфизмах. Теоремы характеризации используются в современной информатике для описания абстрактных типов данных. ATM началась с предложенной Линденбаумом и Тарским концепции, согласно которой любая теория может рассматриваться как алгебра, операциями которой являются логические связки, а объектами – классы формул, для которых доказуема эквивалентность. Такая алгебра называется алгеброй Линденбаума-Тарского (ЛТ-алгеброй) теории. ЛТ-алгебра классической теории—булева алгебра. ЛТ-алгебра интуиционистской – псевдобулева, теории в модальной логике S4 – булева алгебра с замыканиями. Данный подход был вторым основанием и инструментом для построения альтернативной теории множеств. Для неклассических логик он математически эквивалентен СВМ и поэтому в последнее время употребляется менее интенсивно. Трудностью в ATM является интерпретация кванторов. Для данной цели была развита теория цилиндрических алгебр. Семантика возможных миров (СВМ) предлагалась уже Аристотелем, который рассматривал теорию модальных суждений. Ее предшественником можно считать Г. Лейбница, который явно ввел понятие возможного мира. В современном виде она впервые была предложена для частного случая интуиционистской логики Э. Бетом (1954) и последовательно развита для целого ряда логик С. Крипке, имя которого она и получила. При СВМ интерпретациях имеется некоторая алгебраическая система классических (либо, в более тонких случаях, алгебраических) моделей, называемых мирами, связанных отноше-