Текст книги "Новая философская энциклопедия. Том второй Е—M"

Автор книги: авторов Коллектив

сообщить о нарушении

Текущая страница: 28 (всего у книги 132 страниц)

ИНТРОЕКЦИЯ(от лат. intra – внутрь и iacere – бросать) – процесс, посредством которого объекты внешнего мира получают постоянное психическое представительство внутри субъекта. Понятие «интроекция» введено Р. Авенариусом, который считал недопустимым «вкладывание» чего бы то ни было из воспринимаемого в сознание субъекта, так как в результате этого происходит ошибочный раскол единства эмпирического мира на «внутренний» и «внешний», на «объект» и «субъект». Единственно возможным путем избавления от интроекции Авенариус считал отказ от категорий объекта и субъекта, мышления и бытия и переход к т. н. «нейтральному» опыту на пути отрицания связи мысли с мозгом. В психоанализе интроекция – это полное включение индивидом в свою психику воспринимаемых им образов, взглядов, мотивов и установок других людей. Образовавшуюся в результате интроекции психическую структуру называют интроектом, интроецированным объектом или внутренним объектом. В. В. Старовойтов

135

ИНТУИТИВИЗМ

ИНТУИТИВИЗМ– философско-методологическая установка, признающая «последним основанием» бытия и познания непосредственное «живое» отношение человека и мира, которое преодолевает расчленение реальности на субъект и объект. Иногда под интуитивизмом понимают и особое философское направление, представленное такими мыслителями, как А. Бергсон, Н. О. Лосский и др. Понимание интуиции серьезно варьируется у представителей различных философских школ. Интуитивизм еще не предопределяет содержательные характеристики основных проблем бытия и познания, и потому задача анализа сводится к выделению различных способов обоснования интуитивизма. Фактически речь идет о различных концепциях интуиции, скрывающихся под покровом специфических онтологических и гносеологических учений. Так, в учении Бергсона исходное противопоставление интеллекта и интуиции призвано подчеркнуть примат жизни над косной материальностью. Интеллект противостоит интуиции прежде всего предметно: он знает только одну материю, потому что его метод работы – рядоположение, расчленение на элементы и установление внешних отношений между ними. Математический формализм Бергсон считает высшим проявлением интеллектуальной деятельности, механизм – общей формой предметности, открытой рациональному познанию. С его точки зрения, математическое естествознание порождено потребностями практической ориентации в мире и потому довольствуется относительностями, достаточными для этого целями. Познание же в собственном, «чистом» смысле слова предполагает незаинтересованное погружение в предмет, преодоление дистанции, которую субъект рационального знания заботливо удерживает по отношению к объекту своего исследования, и потому требует именно интуиции. «Правило науки, – как установил Бэкон, – подчиняться, чтобы господствовать. Философ не подчиняется и не господствует, он старается симпатизировать». Определение интуиции как симпатии показывает, что Бергсон ориентирован на художественную модель познания в противоположность научной. Искусство порывает с миром внешнего, конвенционального символизма, прозревая подлинную суть вещей. То же самое делает и философия («метафизика»), которая интенсифицирует до предела познавательные возможности художественной интуиции и позволяет войти в соприкосновение с «абсолютными глубинами» мироздания. Это – знание-переживание, которое принципиально не может быть концептуализировано. Поэтому интуиция Бергсона резюмируется в ряде метафор, из которых наиболее популярной стал «жизненный порыв», столь же мало проясняющий суть жизни, как и определения механического редукционизма. В отличие от Бергсона в своей трактовке интуиции Э. Гуссерль отталкивается от картезианской модели математического знания. Для него она есть прежде всего «сущностное видение», «идеация», непосредственное созерцание общего, как, напр., в геометрии,когдапереднашимумственн]довзс^ метрическая фигура и нам важен только ее тип, а не размеры, способ начертания или какие-либо другие случайные эмпирические признаки ее появления в нашем сознании. Общую установку интуитивизма Гуссерль обобщил в виде так называемого принципа всех принципов, согласно которому всякий вид интуиции образует законный источник познания; поэтому все, обнаруживающее себя посредством интуиции, должно приниматься так, как оно себя обнаруживает, и в тех пределах, в каких оно себя обнаруживает. Это установка на описание – в противоположность конструированию или дедукции из общих предпосылок. Ноэтоописание не эмпирическихфактов, а «идеальныхсущностей» – смыслов, непосредственно открывающихся философскому сознанию, концентрирующемуся на постижении сущности, «эйдоса», а не факта или соотношения фактов. Эта операция переключения внимания с факта на смысл получила название редукции. Поэтому редукция, по Гуссерлю, есть необходимое условие «идеации», т.е. интеллектуальной интуиции. М. Шелер распространил феноменологический интуитивизм на иные сферы, сформулировав положение об «эмоциональном априори», представляющем собою «интуицию ценностей», которая реализуется в актах любви и ненависти со всеми градациями этих чувств. Учение Шелера послужило одной из предпосылок экзистенциализма, в котором интуиция потеряла гносеологические характеристики и превратилась в особый способ бытия человека в мире («понимание» М. Хайдеггера, «фундаментальный проект» Ж.-П. Сартра). В целом интуитивизм выражает стремление обосновать полную автономию философского знания по сравнению с естественно-научным. Замыкая познание на «первичных очевидностях» интуиции, интуитивизм лишается возможности выработать общезначимую концепцию мироздания, довольствуясь неустранимым плюрализмом воззрений от христианского спиритуализма Бергсона и Шелера до атеистической феноменологической онтологии Сартра с ее своеобразным дуализмом всецело негативной активности сознания на фоне тошнотворной материальности телесно-вещного бытия. Лит.: Bergson A. L'intuition philosophique. P., 1927; Husserl E. Ideen zu einer reinen Phanomenologie und phanomenologischen Philosophie. Erster Buch. Allgemeine Einfuhrung in die reine Phanomenologie. Halle a.d.S., 1913, S. 43—44; Scheler M. Der Formalismus in der Ethik und die materiale №rtethik. Halle a.d. S., 1921, S. 61; Лосский Н. 0. Обоснование интуитивизма. СПб., 1906; Он же. Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция. Париж, 1938. М. А. Киссель

ИНТУИЦИОНИЗМ– одно из трех главных направлении (наряду с логицизмам и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики. Основное отличие интуиционизма от других направлений в том, что он ставит иную цель математике: не доказательство «истинных» теорем, а поиск математических (умственных, в терминологии первоначального интуиционизма) конструкции, органично соединяющих в себе построение и его обоснование. Для общей характеризации направлений, выросших из интуиционизма, часто пользуются термином конструктивизм. Поэтому стоит различать интуиционизм в узком смысле (брауэ– ровский), российский конструктивизм (см. Конструктивное направление) и различные частично конструктивные направления, часто также называемые современным интуиционизмом. Предшественниками интуиционизма являются немецкий математик 19 в. Л. Кронекер, французские эффективисты (см. Эффективизм), А. Пуанкаре и Э. Борель. Они с разных позиций отмечали признаки неблагополучия в математике, связанные с тем, что в классической математике доказательства многих теорем существования не дают построений искомых объектов, и пытались несколько ограничить математические конструкции для устранения данного недостатка. Началом интуиционизма как направления считается 1907, когда JI, Э. Я. Брауэр показал, что косметическим ремонтом выявившееся расхождение понятий «существование» и «построение» не устранить и что корни многих нежелательных свойств классической математики уходят в классическую логику. До 1945 интуиционизм развивался преимущественно в Голландии, хотя некоторые фундаментальные работы были созданы в России, Австрии и Польше учеными, не причисляв-

136

ИНТУИЦИОНИЗМ шими себя к данному направлению. Ныне самой сильной школой интуиционизма остается голландская, но, помимо нее, имеются, в частности, американская и русская школы. Основания для выводов Брауэра – с несколько модернизированной точки зрения – таковы: Согласно теореме Геделя о неполноте в достаточно богатой теории имеется такая формула G, что ни она, ни ее отрицание недоказуемы. При помощи классической логики легко вывести 3jc((G=>jc = 0)&(1 G=>jc=1)) Обозначим данную формулу 3 хА(х). Ни для какого конкретного ха нельзя доказать А(х^. В теории множеств ситуация ухудшается лишь незначительно. Аксиома выбора дает возможность построить такую доказуемую формулу 3 хЩх)у что нельзя построить формулу С(х), для которой 3 ! х С(х) и Vх(С(х) => Щх)). Такая же ситуация возникает при использовании альтернативы к аксиоме выбора – аксиомы детерминированности. Согласно анализу А А Маркова, классическая математика базируется на трех абстракциях: абстракции отождествления, не позволяющей использовать свойства, различающие равные объекты; абстракции потенциальной осуществимости, позволяющей пренебречь физическими ограничениями на реализуемость очень больших конечных объектов и процессов, и абстракции актуальной бесконечности, дающей возможность мыслить бесконечные совокупности как завершенные и использовать бесконечные множества и бесконечные процессы для построения других математических объектов. Брауэр принял две первые абстракции и отверг третью. В этом с ним солидарны почти все нынешние продолжатели конструктивных традиций в математике. В некоторых разделах современного интуиционизма это допущение ослабляется, а в некоторых – усиливается. Но в любом случае принимаются во внимание принципиальные ограничения выполнимых построений: необходимость сведения любой новой задачи к уже решенным, чтобы представить новое построение как композицию старых. При таком подходе логика не может рассматриваться как нечто данное a priori, она должна подбираться в соответствии с классом рассматриваемых объектов и с классом допустимых методов решения задач. Так, классическая логика оказывается либо логикой конечных объектов, либо логикой всех теоретико-множественных построений с аксиомой выбора. Сама интерпретация логических формул изменяется в корне. Значения истинности представляют собой нечто второстепенное по сравнению с конкретным построением, проведенным при доказательстве теоремы. Поэтому формулы интерпретируются как задачи, логические связки – как преобразования задач, методы доказательства – как методы сведения новых задач к уже решенным либо принятым в качестве решенных. Брауэр предложил воспользоваться для перестройки математики логикой, подобной классической, за исключением законов исключенного третьего и снятия двойного отрицания (которые в данном контексте эквивалентны) – интуиционистской логикой. Он отказался от многих объектов, созданных в теоретико-множественной математике, и ограничился теми, которые хотя бы косвенно сводятся к двум исходным сущностям: к конструктивным объектам, строящимся как конечные конструкции из конечного числа исходных ясно различимых объектов, и к последовательностям выбора, представляющим из себя методы последовательного конструирования потенциально бесконечного числа исходных объектов. Примерами последовательностей выбора являются алгоритмы, последовательности измерений физических величин и т. п. Первоначально Брауэр пытался прямо перестроить основные разделы математики, при этом он, в частности, раньше, чем это было сделано классическими средствами, установил важный результат (теорема о веерах или лемма Кёнига): дерево с конечным ветвлением и конечными путями конечно. Перестройка математики, осуществлявшаяся Брауэром, отличалась максимальной осторожностью при соблюдении принципов конструктивности. Он стремился спасти все, что можно было спасти. Примеры гораздо более жестких подходов продемонстрировали Р. Л. Гудстейн и Н. А. Шанин. Наиболее интересны следующие результаты Брауэра. Операторы над последовательностями выбора должны использовать конечное число значений последовательности для получения конечной выходной информации. На основе этого он доказал непрерывность интуиционистски определимых функций действительной переменной. Брауэр показал, что на самом деле в разных областях математики использовались разные понятия функции действительной переменной, в частности, что измеримые функции не стоит для конструктивных целей трактовать как операторы над действительными числами. Сразу же после формализации интуиционистской логики многие математики начали развивать вариации интуиционизма, либо еще сильнее ограничивая логику, либо еще сильнее ограничивая объекты. Иохансон предложил использовать в качестве основы для интуиционизма минимальную логику, но оказалось, что в любой теории, содержащей натуральные числа, интуиционистское отрицание определимо, и переход к минимальной логике ничего нового не дает. Д. Грис предложил рассматривать безотрицательную математику, в которой запрещены пустые понятия типа квадратного круга. Продвижение в данном направлении идет весьма медленно из-за необычности и трудности возникающих конструкций. Новый импульс исследованиям в области интуиционистских понятий дали интерпретация интуиционистской логики Колмогоровым и ее (логики) формализация А Гейтингом. На этой основе и на основе точного понятия алгоритма (см. алгоритм) С. К Клики (1945) дал первую точную классическую модель неклассической математики: понятие реализуемости. В интерпретации Клини стало возможным формально выразить тезис Чёрча как схему аксиом. А. А. Марков (1947) и советская школа конструктивизма развили вариант математики, последовательно проводящий идею о том, что нет ничего, кроме конструктивных объектов, а алгоритмы отождествляются с их программами. Он ввел «принцип Маркова», явно разделивший обоснования и построения, разница между которыми с самого начала ощущалась в интуиционизме. Содержательно принцип Маркова гласит, что для обоснования уже проделанных построений можно пользоваться классической логикой (это показал Н. А. Шанин, построив алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий любую формулу на явное построение и классическое обоснование данного построения). Польская школа пошла по другому пути, ограничиваясь конструктивными объектами, но сохраняя классическую логику. Реализуемость выявила, что интуиционистские теории могут расходиться с классическими. Напр., если А(х) – неразрешимое свойство натуральных чисел, то конструктивно верна формула – /х(А(х) V А(х)).

137

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА Зафиксировав понятие вычислимой последовательности, мы сохраняем свободу при определении операторов высших типов. Первым это показал Клини, построив общерекурсивную реализуемость, при которой выполнена схема Vx(A(x) => ЗуВ(х,у)) =>ЧхЗу(А(х*> В(х,у)), выражающая всюду определенность всех функций. Возможность выразить формулами первого порядка те высказывания, для которых в классической логике требуются конструкции высших порядков – еще одно преимущество интуиционизма. Принцип Маркова несовместим с данной схемой во всех содержательных интуиционистских теориях, хотя оба они являются классическими тавтологиями. Э. Бишоп (1960), переопределив вычислимые функционалы, предложил вариант интуиционизма, который характеризуется принципом: «использовать лишь алгоритмы, но явно этого не говорить». Этот вариант, в дальнейшем развитый многими учеными, в том числе П. Мартин-Лёфом, соединил многие преимущества брауэровского и марковского подходов. Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих под понятие алгоритма. В частности, он предложил следующие новые типы последовательностей – творческую последовательность а(п) = 0, если в году п не доказана формула А, и 1, если она доказана; и беззаконную последовательность, обладающую следующим свойством: Va (А (а) => 3 n V?(Vm (m < n =* а(т) = ?(m)) =M(?))), т. е. все, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации. Трулстра (1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют интуиционистскую модель, в которой можно промоделировать творческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках. Возможность сформулировать незнание в виде логической формулы – еще одно достижение интуиционизма. С конца 70-х гг. развиваются идеи приложений интуиционизма к программированию, поскольку интуиционистские доказательства могут рассматриваться как полностью обоснованные программы. Как всегда, попытка лобового применения глубоких идеальных концепций оказалась неудачной. В таких случаях нужно искать обходные пути. Ими могут стать системы, основанные на более жестких принципах, не принимающие абстракции потенциальной осуществимости и дающие построения при ограниченных ресурсах. Таковы линейные логики Ж.-И. Жирара, ультраинтуиционистские системы А. С. Есенина-Вольпина и С. Ю. Сазонова, нильпотентные логики Н. Н. Непейводы и А. П. Белътюкова. Голландская школа, наоборот, рассмотрела приложения интуиционистских понятий к теории множеств, расширяющие понятие эффективной операции, и получила ряд глубоких результатов. В частности, аксиома выбора интуиционистски становится почти безвредной, так что она концептуально противоречит исключенного третьего закону, а не эффективности построений. Интуиционистские теории возникают также при категорной интерпретации логики. Интуиционизм, остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других направлений, в частности, формулировке программы Гильберта (см. Формализм). Он выдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Он показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало ущербность плоских прагматических и утилитаристских концепций и возможность рациональной альтернативы традиционному рационализму, что до сих пор как следует не использовано современной философией и системологией. Лит.: ГейтингА. Интуиционизм. М., 1969. Н. Н. Непейвода

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА– первоначально логика интуиционистской математики, получившая впоследствии более широкое применение. Неформально развивалась Л. Брауэром с 1907 г., первую интерпретацию, независимую от интуиционистской идеологии, дал А. Н. Колмогоров, первые формализации построили A Гливенко и А. Гейтинг. Язык интуиционистской логики совпадает с языком классической логики. Сохраняются и правила естественного вывода для всех связок, кроме отрицания. Для отрицания правило снятия двойного отрицания ослабляется до правила «Из лжи следует все, что угодно». В результате ослабляются возможности косвенного вывода – косвенно можно опровергать (по правилу reductio ad absurdum), но, вообще говоря, нельзя доказывать положительные суждения от противного. В интуиционистской логике все связки независимы. Более того, для доказательства утверждения А достаточно пользоваться лишь формулами, не содержащими связок, отсутствующих в А. В интуиционистской логике нет стандартных (нормальных) форм, аналогичных классическим. Как правило, преобразования, связанные с законами формулировки отрицаний и приведения к предваренной форме, действуют лишь в одну сторону. Так, напр., верно —[A v ~iB=> i(A&B), a ~~(А&В) => iAv~B выполнено не всегда. Сильный исключенного третьего закон (tertium non datur) отвергается, но его слабая форма «А и его отрицание не могут быть одновременно ложны» —|—I (A v "H/0, сохраняется. Поэтому неправильно трактовать интуиционистскую логику как вводящую дополнительные истинностные значения, она скорее отвергает саму концепцию логических значений. Интуиционистская логика обладает радом выдающихся свойств в классе неклассических логик. Для нее выполнены теорема Крейга об интерполяции: «Если выводимо А => С, то можно построить формулу В, содержащую лишь термины, входящие и в А, и в С, такую, что выводимы А => В,В=$ С» и теорема Бета об определимости: «Если в сигнатуре а выделена подсигнатура а0, и термин Т не принадлежит а0, но сохраняет одно и то же значение для всех моделей теории 77*, в которых совпадают значения терминов из о0, то Т определим через а0 в теории Th.» Эти две теоремы сохраняются лишь для малого числа неклассических логик. Более распространенным свойством является нормализуемость выводов, позволяющая в принципе устранить леммы из доказательств. Оно также выполнено для интуиционистской логики. Выполнено для нее и свойство корректности относительно v и 3 : если доказано A v В, то доказано либо А, либо В; если доказано 3 хА(х), то для некоторого t доказано Aft). Данным свойством классическая логика не обладает. Интуиционистская логика – единственная логика среди континуума логик с тем же языком, что и классическая, для которой выполнены все эти свойства. Таким образом, она может служить основой для содержательных математических теорий, поскольку в ней интуитивная определимость совпадает с формальной. Хотя множества теорем и доказательств интуиционистской логики по объему уже соответствующих множеств классичес-

138

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА кой, последняя вкладывается в интуиционистскую. Первым такое погружение осуществил Гливенко. Таким образом, выразительные возможности интуиционистской логики сильнее классической. В свою очередь, К. Гёдель показал, что интуиционистская логика вкладывается в модальную логику S4. При этом погружении связки &, V , 3 остаются без изменения, а на элементарные формулы и на результаты применения остальных связок навешивается модальность. Интуиционистская логика не может быть описана никакой конечной системой логических значений, и, более того, для нее неестественно описание с помощью таблиц истинности (хотя счетнозначные таблицы истинности для нее существуют). Но она имеет несколько математических интерпретаций. Исторически первой была интерпретация А. Тарского. В ней значениями истинности для предикатов являются открытые подмножества топологического пространства. Значения &, V , 3 определяются булевым образом. Значение ~i А есть внутренность дополнения значения А. Это вызвано тем, что дополнение открытого множества часто не является открытым. Аналогично определяются значения А => Вк V хА(х). Напр., несправедливость А V — А можно продемонстрировать следующим образом: объединение открытого единичного круга и внутренности его дополнения дает не всю плоскость, а плоскость без единичной окружности. Следующей интерпретацией была алгебраическая модель – алгебры Линденбаума-Тарского для интуиционистских теорий. Их называют псевдобулевыми алгебрами. Эти алгебры впервые были созданы для данной цели, но оказались распространенной и широко применимой структурой. Параллельно с этим развивалась линия, ведущая начало от бра– уэровского содержательного смысла интуиционистской логики. Формулы истолковывались как задачи, логические связки – как преобразования задач, аксиомы – как задачи, для которых решения считаются известными, а правила вывода – как преобразования решений задач. Данные идеи систематизировал А. Н. Колмогоров. Каждой формуле А сопоставляется множество ее реализаций ®. Каждая реализация считается решением задачи, соответствующей А. Реализации элементарных формул задаются по определению. ®(А&В) = ®А х ®В, где ®{А&В) это пара реализаций <®А®В> ®(AvB) = ®А® ®В, где ®(Av В) – реализация А или В с указанием, какая из подзадач решена; ® "~1А = 0 <=> ®А = 0, где ® —IA – стандартный элемент, например О, при условии, что задача А неразрешима; ® 3хА(х) =©aGu ®A(a), где ®3хА(х) – это пара из значения х0 и решения А(х0). Реализациями А => В являются эффективные функционалы из ®А в ®В. Реализациями V хА(х) являются эффективные функционалы, перерабатывающие каждое а е U в реализацию ^(а). В данном определении остается не уточненным понятие эффективного функционала. Оно может уточняться по-разному, в частности, если взять в качестве эффективных функционалов все классические функции, то логика превращается в классическую. С. К. Клини построил первый точный вариант реализуемости, взяв в качестве эффективных операторов алгоритмы и кодируя программы алгоритмов натуральными числами, обходя таким образом сложности с операторами высших типов (клнниевская реализуемость). Он показал, что из Доказательства в интуиционистской арифметике извлекается клиниевская реализация доказанной теоремы, и, таким образом, если мы доказали ЗхА(х), то имеется такое п, что доказано А(п). Это точно обосновало тезис Брауэра о том, что интуиционистские доказательства дают, в отличие от классических, построения. Еще одна семантика интуиционистской логики берет начало от Бета и развита Крите. Это – один из видов моделей Крип– ке. Множество миров – частично-упорядоченное множестю (достаточно рассматривать дерево), истинность элементарных формул сохраняется при подъеме, универсумы не уменьшаются при подъеме, значения &, V , 3 определяются локально, w = A Z) Во Vv>w(v = А*> V = В), w = —А» V v >w(—v = A),w= V xA(x)oV v> w(V aG Uvv=A(a)),me v и w – это «переменные по мирам». Данные пункты практически повторяют на семантическом уровне гёделево погружение интуиционистской логики в S4. Модели Крипке изоморфны алгебраическим и топологическим моделям (порядок определяет псевдобулеву алгебру верхних отрезков множества миров и топологию, в которой окрестностями служат верхние отрезки). Уникальным для неклассических логик является наличие у интуиционистской логики двух разнородных и несводимых друг к другу классов семантик: реализуемостей и моделей Крипке. Аналогия между доказательствами в интуиционистской логике и построениями усилена X. Б. Карри в его «Комбинаторной логике» (Combinatory Logic, 1968). Замкнутые типизированные выражения в комбинаторной логике изоморфны выводам в гилъбертовской формулировке импликативного фрагмента интуиционистской логики. Замкнутые типизированные Х-термы изоморфны выводам в импликативном фрагменте естественного вывода. Изоморфизм между выводами и X.-термами пытались расширить на всю интуиционистскую логику, обобщая ^-исчисление. Но на этом пути стоит препятствие, указанное еще Брауэром и явно выделенное Н. А. Шаниным. Выводы в интуиционистской логике соединяют построения и их обоснования. В частности, построения, проделанные при выводе i А, нельзя вычислять, поскольку они приведут к ошибке. Но подобным же действием могут обладать и другие импликации, в частности, закон транзитивности V xyz (А(х, у) &A(y,z)=>A(x,z). Здесь может привести к нежелательным последствиям вычисление у. Такие объекты, которые нельзя или не нужно вычислять в программе, но нужно рассматривать для ее обоснования, ввел Г. С. Цейтин и назвал «призраками». Н. А. Шанин рассмотрел алгоритм конструктивной расшифровки, разбивающий формулу на задачу и обоснование решения, причем вторая часть могла доказываться классически. Его решение имеет место для рекурсивной реализуемости в теории, пополненной принципом Маркова: V x(A(x)V -пА(х))&-]-3 хА(х) => ЗхА(х). Содержательный смысл данного принципа раскрывается изречением «Ищите и обрящете»: если известны критерии проверки правильности решения и доказано его существование, то его может найти машина полным перебором. Н. Н. Непейвода дал алгоритм классификации объектов внутри произвольного вывода в интуиционистской логике, отделяющий действующие объекты и формулы от бездействующих, порождающих лишь обоснования и призраки. Интуиционистскую логику пытались варьировать многими способами. Первой вариацией была минимальная логика Иогансона, получающаяся отбрасыванием ex falso sequitur quodlibet. Как оказалось, в прикладных теориях интуиционистское отрицание тем не менее моделируется (напр., в любой теории, содержащей натуральные числа, какА=> 0=1). Но минимальная логика, как и интерпретация Колмогорова, высветила аномальный статус отрицания в интуиционистской ло-

139

ИНТУИЦИЯ гике. Это – единственная связка, не требующая никакого построения. В связи с этим Грис предложил симметрическую интуиционистскую логику, в которой истина и ложь определяются одновременно и равноправно. В симметрической интуиционистской логике сохраняются обычные правила формулировки отрицаний классической логики, и в ее натуральном варианте они даже постулируются в качестве правил вывода. Отрицание в ней обычно обозначается ~А и называется «сильным отрицанием», или «конструктивным опровержением». Оно интерпретируется как задача на построение контрпримера к А Симметрическая интуиционистская логика детально исследована в монографии И. Д. Заславского. Ю. М. Медведев предложил рассматривать логику финитных задач и заметил, что, если функционалы всюду определены, то формула (-1 /4=>?VC=> ((- А=>В) V (~i A=>C)) реализуема (реализация ~~i A стандартна, и ее можно подставить в функционал, чтобы выявить единственного кандидата на решение среди В, С). Вслед за этим начали рассматриваться многочисленные суперинтуиционистские логики, получающиеся расширением интуиционистской логики некоторыми схемами аксиом. Почти все они либо влекут закон исключенного третьего в прикладных теориях, либо не удовлетворяют теореме Крейга об интерполяции и теореме Бета. Так что интуиционистская логика занимает уникальное место в классе неклассических логик, не только как старейшая из них, но и как концептуально целостная система. Лит.: Brouwer L. Е. J. Over de grondslagen der wiskunde (Об основаниях знания). Amst.—Lpz., 1907; Brouwer L. E.J. De onbetrouwbaarheid der logische principes (О недостоверности логических принципов). – Ti– jdsehz voor Wijsbegeerte, v. 2, 1908; Kolmogorqff A. Zur Deutung der intu– itionistischen Logik. – «Math. Zeitschrift», v. 35,1932 (рус. пер.: К толкованию интуиционистской логики. – В кн.: Колмогоров А. Н. Избр. тр., Математика и механика. М., 1985); HeytingA. Die formalen Regeln der Intuitionistischen Logik. – Sitz. Der Pneus. Akad., Phys.-mathematische Klasse. В., 1930; Tarski A. Der Aussagenkalkul und die Topologie.– «Fundamente Mathematical, v. 31, 1938; Curry H. B. Combinatory Logic, v. 2. N. Y, 1968; Шанин H. A. О конструктивном понимании математических суждений,– В кн.: Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 52,1958; Непейвода H. H. О построении правильных программ. – «Вопросы кибернетики», т. 46,1978, с. 88—122.