Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (МА)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 133 (всего у книги 155 страниц)
Математический горизонт
Математи'ческий горизо'нт , см. Горизонт .
Математический институт
Математи'ческий институ'т имени В. А. Стеклова Академии наук СССР (МИАН), центральное советское научно-исследовательское учреждение, разрабатывающее вопросы математики; находится в Москве; имеется отделение в Ленинграде. Существует как самостоятельное учреждение с 1934, когда он выделился из состава Физико-математического института АН, организованного В. А. Стекловым в 1921. С момента основания институт был возглавлен И. М. Виноградовым , который является директором и в настоящее время (1974). На базе отделов института организован ряд учреждений АН: институт механики АН СССР (ныне Проблем механики институт АН СССР), Точной механики и вычислительной техники институт АН СССР, Прикладной математики институт АН СССР, Вычислительный центр АН СССР, Математики институт Сибирского отделения АН СССР, Математики и механики институт Уральского научного центра АН СССР.
В институте разрабатываются наиболее важные проблемы теории чисел, алгебры, математической логики, геометрии, топологии, теории функций, дифференциальных уравнений, математической теории оптимального управления, теории вероятностей, математической статистики и других разделов математики, а также важные проблемы механики и теоретической физики. Научными сотрудниками института выполнен ряд работ, имеющих фундаментальное значение. Авторы многих из них удостоены Ленинских и Государственных премий СССР. Институт издаёт «Труды» (с 1931). Имеется аспирантура. Награжден орденом Ленина (1967).
Ю. В. Прохоров.
Математический интуиционизм
Математи'ческий интуициони'зм, философско-математическое течение, отвергающее теоретико-множественную трактовку математики и считающее интуицию единственным источником математики и главным критерием строгости её построений. Восходящая к античной математике интуиционистская традиция в той или иной степени разделялась такими учёными, как К. Ф. Гаусс , Л. Кронекер , А. Пуанкаре , А. Лебег , Э.Борель , Г. Вейль . С развёрнутой критикой классической математики и радикальной программой интуиционистского переустройства математики выступил в начале 20 века Л. Э. Я. Брауэр . Формирование этой программы, которую ныне и принято называть «интуиционизмом» (сам Брауэр использовал термин «неоинтуиционизм»), проходило в острой полемике с математическим формализмом на фоне вызванного антиномиями теории множеств кризиса оснований математики. Брауэр решительным образом отвергал как веру в актуальный характер бесконечных множеств (см. Бесконечность в математике), так и правомерность экстраполяции в область бесконечного выработанных для конечных совокупностей законов традиционной логики. Согласно интуиционистским воззрениям, предметом исследования математики являются умственные построения, рассматриваемые как таковые «безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них» (А. Гейтинг, Нидерланды). Математические утверждения – суть некоторая информация о выполненных построениях. Обращение с умственными построениями требует особой логики – так называемой интуиционистской логики, не принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объёме исключённого третьего принципа .
В серии статей начиная с 1918 Брауэр и его последователи осуществили построение основных разделов интуиционистской математики – теории множеств, математического анализа, топологии, геометрии и так далее. В настоящее время (70-е годы 20 века) интуиционистская математика является достаточно глубоко разработанным направлением. Требования интуиционистской программы обоснования математики приводят к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают весьма необычный вид. Это связано с отказом рассматривать актуально заданные бесконечные множества как объект исследования и с требованием эффективности всех осуществляемых построений. Весьма своеобразным является основное орудие М. и. – концепция свободно становящейся последовательности (в другой терминологии – последовательности выбора) и связанная с ней новая трактовка числового континуума как «среды становления» последовательности измельчающихся рациональных интервалов (в противовес традиционной точке зрения, конструирующей континуум из отдельных точек). В своей простейшей форме свободно становящаяся последовательность (ссп) есть функция, перерабатывающая натуральные числа в натуральные и такая, что любое её значение может быть эффективно вычислено. Точное исследование показывает, что следует различать несколько видов ссп в зависимости от степени информации, известной исследователю о ссп. Считая критерием верности построений прежде всего интуицию, и в противовес формализму, Брауэр возражал против попыток формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской логики. Но «интуиция» интуиционизма, независимо от философских установок и взглядов на неё Брауэра и Вейля, – это, в основной своей части, наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов (см. Конструктивная математика ), складывающаяся у людей в процессе их социального развития, обучения и воспитания и как таковая вполне допускающая исследование точными методами. Значительные успехи были достигнуты в изучении интуиционистской логики именно после того, как основные ее законы были точно сформулированы в виде исчислений, к которым можно было применять точные методы математической логики. Можно упомянуть, например, известную интерпретацию интуиционистского исчисления предикатов, предложенную А. Н. Колмогоровым , погружение классической формальной арифметики в интуиционистскую (К. Гедель ), доказательство независимости логических связок и невозможность представления интуиционистского исчисления предикатов в виде конечнозначной логики (К. Гедель), теорию моделей для интуиционистской логики и многие другие факты, выясняющие значение и особенности интуиционистское логики по сравнению с классической, которые принципиально не могли бы быть получены без предварительной точной формулировки. Точная формулировка законов интуиционистской логики и интуиционистской арифметики была предложена уже в 30-е годы 20 века Гейтингом. Удовлетворительное построение теории ссп и более высоких разделов интуиционистской математики было завершено лишь к 70-м годам (С. Клини и другие). М. и. находится в стадии дальнейшей интенсивной разработки. Внимание М. и. к эффективности получаемых результатов находится в прекрасном согласии с вычислительной тенденцией в современной математике и привлекает к интуиционистской логике большое число плодотворно работающих математиков. В СССР группа математиков-логиков во главе с А. А. Марковым занимается разработкой конструктивной математики – близкого к М. и. направления (см. Конструктивное направление в математике).
Лит.: Вейль Г., О философии математики. Сборник работ, перевод с немецкого, М. – Л., 1934; Гейтинг А., Интуиционизм, перевод с английского, М., 1965; Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, перевод с английского, М., 1966.
А. Г. Драгалин Б. А. Кушнер.
Математический маятник
Математи'ческий ма'ятник, материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически М. м. можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, масса нити очень мала по сравнению с массой груза. См. Маятник .
«Математический сборник»
«Математи'ческий сбо'рник», советский научный журнал, публикующий оригинальные научные исследования, относящиеся к различным разделам математики. Издаётся в Москве. Основан в 1866 Московским математическим обществом («М. с.» – старейший из издающихся в СССР математических журналов). В 1932—35 выходил как объединённый орган Московского, Ленинградского и Казанского математических обществ; с 1936 – орган АН СССР, а с 1948 – АН СССР и Московского математического общества. «М. с.» первоначально издавался на средства, собранные среди членов общества; из-за финансовых трудностей в некоторые годы выходил нерегулярно. С 1926 выходит регулярно, по одному тому в год (до 1934 по 4 номера, а в 1935—1937 по 6 номеров); с 1938 ежегодно выходит 2 тома по 3 номера, а с 1956 – 3 тома в год по 4 номера каждый, с 1936 ведётся «Новая серия» и идёт двойная нумерация томов [с 1(43)]. Тираж (1974) около 2 тысяч экземпляров.
Математический союз
Математи'ческий сою'з международный (International Mathematical Union, IMU), научное объединение математиков, созданное в 1952. Членами М. с. (1972) являются 43 страны, в том числе СССР (с 1957), Польша, Венгрия, Чехословакия, ГДР, КНДР, Румыния, Югославия, Болгария, Куба. Страны – члены М. с. разбиты на 5 групп: члены 5-й, старшей группы – СССР, США, Великобритания; члены 4-й – Япония, Франция, Италия, ФРГ, Польша. Высший орган М. с. – Генеральная ассамблея, созываемая 1 раз в 4 года, обычно непосредственно перед очередным Международным конгрессом математиков (см. Математические конгрессы международные). Практическое руководство осуществляется Исполкомом, избираемым Генеральной ассамблеей на 4 года. В состав Исполкома входят президент, 2 вице-президента, генеральный секретарь, 5 членов и бывший президент М. с. (с правом совещательного голоса).
С 1 января 1971 по 1 января 1975 президент М. с. – профессор К. Чандрасекхаран (Индия), вице-президенты – профессор Н. Джекобсон (США) и академик Л. С. Понтрягин (СССР), генеральный секретарь – профессор О. Фростман (Швеция). Исполком М. с. собирается для рассмотрения текущих дел не реже 1 раза в год.
Страны – члены М. с. осуществляют своё участие в союзе через Национальные комитеты математиков; Национальный комитет советских математиков, созданный в 1957, функционирует при АН СССР (председатель – академик Виноградов).
Задачи М. с.: организация и поощрение международного сотрудничества в области математики; подготовка научной программы и помощь в организации Международных конгрессов математиков; поддержка исследований в области математики в развивающихся странах, содействие подъёму уровня математического образования в этих странах, содействие повышению уровня математического образования во всех странах; содействие развитию прикладных разделов математики и внедрению математических методов в другие науки.
При М. с. функционируют комиссии по математическому образованию и по научному обмену. В обеих комиссиях участвуют советские математики. Комиссия по математическому образованию созывает раз в 4—5 лет международные конгрессы по математическому образованию.
М. с. оказывает научную организационную и финансовую помощь важнейшим международным мероприятиям в области математики – конференциям, симпозиумам, летним школам. М. с. организует (а также издаёт и распространяет) циклы лекций в крупных научных центрах по актуальным направлениям современной математики. М. с. оказывает помощь в посылке высококвалифицированных лекторов в развивающиеся страны для подъёма уровня научных исследований в этих странах.
Л. С. Понтрягин, А. Б. Жижченко.
Математический формализм
Математи'ческий формали'зм , одно из основных направлений в основаниях математики, представители которого, следуя Д. Гильберту , считают, что каждый раздел математики может (а на достаточно продвинутой стадии своего построения и должен) быть подвергнут полной формализации , то есть излагаться в виде исчисления (формальной системы ), развивающегося по некоторым вполне определённым правилам ; при этом гарантией правомерности существования и изучения какого-либо раздела математики должна быть не интерпретация его в терминах некоторой внешней по отношению к нему действительности, а исключительно его непротиворечивость . Эти тезисы (в особенности второй) связаны, с далеко идущими следствиями лишь по отношению к тем разделам математики, которые имеют дело с какой-либо формой понятия бесконечности . Последовательная формулировка концепции М. ф. как раз и возникла в качестве одной из реакций на парадоксы , обнаруженные в рамках изучающей это понятие множеств теории . Коротко говоря, эта концепция сводится к утверждению о содержательной истинности «финитных» (то есть содержательно интерпретируемых, не использующих понятия бесконечности) выводов из математической теории, если только непротиворечивость этой формализованной теории доказана финитными средствами.
Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, перевод с немецкого, М. – Л., 1948, добавл. 6—10; Клини С. К., Введение в метаматематику, перевод с английского, М., 1957, § 8, 14, 15, 42, 79 (библ.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959 (введение); Чёрч А., Введение в математическую логику, перевод с английского, т. 1, М., 1960 (введение); Генцен Г., Непротиворечивость чистой теории чисел, перевод с немецкого, в книге: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с.77—153: Карри Х. Б., Основания математической логики, перевод с английского, М., 1969, гл. 1—4.
Ю. А. Гастев.
Математическое обеспечение
Математи'ческое обеспече'ние ЦВМ, система программ, приданная к конкретной ЦВМ и предназначенная для обеспечения её использования, а также математические методы и алгоритмы решения задач, по которым составлены данные программы. Состоит из общего М. о., разрабатываемого предприятием (фирмой), поставляющим ЦВМ, и специального М. о., разрабатываемого пользователями машины. Общее М. о. поступает в распоряжение каждого пользователя. Стоимость общего М. о. входит в стоимость ЦВМ и составляет значительную её часть (30 % и более).
Начальные формы М. о. можно найти уже у машин первого поколения (например, так называемая система ИС-2 для ЦВМ М-20, состоящая из библиотеки подпрограмм и программы-библиотекаря). Однако полное М. о. для ЦВМ первого поколения было невозможно из-за их низкого быстродействия и малого объёма оперативной памяти. Эксплуатация ЦВМ второго и третьего поколений без общего М. о. (и, в частности, без операционной системы) уже невозможна.
Программа, принадлежащая М. о. ЦВМ, должна быть выполнимой на данной ЦВМ, при необходимости с использованием некоторых других программ системы М. о.; обладать структурой, принятой в системе М. о.; должна быть оформленной и снабженной инструкциями, установленными в системе М. о.; быть зарегистрированной и введённой в систему М. о. в соответствии с принятыми правилами. Приведённые условия обеспечивают совместимость программ, принадлежащих системе М. о., и возможность их применения любым пользователем.
Общее М. о. обычно состоит из операционной системы, средств поддержания системы М. о. в рабочем состоянии, средств программирования и приложений. К М. о. должны быть отнесены также испытательные программы, предназначенные для контроля исправности ЦВМ, которые, однако, используются лишь персоналом, обслуживающим ЦВМ, не применяются при программировании и не влияют на него.
Операционная система представляет собой программное дополнение ЦВМ, вместе с которой образует как бы новую машину, обладающую собственной системой операций и своим машинным языком . К операционной системе относятся программы, обеспечивающие: ввод заказов на выполнение работ; предварительное планирование хода выполнения работ и распределение оборудования машины; ввод программ или их частей; оперативное выполнение работ, статистический учёт используемого оборудования и расхода машинного времени; вывод информации. Чёткое распределение функций между отдельными программами операционной системы и однозначная терминология к 1974 ещё не сложились. Программы ввода программ и их частей обычно называют загрузчиками, программу предварительного планирования хода работ – планировщиком (иногда монитором), программу оперативного управления работами – диспетчером (иногда супервизором). Остальные программы в разных системах М. о. имеют различные названия.
Состав операционной системы и внутренняя структура её программ в значительной степени зависят от так называемой конфигурации ЦВМ, то есть от входящего в её состав оборудования (ЦВМ одного и того же типа могут отличаться числом блоков памяти на магнитных дисках и магнитных лентах , количеством устройств ввода и вывода и другим) и его функциональных взаимосвязей, а также от класса задач, для решения которых главным образом предназначается ЦВМ, и от режима её использования. Наиболее известные операционные системы предназначены для решения научно-технических и экономических задач.
Средствами для поддержания системы М. о. в рабочем состоянии служат программы дублирования материалов на машинных носителях записи, формирования библиотек подпрограмм, программы выполнения «ежедневного туалета» операционной системы (например, «чистка» магнитных лент и дисков, редактирование информации) и тому подобное. К этому же разделу М. о. относятся программы, с помощью которых в начале эксплуатации ЦВМ получают некоторый вариант информационной системы, соответствующий имеющейся конфигурации ЦВМ, и вносят изменения в операционную систему в связи с изменением конфигурации ЦВМ или при модернизации операционной системы.
Средства программирования объединяют разнообразные программы, используемые для составления новых программ: трансляторы с различных алгоритмических языков; программы, собирающие программы из так называемых модулей; программы, автоматизирующие отладку вновь разрабатываемых программ, и другие.
Система средств программирования предусматривает обычно использование алгоритмических языков (так называемых входных языков программирования) трёх уровней: машинно-ориентированных языков (типа языка ассемблера); проблемно-ориентированных алгоритмических языков, удобных для программирования узких классов задач (например, язык RPG, принятый для ЦВМ фирм IBM, ICL и многие другие); одного или нескольких универсальных алгоритмических языков, таких, как алгол, фортран, кобол. Возможность отладки на ЦВМ программ, заданных на алгоритмических языках, должна быть заложена либо в самих трансляторах, либо обеспечена с помощью самостоятельных отладочных программ.
Система средств программирования ЦВМ третьего поколения, как правило, основывается на модульном принципе. Модулями называются массивы информации, заданные на алгоритмическом языке вычислительной системы или на входном языке программирования. Массивы, заданные на входных языках программирования, должны содержать информацию, необходимую для их преобразования в модули. Программу, собирающую программы из модулей, иногда называют «композером». В составе операционной системы иногда предусматривают библиотеку модулей (на языке исполнительной системы). Новые модули, составленные в процессе программирования, могут быть включены в состав библиотеки модулей с помощью соответствующей программы из числа средств поддержания системы М. о.
В раздел «приложения» системы М. о. входят программы решения конкретных задач, например таких, как транспортная задача, задача решения системы линейных уравнений, распределительная задача линейного программирования, задача выравнивания динамических рядов и пр. Программы, входящие в «приложения», обычно группируются по классам задач (например, пакет линейной алгебры, пакет математической статистики и другие).
Существуют два способа разработки общего М. о. При первом способе М. о. разрабатывается и отлаживается на вспомогательной ЦВМ, на которой для этого программно моделируется исполнительная ЦВМ. Этот способ удобен тем, что М. о. можно разрабатывать заблаговременно, в отсутствии исполнительной ЦВМ. Однако при этом необходимо наличие достаточно мощной вспомогательной ЦВМ, уже имеющей М. о. При втором способе М. о. разрабатывают уже после появления хотя бы опытного образца исполнительной ЦВМ. Разработка М. о. ведётся таким образом, чтобы уже имеющиеся части М. о. могли быть использованы при создании недостающих частей. Экономически выгодно при разработке новых ЦВМ сохранять в них систему команд ЦВМ, разработанных ранее и уже имеющих М. о. При этом все программы, разработанные для уже действующих ЦВМ, могут быть использованы и в новой ЦВМ, если последняя укомплектована достаточным оборудованием.
М. о. размещается в ЦВМ следующим образом. Основная часть диспетчер-программы (называется резидентом) обычно находится в оперативной памяти ЦВМ; остальные части диспетчер-программы и другие программы М. о. размещаются во внешних запоминающих устройствах. Возможны случаи повреждения диспетчер-программы в процессе эксплуатации ЦВМ, поэтому в машине обычно хранится легко доступная копия резидента. Оперативная память ЦВМ делится на 3 части: область резидента, рабочее поле, на которое в процессе работы резидент вызывает необходимые части операционной системы (не вошедшие в состав резидента) из внешних запоминающих устройств, и область пользователей, на которой размещаются программы (или части программ) решаемых задач, исходная информация и получаемые результаты. Значительная часть внешних запоминающих устройств, не занятая материалами М. о., также является областью пользователей. Эффективное использование М. о. возможно лишь в том случае, когда область пользователей достаточно велика, что возможно лишь при больших объёмах памяти ЦВМ. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при выборе ЦВМ.
Специальное М. о. разрабатывается пользователями ЦВМ для решения своих конкретных задач с учётом всех возможностей, представляемых общим М. о. В состав специального М. о. могут входить трансляторы с новых языков (не входящие в общее М. о.), разработанные пользователем дополнительные программы контроля ЦВМ, программы решения отдельных задач или классов задач и т. п. Как исключение, в состав М. о. могут входить программы, дополняющие операционную систему. В особых случаях программы, входящие в состав специального М. о., разрабатывают непосредственно на языке машины, для того чтобы исключить использование операционной системы. Это делают тогда, когда к разрабатываемым программам предъявляются высокие требования, которым операционная система не удовлетворяет.
Лит.: Ледли Р. С., Программирование и использование цифровых вычислительных машин, перевод с английского, М., 1966; Флорес А., Программное обеспечение, перевод с английского, М., 1971; Джермейн К. Б., Программирование на IBM-360, перевод с английского, М., 1971; Липаев В. В., Колин К. К., Серебровский Л. А., Математическое обеспечение управляющих ЦВМ, М., 1972; Виленкин С. Я., Трахтенгерц Э. А., Математическое обеспечение управляющих вычислительных машин, М., 1972; Тараканов К. В., Общие принципы и структура математического обеспечения автоматизированных систем управления в сборнике: Цифровая вычислительная техника и программирование, в. 7, М., 1972.
Н. А. Криницкий.
