Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (МА)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 132 (всего у книги 155 страниц)
Математическая школа
Математи'ческая шко'ла , одно из направлений в буржуазной политической экономии. Возникла во 2-й половине 19 века. Основатель М. ш. – Л. Вальрас , видные представители – В. Парето , У. Джевонс , Ф. Эджуорт , И. Фишер , Г. Кассель , К. Викселль . Из предшественников М. ш. наиболее известны А. Курно и Г. Госсен . Подход М. ш. к основным проблемам политической экономии, как правило, мало отличается от концепций, господствовавших в буржуазной экономической мысли 2-й половины 19 века и 1-й трети 20 века.
Специфическая особенность теоретических построений М. ш. – ориентация на маржинализм . Активное использование предельных категорий (предельная полезность, предельная эффективность, предельная производительность), принципа убывания полезности и принципа редкости роднит М. ш. с австрийской школой .
Однако место М. ш. в истории экономической науки определено тем, что она придаёт решающее значение математике как методу изучения экономических явлений. Именно этот принцип объединил порой сильно отличавшихся по своим экономическим взглядам учёных в рамках М. ш.
Для М. ш. ценность математических моделей экономических явлений состоит не столько в том, что они позволяют лаконичным образом описывать эти явления, сколько в том, что с их помощью можно получить из высказанных предпосылок выводы, которые иным путём не могут быть получены. Представители М. ш., и особенно Вальрас, видели в математике метод для исследования как частных, так и глобальных народно-хозяйственных явлений. Типичной является модель равновесия народного хозяйства Вальраса. В отличие от модели народного хозяйства послекейнсианского периода, эта модель основывается не на макроэкономических показателях типа национального дохода, численности занятых, валовых инвестиций, а на показателях, характеризующих поведение отдельных производителей и потребителей (так называемый микроэкономический подход). Каждый производитель характеризуется функцией предложения, а каждый потребитель – функцией спроса. В модели с помощью равновесных цен обеспечивается равенство спроса и предложения по каждому товару. Из возникшего равновесия система может быть выведена только с помощью внешних сил. Осуществленный Вальрасом, Джевонсом, Парето анализ условий равновесия рыночной экономики оказал большое влияние на буржуазных экономистов середины 20 века, занимавшихся проблемами построения математических моделей капиталистической экономики.
Модели Вальраса и других представителей М. ш. далеки от того, чтобы адекватно описывать даже экономику капитализма периода свободной конкуренции. Они упрощают, а часто и искажают реальные условия функционирования капиталистической системы хозяйства. Достаточно указать на статичность этих моделей, на игнорирование циклического характера развития капиталистической экономики, классовой борьбы и т. д. Вместе с тем модели, разработанные М. ш., сыграли и известную положительную роль, стимулируя исследования, приведшие к созданию в 50-е годы 20 века межотраслевой модели народного хозяйства на основе метода «выпуск – затраты», а также к получению интересных результатов в области ценообразования в условиях экономического равновесия (модели Д. Гейла, Дж. К. Эрроу, Г. Дебре и других).
Возрастание престижа М. ш. в буржуазной экономической науке во 2-й половины 20 века в большой степени связано также с тем значением, которое приобрели экономико-математические модели в практике государственно-монополистического регулирования капиталистической экономики.
Работы представителей М. ш. всегда привлекали внимание экономистов-марксистов. Глубокий критический анализ их осуществил ещё в 20-е годы советский экономист И. Г. Блюмин. В связи с тем, что с 60-х годов в советской экономической науке резко возрастает сфера использования математических методов, М. ш. вновь становится объектом интенсивного критического анализа.
Лит.: Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 1, М., 1962; Шляпентох В. Э., Эконометрика и проблемы экономического роста, М., 1966.
В. Э. Шляпентох.
Математические журналы
Математи'ческие журна'лы . Специальные М. ж., являющиеся органами различных научных учреждений, обществ и объединений, возникли в начале 19 века. В 70-е годы 20 века во всём мире насчитывается более 250 М. ж. Значительно возросший выпуск математических публикаций сделал необходимым издание реферативных журналов по математике. Расширение математического образования привело к созданию М. ж., посвященных педагогическим вопросам и методике преподавания математики (главным образом в средних учебных заведениях).
Общие журналы. Отдельные математические статьи впервые стали печататься в общих журналах. Исторический интерес представляют: «Journal des savants» (P. – Amst. – Lpz., с 1665), в котором публиковались работы братьев Бернулли по исчислению бесконечно малых; «Acta eruditorum» (Lpz., 1682—1731), здесь напечатаны многочисленные работы Г. Лейбница по дифференциальному и интегральному исчислению, изложение содержания «Математических начал натуральной философии» И. Ньютона , а также статьи Г. Лопиталя , Бернулли и других виднейших математиков; «Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae» (П., 1728—51, название неоднократно менялось, подробнее см. «Известия Академии наук СССР» ). В изданиях Петербургской АН были помещены 43 работы Д. Бернулли, 473 работы Л. Эйлера (печатались до 1830), а также работы знаменитых русских математиков (М. В. Остроградского – 60, В. Я. Буняковского – 103, П. Л. Чебышева – 50, Е. И. Золотарева – 6, А. А. Маркова – 51, А. М. Ляпунова – 20, В. А. Стеклова – 47).
Многочисленные научные общества и университеты в различных городах России и СССР выпускали и выпускают свои издания: «Известия», «Труды», «Сообщения», «Сборники работ» и т. п., в которых имеются также математические статьи. Среди этих изданий: «Казанский вестник» (1821—33) и его продолжение «Ученые записки Казанского университета» (с 1834), в которых впервые опубликованы важнейшие сочинения Н. И. Лобачевского , «Известия Физико-математического общества при Казанском университете» (с 1891), «Ученые записки императорского Московского университета» (1833—36), «Ученые записки Московского университета. Отдел физико-математический» (1880—1916), «Ученые записки Московского университета» (с 1933).
Различные общие издания иностранных академий, университетов и научных обществ также отводят значительное место математическим публикациям.
Ряд общих журналов имеет целью быстрое опубликование коротких предварительных сообщений о достигнутых результатах по математике. Основные журналы этого типа: «Доклады Академии наук СССР» (с 1922), «Comptes rendus de I ‘Académie des sciences» (P., с 1835), «Proceedings of the National Academy of sciences of the United States of America» (Wash., с 1915).
Специализированные математические журналы. Старейшие М. ж., издающиеся и в настоящее время (1974): «Математический сборник» (с 1866), «Journal für die reine und angewandte Mathematik» (В., с 1826), «Journal de mathématiques pures et appliquées» (P., с 1836), «Annales scientifiques de l’Ecole normale supérieure» (P., с 1864), «Proceedings of the London Mathematical Society» (L., с 1865),«Mathematische Annalen» (В. – Lpz., с 1869), «Bulletin de la Société mathématique de France» (P., с 1872), «American Journal of Mathematics» (Bait., с 1878), «Acta mathematica» (Uppsala – Stockh., с 1882), «Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society» (Edin., с 1883), «Annals of mathematics» (Princeton, с 1884), «Rendiconti del Circolo matematico di Palermo» (Palermo, с 1884), «Bulletin of the American Mathematical Society» (Lancaster, с 1891).
Специализированные М. ж. более позднего периода: «Известия АН СССР. Серия математическая»
(с 1937), «Успехи математических наук» (с 1946), «Украинский математический журнал» (К., с 1949), «Сибирский математический журнал» (Новосиб., с 1960), «Математические заметки» (с 1967), «Transactions of the American Mathematical Society» (Lancaster, с 1900), «Biometrika» (L., с 1901), «Mathematische Zeitschrift» (West-B., с 1918), «Fundamenta mathematicae» (Warsz., с 1920), «Journal of the London Mathematical Society» (L., с 1926), «Quarterly Journal of Mathematics» (Oxf., с 1930), «Scripta mathematica» (N. Y., с 1931), «Duke Mathematical Journal» (Durhem, с 1935), «Quarterly of Applied Mathematics» (Providence, с 1943), «Journal of the Mathematical Society of Japan» (Tokyo, с 1948), «Annales de I’lnstitut Fourier» (Grenoble, с 1949), «Canadian Journal of Mathematics» (Toronto, с 1949), «Mathematikai lapok» (Bdpst, с 1949), «Mathematische Nachrichten» (В., с 1948), «Studii si cercetări matematice» (Buc., с 1950), «Proceedings of the American Mathematical Society» (Providence, с 1950), «Nagoya Mathematical Journal» (Nagoya, с 1950), «Acta mathematica Academiae scientiarum hungaricae» (Bdpst, с 1950), «Časopis pro pěstováni matematiky» (Praha, с 1951), «Publications de I’lnstitut mathématique de Belgrade» (Belgrade, с 1947), «Michigan Mathematical Journal» (Ann Arbor, с 1952), «Ricerche di matematica» (Napoli, с 1952), «SIAM Journal on Applied Mathematics» (Phil., с 1953), «Publications of the Mathematical Society of Japan» (Tokyo, с 1955), «Revue roumaine de mathématiques pures et appliquées» (Buc., с 1956), «Известия на Математическия институт (Българска Академия на науките)» (София, с 1953), «Illinois Journal of Mathematics» (Urbana, с 1957), «Monatshefte für Mathematik» (W., с 1948), «The Journal of the Australian Mathematical Society» (Groningen – Melbourne, с 1959), «Advances in Mathematics» (N. Y., с 1961), «Osaka Journal of Mathematics» (Osaka, с 1964), «Bulletin of the London mathematical society» (L., с 1969), «Mathematica balkanica» (Belgrad, с 1971).
Журналы по отдельным разделам математики. Бурное развитие математики во 2-й половине 20 века вызвало необходимость создания М. ж., посвященных отдельным её разделам. В их числе: «Теория вероятностей и её применения» (с 1956), «Журнал вычислительной математики и математической физики» (с 1961), «Дифференциальные уравнения» (Минск, с 1965), «Функциональный анализ и его приложениях» (с 1967), «Bulletin of Mathematical Statistics» (Fukuoka, с 1947), «Calcutta Statistical Association Bulletin» (Calcutta, с 1947), «Journal of Applied Probability» (Michigan, с 1964), «Journal of the Royal Statistical Society. Series C» (L., с 1952), «Metrika» (W. – Würzburg, с 1958), «Operational Research Quarterly» (L., с 1950), «Sankhya. The Indian Journal of Statistics» (Calcutta, с 1933), «Zeitschrift für Wahrscheilichkeitstheorie und verwandte Gebiete» (West-B., с 1962), «Journal of Algebra» (N. Y., с 1964), «Journal of Combinatorial Theory» (N. Y., с 1966), «Journal of Symbolic Logic» (Menasha, с 1936), «Journal of Differential Geometry» (Providence, с 1967), «Journal of Differential Equations» (N. Y., с 1965), «Journal of Functional Analysis» (N. Y. – L., с 1967), «Journal of Number Theory» (L. – N. Y., с 1969), «Funkcialaj Ekvacioj» (Tokyo, с 1958), «Topology» (Oxf. – N. Y., с 1962), «Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik» (В., с 1955), «Tensor» (Sapporo, с 1938), «Annals of Prolability» (Bait., с 1973); «Annals of Statistics» (Bait., с 1973).
Реферативные журналы. В. В. Бобынин, «Русская физико-математическая библиография» (т. 1—3, 1885—1900), «Русская библиография по естествознанию и математике, составленная состоящим при имп. Академии наук С.-Петербургским бюро международной библиографии» (т. 1—9, 1904—17), «Физико-математический реферативный журнал» (1939—41), «Реферативный журнал. Математика» (с 1953); «Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik» (B. – Lpz., с 1868), «Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete» (В., с 1931), «Mathematical Reviews» (Lancaster – Providence, с 1940).
Журналы по общим вопросам и по элементарной математике. «Математика в школе» (с 1934), «Archimedes» (Regensburg, с 1948), «Bulletin de l’Association des professeurs do mathématiques de l’enseignement publics» (P., с 1920), «American Mathematical Monthly» (Springfield, с 1894), «Euclides» (Groningen, с 1925), «Mathematika ve škole» (Praha, с 1951), «A matematika tanítása» (Bdpst, с 1953), «Mathematics Magazine» (Pacoima – Buffalo – N. Y., с 1947), «Mathematics Teacher» (Syracuse – Lancaster – Wash., с 1908), «Mathematik in der Schule» (B., 1963), «Nordiskmatematisk tidskrift» (Oslo, с 1953), «Education mathématique» (P., с 1898), «Enseignement mathématique» (P. – Gen., с 1899), «Praxis der Mathematik» (Köln, с 1959), «Revue de mathématiques spéciales» (P., с 1890).
Под редакцией Р. В. Гамкрелидзе.
«Математические заметки»
«Математи'ческие заме'тки» , научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий краткие (до 1 /2 авторского листа) оригинальные работы по всем разделам современной математики, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967. Ежегодно выходят 2 тома, состоящие из 6 выпусков каждый. Тираж (1974) около 1200 экземпляров.
Математические знаки
Математи'ческие зна'ки , см. Знаки математические .
Математические институты
Математи'ческие институ'ты , научные учреждения, ведущие исследовательскую работу в области математики и её приложений. В СССР почти все М. и. входят в состав АН СССР или АН союзных республик. В АН СССР имеются Математический институт имени В. А. Стеклова, Прикладной математики институт , Вычислительный центр , Математики институт Сибирского отделения, Математики и механики институт Уральского центра, Вычислительный центр Сибирского отделения.
Центры научно-исследовательских работ по математике в академиях наук союзных республик либо входят составной частью в институты более широкого профиля, либо являются самостоятельными М. и. Число последних увеличивается; они, как правило, выделяются из указанных более общих институтов (ниже даны даты основания последних). К началу 1974 действовали следующие институты АН союзных республик: Институт математики АН УССР (основан в 1934), Тбилисский математический институт имени А. М. Размадзе АН Грузинской ССР (основан в 1935), Институт математики имени В. И. Романовского АН Узбекской ССР (основан в 1943), Институт математики АН Армянской ССР (основан в 1955), Институт математики АН БССР (основан в 1955), Институт физики и математики АН Литовской ССР (основан в 1956), Институт математики и механики АН Азербайджанской ССР (основан в 1959), Институт физики и математики АН Киргизской ССР (основан в 1960), Институт математики с вычислительным центром АН Молдавской ССР (основан в 1964), Институт математики и механики АН Казахской ССР (основан в 1965), Институт прикладной математики и механики АН УССР (основан в 1970), Институт математики АН Таджикской ССР (основан в 1973).
В социалистических странах М. и. в основном также входят в состав академий наук. В капиталистических странах М. и. входят обычно в состав университетов.
Математические конгрессы
Математи'ческие конгре'ссы международные созываются 1 раз в 4 года. Первый М. к. состоялся в Цюрихе в 1898. После 2-й мировой войны 1939—45 М. к. состоялись в Кембридже (США, Массачусетс, 1950), Амстердаме (1954), Эдинбурге (1958), Стокгольме (1962), Москве (1966), Ницце (1970). Число делегатов достигает 3—4 тысяч человек (около 3 тысяч в Стокгольме, свыше 4 тысяч в Москве, около 3 тысяч в Ницце).
На М. к. заслушиваются и обсуждаются обзорные доклады о достижениях математической науки и её приложений за время, истекшее после предшествующего конгресса, а также доклады о наиболее ярких результатах, полученных за этот период.
Программа конгрессов включает пленарные заседания для всех участников и секционные заседания. Список секций устанавливается перед очередным конгрессом и меняется со временем. Так, например, во время М. к. в Москве работало 15 секций, а в Ницце – 33 секции.
Помимо чисто математических секций (оснований математики и математической логики, теории чисел, алгебры, геометрии, топологии, анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, теории вероятностей и математической статистики), на М. к. организуются обычно секции математических проблем физики и механики, педагогики и истории математики. На последних М. к. организовывались секции по прикладным разделам математики: численному анализу, теории оптимизации и другим.
Научная программа конгрессов состоит из часовых обзорных докладов, зачитываемых на пленарных заседаниях (пленарных докладов), обзорных секционных докладов (30—50 мин ) и коротких сообщений на секциях (10—15 мин ). По традиции на М. к. зачитывается 16 пленарных докладов и 60—90 обзорных секционных; исключение составлял М. к. в Ницце, в программу которого было включено, в связи с увеличением числа секций, 230 обзорных секционных докладов.
Пленарные и обзорные секционные доклады являются заказными, то есть докладчики персонально приглашаются Организационным комитетом конгресса для прочтения доклада по определённому направлению. Короткие сообщения включались в программу всех М. к., кроме М. к. в Ницце. Включение коротких сообщений в программу происходит по заявкам участников, однако Организационный комитет конгресса обычно производит некоторый отбор.
Практическая организация М. к. принадлежит стране, в которой решено провести очередной конгресс. С этой целью создаётся национальный Организационный комитет, который решает вопросы подготовки М. к. Со времени создания международного математического союза (1952) в подготовке научных программ М. к. главная роль принадлежит органам международного математического союза – Исполкому и назначаемому им Международному консультативному комитету. Консультативный комитет устанавливает список секций и создаёт комиссии экспертов по секциям – так называемые «панели». Панели подготавливают предложения по персональному составу приглашенных докладчиков по секциям, а также вносят предложения о пленарных докладчиках. Окончательное решение по этим вопросам выносится Консультативным комитетом и Исполкомом международного математического союза.
С 1950 на первом пленарном заседании М. к. происходит вручение золотых медалей и премий имени Филдса в размере 1500 американских долларов, которыми Международный математический союз поощряет молодых математиков за крупные научные достижения. На заключительном пленарном заседании М. к. происходит утверждение места и сроков проведения следующего конгресса.
Советские математики участвуют в М. к. с 1928 (М. к. в Болонье). Показателем крупной роли советской математики в мировой математической науке может служить число обзорных докладов, поручаемых советским учёным: на М. к. 1966 и 1970 доля советских докладов составляла около 25 %.
Л. С. Понтрягин, А. Б. Жижченко.
Математические общества
Математи'ческие о'бщества , добровольные общественные организации, объединяющие лиц (в масштабе города или всей страны), работающих в области математики. Первые М. о. возникли на рубеже 17—18 веков в Германии и Великобритании. Многие М. о. были созданы в 19 веке: например, Московское математическое общество (1867), Харьковское математическое общество (1879), Казанское физико-математическое общество (1890), Лондонское математическое общество (1865), М. о. Франции (1872), физико-математическое общество Японии (1884), Немецкий союз математиков (1890), Американское М. о. (1894) и другие. Обычно М. о. издают один или несколько журналов, в названиях которых, как правило, указывается название соответствующего М. о. (см. Математические журналы ). В СССР (начало 70-х годов) действуют Московское, Ленинградское, Новосибирское, Грузинское, Литовское и другие М. о.
Математические развлечения и игры
Математические развлечения и игры . Математическими развлечениями называют обычно разнообразные задачи и упражнения занимательного характера, требующие проявления находчивости, смекалки, оригинальности мышления, умения критически оценить условия или постановку вопроса: в частности – головоломки, задачи на превращение одной фигуры в другую путём разрезания и переложения частей, фокусы, основанные на вычислениях, математические игры. К математическим играм относят либо игры, имеющие дело с числами, фигурами и тому подобным, либо игры, исход которых может быть предопределён предварительным теоретическим анализом. С появлением и развитием математических игр теории термин «математические игры» (в смысле этой статьи) постепенно выходит из употребления.
Игра Баше. Из кучки, содержащей n (например, 35) предметов, двое играющих берут поочерёдно не более чем по m (например, 5) предметов. Выигрывает тот, кто возьмёт последние предметы. Теория игры устанавливает, что если n не делится на m + 1, то начинающий игру непременно выиграет, если каждый раз будет оставлять партнёру число предметов, кратное m + 1 (в примере – кратное 6).
Игра «15». Играет один человек. На шестнадцатиклеточной доске расположены в случайном порядке 15 перенумерованных шашек. Передвигая шашку одну за другой на свободную клетку с любой из смежных с ней клеток, требуется упорядочить расположение шашек (привести к нормальному расположению – положению 1, указанному на рисунке 1). Теоретический анализ игры, известный с 1879, показывает, что задача может быть решена только в том случае, если число инверсий (то есть число нарушений нормального расположения), образуемых номерами шашек в исходном положении, имеет ту же чётность, что и номер строки, в которой есть свободная клетка. Чтобы установить число инверсий, надо для каждой шашки подсчитать число предшествующих ей шашек с большим номером и сложить все эти числа; их сумма и равна искомому числу инверсий. При этом устанавливается следующая последовательность в исходном расположении шашек: слева направо вдоль строк и сверху вниз при переходе от одной строки к другой. Например, в расположении II (рис. 1 ) число инверсий чётно (равно 38), а свободная клетка находится в чётной (во 2-й) строке, то есть расположение II может быть приведено к нормальному. Напротив, расположение III привести к нормальному невозможно, так как число инверсий в нём нечётно (равно 1: шашка с № 15 предшествует шашке с № 14), а свободная клетка находится в 4-й строке (в строке с чётным номером).
Полное математическое обоснование имеется также у таких М. р. и и., как вычерчивание фигур одним росчерком, лабиринты, комбинированные задачи на шахматной доске и другие. Большая группа М. р. и и. связана с поисками оригинальных и красивых решений задач, допускающих практически неисчерпаемое или даже бесконечное множество решений.
К числу таких развлечений относится, например, «составление паркетов» – задача о заполнении плоскости правильно чередующимися фигурами одного и того же вида (например, одноимёнными правильными многоугольниками) или нескольких данных видов. Если «двухцветный квадратный паркет» с осями симметрии А’ А и B’B (см. рис. 2 ) составляется из 4n2 равных квадратов, каждый из которых разбит диагональю на белую и чёрную половины, то число различных паркетов равно 4n2 (это число быстро растет при возрастании n ).
Очень большое, до сих пор точно не установленное число решений имеют также: задача Эйлера о шахматном коне – обойти ходом коня шахматную доску, побывав на каждой клетке по одному разу, и задача о составлении многоклеточных магических квадратов . В подобного рода задачах интересуются обычно определением числа решений, разработкой методов, дающих сразу большие группы решений. Математическое содержание ряда других М. р. и и. – в установлении наименьшего числа операций, необходимых для достижения поставленной цели. К таким развлечениям относятся: задачи типа «переправ», «размещений» или игры, аналогичные игре «ханойская башня», суть которой в подсчёте числа ходов, необходимых для перенесения пластинок со столбика А (см. рис. 3 ) на столбик С, пользуясь столбиком В, если за один ход можно переносить лишь одну пластинку с любого столбика на любой другой, но нельзя класть большую пластинку выше меньшей.
М. р. и и. пользовались вниманием многих крупных учёных [Леонардо Пизанский (13 век), Н. Тарталья (16 век), Дж. Кардано (16 век), Г. Монж (2-я половина 18 – начало 19 века), Л. Эйлер (18 век) и другие]. Сборники М. р. и и. начали появляться с 17 века. Содействуя повышению интереса учащихся к математике, развитию сообразительности, настойчивости и внимания, М. р. и и. применяются также и в педагогическом процессе. В России это нашло отражение уже в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого (1703) и даже в математических рукописях 17 века.
Лит.: Игнатьев Е. И., В царстве смекалки или арифметика для всех, 2 изд., кн. 1—3, М. – Л., 1924 – 25; Кордемский Б. А., Математическая смекалка, 8 изд., М., 1965; Перельман Я. И., Живая математика, 9 изд., М., 1970: его же, Занимательная арифметика, 9 изд., М., 1959; его же, Занимательная алгебра, 12 изд., М., 1970; его же, Занимательная геометрия, 11 изд., М., 1959; Шуберт Г., Математические развлечения и игры, перевод с немецкого, Одесса, 1911; Арене В., Математические игры, перевод с немецкого, Л. – М., 1924; Гарднер М., Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки, перевод с английского, 2 изд., М., 1967; его же, Математические досуги, перевод с английского, М., 1972.
Рис. 1 к ст. Математические развлечения и игры.
Рис. 3 к ст. Математические развлечения и игры.
Рис. 2 к ст. Математические развлечения и игры.
