Текст книги "Новая философская энциклопедия. Том первый. А - Д."

Автор книги: авторов Коллектив

69

АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ рения как составного или объединенного с чем-то другим, в то время как Бог, будучи бесконечным, сущностной прост. Душа относится к интеллекту и воле как к различным потенциям в реальном единстве сущего, подобно тому, как сущее относится к трансценденталиям (единству, истине и благу). У. Оккам также не считал материю чистой потенцией, так как в ней наличествует форма телесности. Он также отрицал, что сущим можно считать только потенциальное, и полагал различие между актуальным и потенциальным в сфере логики (Summa totius loqicae 1, 38). У Николая Кузанского активные потенции вещей имеют основания в потенциях, которые имеют в Боге действительное бытие как идеи: ничто не может возникнуть, не имея действительного бытия в уме Бога. Т. о., в Боге возможность равна бытию (posse=est), что выражается неологизмом possest («О возможности-бытии»). Николай Кузанский также оспаривает идею материи как пассивной потенции, существующей наряду с божественной потенцией, и полагает ее как часть идеи сотворенного в Боге (Об ученом незнании), в отличие от Фомы Аквинского, различавшего идеальную потенцию еще не сотворенного в Боге и материальную потенцию еще не сущего в сотворенной вещи. О дальнейшем развитии концепции акта и потенции см. Возможность и действительность. Лит.: Гайденко Я. П. Эволюция понятия науки. М., 1980; SoulheJ. Etude sur le terme dynamis dans les dialogues de Platon. P., 1919; Kunzle P. Das Verhaltnis der Seele zu ihren Potenzen. Freiburg, 1956; Stallmach J. Dynamis und Energeia. Untersuchunqen am Werk des Aristoteles zur Problemgeschichte von Moglichkeit und Wirklichkeit, Meisenheim am Glan, 1959; Peters E. Greek philosophical Terms. N. Y.-L., 1967; Schwemmer O. Akt and Potenz. – «Sacramentum Mundi», Bd. 1. Freiburg, 1967; Vries J. Die Grundbegriffe der Scholastik. Darmstadt, 1983. К В. Бандуровский

АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ– см. Бесконечность.

АКЦИДЕНЦИЯ(лат. accidentia – неожиданно появляющееся) – несущественное, изменчивое, случайное в противоположность сущностному, «эссенциальному» в предмете или в определении предмета. Термин в его греческом варианте (GVu?e?nKOc) ввел Аристотель и выделил два основных смысла употребления в философии (Met. IV 30, 1025а 14; V 2, 1026b 35; X 8, 1065а 4; Phys. II 4, 196 b 28). В первом смысле термин обозначает качество, которое не является существенным для данной вещи, то, что отнюдь не всегда и не обязательно принадлежит ей. Аристотель приводит приписываемое Сократу определение акцидентального по отношению к человеку – «быть музыкальным» в противоположность «быть рациональным» и «быть животным», которые не являются ак– цидентальными. Во втором смысле термин употребляется для обозначения того, что принадлежит вещи, но не входит в ее сущность: акциденция фиксирует сосуществование случайности и необходимости, возможности и причинной обусловленности. В качестве классического примера используется высказывание «копая трюфели, я найду сокровища». Ход рассуждений следующий: «копание» не является акциденцией, и поскольку сокровище было там всегда, то факт нахождения сокровищ при условии копать в этом месте предопределен, детерминирован. В то же время нахождение клада – акциденция, поскольку копание было копанием трюфелей, а не сокровища. Плотин различает акциденции вещей и их сущность (Епп. II, 6, 2), Порфирий – отделимые и неотделимые акциденции. Боэций в «Комментариях к Порфирию» связывает акциденцию с привходящими признаками. В схоластике выделяются реальные акциденции, которые могут существовать самостоятельно. В новой философии вместе с критикой понятия материальной субстанции отрицается и понятие акциденции (см., напр., Беркли. Соч. М., 1978, с. 205), хотя понятие модуса в философии Спинозы как обозначение индивидуального проявления субстанции может быть понято как развитие понятия акциденции. Кант связывает акциденции с изменчивостью субстанции (Критика чистого разума. М., 1998, с. 297, 229-230). Д. С. Милль называет акциденциями все атрибуты вещи, которые заключены в значении имени (Логика, I 158). В современной аналитической философии (напр., Austin J. L. A plea for Excuses. – «Philosophical Papers». Oxf., 1961) события, акцидентальные с точки зрения одного описания, считаются детерминированными с точки зрения другого. А. А. Костикова

АКЦИДЕНЦИЯ ВАРАБО-МУСУЛЬМАНСКОЙ

ФИЛОСОФИИвыражается терминами «'арад», «'арид» и, как правило, противопоставляется субстанции (джавхар) или телу (джисм). В мутазилизме акциденция логически вторична в отношении понятия «смысл» (ма'нан). Некоторые мутазилиты считали такие «смыслы» именно акциденциями, а не атрибутами (сифа, васф), понимая под атрибутами предикаты в речи (напр., «движущееся»), а под акциденциями – качества в вещах (само движение), другие называли их атрибутами, но не акциденциями. В качестве причин, по которым имеющиеся в телах «смыслы» названы акциденциями, мутазилиты упоминали этимологические: акциденции «случаются» (та'тарид) в телах и являются «преходящими» ('арид, 'арад), и терминологические: термин «акциденция» введен мутакашгимами по их усмотрению. Большинство мутази– литов указывали, что акциденция является несамостоятельной (ла йакум би-нафси-хи), что она непременно имеет место (макан) и находится в теле, однако ал– 'Аллйф считал, что некоторые акциденции, напр. Время, пребывание или гибель веши, воля Бога, могут быть вне места и не в теле. В каламе были поставлены следующие основные проблемы, касающиеся акциденций: каковы их классы? Может ли существовать тело, лишенное всех или некоторых акциденций? Благодаря чему они привходят в тело? Пребывают ли они? Могут ли они быть «воспроизведены» (и'ада)? Есть ли разница между «воспроизведением» и «восстановлением» (исти'наф)? Одни мутазилиты считали, что есть только два класса акциденций: движение и покой, все прочие сводятся к ним. Другие признавали в качестве действительных категорий все акциденции или какую-либо их часть. Некоторые к числу акциденций, когда речь шла об атомах, относили шесть пространственных «направлений» (джихат). Существовали различные мнения о том, могут ли атомы обладать всеми акциденциями (см. Атомизм), а также о сочетаемости акциденций в связи с проблемой противоположности. Некоторые мутазилиты выделяли акциденции,

70

АЛАН ЛИЛЛЬСКИЙ без которых тело не может существовать (напр., состав– ность), другие считали, что может быть тело без всяких акциденций. Одни мутазилиты считали, что акциденции привходят в тело благодаря возникновению в нем некоторого «смысла», который в свою очередь может быть обусловлен или не обусловлен другим «смыслом», другие. А также ашариты, снимали проблему обоснования прохождения акциденций и говорили, что для них иметься в теле и возникать (худус) в нем – одно и то же. Большинство ма– такаллимов считали, что акциденции не пребывают более двух мгновений. Ал-Джубба'и, опираясь на понятия «перенесения вперед» (такдйм) и «назад» (та'хйр), доказывал, что не могут воспроизводиться те акциденции, о которых мы знаем, как они устроены, которые сами можем произвести и которые не пребывают, а прочие могут. Те, кто различал «воспроизводимую» акциденцию и акциденцию, «восстанавливаемую» после несуществования, указывал во втором случае на утвержденность ее «_оности» (субут ху– виййа; см. Сущность) в состоянии несуществования. В отличие от калама, в арабоязычном перипатетизме, а также в исмаилизме в соответствии с аристотелевским учением в число акциденций не включаются универсалии, образующие субстанциальные формы. Акциденция понимается как дихотомическая понятию субстанции, любая вещь оказывается либо субстанцией, либо акциденцией. К акциденциям относятся девять аристотелевских категорий, за исключением субстанции, проблема акциденций рассматривается соответственно как проблема предикации, и снимаются метафизические вопросы, занимавшие мутакаллимов. Схожей позиции придерживался ас-Сухравардй, который, однако, считал, что акциденции входят в «чтойность» вещи. В суфизме происходит возрождение атомистического понимания времени и соответственно проблематики, связанной с акциденциями, а также тезиса о ежемгновенном обновлении мироздания. Вместе с тем Ибн 'Арабй считал, что понятие акциденции как реально отличное от субстанции неверно, поскольку субстанция не служит ее вместилищем, но акциденция находится «там же», где субстанция. Кроме того, сама субстанция является акциденцией и не может быть отличена от нее, поскольку определения типа «занимающее место» (мутахаййиз) или «принимающее акциденцию» указывают на акцидентальные, а не самостоятельные признаки. Поэтому все мироздание понимается в суфизме как совокупность акциденций. A.B. Смирнов АЛ-'АЛЛАФ – см. 'Аллйф.

АЛАНКАРА(санскр. alamkara – украшение, фигура речи) – важнейшее понятие древнеиндийской поэтики, которую по названию этой категории именовали «аланкара– шастра», или «учение об украшениях». Истоки представлений об аланкарах восходят к эпохе Натьяшастры («Наука театра», компендиум, сформировавшийся ко 2—3 вв.), где упоминаются четыре вида речевых фигур – сравнение (upama), метафора (трака), зевгма (dipaka) и аллитерация (yamaka) (Натьяшастра 17.43). Становление целостной концепции аланкар относится к раннему этапу развития древнеиндийской поэтики и связано с т. н. «школой алан– кариков», наиболее видными представителями которой были Бхамаха (7 в.), Дандин (7 в.) и Вамана (8 в.). Определив поэзию как особым образом организованный язык, теоретики считали ее «телом» сочетание формы (sabda) и смысла (artha) слова, признавая «душой» поэзии разного рода украшения. Они различали украшения формы слова, примером которой может быть аллитерация, и украшения его смысла, наиболее известным среди которых являлось сравнение. Позднее была добавлена третья разновидность, смешанные (misra) аланкары, зависящие от формы и смысла слова одновременно. Пережив расцвет, концепция аланкар постепенно утратила свое значение. В период, когда теоретиков в первую очередь интересовали не выраженные, а скрытые, суггестивные смыслы поэзии, украшения стали восприниматься как нечто внешнее, почти техническое, и относящееся в большей степени к произведениям, где выраженное значение доминирует над скрытым, или последнее вообще отсутствует (т. н. поэзия-картинка). Таковым, вчастности, было мнение Анандавардханы (9 в.), видевшего в фигуративной поэзии сочинения второго сорта. Постепенно утвердилось представление о том, что украшения вторичны и при определенных условиях поэтическое произведение может быть создано вообще без аланкар. Окончательно эту позицию сформулировал Вишванатха (13 в.), указавший, что, придавая поэзии дополнительную красоту, украшения тем не менее, не составляют ее сущность. Н. Р. Лидова

АЛАН ЛИЛЛЬСКИЙ(Alain de Lille, Alanus de Insulis) (ок. 1128, Лилль – 1203, Сито, департамент Кот-д'Ор) – философ-богослов и поэт «французского Возрождения» 12 в. Из записей хронистов известно, что он был «знаменитым учителем», «блистал» к 1194, «много писал» и умер, как и его друг Тьерри Шартрский, цистерцианским монахом. Из его сочинений видно, что он мог учиться у Бернарда Сильвестра в Шартрской школе, преподавал богословие в Париже и проповедовал против катаров в Провансе. Судя по сохранившимся рукописям и инкунабулам, наиболее широкого читателя Алан имел в 15 в., когда приобрел легендарные черты; он «знал все, что человек может знать», назывался «doctor universalis»; готовясь к проповеди о Троице, увидел мальчика, вычерпывавшего Сену ракушкой и сказавшего, что, хотя это и долгое дело, он успеет раньше, чем Алан, объяснить тайну св. Троицы; устыдившись, Алан ушел к цистерцианцам и был у них пастухом, пока, сопровождая своего аббата в Рим как служка, не выдал там себя решив важный спор с еретиками; с тех пор за ним всегда ходили два писца, которым он диктовал свои сочинения. С именем Алана связывают толкования на пророчества Мерлина и на «Песнь песней», расхожий в 15 в. сборник пословиц (Liber parabolarum), комментарий на «Риторику к Гереннию» псевдо-Цицерона, трактат «О шести крыльях херувимов». Бесспорно, ему принадлежат 134 «Правила», «теологические максимы» как первоосновы богословской науки; сумма «Quot modis» («Различения») в форме энциклопедического словаря а разбором библейских понятий по трем уровням смысла; частично сохранившаяся богословская сумма Quoniam homines о добродетели, грехах и законах «небесного права»; первый на латинском Западе комментарий к псевдо-аристотелевой «Книге о причинах», трактат на злобу дня «О католической вере» («Против альбигойцев, вальденсов, иудеев и сарацин», 1185-1200);

71

АЛ-АФГАНИ «Книга покаяния, сиречь Исправитель и врач для всякого возраста и обоего пола»; краткое «Искусство проповеди» (Summa de arte predicatoria) с приложением 44 гомилий. Проповедь «Об умопостигаемой сфере» в духе христианского платонизма Боэция описывает четыре области бытия и вида познания: чувство, воображение, разум, ум (интеллект). Всего известнее «светские» сочинения Алана: «Плач природы» (De planctu naturae, 1160-70), философско-моралистическое видение в художественной прозе и стихах, восславление девственной души мира, оскорбляемой противоестественными пороками; аллегорическая эпопея в 4300 гекзаметрах «Антиклавдиан» (как бы нечто обратное очернению героя в одной инвективе поэта 4 в. Клавдиана) – поэтическая сумма, космическая панорама, где сотворение в небесах совершенного юноши, призванного возродить пошатнувшееся человеческое достоинство, и его бой с пороками дают автору повод подробно описать построенную из «свободных наук» и способностей колесницу для небесного путешествия посланца Природы, обшее мироустройство, истечение ума и души от Бога. «Поэма о воплощении и семи искусствах» (Rhythmus de incarnatione et de septem artibus) описывает неспособность благородных искусств описать таинство вочеловечения божества. В платоническом миропонимании Алана человек призван выйти из отчуждения (alienatio), в котором его сковывает мрак невежества, и, преодолевая бессильное изумление перед величием Вселенной (mundana machina), открыть свое физическое и психическое родство с ней. Вооруженный своими добродетелями и способностями, опираясь на семь благородных наук (искусств) и теологическую мудрость, человек проникает в тайны творения, у предела которых «колеблется рассудок», но, не замыкаясь в созерцании, черпает в них силу для просветления и устроения земного бытия. Симвология Алана призвана явить космическое и вечное значение всего телесного и душевного состава человека; хотя плоть слаба, начало ее божественно. Возводя в образец философского метода математику, Алан стремится построить самоочевидную систему исходных терминов и правил, откуда последовательно развертывается весь корпус человеческого знания. Аналогичные принципы Алан предлагает для полемической теологии и гомилетики. Мысль Алана можно представить как развернутый комментарий к Платону, Аристотелю, «герметическим» книгам, Боэцию, Псевдо-Дионисию Ареопагиту (через Эриуге– ну). С Шартрской школой его сближает космизм, теория мировой души, природы как заместительницы Бога, платоническое пифагорейство с влечением к математизму и научной строгости, любовь к классической античности. Природа разумна и закономерна, мышление подвластно логике (отсюда тезис: поскольку «у авторитета нос из воска», т.е. его можно повернуть в разном смысле, его надо подкреплять разумными основаниями 0 «Против ересей»); вместе с тем «природа не знает природы своего порождения», а мысль для познания собственных истоков нуждается в вере и таинственной теологии (поднявшись к небу, кони человеческих способностей и умений начинают спотыкаться). Природное и мистическое познание «не различны, а отличны», первое «разумением готовит веру» (intelligo ut credam), второе «верой готовит разумение» (credo ut intelligam). Латынь Алана поражает блеском и энергией, речь кипит контрастами, парадоксами и «этимологическими фигурами». Его аллегоризм имел продолжение в литературе («Роман о розе»), аксиоматический метод – в комбинаторике Р. Луллия и далее Николая Кузанского, его антропология, космизм, моралистический и риторический пафос – в философии Возрождения. Соч.: Opera omnia, MPL 210. P., 1855; Liber poenitentialis, ed. J. Longe re, 2 vol. Namur, 1965. Лит.: Гаспаров M. Л. Алан Лилльский. – В кн.: Памятники средневековой латинской литературы 10-12 вв. М., 1972, с. 330-346; Huizinga J. Uber die Verknupfting des Poetischen mit dem Theologischen bei Alanus de Insulis. – «Mededeel. Der. k. Akad.», Afd. Letterkunde, LXXIV, B. 6. Amst., 1932; Raynaud de Loge G. Alande Lille. Poete du XII siecle. Montreal-P, 1951. ?. В. Бибихин АЛ-АФГАНЙ – см. Афгани. АЛ-АПГАРЙ – см. Аш'арй.

АЛАЯВИДЖНЯНА(санскр. alayavijnana – аккумулированное сознание) – одно из ключевых понятий философии буддийского идеализма йогачаров-виджнянавадинов, означающее особый вид сознания, в котором хранятся «семена» предыдущих опытов и которое в свою очередь является «фоновым» фактором опыта в настоящем времени. Концепция алаявиджняны была призвана решить одновременно две задачи: во-первых, реализовать потребность йо– гачаров в Абсолюте, притом иным путем, чем тот, который осуществился в учении мадхьямиков о «статической» Пустоте (шуньята), и, во-вторых, объяснить действия закона кармы, которое недостаточно «обеспечивалось» картиной мгновенно-точечных дхарм, не позволявших понять, каким образом и в чем аккумулируются результаты прошлых деяний, должные плодоносить в настоящем и будущем. Учение об алаявиджняне уже сформировалось ко времени составления «Ланкаватара-сутры» (3-4 вв.), где оно обозначается и просто как «сознание» (читта). Здесь «аккумулированное сознание» находится в «диалектическом» отношении с «семенами» действий: оно и не отделимо от них и не связано с ними, не «пропитано» ими, но «обернуто» ими; оно также сравнивается с чистой одеждой, которая загрязняется ими, но не «окрашивается» в их цвет (Сагатхака, ст. 236– 237). Еще более популярная аналогия в «Ланкаватара-сутре» уподобляет «аккумулированное сознание» безмятежному океану, поверхность которого лишь вздымается в виде гребней волн ветрами чувственного мира (II. 99-100, 112). Ала– явиджняна рассматривается и в другом раннем сочинении йогачары – «Самнидхинирмочана» (Объяснение глубинных истин), которое иногда приписывается Асанге. У классиков виджнянавады алаявиджняна участвует в целом ряде классификационных схем. Так, в раннем и уже бесспорно подлинном трактате Асанги «Абхтдхарма-самуччая» («Выжимки из Абхидхармы») она тематизируется в одном блоке с «таковое– тью» (татхата) и тремя уровнями реальности. Алаявиджняна обстоятельно исследуется в его основном произведении «Ма– хаяна-санграха» (гл. 1—2): «аккумулированное сознание» хранит «отпечатки» (васана) последствий прошлого опыта индивида как в некоем «складе» в виде «семян» (биджа), которым

72

АЛГЕБРА ЛОГИКИ предстоит прорасти в будущем опыте. Оно является условием функционирования «активного сознания», результирующего из действия пяти чувств и менталитета-лмлася, которое в свою очередь оставляет «отпечатки», возвращающиеся в «аккумулированное сознание» и там «прорастающие». Т. о., индивид оказывается постоянно изменяющейся конфигурацией двух взаимообусловливающих «сознаний». Помимо шести указанных видов сознания (сознания пяти чувств + ума-манаса) есть еще самосознание, характеризуемое как «загрязненный менталитет» (клишта-манас), благодаря аберрациям которого алаявиджняна мыслится как реальное эго и даже «субстанциональное Я», наподобие брахманист– ского Атмана. По Асанге, алаявиджняна является таким же кинетическим и «бессубстанциальным» феноменом, как и любой поток сознания, с теми лишь отличиями, что ему приписывается аккумулятивная функция и оно непостижимо «обычными людьми». Хотя алаявиджняна и ранее соотносилась с высшим уровнем реальности в онотологической иерархии виджнянавадинов (см. Свабхава), этот аспект концепции был наиболее обстоятельно проблематизирован у Васубандху. В «Трисвабхаванирдеше» (Экспозиция трех природ) первый уровень реальности – «воображаемый» – соответствует объектам опыта, второй – «зависимый» – субъектам, третий – совершенный – «аккумулированному сознанию». Все три носят признаки и сущего и несущего: первый уровень онтологически неопределим; второй существует не так, как является: третий является несущим по отношению у любой дуальности. Позднее эту концепцию алаявиджня– ны разрабатывают Дхармапала (Виджняптиматрасиддхи) и Дхармакирти (Праманаварттика). «Махаянасанграха» была переведена в 6 в. на китайский язык Парамартхой и стала основополагающим текстом для основанной Куйцзи школы Фасян-цзун (7-9 вв.). Китайский йогачар, историк и философ Сюань Цзан (7 в.) разработал концепцию восьмого вида сознания – того, что несет ответственность за отождествление «аккумулированного сознания» с «субстанциональным эго», не подозревая, что алаявиджняна на деле не отличается от тех «семян» будущего опыта, которые в нем хранятся. Лит.: Schmithausen L. Alayavij'nana. On the Origin and the Early Development of the Central Conception of Yogacara Philisophy, v. 1-2. Tokyo, 1987; Brown В. Е. The Buddha Nature: A Study of Tathlgatagarbha and Alayavij'nana. Delhi, 1991. В. К. Шохин АЛ-БИРУНЙ – см. Бируни. АЛ-ГАЗАЛЙ – см. /Газйли.

АЛГЕБРА ЛОГИКИ– одна из осн. частей математической логики, основанная на применении алгебраических методов к логике. Возникнув в сер. 19 в. в трудах Буля и развиваясь затем в работах Джевонса, Шредера, Пирса, Порец– кого и др., алгебра логики имела своим предметом классы (как объемы понятий), соотношения между классиками по объему и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в 70-х гг 19 в. множеств теории, поглотившей часть этих задач, предмет алгебры логики значительно изменился. Основным ее предметом стали высказывания (суждения, предложения), рассматриваемые со стороны их логических значений (истина, ложь, бессмыслица и т. п.), и логические операции над ними. В основе обычной, т. н. Классической алгебры логики лежит абстракция высказывания как величины, имеющей одно (и только одно!) из двух значений: «истина» или «ложь» (короче: И. Л.) или могущей принимать оба эти значения (но не одновременно). В первом из этих случаев имеем индивидуальное высказывание (высказывание в узком, наиболее принятом смысле этого слова), во втором – высказывание-функцию. Примеры высказываний: «2-2=4 », «0<0 », «Сократ – человек», «0=1», «2*2=5», «х2=у»ч «г – человек», «Если x=yt то у=0», «Если х=2, то л^=4», «х равняется у или х не равняется у». Первые три высказывания имеют значение И (т. е. истины), 4-е и 5-е – значение Л (т. е. ложны), 6-е, 7-е, 8-е – высказывания-функции (если, напр., значениями буквенных переменных х и у могут быть целые числа, а переменной z – живые существа), 9-е и 10-е имеют значение И (при всех возможных значениях переменных х и у). Последние три из этих высказываний являются сложными, в отличие от предшествующих им простых. Абстракция в алгебре логики идет дальше. Все истинные высказывания отождествляются между собой, т. к. истинное высказывание не отличается от другого истинного высказывания по значению (от других сторон высказываний в алгебре логики отвлекаются). Ложные высказывания тоже отождествляются. При рассмотрении же высказываний-функций в алгебре логики обычно отвлекаются от рассмотрения зависимости их от иных переменных, кроме таких, значениями которых тоже являются высказывания, вводя для их рассмотрения буквенные переменные, которые называют переменными высказываниями. Таковыми являются буквы А, /?, С, ..., Ar Av Ау ... и т. п. (при этом выбор букв – вопрос не существа, а соглашения) при условии, что они играют роль переменных, значениями которых могут быть всевозможные индивидуальные высказывания, т. е., в силу упомянутых абстракций, «константы» И и Л. Кроме простых высказываний, обозначаемых отдельными буквами А, В... или И, Л, рассматриваются также сложные высказывания – результат соединения высказываний связками или отрицания их (соответствующего частице «не»). Сложные высказывания рассматривают как функции от входящих в них буквенных переменных А, В, С и т. д. Так появляется понятие функции алгебры логики – функции от аргументов, являющихся переменными высказываниями, т.е. принимающих значения И, Л, которая (функция) может принимать тоже лишь эти значения. Вводятся алгебраич. операции над высказываниями: конъюнкция AB (читается «А и В», другие обозначения: AB, А&В, А/В другие названия: логическое умножение, булево умножение), дизъюнкция АуВ (читается «А или В»; другое обозначение: Л+Д другие названия: логическое сложение, булево сложение), импликация А^В (читается: «Если А, то В» или «А влечет В», или «А имплицирует В», или «Из А следует В»; другое обозначение: АэВ другое название: логическое следование), эквиваленция А~В (читается «А эквивалентно В» или «А равнозначно В», или «А, если и только если В»; другие обозначения: А=В, А<-+В, А=В другие названия: эквивалентность, равнозначность, равносильность), отрицание A (читается: «не А», или «Л ложно», или «неверно, что А», или «отрицание/!»; другие обозначения: -А, -А, Л'; другое название: инверсия), а также иногда и другие операции. Одной из важных сторон формализации, принимаемой в алгебре логики, является то, что знаками этих операций (т. е. по смыслу, соответствующими им связками) можно соединять любые выказывания, без ограничения, в том числе и те, которые сами являются сложными. При этом удается точно и строго описать класс всех рассматриваемых выражений алгебры логики. В данном случае он состоит из констант И и Л, переменных А и В... и всех тех выражений, которые получаются из них путем конечного числа соединений знаками «•», «V», «—>», «~» и отрицаний. Это связано с требованием, чтобы операции задавались таблично как функции и значение сложного высказывания зависело только от значений составляющих его простых высказываний. Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в использовании преобразований высказываний на основе алгебраических законов,

73

АЛГЕБРА ЛОГИКИ которые имеют место для операций над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств, т.е. равенств, верных при вех значениях переменных. Важную роль играют тождества: 1. AB = ВА, AvB = BvA (законы коммутативности); II. (АВ)С = А(ВС), (AvB)vC=Av(BvQ (законы ассоциативности); III. A (AvB) =Л, AvAB =A (законы поглощения); IV. A(BvQ = ABvAC(закон дистрибутивности); V. А-Л = Л (закон противоречия); VI. /lv-i/1 = И (закон исключенного третьего). Эти тождества, устанавливаемые, напр., с помощью таблиц, позволяют получать другие тождества. Тождеств I – IV достаточно для того, чтобы из них по методу тождественных преобразований можно было вывести всякое (верное, конечно) тождество, левая и правая части которого – выражения алгебры логики, состоящие из переменных А, В, .., констант И, Л и знаков «•», «v», «-i» (не обязательно включая все из них). Добавление же тождеств VII А~~В = -лАчВ, А~В – ABv-тА-пВ дает возможность выводить и любые тождества, содержащие также знаки «—>», «~». Тождества V, VI, VII показывают, что константы И и Л, импликацию и эквиваленцию, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Имеет место теорема, гласящая, что всякая функция алгебры логики может быть представлена через эти три операции, т.е. записана в виде выражения, содержащего лишь знаки этих операций и буквенные переменные. Именно, любую функцию можно записать как дизъюнкцию ФЦ, Av ..., Ап) всех выражений вида Ф(др av ..., апУ(Ага}) Ц~а2)...(Лп~яп), где flj, а2,..., ап – набор из значений И, Л. Заменяя в этой дизъюнкции выражения Л,~И на Av а А~Л – на -vi, а также стирая «коэффициенты» Ф(аг а2,..., дп), равные И (по закону WA-A) и отбрасывая члены с «коэффициентами», равными Л (по законам (Л-Л=Л, JlvA = A), мы и получим (если функция не есть константа) то выражение, о котором говорится в теореме. Дизъюнктивной нормальной формой (днф) называется выражение, которое есть буква И или Л или имеет вид А^Ар ..., vAn, где каждый член А] является либо буквенной переменной, либо ее отрицанием, либо конъюнкцией таковых, причем s не обязательно отлично от 1, т.е. знаков «v» может и не быть. Днф называется совершенной, если она есть И или Л или в каждом члене содержит ровно по одному разу все имеющиеся в ней буквы (переменные) и не имеет одинаковых членов. Всякое выражение алгебры логики можно привести к днф. А всякую днф можно привести к совершенной днф, «домно– жая» члены на недостающие буквы (по закону A=ABvA^B) и ликвидируя повторения букв в членах (по закону АА-А, А-лА– Л, Л-Л=Л, JlvA=A) и повторения членов (по закону AvA=A). Приведение к совершенной днф позволяет по любым двум данным выражениям А и В решить вопрос о том, одну ли и ту же функцию они выражают, т.е. верно ли тождество А=В. Важную роль играет т. н. сокращенная днф. Последнюю можно определить как такую днф, в к-рой 1) нет повторений букв ни в одном члене, 2) нет таких пар членов А. и А? что всякий множитель из А. имеется и в А. и 3) для всех двух таких членов, из к-рых один содержит множителем некоторую букву, а другой – отрицание той же буквы (при условии, что другой буквы, для которой это имеет место, в данной паре членов нет), имеется (в этой же днф) член, равный конъюнкции остальных множителей этих двух членов. Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные формы (кнф). Это такие выражения, к-рые можно получить из днф путем замены в них знаков «v» на «•», а «¦» на «v». Преобразованием двойственности называется такое преобразование выражения алгебры логики, при котором в этом выражении знаки всех операций заменяются на знаки двойственных им операций, а константы: И на Л, Л на И; причем операция (или функция) Ф называется двойственной для операции ?, если таблица, задающая Ф, получается из таблицы, задающей ?, путем замены в ней всюду И на Л, а Л на И (имеется в виду одновременная замена и значений функции, и значений ее аргументов). Если Ф двойственная У, а ? двойственная X, то Ф=Х. Напр., конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константа И (как функция) двойственна константе Л. Функция ФЦ, Av ..., Ап) двойственна функции Ч!(А]УА71..., Ап), если, и только если, верно тождество -,Ф(4, А7, ...,4,) = УЫ,, -42,..., -Ч). Совершенную кнф и сокращенную кнф можно определить как такие кнф, что двойственные им выражения есть соответственно совершенная днф и сокращенная днф. Совершенные и сокращенные днф и кнф можно использовать для решения задачи обзора всех гипотез и вех следствий данного выражения алгебры логики. Причем под гипотезой выражения А алгебры логики естественно понимать такое выражение Д что В—А тождественно истинно, а под следствием выражения А – такое выражение Д что А~В тождественно истинно. Еще один, часто употребляемый в алгебре логики шаг абстракции, состоит в отождествлении И с числом 1, а Л – с числом 0. Вводится операция А+ Д задаваемая таблицей: 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0. Она называется сложением (точнее сложением по модулю 2; другое название: разделительная дизъюнкция; читается: «А плюс В», или «А не эквивалентно В», или «Либо А, либо В»), Всякую функцию алгебры логики можно представить через умножение (т. е. конъюнкцию), сложение и константу 1 (теорема Жегал– кина). В частности, верны следующие тождества: VIII. AvB=AB+A+B,-v4=A+l IX. А-В=АВ+А+, А~В=А+В+. Обратные представления имеют вид X. A+B=A-nBv^AB, l=Av^A. Тождества VIII позволяют «переводить» выражения «языка» конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (КДО) на «язык» умножения, сложения и единицы (УСЕ), а тождества X – осуществлять обратный «перевод». Тождественные преобразования можно производить и на «языке» УСЕ. В основе их лежат следующие законы: XI. АВ=ВА, А+В+В+А (законы коммутативности); XII. (АВ)С=А(ВС), (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативности); XIII. А(В+С)=АВ+АС (закондистрибутивности); XIV АА=А, А+(В+В)=А XV. А1=А. Этих тождеств достаточно для того, чтобы из них можно было вывести любое (верное) тождество, обе части которого суть выражения «языка» УСЕ. А добавив к ним тождества VIII, мы сможем выводить и все тождества «языка» КДО. Выражение «языка» УСЕ называется приведенным полиномом (п. п.), если оно есть 1+1 (т. е. нуль) или имеет вид A^+A7+...+As, где каждый член Ах есть либо 1, либо буквенная переменная, либо произведение последних, причем ни в одном члене нет никаких повторений букв, никакие два члена не одинаковы (в том же смысле, что и выше), a s не обязательно больше 1 (т. е. знаков «+» может не быть). Всякое выражение алгебры логики можно привести к п. п. (теорема Жегалкина). Кроме «языков» КДО и УСЕ существуют и другие «языки», обладающие тем свойством, что через операции (и константы) этих «языков» можно представить всякую функцию алгебры логики. Такие системы называются (функционально) полными. Примеры полных систем: а) конъюнкция и отрицание, б) дизъюнкция и отрицание, в) импликация и отрицание, г) импликация и 0, д) умножение, эк– виваленция и 0, е) штрих Шеффера Л|Д ж) медиана (Л, Д С), [определение: (А, Д Q=ABvACvBCy отрицание и 1, и) медиана, эквивалента и сложение. Иногда совершают еще один важный дальнейший шаг абстракции. Отвлекаются от табличного задания операций и оттого, что значениями буквенных переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации рассматриваемого «языка», состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значе-