Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 34 страниц)

–ζ

₂

–β

₁

+β

₂

)

,

(7)

или, положив

ζ₂-ζ₁

ζ₁-ζ₂-β₁+β₂

=

τ'

,

будем иметь

τ

=

τ'

𝑀𝐻

sin 𝑚

.

(8)

Разделив уравнение (6) на 𝑀𝐻 sin 𝑚, получим

δ-ζ

+

𝑙

_𝑥

–

λ

_𝑥

–

τ'[ζ

+

λ

_𝑥

–

π

2

–

β-γ]

=

0.

(9)

Перевернём теперь магнит осью 𝑦 вниз и отрегулируем аппаратуру до точного совмещения оси 𝑦 с вертикалью; для нового значения азимута ζ' и соответствующего наклонения δ' будем иметь

δ'-ζ'

–

𝑙

_𝑥

+

λ

_𝑥

–

τ'[ζ'

–

λ

_𝑥

+

π

2

–

β-γ]

=

0,

(10)

откуда

δ+δ'

2

=

1

2

(ζ+ζ')

+

1

2

τ'

{

ζ+ζ'-2(β+γ)

}.

(11)

Показания поворотного круга следует теперь отрегулировать так, чтобы коэффициент при τ как можно меньше отличался от нуля. Для этого мы должны определить величину γ как то значение α-β, при котором нет кручения. Это можно сделать, помещая в хомутик немагнитный брусок того же веса, что и магнит, и определяя значение α-β в положении равновесия. Из-за малости τ большой точности не требуется. Другой способ состоит в использовании крутящегося бруска с тем же весом, что у магнита, содержащего внутри очень маленький магнит с магнитным моментом, составляющим 1/𝑛 от момента основного магнита. Значение τ не меняется, поэтому величина τ' станет равной 𝑛τ', и если при кручении бруска для ζ получены два значения ζ₁ и ζ₁' то

δ+δ'

2

=

1

2

(ζ

₁

+ζ

₁

')

+

1

2

𝑛τ'

{

ζ

₁

+ζ

₁

'-2(β+γ)

}.

(12)

Вычитая это уравнение из (11), получим

2(𝑛-1)(β+γ)

=

⎛

⎜

⎝

𝑛+

1

τ'

⎞

⎟

⎠

(ζ

₁

+ζ

₁

')

–

⎛

⎜

⎝

1+

1

τ'

⎞

⎟

⎠

(ζ+ζ')

.

(13)

Находя таким путём значение β+γ, следует менять показания поворотного круга β до тех пор, пока с возможно большей точностью при нормальном положении прибора не достигнем равенства

ζ+ζ'

–

2(β+γ)

=

0.

(14)

Так как численное значение величины τ' очень мало и коэффициент при ней тоже мал, то второй член в выражении для δ не будет сильно меняться при малых ошибках в τ' и γ, которые являются величинами, известными с наименьшей точностью.

Этим способом величина магнитного склонения δ может быть найдена довольно точно при условии её неизменности за время эксперимента, т.е. когда можно предположить, что δ'=δ.

Когда же требуется большая точность, необходимо учитывать вариации δ в течение эксперимента. Для этой цели нужно в те же самые моменты времени, в которые определялись два разных значения ζ, произвести измерения со вторым подвешенным магнитом. Зарегистрированные азимуты второго магнита η и η', соответствующие положениям ζ и ζ' первого магнита, связаны с δ и δ' соотношением

δ'-δ

=

η'-η

.

(15)

Поэтому для определения значения δ мы должны к соотношению (11) добавить поправку ½(η-η) Таким образом, магнитное склонение в момент первого наблюдения равно

δ

=

½(ζ+ζ'+η-η')

+

½τ'(ζ+ζ'-2β-2γ)

.

(16)

Чтобы определить направление магнитной оси внутри магнита, вычтем (10) из (9) и добавим (15):

𝑙

_𝑥

=

λ

_𝑥

+

½(ζ-ζ')

–

½(η-η')

+

½τ'(ζ-ζ'-2λ

_𝑥

–π)

.

(17)

Повторяя опыты с бруском при двух положениях его рёбер, сначала направив ось 𝑥 вертикально вверх, а затем – вниз, мы сможем определить величину 𝑚. Если ось визирования является регулируемой, её необходимо установить в положение, как можно ближе совпадающее с магнитной осью, тогда ошибка, связанная с не совсем точным инвертированием магнита, может быть предельно уменьшена ².

² См. работу У. Свана «Неполная инверсия». (W. Swan, «Imperfect Inversion») Trans. R. S. Edin., vol. XXI (1855), p. 349.

Об измерении магнитных сил

453. Определение магнитного момента магнита 𝑀 и интенсивности (напряжённости) горизонтальной составляющей земного магнетизма 𝐻 являются наиболее важными измерениями магнитной силы. Обычно это делается комбинированием результатов двух экспериментов, в одном из которых измеряется отношение, а в другом – произведение этих величин.

Напряжённость магнитной силы бесконечно малого магнита с магнитным моментом 𝐿, создаваемая в точке на расстоянии 𝑟 от центра магнита в положительном направлении его оси, направлена по 𝑟 и равна

𝑅

=

2𝑀

𝑟³

.

(1)

Если размеры магнита конечны, но он имеет сферическую форму и однородно намагничен в направлении оси, то это выражение продолжает оставаться точным. Для соленоидального магнита, имеющего форму стержня длиной 2𝐿,

𝑅

=

2𝑀

𝑟³

⎛

⎜

⎝

1+2

𝐿²

𝑟²

+3

𝐿⁴

𝑟⁴

+…

⎞

⎟

⎠

.

(2)

Если магнит имеет произвольную форму с малыми по сравнению с 𝑟 размерами,

𝑅

=

2𝑀

𝑟³

⎛

⎜

⎝

1+

𝐴

₁

1

𝑟

+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

⎞

⎟

⎠

,

(3)

где 𝐴₁, 𝐴₂ и т.д.– коэффициенты, зависящие от распределения намагниченности по образцу.

Обозначим через 𝐻 горизонтальную составляющую земного магнетизма в произвольном месте; 𝐻 направлена к магнитному северу. Будем отсчитывать 𝑟 в сторону магнитного запада; тогда составляющая магнитной силы в точке 𝑟 в северном направлении будет равна 𝐻, а в западном направлении – 𝑅. Равнодействующая сила составит с магнитным меридианом угол θ, отсчитываемый к западу, причём

𝑅

=

𝐻

tg θ.

(4)

Следовательно, для определения 𝑅/𝐻 мы поступим следующим образом.

Установив направление магнитного севера, подвесим магнит не слишком больших размеров так же, как в предыдущих опытах. В той же горизонтальной плоскости поместим отклоняющий магнит 𝑀 таким образом, чтобы центр его находился на расстоянии 𝑟 от центра подвешенного магнита в направлении магнитного востока.

Ось магнита 𝑀 тщательно устанавливается – она должна быть горизонтальна и направлена по 𝑟.

Наблюдения за подвешенным магнитом производятся как до поднесения к нему магнита 𝑀, так и после установления магнита 𝑀 на его место. Если θ – наблюдаемое отклонение, то по приближённой формуле (1)

𝑀

𝐻

=

𝑟³

2

tg θ

,

(5)

если же использовать формулы (3), то

1

2

𝑀

𝐻

𝑟³

tg θ

=

1+

𝐴

₁

1

𝑟

+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

.

(6)

Здесь мы должны помнить, что отклонение θ можно измерять с большой точностью, а расстояние между центрами магнитов, пока мы не зафиксировали оба магнита и не пометили их центры, измерить точно нельзя. Эта трудность преодолевается так.

Магнит 𝑀 размещается на шкале с делениями, которая продолжается к востоку и к западу – по обе стороны от подвешенного магнита. Центром магнита 𝑀 считается средняя точка между его концами. Можно отметить эту точку на магните и засекать её положение, а можно измерять положение концов и брать их среднее арифметическое. Обозначим положение центра магнита 𝑀 через 𝑠₁, а положение точки, в которой линия нити подвеса с подвешенным на ней магнитом пересекает шкалу,– через 𝑠₀; тогда 𝑟₁=𝑠₁-𝑠₀ где 𝑠₁ известно точно, а 𝑠₀ – приближенно. Пусть θ₁ – отклонение, наблюдаемое при этом положении магнита 𝑀.

Теперь перевернём 𝑀 т.е. поместим его на шкале, поменяв местами его концы; тогда 𝑟₁ останется тем же самым, а 𝑀, 𝐴₁, 𝐴₃, … сменят знаки, так что для отклонения θ₂ будем иметь

-

1

2

𝑀

𝐻

𝑟

₁

³

tg θ

₂

=

1-

𝐴

₁

1

𝑟₁

+

𝐴

₂

1

𝑟₁²

–…

.

(7)

Взяв среднее арифметическое от (6) и (7), получим

1

4

𝑀

𝐻

𝑟

₁

³

(

tg θ

₁

–

tg θ

₂

)

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟₁²

+

𝐴

₄

1

𝑟₁⁴

+…

.

(8)

Теперь поместим 𝑀 к западу от подвешенного магнита, установив его центр в точке, соответствующей отметке на шкале 2𝑠₀-𝑠₁. Для отклонений оси в двух новых положениях θ₃ и θ₄ получим, как и прежде:

1

4

𝑀

𝐻

𝑟

₂

³

(

tg θ

₃

–

tg θ

₄

)

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟₂²

+

𝐴

₄

1

𝑟₂⁴

+…

.

(9)

Допустим, что истинное положение центра подвешенного магнита не 𝑠₀, а 𝑠₀+σ; тогда

𝑟

₁

=

𝑟-σ

,

𝑟

₂

=

𝑟+σ

(10)

и

1

2

⎛

⎝

𝑟

₁

^𝑛

+

𝑟

₂

^𝑛

⎞

⎠

=

𝑟

^𝑛

⎧

⎨

⎩

1+

𝑛(𝑛-1)

2

σ²

𝑟²

+…

⎫

⎬

⎭

.

(11)

Если измерения проведены достаточно аккуратно, то величиной σ²/𝑟² можно пренебречь и вместо 𝑟₁^𝑛 и 𝑟₂^𝑛 с уверенностью подставить 𝑟^𝑛.

Тогда, взяв среднее арифметическое от (8) и (9), получим

1

8

𝑀

𝐻

𝑟³

(

tg θ

₁

–

tg θ

₂

+

tg θ

₃

–

tg θ

₄

)

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

(12)

или, введя обозначение

¼

(

tg θ

₁

–

tg θ

₂

+

tg θ

₃

–

tg θ

₄

)

=

𝐷

,

(13)

найдём

1

8

𝑀

𝐻

𝐷

𝑟³

=

1+

𝐴

₂

1

𝑟²

+…

.

454. Теперь мы можем рассматривать 𝐷 и 𝑟 как величины, допускающие точное определение.

Значение 𝐴₂ никогда не превосходит 2𝐿² (𝐿 – половина длины магнита); поэтому на расстояниях 𝑟, значительных по сравнению с 𝐿, мы можем пренебречь членом с 𝐴₂ и сразу же определить отношение 𝐻 к 𝑀. Нельзя, однако, считать, что величина 𝐴₂ равна 2𝐿², она может быть меньше и даже отрицательна, если максимальный размер магнита поперечен по отношению к оси. Членами с 𝐴₄ и более высокого порядка можно пренебречь без опасений.

Чтобы исключить 𝐴₂, повторим эксперимент с различными расстояниями 𝑟₁, 𝑟₂, 𝑟₃, …, получив для 𝐷 значения 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐷₃, …; тогда

𝐷

₁

=

2𝑀

𝐻

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₁³

+

𝐴₂

𝑟₁⁵

⎞

⎟

⎠

,

𝐷

₂

=

2𝑀

𝐻

⎛

⎜

⎝

1

𝑟₂³

+

𝐴₂

𝑟₂⁵

⎞

⎟

⎠

, …, … .

Если предположить, что вероятные ошибки этих уравнений одинаковы, а это будет так, когда они зависят только от определения 𝐷 и когда не существует неопределённости в величине 𝑟, то в соответствии с общим правилом комбинирования в теории ошибок измерений (в предположении равенства вероятных ошибок всех уравнений) одно из комбинированных уравнений получится при умножении каждого из приведённых выше уравнений на 𝑟^-3 и сложения результатов, а второе – при умножении на 𝑟^-5 и также с последующим сложением результатов.

Обозначив через ∑(𝐷𝑟^-3) величину

𝐷

₁

𝑟

₁

^-3

+

𝐷

₂

𝑟

₂

^-3

+

𝐷

₃

𝑟

₃

^-3

+…

и используя аналогичные обозначения для других групп символов, оба результирующие уравнения можно записать в виде

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

=

2𝑀

𝐻

⎧

⎨

⎩

∑

(𝑟

^-6

)

+

𝐴

₂

∑

(𝑟

^-8

)

⎫

⎬

⎭

,

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

=

2𝑀

𝐻

⎧

⎨

⎩

∑

(𝑟

^-8

)

+

𝐴

₂

∑

(𝑟

^-10

)

⎫

⎬

⎭

,

откуда

2𝑀

𝐻

⎧

⎨

⎩

∑

(𝑟

^-6

)

∑

(𝑟

^-10

)

–

⎡

⎣

∑

(𝑟

^-8

)

⎤²

⎦

⎫

⎬

⎭

=

=

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

∑

(𝐷𝑟

^-10

)

–

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

∑

(𝐷𝑟

^-8

)

и

𝐴

₂

⎧

⎨

⎩

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

∑

(𝐷𝑟

^-10

)

–

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

∑

(𝐷𝑟

^-8

)

⎫

⎬

⎭

=

=

∑

(𝐷𝑟

^-5

)

∑

(𝐷𝑟

^-6

)

–

∑

(𝐷𝑟

^-3

)

∑

(𝐷𝑟

^-8

)

.

Величина 𝐴₂, найденная из этих уравнений, должна быть меньше половины квадрата длины магнита 𝑀. В противном случае следует подозревать наличие какой-то ошибки в измерениях. Этот метод измерения и редукции был дан Гауссом в «Первом Докладе Магнитного Союза».

Если наблюдатель может сделать лишь две серии экспериментов для расстояний 𝑟₁ и 𝑟₂, то вычисленные по ним величины 2𝑀/𝐻 и 𝐴₂ будут равны

𝑄

=

2𝑀

𝐻

=

𝐷₁𝑟₁⁵-𝐷₂𝑟₂⁵

𝑟₁²-𝑟₂²

,

𝐴

₂

=

𝐷₂𝑟₂³-𝐷₁𝑟₁³

𝐷₁𝑟₁⁵-𝐷₂𝑟₂⁵

𝑟

₁

²

𝑟

₂

²

.

Ошибка в определении величины 𝑄 равна

δ𝑄

=

𝑟₁⁵δ𝐷₁-𝑟₂⁵δ𝐷₂

𝑟₁²-𝑟₂²

где δ𝐷₁ и δ𝐷₂ – действительные ошибки измеренных отклонений 𝐷₁ и 𝐷₂.

Предполагая ошибки δ𝐷₁ и δ𝐷₂ независимыми, а вероятное значение каждой из них равным δ𝐷, для вероятной ошибки δ𝑄 вычисленного значения 𝑄 получим

(δ𝑄)²

=

𝑟₁¹⁰+𝑟₂¹⁰

(𝑟₁²-𝑟₂²)²

(δ𝐷)²

.

Считая заданным одно из расстояний, например меньшее, можно найти величину большего расстояния, при котором ошибка δ𝑄 минимальна. Это условие приводит к уравнению пятой степени относительно 𝑟₁², которое имеет только один действительный корень, превышающий 𝑟₂²; отсюда находится наилучшее значение для 𝑟₁: 𝑟₁=1,3189𝑟₂.

Если измерение проведено только один раз, то наилучшим является расстояние, при котором

δ𝐷

𝐷

=

√

3

δ𝑟

𝑟

,

где δ𝐷 – вероятная ошибка в измерении отклонения, а δ𝑟 – вероятная ошибка в измерении расстояния.

Метод синусов

455. Метод, который мы только что рассмотрели, можно назвать методом тангенсов, поскольку мерой магнитной силы является тангенс угла отклонения.

Теперь, вместо того чтобы линию 𝑟₁, направлять на восток или на запад, будем устанавливать её до тех пор, пока она не окажется перпендикулярной оси отклонённого магнита; тогда величина 𝑅 сохранится прежней, но чтобы подвешенный магнит оставался перпендикулярным 𝑟, составляющая силы 𝐻 вдоль 𝑟 должна быть равна по величине 𝑅 и противоположно направлена, т.е. при угле отклонения θ 𝑅=𝐻 sin θ.

Этот метод называется методом синусов. Он может быть применён только при 𝑅, меньших 𝐻.

Метод синусов использован в портативной аппаратуре обсерватории Кью. Подвешенный магнит прикреплён к той части прибора, которая вращается вместе с телескопом и плечом отклоняющего магнита. Угол поворота всего устройства измеряется на азимутальном круге.

В начале аппаратура регулируется таким образом, чтобы ось телескопа совпадала со средним положением линии визирования магнита в невозмущённом положении. Если магнит совершает колебания, то истинный азимут магнитного севера находится путём наблюдения крайних положений колебания прозрачной шкалы и внесением соответствующей поправки в показания азимутального круга.

Затем на прямой стержень, проходящий через ось вращающегося устройства под прямым углом к оси телескопа, помещается отклоняющий магнит, который устанавливается так, чтобы его ось совпадала с линией, проходящей через центр подвешенного магнита.

Далее вся аппаратура поворачивается до тех пор, пока линия визирования подвешенного магнита снова не совпадёт с осью телескопа; новое показание азимута при необходимости уточняется путём измерения крайних положений осцилляций.

Разность уточнённых азимутов даёт величину отклонения, после чего следует действовать, как и в методе тангенсов, подставив лишь sin θ в выражение для 𝐷 вместо tg θ.

В этом методе отсутствует поправка на кручение нити подвеса, так как относительное положение нити, телескопа и магнита остаётся одинаковым при каждом измерении.

Оси двух магнитов при таком методе всегда расположены под прямым углом, что позволяет более аккуратно делать коррекцию длины.

456. Измерив таким способом отношение момента отклоняющего магнита к горизонтальной составляющей земного магнетизма, мы должны затем найти произведение этих величин путём определения момента сил, с которым земной магнетизм стремится повернуть этот же магнит при отклонении его оси от направления магнитного меридиана.

Есть два способа проведения такого измерения: динамический, когда измеряется время одного колебания магнита под действием земного магнетизма, и статический, когда магнит удерживается в равновесии под действием измеряемой статической пары сил и магнитной силы.

Аппаратура для динамического метода более проста, он даёт большую точность при абсолютных измерениях, но требует достаточно большого времени; статический метод допускает проведение почти мгновенных измерений и поэтому полезен при слежении за изменениями напряжённости магнитной силы, однако он требует более тонкой аппаратуры и не столь точен при абсолютных измерениях.

Метод колебаний

Подвешенный магнит с горизонтальной магнитной осью приводится в колебания в пределах малых дуг окружности. Колебания наблюдаются любым из описанных выше способов.

На шкале выбирается точка, соответствующая середине дуги колебаний, и засекается момент, когда магнит проходит через неё в положительном направлении. Если магнит не очень быстро возвращается в ту же самую точку, то засекается также момент прохождения через эту точку в отрицательном направлении; процесс этот продолжается до тех пор, пока не будет зарегистрировано (𝑛+1) прохождений в положительном направлении и 𝑛 прохождений в отрицательном направлении. Если же колебания совершаются настолько быстро, что не позволяют засекать последовательные прохождения, то можно регистрировать каждое третье или каждое пятое прохождение, обращая внимание на чередование в положительном и отрицательном направлениях.

Пусть наблюдаемые времена прохождений равны 𝑇₁ 𝑇₂, 𝑇_2𝑛+1. Положим

1

𝑛

⎛

⎜

⎝

1

2

+

𝑇

₁

+

𝑇

₃

+

𝑇

₅

+…+

𝑇

_2𝑛-1

+

1

2

𝑇

_2𝑛+1

⎞

⎟

⎠

=

𝑇

_𝑛+1

,

1

𝑛

⎛

⎜

⎝

1

2

+

𝑇

₂

+

𝑇

₄

+…+

𝑇

_2𝑛-2

+

𝑇

_2𝑛

⎞

⎟

⎠

=

𝑇'

_𝑛+1

.

Величина 𝑇_𝑛+1 является средним временем положительных прохождений, при правильном выборе точки оно должно соответствовать среднему времени отрицательных прохождений 𝑇'_𝑛+1. Среднее от этих величин следует брать в качестве среднего времени прохождения средней точки.

После того как совершится большое число колебаний, но ещё перед тем как они перестанут быть отчётливыми и регулярными, наблюдатель производит вторую серию измерений, из которой вычисляет среднее время прохождения средней точки во второй серии.

При вычислении периода колебаний из первой или из второй серии наблюдатель должен иметь возможность точно знать число полных колебаний, происшедших в интервале между временами прохождения средней точки в первой и во второй сериях.

Разделив интервал между средними временами прохождений средней точки в двух сериях на это число колебаний, он получит среднюю продолжительность одного колебания.

Измеренная продолжительность одного колебания должна быть затем – по тем же формулам, что и в экспериментах с маятником,– сведена к продолжительности одного колебания с бесконечно малым угловым отклонением. Если обнаружится, что амплитуда колебаний быстро уменьшается, то следует ввести ещё одну поправку – на сопротивление (см. п. 740). Эти поправки, однако, очень малы в случае, когда магнит подвешен на тонкой нити и когда дуга колебания составляет всего лишь несколько градусов.

Движение магнита определяется уравнением

𝐴

𝑑²θ

𝑑𝑡²

+

𝑀𝐻

sin θ

+

𝐻𝑀

τ'

(θ-γ)

=

0,

где θ – угол между магнитной осью и направлением силы 𝐻, 𝐴 – момент инерции магнита вместе с подвешенной аппаратурой, 𝑀 – магнитный момент магнита, 𝐻 – интенсивность горизонтальной магнитной силы, 𝑀𝐻τ' – коэффициент кручения; величина τ' введена в п. 452 и является очень малой. Значение θ в равновесии равно очень маленькому углу θ₀=τ'γ/(1+τ'). Решение уравнения при малых значениях амплитуды будет таким:

θ

=

𝐶 cos

⎛

⎜

⎝

2π

𝑡

𝑇

+

α

⎞

⎟

⎠

+

θ

₀

,

где 𝑇 – период, α – константа, 𝐶 – амплитуда; причём Т²=4п²А/МН (1 +т'),

𝑇²

=

4π²𝐴

𝑀𝐻(1+τ')

,

откуда находим значение 𝑀𝐻:

𝑀𝐻

=

4π²𝐴

𝑇²(1+τ')

.

Здесь 𝑇 – время полного колебания, определяемое из наблюдений, 𝐴 – момент инерции, устанавливаемый для магнита раз и навсегда либо путём взвешивания и обмера его (в том случае, когда он имеет правильную форму), либо путём динамической процедуры сопоставления с телом, момент инерции которого известен.

Комбинируя это выражение для 𝑀𝐻 с ранее найденным 𝑀/𝐻, получаем

𝑀²

=

(𝑀𝐻)

⎛

⎜

⎝

𝑀

𝐻

⎞

⎟

⎠

=

2π²𝐴

𝑇²(1+τ')

𝐷𝑟³

,

и

𝐻²

=

(𝑀𝐻)

⎛

⎜

⎝

𝐻

𝑀

⎞

⎟

⎠

=

8π²𝐴

𝑇²(1+τ')𝐷𝑟³

.

457. Выше мы предполагали, что в течение двух серий экспериментов величины 𝑀 и 𝐻 остаются постоянными. Наличие флуктуаций 𝐻 можно установить при одновременных измерениях на описываемом далее двухнитевом магнитометре. Если магнит был какое-то время в употреблении, но не подвергался во время экспериментов ни температурным изменениям, ни встряске, то определяемую постоянным магнетизмом долю намагниченности 𝑀 можно считать постоянной. Однако все стальные магниты подвержены влиянию индуцированного магнетизма, зависящего от действия внешней магнитной силы.

Ось магнита, участвующего в экспериментах в качестве отклоняющего, направлена с запада на восток; поэтому действие земного магнетизма перпендикулярно магниту и не стремится ни уменьшить, ни увеличить 𝑀. Когда же магнит установлен для совершения колебаний, его ось ориентирована в направлении север– юг; поэтому действие земного магнетизма стремится намагнитить магнит в направлении оси и, таким образом, увеличить его магнитный момент на величину 𝑘𝐻. где коэффициент 𝑘 должен быть найден из экспериментов с магнитом.

Есть два способа исключения этого источника ошибки без вычисления 𝑘; эксперименты должны проводиться так, чтобы магнит находился в одинаковых условиях, – и когда он участвует в отклонении другого магнита, и когда колеблется сам.

Можно направить ось отклоняющего магнита на север, поместив его на расстоянии 𝑟 от центра подвешенного магнита, выбрав линию 𝑟 так, чтобы она образовывала с магнитным меридианом угол, косинус которого равен √1/3. Тогда действие отклоняющего магнита на подвешенный будет происходить под прямыми углами к его собственному направлению и окажется равным 𝑅=√2𝑀/𝑟².

Как и в эксперименте с колебаниями, здесь 𝑀 является магнитным моментом, когда ось магнита указывает на север, поэтому никаких поправок на индукцию делать не надо.

Однако этот метод чрезвычайно сложен из-за больших ошибок, к которым приводило бы малейшее смещение отклоняющего магнита, и, поскольку коррекция путём обращения отклоняющего магнита здесь неприменима, к этому методу прибегать не стоит, кроме как для определения коэффициента индукции.

В другом методе, которым мы обязаны доктору Дж. П. Джоулю ³, магнит при колебаниях свободен от индуцирующего действия земного магнетизма.

³Proc. Phil. S., Manchester, March 19, 1867.

Изготавливаются два магнита с предельно близкими друг к другу магнитными моментами. В опытах по отклонению они либо используются отдельно, либо для увеличения отклонения размещаются по разные стороны от подвешенного магнита. При этом индуцирующая сила земного магнетизма перпендикулярна оси.

Теперь один из магнитов подвесим, а другой поместим точно под ним (центр под центром) параллельно ему, направив его ось в том же направлении. Сила, с которой покоящийся магнит действует на подвешенный, направлена против силы земного магнетизма. Если постепенно приближать покоящийся магнит к подвешенному, период колебаний будет возрастать, пока в некоторой точке равновесие не перестанет быть устойчивым, после чего подвешенный магнит начнёт колебаться в перевёрнутом положении. Экспериментируя таким образом, можно найти положение фиксированного магнита, в котором он точно нейтрализует действие земного магнетизма на подвешенный магнит. После этого два магнита скрепляются (с сохранением их параллельности) на расстоянии, найденном из этого эксперимента, при том же самом направлении осей. Затем они подвешиваются обычным способом и приводятся в состояние совместных колебаний в пределах малых дуг.

Нижний магнит точно нейтрализует влияние земного магнетизма на верхний, а поскольку магниты имеют одинаковые магнитные моменты, верхний также нейтрализует индуцирующее действие Земли на нижний магнит.

Таким образом, значение 𝑀 оказывается в опытах с колебаниями и отклонениями одинаковым, и не требуется вносить поправки на индукцию.

458. Только что описанный метод является наиболее точным для определения напряжённости горизонтальной магнитной силы. Однако невозможно провести всю серию экспериментов с достаточной точностью намного быстрее, чем за час; поэтому любые изменения напряжённости с периодом в несколько минут выпадут из наблюдений. Значит, для наблюдения напряжённости в какой-то отдельный момент времени необходим другой метод.

Статический метод состоит в отклонении магнита с помощью статической пары сил, действующей в горизонтальной плоскости. Пусть момент этой пары равен 𝐿, магнитный момент магнита 𝑀, горизонтальная составляющая земного магнетизма 𝐻 и угол отклонения θ, тогда 𝑀𝐻 sin θ=𝐿. Следовательно, если известен момент 𝐿 в зависимости от θ, то может быть найдена величина 𝑀𝐻.

Момент 𝐿 может возникнуть по двум причинам: из-за упругого кручения проволоки, как в обычных крутильных весах, или из-за веса подвешенного прибора, как при двухнитевом подвесе.

В крутильных весах магнит прикрепляется к концу вертикальной проволоки, верхний конец которой можно поворачивать и измерять угол поворота с помощью поворотного круга.

Тогда мы имеем

𝐿

=

τ(α-α

₀

–θ)

=

𝑀𝐻 sin θ

.

Здесь α₀ – показание поворотного круга при совпадении оси магнита с магнитным меридианом, а α – его действительное показание. Если поворотный круг установлен так, что магнит почти перпендикулярен магнитному меридиану, т.е. θ=(π/2)-θ', то

τ

⎛

⎜

⎝

α

–

α

₀

–

π

2

+

θ'

⎞

⎟

⎠

=

𝑀𝐻

⎛

⎜

⎝

1-

1

2

θ'²

⎞

⎟

⎠

,

или

𝑀𝐻

=

τ

⎛

⎜

⎝

1+

1

2

θ'²

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

α

–

α

₀

–

π

2

+

θ'

⎞

⎟

⎠

.

Измеряя отклонение магнита в равновесии θ', мы можем вычислить 𝑀𝐻 при условии, что мы знаем τ.

Если же мы хотим узнать только относительную величину 𝐻 в различные моменты времени, то нет необходимости в знании 𝑀 или τ.

Абсолютное значение τ легко определить, подвесив на том же проводе немагнитное тело и измеряя период его колебаний: τ=4π²𝐴/𝑇², где 𝐴 – момент инерции этого тела, 𝑇 – период одного полного колебания.

Основное возражение против использования крутильных весов состоит в том, что нулевое значение α₀ подвержено изменениям. Под действием постоянной скручивающей силы, возникающей из-за стремления магнита поворачиваться к северу, провод постепенно приобретает постоянное закручивание, так что через короткие промежутки времени становится необходимым определять нулевое показание поворотного круга заново.

Двухнитевой (бифилярный) подвес

Рис. 16

Рис. 17

459. Метод подвешивания магнита на двух проволоках или нитях был введён Гауссом и Вебером. Поскольку двухнитевой подвес используется во многих электрических приборах, изучим его более подробно. Общий вид подвеса показан на рис. 16; на рис. 17 изображены проекции проволок на горизонтальную плоскость:

𝐴𝐵 и 𝐴'𝐵' – проекции двух проволок;

𝐴𝐴' и 𝐵𝐵' -линии, соединяющие верхние и нижние концы проволок;

𝑎 и 𝑏 – длины линий 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵';

α и β – их азимуты;

𝑊 и 𝑊' – вертикальные составляющие натяжения проволок;

𝑄 и 𝑄' – их горизонтальные составляющие;

ℎ – расстояние по вертикали между 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵'.

Действующие на магнит силы таковы: его вес, пара сил, обусловленная земным магнетизмом, кручение (если таковое имеется) проволок и их натяжение. Из всего этого действие магнетизма и кручение имеют характер момента. Поэтому равнодействующая натяжения должна состоять из равной весу вертикальной силы и момента сил. Следовательно, равнодействующая вертикальных составляющих натяжения направлена вдоль линии, имеющей своей проекцией точку 𝑂, которая является пересечением линий 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵'. и делит каждую из них в отношении 𝑊' к 𝑊.

Горизонтальные составляющие натяжения образуют пару сил, т.е. они равны по величине и параллельны по направлению. Обозначая каждую из них через 𝑄, для момента пары сил, которую они образуют, имеем

𝐿

=

𝑄

⋅

𝑃𝑃'

,

(1)

где 𝑃𝑃' – расстояние между параллельными линиями 𝐴𝐵 и 𝐴'𝐵'.

Для определения величины 𝐿 мы имеем уравнения моментов

𝑄ℎ

=

𝑊⋅𝐴𝐵

=

𝑊'⋅𝐴'𝐵'

,

(2)

и геометрическое соотношение

(𝐴𝐵+𝐴'𝐵')𝑃𝑃'

=

𝑎𝑏 sin(α-β)

,

(3)

откуда получаем

𝐿

=

𝑄

⋅

𝑃𝑃'

=

𝑎𝑏

ℎ

𝑊𝑊'

𝑊+𝑊'

sin(α-β)

.

(4)

Если масса подвешенного прибора равна 𝑚, а интенсивность гравитации 𝑔, то

𝑊+𝑊'

=

𝑚𝑔

.

(5)

Мы можем также записать

𝑊-𝑊'

=

𝑛𝑚𝑔

(6)

откуда найдём

𝐿

=

1

4

(1-𝑛²)

𝑚𝑔

𝑎𝑏

ℎ

sin(α-β)

.

(7)

Таким образом, величина 𝐿 будет иметь максимум по 𝑛 при 𝑛=0, т.е. когда вес подвешенной массы одинаково несут обе проволоки.

Мы можем отрегулировать натяжения проволок и сделать их одинаковыми путём измерения и сведения к минимуму периода колебаний, или же мы можем получить автоматическую регулировку, присоединив концы проволок, как показано на рис. 16, к блоку, который поворачивается пока натяжения не сравниваются.

Расстояние между верхними концами проволок подвеса регулируется с помощью двух других блоков. Расстояние между нижними концами проволок также допускает регулировку.

При такой регулировке натяжения момент, возникающий из-за натяжения проволок, становится равным

𝐿

=

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(α-β)

.

Момент пары сил, возникающий из-за кручения проволок, записывается в виде τ(α-β) где τ – сумма коэффициентов кручения проволок.

Кручение проволок должно отсутствовать, когда α=β, при этом можно положить γ=α.

Момент пары сил, обусловленный горизонтальной магнитной силой, имеет вид 𝑀𝐻 sin (δ-θ), где δ – магнитное склонение, а θ – азимут оси магнита. Мы избежим введения ненужных обозначений без потери общности, предположив, что ось магнита параллельна 𝐵𝐵' или что β=θ.

Тогда уравнение движения становится таким:

𝐴

𝑑²θ

𝑑𝑡²

=

𝑀𝐻 sin (δ-θ)

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(α-θ)

+

τ(α-θ)

.

(8)

Имеется три основных положения прибора.

(1). Когда угол α примерно равен δ. Если время полного колебания в этом положении равно 𝑇₁, то

4π²𝐴

𝑇₁²

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

+

τ

+

𝑀𝐻

.

(9)

(2). Когда угол α близок к δ+π. Если в этом положении время полного колебания равно 𝑇₂, а северный конец магнита повёрнут к югу, то

4π²𝐴

𝑇₂²

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

+

τ

–

𝑀𝐻

.

(10)

Величина в правой части уравнения может быть сделана сколь угодно малой при уменьшении 𝑎 или 𝑏, но не должна становиться отрицательной, иначе равновесие магнита станет неустойчивым. Магнит в таком положении является прибором, чувствительным к малым вариациям направления магнитного поля.

Действительно, когда угол θ-δ примерно равен π, то sin(δ-θ) примерно равен θ-δ-π, и мы находим

θ=α-

𝑀𝐻

(δ+π-α).

1

𝑎𝑏

𝑚𝑔+τ-𝑀𝐻

2

ℎ

(11)

Уменьшая знаменатель дроби в последнем члене, мы можем сделать вариации θ очень большими по сравнению с вариациями δ. Следует заметить, что коэффициент перед δ в этом выражении отрицателен, так что когда направление магнитной силы поворачивается в одну сторону, магнит поворачивается в противоположную.

(3). В третьем положении верхняя часть подвешенной аппаратуры поверну та так, что ось магнита примерно перпендикулярна магнитному меридиану. Если положить

θ-δ

=

π

2

+

θ'

 и

α-θ

=

θ'

,

(12)

то уравнение движения может быть записано в виде

𝐴

𝑑²θ'

𝑑𝑡²

=

–

𝑀𝐻

cos θ'

+

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(β-θ')

+

τ(β-θ)

.

(13)

Если при 𝐻=𝐻₀ и θ'=0 существует равновесие

-

𝑀𝐻

₀

+

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin β

+

βτ

=

0,

(14)

то горизонтальная сила 𝐻 соответствующая малому углу θ' равна

𝐻

=

𝐻

₀

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

1-

1

4

𝑎𝑏

ℎ 𝑚𝑔 cos β + τ

1

4

𝑎𝑏

ℎ 𝑚𝑔 sin β + τβ

θ'

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(15)

Чтобы магнит находился в устойчивом равновесии, числитель дроби во втором члене должен быть положительным, но чем он ближе к нулю, тем прибор будет более чувствительным при индикации изменений величины напряжённости горизонтальной составляющей земного магнетизма.

Статический метод оценки напряжённости силы зависит от действия прибора, что само по себе предполагает различные положения равновесия при различных значениях силы. Поэтому с помощью прикреплённого к магниту зеркальца, отбрасывающего светящееся пятно на движущуюся под действием часового механизма фотографирующую поверхность, можно вычертить на ней кривую, по которой можно определять напряжённость силы в любой момент времени в масштабе, который в этом случае мы можем брать произвольным.

460. В любой обсерватории, где непрерывная система регистрации склонения и напряжённости налажена либо визуальным методом, либо методом автоматического фотографирования, можно с большой степенью точности определять абсолютные значения склонения и напряжённости, а также положение и момент магнитной оси магнита.

Действительно, деклинометр в каждый момент выдаёт склонение с некоторой постоянной ошибкой, а двухнитевой магнитометр даёт в каждый момент значение напряжённости, умноженное на некоторый постоянный коэффициент. В экспериментах мы заменяем δ на δ'+δ₀, где δ' – показание деклинометра в данный момент, а δ₀ – неизвестная, но постоянная ошибка, так что δ'+δ₀ будет истинным склонением в этот момент.

Аналогично вместо 𝐻 мы подставляем 𝐶𝐻', где 𝐻' – показание магнитометра по произвольной шкале, а 𝐶 – неизвестный постоянный множитель, превращающий эти показания в абсолютные, так что 𝐶𝐻' оказывается равной горизонтальной силе в данный момент времени.

Эксперименты по определению абсолютных значений этих величин должны проводиться на достаточном расстоянии от деклинометра и магнитометра, чтобы разные магниты не возмущали заметно друг друга. Следует засекать время каждого измерения и подставлять соответствующие значения δ' и 𝐻' После этого необходимо, обращаясь к уравнениям, найти постоянную деклинометра δ₀, а также коэффициент 𝐶, используемый в показаниях магнитометра. Когда всё это будет найдено, показания обоих приборов можно выразить в абсолютных величинах. Абсолютные измерения, однако, следует часто повторять, чтобы учесть изменения, которые могут произойти с магнитными осями и магнитными моментами магнитов.