Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 34 страниц)

ЧАСТЬ IV

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ГЛАВА I

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СИЛА

475. В определённых условиях, как было замечено большим числом разных наблюдателей, магнетизм у игл и стрелок образуется или разрушается под действием разрядов электричества, проходящих через них или рядом с ними. Хотя при этом делались различного рода догадки о связи между магнетизмом и электричеством, но законы этих явлений, равно как и вид этих связей, оставались совершенно неизвестными до тех пор, пока Ганс Христиан Эрстед ¹ на одной из частных лекций для небольшого числа аспирантов в Копенгагене не обнаружил, что провод, замыкающий клеммы вольтовой батареи, оказывает влияние на расположенный поблизости магнит. Он опубликовал это открытие в своём трактате, озаглавленном «Опыты, касающиеся влияния электрических возмущений на магнитные иглы», датированным 21 июля 1820 г.

¹ Другой отчёт о том, как было сделано открытие Эрстеда, содержится в письме проф. Ханстина (Hansteen), помещённом в книге д-ра Бенса Джонса «Жизнь Фарадея» (Dr. Веnсе Jones, «Life of Faraday», vol. II, p. 395).

Эксперименты по связи между магнитом и электрически заряженными телами не дали никаких результатов до тех пор, пока Эрстед не попытался установить влияние провода, нагретого электрическим током. Однако он открыл, что не тепло в проводе, а сам электрический ток оказался причиной этого воздействия и что «электрическое возмущение действует вращательным образом», а именно: магнит, помещённый вблизи провода, передающего электрический ток, стремится установиться перпендикулярно проводу, а при обносе его вокруг провода он всегда указывает вперёд одним и тем же концом.

476. Из этого явствует, что в пространстве, окружающем провод, по которому течёт электрический ток, магнит находится под действием сил, зависящих от положения провода и от силы тока. Поэтому пространство, где действуют эти силы, можно рассматривать как магнитное поле и изучать его так же, как мы уже изучали поле в окрестности обычных магнитов, прослеживая ход линий магнитной силы и измеряя напряжённость силы в каждой точке.

477. Начнём со случая сколь угодно длинного прямого провода, несущего электрический ток. Если бы наблюдатель представил себе, что он расположен вдоль этого провода, а ток протекает от его головы к его ногам, то свободно подвешенный перед ним магнит установился бы таким образом, чтобы конец магнита, ранее указывавший на север, под действием тока стал бы указывать на правую руку этого наблюдателя.

Линии магнитной силы всюду составляют прямые углы с плоскостями, проведёнными через провод, и потому являются окружностями; каждая из них лежит в плоскости, перпендикулярной проводу, а сам провод проходит через центры этих окружностей. Полюс магнита, указывающий на север, при его перемещении вдоль одной из этих окружностей слева направо испытывал бы действие силы всегда в направлении движения. А на другой полюс того же магнита сила действовала бы в противоположном направлении.

Рис. 21

478. Для сравнения этих сил будем считать провод вертикальным, а ток текущим вниз. Магнит же поместим на какое-нибудь устройство, свободно вращающееся относительно вертикальной оси, совпадающей с проводом [рис. 21]. Оказывается, что в этих условиях ток не даёт никакого эффекта вращения всего устройства в целом вокруг оси. Следовательно, действие вертикального тока на два полюса магнита таково, что статические моменты обеих сил относительно тока, взятого за ось, равны и противоположны. Пусть мощности полюсов равны 𝑚₁ и 𝑚₂, их расстояния до оси провода 𝑟₁ и 𝑟₂, интенсивности магнитной силы, обусловленной током, в месте расположения этих полюсов соответственно 𝑇₁ и 𝑇₂, тогда действующая на 𝑚₁ сила будет равна 𝑚₁𝑇₁; так как она составляет с осью прямой угол, её момент есть 𝑚₁𝑇₁𝑟₁. Аналогично момент силы, действующей на другой полюс, равен 𝑚₂𝑇₂𝑟₂. Поскольку при этом не наблюдается никакого движения, то

𝑚

₁

𝑇

₁

𝑟

₁

+

𝑚

₂

𝑇

₂

𝑟

₂

=

0.

Однако мы знаем, что у всех магнитов 𝑚₁+𝑚₂=0. Поэтому 𝑇₁𝑟₁=𝑇₂𝑟₂, или электромагнитная сила, обусловленная бесконечно протяжённым прямолинейным током, перпендикулярна этому току, а её величина изменяется обратно пропорционально расстоянию от него.

479. Произведение 𝑇𝑟 зависит от силы тока и потому может быть использовано в качестве меры этого тока. Такой метод измерения отличен от метода, основанного на электростатических явлениях, и поскольку он зависит от магнитных явлений, вызываемых электрическими токами, то его называют Электромагнитной системой измерений. Если в этой системе ток обозначить через 𝑖, то 𝑇𝑟=2𝑖.

480. Если принять провод за ось 𝑧, то прямоугольные составляющие 𝑇 будут равны

𝑋

=

–2𝑖

𝑦

𝑟²

,

𝑌

=

2𝑖

𝑥

𝑟²

,

𝑍

=

0.

Здесь 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 есть полный дифференциал от 2𝑖 arctg(𝑦/𝑥)+𝐶.

Следовательно, магнитная сила в этом поле может быть выведена, как и в нескольких предыдущих примерах, из потенциальной функции, но в данном случае потенциал является функцией с бесконечной последовательностью значений, имеющих общую разность, равную 4π𝑖. Частные производные по координатам, однако, имеют определённые и единственные значения в каждой точке.

Существование потенциальной функции в поле вблизи электрического тока не является самоочевидным следствием принципа сохранения энергии, ибо для всех реальных токов имеет место непрерывное расходование электрической энергии батареи, идущей на преодоление сопротивления провода. И пока величина этого расхода точно неизвестна, допустимо подозревать, что часть энергии батареи может идти на работу, совершаемую над магнитом при его движении по окружности. И действительно, если магнитный полюс 𝑚 двигается по замкнутой кривой, охватывающей провод, то над ним в самом деле совершается работа, равная по величине 4π𝑚𝑖. И только для замкнутых путей, не охватывающих провод, криволинейный интеграл от силы обращается в нуль. Поэтому пока мы должны считать, что как закон для силы, так и само существование потенциала опираются на описанные выше экспериментальные факты.

481. Рассматривая пространство, окружающее бесконечную прямую линию, мы видим, что это пространство является циклическим, поскольку оно возвращается само в себя. Но если мы представим плоскость или какую-то иную поверхность, начинающуюся на прямой линии и простирающуюся по одну сторону от неё до бесконечности, то эту поверхность можно будет рассматривать как диафрагму, сводящую циклическое пространство к ациклическому. Пусть из некоторой фиксированной точки в другую произвольную точку проведены линии, не пересекающие диафрагму, а потенциал определён как криволинейный интеграл от силы, взятый вдоль одной из этих линий, тогда потенциал любой точки будет иметь единственное и определённое значение.

Теперь магнитное поле во всех отношениях совпадаете полем, создаваемым магнитной оболочкой, совмещённой с этой поверхностью и имеющей мощность 𝑖; эта оболочка с одной своей стороны ограничена бесконечной прямой линией, тогда как другие части её границы бесконечно удалены от рассматриваемых областей поля.

482. Во всех реальных экспериментах ток образует замкнутую цепь (контур) конечных размеров. Поэтому мы должны сравнивать магнитное действие конечного контура с действием магнитной оболочки, для которой контур служит ограничивающим краем.

Многочисленными экспериментами, из которых наиболее ранние выполнены Ампером, а наиболее точные – Вебером, показали, что магнитное действие маленького плоского контура на расстояниях, больших по сравнению с его размерами, совпадает с действием магнита, ось которого нормальна к плоскости контура, а магнитный момент равен площади контура, помноженной на силу тока.

Если предположить, что на контур натянута некоторая поверхность, которая ограничена этим же контуром и тем самым образует диафрагму, и если заменить электрический ток магнитной оболочкой, совпадающей с данной поверхностью и имеющей мощность 𝑖, то магнитное действие оболочки во всех удалённых точках окажется одинаковым с магнитным действием тока.

483. До сих пор мы считали размеры контура малыми по сравнению с расстоянием между любым участком контура и областью, где исследуется поле. Теперь мы будем предполагать, что контур имеет произвольную форму и произвольные размеры; изучим его действие в произвольной точке 𝑃, но не расположенной, однако, внутри самого проводящего провода. Для этой цели Ампер ввёл следующий метод, имеющий важные геометрические применения.

Представим себе какую-нибудь поверхность 𝑆, ограниченную контуром и не проходящую через точку 𝑃. Проведём на этой поверхности два семейства линий, которые, пересекаясь друг с другом, делят поверхность на элементарные части, имеющие размеры, малые по сравнению с их расстоянием от 𝑃 и с радиусом кривизны поверхности.

Представим себе, что вокруг каждого из этих элементов течёт ток силы 𝑖, имеющий одинаковое, такое же, как и в исходном контуре, направление циркуляции во всех элементах.

Вдоль каждой из линий, разделяющих два смежных элемента, текут два равных тока силы 𝑖 в противоположных направлениях.

Эффект двух одинаковых, но противоположных токов, текущих в одном и том же месте, тождественно равен нулю, с какой бы точки зрения мы ни рассматривали эти токи. Единственными участками элементарных контуров, которые не нейтрализуются таким путём, являются участки, совпадающие с первоначальным контуром. Поэтому общий эффект элементарных контуров эквивалентен эффекту первоначального контура.

484. Теперь, поскольку каждый элементарный контур может рассматриваться как маленький плоский контур, расстояние которого от 𝑃 велико по сравнению с его размерами, мы можем заменить его элементарной магнитной оболочкой мощности 𝑖, ограничивающий край которой совпадает с этим элементарным контуром. Магнитный эффект, производимый элементарной оболочкой в точке 𝑃, эквивалентен эффекту элементарного контура. В целом все элементарные оболочки образуют магнитную оболочку мощности 𝑖, совпадающую с поверхностью 𝑆 и ограниченную первоначальным контуром; магнитное действие всей оболочки в точке 𝑃 эквивалентно действию контура.

Ясно, что действие этого контура не зависит от формы поверхности 𝑆, которая была выбрана совершенно произвольным образом, лишь бы она затягивала контур. Отсюда видно, что действие магнитной оболочки зависит только от формы её границы, но не от формы самой оболочки. Этот результат мы получили раньше, в п. 410, однако весьма поучительно видеть, как он может быть выведен из электромагнитных соображений.

Поэтому магнитная сила, создаваемая контуром в произвольной точке, по величине и направлению одинакова с магнитной силой, создаваемой магнитной оболочкой, ограниченной этим контуром и не проходящей через данную точку, причём мощность оболочки численно равна силе тока. Направление тока в контуре так соотносится с направлением намагниченности оболочки, что если наблюдатель встал бы ногами на ту сторону оболочки, которую мы называем положительной и которая стремится указывать на север, то ток перед ним протекал бы справа налево.

485. Магнитный потенциал контура, однако, отличается от потенциала магнитной оболочки для тех точек, которые находятся в самом веществе магнитной оболочки.

Если ω – телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на магнитную оболочку (он считается положительным, когда ближней к 𝑃 оказывается положительная или аустральная сторона оболочки), то магнитный потенциал в произвольной точке вне самой оболочки равен ωφ, где φ – мощность оболочки. Для какой-либо точки внутри вещества самой оболочки мы можем предположить, что оболочка разделена на две части, имеющие мощности φ₁ и φ₂, такие, что φ₁+φ₂=φ, причём точка находится на положительной стороне оболочки φ₁ и на отрицательной стороне оболочки φ₂. Потенциал в этой точке равен ω(φ₁+φ₂)-4πφ₂.

На отрицательной стороне оболочки этот потенциал становится равным φ(ω-4π). Следовательно, в этом случае потенциал является непрерывным и имеющим в каждой точке единственное определённое значение. С другой стороны, в случае электрического контура магнитный потенциал в каждой точке (но не внутри проводящего провода) равен 𝑖ω, где 𝑖 – сила тока, а ω – телесный угол с вершиной в этой точке, опирающийся на контур и считающийся положительным, когда ток, если смотреть из точки 𝑃, циркулирует в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки.

Величина 𝑖ω является функцией, имеющей бесконечную последовательность значений, общая разность которых равна 4π𝑖. Частные производные от 𝑖ω по координатам имеют, однако, единственные и определённые значения в каждой точке пространства.

486. Если длинный тонкий гибкий соленоидальный магнит поместить рядом с электрическим контуром, то северный и южный концы соленоида стремились бы двигаться в противоположных направлениях вокруг провода, и если бы они могли свободно подчиняться действию магнитной силы, то в конце концов магнит оказался бы скрученным вокруг провода в замкнутый виток. Если было бы возможно получить магнит с одним лишь полюсом или с полюсами, обладающими неодинаковыми мощностями, то такой магнит стал бы непрерывно двигаться, причём двигаться вокруг провода в одном направлении; но поскольку полюса у каждого магнита равны и противоположны, то такой результат никогда не может быть достигнут. Фарадей, однако, показал, как производить непрерывное вращение одного полюса магнита вокруг электрического контура, создавая возможность одному из полюсов продолжительно вращаться вокруг тока, а второму – нет.

Для того чтобы этот процесс мог повторяться сколь угодно долго, тело магнита должно переноситься при каждом обороте с одной стороны тока на другую. Чтобы осуществить это, не прерывая потока электричества, ток распределяется по двум ветвям; когда одна ветвь размыкается, позволяя пройти магниту, ток продолжает течь по другой ветви. Для этой цели Фарадей использовал кольцевой желобок со ртутью, как это показано на рис. 23, п. 491. Ток входит в жёлоб по проводу 𝐴𝐵, в 𝐵 он разделяется, после протекания по дугам 𝐵𝑄𝑃 и 𝐵𝑅𝑃 соединяется в 𝑃 и покидает жёлоб по проводу 𝑃𝑂 через чашу со ртутью 𝑂, далее он течёт вниз по вертикальному проводу, расположенному под чашей 𝑂.

Магнит (не показанный на рис. 23) установлен так, чтобы иметь возможность вращаться вместе с проводом 𝑂𝑃 вокруг вертикальной оси, проходящей через 𝑂. Тело магнита проходит через отверстие кольца, причём один полюс, скажем северный, располагается под плоскостью желоба, а второй – над ней. Поскольку магнит вращается вместе с проводом 𝑂𝑃 около вертикальной оси, то ток постепенно переходит из той ветви желоба, которая находится впереди магнита, к той ветви, которая находится позади его, так что при каждом полном обороте магнит переходит с одной стороны тока на другую. Северный полюс магнита вращается вокруг текущего вниз тока в направлении 𝑁→𝐸→𝑆→𝑊 (север-восток-юг-запад). Если ω и ω' – телесные углы (без учёта знаков) с вершинами на этих двух полюсах, опирающиеся на кольцевой жёлоб, то работа, совершаемая электромагнитной силой при полном обороте, равна 𝑚𝑖(4π-ω-ω'), где 𝑚 – мощность любого из полюсов, а 𝑖 – сила тока.

487. Попытаемся теперь составить себе представление о состоянии магнитного поля вблизи линейного электрического контура. Пусть для каждой точки пространства найдено значение телесного угла ω, опирающегося на контур, и построены поверхности постоянных значений ω. Они будут эквипотенциальными. Каждая из таких поверхностей ограничена контуром, и любые две поверхности ω₁ и ω₂, встречаются на контуре под углом (ω₁-ω₂)/2.

На рис. XVIII в конце этого тома представлено сечение эквипотенциальных поверхностей, создаваемых кольцевым током. Маленький круг представляет сечение проводящего провода, а горизонтальная линия внизу рисунка является перпендикуляром к плоскости кольцевого тока, проходящим через его центр. Эквипотенциальные поверхности (24 из них изображены для последовательных значений ω с интервалом π/6) являются поверхностями вращения, имеющими эту линию в качестве их общей оси. Они, очевидно, представляют собой вытянутые фигуры, уплощённые в направлении оси. На линии контура они встречаются друг с другом под углом в 15 градусов.

Сила, действующая на магнитный полюс, помещённый в любой точке эквипотенциальной поверхности, перпендикулярна к этой поверхности и изменяется обратно пропорционально расстоянию между последовательными поверхностями. Замкнутые кривые, окружающие сечение провода на рис. XVIII, являются линиями силы. Они воспроизведены из работы сэра У. Томсона «Вихревое движение» ²; см. также п. 702.

²Trans. R. S. Edin., vol. XXV, p. 217 (1869).

Действие электрического контура на произвольную магнитную систему

488. Теперь мы в состоянии, исходя из теории магнитных оболочек, вычислить действие электрического контура на произвольную магнитную систему, находящуюся в его окрестности. Действительно, если построить магнитную оболочку, мощность которой численно равна силе тока, а край по своему положению совпадает с контуром, причём построить так, чтобы сама оболочка нигде не пересекала магнитной системы, то действие этой оболочки на магнитную систему будет равносильно действию электрического тока.

Реакция магнитной системы на электрический контур

489. Отсюда, применяя принцип, что действие и противодействие (реакция) равны и противоположны, мы заключаем, что механическое действие магнитной системы на электрический контур равносильно действию на магнитную оболочку, имеющей этот контур в качестве своей границы.

Потенциальная энергия магнитной оболочки мощности φ, помещённой в поле магнитной силы с потенциалом 𝑉, согласно п. 410, равна

φ

∬

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑𝑉

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали, проведённой с положительной стороны элемента оболочки 𝑑𝑆; интегрирование распространяется на всю поверхность оболочки.

Теперь поверхностный интеграл

𝑁

=

∬

(

𝑙𝑎

+

𝑚𝑏

+

𝑛𝑐

)

𝑑𝑆

,

в котором 𝑎, 𝑏, 𝑐 – составляющие магнитной индукции, представляет собой величину потока магнитной индукции через оболочку, или на языке Фарадея число линий магнитной индукции (подсчитанное алгебраически), проходящих через оболочку от отрицательной стороны к положительной; при этом линии, проходящие сквозь оболочку в противоположном направлении, считаются отрицательными .

Помня, что оболочка не принадлежит магнитной системе, обусловливающей потенциал 𝑉 и потому магнитная сила равна магнитной индукции, мы имеем

𝑎

=-

𝑑𝑉

𝑑𝑥

,

𝑏

=-

𝑑𝑉

𝑑𝑦

,

𝑐

=-

𝑑𝑉

𝑑𝑧

,

и для значения 𝑀 можно написать 𝑀=-φ𝑁.

Если δ𝑥₁ представляет собой какое-нибудь смещение оболочки, а 𝑋₁ – действующую на неё и способствующую этому смещению силу, то согласно принципу сохранения энергии

𝑋

₁

δ𝑥

₁

+

δ𝑀

=

0

, или

𝑋

₁

=

ψ

𝑑𝑁

𝑑𝑥₁

.

Мы определили сейчас характер силы, соответствующей какому-либо заданному смещению оболочки: эта сила либо способствует смещению, либо противодействует ему в зависимости от того, увеличивает или уменьшает она число линий индукции 𝑁, проходящих через оболочку.

То же самое справедливо и для эквивалентного электрического контура. Любому смещению контура будет оказано содействие или сопротивление в зависимости от того, увеличивает или уменьшает это смещение число линий индукции, проходящих сквозь контур в положительном направлении.

Мы должны помнить, что положительным направлением линии магнитной индукции является то направление, по которому вдоль линии стремится двигаться полюс магнита, указывающий на север, и что линия индукции проходит сквозь контур в положительном направлении тогда, когда её направление относится к направлению тока стекловидного электричества в контуре так же, как продольное движение правого винта относится к его вращательному движению (см. п. 23).

490. Очевидно, что сила, соответствующая произвольному смещению контура как целого, может быть сразу выведена из теории магнитной оболочки. Но это ещё не всё. Если какой-либо участок контура является гибким и способным смещаться независимо от остальных, то путём разрезания поверхности оболочки на достаточное количество частей, связанных между собой гибкими соединениями, мы можем сделать также и край оболочки способным к такого же рода смещению. Отсюда мы заключаем, что если путём смещения какого-либо участка контура в заданном направлении число линий индукции, проходящих сквозь контур, может быть увеличено, то действующая на контур электромагнитная сила будет способствовать этому смещению.

Поэтому на любой участок контура действует сила, заставляющая его двигаться поперёк линий магнитной индукции так, чтобы вобрать в обхват контура как можно большее количество этих линий; работа, совершенная силой за время этого смещения, численно равна количеству добавленных линий индукции, умноженному на силу тока.

Пусть элемент 𝑑𝑠 контура, по которому протекает ток силы 𝑖, перемещён параллельно самому себе на расстояние δ𝑥, при этом движении он заметёт площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны соответственно 𝑑𝑠, δ𝑥.

Если обозначить магнитную индукцию через 𝔅 и считать, что её направление составляет угол ε с нормалью к параллелограмму, то величина прироста 𝑁, соответствующего смещению, находится путём умножения площади параллелограмма на 𝔅cos ε Результат этой операции представляется геометрически объёмом параллелепипеда, ребра которого по величине и направлению соответствуют δ𝑥, 𝑑𝑠 и 𝔅.

Объём должен считаться положительным, если какая-нибудь стрелка, направляемая последовательно в этих трёх направлениях, будет перемещаться вокруг диагонали параллелепипеда в направлении движения стрелок часов. Объём этого параллелепипеда равен 𝑋δ𝑥.

Если θ есть угол между 𝑑𝑠 и 𝔅, то площадь параллелограмма со сторонами 𝑑𝑠 и 𝔅 равна 𝑑𝑠⋅𝔅 sin θ. Пусть есть угол, образуемый смещением δ𝑥 с нормалью к этому параллелограмму, тогда объём параллелепипеда равен

𝑑𝑠

⋅

𝔅 sin θ

⋅

δ𝑥

cos η

=

δ𝑁

.

Теперь

𝑋δ𝑥

=

𝑖δ𝑁

=

𝑖

𝑑𝑠

⋅

𝔅 sin θ

δ𝑥

cos η

и

𝑋

=

𝑖

𝑑𝑠

⋅

𝔅 sin θ

cos η

.

Это есть действующая на 𝑑𝑠 сила, спроектированная на направление δ𝑥.

Таким образом, направление этой силы перпендикулярно к параллелограмму, а её величина равна 𝑖⋅𝑑𝑠⋅𝔅 sin θ.

Это есть площадь параллелограмма, стороны которого и по величине, и по направлению соответствуют 𝑖𝑑𝑠 и 𝔅. Следовательно, действующая на 𝑑𝑠 сила по своей величине представлена площадью этого параллелограмма, а по своему направлению – нормалью к его плоскости, проведённой в направлении поступательного движения винта с правой нарезкой, рукоятка которого поворачивается от направления тока 𝑖𝑑𝑠 к направлению магнитной индукции 𝔅.

Мы можем выразить и направление, и величину этой силы на языке кватернионов, сказав, что это есть векторная часть результата умножения вектора элемента тока 𝑖𝑑𝑠 на вектор магнитной индукции 𝔅 [рис. 22].

Рис. 22

491. Таким образом, мы полностью определили силу, действующую на любой участок электрического контура, помещённого в магнитное поле. Если контур двигается произвольным способом, но так, что, перебрав различные формы и положения, он возвращается в исходное место, а сила тока за время движения сохраняется постоянной, то общее количество работы, совершаемой электромагнитными силами, будет равно нулю. Так как это справедливо для любого цикла движения контура, то отсюда следует, что при помощи электромагнитных сил невозможно, преодолевая сопротивление трения и т. п., поддерживать непрерывное вращательное движение какой-либо части линейного контура с постоянной силой тока.

Непрерывное вращение, однако, может быть получено при условии, что электрический ток где-то на своём пути переходит от одного проводника к другому, скользящему или ползущему по первому проводнику.

Когда в контуре имеется скользящий контакт между проводником и гладкой поверхностью твёрдого или жидкого тела, то такую систему уже нельзя рассматривать как одиночный линейный контур с постоянной силой тока, её следует считать системой, состоящей из двух или большего числа контуров с изменяющейся силой тока, распределённого по контурам таким образом, что в тех контурах, для которых 𝑁 растёт, токи текут в положительном направлении, а в тех, где 𝑁 уменьшается, – в отрицательном.

Рис. 23

Так, в устройстве, представленном на рис. 23, 𝑂𝑃 является подвижным проводником, один конец которого покоится в чаше со ртутью 𝑂, а другой погружён в концентричный относительно 𝑂 кольцевой жёлоб со ртутью.

Ток 𝑖 входит по 𝐴𝐵 и разделяется в кольцевом жёлобе на две части, одна из которых, 𝑥, течёт по дуге 𝐵𝑄𝑃, а другая 𝑦 – по дуге 𝐵𝑅𝑃. Эти токи, соединяясь в 𝑃, текут вдоль подвижного проводника 𝑃𝑂 и электрода 𝑂𝑍 к цинковому полюсу батареи. Сила тока в 𝑂𝑃 и 𝑂𝑃 равна 𝑥+𝑦 или 𝑖. Здесь мы имеем два контура: контур 𝐴𝐵𝑄𝑃𝑂𝑍, в котором сила тока равна 𝑥 и ток течёт в положительном направлении, а также контур 𝐴𝐵𝑅𝑃𝑂𝑍, в котором сила тока равна 𝑦 и ток течёт в отрицательном направлении.

Пусть 𝔅 есть магнитная индукция, направленная вверх – по нормали к плоскости круга.

За время, пока 𝑂𝑃 переместится на угол θ в направлении, обратном движению часовой стрелки, площадь первого контура возрастёт на 𝑂𝑃²⋅θ/2, а площадь второго контура на ту же самую величину уменьшится. Так как сила тока в первом контуре равна 𝑥, то работа, совершенная им, равна 𝑥⋅𝑂𝑃²⋅θ⋅𝔅/2; и так как сила тока во втором контуре равна 𝑦, работа, совершенная им, равна 𝑦⋅𝑂𝑃²⋅θ⋅𝔅/2. Поэтому полная работа будет такой:

1

2

(𝑥+𝑦)

𝑂𝑃²

⋅

θ𝔅

, или

1

2

𝑖

⋅

𝑂𝑃²

⋅

θ𝔅

.

Эта работа определяется только силой тока в 𝑃𝑂. Таким образом, если ток 𝑖 поддерживается постоянным, то плечо 𝑂𝑃 будет непрерывно вращаться по кругу под действием постоянной силы, момент которой равен 𝑖⋅𝑂𝑃²⋅𝔅/2. Если, как это имеет место в северных широтах, 𝔅 действует вниз, то при токе, текущем внутрь, вращение будет происходить в отрицательном направлении, т.е. в направлении 𝑃𝑄𝐵𝑅.

492. Теперь мы в состоянии перейти от взаимного действия магнитов и токов к действию одного контура с током на другой, ибо мы знаем, что магнитные свойства электрического контура 𝐶₁ по отношению к произвольной магнитной системе 𝑀₂ совпадают с магнитными свойствами магнитной оболочки 𝑆₁, граница которой совмещена с данным контуром, а мощность численно равна силе электрического тока. Пусть магнитная система 𝑀₂ является магнитной оболочкой 𝑆₂, тогда взаимное действие между 𝑆₁ и 𝑆₂ будет равно взаимодействию между 𝑆₁ и контуром 𝐶₂, который совмещён с краем оболочки 𝑆₂ и сила тока в котором равна мощности 𝑆₂. Но это последнее действие равносильно взаимодействию между 𝐶₁ и 𝐶₂.

Следовательно, взаимодействие между двумя контурами 𝐶₁ и 𝐶₂ совпадает с взаимодействием между магнитными оболочками 𝑆₁ и 𝑆₂.

В п. 423 мы уже исследовали взаимодействие между двумя магнитными оболочками, края которых представляют собой замкнутые кривые 𝑠₁ и 𝑠₂.

Положим

𝑀

=

𝑠₂

∫

0

𝑠₁

∫

0

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

₁

𝑑𝑠

₂

,

где ε – угол между направлением элементов 𝑑𝑠₁ и 𝑑𝑠₂, 𝑟 – расстояние между ними, а интегрирование один раз проводится по 𝑠₁, а второй раз – по 𝑠₂; будем называть эту величину 𝑀 потенциалом двух замкнутых кривых 𝑠₁ и 𝑠₂. Тогда потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием двух магнитных оболочек, ограниченных двумя контурами и имеющих мощности 𝑖₁ и 𝑖₂, окажется равной -𝑖₁𝑖₂𝑀, а сила 𝑋, способствующая произвольному смещению δ𝑥, равна 𝑖₁𝑖₂(𝑑𝑀/𝑑𝑥).

Из этого результата может быть развита полная теория, описывающая силы, действующие на произвольный участок одного электрического контура со стороны другого электрического контура.

493. Метод, которому мы следовали в этой главе, принадлежит Фарадею. Вместо того чтобы начать (как мы, следуя Амперу, и будем делать в следующей главе) с прямого воздействия участка одного контура на участок другого контура, мы показали, во-первых, что контур производит то же действие на магнит, что и магнитная оболочка, или, другими словами, мы определили характер магнитного поля, создаваемого контуром. Во-вторых, мы показали, что контур, помещённый в произвольное магнитное поле, испытывает действие той же силы, что и магнитная оболочка. Таким образом, мы определили силу, действующую на контур, помещённый в любое магнитное поле. Наконец, предположив, что магнитное поле обусловлено другим электрическим контуром, мы определили действие одного электрического контура на другой: причём и на весь контур в целом, и на любую его часть.

494. Применим этот метод к случаю бесконечно протяжённого прямого тока, действующего на некоторый участок параллельного ему прямого проводника.

Предположим, что ток 𝑖 в первом проводнике течёт вертикально вниз. В этом случае конец магнита, указывающий на север, будет смотреть на правую руку наблюдателя, стоящего ногами вниз и смотрящего на этот магнит со стороны оси тока.

Поэтому линии магнитной индукции являются горизонтальными окружностями с центрами на оси тока, а положительный обход вдоль них определяется направлением север-восток-юг-запад.

Пусть теперь к западу от первого тока помещён другой вертикальный ток, текущий вниз. Линии магнитной индукции, обусловленной первым током, будут в этом случае направлены к северу. Направление силы, действующей на второй ток, должно определиться путём поворота рукоятки правого винта из надира, куда направлен ток, к северу, куда направлена магнитная индукция. Тогда винт будет перемещаться к востоку, т.е. действующая на второй ток сила окажется направленной в сторону первого тока, или, вообще говоря, поскольку это явление зависит лишь от относительного расположения токов, два параллельных текущих в одном направлении тока притягивают друг друга.

Тем же самым путём мы можем показать, что два параллельных текущих в противоположных направлениях тока отталкивают друг друга.

495. Интенсивность магнитной индукции на расстоянии 𝑟 от прямого тока силы 𝑖, как мы уже показали в п. 479, равна 2𝑖/𝑟.

Следовательно, отрезок второго проводника, параллельный первому и несущий ток 𝑖' в том же самом направлении, будет притягиваться к первому проводнику с силой 𝐹=𝑖𝑖'𝑎/𝑟, где 𝑎 – длина рассматриваемого отрезка, 𝑟 – расстояние от него до первого проводника.

Так как отношение 𝑎 к 𝑟 является численной величиной, независящей от абсолютных значений любой из этих линейных величин, произведение двух токов, измеренное в электромагнитной системе, должно иметь размерность силы; следовательно, размерность единицы тока такова: [𝑖]=[𝐹^1/2]=[𝑀^1/2𝐿^1/2𝑇^-1].

496. Другой метод определения направления силы, действующей на контур с током, состоит в рассмотрении отношения между магнитным действием тока и действием других токов и магнитов.