Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

Цилиндрические проводники

682. Существует очень важный класс электрических систем, где токи текут по круглым проводам почти однородного сечения, причём провода либо прямые, либо такие, что радиус кривизны оси провода очень велик по сравнению с радиусом поперечного сечения провода. Для того чтобы подготовиться к математическому исследованию таких систем, мы начнём со случая, когда контур состоит из двух очень протяжённых параллельных проводников и двух небольших кусков, соединяющих их концы. Мы сосредоточим своё внимание на части контура, удалённой от концов проводников настолько, что никаких ощутимых изменений в распределении силы не вносит тот факт, что провода не являются бесконечно длинными.

Выберем ось 𝑧 параллельной направлению проводников; тогда в рассматриваемой области поля из-за симметрии системы всё будет зависеть только от величины 𝐻 – составляющей вектор-потенциала, параллельной 𝑧.

Составляющие магнитной индукции, согласно уравнению (A), равны

𝑎

𝑑𝐻

𝑑𝑦

(1)

𝑏

𝑑𝐻

𝑑𝑥

𝑐

(2)

Для общности мы будем предполагать, что коэффициент магнитной индукции равен μ так что 𝑎=μα, 𝑏=μβ, где α и β – составляющие магнитной силы.

Уравнения (Е) для электрических токов (п. 607) дают

𝑢

𝑣

4π𝑤

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑α

𝑑𝑦

(3)

683. Если ток является функцией расстояния 𝑟 от оси 𝑧, то, написав

𝑥

𝑟 cos θ

𝑦

𝑟 sin θ

(4)

и обозначив магнитную силу через β, в направлении, в котором θ, отсчитывается перпендикулярно плоскости, проходящей через ось 𝑧, мы будем иметь

4π𝑤

𝑑β

𝑑𝑟

–

𝑟

𝑑

𝑑𝑟

(β𝑟)

(5)

Если 𝐶 представляет собой полный ток, протекающий через сечение, ограниченное окружностью радиуса 𝑟, которая лежит в плоскости 𝑥𝑦 и имеет центр в начале координат, то

𝐶

𝑟

∫

2π𝑟𝑤

𝑑𝑟

β𝑟

(6)

Таким образом, отсюда видно, что магнитная сила в некоторой заданной точке, обусловленная токами, текущими в цилиндрических слоях с общей осью 𝑧, зависит только от полной силы тока, протекающего через слои, лежащие между данной точкой и этой осью, и не зависит от распределения тока по различным цилиндрическим слоям.

Пусть, например, проводник представляет собой однородный провод радиуса 𝑎, а полный ток через него равен 𝐶, тогда при равномерном распределении тока по всем частям сечения его плотность ω будет постоянной, причём

𝐶

π𝑤𝑎²

(7)

Ток, протекающий через круговое сечение радиуса 𝑟 при значениях 𝑟 меньших 𝑎, равен 𝐶'=π𝑤𝑟². Поэтому в любой точке, расположенной внутри провода,

2𝐶'

𝑟

2𝐶

𝑟

𝑎²

(8)

Вне провода

2𝐶

𝑟

(9)

В самом веществе провода магнитный потенциал отсутствует, так как внутри проводника, несущего электрический ток, магнитная сила не удовлетворяет условиям существования потенциала.

Вне провода магнитный потенциал равен

2𝐶θ

(10)

Предположим, что вместо провода взят проводник в виде металлической трубки, внешний и внутренний радиусы которой соответственно равны 𝑎₁ и 𝑎₂, тогда для тока 𝐶, протекающего по такому трубчатому проводнику, имеем

𝐶

π𝑤

(𝑎₁²-𝑎₂²)

(11)

Внутри трубки магнитная сила равна нулю. В металле трубки, где радиус 𝑟 изменяется от 𝑎₁ до 𝑎₂,

2𝐶

(𝑎₁²-𝑎₂²)

⎛

⎜

⎝

𝑟

–

𝑎₂²

𝑟

⎞

⎟

⎠

(12)

а вне трубки величина

2𝐶

𝑟

(13)

т.е. остаётся той же самой, что и при протекании тока по сплошному проводу

684. Магнитная индукция в любой точке равна 𝑏=μβ, и поскольку, согласно уравнению (2),

𝑏

𝑑𝐻

𝑑𝑟

(14)

то

𝐻

∫

μβ

𝑑𝑟

(15)

Значение 𝐻 вне трубки равно

𝐴

–

2μ₀𝐶

ln 𝑟

(16)

где μ₀ есть значение μ в области, лежащей вне трубки, 𝐴 – постоянная, зависящая от места подключения замыкающего цепь возвратного тока.

Внутри вещества трубки

𝐻

𝐴

–

2μ₀𝐶

ln 𝑎₁

μ𝐶

𝑎₁²-𝑎₂²

⎛

⎜

⎝

𝑎₁²

–

𝑟²

𝑎₂²

𝑟

𝑎₁

⎞

⎟

⎠

(17)

В области, расположенной внутри трубки, величина 𝐻 постоянна и равна

𝐻

𝐴

–

2μ₀𝐶

ln 𝑎₁

μ𝐶

⎛

⎜

⎝

2𝑎₂²

𝑎₁²-𝑎₂²

𝑎₂

𝑎₁

⎞

⎟

⎠

(18)

685. Пусть контур замыкается обратным током, текущим по трубке или по проводу, параллельному первому, прямому току, причём оси двух токов расположены на расстоянии 𝑏. Чтобы определить кинетическую энергию системы, мы должны вычислить интеграл

𝑇

∭

𝐻𝑤

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(19)

Если мы ограничимся рассмотрением только той части системы, которая находится между двумя плоскостями, перпендикулярными осям проводников и разнесёнными на расстояние 𝑙 одна от другой, то это выражение окажется таким:

𝑇

𝑙

∬

𝐻𝑤

𝑑𝑥

𝑑𝑦

(20)

Если пометить штрихами величины, относящиеся к обратному току, то мы можем записать это так:

2𝑇

𝑙

∬

𝐻𝑤'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

∬

𝐻'𝑤

𝑑𝑥

𝑑𝑦

∬

𝐻𝑤

𝑑𝑥

𝑑𝑦

∬

𝐻'𝑤'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

(21)

Поскольку действие тока на любую точку вне трубки такое же, как если бы такой же ток был сосредоточен на оси трубки, то среднее значение 𝐻 по сечению обратного тока равно 𝐴-2μ₀𝐶 ln 𝑏, а среднее значение 𝐻' по сечению прямого тока равно

𝐴'

–

2μ₀𝐶

ln 𝑏

Поэтому в выражении для 𝑇 первые два члена могут быть записаны:

𝐴𝐶'

–

2μ₀

𝐶𝐶'

ln 𝑏

𝐴'𝐶

–

2μ₀

𝐶𝐶'

ln 𝑏

Интегрируя два последних члена обычным путём, складывая результаты и помня, что 𝐶+𝐶'=0, мы получим величину кинетической энергии 𝑇. Записав её как 𝐿𝐶²/2, где 𝐿 – коэффициент самоиндукции системы двух проводников, для величины 𝐿 системы длиной 𝑙 найдём

𝐿

𝑙

2μ₀

𝑏²

𝑎₁𝑎₁'

½μ

⎡

⎢

⎣

𝑎₁²-3𝑎₂²

𝑎₁²-𝑎₂²

4𝑎₂⁴

(𝑎₁²-𝑎₂²)²

𝑎₁

𝑎₂

⎤

⎥

⎦

½μ'

⎡

⎢

⎣

𝑎₁'²-3𝑎₂'²

𝑎₁'²-𝑎₂'²

4𝑎₂'⁴

(𝑎₁'²-𝑎₂'²)²

𝑎₁'

𝑎₂'

⎤

⎥

⎦

(22)

Если проводники представляют собой сплошные провода, то 𝑎₂ и 𝑎₂' равны нулю и

𝐿

𝑙

2μ₀

𝑏²

𝑎₁𝑎₁'

½(μ+μ')

(23)

Только в случае железных проводов при вычислении их самоиндукции необходимо принимать во внимание магнитную индукцию. В остальных случаях мы можем положить μ₀, μ и μ' равными единице. Чем меньше радиусы проводов и чем больше расстояния между ними, тем больше величина их самоиндукции.

Как найти силу отталкивания 𝑋 между двумя участками проводов

686. Согласно п. 680, для силы, стремящейся увеличить 𝑏, мы получаем

𝑋

𝑑𝐿

𝑑𝑏

𝐶²

2μ₀

𝑙

𝑏

𝐶²

(24)

что при μ₀=1, как это имеет место для воздуха, согласуется с формулой Ампера.

687. Если длина проводов значительно превышает расстояние между ними, мы можем использовать коэффициент самоиндукции для отыскания натяжения проводов, возникающего под действием тока.

Обозначив это натяжение через 𝑍, имеем

𝑍

𝑑𝐿

𝑑𝑙

𝐶²

⎧

⎨

⎩

μ₀

𝑏²

𝑎₁𝑎₁'

μ+μ'

⎫

⎬

⎭

(25)

В одном из экспериментов Ампера параллельные проводники состоят из двух корытцев с ртутью, соединённых друг с другом с помощью провода в виде плавающего мостика. Ток вводится с конца одного из корытцев и течёт вдоль него до тех пор, пока не достигнет одного из концов плавающего провода, затем по плавающему мостику он переходит во второе корытце и по нему возвращается обратно; плавающий мостик, двигаясь вдоль корытца, удлиняет тем самым участок ртути, по которому течёт ток [рис. 40].

Рис. 40

Профессор Тэт упростил электрические условия этого опыта, заменив провод плавающим стеклянным сифоном, заполненным ртутью, чтобы ток на всём своём пути тёк по ртути.

Этот опыт иногда приводят в качестве доказательства того, что два элемента тока, текущего вдоль одной и той же прямой линии, отталкиваются и что тем самым формула Ампера, указывающая на такое отталкивание между коллинеарными элементами, более правильна, чем формула Грассмана (Grassmann), которая не даёт никакого действия между элементами, расположенными вдоль одной и той же прямой линии; п. 526.

Однако ясно, что, поскольку и формула Ампера, и формула Грассмана для замкнутых контуров приводят к одинаковым результатам и поскольку на опыте мы имеем дело только с замкнутыми контурами, никакие экспериментальные данные не могут создать преимуществ ни одной из этих теорий перед другой.

В самом деле, как уже показано, обе формулы приводят к одному и тому же значению силы отталкивания, из которого следует, что расстояние 𝑏 между двумя параллельными проводниками является важным параметром.

Когда длина проводников не очень сильно превышает расстояние между ними, выражение для величины 𝐿 несколько усложняется.

688. По мере уменьшения расстояния между проводниками уменьшается и величина 𝐿. Предел этого уменьшения наступает, когда проводники приходят в контакт, т.е. 𝑏=𝑎₁+𝑎₁'. В этом случае, если μ₀=μ=μ=1,

𝐿

2𝑙

⎧

⎨

⎩

(𝑎₁+𝑎₁')²

𝑎₁𝑎₁'

⎫

⎬

⎭

(26)

Эта величина минимальна, если 𝑎₁=𝑎₁'; тогда

𝐿

2𝑙

[ln 4+½]

2𝑙

(1,8863)

3,7726𝑙

(27)

Это является наименьшим значением величины самоиндукции сдвоенного круглого провода общей длиной 2𝑙.

Так как обе части провода должны быть изолированы друг от друга, то фактически величина самоиндукции никогда не достигает этого предельного значения. Используя широкие плоские металлические полосы вместо круглых проводов, коэффициент самоиндукции можно уменьшать сколько угодно.

Об электродвижущей силе, необходимой для создания тока переменной плотности вдоль цилиндрического проводника

689. Когда ток в проводе имеет переменную плотность, то электродвижущая сила, возникающая в результате индукции тока на самого себя, различна на разных участках сечения провода, являясь в общем случае функцией как расстояния от оси провода, так и времени. Если бы мы предположили, что цилиндрический проводник состоит из пучка проводов, образующих один и тот же контур, и ток задаётся однородным в любой части сечения пучка, то метод вычисления, использованный выше, был бы применим строго. Если, однако, мы рассмотрим цилиндрический проводник как сплошное тело, внутри которого токи, подчиняясь действию электродвижущих сил, могут течь беспрепятственно, то плотность тока не будет одинаковой на различных расстояниях от оси цилиндра и сами электродвижущие силы будут зависеть от распределения тока в различных цилиндрических слоях провода.

В этом случае вектор-потенциал 𝐻, плотность тока 𝑤 и электродвижущую напряжённость в любой точке следует рассматривать как функцию времени и расстояния от оси провода.

Полный ток 𝐶, протекающий через сечение провода и полную электродвижущую силу 𝐸, действующую вдоль контура, следует рассматривать, как переменные, связь между которыми мы и должны установить.

Предположим, что величина 𝐻 равна

𝐻

𝑆

𝑇₀

𝑇₁𝑟²

+…+

𝑇

_𝑛

𝑟

^2𝑛

+…

(1)

где 𝑆, 𝑇₀, 𝑇₀, … – функции времени.

Тогда из уравнения

𝑑²𝐻

𝑑𝑟²

𝑑𝐻

𝑑𝑟

4π𝑤

(2)

мы находим

-π𝑤

𝑇₁

+…+

𝑛²

𝑇

_𝑛

𝑟

^2𝑛-2

+…

(3)

Если удельное сопротивление вещества (на единицу объёма) обозначить через ρ, то электродвижущая напряжённость в любой точке равна ρω, что можно выразить через электрический потенциал и через вектор-потенциал 𝐻 при помощи уравнения (В), п. 598:

ρ𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

–

𝑑𝐻

𝑑𝑡

(4)

или

-ρ𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑𝑆

𝑑𝑡

𝑑𝑇₀

𝑑𝑡

𝑑𝑇₁

𝑑𝑡

𝑟²

+…+

𝑑𝑇_𝑛

𝑑𝑡

𝑟

^2𝑛

+…

(5)

Сравнивая в уравнениях (3) и (5) коэффициенты при одинаковых степенях 𝑟, получаем

𝑇₁

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑𝑆

𝑑𝑡

𝑑𝑇₀

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

(6)

𝑇₂

2²

𝑑𝑇₁

𝑑𝑡

(7)

𝑇

_𝑛

𝑛²

𝑑𝑇_𝑛-1

𝑑𝑡

(8)

Следовательно, мы можем написать

𝑑𝑆

𝑑𝑡

𝑑Ψ

𝑑𝑧

(9)

𝑇₀

𝑇

𝑇₁

𝑑𝑇

𝑑𝑡

, …

𝑇

_𝑛

π^𝑛

ρ^𝑛

(𝑛!)²

𝑑^𝑛𝑇

𝑑𝑡^𝑛

(10)

690. Для нахождения полного тока 𝐶 нам следует проинтегрировать 𝑤 по всему сечению провода радиуса 𝑎:

𝐶

2π

𝑎

∫

𝑤𝑟

𝑑𝑟

(11)

Подставляя значения π𝑤 из уравнения (3), получаем

𝐶

=-(

𝑇₁𝑎²

+…+

𝑛𝑇

_𝑛

𝑎

^2𝑛

+…)

(12)

Величина 𝐻 в любой точке вне провода определяется только полным током 𝐶 и не зависит от характера его распределения внутри провода. Поэтому можно принять значение 𝐻 на поверхности провода равным 𝐴𝐶, где 𝐴 – постоянная величина, которую следует вычислять с учётом общей конфигурации контура. Полагая 𝐻=𝐴 при 𝑟=𝑎, мы получаем

𝐴𝐶

𝑆

𝑇₀

𝑇₁𝑎²

+…+

𝑇

_𝑛

𝑎

_𝑛

^2𝑛

+…

(13)

Если далее записать π𝑎²/ρ=α, где α – величина проводимости на единицу длины провода, то мы будем иметь

𝐶

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑇

𝑑𝑡

2α²

1²⋅2²

𝑑²𝑇

𝑑𝑡²

+…+

𝑛α^𝑛

(𝑛!)²

𝑑^𝑛𝑇

𝑑𝑡^𝑛

+…

⎞

⎟

⎠

(14)

𝐴𝐶-𝑆

𝑇

𝑑𝑇

𝑑𝑡

α²

1²⋅2²

𝑑²𝑇

𝑑𝑡²

+…+

α^𝑛

(𝑛!)²

𝑑^𝑛𝑇

𝑑𝑡^𝑛

+…

(15)

Чтобы исключить из этих уравнений 𝑇, мы должны вначале обратить ряд (14). Таким образом, получаем

𝑑𝑇

𝑑𝑡

𝐶

𝑑𝐶

𝑑𝑡

–

α²

𝑑²𝐶

𝑑𝑡²

144

α³

𝑑³𝐶

𝑑𝑡³

–

2880

α⁴

𝑑⁴𝐶

𝑑𝑡⁴

+…

Из (14) и (15) мы также имеем

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝐶

𝑑𝑡

–

𝑑𝑆

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝐶

α²

𝑑²𝑇

𝑑𝑡²

α³

𝑑³𝑇

𝑑𝑡³

α⁴

𝑑⁴𝑇

𝑑𝑡⁴

720

α⁵

𝑑⁵𝑇

𝑑𝑡⁵

+…

Из последних двух уравнений находим

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝐶

𝑑𝑡

–

𝑑𝑆

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝐶

𝑑𝐶

𝑑𝑡

–

α²

𝑑²𝐶

𝑑𝑡²

α³

𝑑³𝐶

𝑑𝑡³

–

180

α⁴

𝑑⁴𝐶

𝑑𝑡⁴

+…

(16)

Если 𝑙 – полная длина контура, 𝑅 – его полное сопротивление, 𝐸 – электродвижущая сила, обусловленная источниками, отличными от самоиндукции тока, то

𝑑𝑆

𝑑𝑡

𝐸

𝑙

𝑅

(17)

𝐸

𝑅𝐶

𝑙

⎛

⎜

⎝

𝐴

⎞

⎟

⎠

𝑑𝐶

𝑑𝑡

–

𝑙²

𝑅

𝑑²𝐶

𝑑𝑡²

𝑙³

𝑅²

𝑑³𝐶

𝑑𝑡³

–

180

𝑙⁴

𝑅³

𝑑⁴𝐶

𝑑𝑡⁴

+…

(18)

Первый член в правой части этого уравнения, равный 𝑅𝐶, выражает электродвижущую силу, необходимую для преодоления сопротивления в соответствии с законом Ома.

Второй член, равный

𝑙

⎛

⎜

⎝

𝐴

⎞

⎟

⎠

𝑑𝐶

𝑑𝑡

выражает электродвижущую силу, которую следовало бы создать для увеличения электрокинетического импульса контура в предположении, что во всех точках сечения провода сила тока одинакова.

Остальные члены выражают поправки к этой величине, возникающие из-за того факта, что сила тока различна на разных расстояниях от оси провода. Реальная система токов обладает большей степенью свободы, чем гипотетическая система, в которой по всему сечению поддерживается однородное распределение токов. Следовательно, электродвижущая сила, которая требуется для быстрого изменения силы тока, несколько меньше той, которая была бы необходима в рамках этой гипотезы.

Отношение между временным интегралом электродвижущей силы и временным интегралом тока равно

∫

𝐸

𝑑𝑡

𝑅

∫

𝐶

𝑑𝑡

𝑙

⎛

⎜

⎝

𝐴

⎞

⎟

⎠

𝐶

–

𝑙²

𝑅

𝑑𝐶

𝑑𝑡

+…

(19)

Если ток вначале имеет постоянное значение 𝐶₀, затем в течение некоторого времени увеличивается до величины 𝐶₁ и затем остаётся постоянным, равным 𝐶₁, то члены, содержащие производные от 𝐶, исчезают на обоих пределах и

∫

𝐸

𝑑𝑡

𝑅

∫

𝐶

𝑑𝑡

𝑙

⎛

⎜

⎝

𝐴

⎞

⎟

⎠

(𝐶₁-𝐶₀)

(20)

т.е. величина импульса электродвижущей силы такая же, как если бы ток был однороден по сечению провода.

О среднем геометрическом расстоянии между двумя фигурами на плоскости ¹

¹Trans. R. S. Edin., 1871-2,

691. При вычислении электромагнитного действия тока, текущего вдоль прямого проводника любого заданного сечения, на другой ток, текущий по параллельному проводнику, сечение которого также задано, мы должны найти интеграл

∬∬

ln 𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

где 𝑑𝑥𝑑𝑦 есть элемент площади в первом сечении, 𝑑𝑥'𝑑𝑦' – элемент площади во втором сечении, 𝑟 – расстояние между этими элементами; интегрирование производится вначале по всем элементам первого сечения, а затем по всем элементам второго сечения.

Если мы введём теперь некоторую длину 𝑅, такую, что интеграл равен 𝐴₁𝐴₂ ln 𝑅, где 𝐴₁ и 𝐴₁ – площади двух сечений, то эта длина 𝑅 останется неизменной, какую бы единицу длины мы ни приняли и какую бы систему логарифмов ни использовали.

Если предположить, что сечения разделены на элементы одинакового размера, то логарифм от 𝑅, умноженный на число пар элементов, будет равен сумме логарифмов расстояний между всеми парами элементов. Следовательно, величину R можно рассматривать как среднее геометрическое всех расстояний между парами элементов. Очевидно, что величина 𝑅 должна быть промежуточной между наибольшим и наименьшим значениями 𝑟.

Если 𝑅_𝐴 и 𝑅_𝐵 – средние геометрические расстояния фигур 𝐴 и 𝐵 до третьей фигуры 𝐶, а 𝑅_𝐴+𝐵 – среднее геометрическое расстояние суммы этих двух фигур до 𝐶, то

(𝐴+𝐵) ln 𝑅

_𝐴+𝐵

𝐴 ln 𝑅

_𝐴

𝐵 ln 𝑅

_𝐵

При помощи этого соотношения мы можем найти расстояние 𝑅 для сложной фигуры по известным значениям 𝑅 для её частей.

692. ПРИМЕРЫ

Рис. 41

(1). Пусть 𝑅 – среднее расстояние от точки 𝑂 до отрезка 𝐴𝐵, а 𝑂𝑃 – перпендикуляр к 𝐴𝐵 [рис. 41]; тогда

╱╲

𝐴𝐵(ln 𝑅+1)

𝐴𝑃 ln 𝑂𝐴

𝑃𝐵 ln 𝑂𝐵

𝑂𝑃

𝐴𝑂𝐵

Рис. 42

(2). Для двух отрезков (рис. 42) длиной 𝑎 и 𝑏, проведённых в одну сторону из концов отрезка длиной с перпендикулярно ему, имеем

𝑎𝑏

(2ln 𝑅+3)

(𝑐²-(𝑎-𝑏)²)

ln√

𝑐²+(𝑎-𝑏)²

𝑐²ln 𝑐

(𝑎²-𝑐²)

ln√

𝑎²+𝑐²

(𝑏²-𝑐²)

ln√

𝑏²+𝑐²

–

𝑐(𝑎-𝑏)

arctg

𝑎-𝑏

𝑐

𝑎𝑐

arctg

𝑎

𝑐

𝑏𝑐

arctg

𝑏

𝑐

Рис. 43

(3). Для двух отрезков 𝑃𝑄 и 𝑅𝑆 (рис. 43), направления которых пересекаются в точке 𝑂,

𝑃𝑄⋅𝑅𝑆

(2ln 𝑅+3)

ln 𝑃𝑅

(2𝑂𝑃⋅𝑂𝑅 sin²𝑂-𝑃𝑅² cos 𝑂)

ln 𝑄𝑆

(2𝑂𝑄⋅𝑂𝑆 sin²𝑂-𝑄𝑆² cos 𝑂)

ln 𝑃𝑆

(2𝑂𝑃⋅𝑂𝑆 sin²𝑂-𝑃𝑆² cos 𝑂)

ln 𝑄𝑅

(2𝑂𝑄⋅𝑂𝑅 sin²𝑂-𝑄𝑅² cos 𝑂)

╱╲

sin 𝑂

{

𝑂𝑃²⋅

𝑆𝑃𝑅

–

𝑂𝑄²⋅𝑆𝑄𝑅

𝑂𝑅²⋅

𝑃𝑅𝑄

𝑂𝑆²⋅

𝑃𝑆𝑄

Рис. 44

(4). Для точки 𝑂 и прямоугольной площадки 𝐴𝐵𝐶𝐷 (рис. 44). Пусть 𝑂𝑃, 𝑂𝑄, 𝑂𝑅, 𝑂𝑆 перпендикулярны к его сторонам, тогда

𝐴𝐵⋅𝐴𝐷(2ln 𝑅+3)

2𝑂𝑃⋅𝑂𝑄 ln 𝑂𝐴

2𝑂𝑄⋅𝑂𝑅 ln 𝑂𝐵

2𝑂𝑅⋅𝑂𝑆 ln 𝑂𝐶

╱╲

2𝑂𝑆⋅𝑂𝑃 ln 𝑂𝐷

𝑂𝑃²⋅

𝐷𝑂𝐴

╱╲

𝑂𝑄²⋅

𝐴𝑂𝐵

𝑂𝑅²⋅

𝐵𝑂𝐶

𝑂𝑆²⋅

𝐶𝑂𝐷

(5). Нет необходимости в том, чтобы две фигуры были различны, ибо мы можем найти среднее геометрическое расстояние между каждой парой точек одной и той же фигуры; так, для отрезка прямой длины 𝑎

𝑅

ln 𝑎

–

или

𝑅

𝑎𝑒

^-3/2

𝑅

0,22313𝑎

(6). Для прямоугольной площадки, стороны которой равны 𝑎 и 𝑏,

ln 𝑅

ln√

𝑎²+𝑏²

–

𝑎²

𝑏²

⎛

⎜

⎝

𝑏²

𝑎²

⎞½

⎟

⎠

–

𝑏²

𝑎²

⎛

⎜

⎝

𝑎²

𝑏²

⎞½

⎟

⎠

𝑎

𝑏

arctg

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

arctg

𝑎

𝑏

–

Когда этот прямоугольник является квадратом со стороной 𝑎,

𝑅

ln 𝑎

ln 2

–

𝑅

0,44705𝑎

(7). Среднее геометрическое расстояние между точкой и линией окружности равно наибольшей из двух величин: величины расстояния от данной точки до центра окружности и радиуса этой окружности.

(8). Таким образом, среднее геометрическое расстояние любой фигуры от некоторого кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равно её среднегеометрическому расстоянию от центра кольца, если эта фигура целиком расположена вне кольца; если же она вся лежит внутри кольца, то

ln 𝑅

𝑎₁²ln 𝑎₁-𝑎₂²ln 𝑎₂

𝑎₁²-𝑎₂²

–

где 𝑎₁ и 𝑎₂ – внешний и внутренний радиусы кольца. В этом случае 𝑅 не зависит от формы фигуры, находящейся внутри кольца.

(9). Среднее геометрическое расстояние всех пар точек в кольце находится из уравнения

ln 𝑅

ln 𝑎₁

–

𝑎₂⁴

(𝑎₁²-𝑎₂²)²

𝑎₁

𝑎₂

3𝑎₂²-𝑎₁²

𝑎₁²-𝑎₂²

Для круглой площадки радиуса а это выражение принимает вид

𝑅

ln 𝑎

–

или

𝑅

𝑎𝑒

^-1/4

𝑅

0,7788𝑎

Для линии окружности 𝑅=𝑎.

693. При вычислении коэффициента самоиндукции катушки однородного сечения, радиус кривизны которой значительно превышает размеры поперечного сечения, мы сначала, пользуясь только что описанным методом, определяем средние геометрические расстояния между всеми парами точек сечения катушки, а затем подсчитываем коэффициент взаимной индукции между двумя линейными проводниками заданной формы, помещёнными на этом расстоянии друг от друга.

Это и будет коэффициентом самоиндукции для единичного полного тока в катушке, если он распределён однородно по всем точкам сечения.

Но если в катушке имеется 𝑚 витков, мы должны полученный коэффициент помножить на 𝑛² тогда мы получим коэффициент самоиндукции в предположении, что всё сечение катушки полностью заполнено витками проводящего провода.

Однако провод имеет цилиндрическую форму и покрыт изолирующим материалом, поэтому ток не распределён равномерно по сечению, а сконцентрирован в определённых его частях; это увеличивает коэффициент самоиндукции. Помимо этого, токи в соседних проводах не оказывают на ток в данном проводе того же самого действия, что при однородном распределении.

Поправки, возникающие при учёте всех этих соображений, могут быть найдены методом среднегеометрического расстояния. Они пропорциональны длине всего провода в катушке и могут быть выражены как некоторые численные величины, на которые мы должны умножать длину провода, с тем чтобы получить поправку к коэффициенту самоиндукции.

Пусть диаметр провода равен 𝑑, провод покрыт изолирующим материалом и свернут в катушку. Мы будем предполагать, что сечения проводов располагаются в квадратном порядке, как это показано на рис. 45, и что расстояние между осью любого провода и осью провода, соседнего с ним, как по ширине, так и по глубине катушки равно 𝐷. Очевидно, что 𝐷 больше 𝑑.

Рис. 45

Вначале мы должны определить превышение самоиндукции на единицу длины цилиндрического провода диаметра 𝑑 по сравнению с проводом квадратного сечения со стороной, равной 𝐷, т.е.

2ln

𝑅(для квадрата)

𝑅(для окружности)

⎛

⎜

⎝

𝐷

𝑑

ln 2

–

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝐷

𝑑

0,1380606

⎞

⎟

⎠

Индуктивное действие ближайших восьми круглых проводов на рассматриваемый провод меньше, чем действие соответствующих восьми квадратных проводов на квадратный провод, помещённый в середине в 2⋅(0,01971) раза.

Поправками на влияние проводов, находящихся на больших расстояниях, можно пренебречь и общий корректирующий множитель записать в виде

⎛

⎜

⎝

𝐷

𝑑

0,11835

⎞

⎟

⎠

Окончательное значение самоиндукции поэтому равно

𝐿

𝑛²𝑀

2𝑙

⎛

⎜

⎝

𝐷

𝑑

0,11835

⎞

⎟

⎠

где 𝑛 – число витков, 𝑙 – длина провода, 𝑀 – взаимоиндукция двух контуров, имеющих форму среднего провода катушки и помещённых на расстояние 𝑅 друг от друга, 𝑅 – среднегеометрическое расстояние между парами точек сечения; 𝐷 – расстояние между следующими друг за другом проводами, 𝑑 – диаметр провода.

ГЛАВА XIV

КРУГОВЫЕ ТОКИ

Магнитный потенциал кругового тока

694. Магнитный потенциал, создаваемый в некоторой заданной точке контуром, несущим единичный ток, численно равен телесному углу с вершиной в этой точке, опирающемуся на контур, см. п. 409, 485.

В случае кругового контура телесный угол является телесным углом конуса второго порядка; для точки, находящейся на оси окружности, конус будет прямым. Если точка не находится на оси, конус является эллиптическим; его телесный угол равен площади сферического эллипса, вырезаемого им на сфере единичного радиуса.

Эта площадь может быть выражена в конечном виде через эллиптические интегралы третьего рода. Мы увидим, однако, что более удобно разложить её в виде бесконечного ряда по сферическим гармоникам, поскольку те удобства, которые сопутствуют выполнению математических операций с общим членом такого ряда, с избытком перевешивают хлопоты, связанные с подсчётом числа членов ряда, достаточного для обеспечения практической точности.

Будем считать для общности, что начало координат расположено в произвольной точке оси окружности, т.е. на линии, проходящей через центр окружности перпендикулярно её плоскости.

Рис. 46

Пусть точка 𝑂 (рис. 46) является центром окружности, расположенная на оси точка 𝐶 выбрана за начало координат, а точка 𝐻 находится на самой окружности.

Проведём сферу радиусом 𝐶𝐻 с центром в точке 𝐶. Рассматриваемая нами окружность будет лежать на сфере, являясь её малой окружностью с «угловым радиусом» α.

Обозначим 𝐶𝐻=𝑐, 𝑂𝐶=𝑏=𝑐 cos α, 𝑂𝐻=𝑎=𝑐 sin α.

Пусть 𝐴 будет полюсом сферы, а 𝑍 – какой-нибудь точкой на оси и пусть 𝐶𝑍=𝑧. Пусть 𝑅 – произвольная точка в пространстве: 𝐶𝑅=𝑥, 𝐴𝐶𝑅=θ.

Пусть 𝑃 – точка пересечения сферы отрезком 𝐶𝑅.

Магнитный потенциал, создаваемый круговым током, равен потенциалу, создаваемому ограниченной этим током магнитной оболочкой с единичной мощностью. Поскольку форма поверхности оболочки безразлична (лишь бы она была ограничена данной окружностью), мы можем предположить, что она совпадает с поверхностью сферы.

В п. 670 мы показали, что если 𝑉 есть потенциал, создаваемый слоем материи с единичной поверхностной плотностью, распределённой по участку поверхности сферы, ограниченному её малой окружностью, то потенциал ω, создаваемый магнитной оболочкой, которая ограничена этой же окружностью и имеет единичную мощность, равен

𝑐

𝑑

𝑑𝑟

(𝑟𝑉)

Мы должны, таким образом, прежде всего найти 𝑉.

Пусть заданная точка 𝑍 находится на оси окружности, тогда та часть потенциала в 𝑍, которая создаётся элементом 𝑑𝑆, расположенным на сферической поверхности в точке 𝑃, равна 𝑑𝑆/𝑍𝑃.

Это выражение можно разложить в один из двух следующих рядов по сферическим гармоникам:

𝑑𝑆

𝑐

⎧

⎨

⎩

𝑃₀

𝑃₁

𝑧

𝑐

+…+

𝑃

_𝑖

𝑧_𝑖

𝑐_𝑖

+…

⎫

⎬

⎭

или

𝑑𝑆

𝑧

⎧

⎨

⎩

𝑃₀

𝑃₁

𝑐

𝑧

+…+

𝑃

_𝑖

𝑐_𝑖

𝑧_𝑖

+…

⎫

⎬

⎭

первый ряд сходится при значениях 𝑧 меньших 𝑐, а второй – при 𝑧 больших 𝑐.

Записав 𝑑𝑆=-𝑐²𝑑μ𝑑φ и интегрируя по φ в пределах от 0 до 2π и по μ, – от cos α до 1, находим

𝑉

2π𝑐

⎧

⎨

⎩

∫

cos α

𝑃₀

𝑑μ

+…+

𝑧_𝑖

𝑐_𝑖

∫

cos α

𝑃

_𝑖

𝑑μ

+…

⎫

⎬

⎭

(1)

или

𝑉

2π𝑐

𝑐²

𝑧

⎧

⎨

⎩

∫

cos α

𝑃₀

𝑑μ

+…+

𝑐_𝑖

𝑧_𝑖

∫

cos α

𝑃

_𝑖

𝑑μ

+…

⎫

⎬

⎭

(1')

Для 𝑃_𝑖 имеем характеристическое уравнение

𝑖(𝑖+1)

𝑃

_𝑖

𝑑

𝑑μ

⎡

⎢

⎣

(1-μ²)

𝑑𝑃_𝑖

𝑑μ

⎤

⎥

⎦

Следовательно,

∫

𝑃

_𝑖

𝑑μ

1-μ²

𝑖(𝑖+1)

𝑑𝑃_𝑖

𝑑μ

(2)

Это выражение утрачивает смысл при 𝑖=0, но поскольку 𝑃₀, то

∫

𝑃

_𝑖

𝑑μ

1-μ

(3)

Так как функция 𝑑𝑃_𝑖/𝑑μ возникает на каждом этапе этого исследования, мы будем обозначать её сокращённо через 𝑃'_𝑖. Величины 𝑃'_𝑖, соответствующие нескольким значениям 𝑖, даны в п. 698.

Теперь мы можем написать значение 𝑉 в произвольной точке 𝑅, на оси или не на оси, путём замены 𝑟 на 𝑧 и умножения каждого из членов на зональную гармонику по θ того же порядка. Действительно, потенциал 𝑉 должен допускать разложение в ряд по зональным гармоникам по θ с соответствующими коэффициентами. При θ=0 каждая из зональных гармоник обращается в единицу, и точка 𝑅 лежит на оси. Следовательно, эти коэффициенты являются членами разложения 𝑉 для точки, расположенной на оси. Таким образом, мы получаем два ряда:

𝑉

2π𝑐

⎧

⎨

⎩

1-cos α

+…+

sin²α

𝑖(𝑖+1)

𝑟^𝑖

𝑐^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α)

𝑃

_𝑖

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

(4)

или

𝑉'

2π

𝑐²

𝑞

⎧

⎨

⎩

1-cos α

+…+

sin²α

𝑖(𝑖+1)

𝑐^𝑖

𝑟^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α)

𝑃

_𝑖

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

(4')

695. Теперь мы можем, согласно методу п. 670, найти величину потенциала контура ω из уравнения

𝑐

𝑑

𝑑𝑟

(𝑉𝑟)

(5)

Отсюда получаем два ряда:

–2π

⎧

⎨

⎩

1-cos α

+…+

sin²α

𝑖

𝑟^𝑖

𝑐^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α)

𝑃

_𝑖

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

(6)

или

ω'

2π

sin²α

⎧

⎨

⎩

𝑐²

𝑟²

𝑃'₁(α)

𝑃₁(θ)

+…+

𝑖+1

𝑐^𝑖+1

𝑟^𝑖+1

𝑃'

_𝑖

(α)

𝑃

_𝑖

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

(6')

Ряд (6) сходится при всех значениях 𝑟 меньших 𝑐, а ряд (6') сходится для всех значений 𝑟 больших 𝑐. На поверхности сферы, где 𝑟=𝑐, оба ряда дают одно и то же значение ω, если θ превышает α, т.е. для точек, не занятых магнитной оболочкой; если же величина θ меньше α, т.е. для точек, находящихся на магнитной оболочке,

ω'

4π

(7)

Если принять центр окружности 𝑂 за начало координат, мы должны положить α=π/2, и тогда ряды станут такими:

–2π

⎧

⎨

⎩

𝑟

𝑐

𝑃₁(θ)

+…+

(-)

^𝑠

1⋅3…(2𝑠-1)

2⋅4…2𝑠

𝑟^2𝑠+1

𝑐^2𝑠+1

𝑃

_2𝑠+1

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

(8)

+2π

⎧

⎨

⎩

𝑐²

𝑟²

𝑃₁(θ)

+…+

(-)

^𝑠

1⋅3…(2𝑠+1)

2⋅4…(2𝑠+2)

𝑐^2𝑠+2

𝑟^2𝑠+2

𝑃

_2𝑠+1

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

(9)

где все гармоники являются гармониками нечётного порядка ¹.

¹ Величина телесного угла, опирающегося на окружность, может быть получена более непосредственным путём, а именно:

Телесный угол, опирающийся на окружность, с вершиной в точке 𝑍, находящейся на оси, как легко показать, равен ω = 2π

⎧

⎪

⎩ 1-

𝑧-𝑐 cos α

𝐻𝑍

⎫

⎪

⎭ .

Разлагая это выражение по сферическим гармоникам, находим ω = 2π

⎧

⎨

⎩ (cos α+1) + (𝑃₁(α) cos α – 𝑃₀(α))

𝑧

𝑐 +…+ + (𝑃₁(α) cos α – 𝑃_𝑖-1(α))

𝑧^𝑖

𝑐^𝑖 +…

⎫

⎬

⎭ ,

эти разложения ω справедливы для точек на оси при 𝑧 меньших и больших 𝑐 соответственно.

Легко показать, что эти результаты совпадают с полученными в тексте.

О потенциальной энергии двух круговых токов

696. Предположим вначале, что две магнитные оболочки, эквивалентные этим токам, представляют собой участки двух концентричных сфер, имеющих радиусы 𝑐₁ и 𝑐₂, причём 𝑐₁ больше 𝑐₂ (рис. 47). Предположим также, что оси обеих оболочек совпадают и что α₁ и α₂ – это углы с вершинами в центре 𝐶, опирающиеся на радиус первой оболочки и на радиус второй оболочки соответственно.

Рис. 47

Пусть ω₁ – потенциал, создаваемый первой оболочкой в произвольной точке, находящейся на этой же оболочке; тогда работа, необходимая для удаления второй оболочки на бесконечное расстояние, выражается величиной следующего поверхностного интеграла:

𝑀

∬

𝑑ω₁

𝑑𝑟

𝑑𝑆

распространённого на всю вторую оболочку. Следовательно,

𝑀

∫

μ₂

𝑑ω₁

𝑑𝑟

2π𝑐₂²

𝑑μ₂

4π²

sin²α₁

𝑐₂²

⎧

⎨

⎩

𝑐₁

𝑃'₁(α₁)

∫

μ₂

𝑃₁(θ)

μ₂

+…+

𝑐₂^𝑖-1

𝑐^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α₁)

∫

μ₂

𝑃

_𝑖

(θ)

μ₂

+…

⎫

⎬

⎭

или, подставляя значения интегралов из уравнения (2) п. 694,

𝑀

4π²

sin²α₁

sin²α₂

𝑐₂

⎧

⎨

⎩

𝑐₂

𝑐₁

𝑃'₁(α₁)

𝑃'₁(α₂)

+…+

𝑖(𝑖+1)

𝑐₂^𝑖

𝑐₁^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α₁)

𝑃'

_𝑖

(α₂)

+…

⎫

⎬

⎭

697. Предположим теперь, что ось одной из оболочек повёрнута относительно точки 𝐶, взятой за центр, и составляет с осью другой оболочки угол θ (рис. 48).

Рис. 48

Нам нужно только ввести в выражение для 𝑀 зональные гармоники по θ, и мы найдём более общую формулу для 𝑀:

𝑀

4π²

sin²α₁

sin²α₂

𝑐₂²

⎧

⎨

⎩

𝑐₂

𝑐₁

𝑃'₁(α₁)

𝑃'₁(α₂)

𝑃₁(θ)

+…+

𝑖(𝑖+1)

𝑐₂^𝑖

𝑐₁^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α₁)

𝑃'

_𝑖

(α₂)

𝑃

_𝑖

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

Это и есть величина потенциальной энергии, обусловленной взаимным действием двух круговых токов единичной силы, расположенных так, что нормали, проходящие через центры кругов, пересекаются друг с другом в точке 𝐶 под углом θ, причём расстояния от периметров окружностей до точки 𝐶 равны 𝑐₁ и 𝑐₂, и 𝑐₁ больше 𝑐₂.

Если какое-то смещение 𝑑𝑥 меняет значение 𝑀, то сила, действующая в направлении этого смещения, есть 𝑋=𝑑𝑀/𝑑𝑥.

Например, если ось одной из оболочек может свободно вращаться вокруг точки 𝐶, вызывая изменение θ, то момент силы, стремящийся увеличить θ, равен Θ, где Θ=𝑑𝑀/𝑑θ.

Выполняя дифференцирование и помня, что

𝑑𝑃_𝑖(θ)

𝑑θ

sin θ

𝑃'

_𝑖

(θ)

где 𝑃'_𝑖 имеет тот же смысл, что и в предыдущих уравнениях, получим

-4π²

sin²α₁

sin²α₂

sin θ

𝑐₂

⎧

⎨

⎩

𝑐₂

𝑐₁

𝑃'₁(α₁)

𝑃'₁(α₂)

𝑃'₁(θ)

+…+

𝑖(𝑖+1)

𝑐₂^𝑖

𝑐₁^𝑖

𝑃'

_𝑖

(α₁)

𝑃'

_𝑖

(α₂)

𝑃'

_𝑖

(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

698. В связи с тем что в этих вычислениях часто встречаются величины 𝑃'_𝑖, может оказаться полезной следующая таблица выражений для функций 𝑃'_𝑖 первых шести порядков; в этой таблице вместо cos θ фигурирует μ и ν вместо sin θ:

𝑃'₁

𝑃'₂

3μ,

𝑃'₃

(5μ²-1)

⎛

⎜

⎝

μ²

–

ν²

⎞

⎟

⎠

𝑃'₄

μ(7μ²-3)

10μ

⎛

⎜

⎝

μ²

–

ν²

⎞

⎟

⎠

𝑃'₅

(21μ⁴-14μ²+1)

⎛

⎜

⎝

μ⁴

–

μ²ν²

ν⁴

⎞

⎟

⎠

𝑃'₆

μ(33μ⁴-33μ²+5)

21μ

⎛

⎜

⎝

μ⁴

–

μ²ν²

ν⁴

⎞

⎟

⎠

699. Иногда удобно представить ряды для 𝑀 как функции некоторых «линейных» величин следующим образом.

Пусть 𝑎 – радиус малого контура, 𝑏 – расстояние от начала координат до плоскости контура и 𝑐=√𝑎²+𝑏².

Пусть 𝐴 𝐵 и 𝐶 – соответствующие величины для большого контура.

Тогда ряды для 𝑀 могут быть записаны в виде

𝑀

1⋅2⋅π²

𝐴²

𝐶³

𝑎²

cos θ

2⋅3⋅π²

𝐴²𝐵

𝐶⁵

𝑎²𝑏

(cos²θ-½sin²θ)

3⋅4⋅π²

𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)

𝐶⁷

𝑎²(𝑏²-¼𝑎²)

(cos³θ

–

sin²θcos θ)

…

Если положить θ=0, то две окружности будут параллельными и будут иметь общую ось. Для того чтобы определить притяжение между ними, мы можем продифференцировать 𝑀 по 𝑏. В результате найдём

𝑑𝑀

𝑑𝑏

π²

𝐴²𝑎²

𝐶⁴

⎧

⎨

⎩

2⋅3

𝐵

𝐶

2⋅3⋅4

𝐵²-¼𝐴²

𝐶³

𝑏

+…

⎫

⎬

⎭

700. Чтобы вычислить действие катушки прямоугольного сечения, мы должны найденное выражение проинтегрировать по радиусу катушки 𝐴 и по расстоянию 𝐵 от её плоскости до начала координат, распространив интегрирование на всю ширину и высоту катушки.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."