Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 28 (всего у книги 34 страниц)
Магнитное вращение плоскости поляризации (по Вердье)
БИСУЛЬФИД УГЛЕРОДА при 24,9
°
С
Линии спектра
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
Наблюдаемое вращение
592
768
1000
1234
1704
Вычисленное
по
I
589
760
1000
1234
1713
»
»
II
606
772
1000
1216
1640
»
»
III
943
967
1000
1034
1091
Вращение луча
𝐸
= 25
°
28'
КРЕОЗОТ ПРИ 24,3
°
С
Линии спектра
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝐺
Наблюдаемое вращение
573
758
1000
1241
1723
Вычисленное
по
I
617
780
1000
1210
1603
»
»
II
623
789
1000
1200
1565
»
»
III
976
993
1000
1017
1041
Вращение луча
𝐸
= 21
°
58'
Мы так слабо знаем детали молекулярного строения тел, что маловероятно, чтобы можно было построить какую-либо удовлетворительную теорию, относящуюся к такому частному явлению, как магнитное воздействие на свет, до тех пор, пока с помощью индукции, опирающейся на набор различных случаев, где будет обнаружено, что наблюдаемые явления зависят от действий, в которых участвуют молекулы, мы не познаем нечто более определённое о тех свойствах, которые следует приписать молекуле для того, чтобы удовлетворить условиям наблюдаемых фактов.
Очевидно, что изложенная на предыдущих страницах теория является предварительной, покоящейся пока что на недоказанных гипотезах относительно природы молекулярных вихрей и способа воздействия на них смещения среды. Поэтому мы должны считать, что любое совпадение с наблюдаемыми фактами имеет гораздо меньшее научное значение в теории магнитного вращения плоскости поляризации, нежели в электромагнитной теории света, которая, хотя и включает гипотезы об электрических свойствах сред, но не опирается на предположения относительно строения их молекул.
831. Примечание. Всё содержание этой главы можно рассматривать как развитие чрезвычайно важного замечания сэра Уильяма Томсона в «Трудах Королевского Общества» за июнь 1856 г.: «Магнитное влияние на свет, обнаруженное Фарадеем, зависит от направления движения движущихся частиц. Например, в среде, обладающей этой способностью, частицы, расположенные на прямой линии, параллельной линиям магнитной силы, будучи смещены спирально относительно этой линии как оси и затем пущены тангенциально с такой скоростью, чтобы они вращались по окружностям, будут иметь разные скорости а соответствии с тем, происходит ли их движение в одном направлении (совпадающем с условным направлением гальванического тока в намагничивающей катушке) или в противоположном направлении. Но упругая реакция среды должна быть одинаковой при одинаковых смещениях, каковы бы ни были скорости и направления движения частиц, т.е. силы, которые уравновешиваются центробежной силой круговых движений, должны быть равны, в то время как световые движения не равны. Таким образом, абсолютные круговые движения либо равны друг другу, либо сообщают равные центробежные силы тем частицам, которые рассматривались нами первоначально. Из этого следует, что световые движения являются лишь компонентами полного движения и что меньшая световая составляющая в одном направлении, объединённая с движением, существующим в среде в отсутствие света, даёт равный результат с большим световым движением в противоположном направлении, объединённым с тем же несветовым движением. Я думаю, что не только нельзя понять как-нибудь иначе (нежели с помощью этого динамического объяснения) тот факт, что циркулярно поляризованный свет с одним и тем же свойством (т.е. правовинтовой или левовинтовой) при прохождении через намагниченное стекло параллельно линиям магнитной силы распространяется с различными скоростями в соответствии с тем, совпадает ли его направление с направлением на северный магнитный полюс или противоположно ему, но я верю, что можно показать невозможность какого-либо другого объяснения этого факта. Отсюда следует, что оптическое открытие Фарадея является демонстрацией реальности объяснения Ампером первичной природы магнетизма и даёт определение намагниченности в динамической теории тепла. Введение принципа сохранения момента количества движения («сохранения площадей») в механическое рассмотрение гипотезы Ранкина (Rankine) о «молекулярных вихрях», по-видимому, указывает на линию, перпендикулярную плоскости результирующего вращательного импульса («неизменная плоскость») тепловых движений, как на магнитную ось намагниченного тела и предлагает их результирующий момент количества движения в качестве определённой меры «магнитного момента». Объяснение всех явлений электромагнитного притяжения или отталкивания и электромагнитной индукции следует искать просто в инерции и давлении материи, движения которой образуют тепло. Является или не является эта материя электричеством, является или не является она непрерывной жидкостью, заполняющей промежуток между молекулярными ядрами, или это просто сгруппированы сами молекулы; или вся материя является непрерывной, и молекулярная неоднородность состоит в конечных вихревых или других относительных движениях близлежащих частей тела – всё это невозможно решить и, по-видимому, напрасно делать какие-либо предположения при настоящем состоянии науки».
Теория молекулярных вихрей, которую я в значительной степени разработал, опубликована в Phil. Mag. за март, апрель и май 1861 г. и январь и февраль 1862 г.
Я думаю, что у нас есть хорошие основания полагать, что какое-то явление вращения имеет место в магнитном поле; в этом вращении участвует большое число очень маленьких порций вещества, вращающихся каждая вокруг своей собственной оси, причём эта ось параллельна направлению магнитной силы, и вращения этих вихрей зависят одно от другого, будучи связаны посредством некоторого механизма.
Попытку, которую я сделал, представив себе работающую модель такого механизма, не следует принимать за нечто большее, чем она является на самом деле, а именно демонстрацией того, что можно представить себе такой механизм, способный производить связь, механически эквивалентную связи частей электромагнитного поля. Задача определения механизма, необходимого для установления данных видов связи между движениями частей системы, всегда допускает бесконечное число решений. Некоторые из них могут быть более грубыми или более сложными, чем другие, но все они должны удовлетворять условиям механизма в целом.
Большую ценность, однако, представляют следующие результаты теории:
(1). Магнитное поле является результатом действия центробежной силы вихрей.
(2). Электромагнитная индукция токов является результатом действия сил, вступающих в игру при изменении скоростей вихрей.
(3). Электромагнитная сила возникает при напряжениях связывающего механизма.
(4). Электрическое смещение возникает при упругой реакции связывающего механизма.
ГЛАВА XXII
ОБЪЯСНЕНИЕ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА И ДИАМАГНЕТИЗМА МОЛЕКУЛЯРНЫМИ ТОКАМИ
Об электромагнитных теориях магнетизма
832. Мы уже видели (п. 380), что действие магнитов друг на друга может быть точно представлено притяжениями и отталкиваниями воображаемого вещества, называемого магнитной материей. Мы привели доводы, почему не следует предполагать, что эта магнитная материя перемещается от одной части магнита к другой на заметное расстояние, как это кажется на первый взгляд, когда мы намагничиваем стержень. Мы пришли к гипотезе Пуассона о том, что магнитная материя сосредоточена строго в отдельных молекулах магнитного вещества, причём намагниченной является такая молекула, в которой противоположные виды магнитной материи более или менее разделены в направлении противоположных полюсов молекулы, но таким образом, что ни одна часть любого из видов магнитной материи фактически не может быть отделена от молекулы (п. 430).
Эти аргументы полностью устанавливают тот факт, что намагниченность есть явление, относящееся не к большим массам железа, а к молекулам, иначе говоря, к частям вещества настолько малым, что мы никаким механическим способом не можем разделить одну из них надвое, так чтобы получить северный полюс отдельно от южного полюса. Однако для установления природы магнитной молекулы несомненно требуются дополнительные исследования. Мы уже видели (п. 442), что имеются сильные основания полагать, что акт намагничивания железа или стали не состоит в намагничивании молекул, из которых они образованы, но что эти молекулы уже являются магнитными даже в ненамагниченном железе, при этом их оси базразлично ориентированы во всех направлениях. Акт намагничивания состоит в повороте молекул таким образом, что их оси либо все становятся параллельными одному направлению, либо, по крайней мере, отклоняются к этому направлению.
833. Тем не менее мы всё ещё не пришли ни к какому объяснению природы магнитной молекулы, т.е. мы ещё не нашли её сходства с какой-либо другой более известной нам вещью. Поэтому нам следует рассмотреть гипотезу Ампера о том, что магнетизм молекулы обусловлен электрическим током, постоянно циркулирующим по некоторому замкнутому пути внутри молекулы.
Можно точно имитировать действие любого магнита в точках, внешних по отношению к нему, с помощью листа электрических токов, соответствующим образом распределённых по внешней поверхности магнита. Но действие магнита в точках внутри него совершенно отлично от действия электрических токов в соответствующих точках. Поэтому Ампер заключил, что если магнетизм следует объяснять при помощи электрических токов, эти токи должны циркулировать в пределах молекул магнита и не должны течь от одной молекулы к другой. Поскольку мы не можем экспериментально измерить магнитное действие в какой-либо точке внутри молекулы, эта гипотеза не может быть опровергнута таким же путём, как мы можем опровергнуть гипотезу о токах заметной протяжённости внутри магнита.
Кроме того, мы знаем что электрический ток, проходя от одной части проводника к другой, испытывает сопротивление и порождает тепло, так что если бы токи обычного вида протекали вокруг частей магнита заметных размеров, то имелся бы постоянный расход энергии, необходимый для их поддержания, а магнит бы являлся постоянным источником тепла. Ограничивая контуры молекулами, о сопротивлении внутри которых ничего неизвестно, мы можем, не боясь впасть в противоречие, утверждать, что ток, циркулирующий внутри молекулы, не испытывает сопротивления.
Следовательно, по теории Ампера все явления магнетизма обусловлены электрическими токами, и если бы мы могли измерять магнитную силу внутри магнитной молекулы, мы обнаружили бы, что она подчиняется точно тем же законам, что и сила в области, окружённой любым другим электрическим контуром.
834. При рассмотрении силы внутри магнитов мы предполагали, что измерения выполняются в небольшой полости, образованной в веществе магнита (п. 395). Мы, таким образом, пришли к необходимости рассмотрения двух различных величин, магнитной силы и магнитной индукции, каждую из которых предполагается измерять в пространстве, из которого удалена магнитная материя. Мы не предполагали, что можем проникнуть внутрь магнитной молекулы и наблюдать силу внутри неё.
Если мы принимаем теорию Ампера и рассматриваем магнит не как непрерывное вещество, намагниченность которого меняется от точки к точке в соответствии с каким-то легко устанавливаемым законом, но как множество молекул, внутри каждой из которых циркулирует система электрических токов, создающих очень сложное распределение магнитной силы, то направление магнитной силы внутри молекулы будет обычно противоположно направлению средней силы в её окрестности, а магнитный потенциал, если он вообще существует, является функцией, степень кратности которой определяется числом молекул в магните.
835. Но мы обнаружим, что, несмотря на видимую сложность, которая вытекает просто из существования множества более простых частей, математическая теория магнетизма значительно упрощается, если принять теорию Ампера и распространить наши математические представления на внутренние части молекул.
Прежде всего два определения магнитной силы сводятся к одному – к определению магнитной силы для пространства вне магнита. Далее, составляющие магнитной силы везде удовлетворяют условию, которому подчиняются составляющие индукции, а именно
𝑑α
𝑑𝑥
+
𝑑β
𝑑𝑦
+
𝑑γ
𝑑𝑧
=
0.
(1)
Другими словами, распределение магнитной силы имеет ту же природу, что и распределение скорости несжимаемой жидкости, или, как мы это выразили в п. 25, магнитная сила не имеет конвергенции.
Наконец, три векторные функции – электромагнитный импульс, магнитная сила и электрический ток – более просто связаны друг с другом. Все они являются векторными функциями, не имеющими конвергенции, и получаются последовательно одна из другой при помощи одной и той же операции пространственного дифференцирования, которая была обозначена Гамильтоном символом 𝛁.
836. Но теперь мы рассматриваем магнетизм с физической точки зрения, поэтому мы должны исследовать физические свойства молекулярных токов. Мы предполагаем, что ток циркулирует в молекуле и что он не испытывает сопротивления. Если 𝐿 – коэффициент самоиндукции молекулярного контура, а 𝑀 – коэффициент взаимной индукции между этим контуром и каким-то другим, и если γ есть сила тока в молекуле, а γ' – сила тока в другом контуре, то уравнение для тока γ следующее:
𝑑
𝑑𝑡
(𝐿γ+𝑀γ')
=-
𝑅γ
;
(2)
а так как, согласно предположению, сопротивление отсутствует, то 𝑅=0 и, интегрируя, мы получаем
𝐿γ+𝑀γ'
=
constant
=
𝐿γ₀
(скажем).
(3)
Предположим, что площадь проекции молекулярного контура на плоскость, перпендикулярную оси молекулы, равна 𝐴, причём эта ось определена как нормаль к плоскости, на которой проекция максимальна. Если действие других токов обусловливает магнитную силу 𝑋 в направлении, наклон которого к оси молекулы равен ω, то величина 𝑀γ' равняется 𝑋𝐴 cos θ, и в качестве уравнения тока мы имеем
𝐿γ
+
𝑋𝐴 cos θ
=
𝐿γ₀
,
(4)
где γ₀ есть значение γ при 𝑋=0.
Таким образом, получается, что сила молекулярного тока полностью зависит от его первичного значения γ₀ и от интенсивности магнитной силы, обусловленной другими токами.
837. Если мы предположим, что первичный ток отсутствует и весь ток целиком обусловлен индукцией, тогда
γ
=-
𝑋𝐴
𝐿
cos θ
.
(5)
Отрицательный знак показывает, что направление индуцированного тока противоположно направлению индуцирующего тока, а его магнитное действие таково, что внутри контура он действует против направления магнитной силы. Другими словами, молекулярный ток действует как небольшой магнит, полюса которого повёрнуты в сторону одноимённых полюсов индуцирующего магнита.
Это действие противоположно действию молекул железа, находящихся под магнитным воздействием. Следовательно, молекулярные токи в железе не возбуждаются индукцией. Но в диамагнитных веществах действие такого рода наблюдается, и это действие является объяснением диамагнитной полярности, которое впервые было дано Вебером.
Веберовская теория диамагнетизма
838. Согласно теории Вебера в молекулах диамагнитных веществ существуют некоторые каналы, по которым электрический ток может циркулировать без сопротивления. Очевидно, что если мы предположим, что эти каналы пересекают молекулу во всех направлениях, это эквивалентно тому, что молекула считается идеальным проводником.
Если начать с предположения о линейном контуре внутри молекулы, то сила тока задаётся уравнением (5).
Магнитный момент тока равен произведению его силы на площадь контура, т.е. γ𝐴, а составляющая его в направлении намагничивающей силы равна γ𝐴 cos θ, или, согласно (5),
-
𝑋𝐴²
𝐿
cos²θ
(6)
Если в единице объёма имеется 𝑛 таких молекул, а их оси распределены безразлично по всем направлениям, тогда среднее значение cos²θ будет равно 1/3, а интенсивность намагниченности вещества будет
-
1
3
𝑛𝑋𝐴²
𝐿
.
(7)
Следовательно, неймановский коэффициент намагниченности равен
ϰ
=-
1
3
𝑛𝐴²
𝐿
.
(8)
Намагничивание вещества, таким образом, происходит в направлении, противоположном магнитной силе, или, другими словами, вещество является диамагнитным. Намагниченность точно так же пропорциональна намагничивающей силе и не стремится к конечному пределу, как в случае обычной магнитной индукции (см. п. 442 и далее).
839. Если оси молекулярных каналов ориентированы не безразлично во всех направлениях, а с преобладанием в некоторых из них, то сумма ∑(𝐴²/𝐿)cos²θ, распространённая на все молекулы, будет иметь различные значения в зависимости от направления линии, от которой измеряется θ, распределение этих значений в различных направлениях будет подобно распределению значений моментов инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку в различных направлениях.
Такое распределение сможет объяснить описанные Плюкером обусловленные наличием осей в теле магнитные явления, которые Фарадей назвал Магнитокристаллическими (см. п. 435).
840. Рассмотрим теперь, что будет, если вместо того, чтобы считать, что электрический ток в молекуле протекает внутри определённого канала, предположить, что вся молекула является идеальным проводником.
Начнём со случая тела, форма которого является ацикличной, иначе говоря, которое не имеет форму кольца или дырявого тела, и предположим, что это тело со всех сторон покрыто тонкой оболочкой идеально проводящей материи.
В п. 654 мы уже доказали, что замкнутый лист идеально проводящей материи произвольной формы, первоначально свободный от токов, становится под действием магнитной силы токовым листом, действие которого обеспечивает равенство нулю магнитной силы в каждой точке внутри объёма, ограниченного листом.
Мы можем лучше понять этот случай, если учтём, что распределение магнитной силы в окрестности такого тела подобно распределению скорости несжимаемой жидкости в окрестности непроницаемого тела той же формы.
Очевидно, что если другие проводящие оболочки помещены внутри первой, то токи в них возбуждаться не будут, поскольку они не подвержены действию магнитной силы. Следовательно, в твёрдом идеально проводящем материале действие магнитной силы состоит в возбуждении системы токов, которые полностью сосредоточены на поверхности тела.
841. Если проводящее тело имеет форму сферы радиуса 𝑟, можно показать, что его магнитный момент равен -𝑟³𝑋/2. Если в среде распределено некоторое количество таких сфер, так что в единице объёма объём проводящего вещества равен 𝑘' тогда, полагая в уравнении (17) п. 314 𝑘₁=∞, 𝑘₂=1 и 𝑝=𝑘', мы находим коэффициент магнитной проницаемости, как величину соответствующую обратно сопротивлению в том параграфе, а именно
μ
=
2-2𝑘'
2+2𝑘'
,
(9)
откуда мы получаем для магнитного коэффициента Пуассона
𝑘
=-
½𝑘'
(10)
и для неймановского коэффициента намагниченности через индукцию
ϰ
=-
3
4π
𝑘'
2+𝑘'
(11)
Поскольку математическая концепция идеально проводящих тел ведёт к результатам, сильно отличающимся от всех явлений, которые мы можем наблюдать в обычных проводниках, продолжим исследование несколько дальше.
842. Возвращаясь к случаю проводящего канала в форме замкнутой кривой, ограничивающей площадь 𝐴, как в п. 836, мы имеем для момента электромагнитных сил, стремящихся увеличить угол θ:
γγ'
𝑑𝑀
𝑑θ
=-
γ𝑋𝐴
sin θ
(12)
=
𝑋²𝐴²
𝐿
sin θ
cos θ
.
(13)
Эта сила положительна или отрицательна в зависимости от того, больше или меньше прямого угла угол θ. Следовательно, магнитная сила, действующая на идеально проводящий канал, стремится повернуть его ось перпендикулярно линии магнитной силы, т.е. так, чтобы плоскость канала стала параллельной линиям силы.
Действие подобного рода можно наблюдать, помещая медную монетку или колечко между полюсами электромагнита. В момент возбуждения магнита плоскость кольца поворачивается в аксиальном направлении, но эта сила исчезает по мере того, как затухают токи из-за сопротивления меди 1.
1 См. Faraday, Exp. Res., 2310.
843. Пока мы рассмотрели лишь случай, в котором молекулярные токи полностью возбуждаются внешней магнитной силой. Изучим теперь отношение веберовской теории магнитоэлектрической индукции молекулярных токов к амперовой теории обычного магнетизма. Согласно Амперу и Веберу, молекулярные токи в магнитных веществах не возбуждаются внешней магнитной силой, но существуют там заранее, а сама молекула находится под воздействием магнитной силы и отклоняется из-за её электромагнитного действия на проводящий контур, в котором течёт ток. Когда Ампер разрабатывал эту гипотезу, индукция электрических токов ещё не была известна, и он не делал никаких предположений относительно существования или определения силы молекулярных токов.
Мы, однако, теперь вынуждены применять к этим токам те же законы, которые применял Вебер к своим токам в диамагнитных молекулах. Мы должны лишь предположить, что первоначальное значение тока γ, когда нет воздействия магнитной силы, не равно нулю, а равно γ₀. Если магнитная сила 𝑋 действует на молекулярный ток, обтекающий площадь 𝐴, ось которой наклонена под углом θ к линии магнитной силы, то сила тока равна
γ
=
γ₀
–
𝑋𝐴
𝐿
cos θ
,
(14)
а момент пары сил, стремящихся повернуть молекулу так, чтобы увеличить угол θ, равен
-
γ₀
𝑋𝐴
sin θ
+
𝑋²𝐴²
2𝐿
sin 2θ
.
(15)
Следовательно, если в исследованиях п. 443 положить
𝐴
γ₀
=
𝑚
,
𝐴
𝐿γ₀
=
𝐵
,
(16)
то уравнение равновесия становится таким:
𝑋
sin θ
–
𝐵𝑋²
sin θ
cos θ
=
𝐷
sin(α-θ)
.
(17)
Составляющая магнитного момента тока в направлении 𝑋 равна
γ𝐴
cos θ
=
γ₀𝐴
cos θ
–
𝑋𝐴²
𝐿
cos²θ
,
(18)
=
𝑚
cos θ
(1-𝐵𝑋cos θ)
.
(19)
844. Эти условия отличаются от условий веберовской теории магнитной индукции членами, содержащими коэффициент 𝐵. Если произведение 𝐵𝑋 мало по сравнению с единицей, результаты будут приближаться к результатам веберовской теории магнетизма. Если произведение 𝐵𝑋 велико по сравнению с единицей, результаты будут приближаться к результатам веберовской теории диамагнетизма.
Далее, чем больше первоначальное значение молекулярного тока γ₀, тем меньше будет становиться 𝐵, а если 𝐿 велико, это также будет уменьшать 𝐵. Если ток течёт по кольцевому каналу, значение 𝐿 зависит от ln(𝑅/𝑟), где 𝑅 – радиус средней линии канала, а 𝑟 – радиус его сечения. Следовательно, чем меньше сечение канала по сравнению с его площадью, тем больше будет коэффициент самоиндукции 𝐿 и тем ближе будут согласовываться явления с первоначальной веберовской теорией. Здесь, однако, будет то отличие, что при увеличении намагничивающей силы 𝑋 временный магнитный момент не только достигает максимума, но и уменьшается при дальнейшем увеличении 𝑋.
Если когда-нибудь экспериментально будет доказано, что временная (индуцированная) намагниченность какого-либо вещества вначале возрастает, а затем уменьшается по мере непрерывного увеличения намагничивающей силы, доказательство существования этих молекулярных токов будет, я думаю, почти несомненным.
845. Если молекулярные токи в диамагнитных веществах ограничены определёнными каналами и если молекулы способны отклоняться, подобно молекулам магнитных веществ, тогда по мере увеличения намагничивающей силы диамагнитная полярность всегда будет возрастать, однако не так быстро, как намагничивающая сила, если последняя велика. Малая абсолютная величина диамагнитного коэффициента показывает, однако, что отклоняющая сила, действующая на каждую диамагнитную молекулу, должна быть малой по сравнению с силой, действующей на магнитную молекулу, так что любой результат, обусловленный этим отклонением, вряд ли будет заметен.
Если, с другой стороны, молекулярные токи в диамагнитных телах могут течь через всё вещество молекул, то диамагнитная полярность будет строго пропорциональна намагничивающей силе; её величина даёт возможность определить весь объём, занятый идеально проводящими массами, а если мы знаем число молекул,– определить размер каждой из них.
ГЛАВА XXIII
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИЯ НА РАССТОЯНИИ
Объяснение формулы Ампера, данное Гауссом и Вебером
846. По формуле Ампера притяжение между элементами 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' двух контуров, несущих электрические токи 𝑖 и 𝑖', равно
𝑖𝑖' 𝑑𝑠 𝑑𝑠'
𝑟²
⎛
⎜
⎝
2cos ε
+3
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
,
(1)
или
-
𝑖𝑖' 𝑑𝑠 𝑑𝑠'
𝑟²
⎛
⎜
⎝
2𝑟
𝑑²𝑟
𝑑𝑠 𝑑𝑠'
–
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
⎞
⎟
⎠
,
(2)
где силы токов даны в электромагнитных единицах (см. п. 526).
Теперь мы должны интерпретировать величины, фигурирующие в этих выражениях, т.е.
cos ε
,
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
и
𝑑²𝑟
𝑑𝑠 𝑑𝑠'
,
причём наиболее очевидным фактом, к которому следует обратиться в поисках интерпретации, основанной на прямом соотношении между токами, является наличие относительной скорости электричества в этих двух элементах.
847. Рассмотрим в связи с этим относительное движение двух частиц, перемещающихся с постоянными скоростями 𝑣 и 𝑣' вдоль элементов 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' соответственно. Квадрат относительной скорости этих частиц равен
𝑢²
=
𝑣²
–
2𝑣𝑣'
cos ε
+
𝑣'²
,
(3)
и если обозначить расстояние между частицами через 𝑟, то
∂𝑟
∂𝑡
=
𝑣
𝑑𝑟
𝑑𝑠
+
𝑣'
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
,
(4)
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
=
𝑣²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
𝑑𝑠
⎞²
⎟
⎠
+
2𝑣𝑣'
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
+
𝑣'²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
⎞²
⎟
⎠
,
(5)
∂²𝑟
∂𝑡²
=
𝑣²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠²
+
2𝑣𝑣'
𝑑²𝑟
𝑑𝑠 𝑑𝑠'
+
𝑣'²
𝑑²𝑟
𝑑𝑠'²
,
(6)
где символ ∂ указывает на то, что координаты частицы в дифференциальных величинах должны быть выражены как функции времени.
Оказывается, таким образом, что в уравнениях (3), (5) и (6) члены, включающие произведение 𝑣𝑣', содержат величины, встречающиеся в (1) и (2), которые мы должны интерпретировать. Поэтому мы попытаемся выразить (1) и (2) через
𝑢²
,
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
и
∂²𝑟
∂𝑡²
.
Однако для того, чтобы проделать это, нам необходимо избавиться от первого и третьего членов каждого из этих выражений, поскольку они содержат величины, не фигурирующие в формуле Ампера. Следовательно, мы не в состоянии объяснить электрический ток как перенос электричества только в одном направлении, мы должны объединить два противоположных потока в каждом из токов так, чтобы объединённый эффект со стороны членов, содержащих 𝑣² и 𝑣'², мог быть равен нулю.
848. Для этого предположим, что в первом элементе 𝑑𝑠 мы имеем одну электрическую частицу 𝑒, движущуюся со скоростью 𝑣, и другую 𝑒₁ движущуюся со скоростью 𝑣₁, и аналогично в элементе 𝑑𝑠' две частицы 𝑒' и 𝑒'₁, движущиеся соответственно со скоростями 𝑣' и 𝑣'₁.
Член, содержащий 𝑣², при совместном действии этих частиц равен
∑
(𝑣²𝑒𝑒')
=
(𝑣²𝑒+𝑣₁²𝑒₁)
+
(𝑒'+𝑒'₁)
.
(7)
Аналогично
∑
(𝑣'²𝑒𝑒')
=
(𝑣'²𝑒'+𝑣'₁²𝑒'₁)
+
(𝑒+𝑒₁)
;
(8)
и
∑
(𝑣𝑣'𝑒𝑒')
=
(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)
+
(𝑣'𝑒'+𝑣'₁𝑒'₁)
.
(9)
Для того чтобы сумма ∑(𝑣²𝑒𝑒') могла обратиться в нуль, мы должны иметь либо
𝑒'
+
𝑒'₁
=
0
, либо
𝑣²𝑒
+
𝑣₁²𝑒₁
=
0.
(10)
В соответствии с гипотезой Фехнера (Fechner) электрический ток состоит из тока положительного электричества в положительном направлении в сочетании с током отрицательного электричества в отрицательном направлении, причём оба тока точно равны друг другу по абсолютной величине как в отношении количества электричества, так и в отношении скорости перемещения. Таким образом, гипотеза Фехнера удовлетворяет обоим условиям (10).
Для нашей цели, однако, достаточно предположить, что:
либо в каждом элементе количество положительного электричества численно равно количеству отрицательного электричества,
либо количества электричества этих двух видов обратно пропорциональны квадратам их скоростей.
Далее, мы знаем, что, заряжая второй проводящий провод в целом, мы можем сделать 𝑒'+𝑒'₁ величиной положительной или отрицательной. Такой заряженный провод даже без тока, согласно этой формуле, оказывал бы действие на первый провод, несущий ток, в котором величина 𝑣²𝑒+𝑣₁²𝑒₁ принимала бы отличное от нуля значение. Но такое действие никогда не наблюдалось.
Поскольку величина 𝑒'+𝑒'₁, как это можно показать экспериментально, не всегда равна нулю, а величина 𝑣²𝑒+𝑣₁²𝑒₁ экспериментального определения не допускает, то лучше в наших рассуждениях предположить, что именно эта последняя величина неизменно обращается в нуль.
849. Какую бы гипотезу мы ни приняли, нет никаких сомнений в том, что полный перенос электричества вдоль первого контура, исчисляемый алгебраически, представляется формулой
𝑣𝑒
+
𝑣₁𝑒₁
=
𝑐𝑖𝑑𝑠
,
где 𝑐 – количество единиц статического электричества, передаваемого единичным электрическим током в единицу времени; таким образом, уравнение (9) мы можем записать в виде
∑
(𝑣𝑣'𝑒𝑒')
=
𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
(11)
Следовательно, суммы четырёх значений величин, определяемых уравнениями (3), (5) и (6), станут такими:
∑
(𝑒𝑒'𝑢²)
=-
2𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
cos ε
,
(12)
∑
⎛
⎜
⎝
𝑒𝑒'
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
=
2𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑑𝑠'
,
(13)
∑
⎛
⎜
⎝
𝑒𝑒'
𝑟
∂²𝑟
∂𝑡²
⎞
⎟
⎠
=
2𝑐²𝑖𝑖'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
𝑟
𝑑²𝑟
𝑑𝑠𝑑𝑠'
(14)
и мы можем записать выражения (1) и (2) для силы притяжения между 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' в виде
-
1
𝑐²
∑
⎡
⎢
⎣
𝑒𝑒'
𝑟²
⎛
⎜
⎝
𝑢²
–
3
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(15)
-
1
𝑐²
∑
⎡
⎢
⎣
𝑒𝑒'
𝑟²
⎛
⎜
⎝
𝑟
∂²𝑟
∂𝑡²
–
1
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(16)
850. Обычное в теории статического электричества выражение для силы отталкивания между двумя электрическими частицами 𝑒 и 𝑒' есть 𝑒𝑒'/𝑟², и
∑
⎛
⎜
⎝
𝑒𝑒'
𝑟²
⎞
⎟
⎠
=
(𝑒+𝑒₁)(𝑒'+𝑒'₁)
𝑟²
,
(17)
что и даёт электростатическое отталкивание между двумя элементами, если они в целом заряжены.
Следовательно, если допустить, что отталкивание двух частиц происходит согласно одному из двух модифицированных выражений
𝑒𝑒'
𝑟²
⎡
⎢
⎣
1
+
1
𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑢²
–
3
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
(18)
или
𝑒𝑒'
𝑟²
⎡
⎢
⎣
1
+
1
𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑟
∂²𝑟
∂𝑡²
–
1
2
⎛
⎜
⎝
∂𝑟
∂𝑡
⎞²
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(19)
то мы сможем вывести из них и обычные электростатические силы, и силы, действующие между токами так, как они были определены Ампером.
851. Первое из этих выражений, (18), было открыто в июне 1835 г. Гауссом 1 он истолковал его как основной закон электрического действия, состоящий в том, что «два элемента электричества, находящиеся в состоянии относительного движения, притягивают или отталкивают друг друга, но не так, как если бы они находились в состоянии относительного покоя». Это открытие не было, насколько мне известно, опубликовано при жизни Гаусса, так что второе выражение, открытое независимо В. Вебером и опубликованное в первой части его знаменитого труда Elektrodynamische Maasbestimmungen 2, было первым такого рода результатом, сделавшимся известным научному миру.
1Werke, (Göttingen edition, 1867), vol. V, p. 616.
2Abh. Leibnizens Ges., Leipzig (1846), p. 316.
852. Эти два выражения приводят к одному и тому же результату, будучи применены к определению механической силы между двумя электрическими токами, и этот результат совпадает с результатом Ампера. Однако, когда мы рассматриваем их как выражения физического закона взаимодействия двух заряженных частиц, мы обязаны спросить себя, согласуются ли они с другими известными фактами природы.
Оба эти выражения включают в себя относительные скорости частиц. Далее, при математическом обосновании хорошо известного принципа сохранения энергии обычно предполагается, что сила, действующая между двумя частицами, является функцией только расстояния между ними; принято считать, что если эта сила окажется функцией ещё чего-нибудь, например времени или скорости частиц, то доказательство утрачивает смысл.
