Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 25 (всего у книги 34 страниц)

Этот метод требует одновременного определения двух сил с помощью электрометра и электродинамометра соответственно, однако результат определяется лишь отношением этих сил.

773. Другой метод, в котором эти силы не измеряются по отдельности, а непосредственно противостоят друг другу, был использован автором этих строк. Концы катушки с большим сопротивлением соединяются с двумя параллельными дисками, один из которых является подвижным. Одна и та же разность потенциалов обусловливает ток через большое сопротивление и вызывает притяжение между двумя дисками. Одновременно через две катушки, прикреплённые одна к обратной стороне неподвижного диска, другая – к обратной стороне подвижного диска, пропускается электрический ток, который в реальном эксперименте был отличен от первичного тока. Этот ток течёт через катушки в противоположных направлениях, так что они отталкивают друг друга. Путём подбора расстояния между двумя дисками притяжение точно компенсируется отталкиванием; одновременно другой наблюдатель при помощи дифференциального гальванометра с шунтами определяет отношение первичного тока ко вторичному.

В этом эксперименте единственным измерением, в котором следует использовать материальный эталон, является измерение большого сопротивления, которое должно быть определено по абсолютной величине путём сравнения с Омом. Другие измерения требуются только для определения отношений и, следовательно, могут быть выполнены в любых произвольных единицах.

Так, отношение двух сил является отношением типа равенства.

Отношение двух токов находится путём сравнения сопротивлений, при которых нет отклонения дифференциального гальванометра.

Сила притяжения зависит от квадрата отношения диаметра дисков к расстоянию между ними.

Сила отталкивания зависит от отношения диаметра катушек к расстоянию между ними.

Таким образом, значение 𝑣 выражается непосредственно через сопротивления большой катушки, которое само сравнивается с Омом.

Значение 𝑣, найденное методом Томсона, равно 28,2 Oм³, методом Максвелла – 28,8 Oм.⁴

³Report of British Association, 1869, p. 434.

⁴Phil. Trans., 1868, p. 643 and Report of British Association, 1869, p. 436.

III. Электростатическая ёмкость в электромагнитной мере

774. Ёмкость конденсатора может быть установлена в электромагнитных единицах путём сравнения электродвижущей силы, которая обусловливает заряд, и количества электричества в токе разряда. С помощью гальванической батареи в контуре, содержащем катушку с большим сопротивлением, поддерживается ток. Конденсатор заряжается путём подключения его электродов к электродам катушки сопротивления. Ток через катушку измеряется по отклонению, которое он производит в гальванометре. Пусть это отклонение будет φ, тогда ток, согласно п. 742, равен γ=(𝐻/𝐺) tg φ, где 𝐻 – горизонтальная составляющая земного магнетизма, а 𝐺 -главная постоянная гальванометра.

Если 𝑅 – сопротивление катушки, по которой пропускается ток, то разность потенциалов на концах катушки равна 𝐸=𝑅γ, а заряд электричества, произведённый в конденсаторе, ёмкость которого в электромагнитной мере равна 𝐶, будет 𝑄=𝐸𝐶.

Отключим электроды конденсатора, а затем и гальванометра от контура, и пусть магнит гальванометра придёт в состояние покоя в положении равновесия. Присоединим затем электроды конденсатора к электродам гальванометра. Через гальванометр потечёт переходный ток, который вызовет отклонение магнита до крайнего положения θ. Тогда, согласно п. 748, если разряд равен заряду, то

𝑄

𝐻

𝐺

𝑇

2 sin ½θ

Таким образом, мы получаем в качестве значения ёмкости конденсатора в электромагнитной мере

𝐶

𝑇

𝑅

2 sin ½θ

tg φ

Ёмкость конденсатора, таким образом, определена через следующие величины: 𝑇 – время колебания магнита гальванометра от одного состояния покоя до другого; 𝑅 – сопротивление катушки; θ – крайний предел отклонения, произведённого разрядом; φ – постоянное отклонение, обусловленное током через катушку 𝑅. Этот метод был использован профессором Флемингом Дженкином (Fleeming Jenkin) для определения ёмкости конденсаторов в электромагнитных единицах ⁵.

⁵Report of the British Association for 1867, p. 483-488.

Если 𝑐 – ёмкость того же самого конденсатора в электростатических единицах, определённая путём сравнения с конденсатором, ёмкость которого вычислена из его геометрических данных, то 𝑐=𝑣²𝐶.

Отсюда

𝑣²

π𝑅

𝑐

𝑇

tg θ

2 sin ½θ

Следовательно, таким способом можно найти величину 𝑣. Она зависит от определения 𝑅 в электромагнитных единицах, но, поскольку в неё входит лишь корень квадратный из 𝑅, ошибка в этом определении не так сильно влияет на величину 𝑣, как в способах, описанных в п. 772, 773.

Прерывистый ток

775. Если в цепи с батареей в произвольной точке разомкнуть провод и его концы соединить с электродами конденсатора, то в конденсатор потечёт ток, сила которого уменьшается по мере возрастания разности потенциалов между обкладками конденсатора, и, когда конденсатор приобретает полный заряд, соответствующий приложенной электродвижущей силе, ток полностью прекращается.

Если теперь электроды конденсатора отсоединить от концов провода и снова присоединить их в обратном порядке, конденсатор будет разряжаться через провод, а затем снова зарядится, но противоположным образом, так что через провод будет течь переходный ток, общее количество которого равно удвоенному заряду конденсатора.

С помощью простого механизма (обычно называемого Коммутатором, или качающимся коромыслом) операцию обращения соединений конденсатора можно повторять через регулярные промежутки времени, равные 𝑇. Если этот интервал достаточно длинный, чтобы произошёл полный разряд конденсатора, количество электричества, переданное проводом за каждый интервал, будет равно 2𝐸𝐶, где 𝐸 – электродвижущая сила, а 𝐶 – ёмкость конденсатора.

Если магнит, включённый в контур гальванометра, нагружён так, что он качается достаточно медленно и за время одного свободного колебания магнита происходит очень много разрядов конденсатора, тогда последовательность разрядов будет действовать на магнит подобно постоянному току, сила которого равна 2𝐸𝐶/𝑇.

Если теперь конденсатор убрать и вместо него поставить катушку сопротивления и добиться, чтобы постоянный ток через гальванометр производил такое же отклонение, как и последовательность разрядов, и если сопротивление всего контура в этом случае равно 𝑅, то

𝐸

𝑅

2𝐸𝐶

𝑇

(1)

или

𝑅

2𝐶

𝑇

(2)

Мы можем, таким образом, сравнить конденсатор с движущимся коммутатором с проводом определённого электрического сопротивления; для определения этого сопротивления мы можем использовать различные методы измерения сопротивлений, описанные в п. 345-357.

776. Для этой цели при использовании метода Дифференциального Гальванометра (см. п. 346) или мостика Уитстона (см. п. 347) мы можем вместо одного из проводов вставить конденсатор с его коммутатором. Предположим, что в каждом случае получено нулевое отклонение гальванометра – вначале с конденсатором и коммутатором, а затем с катушкой сопротивления 𝑅₁ вместо него. Тогда величина 𝑅/2𝐶 будет измеряться сопротивлением контура, часть которого образует катушка 𝑅₁ и который полностью замыкается через оставшуюся часть проводящей системы, включая батарею. Следовательно, сопротивление 𝑅, которое мы должны вычислить, равно сопротивлению катушки 𝑅₁ вместе с сопротивлением 𝑅₂ оставшейся части системы (включая батарею), причём концы катушки сопротивления следует взять в качестве электродов системы.

В случаях дифференциального гальванометра и мостика Уитстона нет необходимости делать второй эксперимент, подставляя катушку сопротивления вместо конденсатора. Величина требуемого для этой цели сопротивления может быть найдена путём вычисления через остальные известные сопротивления системы.

Используя обозначения п. 347, предположим, что конденсатор и коммутатор вставлены вместо проводника 𝐴𝐶 в мостик Уитстона, а гальванометр, подключённый в 𝑂𝐴, показывает нулевое отклонение. Мы знаем, что сопротивление катушки, которая, будучи помещённой в 𝐴𝐶, дала бы нулевое отклонение, равно

𝑏

𝑐γ

𝑅₁

(3)

Другая часть сопротивления – 𝑅₂ – является сопротивлением системы проводников 𝐴𝑂, 𝑂𝐶, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝑂𝐵, причём точки 𝐴 и 𝐶 рассматриваются как электроды. Следовательно,

𝑅₂

β(𝑏+𝑎)(γ+α)+𝑐𝑎(γ+𝑎)+γα(𝑐+𝑎)

(𝑐+α)(γ+𝑎)+β(𝑐+𝑎+γ+α)

(4)

В этом выражении 𝑎 обозначает внутреннее сопротивление батареи и её соединений; эта величина не может быть определена точно, но если сделать её малой по сравнению с другими сопротивлениями, эта неопределённость будет лишь слегка влиять на величину 𝑅₂.

Величина ёмкости конденсатора в электромагнитной мере равна

𝐶

𝑇

2(𝑅₁+𝑅₂)

(5)

777. Если конденсатор обладает большой ёмкостью, а коммутатор очень быстродействующий, то конденсатор может полностью не разряжаться при каждом переключении. Уравнение для электрического тока во время разряда следующее:

𝑄

𝑅₂𝐶

𝑑𝑄

𝑑𝑡

𝐸𝐶

(6)

где 𝑄 – заряд, 𝐶 – ёмкость конденсатора, 𝑅₂ – сопротивление остальной части системы между электродами конденсатора, 𝐸 – электродвижущая сила, обусловленная включением батареи.

Следовательно,

𝑄

(

𝑄₀

𝐸𝐶

)

–

𝑒

^{-𝑡/(𝑅₂𝐶)}

𝐸𝐶

(7)

где 𝑄₀ – начальное значение 𝑄.

Если τ – продолжительность контакта при каждом разряде, то количество электричества в каждом разряде равно

𝑄

2𝐸𝐶

1-𝑒^{-τ/(𝑅₂𝐶)}

1+𝑒^{+τ/(𝑅₂𝐶)}

(8)

Положив величины 𝑐 и γ в уравнении (4) большими по сравнению с β, 𝑎 или α, можно сделать время, представляемое произведением 𝑅₂𝐶, настолько малым по сравнению с τ, что при вычислении значения экспоненциального выражения мы можем использовать для 𝐶 выражение (5). Таким образом, мы находим

𝑅₂𝐶

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

𝑇

(9)

где 𝑅₁ – сопротивление, которое надо поставить вместо конденсатора, чтобы произвести эквивалентный эффект; 𝑅₂ – сопротивление остальной части системы, 𝑇 – интервал между началом двух последовательных разрядов, τ – продолжительность контакта при каждом разряде. Таким образом, мы получаем уточнённое значение для величины 𝐶 в электромагнитной мере:

-2

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

⋅

𝑇

𝐶

𝑇

1+𝑒

𝑅₁+𝑅₂

–2

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

⋅

𝑇

1-𝑒

(10)

IV. Сравнение электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки

778. Если две точки проводящего контура, сопротивление между которыми равно 𝑅, соединены с электродами конденсатора ёмкостью 𝐶, то при действии в контуре электродвижущей силы часть тока, вместо того чтобы проходить через сопротивление 𝑅, будет идти на заряд конденсатора. Следовательно, ток через 𝑅 будет увеличиваться от нуля до своего конечного значения постепенно. Из математической теории следует, что нарастание тока через 𝑅 от нуля до его конечного значения выражается формулой точно такого же вида, что и формула, определяющая величину тока, вызываемого постоянной электродвижущей силой в катушке электромагнита. Следовательно, мы можем поместить конденсатор и электромагнит в двух противоположных плечах мостика Уитстона таким образом, что ток через гальванометр всегда равен нулю, даже в момент замыкания или размыкания контура батареи.

Рис. 63

Пусть на рис. 63 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 будут соответственно сопротивления четырёх элементов мостика Уитстона. Пусть катушка с коэффициентом самоиндукции 𝐿 является частью элемента 𝐴𝐻 с сопротивлением 𝑄, и пусть электроды конденсатора ёмкости 𝐶 присоединены через проводники с малым сопротивлением к точкам 𝐹 и 𝑍. Для простоты мы будем предполагать, что в гальванометре, электроды которого присоединены к 𝐹 и 𝐻, ток отсутствует. Мы должны, таким образом, определить условие, при котором потенциал в точке 𝐹 равен потенциалу в точке 𝐻. И только если мы хотим оценить степень точности метода, мы должны вычислить ток через гальванометр, когда это условие не выполнено.

Пусть 𝑥 будет полное количество электричества, которое прошло через элемент 𝐴𝐹 за время 𝑡, а 𝑧 – количество электричества, прошедшее за то же время через 𝐹𝑍, тогда заряд конденсатора будет 𝑥-𝑧. Электродвижущая сила, действующая между электродами конденсатора, по закону Ома равна 𝑅(𝑑𝑧/𝑑𝑡), так что если ёмкость конденсатора равна 𝐶, то

𝑥-𝑧

𝑅𝐶

𝑑𝑧

𝑑𝑡

(1)

Пусть 𝑦 будет полное количество электричества, которое прошло через элемент 𝐴𝐻; электродвижущая сила от 𝐴 к 𝐻 должна равняться электродвижущей силе от 𝐴 к 𝐹, т.е.

𝑄

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝐿

𝑑²𝑦

𝑑𝑡²

𝑃

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(2)

Поскольку ток через гальванометр отсутствует, количество электричества, прошедшее через 𝐻𝑍, также должно равняться 𝑦, поэтому находим

𝑆

𝑑𝑦

𝑑𝑡

𝑅

𝑑𝑧

𝑑𝑡

(3)

Подставляя в (2) значение 𝑥, найденное из (1), и сравнивая с (3), мы находим в качестве условия отсутствия тока через гальванометр

𝑅𝑄

⎛

⎜

⎝

𝐿

𝑄

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑧

𝑆𝑃

⎛

⎜

⎝

𝑅𝐶

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑧

(4)

Условие отсутствия тока в установившемся режиме имеет обычный для мостика Уитстона вид

𝑄𝑅

𝑆𝑃

(5)

Дополнительное условие отсутствия тока при размыкании и замыкании соединения с батареей следующее:

𝐿

𝑄

𝑅𝐶

(6)

Здесь 𝐿/𝑄 и 𝑅𝐶 являются постоянными времени элементов 𝑄 и 𝑅 соответственно. Поэтому, если, меняя 𝑄 или 𝑅, мы отрегулируем элементы мостика Уитстона так, чтобы ток в гальванометре отсутствовал как при размыкании и замыкании контакта, так и в установившемся режиме, мы будем знать, что постоянные времени катушки и конденсатора равны.

Коэффициент самоиндукции 𝐿 можно определить в электромагнитной мере путём сравнения с коэффициентом взаимной индукции двух контуров с известными геометрическими параметрами (п. 756). Эта величина имеет размерность длины.

Ёмкость конденсатора может быть определена в электростатической мере путём сравнения с конденсатором, геометрические данные которого известны (п. 229). Эта величина с тоже является длиной. Ёмкость в электромагнитной мере равна

𝐶

𝑐

𝑣²

(7)

Подставляя это значение в уравнение (6), мы получаем для величины 𝑣:

𝑣²

𝑐

𝐿

𝑄𝑅

(8)

где 𝑐 – ёмкость конденсатора в электростатической мере, 𝐿 – коэффициент самоиндукции катушки в электромагнитной мере, а 𝑄 и 𝑅 – сопротивления в электромагнитной мере. Значение 𝑣, найденное таким методом, зависит от определения единицы сопротивления, так же как и во втором методе, п. 772, 773.

V. Сопоставление электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки

779. Пусть 𝐶 будет ёмкостью конденсатора, обкладки которого соединены проводом с сопротивлением 𝑅. Пусть в этот провод включены катушки 𝐿 и 𝐿' и пусть 𝐿 обозначает сумму их ёмкостей самоиндукции. Катушка 𝐿' подвешена на двухнитевом подвесе и состоит из двух параллельных витков, расположенных в вертикальной плоскости, между которыми проходит вертикальная ось, несущая магнит 𝑀, ось которого вращается в горизонтальной плоскости между катушками 𝐿𝐿'. Катушка 𝐿, имеющая большой коэффициент самоиндукции, закреплена. Подвешенная катушка 𝐿' защищена от потоков воздуха, вызываемых вращением магнита, путём помещения вращающихся частей внутрь полой оболочки [рис. 64].

Рис. 64

Движение магнита вызывает в катушке токи индукции, которые подвергаются воздействию со стороны магнита, так что плоскость подвешенной катушки отклоняется в направлении вращения магнита. Определим силу индуцированных токов и величину отклонения подвешенной катушки.

Пусть 𝑥 будет заряд электричества на верхней обкладке конденсатора 𝐶, тогда, если 𝐸 есть электродвижущая сила, которая произвела этот заряд, из теории конденсаторов имеем

𝑥

𝐶𝐸

(1)

Из теории электрических токов мы имеем также

𝑅𝑥̇

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐿𝑥̇

𝑀 cos θ

𝐸

(2)

где 𝑀 – электромагнитный импульс контура 𝐿', когда ось магнита перпендикулярна плоскости катушки, а θ – угол между осью магнита и нормалью к этой плоскости.

Уравнение для определения 𝑥, таким образом, следующее:

𝐶𝐿

𝑑²𝑥

𝑑𝑡²

𝐶𝑅

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑥

𝐶𝑀

sin θ

𝑑θ

𝑑𝑡

(3)

Если катушка находится в положении равновесия и если магнит вращается с постоянной угловой скоростью 𝑛, то

𝑛𝑡

(4)

Выражение для тока состоит из двух частей, одна из которых не зависит от правой части уравнения и убывает со временем по экспоненте. Другая часть, которую можно назвать вынужденным током, целиком определяется членом, содержащим θ, и может быть записана в виде

𝑥

𝐴 sin θ

𝐵 cos θ

(5)

Находя значения 𝐴 и 𝐵 подстановкой в уравнение (3), мы получаем

𝑥

𝑀𝐶𝑛

𝑅𝐶𝑛 cos θ – (1-𝐶𝐿𝑛²)sin θ

𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²

(6)

Момент силы, действующий со стороны магнита на катушку 𝐿', по которой протекает ток 𝑥̇, противоположен моменту, который действовал бы на магнит, если бы катушка была неподвижна, и равен

𝑥̇

𝑑

𝑑θ

(𝑀 cos θ)

𝑀 sin θ

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(7)

Проинтегрировав это выражение по 𝑡 в течение одного оборота и разделив на время, мы получаем для среднего значения

𝑀²𝑅𝐶²𝑛³

𝑅²𝐶²𝑛²+(1-𝐶𝐿𝑛²)²

(8)

Если катушка обладает значительным моментом инерции, её вынужденные колебания будут очень малы, а её среднее отклонение будет пропорционально Θ.

Пусть наблюдаемые отклонения 𝐷₁, 𝐷₂, 𝐷₃ соответствуют угловым скоростям магнита 𝑛₁, 𝑛₂, 𝑛₃; тогда в общем случае

𝑃

𝑛

𝐷

⎛

⎜

⎝

𝑛

𝐶𝐿𝑛

⎞²

⎟

⎠

𝑅²𝐶²

(9)

где величина 𝑃 – постоянна.

Исключая 𝑃 и 𝑅 из трёх уравнений такого вида, мы находим

𝐶²𝐿²

𝑛₁²𝑛₂²𝑛₃²

𝑛₁³

𝐷₁

(𝑛₂²-𝑛₃²)

𝑛₂³

𝐷₂

(𝑛₃²-𝑛₁²)

𝑛₃³

𝐷₃

(𝑛₁²-𝑛₂²)

𝑛₁

𝐷₁ (𝑛₂²-𝑛₃²) +

𝑛₂

𝐷₂ (𝑛₃²-𝑛₁²) +

𝑛₃

𝐷₃ (𝑛₁²-𝑛₂²)

(10)

Если 𝑛₂ таково, что 𝐶𝐿𝑛₂²=1, для этого значения 𝑛 величина 𝑛/𝐷 будет минимальной. Остальные значения 𝑛 следует брать одно больше, а другое меньше чем 𝑛₂.

Величина 𝐶𝐿, определённая из уравнения (10), имеет размерность квадрата времени. Назовём её τ².

Если 𝐶_𝑠 является электростатической мерой ёмкости конденсатора, а 𝐿_𝑚 – электромагнитной мерой самоиндукции катушки, то и 𝐶_𝑠 и 𝐿_𝑚 являются длинами и произведение 𝐶_𝑠𝐿_𝑚 равно

𝐶

_𝑠

𝐿

_𝑚

𝑣²𝐶

_𝑠

𝐿

_𝑠

𝑣²𝐶

_𝑚

𝐿

_𝑚

𝑣²τ²

(11)

𝑣²

𝐶_𝑠𝐿_𝑚

τ²

(12)

где τ² равняется значению 𝐶²𝐿², найденному из этого эксперимента. Эксперимент, предложенный здесь в качестве метода определения 𝑣, имеет ту же сущность, что и эксперимент, описанный сэром У. Р. Гроувом (Sir W. R. Grove, Phil. Mag., March 1868, p. 184). См. также замечания автора настоящего трактата по поводу этого эксперимента в майском номере за 1868 г., стр. 360-363.

VI. Электростатическое измерение сопротивления (см. п. 355)

780. Пусть конденсатор ёмкостью 𝐶 разряжается через проводник с сопротивлением 𝑅, тогда, если 𝑥 – заряд в произвольный момент времени,

𝑥

𝐶

𝑅

𝑑𝑥

𝑑𝑡

(1)

Следовательно,

𝑥

𝑥₀

𝑒

^{-𝑡/(𝑅𝐶)}

(2)

Если каким-либо способом мы можем осуществлять контакт на короткий промежуток времени, длительность которого точно известна, так, чтобы позволить току течь через проводник в течение времени 𝑡, и если 𝐸₀ и 𝐸₁ – показания электрометра, соединённого с конденсатором до и после этой операции, то

𝑅𝐶

(ln 𝐸₀-ln 𝐸₁)

𝑡.

(3)

Если ёмкость 𝐶 известна в электростатической мере как величина, имеющая размерность длины, то сопротивление 𝑅 может быть найдено из этого уравнения в электростатической мере как величина, обратная скорости.

Если численное значение сопротивления, определённого таким образом, равно 𝑅_𝑚, а численное значение сопротивления в электромагнитной мере равно 𝑅_𝑠, то

𝑣²

𝑅_𝑚

𝑅_𝑠

(4)

Поскольку в этом эксперименте необходимо, чтобы сопротивление 𝑅 было очень большим, а в электромагнитных экспериментах п. 763 и др. 𝑅 должно быть малым, эксперименты следует производить на разных проводниках, а затем сопротивление этих проводников сравнивать обычными методами.

ГЛАВА XX

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА

781. В некоторых частях этого трактата предпринята попытка объяснить электромагнитные явления с помощью механического действия, передаваемого от одного тела к другому через посредство среды, находящейся в пространстве между телами. Наличие среды предполагается также и в волновой теории света. Нам следует теперь показать, что свойства электромагнитной среды идентичны свойствам светоносной среды.

Заполнять всё пространство некоей новой средой всякий раз, когда возникает какое-то новое явление, требующее объяснения,– это, несомненно, заниматься философией. Однако если при изучении двух различных разделов науки идея среды вводится независимо и если свойства, которые следует приписать среде для рассмотрения электромагнитных явлений, подобны свойствам, которые мы приписываем светоносной среде для рассмотрения световых явлений, то доводы в пользу физического существования такой среды становятся гораздо более весомыми.

Свойства тел допускают количественное измерение. Например, мы получаем численное значение некоторого свойства среды, такого, как скорость распространения возмущений в ней, которую можно вычислить на основании электромагнитных экспериментов, а также непосредственно измерить в случае света. Если выяснится, что скорость распространения электромагнитных возмущений совпадает со скоростью света, причём не только в воздухе, но и в других прозрачных средах, у нас будут веские основания считать, что свет является электромагнитным явлением; сочетание же оптических и электрических данных даст уверенность в реальности среды, подобно тому как мы обретаем уверенность в реальности других видов материи из совокупности данных различных органов чувств.

782. При излучении света светящееся тело расходует определённое количество энергии и, если свет поглощается другим телом, это тело нагревается, показывая, что оно получило энергию извне. В течение промежутка времени после того, как свет покинул первое тело, но ещё не достиг второго, она должна существовать в виде энергии в промежуточном пространстве. Согласно теории излучения, передача энергии сопровождается реальным переносом от светящегося тела к освещаемому световых корпускул, несущих с собой кинетическую энергию вместе с другими видами энергии, вместилищем которых они могут служить.

Согласно волновой теории существует материальная среда, заполняющая пространство между двумя телами; благодаря взаимодействию прилегающих друг к другу частей этой среды, энергия переходит от одной её части к другой, пока не достигнет освещаемого тела.

Таким образом, светоносная среда при прохождении света через неё служит вместилищем энергии. В волновой теории, развитой Гюйгенсом, Френелем, Юнгом, Грином и др., эта энергия считается частично потенциальной и частично кинетической. Потенциальная энергия считается обусловленной деформацией элементарных объёмов среды, и, значит, мы должны рассматривать среду как упругую. Кинетическая энергия считается обусловленной колебательным движением среды, поэтому мы должны считать, что среда имеет конечную плотность.

В теории электричества и магнетизма, принятой в настоящем трактате, признается существование двух видов энергии – электростатической и электрокинетической (см. п. 630 и 636), и предполагается, что они локализованы не только в наэлектризованных или намагниченных телах, но и в каждой части окружающего пространства, где обнаруживается действие электрической или магнитной силы. Следовательно, наша теория согласуется с волновой теорией в том, что обе они предполагают существование среды, способной стать вместилищем двух видов энергии ¹ .

¹ «Я, со своей стороны, изучая отношение вакуума к магнитной силе и общий характер магнитных явлений, происходящих вне магнита, больше склоняюсь к мысли, что передача силы представляет собой именно такое явление, происходящее вне магнита; я считаю невероятным, что эти явления представляют собой простое притяжение и отталкивание на расстоянии. Такое действие можно считать функцией эфира, ибо вряд ли можно считать вероятным, что эфир, если он существует, нужен только для того, чтобы передавать излучение». – Фарадей, «Экспериментальные исследования», 3075.

783. Определим теперь условия распространения электромагнитных возмущений через однородную среду, которую мы будем считать покоящейся, т.е. не имеющей никакого движения, кроме того, которое может быть включено в электромагнитные возмущения.

Пусть 𝐶 будет удельная проводимость среды, 𝐾 – её удельная ёмкость для электростатической индукции и μ – её магнитная «проницаемость».

Чтобы получить общие уравнения для электромагнитного возмущения, мы должны выразить истинный ток ℭ через вектор-потенциал 𝔄 и электрический потенциал Ψ.

Истинный ток ℭ состоит из тока проводимости ℜ и изменения электрического смещения 𝔇 поскольку оба они зависят от электродвижущей напряжённости 𝔈 мы находим, как в п. 611,

ℭ

⎛

⎜

⎝

𝐶

4π

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝔈

(1)

Поскольку движение среды отсутствует, мы можем выразить электродвижущую напряжённость, как в п. 599:

𝔈

𝔄̇

–

∇Ψ

(2)

Следовательно,

ℭ

⎛

⎜

⎝

𝐶

4π

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝔄

𝑑𝑡

∇Ψ

⎞

⎟

⎠

(3)

Но мы можем определить связь между ℭ и 𝔄 другим способом, как показано в п. 616, приведённые там уравнения (4) можно записать в виде

4πμℭ

∇²𝔄

∇𝐽

(4)

где

𝐽

𝑑𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝐻

𝑑𝑧

(5)

Объединяя уравнение (3) и (4), мы получаем

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝔄

𝑑𝑡

∇Ψ

⎞

⎟

⎠

∇²𝔄

∇𝐽

(6)

что можно выразить в виде следующих трёх уравнений:

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑𝑡

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

∇²𝐹

𝑑𝐽

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐺

𝑑𝑡

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

∇²𝐺

𝑑𝐽

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑𝑡

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

∇²𝐻

𝑑𝐽

𝑑𝑧

(7)

Это общие уравнения для электромагнитных возмущений.

Если мы продифференцируем эти уравнения по 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно и сложим, то получим

⎛

⎜

⎝

4π𝐶

𝐾

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐽

𝑑𝑡

–

∇²Ψ

⎞

⎟

⎠

(8)

Если среда непроводящая, то 𝐶=0, а член ∇²Ψ, пропорциональный объёмной плотности свободного электричества, не зависит от 𝑡. Следовательно, величина 𝐽 должна быть либо линейной функцией 𝑡, либо постоянной, либо нулём; поэтому при рассмотрении периодических возмущений мы можем не учитывать 𝐽 и Ψ.

Распространение волн в непроводящей среде

784. В этом случае 𝐶=0, и уравнения принимают вид

𝐾μ

𝑑²𝐹

𝑑𝑡²

∇²𝐹

𝐾μ

𝑑²𝐺

𝑑𝑡²

∇²𝐺

𝐾μ

𝑑²𝐻

𝑑𝑡²

∇²𝐻

(9)

В этом виде уравнения сходны с уравнениями движения несжимаемого упругого твёрдого тела, и при заданных начальных условиях их решение можно выразить в форме, данной Пуассоном ² и применённой Стоксом ³ к теории дифракции.

² Мéт. de l’Acad., t. III, p. 130, et seq.

³Cambridge Transactions, vol. IX, p. 1-62 (1849).

Запишем

𝑉

√𝐾μ

(10)

Если значения 𝐹, 𝐺, 𝐻 и 𝑑𝐹/𝑑𝑡, 𝑑𝐺/𝑑𝑡, 𝑑𝐻/𝑑𝑡 заданы в каждой точке пространства в момент (𝑡=0), то мы можем определить их значения в любой последующий момент времени следующим образом.

Пусть 𝑂 будет точка, в которой мы желаем определить 𝐹 в момент времени 𝑡. Опишем сферу с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑉𝑡. Найдём начальное значение 𝐹 в каждой точке сферической поверхности и возьмём среднее от всех этих значений 𝐹. Найдём также начальные значения 𝑑𝐹/𝑑𝑡 в каждой точке сферической поверхности, и пусть среднее от всех этих значений будет 𝑑𝐹/𝑑𝑡.

Тогда значение 𝐹 в точке 𝑂 в момент времени 𝑡 будет равно:

𝐹

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐹

𝑡)

𝑡

𝑑𝐹

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

Аналогично

𝐺

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐺

𝑡)

𝑡

𝑑𝐺

𝑑𝑡

𝐻

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐻

𝑡)

𝑡

𝑑𝐻

𝑑𝑡

(11)

785. Таким образом, оказывается, что картина в точке 𝑂 в произвольный момент времени зависит от той картины, которая имела место на расстоянии 𝑉𝑡 в момент времени, предшествующий рассматриваемому и отделённому от него интервалом 𝑡, т.е. любое возмущение распространяется через среду со скоростью 𝑉.

Предположим, что, когда 𝑡 равно нулю, величины 𝔄 и 𝔄̇ равны нулю везде, за исключением некоторого объёма 𝑆. Тогда их значения в точке 𝑂 в момент времени 𝑡 будут равны нулю, если только сферическая поверхность с центром в точке 𝑂 и радиусом 𝑉𝑡 не лежит целиком или частично внутри объёма 𝑆. Если 𝑂 находится вне объёма 𝑆, возмущений в точке 𝑂 не будет до тех пор, пока 𝑉𝑡 не станет равным кратчайшему расстоянию от 𝑂 до объёма 𝑆. Тогда в точке 𝑂 возникнет возмущение и будет продолжаться до тех пор, пока 𝑉𝑡 не станет равным максимальному расстоянию от 𝑂 до произвольной части 𝑆. В этот момент возмущение в 𝑂 прекратится навсегда.

786. Величина 𝑉 в п. 784, выражающая скорость распространения электромагнитных возмущений в непроводящей среде, в соответствии с уравнением (10) равна 1/√𝐾μ.

Если средой является воздух и мы примем электростатическую систему измерений, то 𝐾=1, а μ=1/𝑣² так что 𝑉=𝑣, т.е. скорость распространения численно равна числу электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице. Если мы примем электромагнитную систему, то 𝐾=1/𝑣², а μ=1, так что уравнение 𝑉=𝑣 по-прежнему остаётся верным.

По теории, согласно которой свет является электромагнитным возмущением, распространяющимся в той же самой среде, через которую передаются и другие электромагнитные действия, величина 𝑉 должна быть скоростью света, т.е. величиной, значения которой оценивались несколькими способами. С другой стороны, 𝑣 является числом электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице; методы определения этой величины описаны в последней главе. Они совершенно независимы от методов отыскания скорости света. Следовательно, совпадение или расхождение значений 𝑉 и 𝑣 обеспечивает проверку правильности электромагнитной теории света.

787. В приведённой таблице основные результаты непосредственного измерения скорости света (как в воздухе, так и в межпланетном пространстве) сопоставляются с основными результатами сравнения электрических единиц:

Скорость света

(в метрах в секунду)

Отношение

электрических единиц

(в метрах в секунду)

Физо

314 000 000

Вебер

310 740 000

Аберрация и т.д.,

параллакс Солнца

308 000 000

Максвелл

288 000 000

Фуко

298 360 000

Томсон

282 000 000

Очевидно, что скорость света и отношение единиц являются величинами одного и того же порядка. Ни про одну из них нельзя сказать, что она определена с такой степенью точности, которая позволила бы нам утверждать, что одна из них больше или меньше, чем другая. Следует надеяться, что в будущих экспериментах соотношение между значениями этих двух величин может быть определено более точно.

Пока же сравнение имеющихся сейчас результатов не противоречит нашей теории, которая утверждает, что эти две величины равны, и приводит физическое обоснование этого равенства.

788. В среде, отличной от воздуха, скорость 𝑉 обратно пропорциональна квадратному корню из произведения диэлектрической и магнитной индуктивной способностей. Согласно волновой теории скорость света в различных средах обратно пропорциональна их показателям преломления.

Не существует таких прозрачных сред, для которых магнитная способность отличалась бы от магнитной способности воздуха более чем на очень малую её долю. Следовательно, главное различие между этими средами должно зависеть от их диэлектрических способностей. Таким образом, согласно нашей теории диэлектрическая способность прозрачной среды должна равняться квадрату её показателя преломления.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."