Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 34 страниц)

Если по одну сторону провода, несущего ток, магнитное действие, обусловленное этим током, направлено в том же (или почти в том же) самом направлении, что и магнитное действие другого тока, тогда по другую сторону от провода эти силы будут противоположно (или почти противоположно) направленными, и сила, действующая на провод, окажется направленной от той стороны, где силы усиливают друг друга, к той стороне, где они противодействуют друг другу.

Таким образом, если текущий вниз ток помещён в поле магнитной силы, направленной к северу, его магнитное действие будет направлено к северу на западной стороне и к югу на восточной стороне. Поэтому силы увеличивают друг друга на западной стороне и уменьшают друг друга на восточной стороне, т.е. контур с током будет испытывать действие силы с запада на восток (см. рис. 22).

На рис. XVII в конце этого тома маленький кружок представляет сечение провода, несущего ток, текущий вниз, и помещённого в однородное поле магнитной силы, действующей в направлении левой стороны рисунка. Магнитная сила под проводом больше, чем над проводом. Следовательно, на провод будет действовать сила, заставляющая его двигаться снизу вверх.

497. Этот принцип мы можем применить и тогда, когда два тока расположены в одной плоскости, но не параллельны. Пусть один из проводников представляет собой бесконечный прямой провод в плоскости бумаги, которая предполагается горизонтальной. На правой стороне тока магнитная сила действует вниз, а на левой – вверх. То же самое верно и для магнитной силы, обусловленной любым коротким отрезком второго тока, расположенного в этой же плоскости. Если второй ток находится справа от первого, магнитные силы будут увеличивать друг друга справа от второго тока и уменьшать друг друга слева от второго тока. Поэтому второй ток будет испытывать действие силы, движущей его справа налево. Величина этой силы зависит только от положения второго тока, но не от его направления. Если же второй ток находится слева от первого, на него будет действовать сила, вынуждающая его двигаться слева направо.

Следовательно, если второй ток имеет то же самое направление, что и первый, он притягивается к первому; если же он течёт в противоположном направлении, он отталкивается от первого тока. Если второй ток течёт под прямым углом к первому току, удаляясь от него, то на второй ток действует сила в направлении протекания первого тока; если же второй ток течёт, приближаясь к первому току, то сила действует в направлении, противоположном тому, в котором течёт первый ток [рис. 24].

Рис. 24. Связь между электрическим током и линиями магнитной индукции определяется правым винтом

При рассмотрении взаимного действия двух токов нет необходимости удерживать в памяти те связи между электричеством и магнетизмом, которые мы пытались иллюстрировать с помощью правого винта. Даже если бы мы забыли их, то всё равно пришли бы к правильным результатам при условии, что неизменно придерживались одной из двух возможных форм этой связи.

498. Сведём теперь воедино все магнитные явления, связанные с электрическим контуром в той мере, в какой, мы их изучили.

Мы можем представить себе электрический контур состоящим из вольтовой батареи и провода, соединяющего её клеммы, или из термоэлектрического устройства, или из заряженной лейденской банки с проводом, соединяющим её положительную и отрицательную обкладки, или из любого иного устройства, предназначенного для создания электрического тока вдоль какого-то определённого пути.

Ток является причиной возникновения магнитных явлений, происходящих вблизи него.

Проведём какую-либо замкнутую кривую и возьмём вдоль всей этой кривой линейный интеграл от магнитной силы. Если замкнутая кривая не охватывает контур, то линейный интеграл обратится в нуль, если же замкнутая кривая охватывает контур, так что ток протекает сквозь эту кривую, то линейный интеграл будет равен 4π𝑖 и окажется положительным, когда направление интегрирования вдоль замкнутой кривой совпадает с направлением движения часовых стрелок в предположении, что наблюдатель смотрит на них, проходя сквозь замкнутую кривую в том же направлении, в котором течёт ток.

Но для наблюдателя, который проходит сквозь электрический контур, двигаясь по замкнутой кривой в направлении интегрирования, ток также будет казаться текущим по направлению движения часовых стрелок. Мы можем выразить всё это иначе, сказав, что соотношение между направлениями двух замкнутых кривых может быть представлено с помощью одного правостороннего винта, вставленного в электрический контур, и другого правостороннего винта, вставленного в замкнутую кривую. Если направление нарезки любого из винтов при движении вдоль неё совпадает с положительным направлением движения другого винта, то линейный интеграл положителен, в противоположном случае линейный интеграл отрицателен.

499.Замечание. Линейный интеграл 4π𝑖 зависит только от величины тока и ни от чего другого. Он не зависит от природы проводника, по которому проходит ток, будь то, например, металл или электролит или неидеальный проводник. У нас есть основания считать, что даже при отсутствии нужных токов проводимости, а только лишь при изменении электрического смещения (как это имеет место внутри стекла Лейденской банки при её заряде или разряде ) магнитный эффект, обусловленный электрическим движением, получается точно таким же.

Далее, величина линейного интеграла 4π𝑖 не зависит от природы среды, внутри которой проведена замкнутая кривая, и будет одной и той же и когда вся замкнутая кривая находится в воздухе, и когда проходит через магнит, или через мягкое железо, или через любое другое парамагнитное или диамагнитное вещество.

500. Когда контур помещён в магнитное поле, взаимное действие между током и другими элементами зависит от поверхностного интеграла от магнитной индукции, взятого по любой поверхности, ограниченной этим контуром. Если этот поверхностный интеграл может быть увеличен путём некоторого заданного перемещения всего контура или части его, то будет существовать механическая сила, стремящаяся заданным образом двигать этот проводник или какую-то его часть.

Движение проводника, приводящее к увеличению поверхностного интеграла, есть движение такого типа, при котором проводник перемещается перпендикулярно направлению тока и поперёк линий индукции [рис. 25].

Рис. 25. Соотношения между положительными направлениями движении и вращением определяется тремя правыми винтами

Если нарисовать параллелограмм, стороны которого параллельны и противоположны соответственно силе тока и магнитной индукции в одной и той же точке, то сила, действующая на единицу длины проводника, численно окажется равной площади этого параллелограмма и направленной перпендикулярно к этой плоскости в ту сторону, в какую возникало бы перемещение правого винта при вращательном движении его рукоятки от направления тока к направлению магнитной индукции.

Отсюда мы получаем новое определение линии магнитной индукции. Это линия, всегда перпендикулярная силе, действующей на проводник.

Её можно также определить как такую линию, при передаче электрического тока вдоль которой проводник, несущий этот ток, не испытывал бы действия никакой силы.

501. Следует чётко помнить, что механическая сила, стремящаяся перемещать проводник с током поперёк линий магнитной индукции, действует не на электрический ток, а на токонесущий проводник. Если этот проводник представляет собой вращающийся диск или жидкость, он будет двигаться, подчиняясь действию этой силы, причём это движение может сопровождаться, а может и не сопровождаться изменением положения электрического тока, который несёт этот проводник.

Единственной силой, воздействующей на электрические токи, является сила электродвижущая, и мы обязаны отличать её от механической силы, которая и составляла предмет рассмотрения в настоящей главе.

ГЛАВА II

ИССЛЕДОВАНИЯ АМПЕРА ПО ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТОКОВ

502. В предыдущей главе мы рассмотрели природу магнитного поля, создаваемого электрическим током, а также механическое действие на помещённый в магнитное поле проводник с током. После этого мы перешли к рассмотрению действия одного электрического контура на другой, определив действие второго контура на первый как обусловленное магнитным полем, создаваемым вторым контуром. Но такое действие одного контура на другой было первоначально исследовано Ампером прямым путём почти сразу же после опубликования открытия Эрстеда. Поэтому сначала мы изложим основные положения метода Ампера, а метод, принятый в этом трактате, резюмируем в следующей главе.

Идеи, которые руководили Ампером, принадлежат к системе взглядов, допускающих прямое действие на расстоянии. Мы увидим, что основанное на этих взглядах замечательное направление размышлений и исследований было продолжено Гауссом, Вебером, Ф. Е. Нейманом, Риманом, Бетти, К. Нейманом, Лоренцом и другими и оно привело к выдающимся результатам, состоящим как в открытии новых фактов, так и в построении теории электричества (см. п. 846– 866).

Идеи, которым я попытался следовать, это идеи действия через среду – от одной части к другой, близлежащей, примыкающей к ней. Такой подход часто применялся Фарадеем; его развитие в математической форме, а также сравнение результатов с известными фактами было моей целью в нескольких опубликованных работах. Сопоставление с философской точки зрения результатов этих двух методов, столь противоположных в своих исходных принципах, должно давать ценный материал для изучения условий построения научных теорий.

503. Теория Ампера взаимодействия электрических токов базируется на четырёх экспериментальных фактах и одном предположении.

Все основополагающие опыты Ампера являют собой примеры того, что было названо нулевым методом сравнения сил (см. п. 214). Вместо того чтобы измерять силы либо динамически – путём сообщения движения некоторому телу, либо статически – путём уравновешивания весом другого тела или упругостью нити, в нулевом методе две силы одинакового происхождения одновременно воздействуют на тело, уже и до того пребывающее в равновесии, и если при этом не возникает никаких эффектов, то это означает, что эти силы уравновешивают друг друга.

Этот метод особо ценен при сравнении эффектов, производимых электрическим током, когда он проходит по контурам различных конфигураций. Соединяя все проводники в один непрерывный ряд, мы обеспечиваем постоянство силы тока во всех точках его пути, и, поскольку ток всюду на своём пути начинается почти одновременно, мы можем доказать, что силы, обусловленные его действием на подвешенное тело, находятся в равновесии в том случае, если тело совершенно не реагирует ни на возникновение, ни на прекращение тока.

504. Весы Ампера состоят из лёгкой рамки, способной вращаться вокруг вертикальной оси и несущей провод, который образует два контура одинаковой площади; контуры лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях, а токи в них текут в противоположных направлениях. Цель этого устройства состоит в том, чтобы избавиться от влияния земного магнетизма на проводящую проволоку. Когда электрический контур может свободно перемещаться, он стремится расположиться так, чтобы охватить собою возможно большее число линий индукции. Если эти линии обусловлены земным магнетизмом, то для контура в вертикальной плоскости это будет положение, при котором плоскость контура совпадает с плоскостью, проходящей через магнитный восток и магнитный запад при направлении тока, противоположном кажущемуся направлению хода Солнца.

Жёстко связывая расположенные в параллельных плоскостях контуры равной площади, в которых текут одинаковые, но противоположно направленные токи, мы образуем комбинацию, не подверженную действию земного магнетизма и потому называемую астатической (см. рис.26). Она испытывает, однако, действие сил, возникающих от токов или магнитов, расположенных столь близко к ней, что их воздействие на оба эти контура оказывается различным.

Рис. 26

505. Первый опыт Ампера относится к действию двух равных, но противоположно направленных токов, близко прилегающих друг к другу. Покрытый изоляционным материалом провод сдваивается и помещается поблизости от контуров астатических весов. Когда через провод и весы пропускается ток, равновесие весов остаётся невозмущённым, показывая тем самым, что два близких, равных и противоположно направленных тока нейтрализуют друг друга. Если вместо двух расположенных рядом проводов взять один провод, изолировать его, поместив в середину металлической трубки, и пропустить ток в одну сторону по проводу, а в другую – по трубке, то действие этого тока вне трубки уже совершенно точно, а не приблизительно будет равно нулю.

Этот принцип имеет огромное значение для конструирования электрических приборов, так как он позволяет осуществлять подвод и отвод тока к любому гальванометру или другому прибору без какого-либо электромагнитного эффекта, связанного с прохождением тока туда и обратно. На практике обычно бывает достаточно связать провода вместе, тщательно следя, чтобы они были совершенно изолированы друг от друга; однако там, где они должны проходить вблизи чувствительных элементов аппаратуры, лучше всё же один из них выполнить в форме трубки, а другой – в виде протянутого внутри неё провода (см. п. 683).

506. Во втором опыте Ампера один из проводов многократно изогнут, образуя ряд небольших извилин, но так, что каждый участок его остаётся очень близким к прямому проводу. Оказывается, что ток, текущий в одну сторону по извилистому проводу, а обратно снова по прямому, не влияет на астатические весы. Это доказывает, что влияние тока, текущего по какой-нибудь искривлённой части провода, эквивалентно влиянию такого же тока, текущего по прямой линии, соединяющей крайние точки искривления, при условии, что искривлённая линия на каждом участке своего пути не сильно удалена от этой прямой. Следовательно, любой малый элемент контура эквивалентен элементам, состоящим из двух или многих элементов, и соотношение между составными элементами и результирующим элементом оказывается таким же, как и соотношение между компонентами и их векторной суммой в случае смещений или скоростей.

507. В третьем опыте астатические весы заменены проводником, способным перемещаться только вдоль своей длины; ток входит в проводник и покидает его в фиксированных точках пространства. Обнаружено, что никакой замкнутый контур, помещаемый поблизости, не в состоянии приводить этот проводник в движение [рис. 27].

Рис. 27

Проводником в этом опыте служит провод в форме дуги окружности, подвешенный на коромысло, способное вращаться вокруг вертикальной оси. Дуга горизонтальна, а её центр совпадает с вертикальной осью. Два небольших корытца наполнены ртутью так, что выпуклая поверхность ртути возвышается над уровнем корытцев. Корытцы помещены под дугой окружности и подогнаны так, чтобы ртуть касалась проволоки, изготовленной из хорошо амальгамированной меди.

Ток направляется в одно из этих корытцев, проходит часть дуги окружности между корытцами и покидает её через другое корытце. Таким образом, ток протекает по участку дуги окружности; дуга в то же время имеет возможность достаточно свободно перемещаться в направлении её длины. К этому подвижному проводнику можно теперь приближать любые замкнутые контуры или магниты, не вызывая при этом ни малейших тенденций к его продольному перемещению.

508. В четвёртом опыте с астатическими весами используются два контура, каждый из них подобен одному из контуров в самих весах, но один контур, 𝐶, обладает размерами в 𝑛 раз большими, а другой, 𝐴, – в 𝑛 раз меньшими. Они расположены на противоположных сторонах – от контура весов, которые мы обозначим через 𝐵, и пропорционально удалены от него: расстояние от 𝐶 до 𝐵 в 𝑛 раз превышает расстояние от 𝐵 до 𝐴. Направление и сила тока в 𝐴 и 𝐶 одинаковы. Направление тока в 𝐵 может быть либо таким же, либо противоположным. Как было найдено, в этих условиях 𝐵 оказывается в равновесии под действием 𝐴 и 𝐶, какие бы формы эти три контура ни принимали и на каких бы расстояниях при выполнении приведённых выше соотношений они ни находились.

Поскольку действия между полными контурами могут быть рассмотрены как обусловленные действиями между элементами контуров, мы можем использовать следующий метод установления закона этих действий.

Пусть 𝐴₁, 𝐵₁, 𝐶₁ на рис. 28 – соответствующие элементы трёх контуров, 𝐴₂, 𝐵₂, 𝐶₂ – тоже соответствующие элементы, но в другой части этих контуров. Тогда расположение 𝐵₁ относительно 𝐴₂ подобно расположению 𝐶₁ относительно 𝐵₂, но расстояние и размеры 𝐶₁ и 𝐵₂ в 𝑛 раз превышают расстояние и размеры 𝐵₁ и 𝐴₂ соответственно. Если закон для электромагнитного действия является функцией расстояния, то действие между 𝐵₁ и 𝐴₂, какими бы ни были его вид и качественный характер, может быть записано так: 𝐹=𝐵₁⋅𝐴₂ƒ(𝐵₁𝐴₂)𝑎𝑏, а действие между 𝐶₁ и 𝐵₂: 𝐹'=𝐶₁⋅𝐵₂ƒ(𝐶₁𝐵₂)𝑏𝑐, где 𝑎, 𝑏, 𝑐 – силы токов в 𝐴, 𝐵, 𝐶. Но 𝑛𝐵₁=𝐶₂, 𝑛𝐴₂=𝐵₂, 𝑛𝐵₁𝐴₂=𝐶₁𝐵₂ и 𝑎=𝑐. Отсюда

𝐹'

𝑛²

𝐵

₁

𝐴

₂

ƒ(𝑛

𝐵

₁

𝐴

₂

)

𝑎𝑏

и это, согласно опыту, равно 𝐹, так что мы имеем

𝑛²

ƒ(𝑛

𝐴

₂

𝐵

₁

)

ƒ(

𝐴

₂

𝐵

₁

)

;

или сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния.

509. Имея в виду эти опыты, следует отметить, что каждый электрический ток образует замкнутый контур. Токи, использованные Ампером, создавались вольтовой батареей и, конечно, текли по замкнутым контурам. Можно было бы предположить, что в случае разряда проводника через искру мы могли бы иметь ток, образующий разомкнутый конечный отрезок, но в соответствии со взглядами этой книги даже этот пример относится к случаю замкнутого контура. Не осуществлено никаких опытов по взаимодействию незамкнутых контуров и, следовательно, не может быть высказано никаких опирающихся на чисто экспериментальные данные утверждений по поводу взаимодействия двух элементов контуров. Правда, мы можем сделать участок контура подвижным, чтобы установить воздействие на него со стороны других токов, но эти токи вместе с током на подвижном участке обязательно образуют замкнутые контуры, так что окончательным результатом опыта снова окажется действие одного или нескольких замкнутых токов либо на весь замкнутый ток, либо на часть его.

510. При анализе этих явлений, однако, мы можем рассматривать действие замкнутого контура на элемент этого же или какого-то другого контура как результирующую нескольких отдельных сил, зависящих от тех отдельных частей, на которые первый контур может быть мысленно, для математических целей, разделён.

И поскольку это чисто математический анализ действия, он является совершенно законным независимо от того, как действуют силы в действительности,– раздельно или нет.

511. Мы начнём с рассмотрения чисто геометрических соотношений между двумя линиями в пространстве, представляющими контуры, а также между элементарными частями этих линий.

Рис. 29

Пусть в пространстве имеется две кривых; на каждой из них берётся какая, нибудь фиксированная точка, от которой в определённом направлении вдоль кривой измеряются дуги. Пусть этими точками будут 𝐴 и 𝐴', а элементами этих двух кривых будут 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄' [рис. 29].

Пусть

𝐴𝑃

𝑠,

𝐴'𝑃'

𝑠',

⎫

⎬

⎭

𝑃𝑄

𝑑𝑠,

𝑃'𝑄'

𝑑𝑠'.

(1)

Обозначим расстояние 𝑃𝑃' через 𝑟, угол 𝑃'𝑃𝑄 – через θ, угол 𝑃𝑃'𝑄' – через θ', а угол между плоскостями этих углов – через η.

Относительное положение двух элементов полностью определяется расстоянием 𝑟 между ними и тремя углами θ, θ' и η, поскольку, если эти величины заданы, то относительное положение элементов определено так же полно, как если бы они являлись частью твёрдого тела.

512. Если мы, используя прямоугольные координаты, сделаем 𝑥, 𝑦, 𝑧 координатами точки 𝑃, 𝑥', 𝑦', 𝑧' – координатами точки 𝑃', а через 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛' обозначим соответственно направляющие косинусы 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄', то

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑙,

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑚,

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑛,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

𝑙',

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

𝑚',

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

𝑛'

(2)

𝑙(𝑥'-𝑥)

𝑚(𝑦'-𝑦)

𝑛(𝑧'-𝑧)

𝑟 cos θ,

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑙'(𝑥'-𝑥)

𝑚'(𝑦'-𝑦)

𝑛'(𝑧'-𝑧)

𝑟 cos θ',

𝑙𝑙'

𝑚𝑚'

𝑛𝑛'

cos ε,

(3)

где ε – угол между направлениями самих элементов, а

cos ε

–

cos θ

cos θ'

sin θ

sin θ'

cos η

(4)

Далее,

𝑟²

(𝑥'-𝑥)²

(𝑦'-𝑦)²

(𝑧'-𝑧)²

(5)

отсюда

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

(𝑥'-𝑥)²

𝑑𝑥

𝑑𝑠

–

(𝑦'-𝑦)²

𝑑𝑦

𝑑𝑠

–

(𝑧'-𝑧)²

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

-𝑟

cos θ

Аналогично

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

(𝑥'-𝑥)²

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

–

(𝑦'-𝑦)²

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

–

(𝑧'-𝑧)²

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

-𝑟

cos θ'

(6)

и, дифференцируя 𝑟(𝑑𝑟/𝑑𝑠) по 𝑠',

𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

–

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

–

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑙𝑙'

𝑚𝑚'

𝑛𝑛'

– cos ε

(7)

Мы можем поэтому выразить три угла θ, θ' и η и вспомогательный угол ε через производные от 𝑟 по 𝑠 и 𝑠' следующим образом:

cos θ

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

cos θ'

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

cos ε

-𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

–

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

sin θ sin θ' cos η

-𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

(8)

513. Рассмотрим далее, как факт воздействия друг на друга элементов 𝑃𝑄 и 𝑃'𝑄' может быть представлен математически; причём сначала мы не будем предполагать, что взаимодействие с необходимостью происходит вдоль линии, соединяющей эти элементы.

Мы видели, что каждый элемент можно считать разложенным на другие элементы при условии, что эти составляющие, если их скомбинировать по правилу сложения векторов, дадут в качестве своей результирующей исходный элемент.

Рис. 30

Мы будем поэтому рассматривать элемент 𝑑𝑠 разложенным на cos θ𝑑𝑠=α в направлении 𝑟 и на sin θ𝑑𝑠=β – в направлении, перпендикулярном к 𝑟 в плоскости 𝑃'𝑃𝑄 [рис. 30].

Будем также рассматривать элемент 𝑑𝑠' разложенным на cos θ'𝑑𝑠'=α' в направлении, обратном 𝑟, на sin θ' cos η 𝑑𝑠'=β' – в направлении, параллельном тому, в котором измерен β, и на sin θ' sin η 𝑑𝑠'=γ' – в направлении, перпендикулярном α' и β'.

Рассмотрим действие между составляющими α и β, с одной стороны, и между α', β', γ' – с другой.

(1). α и α' лежат на одной прямой. Сила между ними должна быть поэтому тоже направлена вдоль этой прямой. Будем считать её притягивающей, 𝐴αα'𝑖𝑖', где 𝐴 есть функция 𝑟, а 𝑖, 𝑖' – интенсивности токов соответственно в 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠'. Это выражение удовлетворяет условию изменения знака перед 𝑖 и перед 𝑖'.

(2). β и β' параллельны друг другу и перпендикулярны линии, их соединяющей. Действие между ними записывается так: 𝐵ββ'𝑖𝑖'.

Эта сила действует, очевидно, вдоль линии, соединяющей β и β' ибо она должна быть в плоскости, в которой лежат эти составляющие, и если бы мы измерили β и β' в обратном направлении, то это выражение осталось бы неизменным, значит, если оно представляет силу, то такую, у которой нет составляющих в направлении β и которая, следовательно, должна быть направлена по 𝑟. Будем считать, что это выражение, когда оно положительно, соответствует притяжению.

(3). β и γ' перпендикулярны друг к другу, а также к линии, их соединяющей. Единственным возможным действием между расположенными так элементами является пара сил с осью, параллельной 𝑟. Но мы сейчас заняты самими силами и поэтому оставим это в стороне.

(4). Действие α и β' (если они вообще действуют друг на друга) должно выражаться так: 𝐶αβ'𝑖𝑖'.

Знак этого выражения обращается на противоположный при обращении направления, в котором мы измеряем β'. Поэтому оно должно представлять собой либо силу в направлении β', либо момент пары сил в плоскости α и β'. Поскольку мы не изучаем пары, то будем принимать его за силу, действующую на α в направлении β'.

Существует, конечно, и равная ей сила, действующая на β' в противоположном направлении.

По той же причине мы имеем силу 𝐶αγ'𝑖𝑖', действующую на α в направлении γ', и силу 𝐶βα'𝑖𝑖', действующую на β в направлении, противоположном тому, в котором измеряется β.

514. Собирая вместе наши результаты, мы находим, что сила, действующая на 𝑑𝑠, составляется из следующих сил:

𝑋

(𝐴αα'+𝐵ββ')𝑖𝑖'

в направлении

𝑟

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑌

𝐶(αβ'-α'β)𝑖𝑖'

в направлении

𝑍

𝐶αγ'𝑖𝑖'

в направлении

γ'

(9)

Предположим, что это действие на 𝑑𝑠 является результирующей трёх сил: силы 𝑅𝑖𝑖'𝑑𝑠𝑑𝑠', действующей в направлении 𝑟, силы 𝑆𝑖𝑖'𝑑𝑠𝑑𝑠', действующей в направлении 𝑑𝑠, и силы 𝑆'𝑖𝑖'𝑑𝑠𝑑𝑠', действующей в направлении 𝑑𝑠', тогда в выражении через θ θ' и η

𝑅

(𝐴+2𝐶)

cos θ

cos θ'

𝐵

sin θ

sin θ'

cos η

𝑆

–𝐶

cos θ'

𝑆'

𝐶

cos θ

(10)

В выражении через производные от 𝑟

𝑅

(𝐴+2𝐶)

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

–

𝐵𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

𝐶

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑆'

–𝐶

𝑑𝑟

𝑑𝑠

(11)

В выражении через 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛'

𝑅

–(𝐴+2𝐶+𝐵)

𝑟²

(𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ)

(𝑙'ξ+𝑚'η+𝑛'ζ)

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐵

(𝑙𝑙'+𝑚𝑚'+𝑛𝑛')

𝑆

𝐶

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

(𝑙'ξ+𝑚'η+𝑛'ζ)

𝑆'

–𝐶

𝑑𝑟

𝑑𝑠

(𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ)

(12)

где ξ, η, ζ написаны взамен 𝑥'-𝑥, 𝑦'-𝑦, и 𝑧'-𝑧 соответственно.

515. Далее мы должны подсчитать силу, с которой конечный участок тока 𝑠' действует на конечный участок тока 𝑠. Участок тока 𝑠 тянется от 𝐴, где 𝑠=0, до 𝑃, где оно имеет значение 𝑠, а участок тока 𝑠' тянется от 𝐴', где 𝑠'=0, до 𝑃', где оно имеет значение 𝑠'. Координаты точек на любом из токов являются функциями 𝑠 или 𝑠'.

Если 𝐹 есть функция положения точки, то мы будем употреблять нижний индекс _(𝑠,0) для обозначения превышения значения этой функции в 𝑃 над её значением в 𝐴, т.е. 𝐹_(𝑠,0)=𝐹_𝑃-𝐹_𝐴. Для замкнутых контуров эти функции с необходимостью исчезают.

Пусть 𝑖𝑖'𝑋, 𝑖𝑖'𝑌 и 𝑖𝑖'𝑍 будут составляющими полной силы, с которой 𝐴'𝑃' действует на 𝐴𝑃. Тогда параллельная 𝑋 составляющая силы, с которой 𝑑𝑠' действует на 𝑑𝑠, будет равна

𝑖𝑖'

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

Откуда

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑅

𝑟

𝑆𝑙

𝑆'𝑙'

(13)

Подставляя значения 𝑅, 𝑆 и 𝑆' из (12) и помня, что

(𝑙'ξ+𝑚'η+𝑛'ζ)

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

(14)

и группируя члены, содержащие 𝑙, 𝑚, 𝑛, мы найдём

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑙

⎧

⎨

⎩

–(𝐴+2𝐶+𝐵)

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

ξ²

+𝐶

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+(𝐵+𝐶)

𝑙'ξ

𝑟

⎫

⎬

⎭

𝑚

⎧

⎨

⎩

–(𝐴+2𝐶+𝐵)

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

ξη

+𝐶

𝑙'η

𝑟

+𝐵

𝑚'ξ

𝑟

⎫

⎬

⎭

𝑛

⎧

⎨

⎩

–(𝐴+2𝐶+𝐵)

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

ξζ

+𝐶

𝑙'ζ

𝑟

+𝐵

𝑛'ξ

𝑟

⎫

⎬

⎭

(15)

Так как 𝐴, 𝐵 и 𝐶 являются функциями 𝑟, мы можем записать

𝑃

∞

∫

𝑟

(𝐴+2𝐶+𝐵)

𝑟²

𝑑𝑟

𝑄

∞

∫

𝑟

𝐶

𝑑𝑟

(16)

Здесь интегрирование проводится между 𝑟 и ∞, поскольку 𝐴, 𝐵, 𝐶 исчезают при 𝑟=∞.

Следовательно,

(𝐴+2𝐶+𝐵)

𝑟²

𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝐶

𝑑𝑄

𝑑𝑟

(17)

516. Но мы знаем, что, согласно третьему случаю равновесия Ампера, когда 𝑠' является замкнутым контуром, сила, действующая на 𝑑𝑠, перпендикулярна к направлению 𝑑𝑠, или, другими словами, составляющая силы в направлении самого элемента 𝑑𝑠 равна нулю. Предположим в связи с этим, что направление оси 𝑥 параллельно 𝑑𝑠, т.е. положим 𝑙=1, 𝑚=0, 𝑛=0. Уравнение (15) тогда станет таким:

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑃

𝑑𝑠'

ξ-

𝑑𝑄

𝑑𝑠'

+(𝐵+𝐶)

𝑙'ξ

𝑟

(18)

Чтобы найти 𝑑𝑋/𝑑𝑠, т.е. силу на 𝑑𝑠, отнесённую к единице длины, мы должны проинтегрировать это выражение по 𝑠'. Интегрируя первый член по частям, находим

𝑑𝑋

𝑑𝑠

(𝑃ξ²-𝑄)

_(𝑠',0)

–

𝑠'

∫

(2𝑃𝑟-𝐵-𝐶)

𝑙'ξ

𝑟

𝑑𝑠'

(19)

Когда 𝑠' составляет замкнутый контур, это выражение должно быть нулём. Первый его член исчезнет сам. Второй член, однако, в случае замкнутого контура, вообще говоря, не исчезает, если величина, стоящая под знаком интеграла, не обращается тождественно в нуль. Следовательно, чтобы удовлетворить условию Ампера, мы должны положить

𝑃

2𝑟

(𝐵+𝐶)

(20)

517. Мы можем теперь исключить 𝑃 и найти общее выражение для 𝑑𝑋/𝑑𝑠

𝑑𝑋

𝑑𝑠

⎧

⎨

⎩

𝐵+𝐶

𝑟

(𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ)

+𝑄

⎫

⎬

⎭

(𝑠',0)

+𝑚

𝑠'

∫

𝐵-𝐶

𝑚'ξ-𝑙'η

𝑟

𝑑𝑠'

–𝑛

𝑠'

∫

𝐵-𝐶

𝑙'ζ-𝑛'ξ

𝑟

𝑑𝑠'

(21)

Когда 𝑠' является замкнутым контуром, первый член этого выражения исчезает, и, если положить

α'

𝑠'

∫

𝐵-𝐶

𝑛'η-𝑚'ζ

𝑟

𝑑𝑠'

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

β'

𝑠'

∫

𝐵-𝐶

𝑙'ζ-𝑛'ξ

𝑟

𝑑𝑠'

γ'

𝑠'

∫

𝐵-𝐶

𝑚'ξ-𝑙'ζ

𝑟

𝑑𝑠'

(22)

(где интегрирование распространено на замкнутый контур 𝑠'), то мы сможем записать

𝑑𝑋

𝑑𝑠

𝑚γ'-𝑛β'

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

и аналогично

𝑑𝑌

𝑑𝑠

𝑛α'-𝑙γ',

𝑑𝑍

𝑑𝑠

𝑛β'-𝑙α'.

(23)

Величины α', β', γ' иногда называют определителями контура 𝑠' относительно точки 𝑃 а их результирующая названа Ампером директрисой электромагнитного действия.

Из этого уравнения очевидно, что сила, имеющая компоненты (𝑑𝑋/𝑑𝑠)𝑑𝑠, (𝑑𝑌/𝑑𝑠)𝑑𝑠 и (𝑑𝑍/𝑑𝑠)𝑑𝑠, перпендикулярна как к элементу 𝑑𝑠, так и к его директрисе; эта сила представлена численно площадью параллелограмма, сторонами которого являются элемент 𝑑𝑠 и директриса действия.

На языке кватернионов результирующая сила, действующая на 𝑑𝑠, есть векторная часть произведения директрисы на 𝑑𝑠.

Поскольку мы уже знаем, что директриса есть то же самое, что и магнитная сила, обусловленная единичным током в контуре 𝑠', то далее мы будем говорить о директрисе, как о создаваемой контуром магнитной силе.

518. Теперь мы завершим вычисления составляющих силы, действующей между двумя конечными токами, замкнутыми или разомкнутыми.

Пусть ρ будет новой функцией 𝑟, такой, что

∞

∫

𝑟

(𝐵-𝐶)

𝑑𝑟

(24)

тогда в силу (17) и (20)

𝐴+𝐵+2𝐶

𝑟

𝑑²

𝑑𝑟²

(𝑄+ρ)

–

𝑑

𝑑𝑟

(𝑄+ρ)

(25)

и уравнения (11) становятся такими:

𝑅

𝑑ρ

𝑑𝑟

cos ε

𝑟

𝑑²

𝑑𝑠𝑑𝑠'

(𝑄+ρ)

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑆

𝑑𝑄

𝑑𝑠'

𝑆'

𝑑𝑄

𝑑𝑠

(26)

При таких значениях составляющих сил уравнение (13) будет иметь вид

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

-cos ε

𝑑ρ

𝑑𝑟

𝑟

+ξ

𝑑²

𝑑𝑠𝑑𝑠'

(𝑄+ρ)

–𝑙

𝑑𝑄

𝑑𝑠'

+𝑙'

𝑑𝑄

𝑑𝑠

cos ε

𝑑ρ

𝑑𝑥

𝑑²{(𝑄+ρ)ξ}

𝑑𝑠𝑑𝑠'

+𝑙

𝑑ρ

𝑑𝑠'

–𝑙'

𝑑ρ

𝑑𝑠

(27)

519. Пусть

𝐹

𝑠

∫

𝑙ρ

𝑑𝑠

𝐺

𝑠

∫

𝑚ρ

𝑑𝑠

𝐻

𝑠

∫

𝑛ρ

𝑑𝑠

(28)

𝐹'

𝑠'

∫

𝑙'ρ

𝑑𝑠'

𝐺'

𝑠'

∫

𝑚'ρ

𝑑𝑠'

𝐻'

𝑠'

∫

𝑛'ρ

𝑑𝑠'

(29)

Эти величины имеют определённые значения для любой заданной точки пространства. Для замкнутых контуров они соответствуют составляющим вектор-потенциалов контуров.

Пусть 𝐿 будет новой функцией 𝑟, такой, что

𝐿

𝑟

∫

𝑟(𝑄+ρ)

𝑑𝑟

(30)

и пусть 𝑀 будет двойным интегралом

𝑠'

∫

𝑠

∫

ρcos ε

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

(31)

который для замкнутых контуров становится их взаимным потенциалом; тогда уравнение (27) может быть записано в виде

𝑑²𝑋

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑²

𝑑𝑠𝑑𝑠'

⎧

⎨

⎩

𝑑𝑀

𝑑𝑥

–

𝑑𝐿

𝑑𝑥

+𝐹

–𝐹'

⎫

⎬

⎭

(32)

520. Интегрируя по 𝑠 и 𝑠' между заданными пределами, находим

𝑋

𝑑𝑀

𝑑𝑥

–

𝑑

𝑑𝑥

(

𝐿

_𝑃𝑃'

–

𝐿

_𝐴𝑃'

–

𝐿

_𝐴'𝑃

𝐿

_𝐴𝐴'

𝐹

_𝑃'

–

𝐹

_𝐴'

–

𝐹'

_𝑃

𝐹'

_𝐴

(33)

где индексы у 𝐿 характеризуют расстояние 𝑟, функцией которого является 𝐿, а индексы у 𝐹 и 𝐹', характеризуют точки, в которых следует брать значения этих функций.

Исходя из этого, могут быть написаны выражения для 𝑌 и 𝑍. Умножая эти три составляющие соответственно на 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, получаем

𝑋𝑑𝑥

𝑌𝑑𝑦

𝑍𝑑𝑧

𝐷𝑀

–

𝐷(

𝐿

_𝑃𝑃'

–

𝐿

_𝐴𝑃'

–

𝐿

_𝐴'𝑃

𝐿

_𝐴𝐴'

)

(

𝐹'𝑑𝑥

𝐺'𝑑𝑦

𝐻'𝑑𝑧

)

_(𝑃-𝐴)

(

𝐹𝑑𝑥

𝐺𝑑𝑦

𝐻𝑑𝑧

)

_{(𝑃'-𝐴')}

(34)

где 𝐷 обозначает полный дифференциал.

Так как выражение 𝐹𝑑𝑥+𝐺𝑑𝑦+𝐻𝑑𝑧 не является, вообще говоря, полным дифференциалом какой-либо функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, то и выражение 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 не является полным дифференциалом токов в том случае, когда один из них разомкнут.

521. Если, однако, оба тока замкнутые, то члены в 𝐿, 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝐹', 𝐺', 𝐻', исчезают и

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."