Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 2 (всего у книги 34 страниц)
352
816.
Светоносное возмущение, рассматриваемое математически, является вектором
352
817.
Кинематические уравнения циркулярно поляризованного света
352
818.
Кинетическая и потенциальная энергия среды
353
819.
Условие волнового распространения
353
820.
Действие магнетизма должно зависеть от реального вращения вокруг направления магнитной силы как оси
354
821.
Формулировка результатов анализа явления
354
822.
Гипотеза о молекулярных вихрях
355
823.
Изменение вихрей в соответствии с законом Гельмгольца
356
824.
Изменение кинетической энергии в возмущённой среде
356
825.
Выражение через ток и скорость
357
826.
Кинетическая энергия в случае плоской волны
357
827.
Уравнения движения
358
828.
Скорость циркулярно поляризованного луча
358
829.
Магнитное вращение
359
830.
Исследования Вердье
359
831.
Замечание о механической теории молекулярных вихрей
361
ГЛАВА XXII
ОБЪЯСНЕНИЕ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА И ДИАМАГНЕТИЗМА МОЛЕКУЛЯРНЫМИ ТОКАМИ
832.
Магнетизм – явление молекулярное
363
833.
Действие магнитных молекул может быть имитировано молекулярными токами
364
834.
Различие между элементарной теорией непрерывных магнитов и теорией молекулярных токов
364
835.
Простота электрической теории
365
836.
Теория тока в идеально проводящем контуре
365
837.
Случай, когда ток полностью обусловлен индукцией
366
838.
Веберовская теория диамагнетизма
366
839.
Магнитокристаллическая индукция
366
840.
Теория идеального проводника
367
841.
Среда, состоящая из идеально проводящих сферических молекул
367
842.
Механическое действие магнитной силы на ток, который она возбуждает
367
843.
Теория молекулы с изначальным током
368
844.
Видоизменения теории Вебера
369
845.
Следствия теории
369
ГЛАВА XXIII
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИЯ НА РАССТОЯНИИ
846.
Величины, входящие в формулу Ампера
370
847.
Относительное движение двух электрических частиц
370
848.
Относительное движение четырёх электрических частиц. Теория Фехнера
371
849.
Две новых разновидности формулы Ампера
371
850.
Два разных выражения для силы между двумя движущимися электрическими частицами
372
851.
Они принадлежат соответственно Гауссу и Веберу
372
852.
Все силы должны быть совместимы с принципом сохранения энергии
372
853.
Формула Вебера совместима с принципом сохранения энергии, а формула Гаусса – нет
373
854.
Выводы Гельмгольца из формулы Вебера
373
855.
Потенциал двух токов
374
856.
Веберовская теория индукции электрических токов
375
857.
Изолирующая сила в проводнике
375
858.
Случай движущихся проводников
376
859.
Формула Гаусса ведёт к ошибочному результату
377
860.
Формула Вебера согласуется с явлением
377
861.
Письмо Гаусса Веберу
378
862.
Теория Римана
378
863.
Теория С. Неймана
378
864.
Теория Бетти
379
865.
Противоречие с теорией среды
379
866.
От идеи среды невозможно избавиться
380
ЧАСТЬ III
МАГНЕТИЗМ
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МАГНЕТИЗМА
371. Некоторые тела, такие, например, как железная руда, носящая название «магнитный железняк», сама Земля, а также куски стали, подвергнутые специальной обработке, называются Магнитами; обнаружено, что они обладают следующими свойствами.
Если вблизи любой части земной поверхности, кроме Магнитных Полюсов, подвесить магнит, свободно вращающийся вокруг вертикальной оси, то он, вообще говоря, будет стремиться установиться по определённому азимуту, а при выведении из этого положения начнёт колебаться около него. Ненамагниченное тело таких стремлений не проявляет – оно находится в равновесии одинаково при всех значениях азимута.
372. Было найдено, что сила действует на тело таким образом, чтобы некоторая линия внутри него, называемая Осью Магнита, стремилась стать параллельной некоторой линии в пространстве, называемой Направлением Магнитной Силы.
Предположим, что магнит подвешен так, что может свободно вращаться во всех направлениях около одной закреплённой точки. Чтобы исключить действие его веса, можно считать, что эта точка совпадает с центром тяжести. Пусть магнит придёт в состояние равновесия. Пометим на магните две точки и установим их положения в пространстве. Затем поместим магнит в новое состояние равновесия и найдём новое положение отмеченных точек в пространстве.
Так как ось магнита в обоих состояниях совпадает с направлением магнитной силы, мы должны отыскать в магните линию, занимающую одно и то же пространственное положение до и после перемещения. Из теории движения недеформируемых тел следует, что такая линия всегда существует, причём перемещение магнита эквивалентно простому повороту вокруг неё.
Чтобы найти эту линию, построим две плоскости перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих начальные и конечные положения отмеченных точек и рассекающих эти отрезки пополам; пересечение этих плоскостей определит искомую линию, которая даёт одновременно и направление оси магнита, и направление магнитной силы в пространстве.
Для практического определения этих направлений описанный метод неудобен; мы вернёмся ещё к этому вопросу при рассмотрении Магнитных Измерений.
Обнаружено, что в разных частях земной поверхности магнитная сила направлена по-разному. Если сделать метку на кончике магнита, указывающем на север, то окажется, что он устанавливается в направлении, которое в общем случае существенно отличается от направления истинного меридиана, причём в северном полушарии этот кончик всегда отклоняется ещё и вниз, а в южном полушарии – вверх.
Азимут направления магнитной силы, отсчитываемой от истинного направления на север в сторону запада, называется Вариацией или Магнитным Склонением. Угол между направлением магнитной силы с горизонтальной плоскостью называется Магнитным Наклонением. Эти два угла задают направление магнитной силы; если также известна и её интенсивность, то магнитная сила определена полностью. Измерение этих трёх элементов в различных местах земной поверхности, обсуждение характера их вариаций от места к месту и с течением времени наблюдения, а также исследование причин, порождающих магнитную силу и вызывающих её изменения,– всё это составляет содержание науки о Земном Магнетизме.
373. Предположим теперь, что определены оси нескольких магнитов и у каждого из них помечен конец, указывающий на север. Подвесим свободно один из магнитов, а другой будем к нему приближать. Окажется, что два помеченных конца отталкиваются друг от друга и два непомеченных конца тоже отталкиваются друг от друга, а отмеченный и неотмеченный концы притягиваются друг к другу.
Установлено, что для магнитов, сделанных в виде длинных однородно и продольно намагниченных стержней или проволок (см. далее п. 384), наибольшее проявление силы происходит, когда конец одного магнита находится вблизи конца другого, и что эти явления можно рассматривать, исходя из предположения о том, что однотипные концы магнита отталкиваются, разнотипные концы притягиваются, а серединные части магнитов не проявляют ощутимого взаимодействия.
Концы длинного тонкого магнита обычно принято называть его Полюсами. В случае сколь угодно тонкого магнита, однородно намагниченного по длине, его концы действуют как центры силы, а остальные его части кажутся лишёнными магнитного действия. У всех реальных магнитов намагниченность отличается от однородной, так что никакие отдельные точки не могут быть выбраны в качестве полюсов. Тем не менее Кулон, используя длинные тонкие стержни, намагниченные с особой тщательностью, установил закон для силы, действующей между двумя одноимёнными магнитными полюсами (средой между ними был воздух) 1.
1 Coulomb, Mém. de l'Acad. 1785, p. 603 and in Biot’s Traité Physique, tome III
Отталкивание между двумя одноимёнными магнитными полюсами происходит по прямой линии, их соединяющей, и численно равно произведению мощностей (strengths) полюсов, делённому на квадрат расстояния между ними.
374. Этот закон, конечно, содержит предположение о том, что мощность каждого из полюсов измеряется с помощью некоторой единицы, величина которой может быть выражена через входящие в данный закон члены.
Единичным полюсом является такой полюс, который указывает на север и, будучи помещённым на единичном расстоянии от другого единичного полюса, отталкивается от него в воздухе с единичной силой (последняя определяется как в п. 6). Полюс, указывающий на юг, считается отрицательным.
Если мощности магнитных полюсов 𝑚1 и 𝑚2, расстояние между ними 𝑙 и сила отталкивания ƒ выражены численно, то
ƒ
=
𝑚1𝑚2
𝑙²
.
Но если [𝑚], [𝐿] и [𝐹] – конкретные единицы магнитного полюса, длины и силы, тогда
ƒ[𝐹]
=
⎡
⎢
⎣
𝑚
𝐿
⎤²
⎥
⎦
𝑚1𝑚2
𝑙²
,
откуда следует, что
[𝑚²]
=
[𝐿²𝐹]
=
⎡
⎢
⎣
𝐿²
𝑀𝐿
𝑇²
⎤
⎥
⎦
,
или
[𝑚]
=
[𝐿
3/2
𝑇
-1
𝑀
1/2
]
.
Следовательно, единичный полюс имеет по отношению к длине размерность, равную 3/2 по отношению ко времени – размерность, равную – 1 а по отношению к массе – размерность, равную +1/2; это совпадает с размерностью электростатической единицы электричества, установленной ранее в п. 41, 42 совершенно аналогичным путём.
375. Точность этого закона можно считать установленной опытами Кулона с Крутильными Весами и подтверждённой опытами Гаусса и Вебера, равно как и всеми наблюдателями в магнитных обсерваториях, осуществляющими ежедневные магнитные измерения и получающими результаты, которые должны были бы стать несовместимыми друг с другом, если бы закон для силы был принят ошибочно. Дополнительное подтверждение вытекает из его согласованности с законами электромагнитных явлений.
376. Величину, названную нами мощностью полюса, можно было бы назвать также и количеством «Магнетизма», если не приписывать «Магнетизму» никаких иных свойств, кроме тех, которые обнаруживаются в полюсах магнита.
Закон для силы между двумя заданными количествами «Магнетизма» выражается математически в той же форме, что и закон для силы между численно равнозначными количествами «Электричества», поэтому многие из математических методов теории магнетизма должны быть аналогичны методам теории электричества. Существуют, однако, и другие свойства магнитов, о которых следует помнить и которые могут в какой-то мере пролить свет на электрические свойства тел вообще.
Соотношение между полюсами магнита
377. Количество магнетизма на одном полюсе магнита всегда равно и противоположно количеству магнетизма на другом полюсе, или более обще:
В каждом Магните общее количество Магнетизма (суммируемое алгебраически) равно нулю.
Следовательно, в поле силы, однородной и параллельной во всём занимаемом магнитном пространстве, сила, действующая на помеченный конец магнита, в точности равна, противоположна и параллельна силе, действующей на непомеченный конец, поэтому в результате образуется статическая пара сил, стремящаяся установить ось магнита в определённом направлении, но никуда не сдвигающая магнит в целом.
Это можно легко доказать, пустив магнит плавать по воде на маленьком кораблике. Чтобы ось магнита и направление земной магнитной силы по возможности сблизились, кораблик будет определённым образом разворачиваться, не совершая при этом в целом никаких перемещений ни в каком направлении, так что не может появиться никакой избыточной силы, действующей в сторону севера, по отношению к силе, действующей к югу, и наоборот. Это можно также показать, исходя из того факта, что намагничивание куска стали не меняет его веса: оно изменяет лишь видимое положение центра тяжести, смещая его в наших широтах вдоль оси по направлению к северу. Центр инерции, определяемый через явления вращения, остаётся неизменным.
378. Если исследовать середину длинного тонкого магнита, то обнаружится, что она не обладает никакими магнитными свойствами; если же в этой точке разломать магнит, окажется, что в каждом куске появляется магнитный полюс в месте разлома, причём этот новый полюс точно равен и противоположен другому полюсу, принадлежащему данному куску. Ни намагничиванием, ни разламыванием магнитов, ни какими-либо другими способами невозможно образовать магнит с неравными полюсами.
Разломив длинный тонкий магнит на несколько коротких кусков, мы получим набор коротких магнитов, каждый из которых имеет полюса почти той же величины, что и полюса первоначального длинного магнита. Само размножение полюсов необязательно связано с образованием энергии, однако следует помнить, что после разламывания магнита необходимо совершить работу по разделению его частей вследствие их притяжения друг к другу.
379. Сложим теперь все куски магнита вместе, как было вначале. В каждой точке соединения будут существовать два одинаковых по мощности полюса противоположного типа, приведённые в соприкосновение друг с другом, так что их совместное действие на любой другой полюс будет равным нулю. Восстановленный таким образом магнит имеет, следовательно, те же свойства, что и первоначальный, а именно: у него существуют равные и противоположные полюса на каждом конце и срединная часть, не проявляющая никакого магнитного действия.
Поскольку в этом случае мы знаем, что длинный магнит составлен из маленьких коротких магнитов, а все явления происходят с ним как с неразломанным, то можно даже до разламывания считать его состоящим из маленьких частиц, каждая из которых имеет два равных и противоположных полюса. Если предположить, что все магниты образованы из таких частиц, то в силу равенства нулю количества магнетизма в каждой частице общее количество магнетизма во всём магните, очевидно, будет тоже равно нулю, или, другими словами, он будет иметь равные по величине полюса противоположного типа.
Теория магнитной «материи»
380. Поскольку законы магнитного и электрического действия по форме идентичны друг другу, то доводы, приводимые при сведении электрических явлений к действию одной «жидкости» или двух «жидкостей», могут быть высказаны также и в пользу существования одного вида магнитной материи или двух видов магнитной материи, будь то жидкость или что-либо иное. В действительности теория магнитной материи, используемая в чисто математическом смысле, не может потерпеть неудачу при объяснении явлений, если для учёта реальных фактов вводить в неё какие-то новые законы, допускающие некоторый произвол.
Один из этих новых законов должен заключаться в том, что магнитные жидкости не могут переходить от одной молекулы или частицы магнита к другой, а процесс намагничивания состоит в разделении двух жидкостей в пределах каждой частицы, что приводит к повышению концентрации одной из жидкостей на одном из концов, а другой – на другом. Эта теория принадлежит Пуассону.
Согласно этой теории, частица намагничивающегося тела уподобляется маленькому изолированному незаряженному проводнику, содержащему, однако (в двухжидкостном варианте теории), сколь угодно большие, точно равные друг другу количества противоположного электричества; под действием на проводник электродвижущей силы происходит разделение этих электричеств и их появление на противоположных концах проводника. Аналогично и намагничивающая сила будет – по этой теории – вызывать разделение двух разновидностей магнетизма, первоначально пребывавших в нейтрализованном состоянии, и их появление на противоположных концах намагниченной частицы.
В некоторых веществах это магнитное состояние, сходное с состоянием наэлектризованности проводника, исчезает при снятии индуцирующей силы; к ним относятся мягкое железо и магнитные вещества, которые не могут быть постоянно намагниченными. Другие вещества, такие, как, например, твёрдая сталь, переходят в магнитное состояние с трудом, однако после перехода сохраняют его даже при удалении индуцирующей силы. Принято говорить, что в последнем случае существует стремящаяся препятствовать изменению намагниченности Коэрцитивная Сила, которую необходимо преодолеть, прежде чем мощность магнита может быть увеличена или уменьшена. В случае электризованных тел это соответствовало бы такому виду электрического сопротивления, которое, в отличие от сопротивления, наблюдаемого в металлах, для электродвижущих сил при значениях ниже некоторого было бы эквивалентно полной изоляции.
Эта теория магнетизма, как и соответствующая теория электричества, слишком просторна для фактов и, чтобы её ограничить, требуется введение каких-то искусственных условий; действительно, она не только не выдвигает никаких соображений, почему одно тело не может отличаться от другого за счёт большего содержания обеих жидкостей, но и не позволяет нам судить, каковы были бы свойства тела при наличии избытка в нём одной из этих магнитных жидкостей. Правда, приводится соображение, почему такое тело не может существовать вообще, но оно привнесено для объяснения этого частного факта лишь после его установления и не вытекает из самой теории.
381. Мы должны поэтому найти какой-то иной способ описания, который не вбирал бы в себя слишком многое, оставляя место для введения новых идей по мере их выявления из новых фактов. Я думаю, мы придём к этому, начав с высказывания о том, что частицы магнита Поляризованы.
Смысл термина «Поляризация»
Если частица какого-то тела обладает некоторыми свойствами, связанными с определённой линией или направлением внутри тела, а тело, сохраняющее эти свойства, поворачивается, обращая это направление на противоположное, то, если эти свойства частицы по отношению к другим телам тоже обращаются, про частицу говорят, что она поляризована относительно этих свойств, а про сами свойства – что они составляют определённый вид поляризации.
Так, мы можем сказать, что вращение тела вокруг оси относится к одному из видов поляризации, потому что, если, не прекращая вращения, повернуть ось так, что её концы поменяются местами, то направление вращения тела относительно пространства изменится на противоположное.
Можно назвать поляризованной и проводящую частицу, через которую протекает ток электричества, так как если бы частица повернулась вокруг себя, а ток относительно её сохранил своё направление, то его направление в пространстве оказалось бы обращённым.
Короче говоря, если любая математическая или физическая величина имеет векторную природу, как было определено в п. 11, то любое тело или частица, к которым относится эта направленная величина или вектор, может быть названа поляризованной 2, поскольку она имеет противоположные свойства в двух противоположных направлениях или на двух противоположных полюсах направленной величины.
2 Слово Поляризация употреблено здесь в таком значении, которое не согласуется с термином, используемым в Оптике. Там луч света называют поляризованным, если он обладает свойствами, связанными с его боковыми сторонами, и притом такими, которые на взаимно противоположных сторонах одинаковы. Этот вид поляризации относится к другому типу Направленной Величины, которая может быть названа Диполярной, в противоположность величине прежнего типа, которая может быть названа δ-униполярной.
Когда диполярная величина поворачивается, меняя местами свои концы, она остаётся той же, как и до поворота. Натяжение и давление в твёрдых телах, растяжение, сжатие и изгиб, а также большинство оптических, электрических и магнитных свойств кристаллических тел являются диполярными величинами.
Эффект, производимый магнетизмом в прозрачных телах и состоящий в повороте плоскости поляризации падающего света, как и сам магнетизм, относится к униполярным свойствам. Вращательное свойство, отмеченное в п. 303. также является униполярным.
Полюса Земли, например, связаны с её вращением и носят соответственно разные названия.
Смысл термина «Магнитная Поляризация»
382. Когда мы говорим о состоянии, в котором пребывают частицы магнита, как о магнитной поляризации, то подразумеваем, что каждая из самых маленьких порций, на какие только можно разделить магнит, обладает определёнными свойствами по отношению к определённому направлению, проходящему через частицу и называемому Осью Намагниченности; причём эти свойства противоположны для разных концов оси.
Свойства, приписываемые нами частице, относятся к свойствам того же типа, что и наблюдаемые для всего цельного магнита; принимая, что частицы обладают этими свойствами, мы тем самым делаем лишь такие предположения, которые можем доказать, разламывая магнит на мелкие кусочки, ибо каждый из этих кусочков оказывается магнитом.
Свойства намагниченной частицы
383. Предположим, что элемент 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 является частицей магнита и обладает магнитными свойствами магнита, имеющего мощность положительного полюса 𝑚 и длину 𝑑𝑠. Тогда в произвольной точке пространства 𝑃, отстоящей на расстоянии 𝑟 от положительного полюса и на расстоянии 𝑟' от отрицательного, магнитный потенциал 𝑉 будет состоять из потенциала 𝑚/𝑟, создаваемого положительным полюсом, и потенциала -𝑚/𝑟', создаваемого отрицательным полюсом, т.е.
𝑉
=
𝑚
𝑟𝑟'
(𝑟'-𝑟)
.
(1)
Если расстояние между полюсами 𝑑𝑠 очень мало, можно положить
𝑟'-𝑟
=
𝑑𝑠
cos ε
,
(2)
где ε – угол между вектором, направленным от магнита в точку 𝑃, и осью магнита. В пределе получим
𝑉
=
𝑚𝑑𝑠
𝑟²
cos ε
.
(3)
Магнитный момент
384. Произведение длины стержневого магнита, однородно и продольно намагниченного, на мощность его положительного полюса называется Магнитным Моментом магнита.
Интенсивность намагниченности
Интенсивность намагниченности магнитной частицы определяется как отношение её магнитного момента к объёму. Мы будем обозначать её буквой 𝐼.
Намагниченность в любой точке магнита может быть определена по её интенсивности и направлению. Направление можно задать с помощью направляющих косинусов λ, μ, ν.
Составляющие намагниченности
Намагниченность в какой-либо точке магнита, будучи вектором или направленной величиной, может быть выражена через три её составляющих, отнесённых к осям координат. Назовём их 𝐴, 𝐵, 𝐶:
𝐴
=
𝐼λ
,
𝐵
=
𝐼μ
,
𝐶
=
𝐼ν
.
(4)
Абсолютное или численное значение величины 𝐼 задаётся уравнением
𝐼²
=
𝐴²
+
𝐵²
+
𝐶²
.
(5)
385. Если рассматриваемая нами часть магнита есть дифференциальный элемент объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, а 𝐼 – интенсивность намагниченности этого элемента, то его магнитный момент равен 𝐼𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. Подставляя его вместо 𝑚𝑑𝑠 в уравнение (3) и помня, что
𝑟 cos ε
=
λ(ξ-𝑥)
+
μ(η-𝑦)
+
ν(ζ-𝑧)
,
(6)
где ξ, η, ζ – координаты конца вектора 𝑟, выходящего из точки (𝑥,𝑦,𝑧), для потенциала в точке (ξ,η,ζ), обусловленного намагниченным элементом, находящимся в (𝑥,𝑦,𝑧), найдём
{
𝐴(ξ-𝑥)
+
𝐵(η-𝑦)
+
𝐶(ζ-𝑧)
}
1
𝑟³
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(7)
Чтобы получить потенциал, создаваемый в точке (ξ,η,ζ) магнитом конечных размеров, необходимо найти интеграл от этого выражения по всем элементам объёма, входящим в пространство, занятого магнитом, т.е.
𝑉
=
∭
{
𝐴(ξ-𝑥)
+
𝐵(η-𝑦)
+
𝐶(ζ-𝑧)
}
1
𝑟³
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(8)
После интегрирования по частям получаем
𝑉
=
∬
𝐴
1
𝑟
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
∬
𝐵
1
𝑟
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+
∬
𝐶
1
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
–
-
∭
1
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐴
𝑑𝑥
+
𝑑𝐵
𝑑𝑦
+
𝑑𝐶
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где двойной интеграл в первых трёх членах берётся по поверхности магнита, а тройной интеграл в четвёртом члене – по его объёму.
Обозначим через 𝑙, 𝑚, 𝑛 направляющие косинусы нормали, направленной из элемента поверхности 𝑑𝑆 наружу, тогда, как и в п. 21, для суммы первых трёх членов можно написать
∬
(
𝑙𝐴
+
𝑚𝐵
+
𝑛𝐶
)
1
𝑟
𝑑𝑆
,
где интегрирование распространяется на всю поверхность магнита.
Если ввести теперь новые обозначения σ и ρ, определив их с помощью равенств
σ
=
𝑙𝐴
+
𝑚𝐵
+
𝑛𝐶
,
ρ
=-
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐴
𝑑𝑥
+
𝑑𝐵
𝑑𝑦
+
𝑑𝐶
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
,
то выражение для потенциала может быть записано в виде
𝑉
=
∬
σ
𝑟
𝑑𝑆
+
∭
ρ
𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
386. Это совпадает с выражением для электрического потенциала, создаваемого телом, на поверхности которого существует электризация с поверхностной плотностью σ и одновременно во всём веществе которого имеется объёмная электризация с объёмной плотностью ρ. Следовательно, если считать величины σ и ρ поверхностной и объёмной плотностями распределения некоторого воображаемого вещества, названного нами «магнитной материей», то потенциал, обусловленный ими, будет равен потенциалу, создаваемому истинной намагниченностью всех элементов объёма.
Поверхностная плотность σ есть составляющая намагниченности вдоль направления внешней нормали к поверхности, а объёмная плотность ρ есть «конвергенция» (см. п. 25) намагниченности в данной точке магнита.
Этот метод представления действия магнита как действия, обусловленного распределением «магнитной материи», очень удобен, однако всегда следует помнить, что он является лишь искусственным приёмом описания действия, создаваемого некоторой системой поляризованных частиц.
О действии одной магнитной молекулы на другую
387. Если, как и в п. 129 б главы о сферических гармониках, положить
𝑑
𝑑ℎ
=
𝑙
𝑑
𝑑𝑥
+
𝑚
𝑑
𝑑𝑦
+
𝑛
𝑑
𝑑𝑧
,
(1)
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы оси ℎ то потенциал, обусловленный магнитной молекулой с магнитным моментом 𝑚1 и осью, параллельной ℎ1 помещённой в начало координат, будет равен
𝑉
1
=-
𝑑
𝑚
1
=
𝑚
1
λ
1
,
𝑑ℎ
1
𝑟
𝑟²
(2)
где λ1 – косинус угла между ℎ1 и 𝑟.
Если имеется вторая магнитная молекула с моментом 𝑚2 и осью, параллельной ℎ2, помещённая в точке, где оканчивается радиус-вектор 𝑟, то потенциальная, энергия, обусловленная действием одного магнита на другой, будет равна
𝑊
=
𝑚
2
𝑑𝑉
𝑑ℎ2
=-
𝑚
1
𝑚
2
𝑑²
𝑑ℎ1𝑑ℎ2
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
,
(3)
=
𝑚1𝑚2
𝑟³
(μ
12
–3λ
1
λ
2
)
,
(4)
где μ12 – косинус угла между осями, а λ1 и λ2 косинусы углов между радиус-вектором и осями.
Определим далее момент пары сил, с которым первый магнит стремится повернуть второй вокруг его центра.
Предположим, что второй магнит повернулся на угол 𝑑φ в плоскости, перпендикулярной некоторой третьей оси ℎ3; тогда работа, совершенная против магнитных сил, будет равна (𝑑𝑊/𝑑φ)𝑑φ, а момент сил, действующий на магнит в этой плоскости,
-
𝑑𝑊
𝑑φ
=-
𝑚1𝑚2
𝑟³
⎛
⎜
⎝
𝑑μ12
𝑑φ
–
3λ
1
𝑑λ2
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Истинный момент, действующий на второй магнит, можно, следовательно, рассматривать как результирующую двух пар сил: первая действует в плоскости, параллельной осям обоих магнитов, и стремится увеличить угол между ними; её момент равен
𝑚1𝑚2
𝑟³
sin(ℎ
1
ℎ
2
)
,
(6)
в то время как вторая действует в плоскости, проходящей через 𝑟 и ось второго магнита, и стремится уменьшить угол между этими направлениями; она имеет момент
3𝑚1𝑚2
𝑟³
cos(𝑟ℎ
1
)
sin(𝑟ℎ
2
)
,
(7)
где через (𝑟ℎ1), (𝑟ℎ2), (ℎ1ℎ2) обозначены углы между линиями 𝑟, ℎ1, ℎ2.
Для определения силы, действующей на второй магнит в направлении, параллельном линии ℎ3, необходимо вычислить
-
𝑑𝑉
𝑑ℎ3
=
𝑚
1
𝑚
2
𝑑³
𝑑ℎ1𝑑ℎ2𝑑ℎ3
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
,
(8)
=
-𝑚
1
𝑚
2
3!𝑌3
𝑟4
(по п. 129в),
=
3
𝑚1𝑚2
𝑟4
{
λ
1
μ
23
+
λ
2
μ
31
+
λ
3
μ
12
+
λ
1
λ
2
λ
3
}
(9)
(по п. 133),
=
3λ
3
𝑚1𝑚2
𝑟4
(μ
12
–5λ
1
λ
2
)
+
3μ
13
𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
2
+
(10)
+
3μ
23
𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
1
.
Предположим, что истинная сила состоит из трёх сил – 𝑅, 𝐻1 и 𝐻2, действующих соответственно в направлениях 𝑟, ℎ1 и ℎ2, тогда сила в направлении ℎ3 будет равна
λ
3
𝑅
+
μ
13
𝐻
1
+
μ
23
𝐻
2
.
(11)
Поскольку направление ℎ3 произвольно, мы должны иметь
𝑅
=
3𝑚1𝑚2
𝑟4
(μ
12
–5λ
1
λ
2
)
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝐻
1
=
3𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
2
,
𝐻
2
=
3𝑚1𝑚2
𝑟4
λ
1
.
(12)
Сила 𝑅 является отталкивающей – она стремится увеличить 𝑟; силы 𝐻1 и 𝐻2 действуют на второй магнит в направлении осей первого и второго магнита соответственно.
Этот анализ сил, действующих между двумя маленькими магнитами, был впервые проведён профессором Тэтом в терминах кватернионного анализа в Quarterly Math. Journ. за январь 1860. См. также его работу по кватернионам (Quaternions, Arts 442-443, 2nd Edition).
Частные случаи расположения магнитов
388. (1). Если λ1 и λ2 одинаковы и равны единице, т.е. оси магнитов лежат на одной прямой и направлены вдоль неё, то μ12=1 и сила отталкивания между магнитами будет равна
𝑅
+
𝐻
1
+
𝐻
2
=-
6𝑚1𝑚2
𝑟4
(13)
Отрицательный знак указывает на притяжение.
(2). Если λ1 и λ1 равны нулю, а μ12 – единице, т.е. оси магнитов параллельны друг другу и перпендикулярны 𝑟, то сила окажется отталкивающей и равной
3𝑚1𝑚2
𝑟4
(14)
ни в одном из этих случаев не возникает никаких вращающих моментов.
(3). Если
λ
1
=1
и
λ
2
=0
, то
μ
12
=1
.
(15)
Сила 3𝑚1𝑚2/𝑟4 будет действовать на второй магнит в направлении его оси, а пара сил с моментом 2𝑚1𝑚2/𝑟3 будет стремиться развернуть его параллельно первому магниту. Это эквивалентно действию одной силы 3𝑚1𝑚2/𝑟4, параллельной оси второго магнита и пересекающей радиус-вектор 𝑟 в точке, отстоящей от 𝑚2 на расстоянии двух третей его длины.
Рис. 1
На рис. 1 показаны плавающие на воде два магнита: магнит 𝑚2 расположен на оси магнита 𝑚1, а его собственная ось перпендикулярна оси 𝑚1, две точки 𝐴 и 𝐵, жёстко связанные соответственно с 𝑚1 и 𝑚2, соединены между собой нитью 𝑇. Система будет находиться в равновесии, если 𝑇 пересечёт линию 𝑚1𝑚2 под прямым углом в точке, отстоящей от 𝑚1 на одну треть расстояния между 𝑚1 и 𝑚2.
(4) Если позволить второму магниту свободно вращаться вокруг своего центра, пока он не придёт в положение устойчивого равновесия, то при этом энергия 𝑊 окажется минимальной по ℎ2 и, следовательно, созданная магнитом 𝑚2 составляющая силы в направлении ℎ1 будет иметь максимум. Таким образом, если мы хотим с помощью магнитов с фиксированным положением центров создать в данной точке и вдоль заданного направления максимально возможную магнитную силу, то для определения нужных направлений осей магнитов, при которых достигается этот эффект, необходимо: поместить один из магнитов в заданную точку, установив его в требуемом направлении; поместить центр другого магнита в любую из остальных задаваемых точек и установить положение его оси в состоянии устойчивого равновесия. После этого следует разместить все магниты так, чтобы их оси были установлены в направлениях, указанных вторым магнитом [рис. 2].
Рис. 2
Разумеется, при выполнении этого опыта мы должны принимать во внимание земной магнетизм, если он существен.
Пусть второй магнит находится в положении устойчивого равновесия относительно своего направления, тогда действующая на него пара сил исчезает, и поэтому его ось должна располагаться в одной плоскости с осью первого магнита. Следовательно,
ℎ
1
ℎ
2
=
(ℎ
1
𝑟)
+
(ℎ
2
𝑟)
,
(16)
и момент пары сил, равный
𝑚1𝑚2
𝑟3
(
sin(ℎ
1
ℎ
2
)
–
3cos(ℎ
1
𝑟)
sin(𝑟ℎ
2
)
),
(17)
обращается в нуль, как мы видим, при условии
tg(ℎ
1
𝑟)
=
2tg(𝑟ℎ
2
)
,
(18)
или
tg 𝐻
1
𝑚
2
𝑅
=
2tg 𝑅𝑚
2
𝐻
1
.
(19)
Когда второй магнит занимает это положение, значение 𝑊 становится равным 𝑚2(𝑑𝑉1/𝑑ℎ2), где ℎ2 – направление силовой линии в точке 𝑚2, определяемое действием магнита 𝑚1. Следовательно,
𝑊
=
–𝑚
2
⎛
⎜
⎝
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
⎫²
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑉1
𝑑𝑦
⎫²
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑉1
𝑑𝑧
⎫²
⎪
⎭
⎞½
⎟
⎠
,
(20)
т.е. второй магнит будет стремиться двигаться туда, где результирующая сила больше.
Сила, действующая на второй магнит, может быть разложена на силу 𝑅, которая в этом случае всегда является силой притяжения к первому магниту, и силу 𝐻1, параллельную оси первого магнита:
