Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 22 (всего у книги 34 страниц)

𝑟²

=

𝑥₁²

sin θ

,

(2)

где 𝑥₁ – произвольная постоянная), то провод заданной длины, изогнутый в виде дуги окружности, будет производить большее магнитное действие, когда он лежит внутри этой поверхности, чем когда он находится вне её. Отсюда следует, что внешняя поверхность любого слоя провода должна иметь постоянное значение 𝑥, так как, если 𝑥 в одном месте больше, чем в другом, то можно часть провода переместить из первого места во второе и тем самым увеличить силу в центре гальванометра.

Полная сила, создаваемая катушкой, равна γ𝐺, где

𝐺

=

∫

𝑑𝑙

𝑥

,

(3)

интегрирование распространяется на всю длину провода, а 𝑥 считается функцией 𝑙.

719. Пусть 𝑦 – радиус провода, тогда площадь его поперечного сечения равна π𝑦². Пусть ρ – удельное сопротивление (отнесённое к единице объёма) материала, из которого изготовлена проволока, тогда сопротивление провода длины 𝑙 равно 𝑙ρ/(π𝑦²), а полное сопротивление катушки

𝑅

=

ρ

π

∫

𝑑𝑙

𝑦²

,

(4)

где 𝑦 рассматривается как функция 𝑙.

Пусть 𝑌² – площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с сечениями осей четырёх ближайших проводов катушки, тогда 𝑌²𝑙 есть объём, занимаемый в катушке проводом длины 𝑙 вместе с его изолирующим покрытием и той незаполненной частью пространства, которая с необходимостью остаётся между витками катушки. Следовательно, общий объём катушки равен

𝑉

=

𝑌²

𝑑𝑙

,

(5)

где 𝑌 рассматривается как функция 𝑙.

Но поскольку катушка представляет собой фигуру вращения, то

𝑉

=

2π

∬

𝑟²

sin θ

𝑑𝑟

𝑑θ

,

(6)

или, если выразить при помощи уравнения (1) 𝑟 через 𝑥

𝑉

=

2π

∬

𝑥²

(sin θ)

^5/2

𝑑𝑥

𝑑θ

.

(7)

Далее интеграл

2π

π

∫

0

(sin θ)

^5/2

𝑑θ

является численной величиной; обозначим её через 𝑁, тогда

𝑉

=

1

3

𝑁𝑥³

–

𝑉₀

,

(8)

где 𝑉₀ есть объём внутренней области, оставленной для магнита.

Рассмотрим теперь слой катушки, содержащийся между поверхностями 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥.

Объём этого слоя равен

𝑑𝑉

=

𝑁𝑥²

𝑑𝑥

=

𝑌²

𝑑𝑙

,

(9)

где 𝑑𝑙 – длина провода в этом слое.

Это даёт нам выражение 𝑑𝑙 через 𝑑𝑥. Подставляя его в уравнения (3) и (4), находим

𝑑𝐺

=

𝑁

𝑑𝑥

𝑌²

,

(10)

𝑑𝑅

=

𝑁

ρ

π

𝑥²𝑑𝑥

𝑌²𝑦²

,

(11)

где 𝑑𝐺 и 𝑑𝑅 представляют собой части величин 𝐺 и 𝑅, относящиеся к данному слою катушки.

Далее, если 𝐸 – заданная электродвижущая сила, то 𝐸=γ(𝑅+𝑟), где 𝑟 есть сопротивление внешней части контура, не зависящее от гальванометра; сила γ𝐺 в центре равна: γ𝐺=𝐸𝐺/(𝑅+𝑟).

Мы должны, таким образом, путём надлежащего подбора сечения провода в каждом из слоёв сделать величину 𝐺/(𝑅+𝑟) максимальной. А это с неизбежностью приводит к изменениям 𝑌, поскольку 𝑌 зависит от 𝑦.

Обозначим через 𝐺₀ и 𝑅₀ значения 𝐺 и 𝑅+𝑟 для того случая, когда данный слой исключён из вычислений. Тогда имеем

𝐺

𝑅+𝑟

=

𝐺₀+𝑑𝐺

𝑅₀+𝑑𝑅

,

(12)

и, для того чтобы путём вариации относящегося к этому слою значения 𝑦 сделать данное выражение максимальным, мы должны иметь

𝑑

⋅𝑑𝐺

𝑑𝑦

=

𝐺₀+𝑑𝐺

=

𝐺

.

𝑑

⋅𝑑𝑅

𝑅₀+𝑑𝑅

𝑅+𝑟

𝑑𝑦

(13)

Так как 𝑑𝑥 есть величина малая и в пределе исчезающая, то отношение 𝐺₀/𝑅₀ будет приближённо (а в пределе точно) одним и тем же независимо от того, какой слой исключён; следовательно, мы можем считать это отношение постоянным. Тогда, согласно (10) и (11), мы имеем

ρ

π

𝑥²

𝑦²

⎛

⎜

⎝

1+

𝑌

𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑌

⎞

⎟

⎠

=

𝑅+𝑟

𝐺

=

constant.

(14)

Если способ покрытия провода изолирующим слоем, а также способ его намотки таковы, что независимо от того, является провод толстым или тонким, между областью, заполненной металлом, и пространством между проводами соблюдается одна и та же пропорция, то

𝑌

𝑦

⋅

𝑑𝑦

𝑑𝑌

=

1,

и мы должны взять как 𝑦, так и 𝑌 пропорциональными 𝑥; иначе говоря, диаметр провода в любом слое должен быть пропорционален линейному размеру этого слоя.

Если же толщина изолирующего покрытия постоянна и равна 𝑏, а провода расположены в квадратном порядке, то

𝑌

=

2(𝑦+𝑏)

(15)

и рассматриваемое условие записывается так:

𝑥²(2𝑦+𝑦)

𝑦³

=

constant.

(16)

В этом случае диаметр провода возрастает с увеличением диаметра слоя, частью которого он является, но не в такой большой степени.

Если принять первую из этих двух гипотез, приблизительно верную в случае, когда собственно провод почти полностью заполняет всю область, то можно положить 𝑦=α𝑥, 𝑌=β𝑦, где α и β – постоянные численные величины, тогда

𝐺

=

𝑁

1

α²β²

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

–

1

𝑥

⎞

⎟

⎠

,

𝑅

=

𝑁

ρ

π

1

α⁴β²

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

–

1

𝑥

⎞

⎟

⎠

,

где постоянная 𝑎 зависит от размера и формы пустого пространства, оставшегося внутри катушки.

Следовательно, если толщину провода менять пропорционально 𝑥, мы будем получать очень небольшой выигрыш от увеличения внешнего размера катушки после того, как её внешние размеры значительно превысят внутренние.

720. Если не считать недостатком увеличение сопротивления (как в случае, когда внешнее сопротивление значительно превышает внутреннее сопротивление гальванометра или когда нашей единственной задачей является получение поля значительной силы), мы можем сделать величины 𝑦 и 𝑌 постоянными. Тогда мы имеем

𝐺

=

𝑁

𝑌²

(𝑥-𝑎)

,

𝑅

=

1

3

𝑁

𝑌²𝑦²

ρ

π

(𝑥³-𝑎³)

,

где 𝑎 – постоянная, определяемая незаполненной областью внутри катушки. В этом случае величина 𝐺 монотонно растёт с увеличением размеров катушки, и на величину 𝐺 нет никаких ограничений, за исключением тех, которые связаны с затратами труда и со стоимостью изготовления катушки.

О подвешенных катушках

721. В обычных гальванометрах неподвижная катушка воздействует на подвешенный магнит. Однако если достаточно аккуратно подвесить катушку, то мы можем определять действие магнита или другой катушки на подвешенную катушку по её отклонению от положения равновесия.

Мы не можем, однако, ввести в катушку электрический ток, если нет металлического соединения между клеммами батареи и концами провода катушки. Такое соединение можно осуществить двумя различными способами – при помощи бифилярного подвеса и с помощью двух противоположно направленных проводов.

Бифилярный подвес уже был описан в п. 459 применительно к магнитам. На рис. 54 показано устройство верхней части этого подвеса. В случае катушек обе нити уже не шёлковые, а металлические, и поскольку кручение металлического провода, который в состоянии удерживать катушку и пропускать электрический ток, существенно превышает кручение шёлковой нити, то это следует специально учитывать. В приборах, сконструированных Вебером, этот подвес был доведён до большой степени совершенства.

При другом способе подвешивание осуществляется при помощи одного провода, который присоединяется к одному из концов катушки. Второй конец катушки присоединяется к другому проводу, который вдоль той же вертикальной линии, что и первый провод, опущен вниз в чашку со ртутью, как показано на рис. 56 п. 726. В некоторых случаях удобно прикреплять концы двух проводов к каким-либо предметам, с помощью которых провода можно туго натягивать, следя, однако, чтобы при этом линия проводов проходила через центр тяжести катушки. Устройство такого типа можно использовать, когда ось не направлена вертикально, см. рис. 52.

Рис. 52

722. Подвешенную катушку можно использовать в качестве очень чувствительного гальванометра, так как, увеличивая интенсивность магнитной силы, в поле которой она подвешена, можно значительно увеличить силу, вызываемую протекающим по катушке слабым током, без добавочного увеличения массы катушки. Магнитная сила для этой цели может быть создана с помощью постоянных магнитов или электромагнитов, возбуждаемых дополнительным током; применяя арматуру из мягкого железа, можно сильно сконцентрировать поле вблизи подвешенной катушки. Так, в записывающей аппаратуре сэра У. Томсона, рис. 52, катушка подвешивается между противоположными полюсами электромагнитов 𝑁 и 𝑆, а чтобы сконцентрировать линии магнитной силы на вертикальных сторонах катушки, между полюсами магнитов закрепляется кусок мягкого железа 𝐷. Железо, намагничиваясь через индукцию, создаёт в промежутке между ним и двумя магнитами очень мощное поле силы, в котором вертикальные стороны могут свободно перемещаться, так что катушка, даже когда через неё течёт очень слабый ток, находится под действием значительной силы, стремящейся повернуть её вокруг вертикальной оси.

723. Другое применение подвешенной катушки состоит в определении горизонтальной составляющей земного магнетизма путём сравнения с показаниями тангенс-гальванометра.

Катушка подвешивается таким образом, чтобы в устойчивом равновесии её плоскость была параллельна магнитному меридиану. Через катушку пропускается ток γ, отклоняющий её в новое состояние равновесия, в котором плоскость катушки образует угол с магнитным меридианом. Если подвес является бифилярным, то создающий такое отклонение момент пары сил равен 𝐹sin θ, и он должен быть равен величине 𝐻γ𝑔 cos θ, где 𝐹 – горизонтальная составляющая земного магнетизма, γ – ток в катушке, 𝑔 -сумма площадей всех витков катушки. Следовательно,

𝐻γ

=

𝐹

𝑔

tg θ

.

Если 𝐴 – момент инерции катушки относительно оси подвеса, а 𝑇 – полупериод одиночного колебания, то в отсутствии тока 𝐹𝑇²=π²𝐴 и мы получаем

𝐻γ

=

π²𝐴

𝑇²𝑔

tg θ

.

Если через катушку тенгенс-гальванометра проходит тот же самый ток и отклоняет магнит на угол φ, то

γ

𝐻

=

1

𝐺

tg φ

,

где 𝐺 – главная постоянная тангенс-гальванометра, см. п. 710.

Из этих двух уравнений получаем

𝐻

=

π

𝑇

⎛

⎜

⎝

𝐴𝐺 tg θ

𝑔 tg φ

⎞½

⎟

⎠

,

γ

=

π

𝑇

⎛

⎜

⎝

𝐴 tg θ tg φ

𝐺𝑔

⎞½

⎟

⎠

.

Этот метод был дан Ф. Кольраушем¹

¹Pogg. Ann., CXXXVIII, p. 1-10, Aug. (1869).

724. Сэр Уильям Томсон сконструировал единый прибор, с помощью которого все измерения, необходимые для определения 𝐻 и γ, могут быть выполнены одновременно одним и тем же наблюдателем.

Катушка подвешивается так, чтобы в состоянии равновесия её плоскость лежала в плоскости магнитного меридиана и при пропускании через неё тока отклонялась бы от этого положения. В центре катушки подвешивается очень маленький магнит, который под действием тока отклоняется в направлении, противоположном направлению отклонения катушки. Пусть отклонение катушки равно θ, а отклонение магнита φ, тогда изменяемая часть энергии системы равна

-

𝐻γ𝑔

sin θ

–

𝑚γ𝐺

sin(θ-φ)

–

𝐻𝑚

cos φ

–

𝐹

cos φ

.

Дифференцируя по θ и φ, получим соответственно уравнения равновесия катушки и магнита:

-

𝐻γ𝑔

cos θ

–

𝑚γ𝐺

cos(θ-φ)

+

𝐹

sin φ

=

0,

𝑚γ𝐺

cos(θ-φ)

+

𝐻𝑚

sin φ

=

0.

Из этих уравнений, исключая 𝐻 или γ, мы получаем квадратное уравнение, из которого можно найти γ или 𝐻. Если магнитный момент подвешенного магнита 𝑚 очень мал, мы получаем следующие приближённые значения:

𝐻

=

π

𝑇

⎛

⎜

⎝

-𝐴𝐺 sin θ cos(θ-φ)

𝑔 cos θ sin φ

⎞½

⎟

⎠

–

1

2

𝑚𝐺

𝑔

cos(θ-φ)

cos θ

,

γ

=-

π

𝑇

⎛

⎜

⎝

-𝐴 sin θ sin φ

𝐺𝑔 cos θ cos(θ-φ)

⎞½

⎟

⎠

+

1

2

𝑚

𝑔

sin φ

cos θ

.

В этих выражениях 𝐺 и 𝑔 – основные электрические постоянные катушки, 𝐴 – её момент инерции, 𝑇 – полупериод её колебаний, 𝑚 – магнитный момент магнита, 𝐻 – напряжённость горизонтальной магнитной силы, γ – сила тока, θ – отклонение катушки, φ – отклонение магнита.

Поскольку отклонения катушки и магнита противоположны по направлениям, то эти значения 𝐻 и 𝑔 всегда будут действительными.

Электродинамометр Вебера

725. В этом приборе внутри большой неподвижной катушки с помощью двух проводов подвешивается маленькая катушка. Когда по обеим катушкам пропускается ток, подвешенная катушка стремится расположиться параллельно неподвижной. Этому препятствует момент сил, возникающий в бифилярном подвесе; кроме того, катушка находится под действием земного магнетизма.

При обычном использовании прибора плоскости двух катушек расположены примерно под прямым углом друг к другу, так, чтобы взаимодействие токов в них было максимальным; в то же время плоскость подвешенной катушки располагается под прямым углом к магнитному меридиану, так, чтобы действие земного магнетизма было минимальным.

Пусть магнитный азимут плоскости неподвижной катушки равен α, а угол, который составляет ось подвешенной катушки с плоскостью неподвижной катушки, равен θ+β, где β – значение этого угла, когда катушка находится в равновесии и ток по ней не протекает; θ – отклонение, обусловленное этим током. Уравнение равновесия таково:

𝐺𝑔γ₁γ₂

cos(θ+β)

–

𝐹𝑔γ₂

sin(θ+β+α)

–

𝐹

sin θ

=

0,

где γ₁ – ток в неподвижной катушке, γ₂ – ток в подвижной катушке.

Предположим, что прибор отлажен таким образом, что углы α и β очень малы, а величина 𝐹𝑔γ₂ мала по сравнению с 𝐹. В этом случае мы приблизительно имеем

tg θ

=

𝐺𝑔γ₁γ₂ cos β

𝐹

–

𝐹𝑔γ₂ sin(α+β)

𝐹

–

𝐻𝐺𝑔²γ₁γ₂²

𝐹²

–

-

𝐺𝑔²γ₁²γ₂² sin β

𝐹²

.

Если при изменении знаков токов γ₁ и γ₂ получаются следующие отклонения:

θ₁

при

γ₁+

и

γ₂+

,

θ₂

при

γ₁-

и

γ₂-

,

θ₃

при

γ₁+

и

γ₂-

,

θ₄

при

γ₁-

и

γ₂+

,

то мы находим

γ₁γ₂

=

1

4

𝐹

𝐺𝑔 cos β

(

tg θ₁

+

tg θ₂

–

tg θ₃

–

tg θ₄

).

Если по обеим катушкам течёт один и тот же ток, то мы можем положить γ₁γ₂=γ² и получить, таким образом, величину γ.

Когда токи не очень постоянны, то лучше всего прибегать именно к этому методу (его называют методом тангенсов).

Если же токи настолько постоянны, что можно успеть отрегулировать угол крутильной головки инструмента, то мы можем сразу же избавиться от поправок на земной магнетизм, используя метод синусов.

В этом методе угол β регулируется так, чтобы отклонение было равно нулю, т.е. θ=-β.

Если для указания знаков γ₁ и γ₂ использовать при β те же индексы, что и раньше, то

𝐹

sin β₁

=-

𝐹

sin β₃

=-

𝐺𝑔γ₁γ₂

+

𝐻𝑔γ₂

sin α

,

𝐹

sin β₂

=-

𝐹

sin β₄

=-

𝐺𝑔γ₁γ₂

–

𝐻𝑔γ₂

sin α

и

γ₁γ₂

=-

𝐹

4𝐺𝑔

(

sin β₁

+

sin β₂

–

sin β₃

–

sin β₄

).

Этот метод был принят г-ном Латимером Кларком (Clark), когда он использовал прибор, построенный Комитетом по электричеству при Британской Ассоциации (Electrical Committee of the British Association). Мы признательны г-ну Кларку за рисунок электрогальванометра (рис. 53), где применено гельмгольцевское размещение обеих катушек – и подвешенной и неподвижной ². Крутильная головка прибора, при помощи которой регулируется бифилярный подвес, представлена на рис. 54. Равенство натяжений проводов подвеса обеспечивается тем, что они прикреплены к концам шёлковой нити, перекинутой через блок, а расстояние между ними регулируется с помощью двух направляющих роликов, которые можно устанавливать на требуемом расстоянии друг от друга. Подвешенная катушка может перемещаться вертикально – при помощи винта, действующего на блок подвеса, и горизонтально в двух направлениях – своими скользящими частями, показанными внизу на рис. 54. По азимуту она регулируется посредством крутильного винта, поворачивающего крутильную головку вокруг вертикальной оси (см. п. 459). Азимут подвешенной катушки определяется путём наблюдения отражения шкалы в зеркале, которое видно непосредственно под осью подвешенной катушки.

² В реальных приборах провода, через которые ток подводится к катушке и отводится от неё, не разнесены так, как это изображено на рисунке, а расположены как можно ближе друг к другу, чтобы нейтрализовать электромагнитное действие друг друга.

Рис. 53

Рис. 54

Этот прибор, впервые сконструированный Вебером, описан в его работе «Электродинамическое определение массы» (Elektrodynamische Maasbestimmungen). Он предназначался для измерения малых токов, и поэтому в нём и неподвижная, и подвижная катушки состояли из большого количества витков, подвешенная катушка занимала гораздо большую часть объёма внутри неподвижной катушки, нежели в приборе Британской Ассоциации; последний первоначально предполагалось использовать в качестве эталонного прибора, с которым можно было бы сравнивать другие, более чувствительные приборы. Опыты, проведённые Вебером с использованием этого прибора, обеспечили наиболее полное экспериментальное доказательство точности формулы Ампера применительно к замкнутым токам и составили важную часть тех исследований, в которых Вебер поднял на высокий уровень точности численное определение электрических величин.

Веберовский вариант электродинамометра, где одна из катушек подвешена внутри другой и находится под действием пары сил, стремящейся повернуть её вокруг вертикальной оси, является, вероятно, наиболее пригодным для абсолютных измерений. В п. 700 приведён метод вычисления постоянных, характеризующих такое устройство.

726. Если, однако, мы хотим получить при помощи слабого тока значительную электромагнитную силу, то лучше ориентировать подвешенную катушку параллельно неподвижной, предоставив ей возможность перемещаться в направлении неподвижной катушки или от неё.

В токовых весах Джоуля (рис. 55) подвешенная катушка ориентирована горизонтально и может перемещаться в вертикальном направлении; сила взаимодействия между ней и неподвижной катушкой оценивается тем весом, который необходимо добавить к катушке или убрать от неё, для того чтобы привести её в то же самое положение относительно неподвижной катушки, в котором она находилась в отсутствие тока.

Рис. 55

Подвешенную катушку можно также прикрепить к концу горизонтального плеча крутильных весов и можно поместить её между двумя неподвижными катушками, одна из которых притягивает, а другая отталкивает её, как это показано на рис. 56.

Рис. 56

При размещении катушек, описанном в п. 729, сила, действующая на подвешенную катушку в пределах небольшого удаления от положения равновесия, может быть сделана почти однородной.

К другому концу крутильных весов можно прикрепить вторую катушку, также поместив её между двумя неподвижными катушками. Если обе подвешенные катушки одинаковы, но ток в них течёт в противоположных направлениях, то полностью будет исключено влияние земного магнетизма на положение плеча крутильных весов.

727. Если подвешенная катушка имеет форму длинного соленоида и может двигаться параллельно своей оси, входя при этом внутрь большего соленоида, имеющего общую с ней ось, то при одинаковом направлении токов в обоих соленоидах подвешенный соленоид будет втягиваться внутрь неподвижного с силой, которая остаётся приблизительно однородной до тех пор, пока концы этих соленоидов не окажутся близко друг к другу.

728. Чтобы создать однородную продольную силу, действующую на маленькую катушку, помещаемую между двумя другими одинаковыми катушками гораздо больших размеров, мы должны сделать отношение диаметра больших катушек к расстоянию между их плоскостями равным отношению 2 к √3. Если пустить через обе катушки один и тот же ток в противоположных направлениях, то в выражении для ω члены, содержащие нечётные степени 𝑟, исчезают и, поскольку sin²α=4/7, а cos²α=3/7, член, содержащий 𝑟⁴, также исчезает и в соответствии с п. 715 для переменной части со имеем

8

7

√3

√7

π𝑛γ

⎧

⎨

⎩

3

𝑟²

𝑐²

𝑃₂(θ)

–

11

7

𝑟⁶

𝑐⁶

𝑃₆(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

,

что указывает на почти однородную силу, действующую на маленькую подвешенную катушку. Расположение катушек в этом случае такое же, как расположение двух внешних катушек в трёх катушечном гальванометре, описанном в п. 715, см. рис. 50.

729. Если мы хотим подвесить катушку между двумя другими катушками, расположенными так близко к ней, что расстояние между взаимодействующими проводами мало по сравнению с радиусами катушек, то наиболее однородная сила получается, если радиус каждой из внешних катушек превышает радиус средней катушки на 1/√3 расстояния между плоскостями средней и внешней катушек. Это следует из выражения для взаимной индукции между двумя круговыми токами, полученного в п. 705.

ГЛАВА XVI

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

730. Очень многие измерения электрических величин зависят от наблюдений движения колеблющегося тела; поэтому мы уделим внимание природе этого движения, а также наилучшим методам его наблюдения.

Малые колебания тела около положения равновесия обычно аналогичны колебаниям точки, на которую действует сила, меняющаяся пропорционально расстоянию от некоторой фиксированной точки. В наших опытах в случае колеблющихся тел имеется также сопротивление движению, обусловленное рядом причин, таких как вязкость воздуха и вязкость нити подвеса. Во многих электрических приборах имеется другой источник сопротивления, а именно обратное воздействие токов, индуцируемых в проводящих контурах, расположенных вблизи колеблющихся магнитов. Эти токи индуцируются движением магнита и их действие на магнит в соответствии с правилом Ленца состоит в постоянном противодействии его движению. Во многих случаях это составляет основную часть сопротивления.

Иногда около магнита с явно выраженной целью уменьшения или полного прекращения его колебаний помещается металлический контур, называемый Демпфером. Поэтому о сопротивлении такого рода мы будем говорить как о Демпфирующем.

В случае медленных колебаний, таких, которые легко наблюдать, полное сопротивление, какими бы причинами оно ни было обусловлено, оказывается прямо пропорциональным скорости. И только когда скорость гораздо больше, чем при обычных колебаниях в электромагнитных приборах, появляются свидетельства в пользу того, что сопротивление пропорционально квадрату скорости.

Таким образом, мы должны исследовать движение тела под действием притяжения, меняющегося пропорционально расстоянию, и сопротивления, меняющегося пропорционально скорости.

731. Нижеследующее применение принципа Годографа, данное профессором Тэтом ¹ позволяет нам очень простым способом исследовать движение такого рода при помощи равноугловой спирали.

¹Proc. R. S. Edin., Dec. 16, 1867.

Пусть требуется найти ускорение частицы, которая описывает логарифмическую или равноугловую спираль, двигаясь с постоянной угловой скоростью ω вокруг полюса.

Эта спираль обладает тем свойством, что касательная 𝑃𝑇 образует постоянный угол α с радиус-вектором 𝑃𝑆 [рис. 57].

Рис. 57

Если скорость в точке 𝑃 равна 𝑣, то

𝑣⋅sin α

=

ω⋅𝑆𝑃

Следовательно, если мы проведём отрезок 𝑆𝑃', параллельный 𝑃𝑇 и равный 𝑆𝑃, то скорость в точке 𝑃 и по величине, и по направлению будет задана выражением

𝑣

=

ω

sin α

𝑆𝑃'

Таким образом, точка 𝑃' будет точкой на годографе. Но 𝑆𝑃' есть отрезок 𝑆𝑃, повёрнутый на постоянный угол π-α, так что годограф, описываемый точкой 𝑃', совпадает с исходной спиралью, повёрнутой вокруг полюса на угол π-α.

Ускорение точки 𝑃 по величине и по направлению представлено скоростью точки 𝑃', умноженной на тот же самый фактор ω/sin α.

Следовательно, если мы произведём над отрезком 𝑆𝑃' ту же самую операцию поворота на угол π-α в новое положение 𝑆𝑃'', то ускорение точки 𝑃 по величине и направлению будет равно

ω²

sin²α

𝑆𝑃''

,

где 𝑆𝑃'' есть отрезок 𝑆𝑃, повёрнутый на угол 2π-2α.

Проведя отрезок 𝑃𝐹, равный и параллельный 𝑆𝑃'', мы можем ускорение

ω²

sin²α

𝑃𝐹

,

разложить на

ω²

sin²α

𝑃𝑆

и

ω²

sin²α

𝑃𝐾

.

Первая из этих составляющих есть ускорение, направленное к центру 𝑆 и пропорциональное расстоянию.

Вторая составляющая направлена против скорости, и, поскольку

𝑃𝐾

=

2cos α

𝑃'𝑆

=-

sin α cos α

ω

𝑣

,

это ускорение можно записать так:

-2

ω cos α

sin α

𝑣

.

Ускорение частицы состоит, таким образом, из двух частей, первая из которых обусловлена силой притяжения μ𝑟, направленной к 𝑆 и пропорциональной расстоянию, а вторая, равная -2𝑘𝑣, является сопротивлением движению, пропорциональным скорости, где

μ

=

ω

sin²α

,

𝑘

=

ω

cos α

sin α

.

Если мы положим в этих выражениях α=π/2, орбита становится круговой, и мы имеем μ₀=ω₀², 𝑘=0.

Следовательно, если сила на единичном расстоянии остаётся той же самой, то μ=μ₀ и ω=ω₀sin α, т.е. угловая скорость на различных спиралях при одном и том же законе притяжения пропорциональна синусу угла спирали.

732. Если мы рассмотрим теперь движение точки, являющейся проекцией движущейся точки 𝑃 на горизонтальную линию 𝑋𝑌, то увидим, что её расстояние от 𝑆 и её скорость являются горизонтальными составляющими соответствующих величин для 𝑃. Следовательно, ускорение этой точки также состоит из притяжения, направленного к 𝑆 и равного расстоянию от 𝑆, взятому μ раз, и торможения, равного скорости, умноженной на 2𝑘.

Мы имеем, таким образом, завершённую конструкцию для описания прямолинейного движения точки, происходящего под действием притяжения, пропорционального расстоянию от некоторой фиксированной точки, и сопротивления, пропорционального скорости. Движение такой точки является горизонтальной проекцией движения другой точки, которая движется с постоянной угловой скоростью вдоль логарифмической спирали.

733. Уравнение спирали 𝑟=𝐶𝑒^{-φ ctg α}.

Чтобы определить горизонтальное движение, положим φ=ω𝑡, 𝑥=𝑎+𝑟sin φ, где 𝑎 – значение 𝑥 для точки равновесия.

Если мы проведём отрезок 𝐵𝑆𝐷, образующий с вертикалью угол α, то касательные 𝐵𝑋, 𝐷𝑌, 𝐺𝑍, … будут вертикальными, а точки 𝑋, 𝑌, 𝑍, … окажутся крайними точками последовательных осцилляций.

734. При наблюдении колеблющихся тел отмечаются:

(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.

(2). Моменты прохождения определённого деления шкалы в положительном или отрицательном направлении.

(3). Показания шкалы в определённые моменты времени. Подобного рода наблюдения проводятся редко, лишь в случае колебаний с большим периодом ².

² См. Gauss and W. Weber, Resultate des magnetischen Vereins, 1836. Chap. II, p. 34-50.

Мы должны определить следующие величины:

(1). Показание шкалы в положении равновесия.

(2) Логарифмический декремент колебаний.

(3). Время одного колебания.