Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 14 (всего у книги 34 страниц)
Силы
557. Распоряжаясь нужным образом движением переменных, можно осуществить любое движение системы, совместимое с характером связей. Для того чтобы произвести это движение перемещением изменяемых частей системы, к ним должны быть приложены силы.
Силу, которую следует приложить к произвольной переменной 𝑞𝑟, мы обозначим через 𝐹𝑟. Система сил (𝐹) механически эквивалентна (благодаря наличию связей) той произвольной системе сил, которая в действительности производит движение.
Импульсы
558. Когда тело перемещается, сохраняя неизменной свою конфигурацию по отношению к действующей на него силе (как, например, в случае силы, действующей на одиночную частицу вдоль линии её движения), то движущая сила измеряется скоростью увеличения импульса. Если 𝐹 есть движущая сила, а 𝑝 -импульс, то 𝐹=𝑑𝑝/𝑑𝑡, откуда 𝑝=∫𝐹𝑑𝑡.
Интеграл от силы по времени называется Импульсом силы, поэтому мы можем утверждать, что импульс (количество движения) тела равен импульсу силы, который переводит это тело из состояния покоя в данное состояние движения.
В случае связанной системы, находящейся в движении, её конфигурация непрерывно меняется, причём быстрота этого изменения зависит от скоростей (𝑞̇), и мы не можем уже предполагать, что импульс системы равен интегралу по времени от действующей на него силы.
Но приращение любой переменной δ𝑞 не может превышать 𝑞̇'δ𝑡, где δ𝑡 – время, за которое происходит приращение, а 𝑞̇' – наибольшее значение скорости за это время. Очевидно, что для системы, движущейся из состояния покоя под действием сил одного направления, максимальной является конечная скорость.
Если конечная скорость и конфигурация системы заданы, мы можем представлять себе, что скорость сообщается системе за очень малое время δ𝑡 и что начальная конфигурация отличается от конечной на величины δ𝑞1,δ𝑞2,…, которые соответственно меньше величин 𝑞̇1δ𝑡,𝑞̇2δ𝑡,….
Чем меньшим предполагается приращение времени δ𝑡, тем большими должны быть приложенные силы, но интеграл по времени от каждой силы, или импульс каждой силы, останется конечным. Предельное значение импульса силы при уменьшении интервала времени до нуля определяется как мгновенный импульс силы, а импульс системы 𝑝, соответствующий любой переменной 𝑞, определяется как относящийся к той же самой переменной импульс силы, при котором система мгновенно переводится из состояния покоя в заданное состояние движения.
Такой подход, согласно которому импульсы системы могут создаваться в результате действия на покоящуюся систему мгновенных импульсов сил, вводится лишь как способ определения величины импульсов, ибо импульсы системы зависят только от мгновенного состояния её движения, но не от процесса получения этого состояния.
В связанной системе импульс, соответствующий любой переменной, является в общем случае линейной функцией скоростей всех переменных вместо того, чтобы быть величиной, пропорциональной скорости, как это имеет место в динамике одной частицы.
Импульсы силы, необходимые для мгновенного изменения скоростей системы от 𝑞̇1,𝑞̇2,… до 𝑞̇1',𝑞̇2',…, очевидно, равны изменениям импульсов, относящихся к различным переменным 𝑝1'-𝑝1, 𝑝2'-𝑝2.
Работа, совершаемая малым импульсом силы
559. Работа, совершаемая силой 𝐹1 за время действия импульса силы, равна пространственному интегралу от силы, или
𝑊
=
∫
𝐹
1
𝑑𝑞
1
, =
∫
𝐹
1
𝑞̇
1
𝑑𝑡
.
Если 𝑞̇1' -наибольшее, а 𝑞̇1'' -наименьшее значение скорости 𝑞̇1 за время действия силы, то работа 𝑊 должна быть меньшей, чем 𝑞̇1∫𝐹𝑑𝑡, или 𝑞̇1'(𝑝1'-𝑝1), и большей, чем 𝑞̇1''∫𝐹𝑑𝑡, или 𝑞̇1''(𝑝1'-𝑝1).
Если мы теперь предположим, что импульс силы ∫𝐹𝑑𝑡 будет беспредельно уменьшаться, то величины 𝑞̇1' и 𝑞̇1'' будут сближаться и в конечном счёте совпадут с величиной 𝑞̇1; значит, мы можем написать 𝑝1'-𝑝1=δ𝑝1, так что совершенная работа в пределе будет равна δ𝑊1=𝑞̇1δ𝑝1, или работа, совершаемая очень малым импульсом силы, в пределе равна произведению импульса силы на скорость.
Приращение кинетической энергии
560. Когда на приведение в движение консервативной системы затрачивается некоторая работа, то системе сообщается энергия, в результате у неё появляется способность совершать равное количество работы на преодоление сопротивлений при переходе системы в состояние покоя.
Энергия, которой обладает система благодаря своему движению, называется кинетической энергией; эта энергия сообщается системе в форме работы, совершаемой силами, приводящими её в движение.
Если 𝑇 – кинетическая энергия системы, и она за счёт действия бесконечно малого импульса сил с компонентами δ𝑝1,δ𝑝2,… становится равной 𝑇+δ𝑇, то приращение δ𝑇 должно быть суммой количества работ, совершаемых составляющими импульса силы, или в формульном представлении
δ𝑇
=
𝑞̇
1
δ𝑝
1
+
𝑞̇
2
δ𝑝
2
+…,
=
∑
(𝑞̇δ𝑝)
.
(1)
Мгновенное состояние системы полностью определено, если заданы её переменные и импульсы. Следовательно, кинетическая энергия, зависящая от мгновенного состояния системы, может быть выражена через переменные (𝑞) и импульсы (𝑝). Этот способ представления 𝑇 был введён Гамильтоном. Когда 𝑇 выражена таким образом, мы будем отличать это при помощи индекса 𝑝, т.е. 𝑇𝑝.
Полная вариация 𝑇𝑝 равна
δ𝑇
𝑝
=
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
δ𝑝
⎞
⎟
⎠
+
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
δ𝑞
⎞
⎟
⎠
.
(2)
Последний член может быть записан в виде
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
𝑞̇
δ𝑡
⎞
⎟
⎠
,
он уменьшается вместе с δ𝑡 и в пределе, когда импульс силы становится мгновенным, исчезает.
Следовательно, приравнивая в уравнениях (1) и (2) коэффициенты перед δ𝑝, получаем
𝑞̇
=
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
,
(3)
или, скорость, соответствующая переменной 𝑞 равна частной производной от 𝑇𝑝 по соответствующему импульсу 𝑝.
Мы пришли к этому результату, рассматривая импульсные силы и тем самым избежав рассмотрения изменения конфигурации системы за время их действия. Но мгновенное состояние системы оказывается одним и тем же во всех отношениях независимо от того, была ли система приведена в данное состояние движения из состояния покоя путём приложения к ней короткодействующих импульсных сил или же система пришла в это состояние каким-то другим способом, хотя бы и постепенным.
Другими словами, и переменные, и соответствующие скорости, и импульсы зависят от фактического состояния движения системы в данный момент, а не от его предыстории.
Следовательно, уравнение (3) одинаково справедливо, предполагаем ли мы, что состояние движения системы обусловлено импульсными силами или силами, действующими каким бы то ни было другим способом.
Мы можем поэтому устранить из рассмотрения импульсные силы вместе со всеми ограничениями, налагаемыми на продолжительность их действия и на изменения конфигурации системы в течение их действия.
Уравнения движения Гамильтона
561. Мы показали уже, что
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
=
𝑞̇
,
(4)
Пусть система движется произвольным образом, подчиняясь наложенным на неё связям, тогда вариации 𝑝 и 𝑞 будут равны
δ𝑝
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
δ𝑡
,
δ𝑞
=
𝑞̇
δ𝑡
.
(5)
Отсюда
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
δ𝑝
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
𝑞̇
δ𝑡
, =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
δ𝑞
,
(6)
а полная вариация 𝑇𝑝 равна
δ𝑇
𝑝
=
∑
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝
δ𝑝
+
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
δ𝑞
⎞
⎟
⎠
,
=
∑
⎛
⎜
⎝
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞
⎫
⎪
⎭
δ𝑞
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Но приращение кинетической энергии появляется за счёт работы, совершаемой приложенными силами, т.е.
δ𝑇
𝑝
=
(
∑
δ𝑞
).
(8)
Вариации δ𝑞, входящие в эти два выражения, независимы, и мы вправе приравнять в (7) и (8) коэффициенты при них. В результате получаем
𝐹
𝑟
=
𝑑𝑝
𝑟
+
𝑑𝑇
𝑝
,
𝑑𝑡
𝑑𝑞
𝑟
(9)
где импульс 𝑝𝑟 и сила 𝐹𝑟, относятся к переменной 𝑞𝑟.
Уравнений такого вида существует столько же, сколько и переменных. Эти уравнения получены Гамильтоном. Они показывают, что сила, соответствующая какой-либо переменной, представляется в виде суммы двух частей. Первая есть скорость увеличения во времени импульса, относящегося к данной переменной. Вторая часть есть скорость увеличения кинетической энергии, приходящейся на единицу приращения данной переменной при условии, что другие переменные, а также все импульсы остаются постоянными.
Кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости
562. Пусть 𝑝1,𝑝2,… – импульсы, а 𝑞̇1,𝑞̇2,… – скорости в данный момент времени, и пусть p1,p2,…, q̇1,q̇2,… – другая система импульсов и скоростей, таких, что
p
1
=𝑛𝑝
1
,
q̇
1
=𝑛𝑞̇
1
,…
(10)
Ясно, что наборы p, q̇ будут совместны друг с другом, если совместны наборы 𝑝, 𝑞̇.
Пусть теперь значение 𝑛 изменяется на δ𝑛. Работа, совершаемая силой 𝐹1 равна
𝐹
1
δq
1
=
q̇
1
δp
1
=
𝑞̇
1
𝑝
1
𝑛δ𝑛
.
(11)
Если 𝑛 увеличивается от 0 до 1, то система переводится из состояния покоя в состояние движения (𝑞̇,𝑝) и вся работа, затраченная на создание этого движения, равна
(
𝑞̇
1
𝑝
1
+
𝑞̇
2
𝑝
2
+…)
1
∫
0
𝑛𝑑𝑛
.
(12)
Но
1
∫
0
𝑛𝑑𝑛
=
1
2
,
а работа, затрачиваемая на создание движения, эквивалентна кинетической энергии. Отсюда
𝑇
𝑝𝑞̇
=
½(
𝑝
1
𝑞̇
1
+
𝑝
2
𝑞̇
2
+…)
,
(13)
где через 𝑇𝑝𝑞̇ обозначена кинетическая энергия, выраженная через импульсы и скорости. Переменные 𝑞̇1,𝑞̇2,… в это выражение не входят.
Таким образом, кинетическая энергия равна полусумме произведений импульсов на соответствующие скорости.
Выраженную в таком виде кинетическую энергию мы будем обозначать символом 𝑇𝑝𝑞̇ Она является функцией только импульсов и скоростей и не включает в себя сами переменные.
563. Существует и третий метод представления кинетической энергии, который обычно рассматривается как основной. Решая уравнения (3), мы можем выразить импульсы через скорости, а затем, вводя эти величины в (13), получим выражение для 𝑇, содержащее только скорости и переменные. Когда энергия 𝑇 выражена в этом виде, мы будем отмечать её символом 𝑇𝑞̇. Именно в таком представлении кинетическая энергия фигурирует в уравнениях Лагранжа.
564. Ясно, что поскольку 𝑇𝑝, 𝑇𝑞̇ и 𝑇𝑝𝑞̇ – представляют собой три различных выражения для одной и той же величины, то
𝑇
𝑝
+
𝑇
𝑞̇
–
2𝑇
𝑝𝑞̇
=0
, или
𝑇
𝑝
+
𝑇
𝑞̇
–
𝑝
1
𝑞̇
1
–
𝑝
2
𝑞̇
2
–…
=0.
(14)
Отсюда, если варьируются все величины 𝑝, 𝑞, и 𝑞̇, то
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
–
𝑞̇
1
⎞
⎟
⎠
δ𝑝
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝2
–
𝑞̇
2
⎞
⎟
⎠
δ𝑝
1
+…
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
–
𝑝
1
⎞
⎟
⎠
δ𝑞̇
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇2
–
𝑝
2
⎞
⎟
⎠
δ𝑞̇
2
+…
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
+
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞1
⎞
⎟
⎠
δ𝑞
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝2
+
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞2
⎞
⎟
⎠
δ𝑞
2
+…
=0.
(15)
Вариации δ𝑝 не являются независимыми от вариаций δ𝑞 и δ𝑞̇, так что мы не можем сразу утверждать, что коэффициент при каждой вариации в этом уравнении равен нулю. Но из уравнений (3) мы знаем, что
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
–
𝑞̇
1
=0,
…,
(16)
и поэтому члены, содержащие вариации δ𝑝, исчезают сами по себе.
Теперь уже все оставшиеся вариации δ𝑞 и δ𝑞̇ независимы, так что, приравнивая нулю коэффициенты при δ𝑞̇1 и т.д., мы находим
𝑝
1
=
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
,
𝑝
2
=
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇2
,
…,
(17)
или составляющие импульса равны производным от 𝑇𝑞̇ по соответствующим скоростям.
Далее, приравнивая нулю коэффициенты при δ𝑞1,…,
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑞1
+
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞1
=
0,
(18)
или производная от кинетической энергии, выраженная как функция скоростей, равна по величине и противоположна по знаку производной от энергии 𝑇, выраженной как функция импульсов.
В силу уравнения (18) мы можем записать уравнение движения (9) так:
𝐹
1
=
𝑑𝑝
1
–
𝑑𝑇
𝑞̇
,
𝑑𝑡
𝑑𝑞
1
(19)
или
𝐹
1
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
–
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞1
(20)
Уравнения движения в такой форме были даны Лагранжем.
565. В предыдущих исследованиях мы избегали рассмотрения вида функции, выражающей кинетическую энергию через скорости или импульсы, и приняли для неё единственное явное выражение
𝑇
𝑝𝑞̇
=
=½(
𝑝
1
𝑞̇
1
+
𝑝
2
𝑞̇
2
+…)
,
(21)
в котором кинетическая энергия выражена как полусумма произведений каждого импульса на соответствующую ему скорость.
Мы можем выразить скорости через частные производные от 𝑇𝑝 по импульсам, как и в уравнении (3):
𝑇
𝑝
=
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑝
1
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝1
+
𝑝
2
𝑑𝑇𝑝
𝑑𝑝2
+…
⎞
⎟
⎠
.
(22)
Это показывает, что 𝑇𝑝 является однородной функцией вторых степеней импульсов 𝑝1,𝑝2,….
Мы можем также выразить импульсы через 𝑇𝑞̇ и найдём
𝑇
𝑞̇
=
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑞̇
1
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1
+
𝑞̇
2
𝑑𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇2
+…
⎞
⎟
⎠
,
(23)
откуда видно, что 𝑇𝑞̇ есть однородная функция вторых степеней скоростей 𝑞̇1,𝑞̇2,….
Если мы запишем
𝑃
11
вместо
𝑑²𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1²
,
𝑃
12
вместо
𝑑²𝑇𝑞̇
𝑑𝑞̇1𝑑𝑞̇2
, …
и
𝑄
11
вместо
𝑑²𝑇𝑝
𝑑𝑝1²
,
𝑄
12
вместо
𝑑²𝑇𝑞̇
𝑑𝑝1𝑑𝑝2
, … ,
то, поскольку 𝑇𝑞̇ и 𝑇𝑝 являются функциями второй степени 𝑞̇ и 𝑝 соответственно, 𝑄 и 𝑃 должны быть функциями только переменных 𝑞 и не зависеть от скоростей и импульсов. Таким образом, мы получаем выражения для 𝑇:
2𝑇
𝑞̇
=
𝑃
11
𝑞̇
1
²
+
𝑃
12
𝑞̇
1
𝑞̇
2
+…,
(24)
2𝑇
𝑝
=
𝑄
11
𝑝
1
²
+
𝑄
12
𝑝
1
𝑝
2
+….
(25)
Импульсы выражаются через скорости с помощью линейных уравнений
𝑝
1
=
𝑃
11
𝑞̇
1
+
𝑃
12
𝑞̇
2
+…,
(26)
и скорости выражаются через импульсы с помощью линейных уравнений
𝑞̇
1
=
𝑄
11
𝑝
1
+
𝑄
12
𝑝
2
+….
(27)
В трактатах по динамике твёрдого тела коэффициенты, соответствующие величинам 𝑃11, т.е. имеющие одинаковые индексы, называются моментами инерции, а коэффициенты, соответствующие величинам 𝑃12, в которых индексы различны, называются произведениями инерции. Мы можем распространить эти названия и на более общую задачу, которая в настоящее время стоит перед нами и в которой эти величины, в отличие от случая твёрдого тела, не являются абсолютными константами, а зависят от переменных 𝑞1,𝑞2,….
Подобным же образом мы можем назвать коэффициенты типа 𝑄11 моментами подвижности, а коэффициенты типа 𝑄12 – произведениями подвижности. Однако нам не часто представится возможность говорить об этих самых коэффициентах подвижности.
566. Кинетическая энергия системы является величиной, существенно положительной или равной нулю. Отсюда следует, что коэффициенты должны быть такими, чтобы никакие вещественные значения переменных величин не могли бы сделать энергию отрицательной, независимо от того, выражена ли она через скорости или через импульсы.
Таким образом, существует целый набор необходимых условий, которым должны удовлетворять значения коэффициентов 𝑃. Эти условия следующие.
Все величины 𝑃11,𝑃12,… должны быть положительны.
Все (𝑛-1) определителей, которые последовательно получаются из детерминанта
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑃
11
,
𝑃
12
,
𝑃
13
,
…
𝑃
1𝑛
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑃
21
,
𝑃
22
,
𝑃
23
,
…
𝑃
2𝑛
𝑃
31
,
𝑃
32
,
𝑃
33
,
…
𝑃
3𝑛
…
…
…
…
…
𝑃
𝑛1
,
𝑃
𝑛2
,
𝑃
𝑛3
,
…
𝑃
3𝑛
путём убирания членов, содержащих индекс 1, затем членов, содержащих индекс 1 или 2, и т.д., должны быть положительны.
Число условий для 𝑛 переменных равно, таким образом, 2𝑛-1.
Коэффициенты 𝑄 подчиняются условиям того же вида.
567. В этой сводке основных принципов динамики системы со связями мы оставили вне поля зрения сам механизм, при помощи которого связаны различные части системы. Мы даже не выписали систему уравнений, показывающих зависимость движения какой-либо части системы от изменения переменных, и ограничили наше внимание лишь рассмотрением переменных, их скоростей, импульсов, а также сил, действующих на описываемые этими переменными части системы. Единственные принятые нами допущения состоят в том, что система имеет только такие связи, в уравнения для которых время не входит явно, и что к системе применим принцип сохранения энергии.
Такое изложение методов чистой динамики не является излишним. Лагранж и большинство его последователей, которым мы обязаны этим методам, как правило, ограничивались лишь их демонстрацией, и, чтобы полностью сосредоточиться на рассматриваемых ими символах, они попытались исключить все понятия, кроме понятия чистой величины; они не только обходились без графических представлений, но избавились даже от понятий скорости, импульса и энергии, заменив их раз и навсегда просто символами в исходных уравнениях.
Развитие идей и методов чистой математики позволило, создав математическую теорию динамики, пролить свет на многие истины, открытие которых было бы невозможно без математической подготовки. И если нам предстоит построение динамической теории для других областей науки, мы должны проникнуться в равной мере и математическими методами, и этими динамическими истинами.
Образуя понятия и составляя терминологию в какой-либо науке, которая, подобно науке об электричестве, имеет дело с силами и их проявлениями, мы непременно должны руководствоваться идеями, присущими фундаментальной науке динамике. И тогда на начальной стадии развития этой науки нам удастся избежать несоответствия с уже установленными утверждениями, а после обретения более ясного понимания принятый нами язык может сослужить нам пользу, а не быть помехой.
ГЛАВА VI
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА
568. В п. 552 мы показали, что существующий в контуре электрический ток обладает способностью совершать определённое количество механической работы независимо от поддерживающей его внешней электродвижущей силы. Но способность совершать работу в любом её проявлении есть не что иное, как энергия, а все виды энергии по сути одинаковы, хотя и могут различаться по форме. Энергия электрического тока относится либо к той энергии, которая состоит в действительном движении материи, либо к той, которая состоит в способности вызывать движение, обусловленной наличием сил, действующих между телами, находящимися в определённых положениях относительно друг друга.
Энергия первого типа, т.е. энергия движения, называется кинетической; однажды понятая, она представляется таким фундаментальным фактом природы, что мы вряд ли можем воспринять возможность сведения её к чему-либо другому. Второй вид энергии, зависящий от положения, называется потенциальной энергией и обусловлен действием того, что мы обычно называем силами, иначе говоря, тенденциями к изменению относительного положения. Хотя мы и можем принять существование этих сил как некий установленный факт, тем не менее мы всегда чувствуем, что любое объяснение того механизма, который приводит тела в движение, образует заметный вклад в наши знания.
569. Электрический ток нельзя понимать иначе, как явление кинетическое. Даже Фарадей, который постоянно пытался избавить свой интеллект от влияния тех ассоциаций, которые способны вызвать слова «электрический ток» и «электрическая жидкость», говорит об электрическом токе, как о «чем-то распространяющемся, а не просто как о состоянии» 1.
1Exp. Res., 283.
Эффекты, вызываемые током, такие, как электролиз и перенос электризации от одного тела к другому, относятся к действиям распространяющимся, т.е. к действиям, требующим времени для их осуществления, и, следовательно, являющимися по природе своей движениями.
Что касается скорости тока, то мы показали, что нам о ней ничего неизвестно; эта скорость может составлять и десятые доли дюйма в час, и сотни тысяч миль в секунду 2. В любом случае мы настолько далеки от знания её абсолютного значения, что даже не знаем, является ли направление, называемое нами положительным, истинным направлением движения или противоположным ему.
2Exp. Res., 1648.
Однако здесь мы лишь предполагаем, что в электрическом токе заключено какого-то рода движение. Тому, что является причиной электрических токов, дано название Электродвижущей Силы. Оно применяется уже давно и с большой пользой, и ни разу не вызвало какой-либо несогласованности в научном языке. Электродвижущую силу всегда следует понимать как силу, действующую только на электричество, а не на тела, в которых оно существует. Её никогда нельзя путать с обычной механической силой, которая действует только на тела и не действует на электричество внутри них. Если мы когда-либо установим формальную связь между электричеством и обычной материей, то, по-видимому, узнаем также и связь между электродвижущей и обычной силами.
570. Когда на тело действует обычная сила и тело подчиняется её действию, то работа, совершаемая силой, измеряется произведением силы на величину смещения тела. Так, при пропускании воды через трубу работа, совершаемая в произвольном сечении, измеряется произведением давления жидкости в этом сечении на количество воды, проходящей через сечение.
Аналогично работа, совершаемая электродвижущей силой, измеряется произведением электродвижущей силы на количество электричества, которое проходит через сечение проводника под действием электродвижущей силы.
Работа, совершаемая электродвижущей силой, является по своей природе точно такой же, как и работа, совершаемая обычной силой; обе они измеряются одними и теми же стандартами, или единицами.
Часть работы, совершаемой электродвижущей силой, действующей на проводящий контур, расходуется на преодоление сопротивления контура и тем самым превращается в тепло. Другая часть работы расходуется на электромагнитные явления, изученные Ампером, при которых проводники приводятся в движение электромагнитными силами. Остальная часть работы тратится на увеличение кинетической энергии тока; эффекты, связанные с этой частью действия, проявляются в явлениях индукции токов, наблюдавшихся Фарадеем.
Таким образом, наши знания об электрических токах достаточны для того, чтобы распознать в системе материальных проводников, несущих токи, динамическую систему, являющуюся резервуаром энергии, одна часть которой может быть кинетической, а другая – потенциальной.
Природа связей отдельных частей этой системы между собой нам неизвестна, однако, поскольку в нашем распоряжении имеются динамические методы исследования, не требующие знания устройства системы, мы и применим их к этому случаю.
Вначале мы изучим те следствия, к которым приводит предположение о наиболее общем виде функции, выражающей кинетическую энергию системы.
571. Пусть система состоит из проводящих контуров, форма и положение которых определяются значениями переменных 𝑥1,𝑥2,…; их число равно числу степеней свободы системы.
Если бы вся кинетическая энергия системы была обусловлена движением этих проводников, она выражалась бы формулой
𝑇
=
1
2
(𝑥
1
𝑥
1
)
𝑥̇
1
²
+…+
(𝑥
1
𝑥
2
)
𝑥̇
1
𝑥̇
2
+…,
где символы (𝑥1𝑥1),… обозначают величины, которые мы назвали моментами инерции, а (𝑥1𝑥2),… обозначают произведения инерции.
Если 𝑋' – приложенная сила (стремящаяся увеличить координату 𝑥), необходимая для осуществления истинного движения, то, согласно уравнению Лагранжа,
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑇
𝑑𝑥̇
–
𝑑𝑇
𝑑𝑥
=
𝑋'
.
Когда 𝑇 обозначает энергию, обусловленную только видимым движением, мы будем отмечать её нижним индексом 𝑚, т.е. как 𝑇𝑚.
Но в системе проводников, несущих электрические токи, часть кинетической энергии обусловлена существованием этих токов. Пусть движение электричества, а также всего того, чьим движением оно управляет, определяется другим набором координат 𝑦1,𝑦2,…; тогда 𝑇 будет однородной функцией квадратов и произведений всех скоростей двух наборов координат. Мы, таким образом, можем разделить 𝑇 на три части, в первой из которых 𝑇𝑚 встречаются только скорости координат 𝑥, во второй 𝑇𝑒 – только скорости координат 𝑦, а в третьей 𝑇𝑚𝑒 каждый член содержит произведение скоростей двух координат, одной из которых является 𝑥, а второй – 𝑦.
Таким образом, мы имеем
𝑇
=
𝑇
𝑚
+
𝑇
𝑒
+
𝑇
𝑚𝑒
,
где
𝑇
𝑚
=
1
2
(𝑥
1
𝑥
1
)
𝑥̇
1
²
+…+
(𝑥
1
𝑥
2
)
𝑥̇
1
𝑥̇
2
+…,
𝑇
𝑒
=
1
2
(𝑦
1
𝑦
1
)
𝑦̇
1
²
+…+
(𝑦
1
𝑦
2
)
𝑦̇
1
𝑦̇
2
+…,
𝑇
𝑚𝑒
=
(𝑥
1
𝑦
1
)
𝑥̇
1
𝑦̇
1
+….
572. В общей динамической теории коэффициенты перед каждым членом могут быть функциями всех координат, как 𝑥, так и 𝑦. Однако в случае электрических токов легко увидеть, что координаты класса 𝑦 не входят в коэффициенты.
Действительно, если все электрические токи поддерживаются постоянными, а проводники покоятся, общее состояние поля остаётся неизменным. Но в этом случае координаты 𝑦 переменны, хотя скорости 𝑦̇ постоянны. Следовательно, координаты 𝑦 не могут входить в выражение для 𝑇 или в другие выражения, относящиеся к чему-либо реальному.
Кроме того, согласно уравнению непрерывности, если проводники по своему характеру являются линейными контурами, для выражения силы тока в каждом из них требуется только одна переменная. Пусть скорости 𝑦̇1,𝑦̇2,…, представляют собой силы токов в нескольких проводниках.
Всё это оставалось бы верным, и если вместо электрических токов мы имели бы потоки несжимаемой жидкости, текущей в гибких трубах. В этом случае скорости потоков вошли бы в выражение для 𝑇, но коэффициенты зависели бы только от переменных 𝑥, определяющих форму и положение труб.
В случае жидкости её движение в одной трубе не влияет непосредственно на движение любой другой трубы или жидкости в ней. Следовательно, в значение 𝑆𝑒 входят только квадраты скоростей 𝑦̇, но не их произведения, а в 𝑆𝑚𝑒 любая скорость 𝑦̇ связана лишь с теми скоростями класса 𝑥̇, которые принадлежат её собственной трубе.
Мы знаем, что в случае электрических токов это ограничение не имеет места, поскольку токи в различных контурах действуют друг на друга. Следовательно, мы должны допустить наличие членов, включающих произведения вида 𝑦̇1𝑦̇2, и это предполагает существование чего-то находящегося в движении, которое зависит от силы обоих электрических токов 𝑦̇1 и 𝑦̇2 эта движущаяся материя, чем бы она ни оказалась, не находится во внутренних областях проводников, несущих оба тока, а, вероятно, распределена во всём окружающем их пространстве.
573. Рассмотрим далее, какой вид принимают уравнения движения Лагранжа в этом случае. Пусть 𝑋' – приложенная сила, соответствующая координате 𝑥 – одной из тех, которые определяют форму и положение проводящих контуров. Она является силой в обычном смысле, т.е. величиной, определяющей тенденцию к изменению положения и задаваемой уравнением
𝑋'
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑥̇
–
𝑑𝑇
𝑑𝑥
.
Мы можем рассматривать эту силу как сумму трёх частей в соответствии с частями, на которые мы разделили кинетическую энергию системы, различая их с помощью тех же индексов. Таким образом, 𝑋'=𝑋'𝑚+𝑋'𝑒+𝑋'𝑚𝑒.
Часть 𝑋'𝑚 определяется с помощью обычного динамического метода, и у нас нет необходимости рассматривать её.
Поскольку 𝑇𝑒 не содержит 𝑥̇ первый член в выражении для 𝑋'𝑒 равен нулю, и её значение сводится к следующему: 𝑋'𝑒=-𝑑𝑇𝑒/𝑑𝑥.
Это есть выражение для механической силы, которую следует приложить к проводнику, чтобы уравновесить электромагнитную силу; оно означает, что сила измеряется скоростью уменьшения чисто электрокинетической энергии, обусловленной изменением координаты 𝑥. Электромагнитная сила 𝑋𝑒 которая вводит в игру эту внешнюю механическую силу, равна по величине, но противоположна по знаку силе 𝑋'𝑒 и измеряется, следовательно, скоростью увеличения электрокинетической энергии, соответствующей увеличению координаты 𝑥. Поскольку значение 𝑋𝑒 зависит от квадратов и произведений токов, оно остаётся тем же самым, если поменять направления всех токов на обратные.
Третья часть 𝑋' равна
𝑋'
𝑚𝑒
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑚𝑒
𝑑𝑥̇
–
𝑑𝑇𝑚𝑒
𝑑𝑥
.
Величина 𝑇𝑚𝑒 содержит только произведения вида 𝑥̇𝑦̇, так что 𝑑𝑇𝑚𝑒/𝑑𝑥̇ является линейной функцией сил токов 𝑦̇. Первый член, таким образом, зависит от скорости изменения сил токов и определяет механическую силу, действующую на проводник; сила эта равна нулю, когда токи постоянны, и положительна или отрицательна в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются величины токов.
Второй член зависит не от изменения токов, а от их действительной величины. Поскольку относительно этих токов он является линейной функцией, то его знак меняется при смене знака токов. Поскольку скорость 𝑥̇ входит во все члены, они обращаются в нуль, когда проводники покоятся. Из-за изменения во времени коэффициентов при 𝑦̇ в выражении для 𝑑𝑇𝑚𝑒/𝑑𝑥̇ появляются ещё несколько членов. Сделанные нами замечания относятся и к ним.
Мы можем, таким образом, исследовать эти члены отдельно: если проводники покоятся, иметь дело только с первым членом, если токи постоянны – только со вторым.
574. Очень важно установить, представляется ли какая-нибудь доля кинетической энергии в форме 𝑇𝑚𝑒, т.е. в форме, содержащей произведения обычных скоростей и сил электрических токов; поэтому было бы желательным проведение экспериментов, относящихся к этому вопросу, с особой тщательностью.
Трудно определить силы, действующие на тела при их быстром движении; поэтому мы проследим за первым членом, который зависит от изменения силы тока.
Если какая-то часть кинетической энергии зависит от произведения обычной скорости и силы тока, то, вероятно, её легче всего наблюдать в условиях, когда скорость и ток имеют одинаковые или противоположные направления. Возьмём круговую катушку с большим числом витков и подвесим её на тонком вертикальном проводе так, чтобы витки были горизонтальны, а катушка могла вращаться вокруг вертикальной оси либо в направлении, совпадающем с направлением тока в катушке, либо в противоположном направлении.
Мы будем предполагать, что ток подводится к катушке с помощью подвешивающего провода, а после прохождения тока через витки катушки его цепь замыкается через провод, идущий вниз вдоль линии подвеса и погружённый в чашку со ртутью.
Поскольку при прохождении тока через катушку действие горизонтальной компоненты земного магнетизма стремится повернуть эту катушку вокруг горизонтальной оси, мы будем предполагать, что горизонтальная компонента земного магнетизма в точности нейтрализуется с помощью неподвижных магнитов, или что эксперимент производится на магнитном полюсе. К катушке прикрепляется вертикальное зеркальце, позволяющее обнаружить любое её азимутальное движение [рис. 33].
Рис. 33
Пусть теперь по катушке в направлении север-восток-юг-запад пропускается электрический ток. Если бы электричество было жидкостью, подобной воде, текущей вдоль проводника, то, как в момент начала тока, так и по мере нарастания его скорости, было бы необходимо приложить силу, создающую угловой момент жидкости, проходящей через катушку. Эта сила должна была бы быть силой упругости провода подвеса, и катушка в начальный момент поворачивалась бы в обратном направлении, т.е. в направлении запад-юг-восток-север, что и было бы зарегистрировано с помощью зеркала. При прекращении тока зеркало двигалось бы иначе, на этот раз – в направлении тока.
Никаких явлений подобного рода до сих пор не наблюдалось. Если бы такой эффект существовал, его легко было бы отличить от уже известных действий тока по следующим особенностям.
(1). Он возникал бы только при изменении силы тока, например, когда цепь замыкается или размыкается, а не тогда, когда ток постоянен.
Все известные механические действия тока зависят от сил токов, а не от скорости их изменения. С этим электромагнитным действием не надо смешивать то электродвижущее действие, которое возникает в случае индуцированных токов.
(2). Направление этого действия токов было бы противоположным при смене знаков у всех токов в поле.
Все известные механические действия тока остаются неизменными при смене направлений всех токов на обратные, поскольку они зависят от квадратов и произведений этих токов.
Если бы было обнаружено какое-либо действие такого рода, мы могли бы рассматривать один из так называемых видов электричества (положительный или отрицательный) как некоторое реальное вещество и описывать электрический ток как действительное движение этого вещества в определённом направлении. Действительно, если бы электрические движения были бы каким-то образом сопоставимы с движениями обычной материи, то существовали бы члены вида 𝑇𝑚𝑒 и это проявлялось бы через механическую силу 𝑋𝑚𝑒.
