Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 29 (всего у книги 34 страниц)

Поэтому иногда полагают, что закон электрического действия, содержащий скорость частиц, несовместим с принципом сохранения энергии.

853. Формула Гаусса не согласуется с этим принципом и поэтому должна быть отвергнута, так как она приводит к заключению, что энергию можно было бы неограниченно создавать в ограниченной системе с помощью физических средств. Это возражение неприменимо по отношению к формуле Вебера, ибо им было показано ³, что если принять в качестве потенциальной энергии системы, состоящей из двух электрических частиц, величину

ψ

=

𝑒𝑒'

𝑟

⎡

⎢

⎣

1

–

1

2𝑐²

⎛

⎜

⎝

∂𝑟

∂𝑡

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(20)

то отталкивание между частицами, которое находится путём дифференцирования этой величины по 𝑟 и смены знака, даётся формулой (19).

³Pogg. Ann., LXXIII, p. 229 (1848).

Таким образом, работа, совершаемая над движущейся частицей силой отталкивания со стороны неподвижной частицы, равна ψ₀-ψ₁, где ψ₀ и ψ₁ – значения ψ в начале и в конце пути частицы. Теперь ψ зависит только от расстояния 𝑟 и от проекции скорости на направление 𝑟. Поэтому, если частица описывает произвольный замкнутый путь, так что её положение, скорость и направление движения в конце и в начале пути одинаковы, то величина ψ₁ равна ψ₀ и в целом за цикл работа не совершается.

Следовательно, частица, совершающая периодическое движение под действием силы, принятой Вебером, не может производить неограниченное количество работы.

854. Однако Гельмгольц в своей очень сильной работе «Уравнения движения электричества в покоящихся проводниках» ⁴, показав, что формула Вебера не противоречит принципу сохранения энергии, пока речь идёт только о работе, совершаемой при полном цикле, указывает, что она ведёт к заключению, что две электризованные частицы, движущиеся в соответствии с законом Вебера, могут иметь вначале конечные скорости, а затем, всё ещё находясь на конечном расстоянии друг от друга, могут приобрести бесконечную кинетическую энергию и совершить бесконечное количество работы.

⁴Crelle's Journal, 72, p. 57-129 (1870).

На это Вебер отвечает ⁵, что начальные скорости частиц относительно друг друга в примере Гельмгольца, хотя и конечны, однако превышают скорость света, и что расстояние, на котором кинетическая энергия становится бесконечной, хотя и конечно, но меньше любой величины, какую мы можем различать, так что физически невозможно настолько сблизить две молекулы. Следовательно, этот пример не может быть проверен никаким экспериментальным методом.

⁵Elektr. Maasb. inbesondere über das Princip der Erhaltung der Energie.

Гельмгольц ⁶ поэтому отыскал такой случай, в котором расстояния не очень малы, а скорости не очень велики для экспериментального подтверждения. Неподвижная непроводящая сферическая поверхность радиуса 𝑎 однородно заряжена электричеством с поверхностной плотностью σ. Частица с массой 𝑚, несущая электрический заряд 𝑒, двигается внутри сферы со скоростью 𝑣. Электродинамический потенциал, вычисленный по формуле (20), равен

⁶Berlin Monatsbericht, April 1872, p. 247-256; Phil. Mag., Dec. 1872, Supp., p. 530-537.

4π𝑎σ𝑒

⎛

⎜

⎝

1

–

𝑣²

6𝑐²

⎞

⎟

⎠

(21)

и не зависит от положения частицы внутри сферы. Добавляя сюда остальную потенциальную энергию 𝑉, обусловленную действием других сил, и величину то 𝑚𝑣/2, равную кинетической энергии частицы, в качестве уравнения энергии находим

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑚

–

4

3

π𝑎σ𝑒

𝑐²

⎞

⎟

⎠

𝑣²

+

4π𝑎σ𝑒

+

𝑉

=

const

.

(22)

Поскольку второй член в коэффициенте при 𝑣² можно неограниченно увеличивать путём увеличения радиуса сферы 𝑎, оставляя постоянной поверхностную плотность σ, коэффициент при 𝑣² можно сделать отрицательным. Ускорение движения частицы тогда соответствовало бы уменьшению её vis viva (живой силы) и тело, движущееся по замкнутому пути, под действием силы наподобие трения, всегда противоположной по направлению движения тела, непрерывно увеличивало бы свою скорость, причём неограниченно. Этот невозможный результат является необходимым следствием принятия любой формулы для потенциала, в которой вводятся отрицательные члены в коэффициент перед 𝑣².

855. Теперь, однако, мы должны рассмотреть приложение веберовской теории к тем явлениям, которые могут быть осуществлены. Мы видели уже, как она даёт выражение Ампера для силы притяжения между двумя элементами электрических токов. Потенциал, создаваемый одним из этих элементов на другом элементе, находится путём суммирования значений потенциалов ψ для четырёх комбинаций положительных и отрицательных токов в этих двух элементах. Согласно уравнению (20), суммирование четырёх значений (𝑑𝑟/𝑑𝑡)² даёт

-

𝑖𝑖'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

,

(23)

а потенциал одного замкнутого тока на другом равен

-

𝑖𝑖'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

∬

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

=

𝑖𝑖'

𝑀

,

(24)

где

𝑀

=

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

,

как в п. 423, 524. В случае замкнутых токов это выражение согласуется с выражением, полученным нами в п. 524⁷.

⁷ Во всём этом исследовании Вебер принял электродинамическую систему единиц. В настоящем трактате мы всюду используем электромагнитную систему. Электромагнитная единица тока относится к электродинамической единице как √2 к 1; п. 526.

Веберовская теория индукции электрических токов

856. После того как из формулы Ампера для взаимодействия между элементами токов Вебер вывел свою собственную формулу для взаимодействия между движущимися электрическими частицами, он перешёл к применению этой формулы для объяснения возникновения электрических токов при магнитоэлектрической индукции. В этом он достиг выдающегося успеха, и мы укажем метод, с помощью которого законы индуцированных токов могут быть выведены из формулы Вебера. Но мы должны заметить, что то обстоятельство, что закон, выведенный из открытого Ампером явления, также может объяснить явление, открытое впоследствии Фарадеем, не слишком много добавляет к доказательству физической истинности закона, как можно было бы предположить вначале.

Действительно, Гельмгольцем и Томсоном было показано (см. п. 543), что если явления Ампера истинны и если принять принцип сохранения энергии, то явления индукции, открытые Фарадеем, следуют с необходимостью. Далее, веберовский закон вместе с различными предположениями относительно природы электрических токов, которые он в себя включает, в результате математических преобразований приводит к формуле Ампера. Закон Вебера также совместим с принципом сохранения энергии, если существует потенциал, а это всё, что требуется для применимости принципа Гельмгольца и Томсона. Следовательно, мы можем утверждать, даже до того, как сделаны какие-то относящиеся к этому вычисления, что закон Вебера будет объяснять индукцию электрических токов. Таким образом, тот факт, что из вычислений найдено, что он объясняет индукцию электрических токов, не продвигает доказательства физической истинности закона.

С другой стороны, формула Гаусса, хотя она и объясняет явления притяжения токов, несовместима с принципом сохранения энергии и, следовательно, мы не можем утверждать, что она будет объяснять все явления индукции. В действительности так оно и есть, как мы увидим в п. 859.

857. Теперь мы должны рассмотреть электродвижущую силу, стремящуюся создать ток в элементе 𝑑𝑠', обусловленную током в элементе 𝑑𝑠, когда 𝑑𝑠 находится в движении и когда ток в нём переменный.

Согласно Веберу, действие на материал проводника, элементом которого является 𝑑𝑠', есть сумма всех действий на электричество, которое он переносит. С другой стороны, электродвижущая сила, действующая на электричество в 𝑑𝑠', является разностью электрических сил, действующих на положительное и отрицательное электричество в пределах этого элемента. Поскольку все эти силы действуют вдоль линии, соединяющей элементы, электродвижущая сила в 𝑑𝑠' также находится на этой линии, и, для того чтобы получить электродвижущую силу в направлении 𝑑𝑠', мы должны спроектировать силу на это направление. Чтобы применить формулу Вебера, мы должны вычислить различные входящие в неё члены в предположении, что элемент 𝑑𝑠 находится в движении относительно 𝑑𝑠' и что токи в обоих элементах меняются со временем. Найденные таким образом выражения будут содержать члены, включающие 𝑣², 𝑣𝑣', 𝑣'², 𝑣, 𝑣', и члены, не включающие 𝑣 или 𝑣', причём все они умножены на 𝑒𝑒'. Рассматривая, как мы делали раньше, четыре значения каждого члена и обращаясь вначале к механической силе, которая возникает из суммы четырёх значений, мы находим, что единственный член, который мы должны учитывать, это член, содержащий произведение 𝑣𝑣'𝑒𝑒'.

Если затем мы рассмотрим силу, стремящуюся произвести ток во втором элементе, возникающую вследствие разницы действия первого элемента на отрицательное и положительное электричество второго элемента, мы найдём, что единственный член, который нам следует рассмотреть, это член, содержащий 𝑣𝑒𝑒'. Мы можем записать четыре члена, входящие в ∑(𝑣𝑒𝑒'), таким способом:

𝑒'(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)

и

𝑒'₁(𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁)

.

Поскольку 𝑒'+𝑒'₁=0, механическая сила, обусловленная этими членами, равна нулю, но электродвижущая сила, действующая на положительное электричество 𝑒', равна (𝑣𝑒+𝑣₁𝑒₁), а сила, действующая на отрицательное электричество 𝑒'₁, равна и противоположна ей.

858. Предположим теперь, что первый элемент 𝑑𝑠 движется относительно 𝑑𝑠' со скоростью 𝑉 в некотором направлении, и обозначим через

╱╲

╱╲

𝑉𝑑𝑠

 и

𝑉𝑑𝑠'

углы между направлением 𝑉 и направлениями 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠' соответственно; тогда квадрат относительной скорости и двух электрических частиц равен

𝑢²

=

𝑣²

+

𝑣'²

+

𝑉

–

2𝑣𝑣'

cos ε

+

╱╲

╱╲

+

2𝑉𝑣

cos

𝑉𝑑𝑠

–

2𝑉𝑣'

cos

𝑉𝑑𝑠'

.

(25)

Член с 𝑣𝑣' – тот же самый, что и в уравнении (3). Член с 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен

╱╲

2𝑉𝑣

cos

𝑉𝑑𝑠

.

Мы также имеем в этом случае для значения временной производной от 𝑟

∂𝑟

∂𝑡

=

𝑣

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

𝑣'

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

𝑑𝑟

𝑑𝑡

,

(26)

где ∂𝑟/∂𝑡 относится к движению электрических частиц, а 𝑑𝑟/𝑑𝑡 – к движению материального проводника. Если мы образуем квадрат этой величины, то член, содержащий 𝑣𝑣', от которого зависит механическая сила, будет тем же, что и прежде в уравнении (5), а член, содержащий 𝑣, от которого зависит электродвижущая сила, равен

2𝑣

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

.

Дифференцируя (26) по 𝑡, мы находим

∂²𝑟

∂𝑡²

=

𝑣²

𝑑²𝑟

𝑑𝑠²

+

2𝑣𝑣'

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

+

𝑣'²

𝑑²𝑟

𝑑𝑠'²

+

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

𝑑𝑣'

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

+

𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠

+

𝑣'

𝑑𝑣'

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

2𝑣

𝑑

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

+

2𝑣'

𝑑

𝑑𝑠'

𝑑𝑟

𝑑𝑡

+

𝑑²𝑟

𝑑𝑡²

.

(27)

Мы находим, что член, включающий 𝑣𝑣', – тот же самый, что и раньше в уравнении (6). Члены, которые меняют знак с изменением знака 𝑣, есть

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

 и

2𝑣

𝑑

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

.

859. Если мы теперь вычислим по формуле Гаусса (уравнение (18)) результирующую электрическую силу в направлении второго элемента 𝑑𝑠', возникающую из-за действия первого элемента 𝑑𝑠, мы получим

1

𝑟²

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

𝑖𝑉

×

╱╲

╱╲

╱╲

╱╲

×

(

2cos

𝑉𝑑𝑠

–

2cos

𝑉𝑟

cos

𝑟𝑑𝑠

)

cos

𝑟𝑑𝑠'

.

(28)

Поскольку в этом выражении нет члена, включающего скорость изменения тока 𝑖, и поскольку мы знаем, что изменение первичного тока производит индуцированное действие на вторичный контур, мы не можем принять формулу Гаусса в качестве правильного выражения для действия между электрическими частицами.

860. Если, однако, мы используем формулу Вебера (19), мы получим

1

𝑟²

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑖

𝑑𝑡

+

2𝑖𝑟

𝑑

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

–

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

,

(29)

или

𝑑

𝑑𝑡

⎛

⎜

⎝

𝑖

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

+

𝑖

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

–

𝑑²𝑟

𝑑𝑠'𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(30)

Если мы проинтегрируем это выражение по 𝑠 и по 𝑠', мы получим для электродвижущей силы во втором контуре

𝑑

𝑑𝑡

𝑖

∬

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

+

𝑖

∬

1

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

–

𝑑²𝑟

𝑑𝑠'𝑑𝑡

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(31)

Далее, если первый контур замкнут,

∫

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

0.

Следовательно,

∫

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

𝑑𝑠

=

∫

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑟

𝑑𝑠'

+

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

=-

∫

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

.

(32)

Но

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

=

𝑀

(33)

согласно п. 423, 524.

Поскольку второй член в уравнении (31) исчезает, когда оба контура замкнуты, мы можем записать для электродвижущей силы во втором контуре

-

𝑑

𝑑𝑡

(𝑖𝑀)

,

(34)

что согласуется с тем, что мы уже установили экспериментально (п. 539).

О формуле Вебера, рассматриваемой как следствие передачи с постоянной скоростью действия от одной электрической частицы к другой

861. В очень интересном письме к В. Веберу ⁸ Гаусс ссылается на электродинамические рассуждения, которыми он занимался очень давно и которые опубликовал бы, если бы смог затем установить то, что он считал краеугольным камнем электродинамики, а именно вывод силы, действующей между движущимися электрическими частицами, рассматривая не мгновенное действие между ними, а считая, что оно распространяется во времени подобно свету. Ему не удалось сделать такой вывод, когда он оставил свои электродинамические исследования, но у него была личная убеждённость, что в первую очередь было бы необходимо составить последовательное представление о том, каким способом происходит распространение.

⁸ March 19, 1845, Werke, Bd. V, 629.

Три выдающихся математика попытались заложить этот краеугольный камень электродинамики.

862. В мемуаре, представленном королевскому обществу Гёттингена в 1858 г., но взятом обратно и опубликованном только после смерти автора в 1867 г. в «Поггендорфовых учёных записках» (Poggendorf’s Annalen), Бернард Риман выводит явления индукции электрических токов из модифицированной формы уравнения Пуассона:

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

+4πρ

=

1

α²

𝑑²𝑉

𝑑𝑡²

,

где 𝑉 есть электростатический потенциал, α – скорость.

Это уравнение имеет ту же самую форму, что и уравнения, выражающие распространение волн и других возмущений в упругих средах. Однако автор, по-видимому, избегает явного упоминания о среде, через которую происходит распространение.

Математическое исследование Римана было проверено Клаузиусом ⁹, который не соглашается с его математическими выкладками и показывает, что гипотеза о распространении потенциала подобно свету не ведёт ни к формуле Вебера, ни к другим известным законам электродинамики.

⁹ Pogg., Bd. CXXXV, p. 612.

863. Клаузиус также проверил и гораздо глубже разработанные исследования К. Неймана в «Принципах электродинамики» ¹⁰. Нейман, однако, указал ¹¹, что его теория передачи потенциала от одной электрической частицы к другой совершенно отлична от теории, предложенной Гауссом, принятой Риманом и подвергшейся критике со стороны Клаузиуса, в которой распространение подобно распространению света. Напротив, по Нейману имеется максимально возможное различие между передачей потенциала и распространением света.

¹⁰ Tübingen, 1868.

¹¹Mathematische Annalen, I, 317.

Светящееся тело посылает свет во всех направлениях, причём интенсивность света зависит только от светящегося тела и не зависит от присутствия тела, которое им освещается.

С другой стороны, электрическая частица посылает потенциал, величина которого 𝑒𝑒'/𝑟 зависит не только от заряда 𝑒 излучающей частицы, но также от заряда 𝑒' принимающей частицы и от расстояния 𝑟 между частицами в момент испускания.

В случае света интенсивность уменьшается по мере распространения света всё дальше от излучающего тела; испущенный потенциал течёт к телу, на которое он действует, без малейшего изменения своего первоначального значения.

Свет, принятый освещённым телом, как правило, составляет лишь часть падающего на него света; потенциал, полученный притягиваемым телом, идентичен или равен потенциалу, который к нему прибывает.

Кроме того, скорость передачи потенциала не является постоянной относительно эфира или пространства, подобно скорости света, а более похожа на скорость снаряда, постоянную относительно скорости излучающей частицы в момент излучения.

Отсюда следует, что для того, чтобы понять теорию Неймана, мы должны образовать представление о процессе передачи потенциала, весьма отличное от того, к которому мы привыкли при рассмотрении распространения света. Не могу сказать, может ли эта теория когда-либо быть принятой в качестве «конструктивного представления» процесса передачи, которое казалось необходимым Гауссу, но сам я оказался не в состоянии построить для себя последовательное представление о теории Неймана.

864. Профессор Бетти из Пизы ¹² рассмотрел этот вопрос другим путём. Он предполагает, что замкнутые контуры, в которых текут электрические токи, состоят из элементов, каждый из которых поляризуется периодически, т.е. через эквидистантные промежутки времени. Эти поляризованные элементы действуют друг на друга так, как если бы они были маленькими магнитами, оси которых ориентированы в направлении, касательном к контурам. Период этой поляризации одинаков во всех электрических контурах. Бетти предполагает, что действие одного поляризованного элемента на другой, находящийся на некотором расстоянии, происходит не мгновенно, а через промежуток времени, пропорциональный расстоянию между элементами. Таким способом он получает выражения для действия одного электрического контура на другой, совпадающие с теми, которые нам известны как правильные. Однако Клаузиус и в этом случае также подверг критике некоторые части математических вычислений, но в это мы здесь вдаваться не будем.

¹²Nuovo Cimento, XXVII (1868).

865. По-видимому, в умах этих выдающихся людей существует некоторое предубеждение, или априорное возражение, против гипотезы среды, в которой имеют место явления излучения света и тепла, а также электрические действия на расстоянии. Правда, одно время все те, кто размышляли о причинах физических явлений, имели обычай объяснять каждый вид действия на расстоянии при помощи специальной эфирной жидкости, функцией и свойством которой было производить эти действия. Они заполняли всё пространство трижды и четырежды различными видами эфиров, свойства которых были изобретены просто для того, чтобы «соблюсти приличия», так что более рационалистические исследователи готовы были скорее принять не только конкретный закон притяжения на расстоянии Ньютона, но даже постулат Котса (Cotes) ¹³ о том, что действие на расстоянии является одним из первичных свойств материи и что никакое объяснение не может быть более понятным, чем этот факт. Поэтому волновая теория света встретила такое большое сопротивление, направленное не против её неспособности объяснить явления, но против её предположения о существовании среды, в которой распространяется свет.

¹³ Предисловие к ньютоновским «Началам», 2-е изд.

866. Мы видели, что математические выражения для электродинамического действия привели Гаусса к убеждению, что теория распространения электрического действия во времени могла бы оказаться краеугольным камнем электродинамики. В настоящее время мы не можем понять распространение во времени иначе, чем либо как полет материальной субстанции через пространство, либо как распространение состояния движения или напряжения в среде, уже существующей в пространстве. В теории Неймана предполагается, что некоторое математическое понятие, названное потенциалом, который мы не можем рассматривать как материальную субстанцию, переносится от одной частицы к другой способом, совершенно независимым от среды, который, как указывал сам Нейман, сильно отличается от способа распространения света. В теориях Римана и Бетти, видимо, предполагается, что действие распространяется способом, несколько более похожим на распространение света.

Но во всех этих теориях естественно встаёт вопрос: если нечто передаётся от одной частицы к другой на расстоянии, то каково его состояние после того, как оно покинуло одну частицу, но ещё не достигло другой? Если это нечто есть потенциальная энергия двух частиц, как в теории Неймана, то как мы можем понять существование этой энергии в точке пространства, не совпадающей ни с той, ни с другой частицей? Действительно, как бы энергия ни передавалась от одного тела к другому во времени, должна существовать среда или вещество, в которой находится энергия, после того как она покинула одно тело, но ещё не достигла другого, ибо энергия, как отмечал Торичелли ¹⁴, «есть квинтэссенция такой тонкой природы, что она не может содержаться в каком-либо сосуде, кроме как в самой сокровенной субстанции материальных вещей». Следовательно, все эти теории ведут к понятию среды, в которой имеет место распространение, и если мы примем эту среду как гипотезу, я думаю, она должна занять выдающееся место в наших исследованиях и следует попытаться построить мысленное представление её действия во всех подробностях; это и являлось моей постоянной целью в настоящем трактате.

¹⁴Lezioni Accademiche (Firenze, 1715), p. 25.