Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

𝑇

8π

∭

(

𝑎α

𝑏β

𝑐γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

О СИЛАХ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ЭЛЕМЕНТ ТЕЛА, ПОМЕЩЁННОГО В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Силы, действующие на магнитный элемент

639. Потенциальная энергия элемента тела 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, намагниченного с интенсивностью, имеющей составляющие 𝐴, 𝐵, 𝐶, и помещённого в поле магнитной силы с составляющими α, β, γ, равна -(𝐴α+𝐵β+𝐶γ)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧.

Следовательно, если сила, вынуждающая элемент тела двигаться в направлении 𝑥 без вращения, равна 𝑋₁𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, то

𝑋

₁

𝐴

𝑑α

𝑑𝑥

𝐵

𝑑β

𝑑𝑥

𝐶

𝑑γ

𝑑𝑥

(1)

и если момент пары сил, стремящейся повернуть элемент вокруг оси 𝑥 в направлении от 𝑦 к 𝑧, равен 𝐿𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, то

𝐿

𝐵γ

–

𝐶β

(2)

Силы и моменты, соответствующие осям 𝑦 и 𝑧, можно записать, сделав необходимые подстановки.

640. Если намагниченное тело несёт электрический ток, составляющие которого равны 𝑢, 𝑣, 𝑤, то в соответствии с уравнениями (С) п. 603 появится дополнительная электромагнитная сила с составляющими 𝑋₂, 𝑌₂, 𝑍₂, причём

𝑋

₂

𝑣𝑐

–

𝑤𝑏

(3)

Следовательно, полная сила 𝑋, возникающая из-за наличия магнетизма молекулы, а также из-за проходящего через неё тока, равна

𝑋

𝐴

𝑑α

𝑑𝑥

𝐵

𝑑β

𝑑𝑥

𝐶

𝑑γ

𝑑𝑥

𝑣𝑐

–

𝑤𝑏

(4)

Величины 𝑎, 𝑏, 𝑐 являются составляющими магнитной индукции; они связаны с составляющими магнитной силы α, β, γ уравнениями, данными в п. 400:

𝑎

4π𝐴

𝑏

4π𝐵

𝑐

4π𝐶

(5)

Составляющие тока 𝑢, 𝑣, 𝑤 можно выразить через α, β, γ с помощью уравнений п. 607;

4π𝑢

𝑑γ

𝑑𝑦

–

𝑑β

𝑑𝑧

4π𝑣

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑γ

𝑑𝑥

4π𝑤

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑α

𝑑𝑦

(6)

Следовательно,

𝑋

4π

⎧

⎨

⎩

(𝑎-α)

𝑑α

𝑑𝑥

(𝑏-β)

𝑑β

𝑑𝑥

(𝑐-γ)

𝑑γ

𝑑𝑥

𝑏

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑦

–

𝑑β

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑐

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑γ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

4π

⎧

⎨

⎩

𝑎

𝑑α

𝑑𝑥

𝑏

𝑑α

𝑑𝑦

𝑐

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑

𝑑𝑥

(α²+β²+γ²)

⎫

⎬

⎭

(7)

В соответствии с п. 403

𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑐

𝑑𝑧

Умножив уравнение (8) на α и разделив на 4π, мы можем добавить результат к (7), тогда получим

𝑋

4π

⎧

⎨

⎩

𝑑

𝑑𝑥

⎡

⎢

⎣

𝑎α

–

(α²+β²+γ²)

⎤

⎥

⎦

𝑑

𝑑𝑦

[𝑏α]

𝑑

𝑑𝑦

[𝑐α]

⎫

⎬

⎭

(9)

а с учётом (2)

𝐿

4π

{

(𝑏-β)γ

–

(𝑐-γ)β

(10)

4π

(𝑏γ-𝑐β)

(11)

где 𝑋 – сила в направлении оси 𝑥, отнесённая к единице объёма, а 𝐿 – момент сил (на единицу объёма) относительно этой оси.

Об объяснении этих сил с помощью гипотезы о наличии среды в напряжённом состоянии

641. Обозначим напряжение любого вида, отнесённое к единице площади, символом вида 𝑃_ℎ𝑘, где первый индекс _ℎ показывает, что нормаль к поверхности, на которую по предположению действует напряжение, параллельна оси ℎ, а второй индекс _𝑘 показывает, что направление напряжения, с которым действует часть тела, прилегающая к положительной стороне поверхности, на часть тела, прилегающую к отрицательной стороне, является направлением, параллельным оси 𝑘.

Направления ℎ и 𝑘 могут совпадать – в этом случае напряжение является нормальным. Они могут быть наклонены относительно друг друга – в этом случае напряжение является наклонным; наконец, могут быть перпендикулярны друг другу – в этом случае напряжение является тангенциальным.

Условие, при котором напряжения не создают никакого стремления к вращению элементарной части тела, есть 𝑃_ℎ𝑘=𝑃_𝑘ℎ.

Однако в случае намагниченного тела такая тенденция к вращению имеется, и, следовательно, это условие, справедливое в обычной теории напряжений, оказывается невыполненным.

Рассмотрим действие напряжения на шесть сторон элементарного объёма тела 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, взяв начало координат в его центре тяжести.

На положительную сторону поверхности 𝑑𝑦𝑑𝑧, где значение 𝑥 равно 𝑑𝑥/2, действуют силы:

параллельно

𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑃

_𝑥𝑥

𝑑𝑃_𝑥𝑥

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑋

_+𝑥

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

параллельно

𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑃

_𝑥𝑦

𝑑𝑃_𝑥𝑦

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑌

_+𝑥

параллельно

𝑧

⎛

⎜

⎝

𝑃

_𝑥𝑧

𝑑𝑃_𝑥𝑧

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑍

_+𝑥

(12)

Силы, действующие на противоположную сторону, -𝑋_-𝑥, -𝑌_-𝑦, -𝑍_-𝑧 можно получить, сменив знак при 𝑑𝑥. Таким же способом мы можем выразить системы трёх сил, действующих на все остальные поверхности этого элемента, обозначая направление силы заглавной буквой, а поверхность, на которую она действует, индексом.

Если обозначить полную силу, действующую на элемент параллельно оси 𝑥, через 𝑋𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, то

𝑋𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑋

_+𝑥

𝑌

_+𝑥

𝑍

_+𝑥

𝑋

_-𝑥

𝑌

_-𝑥

𝑍

_-𝑥

⎧

⎪

⎩

𝑑𝑃_𝑥𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑃_𝑦𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑃_𝑧𝑥

𝑑𝑧

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

откуда

𝑋

𝑑

𝑑𝑥

𝑃

_𝑥𝑥

𝑑

𝑑𝑦

𝑃

_𝑦𝑥

𝑑

𝑑𝑧

𝑃

_𝑧𝑥

(13)

Если 𝐿𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 является полным моментом сил относительно оси 𝑥, стремящимся повернуть элемент в направлении от 𝑦 к 𝑧, то

𝐿𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑𝑦

(𝑍

_+𝑦

–𝑍

_-𝑦

)

–

𝑑𝑧

(𝑌

_+𝑧

–𝑌

_-𝑧

)

(𝑃

_𝑦𝑧

–𝑃

_𝑧𝑦

)

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

откуда

𝐿

𝑃

_𝑦𝑧

–𝑃

_𝑧𝑦

(14)

Сравнивая значения 𝑋 и 𝐿, определяемые уравнениями (9) и (11), с теми, которые дают уравнения (13) и (14), мы находим, что, если положить

𝑃

_𝑥𝑥

4π

⎧

⎨

⎩

𝑎α

–

(α²+β²+γ²)

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑃

_𝑦𝑦

4π

⎧

⎨

⎩

𝑏β

–

(α²+β²+γ²)

⎫

⎬

⎭

𝑃

_𝑧𝑧

4π

⎧

⎨

⎩

𝑐γ

–

(α²+β²+γ²)

⎫

⎬

⎭

𝑃

_𝑦𝑧

4π

𝑏γ

𝑃

_𝑧𝑦

4π

𝑐β

𝑃

_𝑧𝑥

4π

𝑐α

𝑃

_𝑥𝑧

4π

𝑎γ

𝑃

_𝑥𝑦

4π

𝑎β

𝑃

_𝑦𝑥

4π

𝑏α

(15)

то сила, обусловленная системой напряжений с такими составляющими, по своим действиям на каждый элемент тела эквивалентна в статическом смысле силам, обусловленным намагниченностью и электрическими токами.

642. Легко установить природу напряжения с такими составляющими. Возьмём в качестве оси 𝑥 биссектрису угла между направлениями магнитной силы и магнитной индукции, а ось 𝑦 проведём в плоскости этих направлений, направив её в сторону магнитной силы.

Если мы положим, что численное значение магнитной силы равно ℌ, численное значение магнитной индукции равно 𝔅 и угол между их направлениями равен: 2ε, то

ℌ

cos ε

–ℌ

sin ε

⎫

⎬

⎭

𝑎

𝔅

cos ε

𝑏

–𝔅

sin ε

𝑐

(16)

𝑃

_𝑥𝑥

4π

⎛

⎜

⎝

+𝔅ℌ

cos²ε

–

ℌ²

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑃

_𝑦𝑦

4π

⎛

⎜

⎝

–𝔅ℌ

sin²ε

–

ℌ²

⎞

⎟

⎠

𝑃

_𝑧𝑧

4π

⎛

⎜

⎝

–

ℌ²

⎞

⎟

⎠

𝑃

_𝑦𝑧

𝑃

_𝑧𝑥

𝑃

_𝑧𝑦

𝑃

_𝑥𝑧

𝑃

_𝑥𝑦

4π

𝔅ℌ

cos ε

sin ε

𝑃

_𝑦𝑥

4π

𝔅ℌ

cos ε

sin ε

(17)

Следовательно, напряжённое состояние можно рассматривать как составленное из:

(1). Давления, одинакового по всем направлениям =(1/8π)ℌ².

(2). Натяжения вдоль линии, делящей пополам угол между направлениями магнитной силы и магнитной индукции =(1/4π)𝔅ℌcos²ε.

(3). Давления вдоль линии, делящей пополам внешний угол между этими направлениями =(1/4π)𝔅ℌsin²ε.

(4). Пары сил, стремящейся повернуть каждый элемент вещества в плоскости этих двух направлений от направления магнитной индукции в направлении магнитной силы =(1/4π)𝔅ℌsin 2ε.

Когда магнитная индукция направлена так же, как магнитная сила, что всегда имеет место в жидкостях и ненамагниченных твёрдых телах, то ε=0; если направить ось 𝑥 вдоль магнитной силы, то

𝑃

_𝑥𝑥

4π

⎛

⎜

⎝

𝔅ℌ

–

ℌ²

⎞

⎟

⎠

𝑃

_𝑦𝑦

𝑃

_𝑧𝑧

–

8π

ℌ²

(18)

и тангенциальное напряжение исчезает.

Напряжение, таким образом, состоит в этом случае из комбинации гидростатического давления (1/8π)ℌ² и продольного натяжения (1/4π)𝔅ℌ вдоль силовых линий.

643. При отсутствии намагниченности 𝔅=ℌ, и напряжение ещё больше упрощается: оно состоит из натяжения вдоль силовых линий, равного (1/8π)ℌ² и давления по всем направлениям, перпендикулярным силовым линиям, также численно равным (1/8π)ℌ². Составляющие напряжения в этом важном случае равны

𝑃

_𝑥𝑥

8π

(α²-β²-γ²),

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑃

_𝑦𝑦

8π

(β²-γ²-α²),

𝑃

_𝑧𝑧

8π

(γ²-α²-β²),

𝑃

_𝑦𝑧

𝑃

_𝑧𝑦

4π

βγ,

𝑃

_𝑧𝑥

𝑃

_𝑥𝑧

4π

γα,

𝑃

_𝑥𝑦

𝑃

_𝑦𝑥

4π

αβ.

(19)

Составляющая силы вдоль 𝑥, возникающая вследствие действия этих напряжений на элемент среды единичного объёма, равна

𝑋

𝑑

𝑑𝑥

𝑃

_𝑥𝑥

𝑑

𝑑𝑦

𝑃

_𝑦𝑥

𝑑

𝑑𝑧

𝑃

_𝑧𝑥

4π

⎧

⎨

⎩

𝑑α

𝑑𝑥

–

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑γ

𝑑𝑥

⎫

⎬

⎭

4π

⎧

⎨

⎩

𝑑β

𝑑𝑦

𝑑α

𝑑𝑦

⎫

⎬

⎭

4π

⎧

⎨

⎩

𝑑γ

𝑑𝑧

𝑑α

𝑑𝑧

⎫

⎬

⎭

4π

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

𝑑γ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

4π

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑γ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

4π

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑α

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

Далее,

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

𝑑γ

𝑑𝑧

4π𝔪

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑γ

𝑑𝑥

4π𝑣

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑α

𝑑𝑦

4π𝑤

где 𝔪 – плотность аустральной (южной) магнитной материи (отнесённая к единице объёма), а 𝑣 и 𝑤 – составляющие электрических токов, отнесённых к единичным площадкам, перпендикулярным соответственно 𝑦 и 𝑧. Следовательно:

𝑋

α𝔪

𝑣γ

–

𝑤β

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(Уравнения

Электро-

магнитной

Силы)

Аналогично

𝑌

β𝔪

𝑤α

–

𝑢γ

𝑍

γ𝔪

𝑢β

–

𝑣α

(20)

644. Если мы примем теории Ампера и Вебера относительно природы магнитных и диамагнитных тел и предположим, что магнитная и диамагнитная полярности обусловлены молекулярными электрическими токами, мы освобождаемся от воображаемой магнитной материи и находим, что 𝔪=0 везде, т.е.

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

𝑑γ

𝑑𝑧

(21)

таким образом, уравнениями электромагнитной силы становятся

𝑋

𝑣γ

–

𝑤β

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑌

𝑤α

–

𝑢γ

𝑍

𝑢β

–

𝑣α

(22)

Это составляющие механической силы, отнесённые к единице объёма вещества. Составляющие магнитной силы равны α, β, γ, а составляющие электрического тока – 𝑢, 𝑣, 𝑤. Эти уравнения идентичны полученным ранее уравнениям (С) п. 603.

645. При объяснении электромагнитной силы с помощью напряжённого состояния среды мы всего лишь следуем концепции Фарадея ¹ о том, что линии магнитной силы стремятся сокращаться и что эти линии отталкиваются, будучи помещёнными вплотную друг к другу. Всё, что мы проделали, сводится к представлению в математической форме величин натяжения вдоль линий и давления, им перпендикулярного, а также к доказательству того, что напряжённое состояние, которое, по предположению, существует в среде, действительно будет давать наблюдаемые силы, действующие на проводники с электрическими токами.

¹Exp. Res., 3266, 3267, 3268.

Мы ещё ничего не утверждали относительно способов создания и поддержания в среде этого напряжённого состояния. Мы просто показали, что взаимодействие электрических токов можно представлять как зависящее от особого вида напряжения в окружающей среде, а не как прямое и мгновенное действие на расстоянии.

Любое дальнейшее объяснение напряжённого состояния с использованием движения среды или чего-то иного должно рассматриваться уже как отдельный и независимый раздел теории, который может либо выстоять, либо потерпеть поражение, но не может повлиять на занимаемую нами сейчас позицию, см. п. 832.

В первой части нашего трактата, в п. 108, мы показали, что действие наблюдаемых электрических сил можно понимать как результат распространения в окружающей среде состояния напряжения. Теперь мы проделали то же самое для электромагнитных сил; остаётся лишь убедиться, является ли такое представление о среде, способной поддерживать это напряжённое состояние, совместимым с другими известными явлениями или мы должны отставить его в сторону как бесплодное.

Мы должны предположить, что в поле, в котором имеет место и электростатическое, и электромагнитное действие, электростатическое напряжение, описанное в части I, налагается на электромагнитное напряжение, которое мы рассматриваем.

646. Если мы предположим, что полная земная магнитная сила равна 10 Британским единицам (гран, фут, секунда), чему она примерно и равна в Британии, то натяжение вдоль силовых линий равно 0,128 гран веса на квадратный фут. Максимальное магнитное натяжение, созданное Джоулем ², с помощью электромагнитов составляло около 140 фунтов веса на квадратный дюйм.

² Sturgeon’s Annals of Electricity, vol. V, p. 187 (1840); or Philosophical Magazine, Dec. 1851.

ГЛАВА XII

ТОКОВЫЕ ЛИСТЫ

647. Токовый лист – это бесконечно тонкий слой проводящей материи, ограниченный с обеих сторон изолирующей средой; электрические токи могут течь по листу и не могут его покинуть нигде, за исключением некоторых точек, называемых электродами. Через электроды осуществляется ввод токов в лист и вывод их из листа.

Для того чтобы пропускать конечный электрический ток, реальный лист должен иметь конечную толщину и потому должен рассматриваться как проводник, имеющий три измерения. Однако во многих случаях практически удобно находить электрические характеристики реального проводящего листа или тонкого слоя проводов, образующих катушку, исходя из характеристик токового листа, определённого выше.

В связи с этим мы можем поверхность любой формы рассматривать как некоторый токовый лист. Выбрав одну из сторон листа в качестве положительной, мы будем считать, что любые линии, проведённые на поверхности, всегда наблюдаются с её положительной стороны. В случае замкнутых поверхностей положительной мы будем считать внешнюю сторону поверхности. См., однако, п. 294, где направление тока определено в предположении, что мы наблюдаем его с отрицательной стороны листа.

Функция тока

648. Выберем за начало отсчёта на поверхности некоторую фиксированную точку 𝐴 и проведём на поверхности линию из точки 𝐴 в другую точку 𝑃. Обозначим через φ количество электричества, пересекающее эту линию слева направо в единицу времени. Величина φ называется функцией тока в точке 𝑃.

Функция тока зависит только от положения точки 𝑃; она одинакова для любых двух линий 𝐴𝑃 произвольной формы при условии, что эти линии могут быть преобразованы одна в другую путём непрерывного перемещения, при котором не пересекаются электроды. Действительно, если две линии охватывают площадь, не содержащую электродов, то количество электричества, которое входит внутрь этой площади через одну из линий, должно выйти через другую линию.

Пусть 𝑠 обозначает длину линии 𝐴𝑃; тогда ток, протекающий через 𝑑𝑠 слева направо, будет равен (𝑑φ/𝑑𝑠)𝑑𝑠.

Постоянство φ на какой-либо кривой означает отсутствие тока, протекающего через эту кривую. Поэтому её называют Линией Тока, или Линией Потока.

649. Пусть ψ есть электрический потенциал в некоторой точке листа; тогда электродвижущая сила вдоль элемента 𝑑𝑠 некоторой кривой будет равна -(𝑑ψ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 при условии, что нет никаких других электродвижущих сил, кроме той, которая обусловлена разностью потенциалов.

Если вдоль некоторой кривой величина ψ постоянна, то эту кривую называют Эквипотенциальной Линией.

650. Мы можем теперь предположить, что положение точки на листе определяется значениями φ и ψ в этой точке. Пусть 𝑑𝑠₁ – длина элемента эквипотенциальной линии ψ, заключённого между двумя линиями тока φ и φ+𝑑φ а 𝑑𝑠₂ – длина элемента токовой линии φ, заключённого между двумя эквипотенциальными линиями ψ и ψ+𝑑ψ. Мы можем рассматривать 𝑑𝑠₁ и 𝑑𝑠₂ как стороны элемента листа 𝑑φ𝑑ψ. Электродвижущая сила -𝑑ψ в направлении 𝑑𝑠₂ создаёт ток 𝑑φ, пересекающий 𝑑𝑠₁.

Пусть сопротивление участка листа длиной 𝑑𝑠₂ и шириной 𝑑𝑠₁ равно σ(𝑑𝑠₂/𝑑𝑠₁), где σ – удельное сопротивление листа на единицу площади; тогда

𝑑ψ

𝑑𝑠₂

𝑑𝑠₁

𝑑φ

откуда

𝑑𝑠₁

𝑑φ

𝑑𝑠₂

𝑑ψ

651. Если лист состоит из вещества, одинаково хорошо проводящего во всех направлениях, то элемент 𝑑𝑠₁ перпендикулярен 𝑑𝑠₂. В случае листа с однородной проводимостью величина σ постоянна, и, положив ψ=σψ', мы будем иметь

δ𝑠₁

δ𝑠₂

δφ

δφ'

линии потока и эквипотенциальные линии рассекают поверхность на маленькие квадратики.

Отсюда следует, что если φ₁ и ψ₁' являются функциями, сопряжёнными φ и ψ' (п. 183), то кривые ψ₁' могут быть линиями потока на том листе, где кривые являются соответствующими эквипотенциальными линиями. Один случай – это, конечно, тот, в котором φ₁=φ', а ψ₁'=-φ. В этом случае эквипотенциальные линии становятся линиями тока, а линии тока – эквипотенциальными линиями ¹.

¹ См. Thomson, Camb. Math. Journ., vol. III, p. 286.

Получив решение для распределения электрических токов в однородном листе произвольной формы для любого частного случая, мы можем вывести распределение токов для любого другого случая при помощи надлежащего преобразования сопряжённых функций в соответствии с методом, описанным в п. 190.

652. Далее мы должны определить магнитное действие токового листа, у которого ток целиком сосредоточен на самом листе, т.е. отсутствуют электроды, подводящие и отводящие ток.

В этом случае функция тока φ имеет в каждой точке определённое значение, а линии потока являются замкнутыми и не пересекают друг друга, хотя какая-то одна линия потока может иметь самопересечение.

Рассмотрим кольцевой участок листа, расположенный между линиями потока φ и φ+δφ. Эта часть листа представляет собой проводящий контур, в котором ток силою δφ циркулирует в положительном направлении вокруг участка листа, где величина φ больше данного значения. Магнитное действие этого контура совпадает с действием магнитной оболочки, имеющей мощность δφ в любой точке, за исключением точек внутри вещества оболочки. Предположим, что оболочка совпадает с той частью токового листа, на которой значение φ больше, чем на заданной линии потока.

Нанося последовательно все линии потока, начиная с той, для которой значение φ максимально, и кончая линией с наименьшим значением φ, мы разделим токовый лист на семейство контуров. Заменяя каждый из них соответствующей ему магнитной оболочкой, мы находим, что магнитное действие токового листа в любой точке, не находящейся в толще листа, такое же, как действие сложной магнитной оболочки, мощность которой в любой точке равна 𝐶+φ, где 𝐶 – некоторая константа.

Если токовый лист ограничен, мы должны положить на граничной кривой 𝐶+φ=0. Если лист образует замкнутую или бесконечную поверхность, то для определения постоянной 𝐶 нет никаких данных.

653. Магнитный потенциал в произвольной точке на любой из сторон токового листа даётся, согласно п. 415, выражением

∬

𝑟²

φcos θ

𝑑𝑆

где 𝑟 – есть расстояние до данной точки от элемента поверхности 𝑑𝑆, а θ – угол между направлением 𝑟 и направлением нормали, проведённой с положительной стороны 𝑑𝑆.

Это выражение даёт магнитный потенциал во всех точках, не входящих в толщу листа, а мы знаем, что для точек внутри проводника, несущего ток, такого понятия, как магнитный потенциал, не существует.

Величина Ω разрывна на токовом листе, ибо если Ω₁ есть её значение в некоторой точке непосредственно внутри токового листа, а Ω₂ – её значение в точке, близкой к первой, но расположенной вне токового листа, то Ω₂=Ω₁=4πφ, где φ есть функция тока в этой точке листа.

Значение составляющей магнитной силы, нормальной к листу, является непрерывным, т.е. одинаковым на обеих сторонах листа. Составляющая магнитной силы, параллельная линиям тока, тоже непрерывна, но тангенциальная составляющая, перпендикулярная линиям тока на листе, разрывна. Если 𝑠 -длина некоторой проведённой на листе кривой, то составляющая магнитной силы в направлении 𝑑𝑠 на отрицательной стороне листа равна -(𝑑Ω₁/𝑑𝑠), а на положительной стороне

𝑑Ω₂

𝑑𝑠

–

𝑑Ω₁

𝑑𝑠

–

4π

𝑑φ

𝑑𝑠

Составляющая магнитной силы на положительной стороне превышает, таким образом, составляющую магнитной силы на отрицательной стороне на величину 4π(𝑑φ/𝑑𝑠) которая максимальна в данной точке, когда элемент 𝑑𝑠 перпендикулярен линиям тока.

О наведении электрических токов в листе с бесконечной проводимостью

654. Как было показано в п. 579, в любом контуре

𝐸

𝑑𝑝

𝑑𝑡

𝑅𝑖

где 𝐸 – приложенная электродвижущая сила, 𝑝 – электрокинетический импульс (количество движения) контура, 𝑅 – сопротивление контура, 𝑖 – ток, текущий по нему. Если отсутствуют приложенная электродвижущая сила и сопротивление, 𝑑𝑝/𝑑𝑡=0 или величина 𝑝 постоянна.

Далее, в п. 588 было показано, что электрокинетический импульс контура 𝑝 измеряется поверхностным интегралом от магнитной индукции, пронизывающей контур. Следовательно, в случае токового листа без сопротивления поверхностный интеграл от магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, проведённую на поверхности листа, должен быть постоянным; это означает, что в каждой точке токового листа нормальная составляющая магнитной индукции остаётся величиной постоянной.

655. Таким образом, если благодаря перемещению магнитов или изменению текущих поблизости токов магнитное поле каким-то образом меняется, то в токовом листе возникнут такие электрические токи, что их магнитное действие совместно с действием магнитов или токов в поле будет поддерживать неизменной нормальную составляющую магнитной индукции в каждой точке листа. Если же вначале не было никакого магнитного действия и не было токов в листе, то нормальная составляющая магнитной индукции всегда будет равна нулю во всех точках листа.

Поэтому такой лист можно считать непроницаемым для магнитной индукции; линии магнитной индукции будут отклоняться им точно так же, как отклонялись бы линии потока электрического тока в бесконечной и однородной проводящей среде при введении листа такой же формы, но изготовленного из вещества с бесконечным сопротивлением.

Если лист образует замкнутую или бесконечную поверхность, то любое магнитное действие, имеющее место по одну сторону листа, не произведёт никаких магнитных эффектов по другую его сторону.

Теория плоского токового листа

656. Мы уже знаем, что внешнее магнитное действие токового листа эквивалентно действию магнитной оболочки, мощность которой в каждой её точке численно равна величине функции тока φ. Когда лист плоский, мы можем выразить все величины, необходимые для определения электромагнитных эффектов, через одну-единственную функцию 𝑃, которая является потенциалом, создаваемым слоем некоторой воображаемой материи, распределённой на этой плоскости с поверхностной плотностью φ. Величина 𝑃, разумеется, равна

𝑃

∬

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

(1)

где 𝑟 – расстояние от точки (𝑥,𝑦,𝑧), в которой вычисляется 𝑃, до точки (𝑥',𝑦',0), лежащей на плоскости листа, в которой берётся элемент интегрирования 𝑑𝑥'𝑑𝑦'.

Для отыскания магнитного потенциала мы можем рассматривать магнитную оболочку, как бы состоящую из двух поверхностей, параллельных плоскости 𝑥𝑦 первая плоскость (её уравнение 𝑧=𝑐/2) имеет поверхностную плотность φ/𝑐, а вторая плоскость (её уравнение 𝑧=-𝑐/2) имеет поверхностную плотность -φ/𝑐.

Потенциалы, обусловленные этими поверхностями, будут соответственно такими:

𝑐

𝑃

⎛

⎝

𝑧

–

𝑐

⎞

⎠

𝑐

𝑃

⎛

⎝

𝑧

–

𝑐

⎞

⎠

где индексы указывают на то, что в первом выражении вместо 𝑧 берется 𝑧-𝑐/2, а во втором 𝑧+𝑐/2. Разлагая эти выражения по теореме Тейлора и складывая их, сделаем затем величину 𝑐 бесконечно малой; тогда для магнитного потенциала, создаваемого листом в любой точке, расположенной вне его, получим

–

𝑑𝑃

𝑑𝑧

(2)

657. Величина 𝑃 симметрична относительно плоскости листа, поэтому при замене 𝑧 на -𝑧 она остаётся неизменной; магнитный потенциал Ω при замене 𝑧 на -𝑧 меняет знак.

На положительной поверхности листа

–

𝑑𝑃

𝑑𝑧

2πφ

(3)

На отрицательной поверхности листа

–

𝑑𝑃

𝑑𝑧

–2πφ

(4)

В пределах самого листа, если магнитные эффекты возникают из-за намагниченности его вещества, магнитный потенциал изменяется непрерывно от значения, равного 2πφ на положительной поверхности, до значения, равного -2πφ на отрицательной поверхности.

Если лист содержит электрические токи, магнитная сила внутри него не удовлетворяет условиям существования потенциала; однако сама магнитная сила в нём является совершенно определённой.

Её нормальная составляющая

–

𝑑Ω

𝑑𝑧

𝑑²𝑃

𝑑𝑧²

(5)

одна и та же как на обеих сторонах листа, так и внутри его вещества.

Если α и β являются составляющими магнитной силы, параллельными 𝑥 и 𝑦 на положительной поверхности, а α', β', – аналогичные составляющие на отрицательной поверхности, то

–2π

𝑑φ

𝑑𝑥

–α'

(6)

–2π

𝑑φ

𝑑𝑦

–β'

(7)

Внутри листа эти составляющие меняются непрерывно от значений α и β до значений α' и β'.

Уравнения

𝑑𝐻

𝑑𝑦

–

𝑑𝐺

𝑑𝑧

–

𝑑Ω

𝑑𝑥

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝑑𝐹

𝑑𝑧

–

𝑑𝐻

𝑑𝑥

–

𝑑Ω

𝑑𝑦

𝑑𝐺

𝑑𝑥

–

𝑑𝐹

𝑑𝑦

–

𝑑Ω

𝑑𝑧

(8)

связывающие составляющие вектор-потенциала 𝐹, 𝐺, 𝐻, обусловленного токовым листом, со скалярным потенциалом Ω, удовлетворяются, если мы положим

𝐹

𝑑𝑃

𝑑𝑦

𝐺

–

𝑑𝑃

𝑑𝑥

𝐻

(9)

Эти величины мы можем получить также непосредственным интегрированием; так, для 𝐹 имеем

𝐹

∬

𝑢

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

∬

𝑟

𝑑φ

𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

∫

𝑟

𝑑𝑥'

–

∬

𝑑

𝑑𝑦'

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

Интеграл должен вычисляться для бесконечного плоского листа, а первый член на бесконечности исчезает, поэтому всё это выражение сводится к его второму члену. Заменяя

𝑑

𝑑𝑦

𝑟

на

𝑑

𝑑𝑦'

𝑟

и помня, что φ зависит от 𝑥' и 𝑦', но не зависит от 𝑥, 𝑦, 𝑧, мы получаем

𝐹

𝑑

𝑑𝑦

∬

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

𝑑𝑃

𝑑𝑦

, (согласно (1)).

Если Ω' есть магнитный потенциал, создаваемый какой-либо магнитной или электрической системой, расположенной вне листа, мы можем записать

𝑃'

∫

𝑑𝑧

(10)

и тогда для составляющих вектор-потенциала, обусловленного этой системой, будем иметь

𝐹'

𝑑𝑃'

𝑑𝑦

𝐺'

–

𝑑𝑃'

𝑑𝑥

𝐻'

(11)

658. Определим теперь электродвижущую напряжённость в произвольной точке листа, считая его неподвижным.

Пусть 𝑋 и 𝑌 будут составляющими электродвижущей напряжённости, параллельными соответственно 𝑥 и 𝑦, тогда, согласно п. 598, имеем

𝑋

–

𝑑

𝑑𝑡

(𝐹+𝐹')

–

𝑑ψ

𝑑𝑥

(12)

𝑌

–

𝑑

𝑑𝑡

(𝐺+𝐺')

–

𝑑ψ

𝑑𝑦

(13)

Если электрическое сопротивление листа однородно и равно σ, то

𝑌

σ𝑢

𝑍

σ𝑣

(14)

где 𝑢 и 𝑣 – составляющие тока, выражаемые через функцию тока ψ:

Но по уравнению (3) на положительной поверхности токового листа 2πφ=-𝑑𝑃/𝑑𝑧.

Следовательно, уравнения (12) и (13) могут быть записаны в форме

2π

𝑑²𝑃

𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑²

𝑑𝑦𝑑𝑡

(𝑃+𝑃')

–

𝑑ψ

𝑑𝑥

(16)

2π

𝑑²𝑃

𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑑²

𝑑𝑥𝑑𝑡

(𝑃+𝑃')

–

𝑑ψ

𝑑𝑦

(17)

где величины, стоящие во всех выражениях, соответствуют положительной поверхности листа.

Дифференцируя первое из этих уравнений по 𝑥 и второе уравнение по 𝑦, а затем складывая результаты, получаем

𝑑²ψ

𝑑𝑥²

𝑑²ψ

𝑑𝑦²

(18)

Единственным решением этого уравнения, конечным и непрерывным в любой точке плоскости и исчезающим на бесконечном расстоянии от неё, является

(19)

Следовательно, индуцирование электрических токов в бесконечном плоском листе с однородной проводимостью не сопровождается появлением разности электрических потенциалов между различными частями листа.

Подставляя это значение -ψ и интегрируя уравнения (16) и (17), мы получаем

2π

𝑑𝑃

𝑑𝑧

–

𝑑𝑃

𝑑𝑡

–

𝑑𝑃'

𝑑𝑡

𝑓(𝑧,𝑡).

(20)

Поскольку величины токов в листе найдены дифференцированием по 𝑥 или 𝑦, то произвольная функция от 𝑧 и 𝑡 при этом исчезает, и мы не будем принимать её в расчёт.

Далее вместо σ/(2π) мы будем употреблять один символ 𝑅, который представляет собой некоторую скорость; тогда уравнение, связывающее 𝑃 и 𝑃', станет таким:

𝑅

𝑑𝑃

𝑑𝑧

𝑑𝑃

𝑑𝑡

𝑑𝑃'

𝑑𝑡

(21)

659. Предположим сначала, что нет внешних магнитных систем, действующих на токовый лист. Поэтому мы можем положить 𝑃'=0. Тогда приходим к случаю системы электрических токов в листе, предоставленных самим себе, но воздействующих друг на друга через взаимную индукцию и в то же самое время теряющих энергию из-за сопротивления листа. Результат выражается уравнением

𝑅

𝑑𝑃

𝑑𝑧

𝑑𝑃

𝑑𝑡

(22)

решением которого является

𝑃

𝐹

{

𝑥,𝑦(𝑧+𝑅𝑡)

(23)

Следовательно, значение 𝑃 в произвольной точке на положительной стороне листа с координатами 𝑥, 𝑦, 𝑧 в момент времени 𝑡 равно значению 𝑃 в точке 𝑥,𝑦,(𝑧+𝑅𝑡) в момент времени 𝑡=0.

Поэтому если в однородном плоском листе неограниченной протяжённости возбуждена какая-то система токов и предоставлена затем самой себе, то производимый ею в любой точке на положительной стороне листа магнитный эффект будет таким же, как если бы эта система токов на листе поддерживалась неизменной, а сам лист двигался бы с постоянной скоростью 𝑅 в направлении нормали, выходящей из отрицательной стороны. Уменьшение электромагнитных сил, возникающее из-за спадания тока в реальном случае, представляет собой точно то уменьшение сил, которое связано с увеличением расстояния в воображаемом случае.

660. Интегрируя уравнение (21) по 𝑡, получаем

𝑃

𝑃'

∫

𝑅

𝑑𝑃

𝑑𝑧

𝑑𝑡

(24)

Если предположить, что сначала обе величины 𝑃 и 𝑃' равнялись нулю и что магнит (или электромагнит) внезапно подвергся намагничиванию или был принесён из бесконечности, мгновенно изменив значение 𝑃' от нуля до 𝑃', то, поскольку интеграл по времени в правой части (24) исчезает, мы должны в первое мгновение на поверхности листа получить 𝑃=-𝑃'.

Таким образом, система токов, возбуждаемых в листе при мгновенном введении системы, обусловливающей значение 𝑃', такова, что на поверхности листа она полностью нейтрализует магнитное действие этой системы.

Поэтому на поверхности листа и, следовательно, во всех точках на его отрицательной стороне начальная система токов производит действие равное, но противоположное действию магнитной системы на положительной стороне. Мы можем выразить это, сказав, что действие токов эквивалентно действию изображения магнитной системы, совпадающей по своему положению с исходной системой, но противоположной ей в отношении намагниченности и электрических токов. Такое изображение называется отрицательным.

Действие токов в листе в некоторой его точке на положительной стороне эквивалентно действию положительного изображения магнитной системы на отрицательной стороне листа, причём линии, соединяющие соответствующие точки, пересекаются с листом под прямыми углами.

Магнитное действие в некоторой точке по любую сторону от листа, обусловленное токами в этом листе, можно, следовательно, рассматривать как действие, создаваемое изображением магнитной системы, расположенным по ту сторону от листа, которая противоположна этой точке, причём изображение является положительным или отрицательным в соответствии с тем, находится точка на положительной или на отрицательной стороне листа.

661. Если лист обладает бесконечной проводимостью, то 𝑅=0, и правая часть уравнения (24) также равна нулю; таким образом, изображение в любой момент времени будет представлять действие текущих в листе токов.

В случае реального листа сопротивление 𝑅 имеет некоторое конечное значение. Поэтому только что описанное изображение воспроизведёт действие токов лишь в первый момент после мгновенного введения магнитной системы. Сразу же вслед за этим токи начнут убывать, и эффект от этого спадания будет в точности воспроизведён, если предположить, что два изображения движутся из своих первоначальных положений с постоянной скоростью 𝑅 в направлении нормалей, проведённых от листа.

662. Теперь мы подготовлены к исследованию системы токов, индуцированных в листе любой системой (𝑀) магнитов или электромагнитов, расположенных по положительную сторону от листа, когда их положения и мощности меняются произвольным образом.

Пусть 𝑃', как и прежде, будет той функцией, из которой, пользуясь уравнениями (3), (9) и т.д., следует выводить непосредственное действие этой системы, тогда (𝑑𝑃'/𝑑𝑡)δ𝑡 окажется функцией, соответствующей системе, представляемой величиной (𝑑𝑀/𝑑𝑡)δ𝑡. Можно считать, что эта величина, равная приращению 𝑀 за время δ𝑡, сама представляет магнитную систему.

Предположим, что в момент времени 𝑡 по отрицательную сторону листа сформировалось положительное изображение системы (𝑑𝑀/𝑑𝑡)δ𝑡, тогда магнитное действие в любой точке с положительной стороны листа, обусловленное этим изображением, будет эквивалентно действию токов в листе, возбуждённых изменением 𝑀 в первый момент непосредственно после этого изменения; если изображение, как только оно возникло, начнёт двигаться в отрицательном направлении 𝑟 с постоянной скоростью 𝑅, то оно будет продолжать служить эквивалентом токов, индуцированных в листе.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."