Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 21 (всего у книги 34 страниц)

В некоторых случаях непосредственное интегрирование наиболее удобно, однако существуют и другие случаи, когда к более полезным результатам приводит следующий метод аппроксимации.

Пусть 𝑃 – произвольная функция 𝑥 и 𝑦, требуется найти значение 𝑃, где

𝑃

_𝑥𝑦

+½𝑥

∫

–½𝑥

+½𝑦

∫

–½𝑦

𝑃

𝑑𝑥

𝑑𝑦

В этом выражении 𝑃 есть среднее значение 𝑃 внутри пределов интегрирования.

Обозначим через 𝑃₀ значение 𝑃 при 𝑥=0 и 𝑦=0, тогда, разлагая 𝑃 по теореме Тейлора, получим

𝑃

𝑃₀

𝑥

𝑑𝑃₀

𝑑𝑥

𝑦

𝑑𝑃₀

𝑑𝑦

𝑥²

𝑑²𝑃₀

𝑑𝑥²

+…

Проинтегрировав это выражение в прежних пределах и разделив результат на 𝑥𝑦, мы получим для 𝑃:

𝑃

𝑃₀

⎛

⎜

⎝

𝑥²

𝑑²𝑃₀

𝑑𝑥²

𝑦²

𝑑²𝑃₀

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

1920

⎛

⎜

⎝

𝑥⁴

𝑑⁴𝑃₀

𝑑𝑥⁴

𝑦⁴

𝑑⁴𝑃₀

𝑑𝑦⁴

⎞

⎟

⎠

576

𝑥²𝑦

𝑑⁴𝑃₀

𝑑𝑥²𝑑𝑦²

+…

Рассмотрим катушку, у которой внешний и внутренний радиусы соответственно равны 𝐴+ξ/2 и 𝐴-ξ/2, а расстояние плоскостей намотки до начала координат лежит в пределах от 𝐵+η/2 до 𝐵-η/2. В этом случае ширина катушки равна η, её глубина – ξ; пусть эти величины малы по сравнению с 𝐴 или 𝐶.

Для того чтобы подсчитать магнитное действие данной катушки, мы можем выписать последовательные члены рядов (6) и (6') п. 695 в следующем виде:

𝐺₀

𝐵

𝐶

⎧

⎨

⎩

2𝐴²-𝐵²

𝐶⁴

ξ²

–

𝐴²

𝐶⁴

η²

+…

⎫

⎬

⎭

𝐺₁

2π

𝐴²

𝐶³

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝐴²

–15

𝐵²

𝐶⁴

⎞

⎟

⎠

4𝐵²-𝐴²

𝐶⁴

η²

+…

⎫

⎬

⎭

𝐺₂

3π

𝐴²𝐵

𝐶⁵

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝐴²

–

𝐶²

35𝐴²

𝐶⁴

⎞

⎟

⎠

ξ²

4𝐵²-𝐴²

𝐶⁴

η²

+…

⎫

⎬

⎭

𝐺₃

4π

𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)

𝐶⁷

ξ²

𝐶¹¹

{

𝐶⁴(8𝐵²-12𝐴²)

35𝐴²𝐵²(5𝐴²-𝐵²)

πη²

𝐶¹¹

𝐴²{𝐴⁴-12𝐴²𝐵²+𝐵⁴}

…

, … ,

𝑔₁

π𝑎²

πξ²

𝑔₂

2π𝑎²𝑏

π𝑏ξ²

𝑔₃

3π𝑎²

(𝑏²-¼𝑎²)

ξ²(2𝑏²-3𝑎²)

η²

𝑎²

…

… .

Величины 𝐺₀, 𝐺₁, 𝐺₂, … относятся к большой катушке. Значение ω для точек, где 𝑟 меньше 𝐶, равно

2π

2𝐺₀

–

𝐺₁𝑟𝑃₁(θ)

–

𝐺₂𝑟²𝑃₂(θ)

–

… .

Величины 𝑔₁, 𝑔₂, … относятся к малой катушке. Значения ω' в точках, где 𝑟 больше 𝐶, равны

ω'

𝑔₁

𝑟²

𝑃₁(θ)

𝑔₂

𝑟³

𝑃₂(θ)

… .

Потенциал одной из этих катушек по отношению к другой в том случае, когда общий ток, протекающий через сечение каждой катушки, равен единице, следующий

𝑀

𝐺₁𝑔₁𝑃₁(θ)

𝐺₂𝑔₂𝑃₂(θ)

… .

Как найти 𝑀 через эллиптические интегралы

701. Когда расстояние между периметрами двух кругов соизмеримо с радиусом меньшего из них, приведённые здесь ряды не сходятся достаточно быстро. В любом случае, однако, мы можем найти выражение 𝑀 для двух параллельных окружностей через эллиптические интегралы.

Действительно, пусть 𝑏 – длина линии, соединяющей центры окружностей, пусть эта линия перпендикулярна плоскостям обеих окружностей и пусть 𝐴 и 𝑎 – радиусы окружностей; тогда

𝑀

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

где интегрирование проводится по обеим замкнутым кривым.

В этом случае

𝑟²

𝐴²

𝑎²

𝑏²

–

2𝐴𝑎

cos(φ-φ')

φ-φ'

𝑑𝑠

𝑎

𝑑φ

𝑑𝑠'

𝐴

𝑑φ'

𝑀

2π

∫

2π

∫

𝐴𝑎 cos(φ-φ')𝑑φ𝑑φ'

√𝐴²+𝑎²+𝑏²-2𝐴𝑎 cos(φ-φ')

-4π

√

𝐴𝑎

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑐

–

𝑐

⎞

⎟

⎠

𝐹

𝑐

𝐸

⎫

⎬

⎭

где

𝑐

2√𝐴𝑎

√(𝐴+𝑎)²+𝑏²

а 𝐹 и 𝐸 – полные эллиптические интегралы модуля 𝑐.

Отсюда, помня, что

𝑑𝐹

𝑑𝑐

𝑐(1-𝑐²)

{𝐸-(1-𝑐²)𝐹}

𝑑𝐸

𝑑𝑐

𝑐

(𝐸-𝐹)

и что 𝑐 есть функция 𝑏, мы находим

𝑑𝑀

𝑑𝑏

√𝐴𝑎

𝑏𝑐

1-𝑐²

{

(2-𝑐²)𝐸

–

2(1-𝑐²)𝐹

Если обозначить через 𝑟₁ и 𝑟₂ наибольшее и наименьшее значения 𝑟, т.е.

𝑟₁²=(𝐴+𝑎)²+𝑏²

𝑟₂²=(𝐴-𝑎)²+𝑏²

и через γ – угол, у которого cos γ=𝑟₂/𝑟₁, то

𝑑𝑀

𝑑𝑏

–π

𝑏 sin γ

√𝐴𝑎

{

2𝐹

_γ

–

(1+sec²γ)𝐸

_γ

где 𝐹_γ и 𝐸_γ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода, модули которых равны sin γ.

Если 𝐴=𝑎, то ctg γ=𝑏/(2𝑎) и

𝑑𝑀

𝑑𝑏

–2π

cos γ

{

2𝐹

_γ

–

(1+sec²γ)𝐸

_γ

Величина -𝑑𝑀/𝑑𝑏 характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.

Ввиду важности величины 𝑀 для электромагнитных вычислений значения ln (𝑀/4π√𝐴𝑎), являющегося функцией 𝑏 и, следовательно, только γ, протабулированы в интервале углов γ от 60 до 90 градусов через 6'.

Второе выражение для 𝑀

Другое выражение для 𝑀, иногда более удобное, получается, если положить 𝑐₁=(𝑟₁-𝑟₂)/(𝑟₁+𝑟₂); в этом случае

𝑀

8π

√

𝐴𝑎

√𝑐₁

{

𝐹(𝑐₁)

𝐸(𝑐₁)

Как проводить линии магнитной силы для кругового тока

702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина 𝑀 постоянна.

Вычислим величину

𝐾

_θ

sin θ

(𝐹_{sin θ}-𝐸_{sin θ})²

из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений θ.

Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат 𝑥 и 𝑧; построим окружность с центром в точке 𝑥=(𝑎/2)(sin θ+cosec θ) с радиусом (𝑎/2)(sin θ-cosec θ). Для всех точек этой окружности величина 𝑐₁ будет равна, sin θ. Следовательно, для всех точек этой окружности

𝑀

8π

√

𝐴𝑎

√𝐾_θ

𝐴

64π²

𝑀²𝐾_θ

𝑎

Теперь 𝐴 является тем значением 𝑥, для которого была найдена величина 𝑀. Таким образом, если мы проведём линию, на которой 𝑥=𝐴, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение 𝑀.

Задавая последовательно значения величины 𝑀, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для 𝐴 получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных 𝑧, на которых 𝑥 принимает найденные значения 𝐴, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.

Если положить 𝑚=8π𝑎 и 𝑀=𝑛𝑚, то 𝐴=𝑥=𝑛²𝐾_θ𝑎.. Величину 𝑛 мы можем назвать индексом линии силы.

Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» ².

²Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).

703. Если положение окружности, ось которой известна, считать заданным через расстояние 𝑏 от её центра до какой-либо фиксированной точки на оси и через её радиус 𝑎, то коэффициент индукции 𝑀 окружности по отношению к произвольной системе, состоящей из магнитов или токов, подчиняется следующему уравнению:

𝑑²𝑀

𝑑𝑎²

𝑑²𝑀

𝑑𝑏²

–

𝑎

𝑑𝑀

𝑑𝑎

(1)

Чтобы доказать это, посмотрим, какое число линий магнитной силы будет пересекать окружность, если менять 𝑎 или 𝑏.

(1). Пусть а становится равным 𝑎+δ𝑎, а 𝑏 остаётся постоянным. При такой вариации окружность, расширяясь, прочертит в своей плоскости кольцевую площадку шириной δ𝑎.

Если через 𝑉 обозначить магнитный потенциал в произвольной точке, а ось 𝑦 направить параллельно оси окружности, то магнитная сила, перпендикулярная плоскости кольца, будет равна -𝑑𝑉/𝑑𝑦.

Для того чтобы найти поток магнитной индукции через эту кольцевую поверхность, мы должны взять интеграл

2π

∫

𝑎δ𝑎

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑θ

где θ есть угловое положение точки на кольце.

Но эта величина представляет собой вариацию 𝑀, обусловленную изменением 𝑎, т.е. (𝑑𝑀/𝑑𝑎)δ𝑎. Отсюда

𝑑𝑀

𝑑𝑎

2π

∫

𝑎

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑θ

(2)

(2). Пусть 𝑏 принимает значение 𝑏+δ𝑏, а 𝑎 остаётся постоянным. При такой вариации окружность прочерчивает цилиндрическую поверхность радиуса 𝑎 длиной δ𝑏.

Магнитная сила, перпендикулярная к этой поверхности, равна в любой точке величине 𝑑𝑉/𝑑𝑟, где 𝑟 – расстояние от оси.

Отсюда

𝑑𝑀

𝑑𝑏

2π

∫

𝑎

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝑑θ

(3)

Дифференцируя уравнение (2) по 𝑎 и уравнение (3) по 𝑏, получаем

𝑑²𝑀

𝑑𝑎²

2π

∫

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑θ

–

2π

∫

𝑎

𝑑²𝑉

𝑑𝑟𝑑𝑦

𝑑θ

(4)

𝑑²𝑀

𝑑𝑏²

2π

∫

𝑎

𝑑²𝑉

𝑑𝑟𝑑𝑦

𝑑θ

(5)

Следовательно,

𝑑²𝑀

𝑑𝑎²

𝑑²𝑀

𝑑𝑏²

–

2π

∫

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑θ

𝑎

𝑑𝑀

𝑑𝑎

согласно (2).

(6)

Перенося последний член в левую часть, мы получаем уравнение (1).

Коэффициент индукции двух параллельных окружностей в случае, когда расстояние между их дугами мало по сравнению с радиусами обеих окружностей

704. Для этого случая мы могли бы получить величину 𝑀 из разложения приведённых выше эллиптических интегралов при близких к единице значениях их модуля. Однако метод, который последует далее, представляет собой более непосредственное применение электрических принципов.

Первое приближение

Пусть радиусы окружностей равны 𝑎 и 𝑎+𝑐, а расстояние между их плоскостями равно 𝑏; тогда кратчайшее расстояние между дугами окружностей равно 𝑟=√𝑐²+𝑏².

Мы должны найти поток магнитной индукции сквозь одну из окружностей, обусловленный единичным током, протекающим по другой окружности.

Мы начнём с предположения, что обе окружности лежат в одной плоскости. Рассмотрим малый элемент δ𝑠 окружности, радиус которой равен 𝑎+𝑐. В точке, находящейся в плоскости окружности на расстоянии ρ от середины δ𝑠 и в направлении, образующим с направлением δ𝑠 угол θ, магнитная сила, обусловленная элементом δ𝑠, перпендикулярна плоскости окружности и равна (1/ρ²) sin θδ𝑠.

Чтобы вычислить поверхностный интеграл от этой силы по поверхности, лежащей внутри окружности радиуса 𝑎, мы должны найти значение интеграла

2δ𝑠

π/2

∫

θ₁

𝑟₁

∫

𝑟₂

sin θ

𝑑θ

𝑑ρ

где 𝑟₁ и 𝑟₂ являются корнями уравнения

𝑟²

–

2(𝑎+𝑐)

sin θ𝑟

𝑐²

2𝑎𝑐

а именно

𝑟₁

(𝑎+𝑐)

sin θ

√

(𝑎+𝑐)²sin²θ-𝑐²-2𝑎𝑐

𝑟₂

(𝑎+𝑐)

sin θ

–

√

(𝑎+𝑐)²sin²θ-𝑐²-2𝑎𝑐

sin²θ₁

𝑐²+𝑎𝑐

(𝑐+𝑎)²

Когда 𝑐 мало по сравнению с 𝑎, мы можем положить

𝑟₁

2𝑎sin θ,

𝑟₂

𝑐/sin θ.

Интегрируя по ρ, имеем

2δ𝑠

½π

∫

θ₁

⎛

⎜

⎝

2𝑎

𝑐

sin²θ

⎞

⎟

⎠

⋅

sinθ

𝑑θ

2δ𝑠

⎡

⎢

⎣

cosθ

⎧

⎨

⎩

2-ln

⎛

⎜

⎝

2𝑎

𝑐

sin²θ

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

2ln tg

⎤

⎥

⎦

½π

θ₁

2δ𝑠

⎛

⎜

⎝

8𝑎

𝑐

–2

⎞

⎟

⎠

(приближённо).

Таким образом, для всей индукции получаем

𝑀

_𝑎𝑐

4π𝑎

⎛

⎜

⎝

8𝑎

𝑐

–2

⎞

⎟

⎠

Так как магнитная сила в произвольной точке, расстояние от которой до искривлённого провода мало по сравнению с его радиусом кривизны, приблизительно такая же, что и магнитная сила прямого провода, мы можем (п. 684) подсчитать разность между потоком индукции через окружность радиуса 𝑎-𝑐 и окружность 𝐴 по формуле

𝑀

_𝑎𝐴

–

𝑀

_𝑎𝑐

4π𝑎

{ln 𝑐-ln 𝑟}.

Откуда приближённо при условии, что радиус 𝑟 мал по сравнению с 𝑎, находим величину потока индукции между 𝐴 и 𝑎:

𝑀

_𝐴𝑎

4π𝑎

(ln 8𝑎-ln 𝑟-2).

705. Поскольку взаимная индукция между двумя витками одной и той же катушки представляет собой весьма важную величину для расчётов экспериментальных результатов, я опишу сейчас метод, с помощью которого приближение к 𝑀 для данного случая может быть осуществлено с любой требуемой степенью точности.

Мы будем предполагать, что величина 𝑀 представлена в виде

𝑀

4π

⎧

⎨

⎩

𝐴 ln

8𝑎

𝑟

𝐵

⎫

⎬

⎭

где

𝐴

𝑎

𝐴₁𝑥

𝐴₂

𝑥²

𝑎

𝐴₂'

𝑦²

𝑎

𝐴₃

𝑥³

𝑎²

𝐴₃'

𝑥𝑦²

𝑎²

+…

𝑎

^-(𝑛-1)

{

𝑥

^𝑛

𝐴

_𝑛

𝑥

^𝑛-2

𝑥²𝐴'

_𝑛

𝑥

^𝑛-4

𝑥⁴𝐴''

_𝑛

+…}

+…

𝐵

–2𝑎

𝐵₁𝑥

𝐵₂

𝑥₂

𝑎

𝐵₂'

𝑦²

𝑎

𝐵₃

𝑥³

𝑎²

𝐵₃'

𝑥𝑦²

𝑎²

+… ,

𝑎 и 𝑎+𝑥 – радиусы окружностей, а 𝑦 – расстояние между их плоскостями.

Нам нужно определить значения коэффициентов 𝐴 и 𝐵. Очевидно, что они могут содержать только чётные степени 𝑦, потому что при изменении знака 𝑦 величина 𝑀 должна остаться неизменной.

Другой набор условий мы получаем из свойства взаимности коэффициента индукции, который остаётся тем же самым независимо от того, какую из окружностей мы берём в качестве первичной. Поэтому величина 𝑀 должна остаться той же самой, когда в приведённых выше выражениях мы подставим 𝑎+𝑥 вместо 𝑎 и -𝑥 вместо 𝑥.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых сочетаниях 𝑥 и 𝑦, мы находим таким способом следующие условия взаимности:

𝐴₁

1-𝐴₁

𝐵₁

1-2-𝐵₁

𝐴₃

-𝐴₂-𝐴₃

𝐵₃

–

𝐴₁+𝐴₂-𝐵₂-𝐵₃

𝐴₃'

-𝐴₂'-𝐴₃'

𝐵₃'

𝐴₂'-𝐵₂'-𝐵₃'

;

(-)

^𝑛

𝐴

_𝑛

𝐴₂

(𝑛-2)𝐴₃

(𝑛-2)(𝑛-3)

1⋅2

𝐴₄

+…+

𝐴

_𝑛

(-)

^𝑛

𝐵

_𝑛

𝑛

𝑛-1

𝐴₁

–

𝑛-2

𝐴₂

+…+

(-)

^𝑛

𝐴

_𝑛-1

𝐵₂

(𝑛-2)𝐵₃

(𝑛-2)(𝑛-3)

1⋅2

𝐵₄

+…+

𝐵

_𝑛

Из общего уравнения для 𝑀, п. 703,

𝑑²𝑀

𝑑𝑥²

𝑑²𝑀

𝑑𝑦²

–

𝑎+𝑥

𝑑𝑀

𝑑𝑥

мы получаем другой ряд условий:

2𝐴₂

2𝐴'₂

𝐴₁

2𝐴₂

2𝐴'₂

6𝐴₃

2𝐴'₃

2𝐴₂

;

𝑛(𝑛-1)𝐴

_𝑛

(𝑛-1)𝑛𝐴

_𝑛+1

1⋅2𝐴'

_𝑛

1⋅2𝐴'

_𝑛+1

𝑛𝐴

_𝑛

(𝑛-2)(𝑛-3)𝐴'

_𝑛

(𝑛-1)(𝑛-2)𝐴'

_𝑛+1

3⋅4𝐴''

_𝑛

3⋅4𝐴''

_𝑛+1

(𝑛-2)𝐴'

_𝑛

, …;

4𝐴₂

𝐴₁

2𝐵₂

2𝐵'₂

–

𝐵₁

4𝐴'₂

6𝐴₃

𝐴₂

2𝐵'₂

6𝐵₃

𝐵'₃

6𝐴'₃

3𝐴'₂

(2𝑛-1)𝐴

_𝑛

(2𝑛+2)𝐴

_𝑛+1

(2𝑛-1)𝐴'

_𝑛

(2𝑛+2)𝐴'

_𝑛+1

𝑛(𝑛-2)𝐵

_𝑛

(𝑛+1)𝑛𝐵

_𝑛+1

1⋅2𝐵'

_𝑛

1⋅2𝐵'

_𝑛+1

Решая эти уравнения и подставляя значения коэффициентов, мы приводим ряд для 𝑀 к виду

𝑀

4π𝑎

8𝑎

𝑟

⎧

⎨

⎩

𝑥

𝑎

𝑥²+3𝑦²

16𝑎²

–

32𝑥³+3𝑥𝑦²

32𝑎³

+…

⎫

⎬

⎭

4π𝑎

⎧

⎨

⎩

–2-

𝑥

𝑎

3𝑥²-𝑦²

16𝑎²

–

𝑥³-6𝑥𝑦²

48𝑎³

+…

⎫

⎬

⎭

Как найти форму катушки, у которой при заданной длине и толщине провода коэффициент самоиндукции максимален

706. Опуская поправки, приведённые в п. 705, мы в соответствии с результата» ми п. 693 находим

𝐿

4π𝑛²𝑎

⎛

⎜

⎝

8𝑎

𝑅

–2

⎞

⎟

⎠

где 𝑛 – число витков провода, 𝑎 – средний радиус катушки, 𝑅 – среднегеометрическое расстояние поперечного сечения катушки от самого себя, см. п. 691. Если это сечение всюду подобно самому себе, то расстояние 𝑅 пропорционально его линейным размерам, а 𝑛 меняется как 𝑅².

Так как полная длина провода равна 2π𝑎𝑛, то а меняется обратно пропорционально 𝑛. Следовательно,

𝑑𝑛

𝑛

𝑑𝑅

𝑅

𝑑𝑎

𝑎

=-2

𝑑𝑅

𝑅

и мы находим условие, при котором 𝐿 может иметь максимум:

8𝑎

𝑅

Если катушка имеет круговое поперечное сечение радиуса 𝑐, то, согласно п. 692,

𝑅

𝑐

8𝑎

𝑐

откуда

𝑎

3,22𝑐

или, для того чтобы такая катушка имела максимальный коэффициент самоиндукции, её средний радиус должен превышать радиус поперечного сечения катушки в 3,22 раза. Этот результат был получен Гауссом ³.

³Werke, Göttingen edition, 1867, Bd. V, p. 622.

Если каркас, на который наматывается катушка, имеет квадратное поперечное сечение, средний диаметр катушки должен в 3,7 раз превышать сторону квадрата.

ГЛАВА XV

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРИБОРЫ

Гальванометры

707. Гальванометр – это прибор, позволяющий регистрировать или измерять электрический ток по его магнитному действию.

Когда этот прибор предназначен для обнаружения существования слабого тока, его называют чувствительным гальванометром.

Когда он предназначен для измерения тока в стандартных единицах с максимальной точностью, его называют эталонным гальванометром.

Все гальванометры основаны на принципе Швайгеровского умножителя (Schweigger’s Multiplier), в котором ток пропускается через провод, намотанный таким образом, чтобы он многократно проходил вокруг некоторой открытой области пространства, где подвешен магнит, и создавал в этой области электромагнитную силу, интенсивность которой измеряется при помощи магнита.

У чувствительных гальванометров катушка устроена таким образом, что её витки занимают положение, при котором они максимально воздействуют на магнит. Поэтому витки укладываются плотно друг к другу, чтобы быть ближе к магниту.

Эталонные гальванометры конструируются так, чтобы размеры и относительное положение всех неподвижных частей были бы точно известны, а небольшие неточности в определении положения подвижных частей вносили бы в расчёты возможно меньшую ошибку.

При создании чувствительного гальванометра мы стремимся сделать поле магнитной силы, в которое подвешивается магнит, по возможности более интенсивным. При конструировании эталонного гальванометра мы хотим сделать поле электромагнитной силы около магнита как можно более однородным и должны знать точное значение его интенсивности при заданной силе тока в катушке.

Об эталонных гальванометрах

708. В эталонном гальванометре сила тока должна быть определена через силу, с которой он воздействует на подвешенный магнит. Но распределение магнетизма внутри магнита, равно как и положение его центра в подвешенном состоянии, не могут быть установлены со сколько-нибудь высокой степенью точности. Поэтому необходимо сконструировать катушку так, чтобы она создавала поле силы, очень близкое к однородному во всей той области, где может находиться магнит при возможных перемещениях. Следовательно, размеры катушки должны в общем случае значительно превышать размеры магнита.

При надлежащем размещении нескольких катушек можно создать внутри них существенно более однородное поле силы, чем при использовании только одной катушки; при этом и размеры прибора могут быть уменьшены, и его чувствительность повышена. Однако ошибки в измерении линейных размеров вносят большую неопределённость в значения электрических постоянных малых приборов, нежели больших. Поэтому лучше определять электрические постоянные небольших приборов не путём непосредственного измерения их размеров, а при электрическом сравнении с большими эталонными приборами, для которых размеры известны более точно, см. п. 752.

Во всех эталонных гальванометрах используются круглые катушки. Каркас, на который должна быть намотана катушка, вытачивается очень тщательно. Его ширина делается равной некоторому целому числу 𝑛 диаметров провода с покрытием. В боковой стенке каркаса просверливается отверстие для ввода провода; через это отверстие пропускается один конец провода, образующий внутреннее сочленение к катушке. К каркасу прикрепляется деревянная ось, и он помещается в токарный станок, см. рис. 49. К деревянной оси в той же части периметра, где вводится провод, прикрепляется конец длинной нити. Всё это затем приводится во вращение, и провод плавно и ровно укладывается на дно Каркаса до тех пор, пока оно полностью не покроется 𝑛 витками. При этом нить тоже 𝑛 раз намотается на деревянную ось; на её 𝑛-м витке вбивается гвоздик.

Рис. 49

Витки нити следует наматывать так, чтобы их легко было сосчитать. После этого замеряется внешний периметр первого слоя намотки и начинается новый слой, и так до тех пор, пока не будет намотано нужное число слоёв. Назначение нити состоит в том, чтобы можно было сосчитать число витков. Если по какой-то причине мы должны размотать часть катушки, то нить тоже разматывается, и мы не потеряем счёт действительному числу витков катушки. Гвоздики служат для того, чтобы различать число витков в каждом слое.

Измерение периметра каждого слоя контролирует регулярность намотки и позволяет вычислять электрические постоянные катушки. Действительно, если взять среднее арифметическое от периметра каркаса и внешнего слоя и добавить к нему периметры всех промежуточных слоёв, а затем разделить сумму на число слоёв, то получится средний периметр, откуда можно получить величину среднего радиуса катушки. Периметр каждого слоя можно измерить с помощью стальной рулетки, а ещё лучше – с помощью градуированного колёсика, которое катится по катушке, когда она поворачивается в процессе намотки. Цена делений на рулетке или на колёсике должна быть установлена путём сравнения с прямолинейной шкалой.

709. Момент силы, с которой единичный ток в катушке воздействует на подвешенную часть аппаратуры, можно выразить в виде ряда

𝐺₁𝑔₁

sin θ

𝐺₂𝑔₂

sin θ

𝑃₂'(θ)

+… ,

где коэффициенты 𝐺 относятся к катушке, коэффициенты 𝑔 – к подвешенной аппаратуре, θ – угол между осью катушки и осью подвешенной аппаратуры,, см. п. 700.

Если подвешенная часть аппаратуры представляет собой длинный стержневой магнит длиной 2𝑙, однородно намагниченный в продольном направлении с единичной мощностью и прикреплённый к подвесу за середину, то 𝑔₁=2𝑙, 𝑔₂=0, 𝑔₂=2𝑙³, …. Значения этих коэффициентов для стержневого магнита длины 2𝑙, намагниченного любым другим способом, оказываются меньшими, чем при однородном намагничении.

710. Если прибор используется как тангенс-гальванометр, то катушка закрепляется таким образом, чтобы плоскость её была вертикальна и параллельна направлению земной магнитной силы. Уравнение равновесия магнита в этом случае

𝑚𝑔₁

𝐻 cos θ

𝑚γ

sin θ

{

𝐺₁𝑔₁

𝐺₂𝑔₂

𝑃₂'(θ)

+…

где 𝑚𝑔₁ – магнитный момент магнита, 𝐻 – горизонтальная составляющая земной магнитной силы, γ – сила тока в катушке. Когда длина магнита мала по сравнению с радиусом катушки, то всеми членами по 𝐺 и 𝑔 после первого можно пренебречь, и мы находим

𝐻

𝐺₁

ctg θ

Обычно измеряется угол отклонения магнита δ, который является дополнительным к θ, так что ctg θ=ctg δ.

Ток, таким образом, пропорционален тангенсу угла отклонения, поэтому прибор называют тангенс-гальванометром.

При другом методе всё устройство может вращаться вокруг вертикальной оси; его поворачивают до тех пор, пока магнит не окажется в равновесии, при котором его ось параллельна плоскости катушки. Если угол между плоскостью катушки и магнитным меридианом равен δ, то уравнение равновесия следующее:

𝑚𝑔₁

𝐻 sin δ

𝑚γ

⎧

⎨

⎩

𝐺₁𝑔₁

–

𝐺₃𝑔₃

+…

⎫

⎬

⎭

откуда

𝐻

(𝐺₁-…)

sin δ

Поскольку ток измеряется через синус угла отклонения, то прибор, используемый в таком режиме, называется синус-гальванометром.

Метод синусов может быть применён лишь в том случае, когда ток меняется настолько плавно, что его можно считать постоянным в течение всего времени регулировки прибора и установления магнита в равновесии.

711. Теперь нам надо рассмотреть устройство катушек эталонного гальванометра.

Простейшим является гальванометр, в котором имеется лишь одна катушка, а в центре её подвешен магнит.

Пусть 𝐴 – средний радиус катушки, ξ – её высота, η – ширина, а 𝑛 – число витков; тогда значения коэффициентов равны

𝐺₁

2π𝑛

𝐴

⎧

⎨

⎩

ξ²

𝐴²

–

η²

𝐴²

⎫

⎬

⎭

𝐺₂

𝐺₃

π𝑛

𝐴³

⎧

⎨

⎩

ξ²

𝐴²

–

η²

𝐴²

⎫

⎬

⎭

𝐺₄

, …

Основная поправка возникает из-за 𝐺₃. Ряд 𝐺₁𝑔₁+𝐺₃𝑔₃𝑃₃'(θ) приближённо принимает вид

𝐺₁𝑔₁

⎛

⎜

⎝

1-3

𝐴²

𝐺₃

𝐺₁

⎛

⎜

⎝

cos²θ

–

sin²θ

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

Когда магнит намагничен однородно и θ=0, поправочный множитель сильнее всего отличается от единицы. В этом случае он равен 1-3(𝑙²/𝐴²). При tg θ=2, т.е. когда угол отклонения равен arctg ½, или 26°34', этот множитель обращается в нуль. Поэтому некоторые экспериментаторы проводят свои опыты так, чтобы сделать наблюдаемое отклонение максимально близким к этому углу. Однако самый лучший метод состоит в использовании такого короткого по сравнению с радиусом катушки магнита, что можно вообще пренебречь всеми поправками.

Подвешенный магнит тщательно устанавливается так, чтобы центр его как можно точнее совпадал с центром катушки. Если, однако, регулировка несовершенна и координаты центра магнита относительно центра катушки равны 𝑥, 𝑦, 𝑧, (𝑧 измеряется параллельно оси катушки), то корректирующий множитель равен

⎛

⎜

⎝

𝑥²+𝑦²-2𝑧²

𝐴²

⎞

⎟

⎠

Для катушки большого радиуса при тщательно проведённой установке магнита мы можем считать эти поправки неощутимыми.

Прибор Гогейна (Gaugain)

712. Чтобы избавиться от поправок, связанных с величиной 𝐺₃, Гогейн сконструировал такой гальванометр, для которого этот член уменьшается до нуля; это достигается путём подвешивания магнита не в центре катушки, а в точке её оси, отстоящей от центра на половину радиуса катушки. Формула для 𝐺₃ такова:

𝐺₃

4π

𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)

𝐶⁷

и поскольку для этой конструкции 𝐵=𝐴/2, то 𝐺₃=0.

Эта конструкция могла бы считаться улучшенной по сравнению с предыдущей, если бы мы были уверены в том, что центр подвешенного магнита находится точно в найденной таким образом точке. Однако положение центра магнита всегда обладает некоторой неопределённостью, и эта неопределённость вводит корректирующий множитель неизвестной величины, зависящий от 𝐺₂ вида

⎛

⎜

⎝

𝑧

𝐴

⎞

⎟

⎠

где 𝑧 – неизвестное превышение расстояния центра магнита от плоскости катушки. Эта поправка зависит от первой степени 𝑧/𝐴. Таким образом, катушка Гогейна с эксцентрически подвешенным магнитом подвержена, гораздо большим неточностям, чем прежняя конструкция.

Прибор Гельмгольца

713. Гельмгольц преобразовал гальванометр Гогейна в более надёжный прибор, поместив на том же расстоянии по другую сторону от магнита вторую катушку, одинаковую с первой.

Размещая эти катушки симметрично по обе стороны от магнита, мы сразу же избавляемся от всех членов чётного порядка.

Пусть 𝐴 – средний радиус любой из катушек; расстояние между их средними плоскостями также берётся равным 𝐴. Магнит подвешивается в средней точке их общей оси. Коэффициенты равны:

𝐺₁

16π𝑛

5√5

𝐴

⎛

⎜

⎝

ξ²

𝐴²

⎞

⎟

⎠

𝐺₂

𝐺₃

π𝑛

3√5𝐴⁵

(31ξ²-36η²)

𝐺₄

𝐺₅

-0,73728

π𝑛

√5𝐴⁵

где 𝑛 обозначает число витков в обеих катушках, вместе взятых.

Из этих результатов следует, что если каркас катушки с намоткой по φ имеет прямоугольное сечение высотой ξ и шириной η, то величина 𝐺₃ с учётом поправки на конечные размеры сечения будет малой, а при отношении ξ² к η², равном 36 к 31, она обращается в ноль.

Поэтому совсем не обязательно стараться наматывать катушку на коническую поверхность, как это делалось некоторыми изготовителями приборов, ибо соответствующим условиям можно удовлетворить с помощью катушек прямоугольного сечения, которые могут быть изготовлены с гораздо большей точностью, чем катушки, намотанные на конус с широким раствором.

Расположение катушек в двойном гальванометре Гельмгольца представлено на рис. 53 в п. 725.

Поле силы, создаваемое двойной катушкой в плоскости её сечения, представлено на рис. XIX в конце данного тома.

Четырехкатушечный гальванометр

714. Комбинируя четыре катушки, можно избавиться от коэффициентов 𝐺₂, 𝐺₃, 𝐺₄, 𝐺₅, и 𝐺₆. При любой симметричной комбинации мы избавляемся от коэффициентов чётных порядков. Пусть четыре катушки будут параллельны окружностям, принадлежащими одной и той же сфере, а соответствующие им углы равны θ, φ, π-φ и π-θ.

Пусть число витков в первой и четвёртой катушках равно 𝑛, а во второй и третьей -𝑝𝑛; Тогда условие того, что для этой комбинации 𝐺₂=0, даёт

𝑛sin²θ

𝑃₃'(θ)

𝑝𝑛sin²φ

𝑃₃'(φ)

(1)

а условие того, что 𝐺₅=0, даёт

𝑛sin²θ

𝑃₅'(θ)

𝑝𝑛sin²φ

𝑃₅'(φ)

(2)

Полагая

sin²θ

𝑥

sin²φ

𝑦

(3)

и выражая 𝑃₃' и 𝑃₅' (п. 698) через эти величины, получим в качестве уравнений (1) и (2)

4𝑥

–

5𝑥²

4𝑝𝑦

–

5𝑝𝑦²

(4)

8𝑥

–

28𝑥²

21𝑥³

8𝑝𝑦

–

28𝑝𝑦²

21𝑝𝑦³

(5)

Дважды вычитая (4) из (5) и деля на 3, получаем

6𝑥²

–

7𝑥³

6𝑝𝑦²

–

7𝑝𝑦³

(6)

Следовательно, из (4) и (6) имеем

𝑝

𝑥

𝑦

5𝑥-4

4-5𝑦

𝑥²

𝑦²

7𝑥-6

6-7𝑦

и мы получаем

𝑦

7𝑥-6

5𝑥-4

𝑝

49𝑥

7𝑥-6

(5𝑥-4)³

Как 𝑥, так и 𝑦 являются квадратами синусов углов и должны поэтому лежать в пределах от 0 до 1. Следовательно, либо 𝑥 лежит между 0 и 4/7, при этом 𝑦 находится между 6/7 и 1, а 1/𝑝 – между ∞ и 49/32, или же 𝑥 лежит между 6/7 и 1, при этом 𝑦 находится между 0 и 4/7, а 1/𝑝 – между 0 и 32/49.

Трёхкатушечный гальванометр

715. Наиболее удобным является расположение катушек, при котором 𝑥=1. В этом случае две катушки совмещаются друг с другом и образуют большую окружность сферы радиуса 𝐶. Число витков в этой составной катушке равно 64. Две другие катушки образуют малые окружности сферы. Радиус каждой из них равен √4/7𝐶. Расстояние от каждой из них до плоскости первой катушки равно √3/7𝐶. Число витков в каждой из этих катушек равно 49.

Значение 𝐺₁ равно 240π/𝐶.

Такое расположение катушек показано на рис. 50.

Рис. 50

Поскольку для такого трёхкатушечного гальванометра первым после 𝐺₁ членом, имеющим конечное значение, является 𝐺₇, то в большей части пространства внутри сферы, на поверхности которой лежат катушки, поле силы будет довольно однородным.

Если бы мы могли намотать провод по всей сферической поверхности, как описано в п. 672, мы получили бы поле абсолютно однородной силы. Однако, даже отвлекаясь от того, что область внутри такой катушки, образующей замкнутую поверхность, недоступна извне, практически невозможно распределить обмотку на сферической поверхности с достаточной точностью.

Исключая из цепи тока среднюю катушку и пропуская ток через две боковые катушки в противоположных направлениях, мы получаем поле силы, которое в направлении оси обладает почти однородным действием на магнит или катушку, подвешенные в нём так, что их ось совпадает с осью катушек, см. п. 673. Действительно, в этом случае все коэффициенты нечётных порядков исчезают, а в силу равенства μ=√3/7 мы имеем 𝑃₄'=(5/2)μ(7μ²-3)=0.

Следовательно, выражение (6) п. 695 для магнитного потенциала вблизи центра катушки принимает вид

√3

√7

π𝑛

⎧

⎨

⎩

–3

𝑟²

𝐶²

𝑃₂(θ)

𝑟⁶

𝐶⁶

𝑃₆(θ)

+…

⎫

⎬

⎭

где 𝑛 – число витков в каждой из катушек.

О необходимой толщине провода гальванометра при заданном внешнем сопротивлении

716. Пусть форма каркаса, внутри которого наматывается катушка гальванометра, задана и требуется определить, должен ли он быть заполнен длинным тонким или коротким толстым проводом.

Пусть 𝑙 – длина провода, 𝑦 – его радиус, 𝑦+𝑏 – радиус провода с покрытием, ρ – удельное сопротивление, 𝑔 – значение 𝐺 для единицы длины провода, а 𝑟 – та часть сопротивления, которая не зависит от гальванометра.

Сопротивление провода гальванометра равно

𝑅

𝑙

𝑦²

Объём катушки равен 𝑉=π𝑙(𝑦+𝑏)².

Электромагнитная сила равна γ𝐺, где γ – сила тока, а 𝐺=𝑔𝑙.

Если 𝐸 является электродвижущей силой, действующей в контуре с сопротивлением 𝑅+𝑟, то 𝐸=γ(𝑅+𝑟).

Электромагнитная сила, обусловленная этой электродвижущей силой, равна 𝐸𝐺/(𝑅+𝑟), её мы и должны сделать максимальной, меняя величины 𝑦 и 𝑙.

Перевёртывая эту дробь, мы получаем выражение

π𝑔

𝑦²

𝑟

𝑔𝑙

которое следует сделать минимальным. Следовательно,

𝑑𝑦

𝑦³

𝑟 𝑑𝑙

𝑙²

Если объём катушки остаётся постоянным, то

𝑑𝑙

𝑙

𝑑𝑦

𝑦+𝑏

Исключая 𝑑𝑙 и 𝑑𝑦, получаем

𝑦+𝑏

𝑦³

𝑟

𝑙

или

𝑟

𝑅

𝑦+𝑏

𝑦

Таким образом, толщина провода в гальванометре должна быть такой, чтобы внешнее сопротивление относилось к сопротивлению катушки гальванометра как диаметр провода вместе с изоляцией к диаметру собственно провода.

О чувствительных гальванометрах

717. При конструировании чувствительного гальванометра назначение каждой из его частей состоит в обеспечении максимально возможного отклонения магнита посредством малой заданной электродвижущей силы, приложенной между клеммами катушки.

Протекающий по проводу ток производит наибольшее действие тогда, когда он находится на возможно более близком расстоянии от подвешенного магнита. Магнит, однако, должен свободно колебаться, и поэтому какое-то пространство внутри катушки необходимо оставить пустым. Это определяет границу катушки изнутри.

Вне этой области каждый виток должен располагаться так, чтобы производить максимально возможное воздействие на магнит. По мере увеличения числа витков заполняются наиболее выгодные места, так что в конце концов сопротивление нового витка более уменьшает действие тока предыдущих витков, нежели сам новый виток добавляет к нему. Изготавливая внешние витки из более толстого провода, чем внутренние, мы получаем наибольший магнитный эффект при заданной электродвижущей силе.

718. Будем предполагать, что витки в гальванометре представляют собой окружности, а ось гальванометра проходит через центры этих окружностей под прямым углом к их плоскостям.

Пусть 𝑟 sin θ будет радиусом одной из этих окружностей, а 𝑟 cos θ – расстоянием между её центром и центром гальванометра; тогда, если 𝑙 есть длина участка провода, совпадающего с данной окружностью, а γ – текущий по нему ток, то магнитная сила в центре гальванометра, спроектированная на направление его оси, равна γ𝑙𝑟^-2 sin θ.

Если записать

𝑟²

𝑥²

sin θ

(1)

то это выражение примет вид γ𝑙/𝑥².

Рис. 51

Следовательно, если сделать поверхность, подобную одной из тех, сечения которых представлены на рис. 51 (их уравнение в полярных координатах имеет вид

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."