Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 15 (всего у книги 34 страниц)
В рамках гипотезы Фехнера (Fechner) о том, что электрический ток состоит из двух равных токов положительного и отрицательного электричества, текущих через один и тот же проводник в противоположных направлениях, члены второго рода 𝑇𝑚𝑒 обращались бы в нуль, поскольку каждому из них, относящемуся к положительному току, соответствовал бы равный член противоположного знака, относящийся к отрицательному току, и не существовало бы никаких явлений, зависящих от этих членов.
Мне думается, однако, что, несмотря на те большие выгоды, которые даёт нам признание многих аналогий между током электричества и потоком материальной жидкости, мы должны тщательно избегать делать любые предположения, не подкреплённые экспериментальными свидетельствами. Я считаю, что пока ещё нет экспериментальных данных, показывающих, является ли электрический ток действительно током материального вещества или двойным током; неизвестно также мала или велика его скорость, измеренная в футах в секунду.
Знание этих фактов было бы равнозначно, по крайней мере, отправному моменту для создания полной динамической теории электричества, где электрическое действие рассматривалось бы иначе, чем в этом трактате, т.е. не как явление, причина которого неизвестна и которое подчиняется только общим законам динамики, а как результат известных движений известных элементов материи. При этом предметом исследования служили бы не только общие эффекты и конечные результаты, но и весь промежуточный механизм и детали движения.
575. Ещё более трудным является экспериментальное исследование второго члена 𝑋𝑚𝑒, а именно величины 𝑑𝑇𝑚𝑒/𝑑𝑥, так как это исследование связано с наблюдением эффектов действия силы на быстро движущееся тело.
Рис. 34
На рис. 34 показан прибор, который я построил в 1861 г., чтобы проверить существование силы такого рода.
Электромагнит 𝐴 может вращаться вокруг горизонтальной оси 𝐵𝐵', находящейся в кольце, которое само вращается вокруг вертикальной оси.
Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 являются моментами инерции электромагнита относительно оси катушки, относительно горизонтальной оси 𝐵𝐵' и относительно третьей оси 𝐶𝐶' соответственно.
Пусть 𝐶𝐶' образует с вертикалью угол θ, азимут оси 𝐵𝐵' равен φ, а ψ является переменной, от которой зависит движение электричества в катушке.
Тогда для кинетической энергии электромагнита 𝑇 можно записать 2𝑇=𝐴φ̇²sin²θ+𝐵θ̇²+𝐶φ̇²cos²θ+𝐸(φ̇sinθ+ψ̇)², где 𝐸 – величина, которую можно назвать моментом инерции электричества в катушке.
Если момент приложенной силы, стремящейся увеличить θ, равен Θ, то из уравнений динамики мы имеем
Θ
=
𝐵
𝑑²θ
𝑑𝑡²
–{
(𝐴-𝐶)φ̇²sinθcosθ
+
𝐸φ̇cosθ(φ̇sinθ+ψ̇)
}.
Приравнивая нулю момент Ψ приложенной силы (стремящейся увеличить ψ), получаем константу φ̇sinθ+ψ̇=γ, которая, как можно считать, представляет собой силу тока в катушке.
Если 𝐶 несколько превышает 𝐴, то величина Θ обратится в нуль и равновесие относительно оси 𝐵𝐵' будет устойчивым при условии, что sinθ=𝐸γ(𝐶-𝐴)φ̇.
Это значение θ зависит от величины γ, т.е. от электрического тока, и является положительным или отрицательным в соответствии с направлением тока.
Ток подводится к катушке через подшипники в точках 𝐵 и 𝐵', которые присоединены к батарее с помощью пружинок, трущихся о металлические кольца, размещённые на вертикальной оси.
Для определения значения θ в точке 𝐶 помещён бумажный диск, который делит пополам диаметр, параллельный 𝐵𝐵'; одна из этих половин окрашена в красный цвет, другая – в зелёный.
Когда прибор приведён в движение, при положительных значениях θ в точке 𝐶 виден красный кружок; его радиус приближённо указывает величину θ. При отрицательных θ в точке виден зелёный кружок.
Чтобы сделать инструмент очень чувствительным к действию силы (если таковая существует), с помощью гайки, перемещающейся вдоль прикреплённого к электромагниту винта, производится регулировка, в результате которой ось 𝐶𝐶' делается главной осью с моментом инерции, слегка превышающим момент инерции относительно оси 𝐴.
Главная трудность в экспериментах возникает из-за возмущающего действия земной магнитной силы, в результате чего электромагнит ведёт себя как вертикальный компас. В связи с этим полученные результаты были весьма грубыми, хотя никаких признаков изменения θ не удавалось обнаружить даже при помещении в катушку железного сердечника и превращении её тем самым в мощный электромагнит.
Итак, если магнит и содержит быстро вращающуюся материю, угловой момент этого вращения должен быть очень мал по сравнению с любыми величинами, которые мы можем измерять, и у нас по-прежнему отсутствуют доказательства существования членов 𝑇𝑚𝑒, вычисленных на основании их механического действия.
576. Рассмотрим далее силы, действующие на токи электричества, т.е. электродвижущие силы.
Пусть эффективная электродвижущая сила, связанная с индукцией, равна 𝑌; для того чтобы скомпенсировать её, на контур извне должна действовать электродвижущая сила 𝑌'=-𝑌. Из уравнения Лагранжа
𝑌
=
–𝑌'
=
–
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑦̇
+
𝑑𝑇
𝑑𝑦
.
Второй член равен нулю, поскольку в 𝑇 нет членов, зависящих от координаты 𝑦 так что сила 𝑌 сводится к первому члену. Следовательно, электродвижущая сила не может существовать в покоящейся системе с постоянными токами.
Далее, если мы разделим 𝑌 на три части 𝑌𝑚, 𝑌𝑒 и 𝑌𝑚𝑒, соответствующие трём частям 𝑇, мы найдём, что 𝑌𝑚=0, поскольку 𝑇𝑚 не содержит 𝑦̇.
Мы также найдём
𝑌
𝑒
=-
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑒
𝑑𝑦̇
Здесь 𝑑𝑇𝑒/𝑑𝑦̇ является линейной функцией токов, соответствующая часть электродвижущей силы равна скорости изменения этой функции. Это есть электродвижущая сила индукции, открытая Фарадеем. Мы рассмотрим её более подробно впоследствии.
577. Из части 𝑇, зависящей от произведения скоростей и токов, мы находим
𝑌
𝑚𝑒
=-
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇𝑚𝑒
𝑑𝑦̇
Теперь 𝑑𝑇𝑚𝑒/𝑑𝑦̇ является линейной функцией скоростей проводников. Следовательно, если бы какие-то члены 𝑇𝑚𝑒 реально существовали, было бы возможно вызвать появление электродвижущей силы простым изменением скоростей проводников независимо от всех существующих токов. Например, в случае подвешенной катушки п. 574 при внезапном приведении во вращение (вокруг вертикальной оси) первоначально покоящейся катушки пришла бы в действие электродвижущая сила, пропорциональная ускорению этого движения. Она исчезла бы при равномерном движении и сменила бы знак при замедлении движения.
Немногие научные наблюдения можно выполнить с большей точностью, чем то, при котором определяется наличие или отсутствие тока с помощью гальванометра. Точность этого метода намного превосходит точность большинства приборов, предназначенных для измерения действующей на тело механической силы. Следовательно, если какие-то токи и можно было бы создать указанным способом, то они, даже будучи очень слабыми, должны были быть зарегистрированы. Их отличие от обычных токов индукции определялось бы следующими характеристиками.
(1). Они зависели бы только от движений проводников и совсем не зависели бы от силы токов или от уже существующих в поле магнитных сил.
(2). Они зависели бы не от абсолютных значений скоростей проводников, а от ускорения проводников, а также от квадратов и произведений их скоростей и меняли бы знак при обращении ускорения на замедление, хотя при этом абсолютное значение скорости оставалось бы прежним.
Во всех реально наблюдавшихся случаях индуцированные токи зависели как от величин, так и от изменений токов в поле и не могли возбуждаться в поле, где магнитная сила и токи отсутствуют. В той мере, в какой они определяются движением проводников, они зависят не от изменения скорости, а от абсолютной скорости этих движений.
Таким образом, в нашем распоряжении имеется три способа обнаружить существование членов вида 𝑇𝑚𝑒, и ни один из них до сих пор не привёл к какому-либо положительному результату. Я особенно внимательно отметил эти возможности, ибо мне казалось важным иметь наибольшее количество подтверждений (в доступных нам пределах) по вопросу, столь сильно влияющему на правильную теорию электричества.
Поскольку, однако, никаких подтверждений наличия таких членов нет, я далее буду исходить из предположения, что они не существуют или, по крайней мере, не производят заметного эффекта, что существенно упростит нашу динамическую теорию. Тем не менее нам ещё представится случай при обсуждении отношения магнетизма к свету показать, что движение, составляющее свет, может входить в качестве коэффициента при членах, включающих движение, которое образует магнетизм.
ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТУРОВ
578. Теперь мы можем ограничить наше внимание лишь той частью кинетической энергии системы, которая зависит от квадратов и произведений сил электрических токов. Её можно назвать электрокинетической энергией системы. Та часть кинетической энергии, которая зависит от движения проводников, относится к обычной динамике, а той части, которая зависит от произведений скоростей на токи, как мы показали, вообще не существует.
Обозначим через 𝐴1,𝐴2,… различные проводящие контуры. Пусть их форма и относительное положение выражаются через переменные 𝑥1,𝑥2,…, число которых равно числу степеней свободы механической системы. Мы будем называть их Геометрическими Переменными.
Пусть 𝑦1 обозначает количество электричества, прошедшее через данное сечение проводника 𝐴1 с начала отсчёта времени 𝑡. Силу тока мы будем обозначать через 𝑦̇1, т.е. как производную от этой величины.
Величину 𝑦̇1 мы будем называть истинным током, а величину 𝑦 – интегральным током. Для каждого контура в системе существует одна переменная такого рода.
Обозначим через 𝑇 электрокинетическую энергию системы. Она является однородной функцией вторых степеней сил токов и имеет вид
𝑇
=
1
2
𝐿
1
𝑦̇
1
²
+
1
2
𝐿
2
𝑦̇
2
²
+…+
𝑀
12
𝑦̇
1
𝑦̇
2
+…,
(1)
где коэффициенты 𝐿,𝑀,… представляют собой функции геометрических переменных 𝑥1,𝑥2,…, Электрические переменные 𝑦1,𝑦2 в это выражение не входят.
Величины 𝐿1,𝐿2,… можно назвать электрическими моментами инерции контуров 𝐴1,𝐴2,…, а 𝑀12 – электрическим произведением инерции двух контуров 𝐴1 и 𝐴2. Когда мы захотим избежать языка динамической теории, мы будем называть 𝐿1 коэффициентом самоиндукции контура 𝐴1 а 𝑀12 – коэффициентом взаимной индукции контуров 𝐴1 и 𝐴2. Величину 𝑀12 называют также потенциалом контура 𝐴1 по отношению к контуру 𝐴2. Эти величины зависят только от формы и взаимного расположения контуров. Мы увидим, что в электромагнитной системе измерений они являются величинами, имеющими размерность длины, см. п. 627.
Дифференцируя 𝑇 по 𝑦̇1, мы получаем величину 𝑝1 которая в динамической теории может быть названа импульсом, соответствующим 𝑦1. В теории электричества мы будем называть 𝑝1 электрокинетическим импульсом контура 𝐴1. Его величина равна
𝑝
1
=
𝐿
1
𝑦̇
1
+
𝑀
12
𝑦̇
2
+….
Электрокинетический импульс контура 𝐴1 составляется, таким образом, из произведения его собственного тока на коэффициент самоиндукции и суммы произведений токов в других контурах на их коэффициенты взаимной индукции с контуром 𝐴1.
Электродвижущая сила
579. Пусть 𝐸 является электродвижущей силой в контуре 𝐴, возникающей от какого-либо источника (например, вольтовой или термоэлектрической батареи), которая создаёт ток независимо от магнитоэлектрической индукции.
Пусть 𝑅 будет сопротивлением контура, тогда по закону Ома для преодоления сопротивления требуется электродвижущая сила 𝑅𝑦̇, а для изменения импульса контура остаётся электродвижущая сила 𝐸-𝑅𝑦̇. Называя эту силу 𝑌', мы согласно общим уравнениям имеем
𝑌'
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
–
𝑑𝑇
𝑑𝑦
,
но,поскольку 𝑇 не содержит 𝑦, последний член исчезает.
Отсюда для электродвижущей силы имеем уравнение
𝐸-𝑅𝑦̇
=
𝑌'
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
,
или
𝐸
=
𝑅𝑦̇
+
𝑑𝑝
𝑑𝑡
.
Приложенная электродвижущая сила 𝐸, следовательно, есть сумма двух частей: первая, равная 𝑅𝑦̇, необходима для того, чтобы, преодолевая сопротивление 𝑅, поддерживать ток 𝑦̇; вторая часть требуется для увеличения электромагнитного импульса 𝑝. Эта электродвижущая сила должна создаваться источниками, независимыми от магнитоэлектрической индукции. Электродвижущая сила, возникающая только вследствие магнитоэлектрической индукции, равна, очевидно, 𝑑𝑝/𝑑𝑡, т.е. скорости уменьшения электрокинетического импульса контура.
Электромагнитная сила
580. Обозначим через 𝑋' приложенную механическую силу, возникающую от внешних источников и стремящуюся увеличить переменную 𝑥. Согласно общим уравнениям
𝑋'
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑥̇
–
𝑑𝑇
𝑑𝑥
.
Так как выражение для электрокинетической энергии не содержит скорости (𝑥̇), то первый член в правой части исчезает, и мы находим 𝑋'=-𝑑𝑇/𝑑𝑥.
Здесь 𝑋' – внешняя сила, требуемая для уравновешивания сил, возникающих от электрических источников. Её принято обычно рассматривать как реакцию на электромагнитную силу, которую мы будем называть 𝑋 и которая равна и противоположна 𝑋'.
Следовательно, 𝑋=𝑑𝑇/𝑑𝑥, или электромагнитная сила, стремящаяся увеличить какую-либо переменную, равна скорости увеличения электрокинетической энергии на единицу приращения этой переменной при условии, что токи поддерживаются постоянными.
Если в течение всего перемещения, за время которого электродвижущая сила совершает работу 𝑊, токи с помощью батареи поддерживаются постоянными, то электрокинетическая энергия системы за то же время увеличится на 𝑊. Поэтому в дополнение к той энергии, которая расходуется на создание тепла в контуре, из батареи извлекается дополнительно такое же количество энергии 𝑊. Впервые на это было указано сэром У. Томсоном 1 . (Сравните эти результаты с электростатическим свойством в п. 93).
1Nichol’s Cyclopaedia of the Physical Sciences, ed. 1860, article «Magnetism, Dynamical Relations of».
Случай двух контуров
581. Назовём контур 𝐴1 первичным, а контур 𝐴2 – вторичным. Электрокинетическая энергия системы может быть записана в виде
𝑇
=
1
2
𝐿𝑦̇
1
²
+
𝑀𝑦̇
1
𝑦̇
2
+
1
2
𝑁𝑦̇
2
²
где 𝐿 и 𝑁 – коэффициенты самоиндукции первичного и вторичного контуров соответственно, а 𝑀 – коэффициент их взаимной индукции.
Предположим, что на вторичный контур не действует никакая электродвижущая сила, кроме силы, обусловленной индукцией со стороны первичного контура. Тогда мы имеем
𝐸
2
=
𝑅
2
𝑦̇
2
+
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑀𝑦̇
1
+
𝑁𝑦̇
1
)=
0.
Интегрируя это уравнение по 𝑡, получим
𝑅
2
𝑦
2
+
𝑀𝑦̇
1
+
𝑁𝑦̇
2
=
𝐶
=
const
,
где 𝑦2 – интегральный ток во вторичном контуре.
Метод измерения интегрального тока малой длительности будет описан в п. 748; легко удостовериться, что в большинстве случаев длительность вторичного тока весьма незначительна.
Будем отмечать штрихами величины переменных в уравнении, относящиеся к концу времени 𝑡, тогда, если 𝑦2 обозначает интегральный ток, т.е. полное количество электричества, протёкшее через сечение вторичного контура за время 𝑡, то
𝑅
2
𝑦
2
=
𝑀𝑦̇
1
+
𝑁𝑦̇
2
–(
𝑀'𝑦̇
1
'
+
𝑁'𝑦̇
2
'
).
Пусть вторичный ток возникает целиком благодаря индукции, тогда его начальное значение 𝑦̇2 должно равняться нулю, если перед началом отсчёта времени 𝑡 первичный ток был постоянен, а проводники покоились.
Если время 𝑡 окажется достаточным для того, чтобы дать затухнуть вторичному току, то его конечное значение 𝑦̇2' также равно нулю и уравнение будет таким: 𝑅2𝑦2=𝑀𝑦̇1-𝑀'𝑦̇1'.
В этом случае интегральный ток вторичного контура зависит от начального и конечного значений 𝑀𝑦̇1.
Индуцированные токи
582. Начнём с предположения, что первичный контур разомкнут, т.е. 𝑦̇1=0, и пусть при замыкании контакта в нём устанавливается ток 𝑦̇1.
Вторичный интегральный ток определяется уравнением 𝑅2𝑦2=-𝑀'𝑦̇1'.
Когда контуры помещены рядом друг с другом и имеют одинаковые направления, величина 𝑀' положительна. Поэтому при замыкании первичного контура во вторичном контуре индуцируется отрицательный ток.
При размыкании контакта в первичном контуре первичный ток прекращается, индуцированный интегральный ток равен 𝑦2, причём 𝑅2𝑦2=𝑀𝑦̇1. В этом случае вторичный ток положителен.
Если первичный ток поддерживается постоянным, а форма или относительное положение контуров изменяется так, что 𝑀 становится равным 𝑀', то интегральный вторичный ток будет равен 𝑦2, причём 𝑅2𝑦2=(𝑀-𝑀')𝑦̇1.
В случае двух контуров, помещённых рядом и имеющих одинаковые направления, с увеличением расстояния между контурами величина 𝑀 уменьшается. Поэтому индуцированный ток положителен, когда это расстояние растёт, и отрицателен, когда оно уменьшается.
Все эти элементарные случаи индуцированных токов описаны в п. 530.
Механическое действие между двумя контурами
583. Пусть 𝑥 является любой из геометрических переменных, от которых зависит форма и относительное положение контуров; электромагнитная сила, стремящаяся увеличить 𝑥, равна
𝑋
=
1
2
𝑦̇
1
²
𝑑𝐿
𝑑𝑥
+
𝑦̇
1
𝑦̇
2
𝑑𝑀
𝑑𝑥
+
1
2
𝑦̇
2
²
𝑑𝑁
𝑑𝑥
.
Если движение системы, соответствующее изменению 𝑥, таково, что каждый из контуров перемещается как твёрдое тело, то 𝐿 и 𝑁 будут независимыми от 𝑥, и уравнение сведётся к виду
𝑋
=
𝑦̇
1
𝑦̇
2
𝑑𝑀
𝑑𝑥
.
Следовательно, если первичный и вторичный токи имеют одинаковые знаки, то сила 𝑋, действующая между контурами, будет стремиться смещать их так, чтобы увеличить значение 𝑀.
Если контуры расположены рядом, а токи текут в них в одинаковых направлениях, то 𝑀 будет увеличиваться при их сближении. Таким образом, в этом случае сила 𝑋 оказывается силой притяжения.
584. Все явления взаимодействия двух контуров, будь то индукция токов или механическая сила между ними, зависят от величины 𝑀, названной нами коэффициентом взаимной индукции. Метод расчёта этой величины из геометрических соотношений между контурами дан в п. 524, однако в исследованиях, помещённых в следующей главе, мы не будем предполагать, что математическое выражение для этой величины известно. Мы будем считать, что она найдена из опытов, связанных с индукцией, например, путём наблюдения интегрального тока при внезапном перемещении вторичного контура из данного положения на бесконечное расстояние или в любое такое положение, для которого известно, что 𝑀=0.
ГЛАВА VIII
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ВТОРИЧНОГО КОНТУРА
585. В п. 582, 583, 584 мы доказали, что электромагнитное действие между первичным и вторичным контурами зависит от некоторой величины, являющейся функцией формы и относительного положения двух контуров и обозначенной нами через 𝑀.
Хотя эта величина 𝑀 фактически представляет собой то же самое, что и потенциал двух контуров, математическую форму и свойства которого мы вывели в п. 423, 521, 539, исходя из магнитных и электромагнитных явлений, не будем здесь ссылаться на эти результаты, а начнём сначала, с нового обоснования, не делая никаких иных допущений, кроме установленных в главе VII для динамической теории.
Электрокинетический импульс вторичного контура состоит из двух частей (п. 578): одна, 𝑀𝑖1 зависит от первичного тока 𝑖1 а вторая, 𝑁𝑖1, – от вторичного тока 𝑖2. Мы будем исследовать сейчас первую из этих частей, которую обозначим через 𝑝:
𝑝
=
𝑀𝑖
1
.
(1)
Мы предположим также, что первичный контур неподвижен, а ток в нём постоянен. Величина 𝑝, являющаяся электрокинетическим импульсом вторичного контура, будет в этом случае зависеть только от формы и положения вторичного контура; если в качестве вторичного контура взять произвольную замкнутую кривую, приняв какое-либо направление вдоль неё за положительное, то величина 𝑝 для этой замкнутой кривой будет определена; если же положительным было бы выбрано противоположное направление вдоль этой кривой, то знак 𝑝 сменился бы на противоположный.
586. Так как величина р зависит от формы и положения контура, мы можем предположить, что каждый участок контура даёт определённый вклад в величину 𝑝 и что доля вклада каждого участка контура зависит от формы и положения только этого участка, но не от расположения других частей контура.
Это допущение является законным, потому что мы не рассматриваем сейчас ток, части которого могут действовать (и действительно действуют) одна на другую, мы рассматриваем просто контур, т.е. замкнутую кривую, являющуюся чисто геометрической фигурой, вдоль которой может течь ток, и поэтому нельзя представлять, что части этой фигуры оказывают друг на друга какое-то физическое воздействие.
Таким образом, мы можем предположить, что доля вклада от элемента контура 𝑑𝑠 равна 𝐽𝑑𝑠, где 𝐽 – величина, зависящая от положения и направления элемента 𝑑𝑠. Следовательно, значение 𝑝 допускает выражение через линейный интеграл
𝑝
=
∫
𝐽𝑑𝑠
,
(2)
где интегрирование проводится по замкнутому контуру однократно.
587. Далее мы должны определить вид величины 𝐽. Прежде всего, если направление 𝑑𝑠 изменить на противоположное, то знак изменится. Поэтому, когда два контура 𝐴𝐵𝐶𝐸 и 𝐴𝐸𝐶𝐷 имеют общую дугу 𝐴𝐸𝐶, отсчитываемую в этих контурах в противоположных направлениях, то сумма значений 𝑝 для двух контуров 𝐴𝐵𝐶𝐸 и 𝐴𝐸𝐶𝐷 будет равна значению 𝑝 для контура 𝐴𝐵𝐶𝐷, составленного из этих двух контуров [рис. 35].
Рис. 35
Действительно, части линейного интеграла, относящиеся к дуге 𝐴𝐸𝐶, для обоих парциальных контуров равны по величине и противоположны по знаку; когда берётся их сумма, они взаимно уничтожаются, и остаются только части линейного интеграла, зависящие от внешней границы 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Таким же путём мы можем показать, что если поверхность, ограниченную замкнутой кривой, разделить на произвольное число частей и границу каждой из них рассматривать как контур (положительное направление каждого контура совпадёт с положительным направлением внешней замкнутой кривой), то значение 𝑝 для замкнутой кривой окажется равным сумме значений 𝑝 для всех этих контуров, см. п. 483.
588. Рассмотрим теперь участок поверхности, размеры которого настолько малы по сравнению с главными радиусами кривизны поверхности, что изменением направления нормали в пределах этого участка можно пренебречь. Будем предполагать также, что если любой очень маленький контур перенести параллельно самому себе от одной части этого участка к другой, то величина 𝑝 для этого малого контура заметно не изменится и это, очевидно, относится к тому случаю, когда размеры участка поверхности достаточно малы по сравнению с его расстоянием от первичного контура.
Если на этом участке поверхности провести произвольную замкнутую кривую, то значение 𝑝 будет пропорционально площади, ею охватываемой.
Действительно, площади любых двух контуров могут быть разделены на малые элементы, имеющие одинаковые размеры и одинаковые значения 𝑝. Площади этих двух контуров пропорциональны числу тех элементов, из которых они состоят, и в таком же отношении между собой находятся их значения 𝑝.
Отсюда значение 𝑝 для контура, который ограничивает некоторый элемент поверхности 𝑑𝑆, имеет вид 𝐼𝑑𝑆, где 𝐼 есть величина, зависящая от положения элемента 𝑑𝑆 и от направления его нормали. Поэтому мы имеем новое выражение для 𝑝:
𝑝
=
∬
𝐼𝑑𝑆
,
(3)
где двойное интегрирование распространяется на любую поверхность, ограниченную контуром.
589. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 будет контуром, у которого 𝐴𝐶 является элементарным участком, настолько малым, что его можно считать прямолинейным. Пусть 𝐴𝐵𝑃 и 𝐶𝑄𝐵 будут малые, равные между собой площадки, лежащие в той же плоскости, тогда значение 𝑝 будет одинаковым для обоих малых контуров 𝐴𝑃𝐵 и 𝐶𝑄𝐵 [рис. 36], или
𝑝(𝐴𝑃𝐵)
=
𝑝(𝐶𝑄𝐵)
.
Отсюда
𝑝(𝐴𝑃𝐵𝑄𝐶𝐷)
=
𝑝(𝐴𝐵𝑄𝐶𝐷)
+
𝑝(𝐴𝑃𝐵),
=
𝑝(𝐴𝐵𝑄𝐶𝐷)
+
𝑝(𝐶𝑄𝐵),
=
𝑝(𝐴𝐵𝐶𝐷),
т.е. значение 𝑝 не меняется при замене прямой линии 𝐴𝐶 на ломаную линию 𝐴𝑃𝑄𝐶, если охватываемая контуром площадь при этом не меняется существенно. Фактически это есть принцип, установленный вторым опытом Ампера (п. 506), где показано, что искривлённый участок контура эквивалентен прямолинейному при условии, что ни одна из его частей заметно не удалена от прямолинейного участка.
Следовательно, если мы заменим элемент 𝑑𝑠 на три малых элемента 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, проведённых в такой последовательности, чтобы образовать непрерывный путь от начала элемента 𝑑𝑠 к его концу, и если через 𝐹𝑑𝑥, 𝐺𝑑𝑦 и 𝐻𝑑𝑧, мы обозначим элементы линейного интеграла, соответствующие 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧, то
𝐽𝑑𝑠
=
𝐹𝑑𝑥
+
𝐺𝑑𝑦
+
𝐻𝑑𝑧
.
(4)
590. Мы теперь в состоянии установить, каким образом величина 𝐽 зависит от направления элемента 𝑑𝑠, поскольку согласно (4)
𝐽
=
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
.
(5)
Это есть выражение для составляющей (в направлении 𝑑𝑠) вектора, компоненты которого в направлениях 𝑥, 𝑦 и 𝑧 равны 𝐹, 𝐺 и 𝐻 соответственно.
Обозначим этот вектор через 𝔄, а вектор, проведённый из начала координат в точку на контуре,– через ρ, тогда элемент контура будет равен 𝑑ρ, и кватернионным выражением для 𝐽𝑑𝑠 будет -𝑆.𝔄𝑑ρ.
Мы можем теперь записать уравнение (2) в виде
𝑝
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(6)
или
𝑝
=
–
∫
𝑆.𝔄𝑑ρ
.
(7)
Вектор 𝔄 и его составляющие 𝐹, 𝐺, 𝐻 зависят от положения элемента 𝑑𝑠 в поле, но не от направления, в котором он проведён. Следовательно, они являются функциями координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 элемента 𝑑𝑠, но не его направляющих косинусов 𝑙, 𝑚, 𝑛.
Вектор 𝔄 и по направлению, и по величине представляет собой интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, действие которой испытывала бы частица, помещённая в точку (𝑥,𝑦,𝑧) при внезапном прекращении первичного тока. Поэтому мы назовём его Электрокинетическим Импульсом в точке (𝑥,𝑦,𝑧). Он равен той величине, которую мы исследовали в п. 405 под названием вектор-потенциала магнитной индукции.
Электрокинетический импульс любой конечной линии или контура есть линейный интеграл вдоль этой линии или контура от составляющей электрокинетического импульса в каждой точке этой линии или контура.
591. Найдём теперь значение 𝑝 для элементарного прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, сторонами которого являются 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, а положительным направлением – направление от оси 𝑦 к оси 𝑧 [рис. 37].
Рис. 37
Пусть координатами 𝑂 центра тяжести элемента будут 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜, а 𝐺𝑜, 𝐻𝑜 – значения 𝐺 и 𝐻 в этой точке.
Координаты 𝐴 – средней точки первой стороны прямоугольника – равны 𝑦𝑜 и 𝑧𝑜-𝑑𝑧/2. Соответствующее значение 𝐺 есть
𝐺
=
𝐺
𝑜
–
1
2
𝑑𝐺
𝑑𝑧
𝑑𝑧
+
…,
(8)
и часть величины 𝑝, возникающая со стороны 𝐴, приблизительно равна
𝐺
𝑜
𝑑𝑦
–
1
2
𝑑𝐺
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(9)
Аналогично
для
𝐵,
𝐻
𝑜
𝑑𝑧
+
1
2
𝑑𝐻
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
для
𝐶,
-𝐺
𝑜
𝑑𝑦
–
1
2
𝑑𝐺
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
для
𝐷,
-𝐻
𝑜
𝑑𝑧
+
1
2
𝑑𝐻
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Складывая эти четыре величины, находим значение 𝑝 для четырехугольника, а именно
𝑝
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐻
𝑑𝑦
–
𝑑𝐺
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(10)
Если теперь ввести три новых величины 𝑎, 𝑏, 𝑐, таких, что
𝑎
=
𝑑𝐻
𝑑𝑦
–
𝑑𝐺
𝑑𝑧
,
𝑏
=
𝑑𝐹
𝑑𝑧
–
𝑑𝐻
𝑑𝑥
,
𝑐
=
𝑑𝐺
𝑑𝑥
–
𝑑𝐹
𝑑𝑦
,
(A)
и рассматривать их в качестве составляющих нового вектора 𝔅, тогда, согласно теореме IV п. 24, мы можем выразить линейный интеграл от 𝔄 вдоль любого замкнутого контура в виде поверхностного интеграла от 𝔅, взятого по поверхности, ограниченной контуром, таким образом:
𝑝
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
=
=
∬
(
𝑙𝑎
+
𝑚𝑏
+
𝑛𝑐
)
𝑛𝑆
,
(11)
или
𝑝
=
∫
𝑇.𝔄 cos ε 𝑑𝑠
=
𝑇.𝔅 cos η 𝑑𝑆
,
(12)
где ε есть угол между 𝔄 и 𝑑𝑠, а η – угол между 𝔅 и нормалью к 𝑑𝑆, направляющие косинусы которой равны 𝑙, 𝑚, 𝑛; 𝑇.𝔄, 𝑇.𝔅 обозначают численные значения 𝔄 и 𝔅.
При сравнении этого результата с уравнением (3) становится очевидным, что величина 𝐼 в том уравнении равна 𝔅 cos η, т.е. проекции 𝔅 на нормаль к 𝑑𝑆.
592. Мы уже видели (пп. 490, 541), что в соответствии с теорией Фарадея явления электромагнитной силы и индукции в контуре зависят от изменения числа линий магнитной индукции, проходящих сквозь контур. Теперь же число этих линий выражено математически в виде поверхностного интеграла от магнитной индукции, взятого по любой поверхности, ограниченной данным контуром. Следовательно, мы должны считать, что вектор 𝔅 и его составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 представляют собой то, с чем мы уже знакомы как с магнитной индукцией и её составляющими.
В настоящем исследовании мы предполагаем вывести свойства этого вектора из принципов динамики, установленных в последней главе, как можно меньше обращаясь при этом к эксперименту.
Отождествляя этот вектор, возникший как результат математических исследований, с магнитной индукцией, свойства которой мы узнали из опытов с магнитами, мы не отступаем от указанного метода, ибо не вводим в теорию новых фактов, а только даём наименование некоторой математической величине. О правомерности такого действия следует судить по согласованности соотношений между математическими и физическими величинами, носящими одинаковые названия.
Вектор 𝔅, поскольку он фигурирует в поверхностном интеграле, принадлежит, очевидно, к категории потоков, описанных в п. 12, а вектор 𝔄 принадлежит, наоборот, к категории сил, так как он появляется в линейном интеграле.
593. Теперь мы должны восстановить в памяти те соглашения о положительных и отрицательных величинах и направлениях, некоторые из которых были установлены в п. 23. Мы принимаем правую систему осей, а именно такую, в которой, если винт с правой нарезкой смотрит вдоль оси 𝑥, а гайка поворачивается на винте в положительном направлении, т.е. от направления 𝑦 к 𝑧, она будет перемещаться вдоль винта в положительном направлении 𝑥.
Мы считаем также положительными стекловидное электричество и аустральный магнетизм. Положительным направлением электрического тока или линии электрической индукции является такое направление, в котором двигается или стремится двигаться положительное электричество, а положительное направление линии магнитной индукции есть направление, в котором указывает стрелка компаса тем своим концом, который поворачивается к северу, см. рис. 24 п. 498 и рис. 25 п. 501.
Мы рекомендуем читателю, изучающему предмет, самому выбрать метод, который покажется ему наиболее эффективным, и тем самым надёжно закрепить этот выбор в памяти, ибо куда труднее бывает вспомнить то правило, которое определяет, в каком из двух ранее безразличных вариантов должно быть сделано утверждение, чем правило, выбирающее один вариант из многих.
594. Теперь мы должны вывести из принципов динамики выражения для электромагнитной силы, действующей на проводник, переносящий электрический ток через магнитное поле, а также для электродвижущей силы, действующей на электричество внутри тела, которое движется в магнитном поле. Математический метод, которого мы будем придерживаться, можно сравнить с экспериментальным методом, которым пользовался Фарадей 1 при исследовании поля с помощью провода, а также с методом, основанным на экспериментах, с которым мы уже имели дело в п. 490. Сейчас же мы должны определить влияние, оказываемое заданными изменениями формы вторичного контура, на величину электрокинетического импульса этого контура 𝑝.
1Exp. Res., 3082, 3087, 3113.
Рис. 38
Пусть 𝐴𝐴', 𝐵𝐵' будут два параллельных проводника, соединённых проводящей дугой 𝐶, которая может иметь любую форму, и прямолинейным проводником 𝐴𝐵, который может скользить параллельно самому себе вдоль проводящих рельс 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵' [рис. 38].
