Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 24 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

Это можно сделать следующим образом.

Пусть 𝐴 и 𝑎 будут эталонной парой катушек, а 𝐵 и 𝑏 – катушками, которые необходимо сравнить с ними. Соединим 𝐴 и 𝐵 в одну цепь и поместим электроды гальванометра 𝐺 в точках 𝑃 и 𝑄; при этом сопротивление 𝑃𝐴𝑄 равно 𝑅, сопротивление 𝑄𝐵𝑃 равно 𝑆, а 𝐾 является сопротивлением гальванометра. Включим 𝑎 и 𝑏 в одну цепь с батареей [рис. 60].

Рис. 60

Пусть ток в 𝐴 равен 𝑥̇, ток в 𝐵 равен 𝑦̇, ток в гальванометре равен 𝑥̇-𝑦̇, и ток в цепи батареи равен γ.

Тогда, если коэффициент индукции между 𝐴 и 𝑎 равен 𝑀₁, а между 𝐵 и 𝑏 равен 𝑀₂, то интегральный индукционный ток, протекающий через гальванометр при отключении батареи, равен

𝑥-𝑦

𝑀₂

𝑆

–

𝑀₁

𝑅

𝐾

𝑅

𝐾

𝑆

(8)

Подбирая сопротивления 𝑅 и 𝑆 такими, чтобы при замыкании или размыкании цепи батареи через гальванометр не протекал ток, можно, измерив отношение 𝑆 к 𝑅, определить отношение 𝑀₂ к 𝑀₁.

Сравнение коэффициента самоиндукции с коэффициентом взаимной индукции

756. Пусть в плечо 𝐴𝐹 мостика Уитстона поставлена катушка, коэффициент самоиндукции которой мы хотим найти. Назовём его 𝐿.

В соединяющий провод между точкой 𝐴 и батареей поставлена ещё одна катушка. Коэффициент взаимной индукции между этой катушкой и катушкой в 𝐴𝐹 равен 𝑀. Он может быть измерен методом, описанным в п. 755.

Рис. 61

Если ток от 𝐴 к 𝐹 равен 𝑥, а ток от 𝐴 к 𝐻 равен 𝑦, то ток через 𝐵 от 𝑍 к 𝐴 будет равен 𝑥+𝑦 [рис. 61]. Внешняя электродвижущая сила на пути от 𝐴 к 𝐹 равна

𝐴-𝐹

𝑃𝑥

𝐿

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑀

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

(9)

Внешняя электродвижущая сила вдоль 𝐴𝐻 равна

𝐴-𝐻

𝑄𝑦

(10)

Если гальванометр, помещённый между 𝐹 и 𝐻, не показывает ни постоянного ни переходного тока, то, поскольку 𝐹=𝐻=0, из (9) и (10) следует

𝑃𝑥

𝑄𝑦

(11)

𝐿

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑀

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

(12)

откуда

𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑃

𝑄

⎞

⎟

⎠

𝑀

(13)

Так как величина 𝐿 всегда положительна, коэффициент 𝑀 должен быть отрицательным, т.е. токи в катушках, помещённых в 𝑃 и 𝑀, должны течь в противоположных направлениях. При выполнении эксперимента мы можем начать с регулировки сопротивлений, добиваясь равенства

𝑃𝑆

𝑄𝑅

(14)

что является условием отсутствия постоянного тока, и затем установить расстояние между катушками, при котором гальванометр при подключении или отключении батареи перестанет показывать переходный ток. Если же это расстояние не поддаётся регулировке, мы можем избавиться от переходного тока, Меняя сопротивления 𝑄 и 𝑆 таким образом, чтобы их отношение оставалось неизменным.

Если эта двойная регулировка оказывается слишком трудной, можно принять третий метод. Начав с положения, при котором переходный ток, обусловленный самоиндукцией, слегка превосходит ток взаимной индукции, мы затем можем избавиться от этого неравенства, поместив между 𝐴 и 𝑍 проводник с сопротивлением 𝑊. Введение 𝑊 не влияет на условие отсутствия постоянного тока через гальванометр. Поэтому мы можем избавиться от переходного тока регулировкой одного лишь сопротивления 𝑊. Когда мы сделаем это, значение 𝐿 будет равно

𝐿

⎛

⎜

⎝

𝑃

𝑄

𝑃+𝑅

𝑊

⎞

⎟

⎠

𝑀.

(15)

Сравнение коэффициентов самоиндукции двух катушек

757. Поставим катушки в два прилегающих плеча мостика Уитстона. Пусть 𝐿 и 𝑁 будут коэффициентами самоиндукции катушек, помещённых соответственно в 𝑃 и 𝑅, тогда условие отсутствия тока в гальванометре (см. рис. 61) будет таким:

⎛

⎜

⎝

𝑃𝑥

𝐿

𝑑𝑥

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝑆𝑦

𝑄𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑅𝑥

𝑁

𝑑𝑥

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

(16)

откуда

𝑃𝑆=𝑄𝑅

для того чтобы не было постоянного тока,

(17)

𝐿

𝑃

𝑁

𝑅

для того чтобы не было переходного тока.

(18)

Следовательно, соответствующей регулировкой сопротивлений можно избавиться как от постоянного, так и от переходного тока, после чего отношение 𝐿 к 𝑁 можно определить путём сравнения сопротивлений.

ГЛАВА XVIII

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ЕДИНИЦА СОПРОТИВЛЕНИЯ

Об определении сопротивления катушки в электромагнитной системе единиц

758. Сопротивление проводника определяется как отношение численного значения электродвижущей силы к численному значению тока, создаваемого ею в проводнике. Определение величины тока в электромагнитной мере можно осуществить при помощи эталонного гальванометра, если известна величина земной магнитной силы. Более сложным является определение электродвижущей силы, поскольку непосредственно вычислить её значение мы можем лишь в том случае, когда она возникает в результате движения контура относительно известной магнитной системы.

759. Первое определение сопротивления провода в электромагнитных единицах было выполнено Кирхгофом ¹. Он взял две катушки известной конфигурации 𝐴₁ и 𝐴₂ и подсчитал их коэффициент взаимной индукции, исходя из геометрических данных относительно их формы и расположения. Эти катушки были включены в контур, содержащий также гальванометр 𝐺 и батарею 𝐵; две точки контура – точка 𝑃, расположенная между катушками, и точка 𝑄, расположенная между батареей и гальванометром,– были соединены проводом, сопротивление которого 𝑅 необходимо измерить [рис. 62].

¹ «Bestimmung der Constanten, von welcher die Intensität inducirten elektrischer Strome abhängt». Pogg. Ann., LXXVI (April 1849).

Рис. 62

Когда ток постоянен, он делится между сопротивлением и цепью гальванометра, вызывая некоторое постоянное отклонение гальванометра. Если теперь катушку 𝐴₁ быстро убрать от 𝐴₂, поместив её в такое положение, при котором коэффициент взаимной индукции между 𝐴₁ и 𝐴₂ равен нулю (п. 538), то в обоих контурах создаётся индукционный ток и стрелка гальванометра приобретает некоторый импульс, приводящий к определённому кратковременному отклонению.

Сопротивление провода 𝑅 находится путём сравнения стационарного отклонения, обусловленного постоянным током, и кратковременного отклонения, обусловленного током индукции.

Пусть сопротивление участка 𝑄𝐺𝐴₁𝑃 равно 𝐾, участка 𝑃𝐴₂𝐵𝑄 – 𝐵, а участка 𝑃𝑄, – 𝑅.

Пусть 𝐿, 𝑀 и 𝑁 – коэффициенты индукции 𝐴₁ и 𝐴₂.

Пусть 𝑥̇ -ток в 𝐺, 𝑦̇ -ток в 𝐵; тогда ток, текущий от 𝑃 к 𝑄, равен 𝑥̇-𝑦̇.

Пусть 𝐸 – электродвижущая сила батареи, тогда

(𝐾+𝑅)𝑥̇

–

𝑅𝑦̇

𝑑

𝑑𝑡

(

𝐿𝑥̇

𝑀𝑦̇

)=0

(1)

-𝑅𝑥̇

(𝐵+𝑅)𝑦̇

𝑑

𝑑𝑡

(

𝑀𝑥̇

𝑁𝑦̇

)=𝐸

(2)

Когда токи постоянны и всё находится в состоянии покоя,

(𝐾+𝑅)𝑥̇

–

𝑅𝑦̇

(3)

Если теперь из-за удаления 𝐴₁ от 𝐴₂ коэффициент 𝑀. внезапно становится равным нулю, то, интегрируя по 𝑡, получим

(𝐾+𝑅)𝑥

–

𝑅𝑦

–

𝑀𝑦̇

(4)

-𝑅𝑥

(𝐵+𝑅)𝑦

–

𝑀𝑥̇

∫

𝐸

𝑑𝑡

(5)

откуда

𝑥

(𝐵+𝑅)𝑦̇+𝑅𝑥̇

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)-𝑅²

(6)

Подставляя значение 𝑦̇, выраженное из (3) через 𝑥̇, находим

𝑥

𝑥̇

𝑀

𝑅

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)+𝑅²

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)-𝑅²

(7)

𝑀

𝑅

⎛

⎜

⎝

2𝑅²

(𝐵+𝑅)(𝐾+𝑅)

+…

⎞

⎟

⎠

(8)

Когда и 𝐵 и 𝐾 велики по сравнению с 𝑅, как это имеет место в опыте Кирхгофа, то это уравнение сводится к следующему:

𝑥

𝑥̇

𝑀

𝑅

Одна из этих величин – 𝑥 – находится по отбросу стрелки гальванометра, обусловленному индукционным током, см. п. 768. Постоянный ток 𝑥̇ находится по стационарному отклонению, обусловленному этим током, см. п. 746. Величина 𝑀 находится либо непосредственными расчётами, исходя из геометрических данных, либо путём сравнения с парой катушек, для которой такой расчёт уже проделан, см. п. 755. Через эти три величины можно определить 𝑅 в электромагнитной мере.

Эти методы требуют определения периода колебаний магнита гальванометра а также логарифмического декремента этих колебаний.

Веберовский метод переходных токов ²

²Elekt. Maasb.; or Pogg. Ann., LXXXII, p. 337-369 (1851).

760. Катушка значительных размеров укрепляется на оси таким образом, чтобы она могла вращаться вокруг вертикального диаметра. Провод этой катушки соединён с проводом тангенс-гальванометра и образует с ним единый контур. Пусть сопротивление этого контура равно 𝑅 и пусть большая катушка, ориентированная своим положительным торцом перпендикулярно магнитному меридиану, быстро повернулась на полоборота. Из-за наличия земной магнитной силы возникает индуцированный ток; полное количество электричества в этом токе, измеренное в электромагнитных единицах, будет равно

𝑄

2𝑔₁𝐻

𝑅

(1)

где 𝑔₁ – магнитный момент катушки, когда по ней протекает единичный ток, который в случае большой катушки можно определить непосредственно, измерив геометрические размеры катушки и подсчитав сумму площадей её витков; 𝐻 – горизонтальная составляющая земного магнетизма и 𝑅 – сопротивление контура, образованного катушкой и гальванометром. Этот ток приводит в движение магнит гальванометра.

Если первоначально магнит покоился, а перемещение катушки произошло за время, составляющее малую долю периода колебаний магнита, то, пренебрегая сопротивлением движению магнита, согласно п. 748, имеем

𝑄

𝐻

𝐺

𝑇

2 sin ½θ

(2)

где 𝐺 – постоянная гальванометра, 𝑇 – время одного колебания магнита (полупериод), θ -угол максимального наблюдаемого отклонения. Из этих уравнений получаем

𝑅

π𝐺𝑔₂

𝑇 sin ½θ

(3)

Величина 𝐻 не фигурирует в этом результате при условии, что она одинакова в месте расположения катушки и в месте расположения гальванометра. Не следует считать, что это всегда имеет место; в этом следует убедиться, сравнивая периоды колебаний одного и того же магнита сначала в одном месте, а затем – в другом.

761. Чтобы выполнить серию наблюдений, Вебер вначале устанавливал катушку параллельно магнитному меридиану. Затем поворачивал её положительным торцом к северу и наблюдал первую элонгацию магнита, обусловленную отрицательным током. После этого он наблюдал вторую элонгацию свободно колеблющегося магнита, а когда магнит на пути назад проходил точку равновесия, поворачивал катушку положительным торцом к югу. Это отбрасывало магнит в направлении положительного торца. Серия измерений продолжалась, как и в п. 750, и её результат давал поправку к значению сопротивления. Таким способом устанавливалась величина сопротивления составного контура, образованного катушкой и гальванометром.

Во всех таких экспериментах для получения достаточно больших отклонений провод следует изготавливать из меди – металла, который, хотя и является наилучшим проводником, обладает тем недостатком, что его сопротивление существенно меняется при изменении температуры. Определение же температуры каждой из частей прибора также весьма затруднительно. Поэтому, чтобы обеспечить постоянство результатов, получаемых в этом опыте, сопротивление контура следует сравнивать с сопротивлением тщательно изготовленной резистивной катушки как до, так и после каждого опыта.

Веберовский метод, состоящий в наблюдении декремента колебаний магнита

762. Магнит, обладающий значительным магнитным моментом, подвешивается в центре катушки гальванометра. Измеряются период и логарифмический декремент колебаний вначале при разомкнутом, а затем при замкнутом контуре гальванометра; проводимость катушки гальванометра выводится из того сопротивления, которое токи, индуцируемые в ней движением магнита, оказывают этому движению.

Если 𝑇 – наблюдаемое время одного колебания, а λ – неперовский логарифмический декремент каждого отдельного колебания, то, записав

𝑇

(1)

𝑇

(2)

получим уравнение движения магнита в виде

𝐶𝑒

^-α𝑡

cos(ω𝑡+β)

(3)

Это выражает установленный из наблюдений характер движения. Мы должны сравнить его с динамическими уравнениями движения.

Пусть 𝑀 – коэффициент индукции между катушкой гальванометра и подвешенным магнитом. Его можно представить в виде

𝑀

𝐺₁𝑔₁𝑃₁(θ)

𝐺₂𝑔₂𝑃₂(θ)

+…

(4)

где коэффициенты 𝐺₁,𝐺₂,… относятся к катушке, 𝑔₁,𝑔₂,… – к магниту, а 𝑃₁(θ),𝑃₂(θ),… – зональные гармоники, зависящие от угла между осями катушки и магнита, см. п. 700. Располагая определённым образом катушки гальванометра и составляя подвешенный магнит из нескольких магнитов, расположенных рядом друг с другом и на соответствующих расстояниях друг от друга, можно сделать так, что в выражении для 𝑀 все члены после первого будут пренебрежимо малы по сравнению с ним. Если мы положим также φ=½π-θ, то сможем написать

𝑀

𝐺𝑚

sin φ

(5)

где 𝐺 – главный коэффициент гальванометра, 𝑚 – магнитный момент магнита, φ – угол между осью магнита и плоскостью катушки, который в этом опыте всегда является малым.

Если 𝐿 – коэффициент самоиндукции катушки, 𝑅 – её сопротивление, а γ – ток в катушке, то

𝑑

𝑑𝑡

(𝐿γ+𝑀)

𝑅γ

(6)

или

𝐿

𝑑γ

𝑑𝑡

𝑅γ

𝐺𝑚

cos φ

𝑑φ

𝑑𝑡

(7)

Момент силы, с которым ток у действует на магнит, равен γ(𝑑𝑀/𝑑φ) или 𝐺𝑚γ cos φ. В этом опыте угол φ настолько мал, что мы можем положить cos φ. Предположим, что уравнение движения при разомкнутом контуре

𝐴

𝑑²φ

𝑑𝑡²

𝐴

𝑑φ

𝑑𝑡

𝐶φ

(8)

где 𝐴 – момент инерции подвешенной аппаратуры; 𝐵(𝑑φ/𝑑𝑡) выражает сопротивление, возникающее из-за вязкости воздуха, нити подвеса и т. п., а 𝐶φ выражает момент силы, возникающий из-за действия земного магнетизма, кручения устройства подвеса и т. п., который стремится возвратить магнит в положение равновесия.

Уравнение движения при учёте действия тока будет

𝐴

𝑑²φ

𝑑𝑡²

𝐴

𝑑φ

𝑑𝑡

𝐶φ

𝐺𝑚γ,

(9)

Чтобы найти движение магнита, мы должны это уравнение скомбинировать с (7) и исключить γ. В результате получим линейное дифференциальное уравнение третьего порядка

⎛

⎜

⎝

𝐿

𝑑

𝑑𝑡

𝑅

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑²

𝑑𝑡²

𝐵

𝑑

𝑑𝑡

𝐶

⎞

⎟

⎠

𝐺²𝑚²

𝑑φ

𝑑𝑡

(10)

Нам, однако, не придётся решать это уравнение, поскольку параметрами задачи являются наблюдаемые элементы движения магнита и именно из них мы должны определить величину 𝑅.

Пусть значения α и ω в уравнении (3) равны α₀ и ω₀, когда контур разомкнут. В этом случае сопротивление 𝑅 бесконечно, и уравнение (10) сводится к (8). Таким образом, мы находим

𝐵

2𝐴α₀

𝐶

𝐴

(α₀²+ω₀²)

(11)

Разрешая уравнение (10) относительно 𝑅 и записывая

𝑑

𝑑𝑡

(α-𝑖ω)

𝑖

√

–1

(12)

мы находим

𝑅

𝐺²𝑚²

𝐴

α-𝑖ω

α²-ω²+2𝑖αω-2α₀(α-𝑖ω)+α₀²+ω₀²

𝐿(α-𝑖ω)

(13)

Так как величина ω обычно много больше величины α, то наилучшее значение для 𝑅 можно получить, приравняв нулю члены, стоящие перед 𝑖ω:

𝑅

𝐺²𝑚²

2𝐴(α-α₀)

½𝐿

⎛

⎜

⎝

3α

–

α₀

–

ω²-ω₀²

α-α₀

⎞

⎟

⎠

(14)

Мы можем также получить значение 𝑅 путём приравнивания нулю членов, не содержащих 𝑖. но поскольку эти члены малы, то такое уравнение полезно только как средство проверки точности наблюдений. Из этих уравнений мы находим следующее проверочное уравнение:

𝐺²𝑚²

{α²+ω²-α₀²-ω₀²}

𝐿𝐴{

(α-α₀)⁴

2(α-α₀)²(ω²+ω₀²)

(ω²+ω₀²)²

(15)

Поскольку член 𝐿𝐴ω² очень мал по сравнению с 𝐺²𝑚², это уравнение даёт

ω²-ω₀²

α₀²-α²

(16)

и уравнение (14) можно записать так:

𝑅

𝐺²𝑚²

2𝐴(α-α₀)

2𝐿α

(17)

В этом выражении 𝐺 можно определить либо в результате измерения линейных размеров катушки гальванометра, либо лучше, путём сравнения с эталонной катушкой в соответствии с методом п. 753. А является моментом инерции магнита и подвешенной вместе с ним аппаратуры; его следует находить соответствующим динамическим методом; величины ω, ω₀, α и α₀ устанавливаются из наблюдений.

Определение величины 𝑚 – магнитного момента подвешенного магнита – является наиболее трудной частью исследования, так как он подвержен влиянию температуры, земной магнитной силы, механических воздействий; поэтому необходимо проявлять особую внимательность, чтобы при измерении этой величины магнит находился точно в таких же условиях, в которых он находится во время колебаний.

Второй член в выражении для 𝑅 – член, содержащий 𝐿, – менее важен, поскольку обычно он мал по сравнению с первым членом. Величину 𝐿 можно определить либо расчётным путём для катушки, форма которой известна, либо из эксперимента с избыточным током индукции, см. п. 756.

Томсоновский метод вращающейся катушки

763. Этот метод был предложен Томсоном Комитету Британской Ассоциации Электрических Стандартов; эксперимент был выполнен Бэлфором Стьюартом (Balfour Stewart), Флемингом Дженкином (Fleeming Jenkin) и автором в 1863 г.³

³ См. Report of the British Association for 1863, p. 111-176.

Круглая катушка приводится во вращение с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси. В центре катушки на шёлковой нити подвешивается небольшой магнит. Электрический ток в катушке индуцируется земным магнетизмом, а также подвешенным магнитом. Ток этот является периодическим; в различные интервалы времени каждого оборота он протекает через провод катушки в противоположных направлениях, но действие тока на подвешенный магнит создаёт постоянное отклонение от магнитного меридиана в направлении вращения катушки.

764. Пусть 𝐻 – горизонтальная составляющая земного магнетизма.

Пусть γ – сила тока в катушке,

𝑔 – общая площадь, охватываемая всеми витками провода;

𝐺 – магнитная сила в центре катушки, создаваемая единичным током;

𝐿 – коэффициент самоиндукции катушки;

𝑀 – магнитный момент подвешенного магнита;

θ – угол между плоскостью катушки и магнитным меридианом;

φ – угол между осью подвешенного магнита и магнитным меридианом;

𝐴 – момент инерции подвешенного магнита;

𝑀𝐻τ – коэффициент кручения нити подвеса;

α – азимут магнита в отсутствии кручения;

𝑅 – сопротивление катушки.

Кинетическая энергия системы равна

𝑇

½𝐿γ²

–

𝐻𝑔γ

sin θ

–

𝐻𝐺γ

sin (θ-φ)

𝑀𝐻

cos φ

½𝐴φ̇²

(1)

Первый член, равный ½𝐿γ², выражает энергию тока, зависящую только от самой катушки. Второй член определяется взаимодействием тока и земного магнетизма, третий – взаимодействием тока и магнетизма подвешенного магнита, четвёртый – взаимодействием магнетизма подвешенного магнита и земного магнетизма, последний член выражает кинетическую энергию вещества, образующего магнит и движущуюся вместе с ним подвешенную аппаратуру.

Потенциальная энергия подвешенной аппаратуры, возникающая из-за кручения нити, равна

𝑉

𝑀𝐻

τ(φ²-2φα)

(2)

Электромагнитный импульс тока равен

𝑝

𝑑𝑇

𝑑γ

𝐿γ

–

𝐻𝑔

sin θ

–

𝑀𝐺

sin(θ-φ)

(3)

и если 𝑅 – сопротивление катушки, то уравнение для тока имеет вид

𝑅γ

𝑑²𝑇

𝑑𝑡 𝑑γ

(4)

или, поскольку

ω𝑡

(5)

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝐿

𝑑

𝑑𝑡

⎞

⎟

⎠

𝐻𝑔ω

cos θ

𝑀𝐺(ω-φ̇)

cos(ω-φ)

(6)

765. И из теории, и из наблюдений одинаково следует, что азимут магнита φ подвержен двум видам периодических изменений. Одно из них – свободные колебания, период которых зависит от интенсивности земного магнетизма и равен, согласно эксперименту, нескольким секундам. Другое – вынужденные колебания с периодом, равным половине периода вращения катушки и, как мы увидим далее, с необнаружимо малой амплитудой. Следовательно, при определении γ мы можем считать угол φ практически постоянным.

Таким образом, мы находим

𝐻𝑔ω

𝑅²+𝐿²ω²

(𝑅

cos θ

𝐿ω

sin θ

(7)

𝐻𝑔ω

𝑅²+𝐿²ω²

{𝑅

cos (θ-φ)

𝐿ω

sin (θ-φ)

(8)

𝑅

𝐿

𝑡

+𝐶𝑒

(9)

Когда вращение происходит с постоянной скоростью, последний член в этом выражении довольно быстро исчезает.

Движение подвешенного магнита определяется уравнением

𝑑²𝑇

𝑑𝑡 𝑑φ̇

–

𝑑𝑇

𝑑φ

𝑑𝑉

𝑑φ

(10)

откуда

𝐴φ̈

–

𝑀𝐺γ

cos(θ-φ)

𝑀𝐻(

sin φ

τ(φ-α)

(11)

Подставим значение γ и расположим члены в соответствии с кратностью аргумента θ, кроме того, из наблюдений мы знаем, что

φ₀

𝑏𝑒

^-𝑙𝑡

cos 𝑛𝑡

𝑐

cos 2(θ-β)

(12)

где φ₀ – среднее значение φ, второй член выражает постепенно затухающие свободные колебания, а третий – вынужденные колебания, возникающие из-за изменения отклоняющего тока.

Начиная с тех членов в (11), которые не содержат θ и должны в совокупности быть равными нулю, мы приближённо находим

𝑀𝐺ω

𝑅²+𝐿²ω²

{

𝐻𝑔(𝑅

cos φ₀

𝐿ω

sin φ₀

𝐺𝑀𝑅

2𝑀𝐻(

sin φ₀

τ(φ₀-α)

(13)

Поскольку член 𝐿 tg φ₀ обычно мал по сравнению с 𝐺𝑔, решение квадратного уравнения (13) приближённо даёт

𝑅

𝐺𝑔ω

⎧

⎨

⎩

𝐺𝑀

𝑔𝐻

sec φ₀

–

2 tg φ₀

⎛

⎜

⎝

1+τ

φ₀-α

⎞

⎟

⎠

sin φ₀

2𝐿

𝐺𝑔

⎛

⎜

⎝

2𝐿

𝐺𝑔

–1

⎞

⎟

⎠

tg²φ₀

–

⎛

⎜

⎝

2𝐿

𝐺𝑔

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

2𝐿

𝐺𝑔

–1

⎞²

⎟

⎠

tg⁴φ₀

⎫

⎬

⎭

(14)

Если мы учтём основной член этого выражения в уравнениях (7), (8) и (11), то найдём, что значение 𝑛 в уравнении (12) равно

⎛

⎜

⎝

𝐻𝑀

𝐴

sec φ₀

⎞½

⎟

⎠

Величина амплитуды вынужденных колебаний равна

𝑛²

ω²

φ₀

Следовательно, когда катушка совершает много оборотов за время одного свободного колебания магнита, амплитуда вынужденных колебаний магнита очень мала, и мы можем пренебречь в (11) членами, содержащими 𝑐.

766. Таким образом, сопротивление определено в электромагнитных единицах через скорость ω и отклонение φ. Величину горизонтальной составляющей земного магнетизма 𝐻 нет необходимости определять при условии, что она остаётся постоянной во время опыта.

Чтобы найти 𝑀/𝐻, мы должны использовать подвешенный магнит для отклонения магнита магнитометра, как описано в п. 454. В этом эксперименте значение 𝑀 должно быть малым, тогда эта поправка имеет второстепенное значение.

Относительно других поправок, учёт которых необходим в этом эксперименте, см. Report of the British. Association за 1863 г., стр. 168.

Калориметрический метод Джоуля

767. Тепло, выделяемое при прохождении тока γ через проводник с сопротивлением 𝑅, согласно закону Джоуля (п. 242), равно

ℎ

𝐽

∫

𝑅γ²

𝑑𝑡

(1)

где 𝐽 – эквивалент использованной единицы тепла в динамическом измерении.

Следовательно, если за время опыта сопротивление 𝑅 постоянно, то его значение равно

𝑅

𝐽ℎ

∫γ²𝑑𝑡

(2)

Этот метод определения 𝑅 включает в себя нахождение количества тепла ℎ, производимого током в течение заданного промежутка времени, а также квадрата силы тока γ².

В опытах Джоуля ⁴ величина ℎ определялась по увеличению температуры воды в сосуде, куда был помещён проводящий провод. Поправки на излучение и т. п. находились путём проведения дополнительных опытов, при которых ток по проводу не пропускался.

⁴Report on Standarts of Electrical Resistance of the British Associations for 1867, p. 474-522.

Сила тока измерялась тангенс-гальванометром. Этот метод включает в себя измерение напряжённости земного магнетизма, которое производилось по способу, описанному в п. 457. Эти измерения проверялись также при помощи токовых весов, описанных в п. 726, которые измеряют непосредственно γ². Наиболее прямой способ измерения ∫γ²𝑑𝑡 состоит в пропускании тока через самовоздействующий электродинамометр (п. 725), показания шкалы которого пропорциональны γ², и снятии показаний через равные промежутки времени. Это приближённо можно осуществить, если регистрировать показания при крайних положениях прибора в каждом колебании в продолжении всего эксперимента.

ГЛАВА XIX

СРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ

Определение числа электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице

768. Абсолютные значения электрических единиц в обеих системах зависят от принятых нами единиц длины, времени и массы; их зависимость от этих единиц различна в этих двух системах, поэтому отношение электрических единиц будет выражено различными числами в соответствии с различными единицами длины и времени.

Из таблицы размерностей п. 628 следует, что число электростатических единиц электричества, содержащихся в одной электромагнитной единице, меняется обратно пропорционально величине единицы длины и прямо пропорционально единице времени, которые мы приняли.

Следовательно, если мы определим скорость, которая численно представлена этим значением, то даже если мы примем новые единицы длины и времени, число, представляющее эту скорость, будет по-прежнему числом электростатических единиц электричества в одной электромагнитной единице согласно новой системе измерений.

Поэтому скорость, указывающая на связь между электростатическими и электромагнитными явлениями, представляет собой естественную величину с определённым значением; измерение этой величины является одним из наиболее важных исследований в области электричества.

Чтобы показать, что искомая величина действительно является скоростью, мы можем заметить, что в случае двух параллельных токов участок длиной а одного из них в соответствии с п. 686 испытывает притяжение 𝐹=2𝐶𝐶'𝑎/𝑏, где 𝐶, 𝐶' – численные значения токов в электромагнитных единицах, а 𝑏 – расстояние между ними. Если мы положим 𝑏=2𝑎, то 𝐹=𝐶𝐶'.

Количество электричества, переносимое током 𝐶 за время 𝑡, равно 𝐶𝑡 в электромагнитных единицах или 𝑛𝐶𝑡 в электростатических единицах, если число электростатических единиц в одной электромагнитной единице равно 𝑛.

Пусть два небольших проводника заряжены количествами электричества, которые переносятся двумя токами за время 𝑡, и помещены на расстоянии 𝑟 друг от друга. Отталкивание между ними будет равно

𝐹

𝐶𝐶'𝑛²𝑡²

𝑟²

Выберем расстояние 𝑟 таким образом, чтобы это отталкивание равнялось притяжению токов; тогда

𝐶𝐶'𝑛²𝑡²

𝑟²

𝐶𝐶'

Следовательно, 𝑟=𝑛𝑡, т.е. с течением времени 𝑡 расстояние 𝑟 должно увеличиваться со скоростью 𝑛. Следовательно, 𝑛 является скоростью, абсолютная величина которой одна и та же, какие бы единицы мы ни приняли.

769. Чтобы получить физическое представление об этой скорости, вообразим себе плоскую поверхность, заряженную электричеством до поверхностной плотности σ и движущуюся в её собственной плоскости со скоростью 𝑣. Эта движущаяся заряженная поверхность эквивалентна электрическому токовому листу; сила тока, протекающего через единицу ширины поверхности, равна σ𝑣 в электростатических единицах или σ𝑣/𝑛 в электромагнитных единицах, если 𝑛 является числом электростатических единиц в одной электромагнитной единице. Если другая плоская поверхность, параллельная первой, заряжена до поверхностной плотности σ' и движется в том же направлении со скоростью 𝑛', она будет эквивалентна второму токовому листу.

Электростатическое отталкивание между двумя заряженными поверхностями в соответствии с п. 124 равно 2πσσ' на каждую единичную площадь противостоящих поверхностей.

Электромагнитное притяжение двух токовых листов в соответствии с п. 653 равно 2π𝑢𝑢' на каждую единичную площадь, причём 𝑢 и 𝑢' являются поверхностными плотностями токов в электромагнитных единицах.

Но 𝑢=σ𝑣/𝑛 а 𝑢'=σ'𝑣'/𝑛, так что притяжение равно 2πσσ'𝑣𝑣'/𝑛².

Отношение притяжения к отталкиванию равно отношению 𝑣𝑣' к 𝑛². Поскольку притяжение и отталкивание являются однотипными величинами, то величина 𝑛 должна быть величиной того же рода, что и 𝑣, т.е. скоростью. Если теперь мы предположим, что скорость каждой из движущихся плоскостей равна 𝑛, притяжение будет равно отталкиванию и механического взаимодействия между плоскостями не будет. Следовательно, мы можем определить отношение электрических единиц как такую скорость, при которой две заряженные поверхности, движущиеся в одном направлении с этой скоростью, не испытывают взаимного действия. Поскольку эта скорость составляет около 300 000 километров в секунду, вышеописанный эксперимент выполнить невозможно.

770. Если удаётся поверхностную плотность электричества и скорость сделать настолько большими, чтобы магнитная сила являлась измеримой величиной, мы можем, по крайней мере, подтвердить наше предположение о том, что движущееся заряженное тело эквивалентно электрическому току.

Можно принять, что заряженная поверхность в воздухе начинает разряжаться через искрение, если электрическая сила 2πσ достигает значения 130. Магнитная сила, обусловленная токовым листом, равна 2πσ𝑣/𝑛 Горизонтальная магнитная сила составляет в Британии около 0,175. Следовательно, поверхность, заряженная до максимального значения и движущаяся со скоростью 100 метров в секунду. будет действовать на магнит с силой, составляющей около одной четырехтысячной части земной горизонтальной силы – такую величину можно измерить. Заряженная поверхность может быть поверхностью непроводящего диска, вращающегося в плоскости магнитного меридиана, а магнит можно поместить вблизи восходящей или нисходящей части диска и защитить от его электростатического действия металлическим экраном. Я не уверен, что до сих пор кто-либо пытался выполнить такой эксперимент ¹.

¹ Sir W. Thomson, R. S. Proc. or Reprint, Art. XIX, p. 247-259.

I. Сравнение единиц электричества

771. Поскольку отношение электромагнитной единицы электричества к электростатической представлено скоростью, мы в дальнейшем будем обозначать её символом 𝑣. Первое определение численного значения этой скорости было выполнено Вебером и Кольраушем ².

²Elektrodynamische Maasbestimmungen; and Pogg. Ann., XCIX (Aug., p. 10-25, 1856).

Их метод был основан на измерении одного и того же количества электричества сначала в электростатических и затем в электромагнитных единицах.

Измеряемым количеством электричества являлся заряд Лейденской банки. В электростатических единицах он измерялся как произведение ёмкости банки на разность потенциалов её обкладок. Ёмкость банки определялась путём сравнения с ёмкостью сферы, подвешенной в свободном пространстве и удалённой от других тел. Ёмкость такой сферы в электростатических единицах выражается её радиусом. Таким образом, можно найти ёмкость банки и выразить её в виде некоторой длины, см. п. 227.

Разность потенциалов на обкладках банки измерялась при их подсоединении к электродам электрометра, постоянные которого были тщательно определены; таким образом, становилась известной разность потенциалов 𝐸 в электростатических единицах.

При умножении этой величины на ёмкость банки 𝑐 заряд банки выражался в электростатических единицах.

Для определения заряда банки в электромагнитных единицах банка разряжалась через катушку гальванометра. Действие переходного тока на магнит гальванометра сообщало магниту определённую угловую скорость. Затем магнит поворачивался до тех пор, пока его скорость полностью не погашалась из-за противодействия земного магнетизма.

Измеряя максимальное отклонение магнита, можно определить количество электричества в токе в электромагнитных единицах, как в п. 748, по формуле

𝑄

𝐻

𝐺

𝑇

2 sin ½θ

где 𝑄 – количество электричества в электромагнитных единицах. Мы должны, таким образом, определить следующие величины.

Напряжённость горизонтальной компоненты земного магнетизма 𝐻, см. п. 456. Главную постоянную гальванометра 𝐺, см. п. 700. Время одного колебания магнита 𝑇 и отклонение θ, обусловленное переходным током. Значение 𝑣, полученное М. М. Вебером и Кольраушем, равняется 𝑣=310 740 000 метров в секунду.

Свойство твёрдых диэлектриков, которому дано наименование Электрическая Абсорбция, затрудняет правильную оценку ёмкости Лейденской банки. Кажущаяся ёмкость меняется в зависимости от времени, которое прошло от момента заряда или разряда банки до момента измерения потенциала; чем больше это время, тем большее значение получается для ёмкости банки.

Таким образом, поскольку время, необходимое для получения показания электрометра, велико по сравнению со временем, в течение которого происходит разряд через гальванометр, оценка разряда в электростатических единицах, по всей вероятности, является завышенной и полученное из неё значение 𝑣 также завышено.

II. Величина 𝑣, выраженная через сопротивление

772. Два других метода определения скорости 𝑣 приводят к выражению её значения через сопротивление некоторого проводника, которое в электромагнитной системе также выражается как скорость. В эксперименте сэра Уильяма Томсона постоянный ток пропускается через провод с большим сопротивлением. Электродвижущая сила, обусловливающая ток в проводнике, измеряется электростатически путём соединения концов провода с электродами абсолютного электрометра, см. п. 217, 218. Сила тока в проводе измеряется в электромагнитных единицах по отклонению подвешенной катушки электродинамометра, через которую ток проходит, см. п. 725. Сопротивление контура в электромагнитных единицах известно из его сравнения с сопротивлением эталонной катушки, т.е. с Омом. Умножая силу тока на это сопротивление, мы получаем электродвижущую силу в электромагнитных единицах, а значение 𝑣 находится из сравнения этой величины с величиной электродвижущей силы в электростатических единицах.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."