Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 34 страниц)

Так как эффект при образовании контакта равен и противоположен эффекту при разрыве контакта, отсюда следует, что эффект образования контакта в момент, когда катушка 𝐵 находится в положении 𝐵', эквивалентен эффекту перенесения катушки из любого сопряжённого положения 𝐵₁ в 𝐵' при наличии тока, протекающего через 𝐴.

Результат окажется тем же самым, если изменение относительного положения катушек осуществляется путём перемещения первичного контура вместо вторичного.

539. Как следует из этих экспериментов, полный ток индукции, обусловленный одновременным перемещением 𝐴 из 𝐴₁ в 𝐴₂ и 𝐵 из 𝐵₁ в 𝐵₂, при котором ток в 𝐴 изменяется от γ₁ до γ₂, зависит только от начального состояния 𝐴₁, 𝐵₁, γ₁ и конечного 𝐴₂, 𝐵₂, γ₂ и совсем не зависит от характера промежуточных состояний, через которые может проходить система.

Следовательно, величина полного тока индукции должна иметь вид 𝐹(𝐴₂,𝐵₂,γ₂)-𝐹(𝐴₁,𝐵₁,γ₁), где 𝐹 есть функция 𝐴, 𝐵 и γ.

Относительно вида этой функции нам, согласно п. 536, известно, что при отсутствии движения, т.е. когда 𝐴₁=𝐴₂ и 𝐵₁=𝐵₂, ток индукции пропорционален первичному току. Следовательно, γ входит просто как один из множителей, другой же множитель является функцией формы и положения контуров 𝐴 и 𝐵.

Мы также знаем, что значение этой функции зависит от относительных, а не от абсолютных положений 𝐴 и 𝐵, поэтому она должна допускать выражение в виде функции расстояний между различными элементами, из которых составлены контуры, и от углов, которые эти элементы образуют друг с другом.

Пусть 𝑀 будет этой функцией, тогда полный ток индукции может быть записан как 𝐶{𝑀₁γ₁-𝑀₂γ₂}, где 𝐶 – проводимость вторичного контура, 𝑀₁γ₁ – начальные, 𝑀₂γ₂ – конечные значения 𝑀 и γ.

Эти эксперименты, таким образом, показали, что полный ток индукции зависит от изменения некоторой величины 𝑀γ, а оно может возникнуть либо из-за вариации первичного тока γ, либо от каких-либо движений первичного или вторичного контура, изменяющих 𝑀.

540. Концепция, связанная с существованием такой величины, от изменения которой (но не от её абсолютного значения) зависит ток индукции, встречается у Фарадея на ранней стадии его «Исследований» ⁸. Он обнаружил, что вторичный контур, покоящийся в электромагнитном поле, напряжённость которого остаётся постоянной, не проявляет никаких электрических эффектов, в то время как если поле приобретёт то же самое состояние внезапно, это приводит к возникновению тока. Далее, если первичный контур удаляется из поля или магнитные силы устраняются, то возникает ток противоположного вида. Фарадей в связи с этим усматривал во вторичном контуре, находящемся в электромагнитном поле, «особое электрическое состояние вещества», которому дал название электротонического состояния. Впоследствии он счёл возможным освободиться от этой идеи при помощи соображений, основанных на линиях магнитной силы ⁹, но даже в своих позднейших «Исследованиях» ¹⁰ он говорит: «Снова и снова в уме моем настойчиво возникает идея электротонического состояния» ¹¹.

⁸Exp. Res., series I, 60.

⁹Exp. Res., series II, 242.

¹⁰Exp. Res., 3269.

¹¹Exp. Res., 60, 1114, 1661, 1729, 1733.

Вся история возникновения и развития этой идеи в голове Фарадея так, как она показана в его опубликованных «Исследованиях», вполне заслуживает изучения. Ход экспериментов, направляемых напряжёнными усилиями его мысли без помощи каких-либо математических вычислений, привёл Фарадея к необходимости признания существования некоторой величины, которая, как мы теперь знаем, является величиной математической и которая даже может быть названа основной величиной в теории электромагнетизма. Но, поскольку Фарадей был подведён к этой концепции чисто экспериментальным путём, он приписал ей физическое существование, предположив, что это есть особое состояние материи; правда, он был готов отставить эту теорию сразу же, как только ему удалось бы объяснить явления с помощью любых более привычных рассуждений.

Другие исследователи пришли к этой идее чисто математическим путём, но значительно позже, и, насколько я знаю, никто из них не распознал в своей рафинированной математической идее о потенциале двух контуров смелую гипотезу Фарадея об электротоническом состоянии. Поэтому те, кто знакомились с этим предметом, следуя указаниям выдающихся исследователей, которые впервые выразили его законы в математической форме, иногда находили для себя затруднительным оценить научную точность формулировок, данных Фарадеем в первых двух сериях его «Исследований» с такой удивительной полнотой.

Научное значение фарадеевской концепции об электротоническом состоянии состоит в нацеливании нашего сознания на освоение некоторой новой величины, от изменения которой зависят реальные явления. Однако без дальнейшего, существенного по сравнению с Фарадеем, развития этой концепции она не могла бы эффективно служить для объяснения явлений. К этому вопросу мы ещё вернёмся в п. 584.

541. Гораздо более мощным методом в руках Фарадея был метод, связанный с использованием тех самых линий магнитной силы, которые всегда стояли перед его мысленным взором, когда он исследовал магниты и токи; изображение линий с помощью опилок Фарадей справедливо относил ¹² к числу наиболее ценных вспомогательных средств, имеющихся у экспериментатора.

¹²Exp. Res., 3234.

Фарадей считал, что не только направление этих линий выражает направление магнитной силы, но и что их число и концентрация определяют напряжённость силы; в своих последних «Исследованиях» ¹³ он показал, каким образом следует представлять единичные силовые линии. В различных частях этого трактата я объяснил, как соотносятся свойства, которые Фарадей распознавал в силовых линиях, с математическими условиями для электрических и магнитных сил, и как фарадеевское замечание об единичных линиях и о числе линий внутри определённых границ может быть сделано математически точным. См. п. 82, 404, 490.

¹³Exp. Res., 3122.

В первой серии своих «Исследований» ¹⁴ он показывает, как направление тока в контуре, часть которого является подвижной, зависит от характера пересечения линий магнитной силы этой движущейся частью контура.

¹⁴Exp. Res., 114.

Во второй серии ¹⁵ он показывает, как можно объяснить явления, вызываемые изменением силы тока или мощности магнита, если предположить, что система силовых линий отжимается от провода или магнита или прижимается к ним в зависимости от того, возрастает или уменьшается их мощность.

¹⁵ Exp. Res., 238.

Я не знаю, с какой степенью ясности он в то время придерживался доктрины, которая была столь чётко изложены им впоследствии ¹⁶, что движущийся проводник при пересечении силовых линий суммирует действие, обусловленное площадью или сечением этих силовых линий. Такой подход, однако, не должен казаться новым, если принять во внимание исследования, изложенные во второй серии ¹⁷.

¹⁶Exp. Res., 3082, 3087, 3113.

¹⁷Exp. Res., 217.

Концепция, которой придерживался Фарадей относительно непрерывности силовых линий, исключала возможность их внезапного рождения там, где раньше их не существовало вообще. Следовательно, число силовых линий, пронизывающих проводящий контур, можно менять лишь путём перемещения контура поперёк силовых линий или перемещением силовых линий поперёк контура. В любом случае в контуре образуется ток.

Число силовых линий, проходящих сквозь контур в произвольный момент времени, математически эквивалентно более ранней концепции Фарадея об электротоническом состоянии этого контура; оно представлено величиной 𝑀γ.

Только после того, как определение электродвижущей силы (п. 69 , 274) и способы её измерения были сделаны более точными, мы можем полностью сформулировать истинный закон магнитоэлектрической индукции следующим образом:

Полная электродвижущая сила, действующая вдоль контура в произвольный момент времени, измеряется скоростью уменьшения числа линий магнитной силы, проходящих сквозь контур.

Будучи проинтегрированным по времени, это утверждение становится таким:

Интеграл по времени от полной электродвижущей силы, действующей вдоль контура, вместе с числом проходящих сквозь контур линий магнитной силы составляет постоянную величину.

Вместо того, чтобы говорить о числе линий магнитной силы, мы можем говорить о потоке магнитной индукции сквозь контур или о поверхностном интеграле от магнитной индукции, распространённом на любую поверхность, ограниченную контуром.

Мы потом снова вернёмся к этому методу Фарадея. Перед этим нам следует перечислить теории индукции, основанные на других соображениях.

Закон Ленца

542. В 1834 г. Ленц ¹⁸ сформулировал следующее замечательное соотношение между явлениями механического действия электрических токов (так, как они были определены формулой Ампера) и индукцией электрических токов, обусловленной относительным движением проводников. Более ранняя попытка установления такого соотношения была изложена Ритчи (Ritchie) в журнале Philosophical Magazine в январе того же года, но направление индуцированного тока в каждом случае было установлено им неверно. Закон Ленца состоит в следующем:

Если в первичном контуре 𝐴 течёт постоянный ток и если при перемещении первичного контура 𝐴 или вторичного контура 𝐵 в этом вторичном контуре 𝐵 индуцируется ток, то его направление будет таким, чтобы своим электромагнитным воздействием на 𝐴 он стремился воспрепятствовать относительному перемещению контуров.

¹⁸Pogg. Ann., XXXI, p. 483 (1834).

Ф. Е. Нейман ¹⁹ основал, опираясь на этот закон, свою математическую теорию индукции, в которой установил математический закон для токов индукции, вызванных движением первичного или вторичного проводника. Он показал, что величина 𝑀, названная нами потенциалом одного контура на другом, совпадает с электромагнитным потенциалом одного контура на другом, который мы уже изучали в связи с формулой Ампера.

¹⁹Berlin Akad., 1845 and 1847.

Таким образом, мы можем считать, что математический метод, ранее применённый Ампером для описания механического действия токов, был распространён Ф. Е. Нейманом на индукцию токов.

543. Вскоре Гельмгольц в своём «Очерке о сохранении силы» ²⁰ и сэр У. Томсон ²¹, занявшийся этим вопросом независимо от него, но несколько позже, сделали шаг, представляющий ещё большую научную важность. Они показали, что открытая Фарадеем индукция электрических токов может быть выведена математически путём применения принципа сохранения энергии из открытых Эрстедом и Ампером электромагнитных действий.

²⁰ Прочитано вначале перед Берлинским физическим обществом 23 июля 1847 г. Затем переведено в «Научных трудах» Тейлора (Tailor’s «Scientific Memoirs», part II, p. 114).

²¹Trans. Brit. Ass., 1848 and Phil. Mag., Dec. 1851. См. также его статью «Переходные электрические токи» («Transient Electric Currents», Phil. Mag., June 1853).

Гельмгольц рассматривает случай проводящего контура с сопротивлением 𝑅, в котором действует электродвижущая сила 𝐴, возникающая от вольтовой или термоэлектрической батареи. Ток в контуре в какой-то момент времени равен 𝐼. Он предполагает, что движется вблизи контура какой-либо магнит и что его потенциал относительно проводника равен 𝑉; поэтому в течение любого малого интервала времени 𝑑𝑡 энергия, сообщаемая магниту электромагнитным действием, равна 𝐼(𝑑𝑉/𝑑𝑡)𝑑𝑡.

Работа, затраченная на образование тепла в контуре, равна (в соответствии с законом Джоуля, п. 242) 𝐼²𝑅𝑑𝑡, а работа, затраченная электродвижущей силой 𝐴 на поддержание тока 𝐼 в течение времени 𝑑𝑡, равна 𝐴𝐼𝑑𝑡. Следовательно, так как полная выполненная работа должна быть равна работе затраченной, то

𝐴𝐼𝑑𝑡

=

𝐼²𝑅𝑑𝑡

+𝐼

𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝑑𝑡

.

Отсюда мы находим силу тока:

𝐴

–

𝑑𝑉

𝐼

=

𝑑𝑡

.

𝑅

Но значение 𝐴 мы можем выбрать любым по своему усмотрению. Возьмём 𝐴=0 тогда,

𝐼

=-

1

𝑅

𝑑𝑉

𝑑𝑡

,

или, иначе говоря, должен существовать ток, обусловленный движением магнита, равный току, обусловленному электродвижущей силой -(𝑑𝑉/𝑑𝑡).

Полный индуцированный ток за время движения магнита от места, где его потенциал 𝑉₁, к месту, где его потенциал 𝑉₂, равен

∫

𝐼

𝑑𝑡

=-

1

𝑅

∫

𝑑𝑉

𝑑𝑡

𝑑𝑡

=

1

𝑅

(𝑉

₁

–𝑉

₂

),

и, следовательно, полный ток не зависит от скорости или пути магнита, а зависит только от его начального и конечного положений.

В своём первоначальном исследовании Гельмгольц принял систему единиц, основанную на измерении тепла, образуемого током в проводнике. Рассматривая единицу тока как произвольную, мы получим, что единица сопротивления есть сопротивление проводника, в котором единичный ток за единицу времени порождает единицу тепла. Единицей электродвижущей силы в этой системе является такая, которая требуется для получения единичного тока в проводнике с единичным сопротивлением. Принятие этой системы единиц делает необходимым введение в уравнения величины 𝑎, являющейся механическим эквивалентом единицы тепла. Поскольку мы неизменно принимаем либо электростатическую, либо электромагнитную систему единиц, то этот множитель не встречается в приводимых здесь уравнениях.

544. Гельмгольц вычисляет также ток индукции для случая, когда проводящий контур и контур, несущий постоянный ток, движутся друг относительно друга.

Пусть 𝑅₁, 𝑅₂ будут сопротивления; 𝐼₁, 𝐼₂ – токи; 𝐴₁, 𝐴₂ – внешние электродвижущие силы, а 𝑉 – потенциал одного контура на другом при единичном токе в каждом из контуров, тогда, как и раньше, мы имеем

𝐴

₁

𝐼

₁

+

𝐴

₂

𝐼

₂

=

𝐼

₁

²𝑅

₁

+

𝐼

₂

²𝑅

₂

𝐼

₁

𝐼

₂

𝑑𝑉

𝑑𝑡

.

Если мы предположим, что ток 𝐼₁ является первичным, а ток 𝐼₂ настолько мал по сравнению с 𝐼₁ что своей индукцией он не вносит ощутимого изменения в 𝐼₁, так что можно положить

𝐼

₁

=

𝐴₁

𝑅₁

,

тогда получим

𝐴

₂

–𝐼

₁

𝑑𝑉

𝐼

₂

=

𝑑𝑡

.

𝑅

₂

Этот результат может быть интерпретирован точно так же, как это было сделано в случае магнита.

Если же мы предположим, что ток 𝐼₂ является первичным, а ток 𝐼₁ – много меньшим 𝐼₂, то для 𝐼₁ получим

𝐴

₁

–𝐼

₂

𝑑𝑉

𝐼

₁

=

𝑑𝑡

.

𝑅

₁

Это показывает, что при одинаковых токах электродвижущая сила от первого контура во втором равна электродвижущей силе от второго контура в первом, какую бы форму ни имели эти контуры.

В указанной работе Гельмгольц не обсуждает случай индукции, обусловленной усилением или ослаблением первичного тока или индукции тока на самого себя. Томсон ²² применил тот же самый принцип к определению механического действия тока; он указал, что, когда работа совершается взаимодействием двух постоянных токов, их механическое действие увеличивается на ту же самую величину, и, следовательно, батарея должна обеспечить двойное количество работы по отношению к той, которая требуется для поддержания токов при преодолении сопротивления контуров ²³ .

²² Mechanical Theory of Electrolysis, Phil. Mag., Dec. 1851.

²³ Nichol’s Cyclopaedia of Physical Science, ed. 1860, Article «Magnetism, Dynamical Relations of», and Reprint, § 571.

545. Введение В. Вебером системы абсолютных единиц для измерения электрических величин является одним из наиболее важных шагов, способствовавших развитию науки. Поставив вместе с Гауссом измерение магнитных величин в ранг высшей категории точности, Вебер в его «Электромагнитных измерениях» не только продолжает излагать свои глубокие принципы установления подлежащих использованию единиц, но и даёт определение отдельных электрических величин через значения этих единиц с такой степенью точности, которой ранее никто даже и не пытался достигнуть. Как электромагнитная, так и электростатическая системы единиц обязаны своим развитием и практическим применением именно этим исследованиям.

Вебер создал также общую теорию электрического действия, из которой вывел как электростатическую, так и электромагнитную силы, а также индукцию электрических токов. Мы рассмотрим эту теорию вместе с некоторыми её обобщениями, полученными недавно, в отдельной главе (см. п. 846).

ГЛАВА IV

О САМОИНДУКЦИИ ТОКА

546. Девятая серия «Исследований» Фарадея посвящена изучению класса явлений, вызываемых током в проводе, образующем катушку электромагнита.

М-р Дженкин обнаружил, что хотя и нельзя произвести заметного удара при непосредственном воздействии гальванической системы, состоящей только из одной пары пластин, тем не менее сильный удар будет ощущаться, если пропустить ток через катушку электромагнита и затем прервать контакт между концами двух проводов, находящихся в руках. Такой удар не ощущается при замыкании контакта.

Фарадей показал, что и это, и другие описываемые им явления обусловлены тем же самым индуктивным действием, которое, по его наблюдениям, ток оказывает на соседние проводники. В данном случае, однако, индуктивному действию подвергается сам токонесущий проводник, а поскольку он расположен ближе к различным элементам тока, чем любой другой провод, то и индуктивное действие оказывается гораздо более сильным.

547. Как замечает, впрочем, Фарадей ¹ первая мысль, которая приходит в голову, состоит в том, что циркулирующее в проводе электричество обладает чем-то, похожим на импульс или инерцию». Действительно, когда мы рассматриваем один-единственный провод, то явления в точности аналогичны явлениям в трубе, наполненной водой, текущей непрерывным потоком. Если при протекании потока воды быстро закрыть конец трубы, то импульс воды создаст резкое повышение давления, значительно превышающее давление, обусловленное перепадом уровней воды, что может привести к разрыву трубы.

¹Exp. Res., 1077.

Если же перекрыть основное отверстие, оставив воде возможность вытекать узкой струёй, то она будет выбрасываться с гораздо большей скоростью, чем под действием гидростатического напора, а если она имеет возможность вытекать через клапан в резервуар, то это будет происходить, даже когда давление в резервуаре превышает давление, обусловленное перепадом уровней воды.

Именно на этом принципе построен гидравлический «домкрат», поднимающий небольшое количество воды на большую высоту при помощи большого количества воды, стекающего вниз с гораздо меньшей высоты.

548. Эффекты, связанные с инерцией жидкости в трубе, зависят лишь от количества протекающей через трубу жидкости, от длины трубы и от её поперечного сечения на разных участках. Они не зависят от всего, что находится вне трубы, а при неизменной длине трубы – от того, как труба изогнута.

В случае провода с током положение иное, поскольку эффект очень мал, если длинный провод сложен вдвое; эффект больше, если эти две части разнесены друг от друга, он ещё больше, если провод свернут в спираль, и максимален, если внутрь такой спиральной катушки поместить кусок мягкого железа.

Опять-таки если взять второй провод и, изолировав его от первого, свернуть их вместе в катушку, то эффект не изменится, если второй провод разомкнут; если же второй провод образует замкнутый контур, то в нём возникает индукционный ток и эффекты самоиндукции в первом проводе замедляются.

549. Эти результаты ясно показывают, что если данные явления обусловлены импульсом, то этот импульс, конечно, не является импульсом электричества в проводе, поскольку тот же самый провод, передающий тот же самый ток, обнаруживает эффекты различные в зависимости от формы провода, и, даже когда форма остаётся неизменной, присутствие других тел, таких, как кусок железа или замкнутый металлический контур, влияет на результат.

550. Для человеческого разума, который однажды усмотрел аналогию между явлениями самоиндукции и движения материальных тел, всё-таки трудно полностью отказаться от обращения к ней или допустить, что она является чисто поверхностной и вводящей в заблуждение. Основополагающее динамическое представление о том, что материя способна воспринимать импульс и энергию через движение настолько переплелось с нашим образом мыслей, что стоит нам уловить лишь проблеск этой идеи в любой части природы, как мы чувствуем, что перед нами открывается путь, который рано или поздно приведёт к полному пониманию предмета.

551. В случае электрического тока мы обнаруживаем, что, когда начинает действовать электродвижущая сила, она не сразу создаёт полный ток; ток нарастает постепенно. Что же делает электродвижущая сила в то время, когда противостоящее ей сопротивление не может уравновесить её? Она увеличивает электрический ток.

Обычная сила, действующая на тело в направлении его движения, увеличивает его импульс и сообщает ему кинетическую энергию, т.е. способность совершать работу за счёт этого движения.

Аналогичным образом часть электродвижущей силы, не встречающая сопротивления, идёт на увеличение электрического тока. Обладает ли созданный таким образом электрический ток импульсом или кинетической энергией?

Мы уже показали, что у него есть что-то, очень напоминающее импульс, оно оказывает сопротивление внезапной остановке и может на короткое время вызывать большую электродвижущую силу.

Но проводящий контур, в котором течёт электрический ток, обладает способностью совершать работу за счёт этого тока, и эту способность нельзя назвать чем-то, очень напоминающим энергию, ибо это действительно и есть энергия.

Так, если ток предоставить самому себе, он будет продолжать циркулировать да тех пор, пока не прекратится из-за сопротивления контура. До момента остановки он произведёт определённое количество тепла, которое, будучи выраженным в динамической мере, равно энергии, первоначально существовавшей в токе.

С другой стороны, предоставленный самому себе ток можно заставить совершать механическую работу по перемещению магнитов: индуктивный эффект этих перемещений будет, по закону Ленца, останавливать ток скорее, чем это происходило бы при наличии одного лишь сопротивления контура. При этом часть энергии тока может быть превращена не в тепло, а в механическую работу.

552. Итак, система, содержащая электрический ток, является, по-видимому, вместилищем какого-то вида энергии, и, поскольку мы не можем создать себе иного представления об электрическом токе, кроме как о явлении кинетическом ² , его энергия должна быть кинетической, т.е. энергией, которой движущееся тело обладает благодаря своему движению.

² Faraday, Exp. Res., 283.

Мы уже показали, что электричество в проводе нельзя рассматривать как некое движущееся тело, в котором и следует отыскивать эту энергию, ведь энергия движущегося тела ни от чего, находящегося вне тела, не зависит, в то же время присутствие около тока других тел меняет его энергию.

Мы, таким образом, подошли к вопросу о том, не может ли существовать какого-либо движения вне провода, в пространстве, не занятом электрическим током, в котором проявляются электромагнитные эффекты тока.

Сейчас я не буду вдаваться в причины, по которым такие движения следует искать преимущественно в том, а не другом месте, или рассматривать эти движения как движения того, а не иного вида.

То, что я предполагаю сделать сейчас, состоит в изучении следствий, вытекающих из предположения о том, что явления, связанные с электрическим током, относятся к явлениям движущейся системы, причём от одной части к другой это движение передаётся силами, природу и законы которых мы даже не будем и пытаться определить, поскольку для любой связанной системы их можно исключить из уравнений движения, пользуясь методом Лагранжа.

В последующих пяти главах трактата я предполагаю, исходя из такого рода динамической гипотезы, вывести основную структуру теории электричества, вместо того чтобы следовать пути, который привёл Вебера и других исследователей ко многим замечательным открытиям и экспериментам, а также к представлениям, некоторые из которых столь же прекрасны, сколь и смелы. Я избрал данный метод, желая продемонстрировать существование и других способов рассмотрения явлений, и он по сравнению с методами, вытекающими из гипотезы непосредственного действия на расстоянии, кажется мне более удовлетворительным и в то же время более согласованным с методами, излагаемыми в других частях этой книги.

ГЛАВА V

ОБ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ

553. В четвёртом разделе второй части своей «Аналитической механики» Лагранж дал метод сведения обычных динамических уравнений движения отдельных частей, системы со связями к набору уравнений, число которых равно числу степеней свободы системы.

Уравнения движения такой связанной системы были представлены Гамильтоном в другой форме, что привело к значительному развитию этого высшего раздела чистой динамики ¹.

¹ См. Prof. Cayley’s «Report on Theoretical Dynamics», British Association, 1857 and Thomson and Tait’s Natural Philosophy.

Мы посвятим эту главу изложению идей динамики с физической точки зрения, поскольку сочли необходимым выразить их в форме, пригодной для непосредственных применений в физических вопросах, пытаясь отнести электрические явления к области, охватываемой динамикой.

554. Целью Лагранжа было подчинить динамику власти математики. Он начал с того, что выразил элементарные динамические соотношения через соответствующие связи между чисто алгебраическими величинами, и из полученных таким образом уравнений вывел чисто алгебраическим путём окончательные уравнения. В уравнениях движения составных частей системы появляются определённые величины, представляющие реакции между отдельными частями системы; они вовлечены в игру благодаря их физическим связям; если взглянуть на исследования Лагранжа с математической точки зрения, то они представляют собой метод исключения этих величин из окончательных уравнений.

Прослеживая этапы этого исключения, разум упражняется в проведении вычислений и потому должен бы оставаться свободным от вмешательства динамики. Однако мы поставили своей целью развитие именно этих динамических идей; поэтому, обращаясь к трудам математиков, мы переводим их результаты с математического языка на язык динамики, с тем чтобы соответствующие слова могли мысленно ассоциироваться с некоторым свойством движущихся тел, а не просто с каким-либо алгебраическим действием.

Язык динамики был значительно расширен теми, кто в популярной форме изложил учение о сохранении энергии. В дальнейшем будет видно, что большая часть последующих утверждений была навеяна нам исследованиями, приведёнными в «Натуральной Философии» Томсона и Тэта, особенно тем методом, который исходит из теории импульсных сил. Я применил этот метод, чтобы отойти от явного рассмотрения движения каких-либо иных частей системы, кроме координат и переменных, определяющих движение всей системы в целом. Важно, конечно, чтобы читатель был в состоянии проследить связь движения каждой из частей системы сдвижением переменных, но нет никакой необходимости делать это по ходу получения окончательных уравнений, не зависящих от конкретного вида этих связей.

Переменные

555. Число степеней свободы системы – это такое число величин, которые должны быть заданы для полного определения положения системы. Этим величинам можно придавать различные формы, но число их определяется только природой самой системы и не может быть изменено.

Для того чтобы конкретизировать принятые нами представления, мы можем вообразить себе некоторую систему, которая при помощи подходящего механизма связана с определённым числом подвижных частей, не способных совершать никаких других движений, кроме прямолинейных. Следует предположить, что этот воображаемый механизм, соединяющий рассматриваемую систему с каждой из подвижных частей, не обладает ни трением, ни инерцией и что под действием приложенных сил он не испытывает деформации. Его назначение состоит лишь в том, чтобы облегчить работу воображения и приписать положение, скорость и импульс тому, что в исследованиях Лагранжа фигурирует в качестве чисто алгебраических величин.

Пусть 𝑞 обозначает положение одной из подвижных частей, определённое через расстояние от некоторой фиксированной точки на линии её движения. Будем отличать величины 𝑞, соответствующие различным частям, с помощью индексов _{1, 2, …}; в случае набора величин, принадлежащих только к одной части системы, этот индекс может быть опущен.

Пусть заданы значения всех переменных (𝑞), тогда положения всех подвижных частей известны и благодаря воображаемому механизму определена конфигурация всей системы.

Скорости

556. Во время движения системы её конфигурация некоторым определённым образом изменяется, и поскольку она в каждый момент времени полностью определяется значениями переменных (𝑞), то скорость каждой части системы, равно как и её конфигурация, также будет определена полностью, если известны значения переменных (𝑞) вместе с их скоростями (𝑑𝑞/𝑑𝑡, или согласно обозначениям Ньютона 𝑞̇).