Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 33 (всего у книги 34 страниц)

В современном представлении через действительные проекции произведение векторов 𝐴_α и 𝐵_β в общемм случае выглядит как симметричный диадный тензор 𝐴_α𝐵_β. По известной теореме приведения он может быть разложен на три «элементарных» (неприводимых) группы: группу скаляров 𝐴_α𝐵_α (по дважды встречающимся индексам производится суммирование

⁔

α,α

≡

3

∑

α=1

),

группу векторов (псевдовекторов) 𝑒_αβγ𝐴𝐵_βγ (𝑒_αβγ – единичный антисимметричный тензор) и группу симметричных тензоров с нулевым следом

⎛

⎜

⎝

𝐴

_α

𝐵

_β

+

𝐴

_β

𝐵

_α

–

1

3

δ

_αβ

𝐴

_α

𝐵

_β

⎞

⎟

⎠

;

δ_αβ – единичный симметричный тензор; последняя группа повышает ранг описания векторных полей и потому «не задействована» в формулировке скалярных и векторных уравнений электродинамики (во всяком случае применительно к неэкзотическим ситуациям). Кватернионная операция умножения векторов производит это отметание тензоров второго ранга автоматически.

Этими несколько подробными сопоставлениями векторных действительных и векторных кватернионных манипуляций мы, с одной стороны, дополняем информацию п. 2 об обозначениях «Трактата», а с другой – хотим отметить высокое качество принятой в нём терминологии, в определённом смысле более адекватной существу дела, чем наша. В самом деле, скалярная часть произведения векторов

𝑆⋅𝔄𝔅

→

𝐀𝐁

=

𝐴

_α

𝐵

_β

и векторная часть произведения векторов

𝑉⋅𝔄𝔅

⇒

𝐀×𝐁

→

𝑒

_αβγ

𝐴

_β

𝐵

_γ

лингвистически последовательнее отражают существо теоремы приведения, чем наши в общем-то жаргонные обороты «скалярное и векторное произведения».

Конечно, сейчас большинство из нас является приверженцами описания скалярных и векторных полей в действительных переменных, считая его нагляднее кватернионного. Но ведь наглядность – свойство человеческое – прививаемое и воспитываемое. А по строгости оба подхода равноправны.

Далее Максвелл, тоже вслед за Гамильтоном, вводит оператор дифференцирования

∇

=

𝑖

∂

∂𝑥₁

+

𝑗

∂

∂𝑥₂

+

𝑘

∂

∂𝑥₃

.

Собственно говоря, это и есть истинный oператор Гамильтона, а наш модифицированный вариант «набла» приспособлен к действительным переменным и не содержит комплексных факторов 𝑖, 𝑗, 𝑘. С помощью этого оператора образуются три новых математических образа: градиент скаляра (∇⋅φ), ротор или вихрь вектора

𝑉⋅∇𝕬

=

rot 𝐀

=

∇×𝐀

→

𝑒

_αβγ

∇

_β

𝐴

_γ

и конвергенция (равная дивергенции с обратным знаком)

-𝑆⋅∇𝕬

=

–div 𝐀

=

∇⋅𝐀

=

∇

_α

𝐴

_α

,

а также соответствующие операции второго порядка, важнейшая из которых

∇⋅∇φ

=-

∂²φ

∂𝑥_α∂𝑥_α

,

эквивалентна «нашему» лапласиану с противоположным знаком.

Важность этого математического языка несомненна. Без него уравнениям поля не удалось придать бы столь универсального охвата. Так что второе открытие Максвелла в «одушевлённой части» природы было связано с кватернионикой Гамильтона, и оно произошло тоже, как и в случае Фарадея, вопреки общепринятым мнениям профессионалов. Конечно, Максвелл не довёл этот аппарат до современного автоматизма, базирующегося на небольшом числе векторных тождеств, с которыми сейчас быстро осваиваются студенты, но это не умаляет его общей заслуги. Тем более что он пошёл в определённом смысле дальше. Ведь его цель состояла в придании аналитического представления идеям Фарадея, а тот видел поля, как целостные электрические и магнитные «пейзажи», что было адекватно лишь крупномасштабной топологии. И в этом случае Максвеллу опять «повезло»: его снова «поджидал» практически завершённый аппарат интегральных теорем, известных нам как теоремы Гаусса – Остроградского и Стокса, который позволил написать уравнения электромагнитного поля в интегральной форме. Правда, в отличие от дифференциальных, эти уравнения не собраны воедино в «Трактате», а разбросаны по специализированным главам. Но, как следует из Предварительной главы, Максвелл намеревался систематизировать свои топологические идеи на базе критериев перифрактичности, характеризующих трёхмерные многосвязные области.

К сожалению, нам не дано восстановить ход его замыслов. И поэтому, вероятно, некоторые фрагменты рассуждений на эти темы мы принимаем скептически. Например, Максвелл различает векторные поля двух типов – потоковые (пронизывающие поверхности, «ассоциируемые» с ними) и силовые (направленные вдоль линий , «ассоциируемые» с линиями). Такая классификация кажется нам отчасти ситуационной: она, с нашей точки зрения, выполняла функцию наведения, т.е. помогла Максвеллу связать между собой изменения электрических и магнитных полей в пространстве и во времени, но не более того. Формулируя закон индукции Фарадея в интегральной форме

∮

𝐄𝑑𝐥

=-

1

𝑐

∂

∂𝑡

∫

𝐁𝐝𝐒

(всюду, где не оговорено иное, мы пользуемся в Послесловии гауссовыми единицами и стандартной современной символикой), Максвелл различал общетопологические свойства конфигураций, образованных полями 𝐸, 𝐻 (работает только их вихревая часть, закручиваемая вдоль замкнутых линий) и полями, пронизывающими поверхность, ограничиваемую этим контуром. Отсюда вытекала максвелловская классификация, касающаяся потоковых и силовых векторов. К числу линиеподобных векторов Максвелл относил 𝐄, 𝐇, вектор-потенциал 𝐀 и т. п., а к потоковым векторам – 𝐁, 𝐃, плотность электрического тока 𝐣 и т. п. Но, уже придя к уравнениям материальных связей в виде 𝐃=ε𝐄, 𝐁=μ𝐇, 𝐣=σ𝐄, он признал равноправие векторных полей обоих типов, в том числе и топологическое равноправие.

Следующий этап состоял в использовании всего перечисленного выше идейного и технического оснащения для установления наиболее общих закономерностей электромагнетизма. Сотни, а может быть, и более работ посвящены изучению фактических и предполагаемых путей, которым следовал или мог следовать Максвелл при продвижении к своим Великим Уравнениям ⁸.

⁸ Во время подготовки русского перевода «Трактата» вышел сборник статей «Максвелл и развитие физики XIX-XX веков» [15], где содержится обильный материал, связанный с историей максвелловских открытий в электродинамике. В частности, в статье Б. И. Спасского разбираются различные варианты рассуждений, к которым фактически или предполагаемо прибегал Максвелл. Далее мы придерживаемся при обсуждении этих вопросов только «Трактата», хотя исторически вполне вероятно, что введение тока смещения было первоначально инициировано аналогиями с механическими упругими деформациями среды в духе первых максвелловских работ. Об этом Б. И. Спасский пишет очень убедительно.

Прежде всего у него на вооружении был принцип близкодействия, в согласии с которым все возмущения (а значит, и электрические – магнитные – тоже) должны передаваться в пространстве с конечной скоростью и территориально последовательно – от одного элемента пространства (среды) к другому, прилегающему к нему (adjacent). Это означало, что соответствующий математический аппарат должен был опираться на дифференциальные (а не на разностные или дифференциально-разностные) уравнения в частных производных по координатам и времени.

После этого он записал все известные до него законы электромагнетизма в форме таких уравнений. И сделал решающий шаг, дополнив их током смещения. Что же побудило его к этому? Вопрос становится уже отчасти «легендарным» в том смысле, что ответ на него обрастает историческими легендами. Совсем непросто вжиться в предыдущую эпоху из последующих: невольно прокрадывается стремление придать ходу истории большую целеустремлённость и последовательность, чем она может себе позволить сама. В итоге возникают различные реконструкции, использующие методику и логику'уверенного в своей правоте будущего. Вполне возможно, что Максвелл привлекал все доводы, какие были вскрыты или допридуманы потом в научно-исторических исследованиях, но одни из них играли роль первичных догадок, а другие – проверок на внутреннюю непротиворечивость и на внешнюю совместимость с общими законами природы.

Вероятно, его внимание привлекало простейшее модельное рассуждение, опирающееся на аналогию с «верной» Динамикой. Оно состояло в необходимости возникновения реального смещения «зарядоносителей» под действием силовых полей. Отсюда и эта терминология из теории упругости: вектор электрического смещения, ток смещения (тоже электрического, ибо соответствующая ему величина в магнетизме оставлена безымянной). Затем допустимо думать, что были привлечены размышления о прохождении электрического тока по последовательной цепи проводник – ёмкость, когда условия непрерывности изменения окружающего магнитного поля вдоль цепи вынуждают ввести какое-то продолжение тока проводимости внутри конденсатора.

Далее, может быть, уже на уровне контроля возникла формально математическая потребность привести нововведение в непротиворечие с уравнением непрерывности для тока, что тоже удачно сочеталось с модельной картинкой, заимствованной из аналогии с механикой непрерывных сред. Был ещё один путь получения правильных уравнений – их симметризация. Максвелл тщательным образом сделал все необходимые для этого заготовки, фактически сформулировав принцип дуальности (двойственности) электрических и магнитных полей в статическом приближении, но никаких слов о распространении этого принципа на изменяющиеся во времени поля в «Трактате» нет. Возможно, это чисто случайный пробел, и тогда он был бы наверняка восполнен при следующей правке «Трактата», но возможно и другое – Максвелл не пошёл на введение каких-то фиктивных магнитных токов, поскольку они не укладывались ни в какие модельные представления. А ведь он был поборником модельной физики и, по-видимому, должен был представить себе модельно всё, что умел понять.

Наконец, если не держаться только явных свидетельств, содержащихся в «Трактате», то следует иметь в виду и такие поступательно-возвратные поисковые движения мысли, как подгонка исходных положений теории для получения законов, ведущих к разумным толкованиям наблюдаемых эффектов. Действительно, историческое реконструирование сходно с составлением сценария по законченному и отснятому фильму, а творческий процесс может включать в себя фрагменты, не попавшие в итоговые кадры. Скажем, стремясь соединить (по программе Фарадея) электромагнетизм с волновой оптикой, можно было отправляться от волнового уравнения для полей (или потенциалов) и надлежащим образом подправить систему уравнений первого порядка.

И всё же аналоговый подход был для Максвелла, наверное, самым важным подкреплением чувства правоты. Как уже говорилось выше, «Трактат» являет собой произведение, почти очищенное от динамического оснащения, хотя и с ярко выраженным динамическим прошлым. В нём просматриваются две функции, исполненные Великой Наукой Динамикой. Первая состоит в установлении взаимных аналогий между гидродинамикой и электродинамикой, что не только не утратило, но и повысило своё значение впоследствии. В современном понимании Максвелл предложил принципиальные схемы построения аналоговых машин, причём сделал это не так, как обычно делается сейчас на основе общности математического описания, а наоборот – в предварении составления уравнений, как раз и получая свои уравнения из соображений физического сродства явлений. Привычность нашего обращения с аналогами, возможно, притупляет неочевидность максвелловского достижения. Тем более что потом направление этой аналогии изменило знак: для понимания и интерпретации явлений различной природы (в том числе и явлений динамических) теперь обычно уже используются электродинамические системы благодаря их доступной осуществимости и простоте интуитивных представлений.

С другой стороны, ориентация на Динамику выполняла ещё одну функцию – функцию установления единства взглядов на устройство мира. В те времена Динамика была единственной областью физики с логически замкнутым описанием (постулаты → измерения – правила → измерения → выводы → измерения → постулаты) и сопоставление с ней давало некоторую страховку в том, что новая теория не войдёт в противоречие с некоторыми общими физическими принципами (например, и прежде всего, законами сохранения), а это на начальном этапе было ещё не так-то просто сделать напрямик. В таком объединении взглядов на гидродинамику и электродинамику Максвелла поджидал ещё один успех. По аналогии с механикой он построил функцию Лагранжа для электромагнитных процессов ⁹ (которая в случае электромеханических систем получила известность потом как функция Лагранжа-Максвелла). Похоже на то, что он и сам недооценил общефизического значения этого достижения. Ведь фактически этим был проторён путь познания любого вида взаимодействия, для осторожности скажем, неживой природы.

⁹ Как обычно, Максвелл в своих рассуждениях отправляется от модели. Здесь это была модель квазистационарного 𝐿𝐶-контура с пространственно разделёнными полями. Но найденная им функция Лагранжа в выражении через поля правильна в самом общем случае, т.е. максвелловская модель дала верный ответ даже вне предела своей пригодности. Это произошло потому, что в ней фактически соблюдено уравнение непрерывности тока (ток в 𝐿-ветви равен производной от заряда в 𝐶-ветви), что, как известно, почти автоматически дополняет уравнения электродинамики током смещения.

Руководствуясь разумными доводами (например, поведениями представительных моделей в представительных условиях или соображениями симметрии, инвариантности и т. п.), можно попытаться угадать вид функции Лагранжа, а затем испытать её на верность по стандартной схеме: уравнения движения – интерпретация – сравнение с экспериментом. Эта схема позволила, в частности, проникнуть в физику калибровочных полей. Она выглядит настолько естественной, что даже не ассоциируется с именем Максвелла,– предельный случай полного признания, когда авторство утрачивается в силу общечеловеческой значимости, как при изобретении колеса.

5. Уравнения поля

«Теория Максвелла – это уравнения Максвелла». Эта часто цитируемая оценка принадлежит Герцу [4]. В ней есть лозунговая экстремальность – она выставляет независимость ценности правильного результата от поисковых блужданий. Конечно, в «Трактате» обсуждается ещё и множество разнообразнейших проблем разной степени важности и общности, но уравнения электродинамики, сосредоточенные в п. 591-603, несомненно являют собой их кульминацию. Фактически уравнения были найдены задолго до первого издания «Трактата» и опубликованы в 1861-1862 гг. Но это не ослабляет волнения, охватывающего при знакомстве с ними в «Трактате», наверное, из-за возможности следовать шаг за шагом максвелловским путём приближения к ним.

К счастью, Максвелл избежал участи некоторых других первооткрывателей – ему не пришлось бороться за приоритет. Уравнения были неожиданны и не сразу поняты. Многие другие исследователи, занятые аналогичными делами, т.е. развивающие свои варианты теории, не восприняли достижения Максвелла как решающие и тем более как завершающие. Одной из причин, наверное, было привлечение образной, фарадеевского толка аргументации, о чем уже несколько раз говорилось выше. Это отпугивало, по крайней мере, некоторых континентальных физиков. Как ни странно, но такая территориальная поляризация наблюдалась на самом деле: немецкая и французская наука была более привержена рассудочному, аналитическому способу познания, чем британская,– тяготевшая к образным, геометрическим методам. И шло это традиционно ещё со времён Великого Противостояния дифференциалов Лейбница и флюксий Ньютона. Вообще написанные Максвеллом уравнения показались «конкурентам» неубедительными и неубедительно обоснованными. И они не приняли их за фундаментальные исходные законы, по существу не нуждающиеся в почленной аргументации и не подлежащие выводу из иерархически более элементарных (такая потребность возникла позже в процессе создания квантовой теории поля).

Другими причинами были, видимо, изобилие этих уравнений, непривычный их облик и ещё неполная очищенность от некоторых частностей (подробности – чуть позже). Максвелл писал: «Эти соотношения можно считать основополагающими. Их можно было бы скомбинировать так, чтобы исключить некоторые из величин. Однако наша задача сейчас состоит не в получении компактных математических формул, а в написании выражения для каждого соотношения, о котором мы что-либо знаем. На этой стадии исследования исключение любой величины, отражающей полезную идею, было бы скорее потерей, чем выигрышем» («Трактат», п. 615).

Представленная Максвеллом итоговая система уравнений (а в ней присутствовали уравнения и для полей, и для потенциалов, и материальные связи, и выражения для сил) была внутренне непротиворечива, так что решение вопроса об излишествах действительно отступало пока на второй план: всё это уладилось позже при формулировке и доказательстве теорем единственности (и существования, конечно). Первостепеннее стояла проблема полноты и замкнутости (и достоверности, конечно). По этому поводу Максвелл не позволил себе высказывать какие-либо общие сентенции, но привёл несколько простейших решений для предъявления экспериментаторам. Как мы знаем, все контрольные эффекты, предложенные самим Максвеллом (а также несколькими поколениями исследователей позже), прошли обоснованную экспериментальную экспертизу, в том смысле, что были подтверждены в пределах точности, с которой макроскопическая электродинамика оказалась вообще справедливой.

Далее мы проведём сопоставление сводных уравнений электродинамики, содержащихся в «Трактате», с уравнениями Максвелла в их современном представлении. Для этого воспроизведём формульную часть п. 618 (этот параграф имеет название «Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений») и рядом с каждой трактатной формой поместим соответствующее ей выражение в обозначениях, принятых теперь с использованием гауссовой системы единиц ¹⁰.

¹⁰ В «Трактате» сводные уравнения помечены не цифрами, а прописными буквами латинского алфавита и тем выделены от рядовых формул. Правда, три уравнения вообще никак ие означены: для них мы ввели малые греческие буквы (α), (β), (γ).

Уравнение для магнитной индукции

𝕭

=

𝑉⋅∇𝕬

,

𝐁=∇×𝐀

=

rot 𝐀

,

(A)

𝐁 – магнитная индукция, 𝐀 – вектор-потенциал (электрический)

Уравнения для электродвижущей напряжённости

𝔈

=

𝑉⋅𝔊𝔅

–

𝔄̇

–

∇Ψ

,

𝐄

=

1

𝑐

𝐮×𝐁

–

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

–

∇ψ

(B)

𝐄 – напряжённость электрического поля, φ – скалярный потенциал (электрический), 𝐮 – скорость контура или системы отсчёта, 𝑐 – скорость света в вакууме.

Уравнение для механической силы

𝔉

=

𝑉⋅ℭ𝔅

+

𝑒𝔈

–

𝑚∇

Ω

,

𝐟

=

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

+

ρ

^𝑒

𝐄

–

ρ

^𝑚

∇Ψ

,

(C)

𝐟 – объёмная плотность силы, 𝐣^𝑒_пол=𝐣^𝑒_пр+𝐣^𝑒_см – плотность полного (истинного электрического тока, 𝐣^𝑒_пр – плотность тока проводимости, 𝐣^𝑒_см – плотность тока смещения, ρ^𝑒 – плотность электрического заряда, ρ^𝑚 – плотность магнитного заряда, Ψ – скалярный потенциал (магнитный).

Уравнение для намагничения

𝔅

=

ℌ

+

4π𝔍

,

𝐁

=

𝐇

+

4π𝐌

,

(D)

𝐁 – магнитная индукция, 𝐇 – напряжённость магнитного поля, 𝐌 – вектор намагничения.

Уравнение для электрических токов

4πℭ

=

𝑉⋅∇ℌ

,

4π

𝑐

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

=

∇×𝐇

=

rot 𝐇

.

(E)

Уравнение для токов проводимости

𝔎

=

𝑐𝔈

,

𝐣

^𝑒

_пр

×𝐁

=

σ𝐄

,

(G)

σ – проводимость среды.

Уравнение для электрического смещения

𝔇

=

1

4π

𝓀𝔈

,

𝐃

=

ε𝐄

,

(α)

ε диэлектрическая проницаемость.

Уравнение для истинного тока

ℭ

=

𝔎+𝔇

=

⎛

⎜

⎝

𝑐

+

1

4π

𝓀

⎞

⎟

⎠

𝔈

,

𝐣

^𝑒

_пол

×𝐁

=

𝐣

^𝑒

_пр

×𝐁

+

𝐣

^𝑒

_см

×𝐁

=

⎛

⎜

⎝

σ

+

ε

4π

∂

∂𝑡

⎞

⎟

⎠

𝐄

.

(H),(I)

Уравнение для электрической объёмной плотности

𝔢

=

𝑆⋅∇𝔇

,

4πρ

^𝑒

=

∇⋅𝐃

=

div 𝐃

.

(J)

Уравнение для электрической поверхностной плотности ρ^𝑒_пов

4πρ

^𝑒

_пов

=

𝐧₁₂

×

(𝐃₂-𝐃₁)

,

(K)

𝐧₁₂ – нормаль к поверхности из среды 1 в среду 2.

Уравнение для намагничения

𝔅

=

μℌ

,

𝐁

=

μ𝐇

,

(L)

μ – магнитная проницаемость.

Уравнение для магнитной плотности

𝔪

=

𝑆⋅∇𝔍

ρ

^𝑚

=

–div 𝐌

=

–∇⋅𝐌

.

(β)

Уравнение для магнитной силы (когда rot 𝐇=0)

ℌ

=

–∇

Ω

,

𝐇

=

–∇Ψ

.

(γ)

Итак, перед нами совокупность сводных уравнений (А) – (γ), и мы в состоянии оценить их совершенство и правильность с позиций нашего понимания. Вообще говоря, она отличается от системы, впоследствии канонизированной как система уравнений Максвелла. Но за малыми исключениями отличия скорее методические, а не принципиальные. Прежде всего совокупность (А) – (γ) по-другому организована; и в этом, и в некоторых её деталях ещё проглядываются следы моделей, принимавших участие в процессе поиска. Это те самые строительные леса, отмеченные ранее Максвеллом – с признательностью за оставление их – в трудах Фарадея, и выходит, что не по недосмотру сохранённые теперь им самим. Кроме того, при перегруженности системы (А) – (γ) в ней есть известная незавершённость: в частности, не проведено несколько «напрашивающихся» обобщений, даже из числа уже подготовленных и обсуждённых в тексте. И мы обязаны Дж. Дж. Томсону, Г. Герцу, О. Хевисайду и X. Лоренцу тем, что именно они оказались доброжелательно вдумчивыми последователями, сумевшими первыми осознать непреходящее значение этих уравнений и довести их до того общего по смыслу и изящного по форме состояния, которое в наше время принимается за образец физической теории.

Опуская промежуточные этапы и мотивировки действий, приведём систему уравнений Максвелла в её усовершенствованном представлении. Потом были предложены, возможно, более удачные (в отношении компоновки, объединения, обобщений, классификации по типам симметрии и инвариантности и т. п.) варианты записи [12], но данная форма (лишь слегка подправленная позже) остаётся и по сей день одной из наиболее употребительных:

rot 𝐇

=

4π

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

1

𝑐

∂𝐃

∂𝑡

,

(1)

rot 𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐁

∂𝑡

,

(2)

div 𝐁

=

0

,

(3)

div 𝐃

=

4πρ

^𝑒

,

(4)

𝐃

=

ε𝐄

,

𝐁

=

μ𝐇

,

𝐣

^𝑒

=

σ𝐄

^𝑒

,

(5)

𝐟

_мех

=

ρ

^𝑒

𝐄

+

1

𝑐

𝐣

^𝑒

_пр

×

𝐁

.

(6)

Причём даже порядок расстановки уравнений настолько прижился, что в «определённых кругах» (кастовость тут тоже регламентируется научным происхождением) часто говорят, «как следует из первого, второго и т.д. уравнения Максвелла», считая, видимо, перенумерацию отступничеством от Заветов Учителя, хотя легко усмотреть из сравнения (А) – (γ) с (1) – (6), что всё это дело рук Апостолов, а не Его самого.

Сейчас принимается такая классификация. Уравнения (1)– (4) – собственно уравнения электромагнитного поля. Уравнения (5) – материальные уравнения (в их простейшей разновидности – линейная изотропная среда с локальными и мгновенными взаимодействиями – без дисперсии). Сторонние поля 𝐄_стор могут быть включены в (5) или вставлены прямо в (1) – (4). Уравнение (6) выражает силу, действующую на свободные заряды и токи; через него осуществляется метрологическая связь с полями другой природы (механикой, гравитацией). Иногда (6) заменяется законом сохранения энергии, но тогда приходится делать оговорки, преждевременные на стадии постулирования общих законов движения.

Уравнения для полей (1) – (4) разбиваются на две пары: (1) и (4) выражают поля через их источники – электрические заряды и токи, а (2) и (3) источников не содержат, это автономная пара уравнений, определяющая связь между 𝐄 и 𝐁, причём универсально, вне зависимости от материальных соотношений и от свойств источников. Так вот, источниковые уравнения (1) и (4) написаны Максвеллом сразу в «окончательном виде», принятом потом. Это соответственно (Е) и (J). В них скрыто содержится и уравнение непрерывности для токов проводимости (или конвекции)

div 𝐣

^𝑒

+

∂ρ^𝑒

∂𝑡

=

0.

(7)

Его Максвелл не вставляет в эту совокупность, что не означает, однако, что он не относит его к числу основополагающих. Более того, отсутствие в системе (А) – (γ) уравнения непрерывности, возможно, даже обусловлено вполне последовательными доводами: Максвелл считал его более общим, так сказать, надэлектродинамическим законом природы.

Другая автономная пара (2) и (3) представлена в «Трактате» иначе. Во-первых, Максвелл ввёл в (В) проводящий контур, движущийся со скоростью и относительно других неподвижных элементов системы (среды), что позволило ему установить (так сказать, попутно, заодно) закон преобразования полей при переходе в движущуюся (инерциальную) систему отсчёта (в нерелятивистском приближении, однако). Это и есть остаточный след модели. Его легко устранить, положив 𝐮=0 (редкая ситуация, когда частный случай инициирует более общие соотношения!). Во-вторых, Максвелл не прибегнул к форме (2), (3), а как бы, опустив её (возможно, даже и не заметив этого), сразу выдал решение: уравнения (2), (3) тождественно удовлетворяются, если представить 𝐄 и 𝐁 через потенциалы 𝐀, φ, рассматриваемые пока как произвольные функции координат и времени:

𝐄

=-

1

𝑐

∂𝐀

∂𝑡

–

∇φ

,

𝐁

=

rot 𝐀

(8)

При 𝐮=0 (8) точно совпадает с (А) и (В). Фактически Максвелл вышел на соотношения (8) путём последовательных обобщений разных модельных ситуаций. Но тем сильнее, как нам кажется, мы должны проникнуться чувством преклонения перед таинственной силой (в смысле мощи интуиции) Великого Ума: Максвелл нашёл функциональное решение уравнений, минуя сами уравнения ¹¹, причём нашёл в самом общем виде, и вдобавок в таком, который подсказал ещё один, иной и по-иному содержательный подход к описанию электромагнитных полей вообще. Уравнения (2), (3) были явно выписаны О. Хевисайдом, и Дж. Дж. Томсон успел вставить их в примечания к 3-му изданию «Трактата» (см. примеч. к п. 598).

¹¹ Впрочем, вопрос этот не решается однозначно. В «Трактате» решения (8) и в самом деле написаны без уравнений (2), (3), однако в одной из ранних своих работ [7] Максвелл выписал второе уравнение в явиом виде, а потом почему-то отнес его к производным, а не основным уравнениям. В сборнике [15] имеется очень содержательная статья Н. Т. Маркчева, где дается сводка и сравнение всех разновидностей систем уравнений электродинамики в их исторической последовательности от трех максвелловских до многочисленных (хотя и тоже не всех) после.

Конечно, уравнения (1) – (4) и их прообразы в «Трактате» предполагают дифференцируемость всех встречающихся в них полей. Правда, каждому дифференциальному уравнению может быть поставлено в соответствие интегральное уравнение, где это ограничение на поля снимается. Максвелл отводил такому описанию (как уже отмечалось, обладающему большим сродством с полевыми представлениями Фарадея) важную роль в формировании науки, посвящённой топологии векторных (а затем уже и тензорных любого ранга) полей (в отношении полей электромагнитных в этом деле ещё и сейчас есть изрядные недоработки). Но, несмотря на большую общность, в сводном перечне уравнений в «Трактате» интегральная запись не фигурирует, а должные замечания по этому поводу рассеяны по разным разделам текста. Пока ещё Максвелл искал принципиально правильные связи и только после получения доказательств их правильности должен был возникнуть следующий вопрос – установление наиболее общих правильных связей. А аппарат для решения этого вопроса был уже наготове. Более того, он включил в основную совокупность уравнений (К), которое мы интерпретируем сейчас как граничное условие – условие, определяющее закон перехода полей (в данном случае нормальных компонент 𝐷) через границу раздела сред (в данном случае через заряженную поверхность) и которое, строго говоря, вытекает из интегрального соотношения, обобщающего (4):

∮

𝑆

𝐃

𝑑𝐒

=

4π

∫

𝑉

ρ

𝑑𝑉

,

где замкнутая поверхность 𝑆 охватывает весь объём 𝑉. Таким образом, можно думать, что Максвелл временно отложил обсуждение вопроса о справедливости общих интегральных уравнений для электромагнитных полей и соответственно об общих условиях скачкообразного или непрерывного перехода разных компонент разных полей через резкие границы раздела сред¹².

¹² В переписанной Максвеллом для второго издания Предварительной главе (именно в таком виде она фигурирует в данном переводе) вопросу о свойствах разрывных функций уделено специальное внимание. А эта глава – подготовительная, в какой-то мере способствующая раскрытию замыслов автора. Более того, и в электростатике, и в магнитостатике, и в теории стационарных токов постановка краевых задач для потенциалов (и полей) обсуждается на самом строгом уровне, так что гипотеза, по которой Максвелл не упустил из виду, а отложил написание сводных интегральных уравнений и краевых условий, имеет достаточные основания.

Вторая группа уравнений, представляющая материальные связи, фактически не подвергалась никаким изменениям и выглядит вполне по-современному: (5) совпадает с (α), (L), (G) с точностью до обозначений. При этом Максвелл не ставил целью установление каких-то общих связей, ограничившись простейшими. Чуть позже, в главах XX-XXI, он расширит возможные свойства сред, включив анизотропию (зависимость от направления) и оговорив дисперсию (зависимость от частоты). Важно отметить, что в этом простейшем наборе связей не сделано ни опущений, ни излишеств, а названо ровно столько соотношений, сколько необходимо для замыкания всей системы уравнений. Проблема замыкания и в наше время доставляет кое-какие беспокойства [13], так как для различных способов описания электромагнитных полей требуются разные независимые функции, причём одни из них могут быть вспомогательными («скрытыми от измерений»), а другие физически адекватными измеряемым величинам. Система (1) – (4) содержит 3x5=15 скалярных величин, подлежащих определению; это компоненты векторов 𝐄, 𝐃, 𝐇, 𝐁 и 𝐣^𝑒 (заряд ρ^𝑒 всюду, кроме идеальной электростатики, находится по известному распределению токов 𝐣^𝑒). Попарные подсистемы (2), (3) и (1), (4) налагают каждая только по три (а не четыре!) связи на искомые вектора. В самом деле: из (2) – (3) шесть компонент векторов 𝐄 и 𝐁 выражаются через три компоненты 𝐀 и скаляр φ, но последние благодаря градиентной инвариантности ещё допускают введение одной скалярной функции 𝑓, которой можно распорядиться произвольным образом. Напомним, что градиентной (или калибровочной) инвариантностью называется независимость векторов 𝐄 и 𝐁 относительно преобразования потенциалов

𝐀'

→

𝐀

–

∇𝑓

,

φ'

=

φ

+

1

𝑐

∂𝑓

∂𝑡

.

(9)

В результате система (1) – (4), содержащая 15 скалярных величин, фактически производит только шесть независимых ограничений первого порядка. И следовательно, для её замыкания требуется ещё девять связей; как раз именно столько выдают материальные соотношения (5).

Обращение к потенциалам, заметим, оказалось и здесь – при оценке условий замыкания системы уравнений поля – продуктивной необходимостью, так как без максвелловского представления (8) вряд ли возможно было установить инвариантное преобразование (9). В таком явном окончательно оформленном виде оно не встречается в «Трактате», хотя в процессе выхода на уравнения (8) Максвелл неоднократно обсуждает вопросы о неоднозначности введения скалярного и векторных потенциалов порознь.

Осталось обсудить наиболее трудное место, связанное с выводом выражения для механической силы (С). То, что в (С) наряду с членом, описывающим силу, действующую на токи, входит одновременно ещё и член, соответствующий силе, действующей на фиктивные магнитные заряды, с помощью которых можно заменить (с известными оговорками) действие замкнутых токов, не должно приводить к недоразумениям: нужные пояснения сделаны в соответствующих параграфах «Трактата», относящихся к магнитостатике. Но обобщение равноправности такого подхода на произвольно текущие во времени процессы требует всё же некоторых дополнений.