Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 6 (всего у книги 34 страниц)
Таким образом, чтобы данный метод привёл к решению задачи о магнитной Индукции, производная 𝑑𝑉/𝑑𝑥 должна быть внутри тела линейной функцией координат 𝑥, 𝑦, 𝑧, и, следовательно, потенциал 𝑉 – квадратичной функцией этих координат.
Но единственными из числа известных нам примерами, когда потенциал 𝑉 представлялся бы внутри тела квадратичной функцией координат, служат тела, Ограниченные полной поверхностью второго порядка, и единственным случаем, В котором такое тело обладало бы ограниченными размерами, является эллипсоид. Поэтому мы применим этот метод к случаю эллипсоида.
Пусть уравнение
𝑥²
𝑎²
+
𝑦²
𝑏²
+
𝑧²
𝑐²
=
1.
(1)
будет уравнением эллипсоида, а Φ0 обозначает следующий определённый интеграл:
∞
∫
0
𝑑(φ²)
√(𝑎²+φ²)(𝑏²+φ²)(𝑐²+φ²)
.
(2)
1
1 См. Томсон и Тэт «Натуральная философия» (Thomson and Tait’s Natural Philosophy, § 525, 2nd Edition).
Тогда, если положить
𝐿
=
4π𝑎𝑏𝑐
𝑑Φ0
𝑑(𝑎²)
,
𝑀
=
4π𝑎𝑏𝑐
𝑑Φ0
𝑑(𝑏²)
,
𝑁
=
4π𝑎𝑏𝑐
𝑑Φ0
𝑑(𝑐²)
,
(3)
то значение потенциала внутри эллипсоида будет равно
𝑉
0
=
–
ρ
2
(
𝐿𝑥²
+
𝑀𝑦²
+
𝑁𝑧²
)+const.
(4)
Если эллипсоид намагничен однородно с интенсивностью 𝐼 в направлении, которое относительно осей 𝑥, 𝑦, 𝑧 имеет направляющие косинусы 𝑙, 𝑚, 𝑛, так что составляющие намагниченности этого эллипсоида равны 𝐴=𝐼𝑙, 𝐵=𝐼𝑚, 𝐶=𝐼𝑛, то потенциал, обусловленный такой намагниченностью внутри соленоида, будет
Ω
=
–𝐼(
𝐿𝑙𝑥
+
𝑀𝑚𝑦
+
𝑁𝑛𝑧
).
(5)
Если внешняя магнитная сила равна ℌ, а её составляющие – 𝑉, 𝑊, 𝑋, то её потенциал будет равен
𝑉
=
–(
𝑋𝑥
+
𝑌𝑦
+
𝑍𝑧
).
(6)
Поэтому составляющие истинной намагничивающей силы в произвольной точке тела равны
𝑋+𝐴𝐿,
𝑌+𝐵𝑀,
𝑍+𝐶𝑁.
(7)
Наиболее общая связь между намагниченностью и намагничивающей силой задаётся тремя линейными уравнениями, содержащими девять коэффициентов. Для выполнения закона сохранения энергии в случае магнитной индукции необходимо, однако, чтобы три из них были бы соответственно равны трём другим, т.е. чтобы мы имели
𝐴
=
ϰ
1
(𝑋+𝐴𝐿)
+
ϰ'
3
(𝑌+𝐵𝑀)
+
ϰ'
2
(𝑍+𝐶𝑁)
,
𝐵
=
ϰ'
3
(𝑋+𝐴𝐿)
+
ϰ
2
(𝑌+𝐵𝑀)
+
ϰ'
1
(𝑍+𝐶𝑁)
,
𝐶
=
ϰ'
2
(𝑋+𝐴𝐿)
+
ϰ'
1
(𝑌+𝐵𝑀)
+
ϰ
3
(𝑍+𝐶𝑁)
.
(8)
Из этих уравнений можно выразить 𝐴, 𝐵, 𝐶 через 𝑋, 𝑌, 𝑍 и получить наиболее общее решение задачи.
Потенциал вне эллипсоида будет складываться из потенциала, обусловленного намагниченностью эллипсоида, и потенциала внешней магнитной силы.
438. Единственным практически важным является случай, в котором
ϰ'
1
=
ϰ'
2
=
ϰ'
3
=
0.
(9)
Тогда мы имеем
𝐴
=
ϰ1
1-ϰ1𝐿
𝑋
,
𝐵
=
ϰ2
1-ϰ2𝑀
𝑌
,
𝐶
=
ϰ3
1-ϰ3𝑁
𝑍
.
(10)
Если эллипсоид имеет две одинаковых оси и является эллипсоидом планетарной или сплюснутой формы, то
𝑏
=
𝑐
=
𝑎
√1-𝑒²
,
(11)
𝐿
=
-4π
⎛
⎜
⎝
1
𝑒²
–
√1-𝑒²
𝑒³
arcsin 𝑒
⎞
⎟
⎠
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑀=𝑁
=
-2π
⎛
⎜
⎝
√1-𝑒²
𝑒³
arcsin 𝑒
–
1-𝑒²
𝑒²
⎞
⎟
⎠
.
(12)
Если эллипсоид имеет яйцевидную или вытянутую форму, то
𝑎
=
𝑏
=
√
1-𝑒²
𝑐
,
(13)
𝐿=𝑀
=
-2π
⎛
⎜
⎝
1
𝑒²
–
1-𝑒²
2𝑒²
ln
1+𝑒
1-𝑒
⎞
⎟
⎠
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑁
=
-4π
⎛
⎜
⎝
1
𝑒²
–1
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
2𝑒
ln
1+𝑒
1-𝑒
–1
⎞
⎟
⎠
.
(14)
В случае сферы, когда 𝑒=0,
𝐿
=
𝑀
=
𝑁
=-
4
3
π.
(15)
В случае очень плоского планетоида величина 𝐿 в пределе становится равной -4π а величины 𝑀 и 𝑁 равными -π²𝑎/𝑐.
В случае очень вытянутого овалоида (ovoid) 𝐿 и 𝑀 стремятся к значению -2π, а 𝑁 приближается к выражению
-4π
𝑎²
𝑐²
⎛
⎜
⎝
ln
2𝑐
𝑎
–1
⎞
⎟
⎠
и обращается в нуль при 𝑒=1.
Из этих результатов следует:
(1). Когда коэффициент намагниченности ϰ очень мал, будучи положительным или отрицательным, индуцированная намагниченность приблизительно равна намагничивающей силе, умноженной на ϰ, и почти не зависит от формы тела.
(2). Когда ϰ является большой положительной величиной, намагниченность существенно зависит от формы тела и почти не зависит от точного значения ϰ, кроме случая продольной силы, действующей на такой вытянутый овалоид, в котором даже при больших ϰ величина 𝑁ϰ остаётся малой.
(3). Если бы коэффициент ϰ мог стать отрицательным и равным 1/4π то в случае намагничивающей силы, действующей перпендикулярно плоской пластинке или диску, мы имели бы бесконечное значение для намагниченности. Абсурдность этого результата подтверждает сказанное в п. 428.
Таким образом, эксперименты по определению ϰ можно проводить на телах любой формы, но при условии, что ϰ очень малы, как это имеет место для всех Диамагнитных тел и всех магнитных тел, кроме железа, никеля и кобальта.
Если, однако, как в случае железа, ϰ представляет собой большое число, то эксперименты со сферами и плоскими фигурами непригодны для определения ϰ; например, для сферы с ϰ=30 (отдельные сорта железа) намагниченность относится к намагничивающей силе как 1 к 4,22, а при бесконечных и это отношение равно 1 : 4,19, т.е. очень маленькая ошибка при определении намагниченности приводила бы к очень большой ошибке в ϰ.
Воспользовавшись, однако, куском железа в форме очень вытянутого овалоида, можно при умеренных по сравнению с единицей значениях 𝑁ϰ вычислить значения ϰ по найденной величине намагниченности, причём тем точнее, чем меньше величина 𝑁.
Действительно, если сделать 𝑁ϰ достаточно малым, то малая ошибка в определении самой величины 𝑁 не внесёт большой погрешности, и вместо овалоида можно взять любое вытянутое тело, например проволоку или длинный стержень.
Следует, однако, помнить, что такая замена допустима только в случае, когда произведение 𝑁ϰ мало по сравнению с единицей. На самом деле распределение магнетизма вдоль длинного цилиндра с плоскими концами не напоминает соответствующее распределение вдоль длинного овалоида, так как свободный магнетизм очень сильно концентрируется к концам цилиндра, в то время как в случае овалоида его концентрация меняется прямо пропорционально расстоянию от экватора.
Распределения же электричества, как мы уже видели в п. 152, вдоль цилиндра и вдоль овалоида фактически сходны.
Эти результаты позволяют понять также, почему магнитный момент у постоянных магнитов вытянутой формы может быть заметно увеличен. Если намагнитить диск перпендикулярно его поверхности до интенсивности 𝐼 и затем предоставить самому себе, то на внутренние частицы этого диска начала бы действовать постоянная размагничивающая сила, равная 4π𝐼. И даже если этой силы самой по себе было бы не достаточно для разрушения части намагниченности, вскоре это всё же произошло бы под действием вибраций или изменений температуры.
При намагничении цилиндра в поперечном направлении, размагничивающая сила будет равна всего лишь 2π𝐼, а в сферическом магните (4/3)π𝐼.
В поперечно намагниченном диске размагничивающая сила равна π(𝑎/𝑐)𝐼, а в продольно намагниченном вытянутом овалоиде она имеет наименьшее из всех значений, равное
4π
𝑎²
𝑐²
𝐼 ln
2𝑐
𝑎
.
Следовательно, вытянутый магнит не так охотно теряет свой магнетизм, как короткий и толстый магнит.
Для эллипсоида с различными магнитными коэффициентами вдоль трёх осей момент сил, действующий на него и стремящийся повернуть его вокруг оси 𝑥, равен
4
3
π𝑎𝑏𝑐
(𝐵𝑍-𝐶𝑌)
=
4
3
π𝑎𝑏𝑐
𝑌𝑍
ϰ2-ϰ3+ϰ2ϰ3(𝑀-𝑁)
(1-ϰ2𝑀)(1-ϰ3𝑁)
.
Следовательно, если ϰ2 и ϰ3 малы, то этот момент в принципе зависит от кристаллических свойств тела, а не от его формы, при условии, что размеры тела не различаются слишком сильно; если ϰ2 и ϰ3 значительны (как в случае железа), то сила будет существенно зависеть от формы тела, стремясь устанавливать большую ось параллельно линиям силы.
Если бы могло быть получено достаточно большое, но всё же ещё однородное поле магнитной силы, то вытянутое изотропно диамагнитное тело тоже стремилось бы установиться так, чтобы его наибольший размер оказывался бы параллельным линиям магнитной силы.
439. Вопрос о распределении намагниченности в эллипсоиде вращения под действием произвольных магнитных сил был исследован И. Нейманом 2. Кирхгоф 3 распространил его метод на случай бесконечно длинного цилиндра, находящегося под воздействием произвольной силы.
2Crelle, Bd. XXXVII (1848).
3Crelle, Bd. XLVIII (1854).
Грин в 17-м разделе своего Сочинения привёл исследование распределения магнетизма в цилиндре конечной длины под действием однородной внешней силы 𝑋, параллельной его оси. Хотя отдельные этапы этого исследования и не очень строги, однако в данном наиболее важном случае его результаты, по-видимому, приближённо соответствуют реальной намагниченности, и они, конечно, очень чётко выражают переход от цилиндра с большим ϰ к цилиндру с очень малыми ϰ, хотя совершенно непригодны в случае отрицательных ϰ, т.е. для диамагнитных веществ.
Грин нашёл, что линейная плотность свободного магнетизма для цилиндра с радиусом 𝑎 и длиной 2𝑙 на расстоянии 𝑥 от его середины равна
λ
=
πϰ𝑋𝑝𝑎
𝑒𝑝𝑥/𝑎-𝑒-𝑝𝑥/𝑎
𝑒𝑝𝑙/𝑎+𝑒-𝑝𝑙/𝑎
,
где 𝑝 есть численная величина, определяемая из уравнения
0,231863
–
2ln 𝑝
+
2𝑝
=
1
πϰ𝑝²
.
Ниже приводятся несколько соответствующих значений ϰ и 𝑝:
ϰ
𝑝
ϰ
𝑝
∞
0
11
,802
0
,07
336
,4
0
,01
9
,137
0
,08
62
,02
0
,02
7
,517
0
,09
48
,416
0
,03
6
,319
0
,10
29
,475
0
,04
0
,1427
1
,00
20
,185
0
,05
0
,0001
10
,00
14
,794
0
,06
0
,0000
∞
Отрицательное
Мнимое
Когда длина цилиндра велика по сравнению с его радиусом, полное количество свободного магнетизма по любую сторону от середины магнита, как это и должно быть, равно 𝑀=π𝑎²ϰ𝑋, причём часть этого магнетизма, равная 𝑝𝑀/2, сосредоточена на плоском торце цилиндра, а центр тяжести всего распределения расположен от торца на расстоянии 𝑎/𝑝.
Когда 𝑥 очень мало, то 𝑝 велико, и почти весь свободный магнетизм сосредоточен на торцах цилиндра. С увеличением 𝑥 величина 𝑝 убывает, и свободный магнетизм рассредоточивается на больших расстояниях от концов. При бесконечном ϰ свободный магнетизм в любой точке цилиндра просто пропорционален расстоянию от средней точки; подобное распределение имеет свободное электричество на проводнике в поле однородной силы.
440. Во всех веществах, кроме железа, никеля и кобальта, коэффициенты намагниченности так малы, что индуцированная намагниченность тела приводит лишь к небольшому изменению силы в магнитном поле. Следовательно, в первом приближении мы можем считать, что внутри тела действует такая же магнитная сила, как в отсутствие тела. Поверхностная намагниченность тела, таким образом, в первом приближении равна ϰ(𝑑𝑉/𝑑ν) где 𝑑𝑉/𝑑ν – скорость роста магнитного потенциала, созданного внешним магнитом, вдоль внутренней нормали к поверхности. Вычислив потенциал, обусловленный этим поверхностным распределением, мы можем затем использовать его при переходе ко второму приближению.
Чтобы в этом первом приближении найти механическую энергию, обусловленную поверхностным распределением магнетизма, мы должны найти поверхностный интеграл
𝐸
=
1
2
∬
ϰ𝑉
𝑑𝑉
𝑑ν
𝑑𝑆
,
взятый по всей поверхности тела. Но в п. 100 мы показали, что он равен объёмному интегралу
𝐸
=
–
1
2
∭
ϰ
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
взятому по области, занятой телом, или, если обозначить через 𝑅 результирующую магнитную силу,
𝐸
=
–
1
2
∭
ϰ
𝑅²
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Далее, так как работа, совершаемая магнитной силой над телом при смещении на δ𝑥, равна 𝑋δ𝑥 (где 𝑋 -механическая сила в направлении 𝑥) и так как ∫𝑋δ𝑥+𝐸=const, то
𝑋
=-
𝑑𝐸
𝑑𝑥
=
1
2
𝑑
𝑑𝑥
∭
ϰ𝑅
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
1
2
∭
ϰ
𝑑𝑅²
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Отсюда следует, что на тело действует такая сила, при которой каждая его часть стремится перемещаться из областей меньших 𝑅² в область больших 𝑅²; при этом сила, действующая на каждый единичный элемент объёма, равна
½ϰ
𝑑𝑅²
𝑑𝑥
.
Если величина ϰ отрицательна, как это имеет место для диамагнитных тел, то данная сила (это впервые установил Фарадей) направлена из области сильных в область слабых магнитных полей. Большинство эффектов, наблюдаемых с диамагнитными телами, зависит от этого свойства.
Корабельный магнетизм
441. Почти каждая отрасль науки о магнетизме находит применение в навигации. Непосредственное воздействие земного магнетизма на стрелку компаса является единственным методом определения курса корабля в условиях, когда солнце и звезды скрыты. Вначале казалось, что отклонение стрелки от направления истинного меридиана служит помехой для использования компаса в навигации, однако, после того как были составлены магнитные карты, эта трудность была преодолена и стало очевидным, что магнитное склонение само по себе может даже помочь моряку в определении местонахождения его корабля.
Наибольшую трудность в навигации всегда вызывало определение долготы. Но так как склонение различно в разных точках одной и той же широтной параллели, то его наблюдение при наличии известной широты предоставляет возможность моряку определить своё положение на магнитной карте.
Однако в последнее время при конструировании кораблей настолько широко применяется железо, что стало вообще невозможно пользоваться компасом без учёта того действия, которое оказывает на его стрелку сам корабль, представляющий собой некоторое магнитное тело.
Определение распределения магнетизма в массе железа произвольной формы под влиянием земной магнитной силы, даже не подверженного механическим напряжениям и другим возмущениям, составляет, как мы видели, очень сложную задачу.
В рассматриваемом случае эта задача всё же упрощается благодаря следующим обстоятельствам.
Считается, что центр компаса расположен в фиксированной точке корабля, достаточно удалённой от любого железа, так что сама стрелка компаса не индуцирует в корабле заметного магнетизма. Размеры стрелки предполагаются настолько малыми, что во всех её точках магнитную силу можно считать одинаковой.
Корабль предполагается состоящим из железа только двух сортов.
(1). Твёрдого железа с постоянной намагниченностью.
(2). Мягкого железа с намагниченностью, индуцированной Землёй или другими магнитами.
Для строгости следует допустить, что даже самое твёрдое железо способно не только к индукции, но и к потере – теми или иными способами – части своей так называемой постоянной намагниченности.
Самое же мягкое железо способно сохранять свою так называемую остаточную намагниченность. Реальные свойства железа нельзя точно представлять, предполагая его состоящим из железа твёрдого и железа мягкого, определение которых было дано нами выше. Однако было установлено, что когда корабль подвергается действию только силы земного магнетизма и не находится в каких-то условиях непогоды, то допущение того, что его магнетизм обусловлен лишь частично постоянной и частично временной намагниченностью, приводит к достаточно точным результатам применительно к коррекции компаса.
Уравнения, на которых основана теория вариации компаса, были даны Пуассоном в пятом томе Mémoires de l'Institut, p. 533 (1824).
При их выводе было сделано единственное предположение, касающееся индуцированного магнетизма, а именно: если магнитная сила 𝑋, обусловленная внешним магнетизмом, создаёт в железе корабля индуцированную намагниченность и если эта индуцированная намагниченность воздействует на стрелку компаса с возмущающей силой, имеющей составляющие 𝑋', 𝑌', 𝑍', то при изменении внешней магнитной силы в заданное число раз составляющие возмущающей силы изменятся в то же самое число раз.
В действительности при воздействии на железо очень больших магнитных сил индуцированная намагниченность уже не пропорциональная действующей силе, однако в случае магнитных сил, величина которых обусловлена земным магнетизмом, отсутствие пропорциональности незаметно.
Таким образом, на практике мы можем считать, что если единичная магнитная сила создаёт через посредство корабельного железа действующую на стрелку компаса возмущающую силу с составляющими 𝑎 – в направлении 𝑥, 𝑑 – в направлении 𝑦, 𝑔 – в направлении 𝑧, то составляющие возмущающей силы, обусловленной внешней силой 𝑋, направленной по 𝑥, будут соответственно равны 𝑎𝑋, 𝑑𝑋, 𝑔𝑋.
Следовательно, если мы введём оси, фиксированные относительно корабля, направив ось 𝑥 к носу корабля, ось 𝑦 – к правому борту, а ось 𝑧 – к килю, и обозначим через 𝑋, 𝑌, 𝑍 составляющие земной магнитной силы в этих направлениях, то 𝑋', 𝑌', 𝑍' -составляющие комбинированной силы, действующей на стрелку компаса со стороны Земли и корабля, будут равны
𝑋'
=
𝑋
+
𝑎𝑋
+
𝑏𝑌
+
𝑐𝑍
+
𝑃
,
𝑌'
=
𝑌
+
𝑑𝑋
+
𝑒𝑌
+
𝑓𝑍
+
𝑄
,
𝑍'
=
𝑍
+
𝑔𝑋
+
ℎ𝑌
+
𝑘𝑍
+
𝑅
.
(1)
В этих уравнениях 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑘, – девять постоянных коэффициентов, зависящих от количества, расположения и восприимчивости к индукции мягкого железа корабля; 𝑃, 𝑄, 𝑅 – константы, определяемые постоянной намагниченностью корабля.
Очевидно, что эти уравнения обладают достаточной общностью в условиях, когда магнитная индукция является линейной функцией магнитной силы, поскольку они представляют собой ни больше ни меньше как самое общее выражение для любого вектора, являющегося линейной функцией другого вектора.
Можно тем не менее показать, что они не слишком общие, поскольку соответствующим размещением железа можно любой из коэффициентов изменять независимо от других.
Так, длинный и тонкий железный прут под действием продольной магнитной силы приобретает полюса, мощность которых численно равна сечению прута, умноженному на магнитную силу и на коэффициент индуцированной намагниченности. Магнитная сила, перпендикулярная этому стержню, производит гораздо более слабую намагниченность, действие которой почти незаметно на расстоянии нескольких диаметров.
Если расположить длинный железный стержень вдоль корабля и поместить один его конец на расстоянии 𝑥 от стрелки компаса, измеряя это расстояние в сторону носа корабля, то, обозначив сечение стержня через 𝐴, а его коэффициент намагниченности через ϰ, для мощности полюса получим 𝐴ϰ𝑋; при значении 𝐴=𝑎𝑥/ϰ. сила, действующая со стороны этого полюса на стрелку компаса, будет равна 𝑎𝑋. При этом стержень можно считать достаточно длинным и действием на компас со стороны другого полюса пренебречь.
Таким образом, мы получили способ задания любого требуемого значения коэффициента 𝑎.
Если взять другой стержень с сечением 𝐵, поместить один его конец в ту же самую точку, отстоящую от компаса на расстоянии 𝑥, измеряемом в направлении носа судна, и развернуть его в сторону правого борта, удалив второй полюс на такое расстояние, где бы он не оказывал заметного влияния на компас, то возмущающая сила, создаваемая этим стержнем, будет направлена по 𝑥 и равна 𝐵ϰ𝑌/𝑥², или при 𝐵=𝑏𝑥²/ϰ сила окажется равной 𝑏𝑌.
Таким образом, этот стержень вводит коэффициент 𝑏.
Третий стержень, направленный из той же самой точки вниз, введёт коэффициент 𝑐.
Коэффициенты 𝑑, 𝑒, 𝑓 можно получать с помощью трёх стержней, вытянутых к носу, к правому борту и книзу из точки, смещённой от компаса к правому борту, а коэффициенты 𝑔, ℎ, 𝑖 – с помощью трёх стержней, вытянутых в направлениях, параллельных этим, из точки, расположенной под компасом.
Следовательно, любой из девяти коэффициентов можно менять отдельно с помощью нужным образом размещаемых железных стержней.
Величины 𝑃, 𝑄, 𝑅 являются просто составляющими силы, действующей на компас и возникающей из-за постоянной намагниченности корабля, а также из-за той части индуцированной намагниченности, которая обусловлена действием этой постоянной намагниченности.
Полное обсуждение уравнений (1) и связи между истинным магнитным курсом корабля и курсом, указываемым компасом, дано Арчибальдом Смитом в адмиралтейском «Руководстве по девиации компаса» (Manual of the Deviation of the Compass).
Там приведён важный графический метод исследования задачи. Из начала координат, взятого в произвольной фиксированной точке, проводится отрезок линии, представляющий по величине и по направлению горизонтальную составляющую реальной магнитной силы, действующей на стенку компаса. По мере тога как корабль поворачивается, ставя свой нос последовательно по разным азимутам, конец этой линии описывает кривую, каждая точка которой соответствует определённому азимуту.
Такая кривая, с помощью которой направление и величина силы, действующей на компас, определяется через магнитный курс корабля, называется Дигограммой.
Есть две разновидности Дигограмм. В одной из них кривая вычерчивается на плоскости, фиксированной в пространстве, в то время как корабль поворачивается. В другом случае кривая вычерчивается на плоскости, фиксированной по отношению к кораблю.
Дигограммы первого вида являются Улитками Паскаля, дигограммы второго вида – эллипсами. О построении и использовании этих кривых и о многих теоремах, представляющих интерес для математиков в той мере, в какой они важны для навигаторов, читатель может узнать из «Руководства по девиации компаса».
ГЛАВА VI
ВЕБЕРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ИНДУЦИРОВАННОГО МАГНЕТИЗМА
442. Как мы уже знаем, Пуассон предполагал, что намагниченность железа состоит в разделении магнитных жидкостей внутри каждой магнитной молекулы. При желании избежать допущения о существовании магнитных жидкостей можно выдвинуть ту же самую теорию в иной форме, приняв, что каждая молекула железа под действием на неё намагничивающей силы становится магнитом.
Теория Вебера отличается от неё предположением о том, что молекулы железа являются магнитами всегда, даже до приложения намагничивающей силы, но у обыкновенного железа магнитные оси молекул расположены безразлично по отношению к любому направлению, и железо в целом никаких магнитных свойств не проявляет.
Когда магнитная сила действует на железо, она стремится повернуть оси всех молекул в одном направлении, что и является причиной превращения железа, как целого, в магнит.
Если бы оси всех молекул выстроились параллельно друг другу, то железо обладало бы наибольшей интенсивностью намагниченности, на какую оно только способно вообще. Следовательно, теория Вебера устанавливает существование некоторой предельной интенсивности намагниченности, и поэтому для неё необходимы экспериментальные свидетельства наличия такого предела. Проведённые Джоулем 1, И. Мюллером 2 (J. Muller), Эвингом и Лоу 3 (Ewing and Low) опыты показали, что намагниченность приближается к некоторому предельному значению.
1Annals of Electricity, IV. p. 131, 1839; Phil. Mag., (4)III, p. 32.
2Pogg. Ann., LXXIX, p. 337, 1850.
3Phil. Trans. 1889, A, p. 221.
Наиболее полные подтверждения существования этого предела представлены экспериментами Бетца 4 (Beetz) с электролитическим железом, выделяемым под действием магнитной силы.
4Pogg. CXI, 1860.
Серебряная проволока покрывалась лаком, на котором делалась тонкая продольная царапина, обнажавшая узкую полоску металла. Затем проволока погружалась в раствор железа, и всё это помещалось в магнитное поле таким образом, чтобы царапина была в направлении линии магнитной силы. Для протекающего через раствор электрического тока проволока служила катодом, и железо, молекула за молекулой, откладывалось на узкой открытой части её поверхности. Полученная таким способом нитка железа подвергалась затем проверке на магнетизм. Для столь небольшой массы железа её магнитный момент оказался очень значительным, приложение мощной намагничивающей силы, действующей в том же направлении, приводило лишь к небольшому увеличению индуцированной намагниченности, в то время как постоянная намагниченность не менялась. Приложение же намагничивающей силы в противоположном направлении тотчас приводило нить в состояние, свойственное железу, намагниченному обычным путём.
Теория Вебера, предполагающая, что в данном случае магнитная сила поворачивает в момент отложения молекул их оси в одном направлении, очень хорошо согласуется с этими наблюдениями.
Бетц нашёл, что если продолжать электролиз под действием намагничивающей силы, то интенсивность намагниченности последовательно осаждаемого железа будет уменьшаться. Вероятно, оси молекул отклоняются от линии намагничивающей силы по мере того, как они откладываются бок о бок с уже осаждёнными ранее молекулами, т.е. предельная параллельность осей может быть получена только для случая очень тонкой нити железа.
Если, как предположил Вебер, молекулы железа являются готовыми магнитами, то любая магнитная сила, достаточная при электролитическом осаждении для параллельного установления их осей, будет достаточной и для создания в образованной нити наивысшей интенсивности намагниченности.
С другой стороны, если молекулы железа не являются магнитами, а лишь обнаруживают способность к намагничиванию, то намагниченность образующейся нити будет зависеть от намагничивающей силы так же, как в общем случае она зависит и в обычном мягком железе. Эксперименты Бетца не оставляют места для второй гипотезы.
443. Следуя Веберу, мы будем сейчас считать, что в каждом единичном объёме железа имеется 𝑛 магнитных молекул и магнитный момент каждой из них равен 𝑚. Если бы оси всех молекул расположились бы параллельно, магнитный момент единичного объёма оказался бы равным 𝑀=𝑛𝑚, и это была бы наибольшая интенсивность намагниченности, на которую способно железо.
У обыкновенного железа в ненамагниченном состоянии, согласно предположению Вебера, оси молекул располагаются безразлично во всех направлениях.
Чтобы описать это, можно вообразить некоторую вычерченную сферу, у которой из центра проведён радиус-вектор параллельно направлению оси каждой из 𝑛 молекул. Распределение кончиков радиус-векторов по сфере будет представлять распределение осей молекул. В случае обыкновенного железа эти 𝑛 точек равномерно распределены на любом участке поверхности сферы, и число молекул, оси которых составляют с осью 𝑥 углы меньше α, равно (𝑛/2)(1-cos α) следовательно, число молекул, оси которых составляют с осью углы, лежащие в интервале α, α+𝑑α окажется равным (𝑛/2)sin α𝑑α.
Таково расположение молекул в куске железа, ранее ни разу не подвергавшегося намагничиванию.
Допустим теперь, что на железо в направлении оси 𝑥 действует магнитная сила 𝑋, и рассмотрим молекулу, ось которой была первоначально отклонена от оси 𝑥 на угол α.
Если эта молекула может поворачиваться совершенно свободно, она займёт положение, в котором её ось параллельна оси 𝑥. Если бы все молекулы были такими, то самой слабой намагничивающей силы оказалось бы достаточно для достижения самой наивысшей степени намагниченности. Однако это не так.
Молекулы не поворачиваются в положение, в котором их оси параллельны оси 𝑥. что обусловлено либо воздействием на каждую молекулу некоторой силы, стремящейся удержать её в первоначальном направлении, либо эффектом, эквивалентным этому, но производимым взаимодействием всей системы молекул.
Вебер принял первое предположение как наиболее простое, считая, что каждая молекула стремится при отклонении вернуться в исходное положение под действием такой силы, которую производила бы некоторая магнитная сила 𝐷, действующая в первоначальном направлении оси молекулы.
Положение, которое в действительности примет ось, определяется, следовательно, направлением равнодействующей сил 𝑋 и 𝐷.
Пусть 𝐴𝑃𝐵 представляет сечение сферы, радиус которой в некотором масштабе определяется силой 𝐷.
Направим радиус 𝑂𝑃 параллельно оси какой-либо отдельной молекулы в её первоначальном положении.
Пусть отрезок 𝑆𝑂 представляет в том же масштабе намагничивающую силу 𝑋 в предположении, что она действует в направлении от 𝑆 к 𝑂. Тогда при воздействии на молекулу силы 𝑋 вдоль 𝑆𝑂 и силы 𝐷 вдоль направления, параллельного первоначальному направлению её оси, ось молекулы установится в направлении 𝑆𝑃, т.е. вдоль равнодействующей сил 𝑋 и 𝐷.
Рис. 5
Рис. 6
Поскольку оси молекул ориентированы вначале по всем направлениям, 𝑃 может находиться в любой точке сферы безразлично. На рис. 5, где 𝑋 меньше, чем 𝐷, ось в конечном положении также может быть повёрнута в каком угодно направлении, но уже не безразлично, так как по направлению к 𝐴 большая часть молекул будет повёрнута своими осями, нежели по направлению к 𝐵. На рис. 6, где 𝑋 больше 𝐷, оси всех молекул будут ограничены конусом 𝑇𝑆𝑇', касающимся сферы.
Таким образом, существуют два различных случая, соответствующих значениям 𝑋, превышающим или не превышающим значение 𝐷.
Пусть
α=𝐴𝑂𝑃 – начальный наклон оси молекулы относительно оси 𝑥;
θ=𝐴𝑆𝑃 – наклон оси при отклонении силой 𝑋;
β=𝑆𝑃𝑂 – угол отклонения;
𝑆𝑂=𝑋 – намагничивающая сила;
𝑂𝑃=𝐷 – сила, стремящаяся возвратить ось в первоначальное положение;
𝑆𝑃=𝑅 – результирующая сил 𝑋 и 𝐷;
𝑚 – магнитный момент молекулы.
Тогда момент статической пары сил, обусловленный наличием силы 𝑋 и стремящийся уменьшить угол θ, будет равен 𝑚𝐿=𝑚𝑋 sin θ, а момент, обусловленный силой 𝐷 и стремящийся увеличить угол θ, 𝑚𝐿=𝑚𝐷 sin β.
Приравнивая эти величины и помня, что β=α=θ, находим
tg θ
=
𝐷 sin α
𝑋+𝐷 cos α
,
(1)
что и определяет направление оси после отклонения.
Далее мы должны найти интенсивность намагниченности, созданной силой 𝑋 во всей массе тела, для чего необходимо спроектировать магнитный момент каждой молекулы на направление 𝑥 и сложить все эти проекции.
Составляющая момента молекулы вдоль направления 𝑥 равна 𝑚 cos θ, а число молекул, у которых начальное отклонение лежит в пределах α, α+𝑑α, составляет (𝑛/2) sin α𝑑α.
Таким образом, необходимо проинтегрировать
𝐼
=
π
∫
0
𝑚𝑛
2
cos θ
sin α
𝑑α
,
(2)
помня, что θ является функцией угла α.
Мы можем выразить θ и α через 𝑅, тогда подынтегральное выражение примет вид
-
𝑚𝑛
4𝑋²𝐷
(
𝑅²
+
𝑋²
–
𝐷²
)
𝑑𝑅
,
(3)
неопределённый интеграл от которого равен
-
𝑚𝑛𝑅
12𝑋²𝐷
(
𝑅²
+
3𝑋²
–
3𝐷²
)+
𝐶
.
(4)
В первом случае, когда 𝑋 меньше 𝐷, интегрирование ведётся в пределах от 𝑅=𝐷+𝑋 до 𝑅=𝐷-𝑋, а во втором случае, когда 𝑋 больше 𝐷, – от 𝑅=𝑋+𝐷 до 𝑅=𝑋-𝐷.
Если
𝑋
меньше
𝐷
, то
𝐼
=
2
3
𝑚𝑛
𝐷
𝑋
.
(5)
Если
𝑋
равно
𝐷
, то
𝐼
=
2
3
𝑚𝑛
.
(6)
Если
𝑋
больше
𝐷
, то
𝐼
=
𝑚𝑛
⎛
⎜
⎝
1-
1
3
𝐷²
𝑋²
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Если
𝑋
становится бесконечным, то
𝐼
=
𝑚𝑛
.
(8)
Согласному этому варианту теории, принятому Вебером 5, при увеличении намагничивающей силы от 0 до 𝐷 намагниченность растёт пропорционально ей и достигает двух третей своего предельного значения, когда намагничивающая сила достигает значения 𝐷. При дальнейшем увеличении намагничивающей силы намагниченность вместо бесконечного роста стремится к конечному пределу.
5 В формуле, данной Вебером (Abhandlungen der Kg. Sächs-Gesellschaft der Wissens, I, p. 572 (1852) или Pogg. Ann. LXXXVII, p. 167 (1852)) есть какая-то ошибка в окончательном выражении для этого интеграла (промежуточные выкладки не приводятся). Его формула выглядит так: 𝑋4 + 7 𝑋2𝐷2 + 2 𝐷4 𝐼 = 𝑚𝑛 𝑋 6 3 . √𝑋²+𝐷² 𝑋4+𝑋2𝐷2+𝐷4
Рис. 7
Этот закон намагниченности показан на рис. 7, где намагничивающая сила отсчитывается от точки 𝑂 вправо, а намагниченность выражается вертикальной ординатой. Результаты собственных опытов Вебера дают удовлетворительное согласие с этим законом. Вероятно, однако, что значение 𝐷 не одинаково для всех молекул одного и того же образца железа, поэтому переход от прямолинейного участка 𝑂𝐸 к криволинейному участку после 𝐸 может происходить не столь резко, как здесь представлено.