Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

𝑚 𝑑𝑠 cos ε

𝑟²

𝑚

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠

Чтобы учесть все элементы соленоида, проинтегрируем это выражение по 𝑠; потенциал будет равен

𝑉

𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑟₁

–

𝑟₂

⎞

⎟

⎠

где 𝑟₁ и 𝑟₂ – расстояния от положительного и отрицательного концов соленоида до точки, где измеряется 𝑉.

Таким образом, обусловленный соленоидом потенциал и, следовательно, все связанные с ним магнитные эффекты зависят только от его мощности и положения концов соленоида и совсем не зависят от формы соленоида между конечными точками, т.е. от того, является ли он прямым или изогнутым.

Поэтому концы соленоида можно назвать его полюсами в строгом смысле этого слова.

Если соленоид образует замкнутую кривую, то обусловленный им потенциал равен нулю в любой точке; такой соленоид не проявляет никакого магнитного действия, и его намагниченность нельзя обнаружить без разламывания его в какой-либо точке и разнесения концов.

Если магнит можно разделить на отдельные соленоиды, каждый из которых либо образует замкнутую кривую, либо выходит своими концами на внешнюю поверхность магнита, то про его намагниченность говорят, что она является соленоидальной; поскольку действие магнита целиком определяется концами соленоидов, распределение воображаемой магнитной материи будет чисто поверхностным.

Следовательно, условие соленоидальности намагниченности будет таким:

𝑑𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝐵

𝑑𝑦

𝑑𝐶

𝑑𝑧

где 𝐴, 𝐵, 𝐶 – составляющие намагниченности в произвольной точке магнита.

408. Продольно намагниченную нить, мощность которой различна на разных участках её длины, можно считать изготовленной из пучка соленоидов различной длины; при этом сумма мощностей всех соленоидов, проходящих через данное сечение нити, является магнитной мощностью нити в этом сечении. Поэтому любую продольно намагниченную нить можно назвать Сложным Соленоидом.

Если мощность сложного соленоида в произвольном сечении равна 𝑚, то потенциал, обусловленный его действием, равен

𝑉

∫

𝑚

𝑟²

𝑑𝑟

𝑑𝑠

где

𝑚

–переменная величина,

𝑚₁

𝑟₁

–

𝑚₂

𝑟₂

–

∫

𝑟

𝑑𝑚

𝑑𝑠

Отсюда видно, что кроме действия двух концов, которые в этом случае могут иметь разные мощности, появляется ещё и действие, связанное с распределением воображаемой магнитной материи вдоль нити с линейной плотностью:

𝑑𝑚

𝑑𝑠

Магнитные оболочки

409. Если тонкая оболочка магнитного вещества намагничена повсюду в направлении, нормальном к её поверхности, то произведение интенсивности намагниченности в произвольном месте на толщину плёнки в том же месте называется Мощностью магнитной оболочки в этом месте.

Если мощность оболочки повсюду одинакова, то она называется Простой магнитной оболочкой; если же мощность меняется от точки к точке, то такую оболочку можно считать составленной из нескольких наложенных друг на друга перекрывающихся простых оболочек. Поэтому она называется Сложной магнитной оболочкой.

Пусть 𝑑𝑆 является элементом поверхности оболочки мощности Φ, находящимся в точке 𝑄; тогда потенциал в произвольной точке 𝑃, обусловленный этим элементом, равен

𝑑𝑉

𝑟²

𝑑𝑆

cos ε

где ε – угол между вектором 𝑄𝑃 (или 𝑟) и внешней нормалью, выходящей из положительной стороны оболочки.

Но если 𝑑ω есть телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на элемент 𝑑𝑆, то 𝑟²𝑑ω=𝑑𝑆 cos ε, отсюда 𝑑𝑉=Φ𝑑ω, и, следовательно, в случае простой магнитной оболочки имеем 𝑉=Φω, или потенциал в произвольной точке, обусловленный магнитной оболочкой, равен произведению её мощности на телесный угол с вершиной в этой точке, опирающийся на край оболочки ².

² Этой теоремой мы обязаны Гауссу,– General Theory of Terrestrial Magnetism, § 38.

410. Этот же результат можно получить другим путём, предположив, что магнитная оболочка помещена в произвольное поле магнитной силы, и определив потенциальную энергию, связанную с положением оболочки.

Если 𝑉 – потенциал на элементе 𝑑𝑆, то энергия, связанная с этим элементом, равна

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑛

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

или произведению мощности оболочки на часть поверхностного интеграла от 𝑑𝑉/𝑑ν, связанную с элементом 𝑑𝑆 оболочки.

Следовательно, интегрируя по всем таким элементам, мы получим, что энергия, обусловленная положением оболочки в поле, равна произведению мощности оболочки на поверхностный интеграл от магнитной индукции, взятый по поверхности оболочки.

Так как для любых двух поверхностей, имеющих одну и ту же границу и не содержащих между собой какого-нибудь центра силы, поверхностный интеграл одинаков, то действие магнитной оболочки зависит только от формы её границы.

Предположим теперь, что поле силы создаётся магнитным полюсом мощности 𝑚. Мы уже видели (п. 76), что поверхностный интеграл по поверхности, ограниченной заданной кривой, равен произведению мощности полюса на телесный угол с вершиной в точке полюса, опирающийся на эту границу. Поэтому энергия взаимодействия полюса и оболочки равна Φ𝑚ω, а это, по теореме Грина, равно произведению мощности полюса на потенциал, обусловленный оболочкой в точке полюса. Таким образом, потенциал обусловленный оболочкой, равен Φω.

411. Если магнитный полюс 𝑚 из точки, находящейся на отрицательной стороне поверхности, начинает перемещаться по произвольному пути в пространстве и, обогнув край оболочки, возвращается в точку близкую к начальной, но уже находящуюся на положительной стороне оболочки, то телесный угол будет непрерывно меняться и возрастёт в процессе обхода на 4π. Работа, совершенная полюсом, окажется равной 4πΦ𝑚, а потенциал в произвольной точке на положительной стороне оболочки будет превышать потенциал в соседней к ней точке, находящейся на отрицательной стороне, на величину 4πΦ.

Если магнитная оболочка образует замкнутую поверхность, потенциал вне её всюду равен нулю, а в пространстве внутри неё – всюду равен 4πΦ, будучи положительным, когда оболочка обращена внутрь положительной стороной. Следовательно, такая оболочка не оказывает действия на магнит, помещённый внутри неё или снаружи.

412. Если магнит можно разделить на простые магнитные оболочки, либо замкнутые, либо выходящие своими краями на поверхность магнита, то распределение магнетизма называется Слоистым (ламеллярным). Если φ – сумма мощностей всех оболочек, пересекаемых движущейся точкой при её перемещении по линии, расположенной внутри магнита, от заданной точки до точки (𝑥,𝑦,𝑧), то условия ламеллярности таковы: 𝐴=𝑑φ/𝑑𝑥, 𝐵=𝑑φ/𝑑𝑦, 𝐶=𝑑φ/𝑑𝑧.

Величину φ, которая таким образом, полностью определяет намагниченность в любой точке, можно назвать Потенциалом Намагниченности. Его следует тщательно отличать от Магнитного Потенциала.

413. Про магнит, который можно разделить на сложные магнитные оболочки, говорят, что он имеет сложное ламеллярное распределение магнетизма. Условие такого распределения состоит в том, чтобы линии намагниченности допускали построение системы поверхностей, пересекающих их под прямым углом; это выражается хорошо известным уравнением

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐶

𝑑𝑦

–

𝑑𝐵

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝐵

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑧

–

𝑑𝐶

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝐶

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐵

𝑑𝑥

–

𝑑𝐴

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

Вид потенциалов соленоидальных и ламеллярных магнитов

414. Общее выражение для скалярного потенциала магнита имеет вид

𝑉

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

где 𝑝 обозначает потенциал, создаваемый в точке (𝑥,𝑦,𝑧) единичным магнитным полюсом, помещённым в (ξ,η,ζ) или, другими словами, обратное расстояние между точкой (ξ,η,ζ), в которой измеряется потенциал, и точкой (𝑥,𝑦,𝑧), в которой расположен элемент магнита, создающий этот потенциал.

Это выражение можно проинтегрировать по частям, как в п. 96, 386:

𝑉

∬

𝑝

(

𝐴𝑙

𝐵𝑚

𝐶𝑛

)

𝑑𝑆

–

∭

𝑝

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝐵

𝑑𝑦

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали, проведённой наружу от элемента поверхности магнита 𝑑𝑆.

В случае соленоидального магнита выражение под знаком интеграла во втором члене равно нулю для всех точек внутри магнита, так что тройной интеграл равен нулю, а скалярный потенциал в любой точке как вне, так и внутри магнита задаётся поверхностным интегралом, стоящим в первом члене.

Таким образом, скалярный потенциал соленоидального магнита полностью определён, если в каждой точке поверхности известна нормальная составляющая намагниченности, и этот потенциал не зависит от формы соленоидов внутри магнита.

415. В случае ламеллярного магнита намагниченность определяется потенциалом намагниченности φ, так что 𝐴=𝑑φ/𝑑𝑥, 𝐵=𝑑φ/𝑑𝑦, 𝐶=𝑑φ/𝑑𝑧.

Выражение для 𝑉 можно поэтому переписать в виде

𝑉

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑥

⋅

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝑑φ

𝑑𝑦

⋅

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝑑φ

𝑑𝑧

⋅

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

Интегрируя это выражение по частям, находим

𝑉

∬

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝑚

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝑛

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

–

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑝

𝑑𝑥²

𝑑²𝑝

𝑑𝑦²

𝑑²𝑝

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

Второй член равен нулю, если точка (ξ,η,ζ) не принадлежит магниту, в противном случае он равен 4πφ, где φ – значение φ в точке (ξ,η,ζ). Поверхностный интеграл можно выразить через величину 𝑟, равную длине отрезка между точками (𝑥,𝑦,𝑧) и (ξ,η,ζ), и через угол θ, который этот отрезок образует с внешней нормалью к элементу поверхности 𝑑𝑆, так что потенциал можно записать в виде

𝑉

∬

𝑟²

cos θ

𝑑𝑆

4π(φ)

где второй член, конечно, равен нулю, если точка (ξ,η,ζ), не принадлежит веществу магнита.

Потенциал 𝑉, выражаемый этим уравнением, непрерывен даже на поверхности магнита, где значение φ скачком обращается в нуль, потому что, если записать

∬

𝑟²

cos θ

𝑑𝑆

и обозначить через Ω₁ значение Ω в точке, непосредственно находящейся на поверхности, а Ω₂ – значение Ω в точке, близкой к первой, но вне поверхности, то

₂

₁

4π(φ)

или

𝑉

₂

𝑉

₁

Величина ω не является непрерывной на поверхности магнита.

Составляющие магнитной индукции связаны с Ω уравнениями

𝑎

–

𝑑Ω

𝑑𝑥

𝑏

–

𝑑Ω

𝑑𝑦

𝑐

–

𝑑Ω

𝑑𝑧

416. В случае ламеллярного распределения магнетизма мы можем упростить также и вектор-потенциал магнитной индукции.

Его 𝑥-составляющую можно записать:

𝐹

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑦

𝑑𝑝

𝑑𝑧

–

𝑑φ

𝑑𝑧

𝑑𝑝

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

Интегрируя по частям, мы можем представить это в виде поверхностного интеграла:

𝐹

∬

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑑𝑝

𝑑𝑧

–

𝑛

𝑑𝑝

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

или

𝐹

–

∬

𝑝

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑑φ

𝑑𝑧

–

𝑛

𝑑φ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

Остальные составляющие вектор-потенциала можно получить, сделав соответствующие замены в этих выражениях.

О телесных углах

417. Мы уже доказали, что потенциал, создаваемый магнитной оболочкой в произвольной точке 𝑃, равен мощности оболочки, умноженной на телесный угол, опирающийся на её край. Поскольку нам придётся ещё раз обратиться к телесным углам в теории электрических токов, мы сейчас объясним, как их можно измерять.

Определение. Телесный угол с вершиной в данной точке, опирающийся на замкнутую кривую, измеряется площадью сферической поверхности единичного радиуса с центром в данной точке, границей которой служит след пересечения сферы с радиус-вектором при его движении по замкнутой кривой. Эта площадь должна считаться положительной или отрицательной в соответствии с тем, лежит ли она по левую или по правую сторону относительно движения радиус-вектора, видимого из данной точки.

Обозначим заданную точку через (ξ,η,ζ) а точку на замкнутой кривой через (𝑥,𝑦,𝑧). Координаты 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются функциями длины кривой 𝑠, отсчитываемой от некоторой точки, причём периодическими функциями 𝑠, восстанавливающими свои значения при увеличении 𝑠 на полную длину замкнутой кривой.

Мы можем вычислить телесный угол непосредственно из его определения следующим образом. Используя сферические координаты с центром в (ξ,η,ζ) и полагая

𝑥-ξ

𝑟

sin θ

cos φ

𝑦-η

𝑟

sin θ

sin φ

𝑧-ζ

𝑟

cos θ

найдём путём интегрирования площадь внутри произвольной кривой на сфере:

∫

(1-cos θ)

𝑑φ

или в прямоугольных координатах

∫

𝑑φ

–

𝑠

∫

𝑧-ξ

𝑟{(𝑥-ξ)²+(𝑦-η)²}

⎡

⎢

⎣

(𝑥-ξ)

𝑑𝑦

𝑑𝑠

–

(𝑦-η)

𝑑𝑥

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

где интегрирование производится по замкнутой кривой 𝑠.

Если ось 𝑧 проходит один раз сквозь замкнутую кривую, то первый член равен 2π. Если же ось 𝑧 не проходит сквозь неё, первый член равен нулю.

418. Этот метод вычисления телесного угла содержит произвольный до некоторой степени выбор оси и не зависит только лишь от вида замкнутой кривой. Поэтому для геометрической строгости уместно предложить следующий метод, в котором не предусматривается построение никаких поверхностей. Пусть по мере того как радиус-вектор, выходящий из данной точки, описывает замкнутую кривую, плоскость, проходящая через эту точку, катится по замкнутой кривой таким образом, что последовательно становится касательной плоскостью в каждой точке кривой. Проведём из данной точки перпендикулярно этой плоскости отрезок единичной длины. При качении плоскости по замкнутой кривой конец перпендикуляра описывает вторую замкнутую кривую, полярную по отношению к первой. Пусть её длина равна σ, тогда телесный угол, опирающийся на первую кривую, будет равен ω=2π-σ.

Это следует из хорошо известной теоремы о том, что площадь, ограниченная замкнутой кривой на сфере единичного радиуса, вместе с периметром полярной кривой численно равны длине большой окружности сферы.

Такое построение удобно иногда для вычисления телесного угла, опирающегося на контур, составленный из отрезков прямых. Для нашей цели, которая состоит в формировании ясных представлений о физических явлениях, более предпочтителен метод, излагаемый далее, поскольку в нём не используется никаких построений, не вытекающих непосредственно из физических данных о проблеме.

419. Замкнутая кривая 𝑠 задана в пространстве, и мы должны найти телесный угол с вершиной в точке 𝑃, опирающийся на 𝑠.

Если рассматривать телесный угол как потенциал магнитной оболочки, край которой совпадает с замкнутой кривой и мощность которой равна единице, мы должны определить этот угол как работу, совершаемую единичным магнитным полюсом против магнитной силы при его перемещении из бесконечности в точку 𝑃. Следовательно, потенциал должен быть результатом криволинейного интегрирования вдоль пути σ, по которому полюс приближается к точке 𝑃. Но он также должен быть результатом криволинейного интегрирования по замкнутой кривой 𝑠. Поэтому соответствующее выражение для телесного угла должно иметь вид двойного интеграла по двум кривым 𝑠 и σ.

Когда точка 𝑃 находится на бесконечном расстоянии, телесный угол, очевидно, равен нулю. По мере приближения точки 𝑃 замкнутая кривая, если смотреть на неё из движущейся точки, будет казаться раскрывающейся, и можно представлять себе, что полный телесный угол образуется в результате кажущегося перемещения различных элементов замкнутой кривой по мере приближения к ней движущейся точки 𝑃.

Рис. 3

При движении точки 𝑃 от 𝑃 к 𝑃' вдоль элемента 𝑑σ элемент замкнутой кривой 𝑄𝑄', который мы обозначим через 𝑑σ, будет изменять своё положение относительно 𝑃, и линия на единичной сфере, соответствующая 𝑄𝑄', прочертит на сферической поверхности некоторую площадь, которую можно записать так [рис. 3]:

𝑑ω

𝑑𝑠

𝑑σ

(1)

Чтобы найти Π, предположим, что точка 𝑃 неподвижна, а замкнутая кривая перемещается параллельно самой себе на расстояние 𝑑σ, равное 𝑃𝑃', но в противоположном направлении. При этом относительное движение точки 𝑃 будет таким же, как и в действительности.

Во время этого движения элемент 𝑄𝑄' прочертит площадь в виде параллелограмма, стороны которого параллельны и равны 𝑄𝑄' и 𝑃𝑃'. Если, взяв этот параллелограмм в качестве основания, построить пирамиду с вершиной в точке 𝑃, то телесный угол этой пирамиды будет равен искомому приращению 𝑑ω.

Для того чтобы определить значение этого телесного угла, обозначим через θ и θ' углы, которые образуют соответственно 𝑑𝑠 и 𝑑σ с 𝑃𝑄, через φ – угол между плоскостями этих углов. Тогда площадь проекции параллелограмма 𝑑𝑠𝑑σ на плоскость, перпендикулярную 𝑃𝑄 или 𝑟, будет равна 𝑑𝑠𝑑σ sin θ sin θ' sin φ, и, поскольку она равна 𝑟²𝑑ω, находим

𝑑ω

𝑑𝑠

𝑑σ

𝑟²

sin θ sin θ' sin φ

𝑑𝑠𝑑σ

(2)

Откуда

𝑟²

sin θ sin θ' sin φ

𝑑𝑠𝑑σ

(3)

420. Мы можем выразить углы θ, θ' и φ через 𝑟 и его производные по 𝑠 и σ:

cos θ

𝑑𝑟

𝑑𝑠

cos θ'

𝑑𝑟

𝑑σ

sin θ

sin θ'

cos φ

𝑟

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑σ

(4)

Для Π² таким образом, находим следующее выражение:

Π²

𝑟⁴

⎡

⎢

⎣

–

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

–

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

𝑑σ

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

–

𝑟²

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑟

𝑑𝑠𝑑σ

⎞²

⎟

⎠

(5)

Третье выражение для Π через прямоугольные координаты можно вывести, исходя из того соображения, что объём пирамиды с телесным углом 𝑑ω и стороной 𝑟 равен

𝑟³

𝑑ω

𝑟³

𝑑𝑠

𝑑σ

Но объём этой же пирамиды можно выразить также через проекции 𝑟, 𝑑𝑠 и 𝑑σ на оси 𝑥, 𝑦, и 𝑧 он равен одной трети детерминанта, образованного из этих девяти проекций. Таким образом, для значения Π находим

⎪

ξ-𝑥,

η-𝑦,

ζ-𝑧,

⎪

–

𝑟³

𝑑ξ

𝑑σ

𝑑η

𝑑σ

𝑑ζ

𝑑σ

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑧

𝑑𝑠

(6)

Это выражение даёт значение Π, лишённое неоднозначности в выборе знака, внесённой уравнением (5).

421. Теперь для телесного угла ω с вершиной в точке 𝑃, опирающегося на замкнутую кривую, можно записать

∬

𝑑𝑠

𝑑σ

₀

(7)

где интегрирование по 𝑠 производится по всей замкнутой кривой, а по σ – от некоторой фиксированной точки 𝐴 до точки 𝑃. Константа ω₀ равна значению телесного угла в точке 𝐴. Она обращается в нуль, если точка 𝐴 находится на бесконечном расстоянии от замкнутой кривой.

Значение ω в произвольной точке 𝑃 не зависит от формы кривой между точками 𝐴 и 𝑃 при условии, что эта кривая не проходит через саму магнитную оболочку. Если оболочка предполагается бесконечно тонкой, а точки 𝑃 и 𝑃' расположенными рядом, но 𝑃 – на положительной стороне оболочки, а 𝑃' – на отрицательной, то кривые 𝐴𝑃 и 𝐴𝑃' должны лежать по разные стороны от края оболочки, так что линия 𝑃𝐴𝑃' вместе с бесконечно короткой линией 𝑃𝑃' образует замкнутый контур, охватывающий край оболочки. Значение ω в точке 𝑃 превышает значение ω в точке 𝑃' на 4π, т.е. на величину поверхности сферы единичного радиуса.

Поэтому, если замкнутая кривая проведена так, что она проходит сквозь оболочку один раз, или, другими словами, является однократно сцепленной с её краем, то значение интеграла ∬Π𝑑𝑠𝑑σ, взятого по обеим замкнутым кривым, равно 4π.

Следовательно, этот интеграл, зависящий только от замкнутой кривой 𝑠 и произвольной кривой 𝐴𝑃, является примером многозначной функции, так как, если переходить из 𝐴 в 𝑃 различными путями, интеграл будет принимать различные значения в соответствии с тем, сколько раз кривая 𝐴𝑃 обернётся вокруг кривой 𝑠.

Если одна кривая между точками 𝐴 и 𝑃 может быть трансформирована в другую непрерывным её перемещением без пересечения кривой 𝑠, то интеграл будет иметь одинаковые значения для обеих кривых; если же в процессе трансформации она пересечёт замкнутую кривую 𝑛 раз, значения интеграла будут отличаться на 4π𝑛.

Таким образом, для двух произвольных замкнутых в пространстве кривых 𝑠 и σ, не сцепленных друг с другом, интеграл, взятый однократно по обеим кривым, равен нулю.

Если же кривые охватывают друг друга 𝑛 раз в одном и том же направлении, значение интеграла равно 4π𝑛. Возможно, однако, что две кривые охватывают друг друга попеременно в противоположных направлениях, оставаясь неразделимо сцепленными друг с другом при равном нулю значении интеграла, см. рис. 4.

Рис. 4

Открытие Гауссом этого интеграла, выражающего работу, совершаемую магнитным полюсом при его движении по замкнутой кривой в присутствии замкнутого электрического тока, и характеризующего геометрическую связанность двух замкнутых кривых, побудило его сетовать на слабое развитие Геометрии Положений (топологии) со времён Лейбница, Эйлера и Вандермонда. Сейчас, однако, мы уже можем говорить о некотором прогрессе, обязанном Риману, Гельмгольцу и Листингу.

422. Исследуем теперь результат интегрирования по 𝑠 вдоль замкнутой кривой.

Один из членов, определяющих Π в уравнении (7), равен

ξ-𝑥

𝑟³

𝑑η

𝑑σ

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑑η

𝑑σ

𝑑

𝑑ξ

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

(8)

Для краткости запишем

𝐹

∫

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝐺

∫

𝑟

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝐻

∫

𝑟

𝑑𝑧

𝑑𝑠

(9)

где интегралы берутся однократно по замкнутой кривой 𝑠; тогда этот член в выражении для Π можно представить в виде

𝑑η

𝑑σ

𝑑²𝐻

𝑑ξ𝑑𝑠

а соответствующий ему член в ∫Π𝑑𝑠 будет

𝑑η

𝑑σ

𝑑𝐻

𝑑ξ

Собрав все члены, входящие в Π, мы можем теперь записать

𝑑ω

𝑑σ

–

∫

𝑑𝑠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑η

–

𝑑𝐺

𝑑ζ

⎞

⎟

⎠

𝑑ξ

𝑑σ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑ζ

–

𝑑𝐻

𝑑ξ

⎞

⎟

⎠

𝑑η

𝑑σ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐺

𝑑ξ

–

𝑑𝐹

𝑑η

⎞

⎟

⎠

𝑑ζ

𝑑σ

(10)

Эта величина является, очевидно, скоростью уменьшения магнитного потенциала ω при прохождении вдоль кривой σ, или, другими словами, она представляет собой магнитную силу в направлении 𝑑σ.

Полагая элемент 𝑑σ поочерёдно направленным вдоль осей 𝑥, 𝑦 и 𝑧, для значений составляющих магнитной силы получим

𝑑ω

𝑑ξ

𝑑𝐻

𝑑η

–

𝑑𝐺

𝑑ζ

𝑑ω

𝑑η

𝑑𝐹

𝑑ζ

–

𝑑𝐻

𝑑ξ

𝑑ω

𝑑ζ

𝑑𝐺

𝑑ξ

–

𝑑𝐹

𝑑η

(11)

Величины 𝐹, 𝐺, 𝐻 являются составляющими вектор-потенциала магнитной оболочки единичной мощности, краем которой служит кривая 𝑠. В отличие от скалярного потенциала ω, они не относятся к функциям, принимающим целый ряд значений, а являются совершенно определёнными для каждой точки пространства.

Вектор-потенциал, создаваемый в точке 𝑃 магнитной оболочкой, ограниченной замкнутой кривой, можно найти путём следующих геометрических построений.

Пусть точка 𝑄 движется вдоль замкнутой кривой со скоростью, численно равной её расстоянию от точки 𝑃, а вторая точка 𝑅 выходит из некоторой фиксированной точки 𝐴 и движется с единичной скоростью в направлении, всюду параллельном направлению движения 𝑄. Когда точка 𝑄 обойдёт один раз замкнутую кривую, соединим точки 𝐴 и 𝑅 отрезком прямой. Отрезок 𝐴𝑅 по направлению и по величине представляет собой вектор-потенциал, создаваемый замкнутой кривой в точке 𝑃.

Потенциальная энергия магнитной оболочки, помещённой в магнитное поле

423. Мы уже показали в п. 410, что потенциальная энергия оболочки с мощностью φ, помещённой в магнитное поле с потенциалом 𝑉, равна

𝑀

∬

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

(12)

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы внешней нормали к оболочке, проведённой наружу с положительной стороны; поверхностный интеграл берётся по всей оболочке.

Этот поверхностный интеграл можно теперь преобразовать в криволинейный с помощью вектор-потенциала магнитного поля, записав

𝑀

–φ

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

(13)

где интегрирование производится однократно по замкнутой кривой 𝑠, ограничивающей магнитную оболочку, а 𝑑𝑠 направлено против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оболочки.

Если предположить теперь, что магнитное поле создаётся второй магнитной оболочкой, имеющей мощность φ', то можно определить величину 𝐹 непосредственно из результатов п. 416 или из п. 405. Если 𝑙', 𝑚', 𝑛' – направляющие косинусы нормали к элементу второй оболочки, то мы имеем

𝐹

φ'

∬

⎛

⎜

⎝

𝑚'

𝑑

𝑑𝑧'

𝑟

–

𝑛'

𝑑

𝑑𝑦'

𝑟

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆'

где 𝑑 – расстояние между элементом 𝑑𝑆' и точкой на границе первой оболочки.

Далее этот поверхностный интеграл также можно преобразовать в криволинейный, взятый по границе второй оболочки, а именно

φ'

∫

𝑟

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

(14)

Аналогично

𝐺

φ'

∫

𝑟

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

𝐻

φ'

∫

𝑟

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

Подставляя эти величины в выражение для 𝑀, находим

𝑀

–φφ'

∬

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑥'

𝑑𝑠'

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑦'

𝑑𝑠'

𝑑𝑧

𝑑𝑠

𝑑𝑧'

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

(15)

где интегрирование выполняется однократно по кривой 𝑠 и однократно по 𝑠'. Это выражение даёт потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием двух оболочек, и, как это и должно быть, оно не изменяется от перестановки 𝑠 и 𝑠'. Взятое с обратным знаком при мощности обеих оболочек, равной единице, это выражение называется потенциалом двух замкнутых кривых 𝑠 и 𝑠'. Оно имеет большое значение в теории электрических токов. Если обозначить через ε угол между направлениями элементов 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠', можно записать потенциал 𝑠 и 𝑠' в виде

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

(16)

Очевидно, что эта величина имеет размерность длины.

ГЛАВА IV

ИНДУЦИРОВАННАЯ НАМАГНИЧЕННОСТЬ

424. Среди исследуемых величин мы рассматривали до сих пор истинное распределение намагниченности в магните, как распределение, заданное в явном виде. При этом мы не делали никаких предположений относительно того, является ли эта намагниченность постоянной или временной, кроме тех мест в наших рассуждениях, где допускалось, что магнит разламывается на малые доли, или где считалось, что небольшие участки магнита удаляются из него таким способом, при котором намагниченность других его частей остаётся неизменной.

Теперь мы должны рассмотреть намагниченность тел с точки зрения способов её создания или изменения. Установлено, что железный стержень, удерживаемый параллельно направлению земной магнитной силы, становится магнитом с полюсами, повёрнутыми противоположно полюсам Земли, т.е. направленными так же, как полюса стрелки компаса в устойчивом равновесии.

Обнаружено, что любой кусок мягкого железа, помещённый в магнитное поле, проявляет магнитные свойства. Если его поместить в такой участок поля, где магнитная сила велика, как, например, между полюсами подковообразного магнита, то намагниченность железа становится интенсивной. При удалении железа из магнитного поля его магнитные свойства сильно ослабевают или исчезают полностью. Если магнитные свойства железа целиком определяются магнитной силой поля, в которое оно помещено, и исчезают при удалении из этого поля, то такое железо называют Мягким. Железо, мягкое в магнитном смысле, является мягким и буквально тоже: оно легко сгибается, принимает заданную форму, но с трудом разламывается.

Железо, сохраняющее магнитные свойства при удалении из магнитного поля, называется твёрдым. Оно не переходит в магнитное состояние с той податливостью, которая характерна для мягкого железа, но ковка или любой другой вид вибрации позволяет твёрдому железу под влиянием магнитной силы легче осуществлять переход в магнитное состояние и легче расставаться с этим состоянием при удалении намагничивающей силы. Магнитно-твёрдое железо обладает одновременно большей сопротивляемостью к изгибам и большей способностью к разломам.

Процессы ковки, прокатывания, растягивания и быстрого охлаждения способствуют повышению твёрдости железа, а процесс отжига способствует его размягчению.

И магнитные, и механические различия между сталью твёрдой и мягкой закалки гораздо больше, чем между твёрдым и мягким железом. Мягкая сталь намагничивается и размягчается почти также легко, как железо, зато самая твёрдая сталь служит наилучшим материалом для магнитов, которые мы хотели бы сделать постоянными.

Чугун, хотя и содержит больше углерода, чем сталь, не так хорошо сохраняет магнетизм.

Если бы удалось сделать такой магнит, у которого распределение намагниченности не изменялось бы под действием любой приложенной магнитной силы, этот магнит можно было бы назвать жёстко намагниченным телом. Единственным известным телом, удовлетворяющим этому условию, является проводящий контур, в котором поддерживается постоянный электрический ток.

Такой контур проявляет магнитные свойства, и поэтому он может быть назван электромагнитом; эти магнитные свойства не подвержены влиянию со стороны других магнитных сил в поле. К этому вопросу мы вернёмся ещё в IV части.

Всё же реальные магниты независимо от того, изготовлены ли они из закалённой стали или магнитного железняка, подвержены, как выяснилось, влиянию любой магнитной силы, приложенной к ним.

Для научных целей удобно различать постоянную и временную намагниченность, определив постоянную намагниченность, как существующую независимо от магнитной силы, а временную намагниченность, как зависящую от этой силы. Следует заметить, однако, что это различие не основано на знании внутренней природы намагничивающихся веществ – это только выражение гипотезы, введённой ради выполнения расчётов, относящихся к данному явлению. Мы вернёмся к физической теории намагниченности в главе VI.

425. Сейчас мы будем исследовать временную намагниченность в предположении, что намагниченность любой частицы вещества зависит только от магнитной силы, действующей на эту частицу. Эта магнитная сила может быть частично обусловлена внешними причинами, а частично временной намагниченностью соседних частиц.

Про тело, намагниченное посредством действия магнитной силы, говорят, что оно намагничено через индукцию, а про намагниченность такого тела говорят, что она индуцирована намагничивающей силой.

Намагниченность, индуцированная данной намагничивающей силой, в разных веществах различна. Она максимальна в самом чистом и мягком железе, где отношение намагниченности к магнитной силе может достигать значения 32 или даже 45 ¹.

¹ Thalén, Nova Acta, Reg. Soc. Sc., Upsal, 1863.

Другие вещества, такие, как металлы никель и кобальт, плохо поддаются намагничиванию, и всё же под действием достаточно большой магнитной силы все вещества, как это было обнаружено, проявляют признаки полярности.

Когда направление намагниченности совпадает с направлением магнитной силы, как это имеет место в железе, никеле, кобальте и т.д., то такое вещество называется Парамагнитным, Ферромагнитным или просто Магнитным. Когда индуцированная намагниченность направлена противоположно магнитной силе, как это имеет место в висмуте и др., то про такое вещество говорят, что оно является Диамагнитным.

Во всех этих диамагнитных веществах отношение намагниченности к создающей её магнитной силе чрезвычайно мало: в случае висмута, являющегося наиболее сильным диамагнитным веществом из числа известных, оно равно около 1/400 000.

В кристаллических, напряжённых и органических веществах направление намагниченности не всегда совпадает с направлением создающей её магнитной силы. Связь между составляющими намагниченности вдоль осей, связанных с телом, и составляющими магнитной силы можно выразить системой трёх линейных уравнений. Мы покажем, что из девяти коэффициентов, входящих в эти уравнения, только шесть являются независимыми. Явления в телах такого рода фигурируют под названием Магнитокристаллических явлений.

При помещении в поле магнитной силы кристаллы стремятся установиться так, чтобы ось максимальной парамагнитной (или минимальной диамагнитной) индукции была параллельна линиям магнитной силы, см. п. 436.

В мягком железе направление намагниченности совпадает с направлением магнитной силы в точке, и при малых величинах магнитной силы намагниченность примерно пропорциональна ей. Однако с увеличением магнитной силы намагниченность возрастает более медленно и, как следует, по-видимому, из экспериментов, описанных в гл. VI, существует предельное значение намагниченности, которое она не может превысить при любой магнитной силе.

В приводимых далее некоторых элементах теории индуцированного магнетизма мы начнём с предположения о том, что намагниченность пропорциональна магнитной силе и направлена по одной линии с ней.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."