Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 34 страниц)

Считая, что в каждый последующий промежуток времени формируется изображение такого рода и что сразу же после своего появления оно начинает удаляться от листа со скоростью 𝑅, мы получим дорожку изображений, последнее из которых пребывает ещё в стадии формирования, в то время как все остальные двигаются подобно твёрдому телу, удаляясь от листа со скоростью 𝑅.

663. Обозначив через 𝑃' функцию, обусловленную произвольным действием магнитной системы, мы можем найти соответствующую функцию 𝑃, обусловленную действием токов в листе, при помощи следующего процесса, являющегося просто математическим представлением теории дорожки изображений.

Пусть 𝑃_τ есть значение функции 𝑃 (обусловленной токами в листе) в точке (𝑥,𝑦,𝑧+𝑅τ) в момент времени 𝑡-τ, а 𝑃_τ' – значение 𝑃' (функции, обусловленной магнитной системой) в точке (𝑥,𝑦,-(𝑧+𝑅τ)) в момент времени 𝑡-τ. Тогда

𝑑𝑃

_τ

–

𝑅

𝑑𝑃

_τ

–

𝑑𝑃

_τ

𝑑τ

𝑑𝑧

𝑑𝑡

(25)

и уравнение (21) принимает вид

𝑑𝑃

_τ

𝑑𝑃

_τ

𝑑τ

𝑑𝑡

(26)

Интегрируя по τ от τ=0 до τ=∞, для значения функции 𝑃 получаем

𝑃

–

∞

∫

𝑑𝑃_τ

𝑑𝑡

𝑑τ

(27)

откуда, дифференцируя, как это делалось в уравнениях (3), (9) и т.д., находим все свойства токового листа.

664. В качестве примера рассмотренного здесь процесса возьмём случай одиночного магнитного полюса единичной мощности, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью.

Пусть в момент времени 𝑡 координаты полюса равны

𝔲(𝑡-τ)

𝑐

𝔪𝑡

Координаты изображения полюса, сформировавшегося в момент времени 𝑡-τ, будут

𝔲(𝑡-τ)

–(

𝑐

𝔪(𝑡-τ)

𝑅τ

и если 𝑟 – расстояние от точки (𝑥,𝑦,𝑧) до этого отображения, то

𝑡²

(𝑥-𝔲(𝑡-τ))²

𝑥²

(𝑧+𝑐+𝔪(𝑡-τ)+𝑅τ)²

Чтобы получить потенциал, обусловленный дорожкой изображений, мы должны подсчитать

𝑑

𝑑𝑡

∞

∫

𝑑τ

𝑟

Если записать 𝑄²=𝔲²+(𝑅-𝔪)², то

∞

∫

𝑑τ

𝑟

𝑄

log{

𝑄𝑟

𝔲(𝑥-𝔲𝑡)

(𝑅-𝔪)

(𝑧+𝑐+𝔪𝑡)

}

плюс бесконечно большой член, который, однако, пропадает при дифференцировании по времени; величина 𝑟 в этом выражении находится из приведённого выше выражения для 𝑟 при τ=0.

Дифференцируя это выражение по 𝑡 и полагая 𝑡=0, получаем магнитный потенциал, обусловленный дорожкой изображений,

𝑄

𝔪(𝑧+𝑐)-𝔲𝑥

–𝔲²-𝔪²+𝑅𝔪

𝑟

𝑄

𝑄𝑥+𝔲𝑥+(𝑅-𝔪)(𝑧+𝑐)

Дифференцируя это выражение по 𝑥 или 𝑧, мы находим составляющие (соответственно параллельные 𝑥 или 𝑧) магнитной силы в любой точке, а положив в этих выражениях 𝑥=0, 𝑧=𝑐 и 𝑟=2𝑐, мы получим следующие значения составляющих силы, действующей на сам движущийся полюс:

𝑋

4𝑐²

𝔲

𝑄+𝑅-𝔪

⎧

⎨

⎩

𝔪

𝑄

–

𝔲²

𝑄(𝑄+𝑅-𝔪)

⎫

⎬

⎭

𝑍

4𝑐²

⎧

⎨

⎩

𝔪

𝑄

–

𝔲²

𝑄(𝑄+𝑅-𝔪)

⎫

⎬

⎭

665. Пользуясь этими выражениями, мы должны помнить, что движение, предшествующее рассматриваемому моменту времени, предполагается по своей продолжительности бесконечно долгим. Поэтому не следует брать величину 𝔪 положительной, ибо в этом случае полюс за конечное время должен был бы пройти сквозь лист.

Если взять скорость 𝔪 отрицательной и положить 𝔲=0, то получим

𝑋

𝑍

4𝑐²

𝔪

𝑅+𝔪

т.е. полюс, приближаясь к листу, отталкивается от него.

Положив 𝔪=0, находим

𝑄²

𝔲²

𝑅²

𝑋

4𝑐²

⋅

𝔲𝑅

𝑄(𝑄+𝑅)

𝑍

4𝑐²

⋅

𝔲²

𝑄(𝑄+𝑅)

Составляющая 𝑋 представляет собой силу торможения, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. При заданном значении 𝑅 сила 𝑋 максимальна, когда 𝔲=1,27 𝑅.

Для непроводящего листа 𝑅=∞ и 𝑋=0. Для идеально проводящего листа 𝑅=0 и 𝑋=0.

Составляющая 𝑍 представляет собой силу отталкивания полюса от листа. С ростом скорости она увеличивается и в пределе достигает значения 1/(4𝑐²), когда скорость становится бесконечной. Это же значение она принимает при 𝑅=0.

666. Когда магнитный полюс движется вдоль кривой, параллельной листу, вычисления становятся более сложными, но легко видеть, что ближайший участок дорожки изображений создаёт силу, действующую на полюс в направлении, противоположном направлению его движения. Действие участка дорожки, находящегося непосредственно позади ближайшего участка, аналогично действию магнита с осью, параллельной направлению движения полюса в предшествующий момент времени.

Поскольку ближайший полюс этого магнита одноимёнен с движущимся полюсом, то сила будет состоять частично из силы отталкивания, а частично из силы, параллельной прежнему направлению движения, но противоположной ему по знаку. Она может быть разложена на тормозящую силу и на силу в направлении вогнутой стороны того пути, по которому движется полюс.

667. Наше рассмотрение не предоставляет нам возможности решать задачу в случае, когда распределение токов не может быть полностью сформировано из-за наличия у проводящего листа разрывов или границ.

Легко видеть, однако, что если полюс двигается параллельно краю листа, то токи на прилегающей к этому краю части листа ослаблены. Следовательно, силы, обусловленные этими токами, будут меньше, и поэтому не только тормозящая сила будет меньше, но, поскольку сила отталкивания минимальна на участках листа, непосредственно прилегающих к его краю, полюс будет притягиваться к краю.

Теория вращающегося диска Араго

668. Араго открыл ² , что на магнит, помещённый вблизи вращающегося металлического диска, действует сила, стремящаяся заставить его следовать за движением диска, хотя в случае, когда диск покоится, взаимодействие между ним и магнитом отсутствует. Это действие вращающегося диска сначала относили даже к некоему новому виду намагниченности, пока Фарадей ³ не объяснил его при помощи электрических токов, индуцируемых в диске при его движении в поле магнитной силы.

²Annales de Chimie et de Physique, Tome 32, p. 213-223, 1826.

³Exp. Res., 81.

Для того чтобы определить эти индуцированные токи, а также их воздействие на магнит, мы могли бы воспользоваться результатами, уже полученными нами для покоящегося проводящего листа, находящегося под действием движущегося магнита, и применить приведённый в п. 600 метод рассмотрения электромагнитных уравнений в движущейся системе осей координат. Однако, поскольку этот случай особо важен, мы прибегнем к прямому решению задачи, начав с предположения о том, что полюса магнита достаточно удалены от края диска и можно пренебречь влиянием ограниченности проводящего листа.

Используя те же обозначения, что и в предыдущих параграфах (п. 656-667), для составляющих электрической силы, параллельных соответственно осям 𝑥 и 𝑦, находим

σ𝑢

𝑑𝑦

𝑑𝑡

–

𝑑ψ

𝑑𝑥

σ𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑡

–

𝑑ψ

𝑑𝑦

(1)

где γ есть составляющая магнитной силы, нормальная к диску.

Если выразить теперь 𝑢 и 𝑣 через функцию тока φ, то

𝑢

𝑑φ

𝑑𝑦

𝑢

–

𝑑φ

𝑑𝑥

(2)

и, если диск вращается с угловой скоростью ω вокруг оси 𝑧,

𝑑𝑦

𝑑𝑡

ω𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡

–ω𝑦

(3)

Подставляя эти величины в уравнения (1), находим

𝑑φ

𝑑𝑦

γω𝑥

–

𝑑ψ

𝑑𝑥

(4)

-σ

𝑑φ

𝑑𝑦

γω𝑦

–

𝑑ψ

𝑑𝑦

(5)

Умножая (4) на 𝑥, а (5) на 𝑦, а затем складывая результаты, получаем

⎛

⎜

⎝

𝑥

𝑑φ

𝑑𝑦

–

𝑦

𝑑φ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

γω

(𝑥²+𝑦²)

–

⎛

⎜

⎝

𝑥

𝑑ψ

𝑑𝑦

𝑦

𝑑ψ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

(6)

Умножая (4) на 𝑦, а (5) на -𝑥 и затем складывая результаты, получаем

⎛

⎜

⎝

𝑥

𝑑φ

𝑑𝑦

𝑦

𝑑φ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑥

𝑑ψ

𝑑𝑦

–

𝑦

𝑑ψ

𝑑𝑥

(7)

Если выразить теперь эти уравнения через 𝑟 и θ, где

𝑥

𝑟cos θ

𝑦

𝑟sin θ

(9)

то они примут вид

𝑑φ

𝑑θ

γω𝑟²

–

𝑟

𝑑ψ

𝑑𝑟

(9)

σ𝑟

𝑑φ

𝑑𝑟

𝑑ψ

𝑑θ

(10)

Уравнение (10) удовлетворяется, если мы возьмём произвольную функцию χ от 𝑟 и θ, положив

𝑑χ

𝑑θ

(11)

σ𝑟

𝑑χ

𝑑𝑟

(12)

После подстановки этих выражений в уравнение (9) оно принимает вид

⎛

⎜

⎝

𝑑²χ

𝑑θ²

𝑟

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑χ

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

γω𝑟²

(13)

Разделив (13) на σ𝑟² и восстанавливая координаты 𝑥 и 𝑦, приходим к уравнению

𝑑²χ

𝑑𝑥²

𝑑²χ

𝑑𝑦²

(14)

Это основополагающее уравнение теории: оно выражает связь между функцией χ и нормальной к диску составляющей магнитной силы γ.

Пусть 𝑄 – потенциал в какой-либо точке с положительной стороны диска, обусловленный воображаемой притягивающей материей, распределённой по диску с поверхностной плотностью χ.

На положительной стороне диска

𝑑𝑄

𝑑𝑧

–2πχ

(15)

Поэтому левая часть уравнения (14) преобразуется к виду

𝑑²χ

𝑑𝑥²

𝑑²χ

𝑑𝑦²

2π

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑄

𝑑𝑥²

𝑑²𝑄

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

(16)

Но поскольку 𝑄 удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, внешних относительно диска, то

𝑑²𝑄

𝑑𝑥²

𝑑²𝑄

𝑑𝑦²

–

𝑑²𝑄

𝑑𝑧²

(17)

и уравнение (14) принимает вид

2π

𝑑³𝑄

𝑑𝑧³

ωγ

(18)

Далее, поскольку 𝑄 есть потенциал, обусловленный распределением χ то потенциал, создаваемый распределением φ или 𝑑χ/𝑑θ будет равен 𝑑𝑄/𝑑θ. Отсюда для магнитного потенциала, обусловленного токами в диске, получаем

₁

𝑑²𝑄

𝑑θ𝑑𝑧

(19)

а для нормальной к диску составляющей магнитной силы, создаваемой токами,

γ₁

𝑑Ω

𝑑𝑧

𝑑³𝑄

𝑑θ𝑑𝑧²

(20)

Если обозначить через Ω₂ магнитный потенциал, обусловленный внешними магнитами, и записать

𝑃'

∫

₂

𝑑𝑧

(21)

то создаваемая этими магнитами нормальная к диску составляющая магнитной силы будет равна

γ₂

𝑑²𝑃'

𝑑𝑧²

(22)

Помня, что γ=γ₁+γ₂ мы можем теперь переписать уравнение (18) в виде

2π

𝑑³𝑄

𝑑𝑧³

–

𝑑³𝑄

𝑑θ𝑑𝑧²

𝑑²𝑃'

𝑑𝑧²

(23)

Дважды интегрируя по 𝑧 и вводя вместо σ/(2π) величину 𝑅, получаем

⎛

⎜

⎝

𝑅

𝑑

𝑑𝑧

–

𝑑

𝑑θ

⎞

⎟

⎠

𝑄

ω𝑃'

(24)

Если выразить величины 𝑃 и 𝑄 через расстояние от оси диска 𝑟 и через две новые переменные ξ и ζ, такие, что

2ξ

𝑧

𝑅

2ζ

𝑧

–

𝑅

(25)

то уравнение (24) после интегрирования по ζ примет вид

𝑄

∫

𝑅

𝑃'

𝑑ζ

(26)

669. Вид этого выражения показывает, что магнитное действие токов в диске эквивалентно магнитному действию дорожки изображений магнитной системы, имеющей форму спирали.

Если магнитная система состоит из одиночного магнитного полюса единичной мощности, то спираль будет навита на поверхность цилиндра, проходящую через этот полюс и имеющую общую ось с диском. Начало спирали совпадает с положением оптического изображения полюса в диске. Расстояние между последовательными витками, параллельное оси, будет равно 2π(𝑅/ω). Магнитное действие дорожки изображений оказывается таким же, как если бы спираль была всюду намагничена в тангенциальном направлении к цилиндру перпендикулярно его оси с интенсивностью, при которой магнитный момент любого маленького участка спирали численно равен длине его проекции на диск.

Вычислить воздействие на магнитный полюс довольно сложно, однако легко видеть, что оно состоит из: (1) увлекающей силы, параллельной направлению движения диска; (2) силы отталкивания от диска; (3) силы, направленной в сторону оси диска.

Когда полюс находится вблизи края диска, третья из этих сил может быть подавлена силой, направленной в сторону края диска, на что указывалось в п. 667.

Араго наблюдал все эти силы и описал их в Annales de Chimie за 1826 г. См. также работу Феличи (Felici) в журнале Тортолини (Tortolini’s Annals, IV, p. 173 (1853) и V, p. 35), а также работу Джокмана (Jochmann) в Crelle's Journal, XIII, p. 158 и 329 и Pogg. Ann., XXII, p. 214 (1864). В последней работе приведены уравнения, необходимые для отыскания самоиндукции токов, но эта часть воздействия при получении последующих результатов опущена. Описанный здесь метод изображений был опубликован в Proceedings of the Royal Society for Feb. 15, 1872.

Сферический токовый лист

670. Пусть φ есть функция тока в какой-либо точке 𝑄 сферического токового листа, а 𝑃 – потенциал, создаваемый в данной точке слоем воображаемой материи, распределённой по сфере с поверхностной плотностью φ. Требуется отыскать магнитный потенциал и вектор-потенциал токового слоя, выраженные через 𝑃.

Рис. 39

Пусть 𝑎 – радиус сферы, 𝑟 – расстояние от центра до данной точки, а 𝑝 – обратное расстояние между данной точкой и точкой на сфере 𝑄. в которой функция тока равна φ [рис. 39].

Действие токового листа в какой-либо точке вне его вещества совпадает с действием магнитной оболочки, мощность которой в любой точке численно равна функции тока.

Взаимный потенциал магнитной оболочки и единичного полюса, помещённого в точку 𝑃, согласно п. 410, равны

∬

𝑑𝑝

𝑑𝑎

𝑑𝑆

Так как 𝑝 является однородной функцией степени -1 по 𝑟 и по 𝑎, то

𝑎

𝑑𝑝

𝑑𝑎

𝑟

𝑑𝑝

𝑑𝑟

𝑝

или

𝑑𝑝

𝑑𝑎

𝑎

𝑑

𝑑𝑟

(𝑝𝑟)

∬

𝑎

𝑑

𝑑𝑟

(𝑝𝑟)

𝑑𝑆

Поскольку на поверхности интегрирования величины 𝑟 и 𝑎 постоянны, то

𝑎

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟

∬

φ𝑝

𝑑𝑆

⎞

⎟

⎠

Но поскольку 𝑃 есть потенциал, обусловленный слоем воображаемой материи с поверхностной плотностью φ, то 𝑃=∬φ𝑝𝑑𝑆, поэтому магнитный потенциал токового листа 𝑄 может быть выражен через 𝑃 в виде

𝑎

𝑑

𝑑𝑟

(𝑃𝑟)

671. Из приведённого в п. 416 выражения мы можем определить величину 𝑥-составляющей вектор-потенциала 𝐹:

𝐹

∬

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑑𝑝

𝑑ζ

–

𝑛

𝑑𝑝

𝑑η

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑆

где ξ, η, ζ – координаты элемента 𝑑𝑆, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали.

Так как токовый лист имеет форму сферы, направляющие косинусы нормали равны

𝑙

𝑎

𝑚

𝑎

𝑛

𝑎

Но

𝑑𝑝

𝑑ζ

(𝑧-ζ)𝑝³

𝑑𝑝

𝑑𝑧

𝑑𝑝

𝑑η

(𝑧-η)𝑝³

𝑑𝑝

𝑑𝑦

так что

𝑚

𝑑𝑝

𝑑ζ

–

𝑛

𝑑𝑝

𝑑η

{η(𝑧-ζ)-ζ(𝑦-η)}

𝑝³

𝑎

{𝑧(η-𝑦)-𝑦(ζ-𝑧)}

𝑝³

𝑎

𝑧

𝑎

𝑑𝑝

𝑑𝑦

–

𝑦

𝑎

𝑑𝑝

𝑑𝑧

Умножая последнее выражение на φ𝑑𝑆 и интегрируя по поверхности сферы, находим

𝐹

𝑧

𝑎

𝑑𝑃

𝑑𝑦

–

𝑦

𝑎

𝑑𝑃

𝑑𝑧

Аналогично

𝐺

𝑥

𝑎

𝑑𝑃

𝑑𝑧

–

𝑧

𝑎

𝑑𝑃

𝑑𝑥

𝐻

𝑦

𝑎

𝑑𝑃

𝑑𝑥

–

𝑥

𝑎

𝑑𝑃

𝑑𝑦

Вектор 𝔄, составляющими которого являются 𝐹, 𝐺, 𝐻, очевидно, перпендикулярен к радиус-вектору 𝑟 и вектору, компоненты которого равны 𝑑𝑃/𝑑𝑥, 𝑑𝑃/𝑑𝑦, 𝑑𝑃/𝑑𝑧. Если мы найдём линии пересечения сферической поверхности радиуса 𝑟 с семейством эквипотенциальных поверхностей, соответствующих значениям 𝑃, меняющимся по арифметической прогрессии, то направление этих линий определит направление вектора 𝔄, а их плотность – величину этого вектора.

На языке кватернионов

𝔄

𝑎

𝑉.ρ∇𝑃

672. Если предположить, что внутри сферы величина 𝑃 равна

𝑃

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑎

⎞𝑖

⎟

⎠

𝑌

_𝑖

где 𝑌_𝑖 есть сферическая гармоника порядка 𝑖, то вне сферы

𝑃'

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑎

⎞𝑖+1

⎟

⎠

𝑌

_𝑖

Функция тока φ, поскольку

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑃

𝑑𝑟

–

𝑑𝑃'

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠𝑟=𝑎

4πφ

определяется равенством

2𝑖+1

4π

⋅

𝑎

𝐴𝑌

_𝑖

Магнитный потенциал внутри сферы равен

–(𝑖+1)

𝑎

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟

𝑎

⎞𝑖

⎟

⎠

𝑌

_𝑖

а вне сферы

𝑖

𝑎

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑎

𝑟

⎞𝑖+1

⎟

⎠

𝑌

_𝑖

Пусть, например, при помощи провода, свёрнутого в форме сферической оболочки, необходимо создать внутри этой оболочки однородную магнитную силу 𝑀. В этом случае магнитный потенциал оболочки представляется объёмной гармоникой первого порядка и имеет вид Ω=-𝑀𝑟 cos θ, где 𝑀 есть магнитная сила . Отсюда

𝐴

𝑎𝑀

8π

𝑀𝑎

cos θ

Функция тока, таким образом, пропорциональна расстоянию от экваториальной плоскости сферы, и поэтому число витков провода между любыми двумя малыми кругами должно быть пропорционально расстоянию между плоскостями этих кругов.

Если 𝑁 есть полное число витков, а γ – сила тока в каждом из них, то φ=½𝑁γ cos θ.

Отсюда магнитная сила внутри катушки равна

𝑀

4π

𝑁γ

𝑎

673. Теперь определим способ намотки провода, приводящий к созданию внутри сферы магнитного потенциала в виде объёмной зональной гармоники второго порядка:

–3

𝑎

𝐴

𝑟²

𝑎²

⎛

⎜

⎝

cos²θ

–

⎞

⎟

⎠

Здесь

4π

𝐴

𝑎

⎛

⎜

⎝

cos²θ

–

⎞

⎟

⎠

Если полное число витков равно 𝑁. то число витков, укладывающихся между полюсом и полярным углом θ, будет ½𝑁sin²θ.

Плотнее всего витки расположены на широте 45°. На экваторе направление намотки меняется, и в другой полусфере витки имеют противоположное направление.

Пусть γ есть сила тока в проводе, тогда внутри оболочки

4π

𝑁γ

𝑟²

𝑎²

⎛

⎜

⎝

cos²θ

–

⎞

⎟

⎠

Рассмотрим теперь проводник в форме плоской замкнутой кривой, расположенный в произвольном месте внутри оболочки в плоскости, перпендикулярной её оси. Для определения коэффициента индукции проводника мы должны найти Поверхностный интеграл от -𝑑Ω/𝑑𝑧 по плоской площадке, ограниченной этой кривой, положив γ=1.

В этом случае

4π

5𝑎²

𝑁

⎧

⎨

⎩

𝑧²

–

(𝑥²+𝑦²)

⎫

⎬

⎭

𝑑Ω

𝑑𝑧

8π

5𝑎²

𝑁

⋅

𝑧

Следовательно, если 𝑆 есть площадь, ограниченная замкнутой кривой, то её коэффициент индукции равен

𝑀

8π

5𝑎²

𝑁𝑆𝑧

Если ток в этом проводнике равен γ', то, согласно п. 583, должна существовать сила 𝑍, действующая на проводник в направлении 𝑧, равная

𝑍

γγ'

𝑑𝑀

𝑑𝑧

8π

5𝑎²

𝑁𝑆

γγ'

и, поскольку это выражение не зависит от 𝑥, 𝑦, 𝑧, сила оказывается одной и той же, в какую бы часть оболочки ни был помещён данный контур.

674. Метод, предложенный Пуассоном и описанный в п. 437, может быть применён к токовым листам, если вместо тела, которое предполагается однородно намагниченным в 𝑧-направлении с интенсивностью 𝐼, взять токовый лист, имеющий форму поверхности тела и обладающий функцией тока, равной

𝐼𝑧

(1)

Токи, текущие по листу, расположены в плоскости, параллельной плоскости 𝑥𝑦 сила тока, циркулирующего по срезу толщиной 𝑑𝑧, равна 𝐼𝑑𝑧.

В любой точке вне токового листа магнитный потенциал, обусловленный им, равен

𝐼

𝑑𝑉

𝑑𝑧

(2)

где 𝑉 – потенциал, создаваемый листом с единичной поверхностной плотностью. В произвольной точке внутри оболочки потенциал равен

4π𝐼𝑧

–

𝐼

𝑑𝑉

𝑑𝑧

(3)

Составляющие вектор-потенциала равны

𝐹

𝐼

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝐺

𝐼

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝐻

(4)

Эти результаты могут быть применены к различным случаям, возникающим на практике.

675. (1). Плоский электрический контур произвольной формы.

Пусть 𝑉 есть потенциал, создаваемый плоским листом произвольной формы, имеющим единичную поверхностную плотность; тогда, если этот лист заменить либо на магнитную оболочку мощности 𝐼, либо на электрический ток силы 𝐼, текущий по её границе, величины Ω, и 𝐹, 𝐺, 𝐻 будут иметь значения, приведённые выше.

(2). Для сплошного шара радиуса 𝑎

𝑉

4π

𝑎³

𝑟

когда

𝑟

больше

𝑎

(5)

𝑉

2π

(3𝑎²-𝑟²)

когда

𝑟

меньше

𝑎

(6)

Следовательно, если такой шар намагничен параллельно направлению 𝑧 с интенсивностью 𝐼, то магнитный потенциал равен

4π

𝐼

𝑎³

𝑟³

𝑧

вне шара

(7)

4π

𝐼𝑧

внутри шара.

(8)

Если вместо намагничивания обмотать шар эквидистантно расположенными круговыми витками с током так, чтобы суммарная сила тока между двумя малыми окружностями, плоскости которых находятся на единичном расстоянии друг от друга, была 𝐼, то вне шара значения Ω остаётся прежним, а внутри станет равным

8π

𝐼𝑧

(9)

Этот случай уже обсуждался в п. 672.

(3). Случай эллипсоида, однородно намагниченного параллельно некоторой заданной линии, тоже уже обсуждался в п. 437.

Если эллипсоид обмотан проводом по параллельным и эквидистантным плоскостям, то магнитная сила внутри него будет однородной.

(4). Цилиндрический магнит или соленоид

676. Если тело представляет собой цилиндр с сечением произвольной формы, ограниченный плоскостями, перпендикулярными его образующим, и если 𝑉₁ является потенциалом, создаваемым в точке (𝑥,𝑦,𝑧) плоской площадкой, совпадающей с положительным торцом соленоида и несущей единичную поверхностную плотность, а 𝑉₂ – потенциалом, создаваемым в той же самой точке плоской площадкой, совпадающей с отрицательным торцом соленоида и тоже несущей единичную поверхностную плотность, то потенциал цилиндра, однородно и продольно намагниченного с единичной интенсивностью, создаваемый в точке (𝑥,𝑦,𝑧), будет равен

𝑉₁

–

𝑉₂

(10)

Если вместо намагниченного цилиндра взять цилиндр, равномерно обмотанный проводом с 𝑛 витками на единицу его длины и пустить по проводу ток γ, то магнитный потенциал вне соленоида будет, как и прежде, равен

𝑛γ(

𝑉₁

–

𝑉₂

(11)

а внутри области, ограниченной соленоидом и его плоскими торцами,

𝑛γ(

–

4π𝑧

𝑉₁

–

𝑉₂

(12)

Магнитный потенциал терпит разрыв на плоских торцах соленоида в то время, когда магнитная сила непрерывна.

Если расстояния 𝑟₁ и 𝑟₂ от центров инерции соответственно положительного и отрицательного плоских торцов соленоида до точки (𝑥,𝑦,𝑧) очень велики по сравнению с поперечными размерами соленоида, то можно написать

𝑉₁

𝐴

𝑟₁

𝑉₂

𝐴

𝑟₂

(13)

где 𝐴 – площадь любого из этих сечений.

Следовательно, магнитная сила вне соленоида очень мала, а сила внутри соленоида приближается к силе, направленной параллельно оси в положительном направлении и равной 4π𝑛γ.

Если сечение соленоида представляет собой круг радиуса 𝑎, то значения 𝑉₁ и 𝑉₂ могут быть выражены через ряды по сферическим гармоникам, приведённым в книге Томсона и Тэта «Натуральная философия»⁵:

𝑉

2π

⎧

⎨

⎩

–

𝑟𝑃₁

𝑎

𝑟²

𝑎

𝑃₂

–

1⋅1

2⋅4

𝑟⁴

𝑎³

𝑃₄

1⋅1⋅3

2⋅4⋅6

𝑟⁶

𝑎⁶

𝑃₆

–

…

⎫

⎬

⎭

при 𝑟 < 𝑎,

(14)

𝑉

2π

⎧

⎨

⎩

𝑎²

𝑟

–

1⋅1

2⋅4

𝑎⁴

𝑟³

𝑃₂

–

1⋅1⋅3

2⋅4⋅6

𝑎⁶

𝑟⁵

𝑃₄

–

…

⎫

⎬

⎭

при 𝑟 > 𝑎.

(15)

⁵ Thomson and Tait, Natural Philosophy, Art. 546, Ex. II.

В этих выражениях величина 𝑟 есть расстояние до точки (𝑥,𝑦,𝑧) от центра одного из круговых торцов соленоида; зональные гармоники 𝑃₁, 𝑃₂, … являются гармониками, соответствующими углу θ, который составляет с осью цилиндра радиус-вектор 𝑟.

Производная по 𝑧 от первого из этих выражений терпит скачок при θ=π/2; однако мы должны помнить, что внутри соленоида к магнитной силе, выведенной из этого выражения, следует добавить продольную силу 4π𝑛γ.

677. Теперь рассмотрим соленоид настолько длинный, что в изучаемой нами области пространства можно пренебречь членами, зависящими от расстояния до концов соленоида.

Поток магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, проведённую в пределах соленоида, равен 4π𝑛γ𝐴', где 𝐴' площадь, ограничиваемая проекцией этой кривой на плоскость, нормальную к оси соленоида.

Если замкнутая кривая расположена вне соленоида, но окружает его, то поток магнитной индукции сквозь кривую равен 4π𝑛γ𝐴, где 𝐴 – площадь сечения соленоида. Если же замкнутая кривая не окружает соленоид, то поток магнитной индукции сквозь неё равен нулю.

Коэффициент индукции между соленоидом и проводом, 𝑛' раз обмотанным вокруг соленоида, равен

𝑀

4π𝑛𝑛'𝐴

(16)

Предполагая, что эти витки совпадают с 𝑛 витками соленоида, мы найдём, что коэффициент самоиндукции на единичный элемент длины соленоида, взятый на достаточном удалении от его краёв, равен

𝐿

4π𝑛²𝐴

(17)

Вблизи концов соленоида необходимо принять во внимание члены, зависящие от воображаемого распределения магнетизма на плоских торцах соленоида. Эффект, обусловленный этими членами, состоит в том, что коэффициент индукции между соленоидом и окружающим его контуром становится меньше величины 4π𝑛𝐴; последняя относится к контуру, окружающему очень длинный соленоид и расположенному на большом расстоянии от обоих его концов.

Возьмём случай двух круговых коаксиальных соленоидов одинаковой длины 𝑙. Пусть радиус внешнего соленоида равен 𝑐₁ и пусть провод намотан так, что на единицу длины соленоида приходится 𝑛₁ витков. Пусть радиус внутреннего соленоида равен 𝑐₂, а число витков на единицу длины равно 𝑛₂. Тогда коэффициент индукции между этими соленоидами, если пренебречь влиянием концов, будет равен

𝑀

𝐺𝑔

(18)

где

𝐺

4π𝑛₁

(19)

𝑔

π𝑐₂²𝑙𝑛₂

(20)

678. Для того чтобы определить влияние положительного конца соленоида, мы должны вычислить коэффициент индукции внешнего соленоида, обусловленный действием круглого диска, являющегося торцом внутреннего соленоида. Для этой цели возьмём второе выражение для 𝑉, заданное соотношением (15), и продифференцируем его по 𝑟. Это даст магнитную силу в радиальном направлении. Затем, умножив это выражение на 2π𝑟𝑑μ, проинтегрируем его по μ от μ=1 до μ=𝑧/√𝑧²+𝑐₁². Это даёт коэффициент индукции по отношению к единичному витку внешнего соленоида, расположенному на расстоянии 𝑧 от положительного конца. Далее, умножив это выражение на 𝑑𝑧, проинтегрируем его от 𝑧=𝑙 до 𝑧=0. И, наконец, умножив полученный результат на 𝑛₁𝑛₂, найдём вклад одного из концов в общий эффект уменьшения коэффициента индукции.

Таким образом, мы находим коэффициент взаимной индукции 𝑀 между двумя цилиндрами:

𝑀

4π²

𝑛₁𝑛₂𝑐₂²

(𝑙-2𝑐₁α)

(21)

где

𝑐₁+𝑙+𝑟

𝑐₁

–

1⋅3

2⋅4

2⋅3

𝑐₂²

𝑐₁²

⎛

⎜

⎝

–

𝑐₁²

𝑟²

⎞

⎟

⎠

1⋅3⋅5

2⋅4⋅6

⋅

4⋅5

𝑐₂⁴

𝑐₁⁴

⎛

⎜

⎝

–

–2

𝑐₁⁵

𝑟⁵

𝑐₁⁷

𝑟⁷

⎞

⎟

⎠

+…

(22)

где для краткости величина √𝑙²+𝑐₁² обозначена через 𝑟.

Как ясно отсюда, при вычислении взаимной индукции двух коаксиальных соленоидов мы должны использовать в выражении (20) вместо истинной длины 𝑙 некоторую подправленную длину 𝑙-2𝑐₁α, при которой соленоиды на каждом из концов предполагаются укороченными на величину α𝑐₁. Если длина соленоида значительно превышает его внешний радиус, то

–

𝑐₂²

𝑐₁²

–

128

𝑐₂⁴

𝑐₁⁴

….

(23)

679. Если соленоид состоит из многих слоёв, образованных проводом такого диаметра, что в единичном интервале длины укладывается 𝑛 слоёв, то число слоёв внутри 𝑑𝑟 равно 𝑛𝑑𝑟, и мы имеем

𝐺

4π

∫

𝑛²

𝑑𝑟

𝑔

π𝑙

∫

𝑛²

𝑟²

𝑑𝑟

(24)

Если толщина провода постоянна, а индукция имеет место между внешней катушкой, наружный и внутренний радиусы которой равны 𝑥 и 𝑦, и внутренней катушкой с наружным и внутренним радиусами 𝑦 и 𝑧, то в пренебрежении влиянием концов

𝐺𝑔

π²

𝑙𝑛₁²𝑛₂²

(𝑥-𝑦)

(𝑦³-𝑧³)

(25)

Чтобы эта величина была максимальной при заданных 𝑥 и 𝑧 и переменном 𝑦, необходимо

𝑥

𝑦

–

𝑧³

𝑦²

(26)

Данное уравнение устанавливает наиболее выгодное соотношение между толщинами первичной и вторичной обмоток в индукционных машинах, не содержащих железных сердечников.

При наличии железного сердечника радиуса 𝑧 величина 𝐺 остаётся прежней, но

𝑔

π𝑙

∫

𝑛²

(𝑟²-4πϰ𝑧²)

𝑑𝑟

(27)

π𝑙𝑛²

⎛

⎜

⎝

𝑦³-𝑧³

4πϰ𝑧²

(𝑦-𝑧)

⎞

⎟

⎠

(28)

Если значение 𝑦 задано, то величина 𝑧, соответствующая максимуму 𝑔, равна

𝑧

𝑦

12πϰ

12πϰ+1

(29)

Когда число ϰ велико, как в случае железа, то приближённо 𝑧=2/3⋅𝑦.

Если теперь зафиксировать значение 𝑥, а 𝑦 и 𝑧 сделать переменными, мы получим, что при больших ϰ максимум 𝐺𝑔 достигается, если

𝑥:𝑦:𝑧

4:3:2

(30)

Коэффициент самоиндукции на единицу длины длинного соленоида, внешние и внутренние радиусы которого равны 𝑥 и 𝑦 и который содержит длинный железный сердечник радиуса 𝑧, равен

4π

𝑥

∫

𝑦

⎧

⎨

⎩

𝑥

∫

𝑛²(ρ²+4πϰ𝑧²)

𝑑𝑟

∫

𝑦

𝑛²(𝑟²+4πϰ𝑧²)

𝑑𝑟

⎫

⎬

⎭

𝑛²

𝑑ρ

π²𝑛⁴

(𝑥-𝑦)²

(𝑥²+2𝑥𝑦+3𝑦²+24πϰ𝑧²)

(31)

680. До сих пор мы считали провод однородным по толщине. Теперь же мы установим закон, по которому должна изменяться толщина провода в различных слоях, чтобы при заданном сопротивлении первичной и вторичной обмотки величина коэффициента взаимной индукции могла достигать максимума.

Пусть сопротивление на единицу длины провода, 𝑛 витков которого укладываются в единице длины соленоида, равно ρ𝑛².

Сопротивление всего соленоида равно

𝑅

2πρ𝑙

∫

𝑛⁴𝑟

𝑑𝑟

(32)

При заданном 𝑅 величина 𝐺 имеет максимум при условии

𝑑𝐺

𝑑𝑟

𝐶

𝑑𝑅

𝑑𝑟

где 𝐶 – некоторая постоянная.

Отсюда следует, что величина 𝑛² пропорциональна 1/𝑟, или что толщина провода наружной катушки должна быть пропорциональна корню квадратному из радиуса слоя.

Для того чтобы при заданном значении 𝑅 величина 𝑔 была максимальна, нужно

𝑛²

𝐶

⎛

⎜

⎝

𝑟

4πϰ𝑧²

𝑟

⎞

⎟

⎠

(33)

Следовательно, при отсутствии железного сердечника толщина провода внутренней катушки должна быть обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса слоя, а при наличии железного сердечника, обладающего высокой восприимчивостью к намагничиванию, закон изменения толщины провода был бы более близок к прямой пропорциональности корню квадратному из радиуса слоя.

Бесконечный соленоид

681. Если объёмное тело образовано вращением плоской площадки 𝐴 вокруг оси, лежащей в её плоскости, но её не пересекающей, то оно будет иметь форму кольца. Пусть такое кольцо обмотано проводом, витки которого располагаются в плоскости, проходящей через ось кольца; тогда функция тока проволочного слоя будет равна φ=(1/2π)𝑛γθ, где 𝑛 – полное число витков, а θ – азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси кольца.

Если Ω – магнитный потенциал внутри кольца, а Ω' – вне его, то

–

4πφ

𝐶

2𝑛γθ

𝐶

Снаружи кольца потенциал Ω' должен удовлетворять уравнению Лапласа и исчезать на бесконечном расстоянии. Как следует из природы самой задачи, этот потенциал должен быть функцией только угла θ. А единственным значением Ω', удовлетворяющим этим условиям, является ноль. Следовательно, Ω'=0, Ω=-2𝑛γθ+𝐶.

Магнитная сила в любой точке, находящейся внутри кольца, перпендикулярна плоскости, проходящей через ось, и равна величине 2𝑛γ, где 𝑟 – расстояние от оси. Вне кольца магнитная сила отсутствует.

Если форма замкнутой кривой задана координатами текущей точки 𝑧, 𝑟 и θ, как функция её расстояния 𝑠 от некоторой фиксированной точки, то поток магнитной индукции сквозь эту замкнутую кривую можно найти интегрированием вдоль неё вектор-потенциала, составляющие которого равны

𝐹

2𝑛γ𝑥𝑧

𝑟²

𝐺

2𝑛γ𝑦𝑧

𝑟²

𝐻

Таким образом, мы находим

2𝑛γ

𝑠

∫

𝑧

𝑟

𝑑𝑟

𝑑𝑠

интеграл берётся вдоль кривой при условии, что она целиком лежит внутри кольца. Если же кривая целиком находится вне кольца, но охватывает его, то поток магнитной индукции сквозь кривую равен

2𝑛γ

𝑠'

∫

𝑧'

𝑟'

𝑑𝑟'

𝑑𝑠'

2𝑛γ𝑎

где 𝑎 есть «линейная» величина

𝑠'

∫

𝑧'

𝑟'

𝑑𝑟'

𝑑𝑠'

а штрихованные координаты относятся не к замкнутой кривой, а к одиночному витку соленоида.

Таким образом, поток магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, охватывающую кольцо, всюду одинаков и равен 2𝑛γ𝑎. Если же замкнутая кривая не охватывает кольцо, поток магнитной индукции сквозь неё равен нулю.

Пусть второй провод обмотан вокруг кольца произвольным образом и, не обязательно соприкасаясь с ним, охватывает его 𝑛' раз. Поток индукции сквозь этот контур равен 2𝑛𝑛'γ𝑎, и, следовательно, коэффициент индукции 𝑀 одной катушки на другую равен 𝑀=2𝑛𝑛'𝑎.

Поскольку это выражение совершенно не зависит от конкретной формы или положения вторичного контура, то при протекании токов через проводники между ними не будет действовать никакой механической силы. Совмещая вторичный провод с первичным, мы получаем для коэффициента самоиндукции кольцевой намотки выражение 𝐿=2𝑛²𝑎.

ГЛАВА XIII

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТОКИ

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."