Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."
Автор книги: Джеймс Максвелл
Жанры:
Физика
,сообщить о нарушении
Текущая страница: 16 (всего у книги 34 страниц)
Пусть контур, образованный таким образом, считается вторичным, а направление 𝐴𝐵𝐶 предполагается положительным направлением обхода по нему.
Пусть скользящая часть перемещается параллельно самой себе из положения 𝐴𝐵 в положение 𝐴'𝐵'. Мы должны определить изменение электрокинетического импульса контура 𝑝, обусловленное этим смещением скользящего участка.
Вторичный контур меняется от 𝐴𝐵𝐶 до 𝐴'𝐵'𝐶', отсюда, согласно п. 587,
𝑝(𝐴'𝐵'𝐶')
–
𝑝(𝐴𝐵𝐶)
=
𝑝(𝐴𝐴'𝐶'𝐶)
.
(13)
Следовательно, нам надо определить значение 𝑝 для параллелограмма 𝐴𝐴'𝐶'𝐶. Если он настолько мал, что можно пренебречь изменением направления и величины магнитной индукции в разных точках его плоскости, то величина 𝑝 в соответствии с п. 591 равна 𝔅cosη⋅𝐴𝐴'𝐶'𝐶, где 𝔅 есть магнитная индукция, а η – угол, который она образует с положительным направлением нормали к параллелограмму 𝐴𝐴'𝐶'𝐶.
Мы можем представить этот результат геометрически в виде объёма параллелепипеда, основанием которого служит параллелограмм 𝐴𝐴'𝐶'𝐶, а одним из рёбер является линия 𝐴𝑀, по величине и направлению представляющая магнитную индукцию 𝔅. Объём параллелепипеда следует брать положительным, если параллелограмм расположен в плоскости бумаги, а линия 𝐴𝑀 проведена вверх от неё, или, выражаясь более общо, если направления контура 𝐴𝐵, магнитной индукции 𝐴𝑀 и смещения 𝐴𝐴', взятые в этом циклическом порядке, образуют правую систему.
Объём этого параллелепипеда представляет приращение величины р для вторичного контура, обусловленное смещением скользящего участка от положения 𝐴𝐵 до 𝐴'𝐵'.
Электродвижущая сила, действующая на скользящий участок
595. Электродвижущая сила, возникающая во вторичном контуре благодаря движению скользящего участка, согласно п. 579, равна
𝐸
=-
𝑑𝑝
𝑑𝑡
.
(14)
Если предположить, что 𝐴𝐴' есть смещение в единицу времени, то 𝐴𝐴' будет представлять скорость, а параллелепипед представит величину 𝑑𝑝/𝑑𝑡, или в соответствии с уравнением (14) электродвижущую силу в отрицательном направлении 𝐵𝐴.
Следовательно, электродвижущая сила, действующая на скользящий участок 𝐴𝐵 и обусловленная его перемещением через магнитное поле, представлена объёмом параллелепипеда, ребра которого и по направлению, и по величине представляют скорость, магнитную индукцию и сам этот скользящий участок. Она положительна, когда эти три направления берутся в правой циклической последовательности.
Электромагнитная сила, действующая на скользящий участок
596. Обозначим через 𝑖2 ток во вторичном контуре, текущий в положительном направлении 𝐴𝐵𝐶, тогда работа, совершаемая электромагнитной силой над участком 𝐴𝐵 за время его скольжения из положения 𝐴𝐵 в положение 𝐴'𝐵', равна (𝑀'-𝑀)𝑖1𝑖2, где 𝑀 и 𝑀' – значения 𝐿12 в начальном и конечном положениях 𝐴𝐵. Но величина (𝑀'-𝑀)𝑖1 равна величине 𝑝'-𝑝, которая представляется объёмом параллелепипеда, построенного на 𝐴𝐵, 𝐴𝑀 и 𝐴𝐴'. Следовательно, если мы, чтобы представить величину 𝐴𝐵⋅𝑖2, проведём линию, параллельную 𝐴𝐵, то параллелепипед, образованный этой линией вместе с магнитной индукцией 𝐴𝑀 и смещением 𝐴𝐴', будет представлять работу, совершенную за время перемещения.
При заданной величине перемещения работа будет наибольшей, когда это перемещение происходит перпендикулярно параллелограмму со сторонами 𝐴𝐵 и 𝐴𝑀. Поэтому величина электромагнитной силы представляется площадью параллелограмма со сторонами 𝐴𝐵 и 𝐴𝑀, умноженной на 𝑖2, а направление – нормалью к этому параллелограмму, проведённой так, чтобы 𝐴𝐵, 𝐴𝑀 и нормаль составляли правую циклическую последовательность.
Четыре определения линии магнитной индукции
597. Если направление 𝐴𝐴', в котором происходит движение скользящего участка, совпадает с направлением магнитной индукции 𝐴𝑀, то перемещение скользящего участка не приведёт в действие электродвижущую силу, каково бы ни было направление 𝐴𝐵, а если 𝐴𝐵 несёт электрический ток, то не будет никакой тенденции к скольжению вдоль 𝐴𝐴'.
Далее, если скользящий участок 𝐴𝐵 совпадает по направлению с направлением магнитной индукции 𝐴𝑀, то никакое движение 𝐴𝐵 не приведёт в действие электродвижущую силу, а ток, протекающий через 𝐴𝐵, не вызовет действия механической силы на 𝐴𝐵.
Следовательно, мы можем определить линию магнитной индукции четырьмя различными способами. Это такая линия, что:
(1). Если проводник двигать вдоль линии магнитной индукции параллельно самому себе, то в нём не возникнет электродвижущей силы.
(2). Если проводник, несущий ток, имеет возможность свободно перемещаться вдоль линии магнитной индукции, он не будет проявлять никакой тенденции к такому перемещению.
(3). Если линейный проводник совпадает по направлению с линией магнитной индукции и будет двигаться параллельно самому себе в любом направлении, то на него не будет действовать электродвижущая сила в направлении его длины.
(4). Если линейный проводник, несущий электрический ток, совпадает по направлению с линией магнитной индукции, то на него не будет действовать механическая сила.
Общие уравнения для электродвижущей напряжённости
598. Мы видели, что величина электродвижущей силы 𝐸, обусловленной действием индукции на вторичный контур, равна -𝑑𝑝/𝑑𝑡 где
𝑝
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(1)
Чтобы определить значение 𝐸, продифференцируем по 𝑡 выражение под знаком интеграла, помня, что если вторичный контур находится в движении, то 𝑥, 𝑦 и 𝑧 являются функциями времени. Мы получаем
𝐸
=
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐺
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐻
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐺
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐻
𝑑𝑥
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑠
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐻
𝑑𝑦
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑠
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐺
𝑑𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑠
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑²𝑥
𝑑𝑠𝑑𝑡
+
𝐺
𝑑²𝑦
𝑑𝑠𝑑𝑡
+
𝐻
𝑑²𝑧
𝑑𝑠𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(2)
Возьмём теперь второй член этого интеграла и подставим в него величины 𝑑𝐺/𝑑𝑥 и 𝑑𝐻/𝑑𝑥 из уравнений (А) п. 591. Тогда этот член примет вид
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
–
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑠
,
и мы можем записать его так:
-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
–
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
+
𝑑𝐹
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑠
.
Поступая так же с третьим и четвёртым членами, собирая члены, содержащие 𝑑𝑥/𝑑𝑠, 𝑑𝑦/𝑑𝑠 и 𝑑𝑧/𝑑𝑠, и помня, что
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑠
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝐹
𝑑²𝑥
𝑑𝑠𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
=
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑡
,
(3)
и, следовательно, интеграл от него, взятый вдоль замкнутой кривой, исчезает, получим
𝐸
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡
–
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑡
–
𝑑𝐹
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑠
𝑑𝑠
+
∫
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝑑𝑧
𝑑𝑡
–
𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
–
𝑑𝐺
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑠
𝑑𝑠
+
∫
⎛
⎜
⎝
𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
–
𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑡
–
𝑑𝐻
𝑑𝑡
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑧
𝑑𝑠
𝑑𝑠
.
(4)
Это выражение мы можем записать в виде
𝐸
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(5)
где
𝑃=𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡
–𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑡
–
𝑑𝐹
𝑑𝑡
–
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(Уравнения
Электродвижущей
Напряжённости)
𝑄=𝑎
𝑑𝑧
𝑑𝑡
–𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
–
𝑑𝐺
𝑑𝑡
–
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝑅=𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
–𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑡
–
𝑑𝐻
𝑑𝑡
–
𝑑Ψ
𝑑𝑧
.
(B)
Члены, включающие в себя новую величину Ψ, введены для того, чтобы придать общность выражениям для 𝑃, 𝑄, 𝑅. Эти члены исчезают, когда интеграл берётся по замкнутому контуру. В рамках интересующей нас задачи отыскания электродвижущей силы вдоль контура величина Ψ является, таким образом, неопределённой. Однако мы увидим, что, когда мы знаем все относящиеся к задаче обстоятельства, мы можем приписать величине Ψ вполне точное значение, представляющее, согласно известному определению, электрический потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧).
Величина же, стоящая под знаком интеграла в уравнении (5), представляет собой электродвижущую напряжённость, действующую на элемент контура 𝑑𝑠.
Обозначим через 𝑇.𝔈 численное значение результирующей 𝑃, 𝑄, 𝑅, а через ε – угол между направлением этой результирующей и направлением элемента 𝑑𝑟, тогда вместо уравнения (5) мы можем записать
𝐸
=
∫
𝑇.𝔈
cos ε
𝑑𝑠
.
(6)
Вектор 𝔈 есть электродвижущая напряжённость движущегося элемента 𝑑𝑠. Её направление и величина зависят от положения и движения 𝑑𝑠, а также от изменения магнитного поля и не зависят от направления 𝑑𝑠. Поэтому мы теперь можем не учитывать то обстоятельство, что элемент 𝑑𝑠 является частью контура, и считать его просто участком движущегося тела, находящимся под действием электродвижущей силы. Электродвижущая напряжённость уже была определена нами в п. 68. Её называют также результирующей электрической силой, поскольку это та сила, действие которой испытывала бы на себе единица положительного электричества, помещённая в данную точку. Мы получили теперь наиболее общее выражение этой величины для случая тела, движущегося в магнитном поле, обусловленном изменяющейся электрической системой.
Если это тело представляет собой проводник, то электродвижущая сила создаёт ток, если же это диэлектрик – она создаст только электрическое смещение.
Электродвижущую напряжённость или силу, действующую на частицу, следует тщательно отличать от электродвижущей силы вдоль участка кривой. Последняя является линейным интегралом от первой, см. п. 69.
599. Электродвижущая напряжённость, компоненты которой определяются уравнениями (В), зависит от трёх обстоятельств. Первое из них – это движение частицы через магнитное поле. Часть силы, зависящая от этого движения, выражается первыми двумя членами правых частей каждого из уравнений. Она зависит от скорости частицы, поперечной по отношению к линиям магнитной индукции. Если 𝔊 есть вектор, представляющий скорость, а 𝔅 – вектор, представляющий магнитную индукцию, то, если 𝔈1 – часть электродвижущей напряжённости, которая зависит от движения, получим
𝔈
1
=
𝑉.
(7)
т.е. электродвижущая напряжённость есть векторная часть произведения магнитной индукции на скорость, иначе говоря, величина электрической силы представляется площадью параллелограмма, стороны которого представлены скоростью и магнитной индукцией, а её направление есть направление нормали к этому параллелограмму, проведённой так, чтобы скорость, магнитная индукция и электродвижущая напряжённость составляли правую циклическую последовательность.
Третий член в каждом из уравнений (В) зависит от изменения магнитного поля во времени. Оно может быть обусловлено либо изменением во времени электрического тока в первичном контуре, либо движением первичного контура. Пусть 𝔈2 будет той частью электродвижущей напряжённости, которая зависит от этих членов. Её составляющие равны -𝑑𝐹/𝑑𝑡, -𝑑𝐺/𝑑𝑡, -𝑑𝐻/𝑑𝑡.
Это составляющие вектора -𝑑𝔄/𝑑𝑡, или -𝔄̇. Следовательно,
𝔈
2
=
–𝔄̇
.
(8)
Последний член в каждом из уравнений (В) обусловлен изменением функции Ψ в различных частях поля. Мы можем записать третью часть электродвижущей напряжённости, обусловленную этой причиной, в виде
𝔈
3
=
–∇Ψ
.
(9)
Электродвижущая напряжённость в том виде, как она определена уравнениями (В), может быть, следовательно, записана в кватернионной форме:
𝔈
=
𝑉.𝔊𝔅
–𝔄̇
–∇Ψ
.
(10)
О модификации уравнений для электродвижущей напряжённости в случае, когда оси, на которые она проектируется, движутся в пространстве
600. Пусть 𝑥', 𝑦', 𝑧' – координаты точки, относящиеся к системе прямоугольных осей, движущихся в пространстве, а 𝑥, 𝑦, 𝑧 – координаты той же точки относительно неподвижных осей.
Пусть составляющие скорости начала движущейся системы координат равны 𝑢, 𝑣, 𝑤, а составляющие её угловой скорости по отношению к неподвижной системе осей равны ω1, ω2, ω3. Выберем неподвижные оси так, чтобы они в данный момент времени совпали с движущимися осями, тогда единственными величинами, которые будут отличны друг от друга для обеих систем, окажутся величины, продифференцированные по времени. Если через δ𝑥/δ𝑡 обозначить составляющую скорости точки, жёстко связанной с движущимися осями и перемещающейся вместе с ними, а через 𝑑𝑥/𝑑𝑡 и 𝑑𝑥'/𝑑𝑡 – составляющие скорости любой движущейся точки, имеющей в какое-то мгновение одинаковое положение относительно неподвижных и движущихся осей соответственно, тогда
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
δ𝑥
δ𝑡
+
𝑑𝑥'
𝑑𝑡
,
(1)
для других составляющих уравнения аналогичны.
Согласно теории движения тел неизменной формы
δ𝑥
δ𝑡
=
𝑢
+
ω
2
𝑧
–
ω
3
𝑦
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
δ𝑦
δ𝑡
=
𝑣
+
ω
3
𝑥
–
ω
1
𝑧
,
δ𝑧
δ𝑡
=
𝑤
+
ω
1
𝑦
–
ω
2
𝑥
.
(2)
Величина 𝐹 является составляющей некоторой направленной величины, параллельной 𝑥, поэтому, обозначив через 𝑑𝐹'/𝑑𝑡 значение 𝑑𝐹/𝑑𝑡, отнесённое к движущимся осям, мы можем показать, что
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
=
𝑑𝐹
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑦
δ𝑦
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑧
δ𝑧
δ𝑡
+
𝐺ω
3
–
𝐻ω
2
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
(3)
Подставляя вместо 𝑑𝐹/𝑑𝑦 и 𝑑𝐹/𝑑𝑧 их значения, найденные из уравнений для магнитной индукции (А), и помня, что, согласно (2),
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
=
0,
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑦
δ𝑡
=
ω
3
,
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑧
δ𝑡
=
–ω
2
,
(4)
находим
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
=
𝑑𝐹
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
+
𝐹
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑥
δ𝑡
+
𝑑𝐺
𝑑𝑥
δ𝑦
δ𝑡
+
𝐺
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑦
δ𝑡
+
+
𝑑𝐻
𝑑𝑥
δ𝑧
δ𝑡
+
𝐻
𝑑
𝑑𝑥
δ𝑧
δ𝑡
–
𝑐
δ𝑦
δ𝑡
+
𝑏
δ𝑧
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
(5)
Если теперь положить
Ψ'
=
𝐹
δ𝑥
δ𝑡
+
𝐺
δ𝑦
δ𝑡
+
𝐻
δ𝑧
δ𝑡
,
(6)
то
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
=-
𝑑Ψ'
𝑑𝑥
–
𝑐
δ𝑦
δ𝑡
+
𝑏
δ𝑧
δ𝑡
+
𝑑𝐹
𝑑𝑡
.
(7)
Уравнение для 𝑃 – составляющей электродвижущей напряжённости, параллельной оси 𝑥, отнесённое к неподвижным осям, согласно (В), будет
𝑃
=
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑡
–
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑡
–
𝑑𝐹
𝑑𝑡
–
𝑑Ψ
𝑑𝑥
.
(8)
Заменяя эти значения на значения величин, отнесённых к движущимся осям, для величины 𝑃, отнесённой к этим движущимся осям, имеем
𝑃'
=
𝑐
𝑑𝑦'
𝑑𝑡
–
𝑏
𝑑𝑧'
𝑑𝑡
–
𝑑𝐹'
𝑑𝑡
–
𝑑(Ψ+Ψ')
𝑑𝑥
.
(9)
601. Отсюда следует, что электродвижущая напряжённость выражается однотипной формулой для движений проводников, отнесённых и к неподвижным осям, и к движущимся в пространстве осям. Единственное различие между формулами состоит в том, что в случае движущихся осей электрический потенциал Ψ должен быть заменён на Ψ+Ψ'.
Во всех случаях, где в проводящих контурах возникает ток, электродвижущая сила является линейным интегралом, взятым вдоль замкнутого контура:
𝐸
=
∫
⎛
⎜
⎝
𝑃
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑄
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(10)
Величина Ψ исчезает при интегрировании, и поэтому введение Ψ' не влияет на значение 𝐸. Следовательно, во всех явлениях, относящихся к замкнутым контурам и токам в них, безразлично, будут ли оси, к которым мы относим систему, в покое или в движении, см. п. 668.
Об электромагнитной силе, действующей на проводник, переносящий электрический ток через магнитное поле
602. В общем исследовании (п. 583) мы видели, что если есть одна из переменных, определяющих положение и форму вторичного контура, а 𝑋1 – сила, действующая на вторичный контур и стремящаяся увеличить значение этой переменной, то
𝑋
1
=
𝑑𝑀
𝑑𝑥1
𝑖
1
𝑖
2
.
(1)
Так как ток 𝑖1 не зависит от 𝑥1 мы можем написать
𝑀𝑖
1
=
𝑝
=
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
,
(2)
и для величины 𝑋1 имеем
𝑋
1
=
𝑖
2
𝑑
𝑑𝑥1
∫
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(3)
Предположим теперь, что смещение состоит в движении каждой точки контура на расстояние δ𝑥 в направлении 𝑥, причём δ𝑥 является любой непрерывной функцией от 𝑠, так что различные части контура движутся независимо одна от другой и в то же время контур остаётся непрерывным и замкнутым.
Пусть также 𝑋 будет полной силой в направлении 𝑥, действующей на часть контура от 𝑠=0 до 𝑠=𝑠. Тогда часть, соответствующая элементу 𝑑𝑠, будет равна (𝑑𝑋/𝑑𝑠)𝑑𝑠. Для работы, совершаемой этой силой за время перемещения, будем иметь следующее выражение:
∫
𝑑𝑋
𝑑𝑠
δ𝑥
𝑑𝑠
=
𝑖
2
∫
𝑑
𝑑δ𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐹
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝐺
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝐻
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑥
𝑑𝑠
,
(4)
где мы должны распространить интегрирование на замкнутую кривую, помня, что δ𝑥 является произвольной функцией 𝑠. Поэтому мы можем произвести дифференцирование по δ𝑥 точно так же, как мы дифференцировали по 𝑡 в п. 598, помня, что
𝑑𝑥
𝑑δ𝑥
=
1,
𝑑𝑥
𝑑δ𝑦
=
0,
𝑑𝑥
𝑑δ𝑧
=
1.
(5)
Таким образом, находим
∫
𝑑𝑋
𝑑𝑠
δ𝑥
𝑑𝑠
=
𝑖
2
∫
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
–
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑥
𝑑𝑠
+
𝑖
2
∫
𝑑
𝑑𝑠
(𝐹δ𝑥)
𝑑𝑠
.
(6)
При интегрировании по замкнутой кривой последний член исчезает и так как уравнение должно выполняться для функции δ𝑥 любого вида мы должны иметь
𝑑𝑋
𝑑𝑠
=
𝑖
2
⎛
⎜
⎝
𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑠
–
𝑏
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
.
(7)
Это уравнение даёт силу, параллельную 𝑥 и действующую на произвольный единичный элемент контура. Силы, параллельные 𝑦 и 𝑧, соответственно равны
𝑑𝑌
𝑑𝑠
=
𝑖
2
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝑑𝑧
𝑑𝑠
–
𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
,
(8)
𝑑𝑍
𝑑𝑠
=
𝑖
2
⎛
⎜
⎝
𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑠
–
𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
.
(9)
Результирующая сила, действующая на элемент, даётся (и по направлению, и по величине) кватернионным выражением 𝑖2𝑉.𝑑ρ𝔅, где 𝑖2 есть численная мера тока, а 𝑑ρ и 𝔅 – векторы, представляющие элемент контура и магнитную индукцию; умножение должно пониматься в гамильтоновом смысле.
603. Если проводник следует рассматривать не как линию, а как некоторое тело, то силу на элемент длины и ток через полное сечение необходимо выражать через символы, обозначающие силу на единицу объёма и токи через единицу площади.
Пусть 𝑋, 𝑌, 𝑍 представляют теперь составляющие силы, отнесённой к единице объёма, а 𝑢, 𝑣, 𝑤 -составляющие тока, отнесённого к единице площади. Тогда, если 𝑆 представляет сечение проводника, которое мы будем предполагать малым, то объём элемента 𝑑𝑠 будет равен 𝑆𝑑𝑠 и
𝑢
=
𝑖
2
𝑑𝑥
.
𝑆
𝑑𝑠
Следовательно, уравнение (7) примет вид
𝑋𝑆𝑑𝑠
𝑑𝑠
=
𝑆
(
𝑣𝑐
–
𝑤𝑏
),
(10)
или
𝑋
=
𝑣𝑐
–
𝑤𝑏
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(Уравнения
Электромагнитной
Силы)
Аналогично
𝑌
=
𝑤𝑎
–
𝑢𝑐
,
и
𝑍
=
𝑣𝑏
–
𝑢𝑎
.
(C)
Здесь 𝑋, 𝑌, 𝑍 – составляющие электромагнитной силы, действующей на элемент проводника, делённые на объём этого элемента; 𝑢, 𝑣, 𝑤 – отнесённые к единице площади составляющие электрического тока, протекающего через элемент, и 𝑎, 𝑏, 𝑐 – составляющие магнитной индукции на элементе, которые также отнесены к единице площади.
Если вектор 𝔉 представляет по величине и направлению силу на единицу объёма проводника, а ℭ представляет собой электрический ток, текущий через него, то
𝔉
=
𝑉.ℭ𝔅
.
(11)
ГЛАВА IX
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
604. Наше теоретическое обсуждение электродинамики мы начнём с предположения о том, что система контуров, несущих электрические токи, является системой динамической, где токи можно рассматривать как скорости, а координаты, соответствующие этим скоростям, не появляются в уравнениях явно. Из этого следует, что кинетическая энергия системы, поскольку она зависит от токов, является однородной квадратичной функцией токов, коэффициенты которой зависят только от формы и относительного положения контуров. Предполагая, что эти коэффициенты известны из эксперимента или ещё откуда-либо, мы с помощью чисто динамических рассуждений вывели законы индукции токов и электромагнитного притяжения. При этом исследовании мы ввели понятия электрокинетической энергии системы токов, электромагнитного импульса тока и взаимного потенциала двух контуров.
Затем мы продолжили исследование поля с помощью вторичных контуров различной конфигурации, и это привело нас в результате к понятию вектора 𝔄, имеющего в любой данной точке поля определённую величину и определённое направление. Мы назвали этот вектор электромагнитным импульсом в данной точке; его можно рассматривать как интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, создаваемой в этой точке при внезапном удалении всех токов из поля. Он тождествен величине, которую мы уже изучали в п. 405 в качестве вектор-потенциала магнитной индукции. Её составляющими, параллельными осям 𝑥, 𝑦, 𝑧, являются 𝐹, 𝐺 и 𝐻. Электромагнитный импульс контура равен линейному интегралу от 𝔄 по контуру.
Затем, воспользовавшись теоремой IV п. 24, мы преобразовали линейный интеграл от 𝔄 в поверхностный интеграл от другого вектора 𝔅, имеющего составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐, и обнаружили, что как явления индукции, обусловленные движением проводника, так и явления, обусловленные электромагнитной силой, могут быть выражены через 𝔅. Мы дали вектору 𝔅 название вектора магнитной индукции, поскольку его свойства идентичны свойствам линий магнитной индукции, изученным Фарадеем.
Мы установили также три системы уравнений: первая система (А) – это уравнения магнитной индукции, выражающие её через электромагнитный импульс. Вторая система (В) – это уравнения электродвижущей напряжённости, выражающие её через движение проводника поперёк линий магнитной индукции и через скорость изменения электромагнитного импульса. Третья система (С) представляла собой уравнения для электромагнитной силы, выражающие её через токи и магнитную индукцию.
Во всех этих случаях ток следует понимать как ток истинный, т.е. включающий в себя не только ток проводимости, но также и ток, обусловленный изменением электрического смещения.
Магнитная индукция 𝔅 является той величиной, которую мы уже рассматривали в п. 400. В ненамагниченном теле она совпадает с силой, действующей на единичный магнитный полюс, но если тело намагничено (постоянно или путём индукции), то она будет равна той силе, которая действовала бы на единичный полюс, помещённый в узкую полость внутри тела, стенки которой перпендикулярны направлению намагниченности. Составляющие 𝔅 равны 𝑎, 𝑏, 𝑐.
Из уравнений (А), определяющих 𝑎, 𝑏, 𝑐, следует, что
𝑑𝑎
𝑑𝑥
+
𝑑𝑏
𝑑𝑦
+
𝑑𝑐
𝑑𝑧
=
0.
В п. 403 было показано, что таким свойством обладает магнитная индукция.
605. Мы определили магнитную силу внутри магнита, в отличие от магнитной индукции, как силу, действующую на единичный полюс, помещённый внутри узкой полости, вырезанной параллельно направлению намагниченности. Эта величина обозначена через ℌ а её составляющие – через α, β, γ, см. п. 398.
Если 𝔍 есть интенсивность намагниченности, а 𝐴, 𝐵, 𝐶 -её составляющие, то, согласно п. 400,
𝐴
=
α
+
4π𝐴
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(Уравнения
Намагниченности)
𝐵
=
β
+
4π𝐵
,
𝐶
=
γ
+
4π𝐶
.
(D)
Мы можем назвать эти уравнения уравнениями намагниченности: они указывают, что в электромагнитной системе магнитная индукция 𝔅, рассматриваемая как вектор, является суммой (в гамильтоновом смысле) двух векторов – магнитной силы ℌ и умноженной на 4π намагниченности 𝔍, т.е.
𝔅
=
ℌ
+
4π𝔍
.
В некоторых веществах намагниченность зависит от магнитной силы, и это выражается системой уравнений для индуцированного магнетизма, приведённой в п. 426 и 435.
606. Вплоть до этого места мы в наших исследованиях выводили всё из чисто динамических соображений без какой-либо ссылки на количественные эксперименты по электричеству или магнетизму. Экспериментальные знания мы использовали только для того, чтобы распознать в абстрактных понятиях, выведенных из теории, конкретные величины, найденные из эксперимента, и дать им наименования, которые скорей бы указывали на их отношение к физике, нежели на их математическое происхождение.
Так, мы показали существование электромагнитного импульса 𝔄 как некоторого вектора, направление и величина которого изменяются от одной части пространства к другой; из него чисто математическим путём мы вывели магнитную индукцию 𝔅, как некоторый производный вектор. Мы не получили, однако, каких-либо данных для отыскания 𝔄 или 𝔅 по распределению токов в поле. Для этой цели мы должны установить математическую связь между этими величинами и токами.
Начнём с допущения о существовании постоянных магнитов, взаимодействие которых удовлетворяет принципу сохранения энергии. Однако мы не будем делать никаких предположений относительно законов магнитной силы, кроме того предположения, которое следует из этого же принципа, а именно: необходимо, чтобы силу, действующую на магнитный полюс, можно было получить из потенциала.
Затем мы, наблюдая действие между токами и магнитами, находим, что ток действует на магнит, по-видимому, так же, как действовал бы на него другой магнит, мощность, форма и положение которого были бы соответствующим образом подобраны, и что магнит действует на ток так же, как другой ток. Нет необходимости предполагать, что эти наблюдения сопровождаются действительными измерениями сил. Поэтому их не следует рассматривать, как источник численных данных, они полезны только в постановке вопросов для нашего исследования.
Вопрос, который выдвигают эти наблюдения, состоит в следующем: поскольку магнитное поле, создаваемое электрическими токами, во многих отношениях аналогично магнитному полю, создаваемому постоянными магнитами, является ли оно аналогичным также и в отношении его связи с потенциалом?
Тот факт, что электрический контур создаёт в окружающем его пространстве такие же магнитные эффекты, как и ограниченная этим контуром магнитная оболочка, был установлен в п. 482-485.
Мы знаем, что в случае магнитной оболочки существует потенциал, имеющий определённое значение для всех точек вне вещества оболочки, но значения потенциала в двух соседних точках по разные стороны от оболочки отличаются на конечную величину.
Если магнитное поле в окрестности электрического тока подобно магнитному полю вблизи магнитной оболочки, то магнитный потенциал, определённый как линейный интеграл от магнитной силы, будет одинаковым для любых двух путей интегрирования при условии, что один можно трансформировать в другой путём непрерывного движения без пересечения электрического тока.
Если, однако, один путь интегрирования не может быть преобразован в другой без пересечения тока, то линейный интеграл от магнитной силы вдоль одного пути отличается от интеграла вдоль другого пути на величину, зависящую от силы тока. Магнитный потенциал, обусловленный электрическим током, является, следовательно, функцией с бесконечным рядом значений, имеющих общую разность, причём частное значение потенциала зависит от хода линии интегрирования. Внутри вещества проводника такой величины, как магнитный потенциал, не существует.
607. Считая, что магнитное действие тока обладает такого рода магнитным потенциалом, мы приступим к математическому выражению этого результата.
Во-первых, линейный интеграл от магнитной силы вдоль любой замкнутой кривой равен нулю при условии, что эта замкнутая кривая не окружает электрического тока.
Во-вторых, если ток проходит один и только один раз в положительном направлении сквозь замкнутую кривую, то линейный интеграл имеет определённое значение, которое можно использовать в качестве меры силы тока, ибо если форма замкнутой кривой меняется каким-либо непрерывным образом, не пересекая при этом тока, то линейный интеграл остаётся неизменным.
В электромагнитных единицах линейных интеграл от магнитной силы, взятый вдоль замкнутой кривой, численно равен протекающему сквозь замкнутую кривую току, умноженному на 4π.
Если взять в качестве такой замкнутой кривой прямоугольник со сторонами 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, то линейный интеграл от магнитной силы вокруг него будет равен
⎛
⎜
⎝
𝑑γ
𝑑𝑦
–
𝑑β
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
и если 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими потока электричества, ток, протекающий сквозь прямоугольник, равен 𝑢𝑑𝑦𝑑𝑧.
Умножая это на 4π и приравнивая результат линейному интегралу, мы получим уравнение
4π𝑢
=
𝑑γ
𝑑𝑦
–
𝑑β
𝑑𝑧
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(Уравнения
Электрических
Токов)
Аналогично
4π𝑣
=
𝑑α
𝑑𝑧
–
𝑑γ
𝑑𝑥
,
4π𝑤
=
𝑑β
𝑑𝑥
–
𝑑α
𝑑𝑦
.
(E)
Эти уравнения определяют величину и направление электрических токов, когда магнитная сила задана в каждой точке.
При отсутствии тока эти уравнения эквивалентны условию
α𝑑𝑥
–
β𝑑𝑦
–
γ𝑑𝑧
=
–𝐷
Ω
,
т.е. во всех точках, где нет токов, магнитную силу можно получить из магнитного потенциала.
Дифференцируя уравнения (Е) по 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно и складывая результаты, мы получаем уравнение
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0,
которое указывает, что ток, имеющий составляющие 𝑢, 𝑣, 𝑤, подчиняется условию движения несжимаемой жидкости и с необходимостью должен протекать по замкнутым контурам.
Это уравнение справедливо только тогда, когда 𝑢, 𝑣 и 𝑤 считаются составляющими электрического потока, обусловленного как изменением электрического смещения, так и истинной проводимостью.
У нас очень мало экспериментальных свидетельств, относящихся к прямому электромагнитному действию токов, обусловленному изменением электрического смещения в диэлектриках, но чрезвычайная трудность совмещения законов электромагнетизма с существованием незамкнутых электрических токов является одной из тех многих причин, по которым мы должны признать существование переходных токов, обусловленных изменением смещения. Их важность будет видна, когда мы подойдём к электромагнитной теории света.
608. Мы сейчас определили соотношения между основными величинами, относящимися к открытым Эрстедом, Ампером и Фарадеем явлениям. Для того чтобы связать их с явлениями, описанными в предыдущих частях трактата, необходимы некоторые дополнительные соотношения.
Когда электродвижущая напряжённость действует на материальное тело, она производит в нём два электрических эффекта, названных Фарадеем индукцией и проводимостью; первый из этих эффектов наиболее заметён в диэлектриках, второй – в проводниках.
В настоящем трактате статическая электрическая индукция измеряется тем, что мы назвали электрическим смещением, т.е. направленной величиной или вектором, который мы обозначили через 𝔇, а его компоненты – через 𝑓, 𝑔, ℎ.
В изотропных веществах смещение совпадает по направлению с электродвижущей напряжённостью, его создающей, и пропорционально ей, по крайней мере, при малых её значениях. Это можно выразить уравнением
𝔇
=
1
4π
𝐾𝔈
,
(Уравнение
Электрического
Смещения)
(F)
где 𝐾 – диэлектрическая способность вещества, см. п. 68.
В веществах, которые не являются изотропными, составляющие 𝑓, 𝑔, ℎ электрического смещения 𝔇 оказываются линейными функциями составляющих 𝑃, 𝑄, 𝑅 электродвижущей напряжённости 𝔈.
По своей форме уравнения электрического смещения аналогичны уравнениям для токов проводимости в том виде, как они приведены в п. 298.
Эти соотношения можно выразить иначе, сказав, что в изотропных средах величина 𝐾 является скаляром, а в других телах она является линейной векторной функцией, действующей на вектор 𝔈.
609. Другим эффектом электродвижущей напряжённости является эффект проводимости. Законы проводимости, возникающей в результате действия электродвижущей напряжённости, были установлены Омом; они объяснены во второй части этого трактата, п. 241, и могут быть сведены в уравнение
𝔎
=
𝐶𝔈
,
(Уравнение Проводимости)
(G)
где 𝔈 есть электродвижущая напряжённость в точке, 𝔎 – плотность тока проводимости, имеющая составляющие 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝐶 – проводимость вещества, которая в случае изотропных веществ оказывается простой скалярной величиной, а для других веществ становится линейной векторной функцией, действующей на вектор 𝔈. Вид этой функции в декартовых координатах приведён в п. 298.
610. Одной из главных особенностей данного трактата является утверждение о том, что истинный электрический ток ℭ. (т.е. ток, от которого зависят электромагнитные явления) не совпадает с током проводимости 𝔎, и в оценке полного движения электричества должно быть учтено изменение во времени электрического смещения 𝔇; следовательно, мы должны написать
ℭ
=
𝔎+𝔇̇
,
(Уравнение Истинного Тока)
(H)
или через составляющие
𝑢
=
𝑝
+
𝑑𝑓
𝑑𝑡
,
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
𝑣
=
𝑞
+
𝑑𝑔
𝑑𝑡
,
𝑤
=
𝑟
+
𝑑ℎ
𝑑𝑡
,
(H*)
611. Поскольку и 𝔎, и 𝔇 зависят от электродвижущей напряжённости мы можем выразить истинный ток ℭ через электрическую напряжённость, а именно
ℭ
=
⎛
⎜
⎝
𝐶
+
1
4π
𝐾
𝑑
𝑑𝑡
⎞
⎟
