Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 23 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

Как определить показание шкалы в положении равновесия через три последовательные элонгации

735. Допустим, мы засекли три показания шкалы 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, соответствующие элонгациям 𝑋, 𝑌, 𝑍, и пусть 𝑎 -показание в положении равновесия 𝑆, а 𝑟₁, -значение величины 𝑆𝐵, тогда

𝑥₁-𝑎

𝑟₁

sin α

𝑥₂-𝑎

𝑟₁

sin α

𝑒

^{-π ctg α}

𝑥₃-𝑎

𝑟₁

sin α

𝑒

^{-2π ctg α}

Из этих величин мы находим

(𝑥₁-𝑎)

(𝑥₃-𝑎)

(𝑥₂-𝑎)²

Откуда

𝑎

𝑥₁𝑥₃+𝑥₂²

𝑥₁+𝑥₃-2𝑥₂

Если 𝑥₃ не очень сильно отличается от 𝑥₁, мы можем пользоваться приближённой формулой

𝑎

¼(𝑥₁+2𝑥₂+𝑥₃)

Как найти логарифмический декремент

736. Логарифмическим декрементом называется логарифм отношения амплитуды какого-либо колебания к амплитуде следующего за ним колебания. Если мы обозначим это отношение через ρ:

𝑥₁-𝑥₂

𝑥₃-𝑥₂

𝐿

lg ρ

ln ρ

то величина 𝐿 называется обычным логарифмическим декрементом, а величина λ – неперовским логарифмическим декрементом. Очевидно, что λ=𝐿 ln 10=π ctg α.

Следовательно, α=arcctg(λ/π) определяет угол логарифмической спирали.

Для определения величины λ нужно позволить телу совершить значительное число колебаний. Если 𝑐₁ – амплитуда первого, а 𝑐_𝑛 – амплитуда 𝑛 -го колебания, то

𝑛-1

⎛

⎜

⎝

𝑐₁

𝑐_𝑛

⎞

⎟

⎠

Если мы предположим, что точность наблюдений при малых и при больших колебаниях одинакова, то для получения наилучшего значения λ мы должны были бы дать возможность затухать колебаниям до тех пор, пока отношение 𝑐₁ к 𝑐_𝑛 не станет приближённо равным основанию натуральных логарифмов 𝑒. Это даёт для 𝑛 значение ближайшего к (1/λ)+1 целого числа.

Поскольку, однако, в большинстве случаев время дорого, то лучше провести другую серию наблюдений, не дожидаясь такого значительного уменьшения амплитуды.

737. В некоторых случаях может оказаться, что мы должны определить положение равновесия по двум соседним элонгациям, когда логарифмический декремент известен из специально проведённого опыта. Тогда мы имеем

𝑎

𝑥₁+𝑒^λ𝑥₂

1+𝑒^λ

Время одного колебания

738. После определения показания шкалы, соответствующего точке равновесия, в эту точку шкалы или как можно ближе к ней помещается хорошо различимая метка и для нескольких последовательных колебаний замечаются моменты прохождения этой метки.

Допустим, что метка смещена в положительном направлении от точки равновесия на неизвестное, но очень малое расстояние 𝑥, и пусть 𝑡₁ – зарегистрированный момент времени первого прохождения метки в положительном направлении, а 𝑡₂, 𝑡₃, … – моменты последующих прохождений.

Если 𝑇 – время одного колебания (полупериод), а 𝑃₁, 𝑃₂, 𝑃₃, … – моменты прохождения точки истинного равновесия, то

𝑡₁

𝑃₁

𝑥

𝑣₁

𝑡₂

𝑃₂

𝑥

𝑣₂

𝑃₂

–

𝑃₁

𝑃₃

–

𝑃₂

𝑇,

где 𝑣₁, 𝑣₂, … – последовательные значения скоростей прохождения, которые на очень малых расстояниях 𝑥 мы можем считать постоянными.

Если ρ есть отношение амплитуды какого-либо колебания к амплитуде последующего колебания, то

𝑣₂

𝑣₁

𝑥

𝑣₂

–ρ

𝑥

𝑣₁

Если три прохождения наблюдались в моменты времени 𝑡₁, 𝑡₂, 𝑡₃, мы находим

𝑥

𝑣₁

𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃

(ρ+1)²

Следовательно, время одного колебания равно

𝑇

(𝑡₃-𝑡₁)

–

ρ-1

ρ+1

(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)

Момент второго прохождения истинной точки равновесия равен

𝑃₂

(𝑡₁+2𝑡₂+𝑡₃)

–

(ρ-1)²

(ρ+1)²

(𝑡₁-2𝑡₂+𝑡₃)

Для определения этих трёх величин достаточно трёх прохождений, однако любое большее число прохождений можно скомбинировать по методу наименьших квадратов. Так, для пяти прохождений

𝑇

(2𝑡₅+𝑡₄-𝑡₂-2𝑡₁)

–

(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)

ρ-1

ρ+1

⎛

⎜

⎝

1+ρ²

⎞

⎟

⎠

Момент третьего прохождения при этом равен

𝑃₃

(𝑡₁+2𝑡₂+2𝑡₃+2𝑡₄+𝑡₅)

–

(𝑡₁-2𝑡₂+2𝑡₃-2𝑡₄+𝑡₅)

(ρ-1)²

(ρ+1)²

739. Этот же метод можно распространить и на серию, состоящую из любого числа колебаний. Если колебания настолько быстрые, что невозможно регистрировать момент каждого прохождения, мы можем засекать момент каждого третьего или каждого пятого прохождения, следя за тем, чтобы направления соседних регистрируемых прохождений были противоположны. Если колебания регулярно происходят в течение большого промежутка времени, то нет необходимости вести наблюдение всё это время. Мы можем начать с наблюдения достаточного числа прохождений, для того чтобы приближённо определить время одного колебания 𝑇 и момент среднего прохождения 𝑃, заметив, в каком направлении – положительном или отрицательном – оно происходит. Затем можно либо продолжать считать колебания, не отмечая моменты прохождения, либо вообще не следить за прибором. Далее мы наблюдаем вторую серию прохождений и находим время одного колебания 𝑇' и момент среднего прохождения 𝑃', замечая направление этого прохождения.

Если времена одного колебания 𝑇 и 𝑇', найденные из двух серий наблюдений, приближённо равны, мы можем перейти к более точному определению периода, комбинируя наблюдения двух серий.

Частное от деления 𝑃'-𝑃 на 𝑇 должно получиться очень близким к целому числу, чётному или нечётному в соответствии с тем, одинаковы или противоположны направления прохождений 𝑃 и 𝑃. Если это не так, то вся серия наблюдений бесполезна, но если результат очень близок к целому числу 𝑛, то, разделив 𝑃'-𝑃 на 𝑛, мы найдём значение 𝑇, среднее для всего времени колебаний.

740. Найденное таким образом время одного колебания 𝑇 является фактическим средним временем колебания; к нему необходимо вводить поправки, если мы хотим вывести из него время колебаний при бесконечно малых дугах в отсутствие затухания.

Чтобы свести наблюдаемое время к времени бесконечно малых колебаний, мы заметим, что время колебания с амплитудой 𝑐 от одного состояния покоя до другого обычно можно представить в виде 𝑇=𝑇₁(1+ϰ𝑐²), где ϰ – некоторый коэффициент, который в случае обычного маятника равен 1/64. Амплитуды следующих друг за другом колебаний равны 𝑐, 𝑐ρ^-1, 𝑐ρ^-2, …, 𝑐ρ^1-𝑛, так что полное время колебаний равно

𝑛𝑇

𝑇₁

⎛

⎜

⎝

𝑛+ϰ

𝑐₁²ρ²-𝑐_𝑛²

ρ²-1

⎞

⎟

⎠

где 𝑇 есть время, полученное из наблюдений.

Следовательно, для нахождения времени при бесконечно малых дугах 𝑇₁ мы приближённо имеем

𝑇₁

𝑇

⎧

⎨

⎩

𝑛

𝑐₁²ρ²-𝑐_𝑛²

ρ²-1

⎫

⎬

⎭

Для получения времени 𝑇₀ в отсутствие затухания мы имеем (п. 731)

𝑇₀

𝑇₁

sin α

𝑇₁

√π²+λ²

741. Уравнение прямолинейного движения тела под действием притяжения к некоторой неподвижной точке, пропорционального расстоянию, и силы сопротивления, меняющейся пропорционально скорости, следующее:

𝑑²𝑥

𝑑𝑡²

2𝑘

𝑑𝑥

𝑑𝑡

ω²(𝑥-𝑎)

(1)

где 𝑥 – координата тела в момент времени 𝑡, 𝑎 – координата точки равновесия. Чтобы решить это уравнение, положим

𝑥-𝑎

𝑒

^-𝑘𝑡

𝑦

;

(2)

тогда

𝑑²𝑦

𝑑𝑡²

(ω²+𝑘²)

𝑦

(3)

Решение этого уравнения:

𝑦

𝐶

cos (

√

ω²+𝑘²

𝑡

если

𝑖

меньше чем

;

(4)

𝑦

𝐴

𝐵𝑡

если

𝑖

равно

;

(5)

𝑦

𝐶'

cos ℎ(

√

𝑘²-ω²

𝑡'

если

𝑖

больше, чем

(6)

Величину 𝑥 можно получить из 𝑦 при помощи уравнения (2). Когда 𝑘 меньше ω, движение состоит из бесконечной серии последовательности колебаний с постоянным периодом и непрерывно уменьшающейся амплитудой. С ростом 𝑘 период колебаний увеличивается, а уменьшение амплитуды становится более быстрым.

Когда величина 𝑘 (половина коэффициента сопротивления) становится равной или большей чем ω (корень квадратный из ускорения на единичном расстоянии от точки равновесия), движение перестаёт быть колебательным; за время всего движения тело может лишь один раз пройти точку равновесия, после чего оно достигает положения максимального отклонения, а затем начинает возвращаться к точке равновесия, непрерывно приближаясь к ней, но никогда её не достигая.

Гальванометры, в которых сопротивление столь велико, что в них происходит такого рода движение, называются апериодическими гальванометрами. Они полезны во многих экспериментах, но особенно при телеграфной связи, где существование свободных колебаний могло бы совершенно замаскировать те движения, которые предполагается обнаруживать.

Какими бы ни были значения 𝑘 и ω, величина 𝑎 (показание шкалы в точке равновесия) может быть выведена из пяти показаний шкалы 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡, взятых через равные промежутки времени по формуле

𝑎

𝑞(𝑟𝑠-𝑞𝑡)+𝑟(𝑝𝑡+𝑟²)+𝑠(𝑞𝑟-𝑝𝑠)

(𝑝-2𝑞+𝑟)(𝑟-2𝑠+𝑡)-(𝑞+2𝑟+𝑠)²

О наблюдениях с гальванометром

742. Для измерения постоянного тока с помощью тангенс-гальванометра прибор устанавливается таким образом, чтобы плоскость его катушек была параллельна магнитному меридиану, и снимается нулевое показание шкалы. После этого через катушки пропускается ток и наблюдается отклонение магнита, соответствующее его новому положению равновесия. Обозначим его через φ.

Тогда, если 𝐻 есть горизонтальная магнитная сила, 𝐺 – коэффициент гальванометра, а γ – сила тока, то

𝐻

𝐺

tg φ

(1)

Если коэффициент кручения нити подвеса равен τ𝑀𝐻 (см. п. 452). то мы должны пользоваться уточнённой формулой

𝐻

𝐺

(tg φ + τφsec φ)

(2)

Наилучшее значение величины отклонения

743. В некоторых гальванометрах можно по желанию менять число витков в катушке, по которым протекает ток. В других гальванометрах заданную часть тока можно отвести от гальванометра с помощью проводника, называемого шунтом. В любом из этих случаев меняется величина 𝐺, представляющая собой действие единичного тока на магнит.

Определим значение 𝐺, для которого заданная ошибка наблюдаемого отклонения соответствует наименьшей ошибке вычисленного значения силы тока.

Дифференцируя уравнение (1), находим

𝑑γ

𝑑φ

𝐻

𝐺

sec²φ

(3)

Исключая 𝐺,

𝑑φ

𝑑γ

2γ

sin 2φ

(4)

Это выражение имеет максимум при заданном значении γ, когда отклонение равно 45°. Поэтому величину 𝐺 следовало бы регулировать до тех пор, пока произведение 𝐺γ не станет как можно более близким к 𝐻, т.е. для сильных токов лучше не пользоваться слишком чувствительным гальванометром.

О наилучшем способе подключения тока

744. Если наблюдатель может в любой момент времени замыкать и размыкать цепь при помощи ключа, то целесообразно работать ключом таким образом, чтобы магнит подходил к положению равновесия с наименьшей возможной скоростью. Для этой цели Гаусс рекомендовал следующий метод.

Предположим, что магнит находится в положении равновесия и ток отсутствует. Наблюдатель замыкает цепь на короткий промежуток времени, так что магнит приходит в движение в направлении нового положения равновесия. Затем наблюдатель прерывает контакт. Теперь сила направлена к первоначальному положению равновесия, и движение становится замедленным. Если сделать так, что магнит остановится точно в новом положении равновесия, и в этот момент замкнуть цепь, сохраняя контакт и далее, то магнит будет оставаться в покое в новом положении равновесия.

Пренебрежём влиянием сопротивления, а также различием между значениями полной силы в старом и новом положениях. Поскольку мы хотим, чтобы новая сила за время своего первого воздействия создала ровно столько кинетической энергии, сколько уничтожается первоначальной силой, когда контур разомкнут, то мы должны продолжать первое действие тока до тех пор, пока магнит не пройдёт половину пути от первого положения равновесия до второго. Тогда, если на второй половине пути на магнит действует первоначальная сила, она в точности остановит его. Время, необходимое для прохождения от точки максимального отклонения до точки, находящейся на полпути к положению равновесия, составляет одну треть времени прохождения от состояния покоя до состояния покоя.

Поэтому оператор, предварительно установив время одного колебания от состояния покоя до состояния покоя, замыкает контакт на одну треть этого интервала времени, потом размыкает его снова на треть того же интервала и затем снова замыкает цепь уже до конца всего опыта. Магнит после этого либо будет находиться в состоянии покоя, либо будет совершать настолько малые колебания, что можно сразу же проводить наблюдения, не дожидаясь прекращения этих движений. Для подобных опытов можно использовать метроном, отрегулировав его таким образом, чтобы за время каждого колебания магнита он отстукивал трижды. Это правило несколько усложняется, когда величина сопротивления оказывается такой, что его следует принимать во внимание; однако в этом случае колебания затухают настолько быстро, что нет необходимости принимать какие-либо поправки к этому правилу.

Когда необходимо возвратить магнит в первоначальное положение, контур размыкается на одну треть времени одного колебания, затем замыкается на то же самое время и затем окончательно размыкается. Это приводит магнит в состояние покоя в его первоначальном положении.

Если необходимо снять показания при обратном включении сразу же после снятия прямых показаний, то контур размыкается на время одного колебания, а затем гальванометр включается в обратном направлении. Это приводит магнит в состояние покоя при обратном направлении тока.

Измерение при первом колебании

745. Когда нет времени сделать более чем одно наблюдение, ток можно измерить по максимальному отклонению при первом колебании магнита. Если сопротивление отсутствует, то постоянное отклонение φ равно половине максимального отклонения. Если же сопротивление таково, что отношение амплитуд соседних колебаний равно ρ, то отклонение φ, соответствующее точке равновесия, есть

θ₀+ρθ₁

1+ρ

где θ₀ – нулевое показание шкалы, а θ₁ – максимальное отклонение при первом колебании.

Таким способом можно вычислить отклонение, не дожидаясь, пока магнит придёт в состояние покоя в новом положении равновесия.

Как выполнить серию наблюдений

Рис. 58

746. Наилучший способ для проведения значительного числа измерений постоянного тока состоит в том, чтобы наблюдать три элонгации при положительном направлении тока, далее разомкнуть контакт примерно на время одного колебания, с тем чтобы магнит перешёл в положение отрицательного отклонения, затем изменить направление тока на противоположное и наблюдать три последовательные элонгации на отрицательной стороне, далее снова прервать контакт на время одного колебания и повторить наблюдения на положительной стороне и так далее, пока не будет произведено достаточное число наблюдений. При этом исключаются ошибки, которые могут возникнуть из-за изменения направления земной магнитной силы в течение времени наблюдения. Оператор, тщательно следя за временем замыкания и размыкания контакта, может легко регулировать размах колебаний, так чтобы сделать их достаточно малыми, но отчётливо различимыми. Движение магнита графически представлено на рис. 58, где абсцисса соответствует времени, а ордината – отклонению магнита. Если θ₁…θ₆ – наблюдаемые алгебраические значения элонгаций, то отклонение магнита определяется уравнением

8φ

θ₁

2θ₂

θ₃

–

θ₄

–

2θ₅

–

θ₆

Метод умножения

747. В некоторых случаях, когда отклонение магнита гальванометра очень мало, может быть целесообразно увеличить визуальный эффект путём изменения направления тока в надлежащие моменты времени, с тем чтобы магнит стал совершать колебательные движения. Для этой цели после установления времени одного колебания магнита в положительном направлении пропускается ток в течение времени 𝑇, а затем в течение равного ему промежутка времени ток пропускается в отрицательном направлении и так далее. Когда движение магнита станет видимым, мы можем менять направление тока в моменты наибольшего отклонения.

Пусть магнит находится в положении крайнего положительного отклонения θ₀ через катушку пропускается ток в отрицательном направлении. Тогда точкой равновесия будет φ, а максимальное отрицательное отклонение магнита θ₁ будет таким, что

-ρ(φ+θ₁)

(θ₀+φ)

или

-ρθ₁

θ₀

(ρ+1)φ

Аналогично, если теперь ток сделать положительным на то время, пока магнит поворачивается в положение θ₂:

ρθ₂

θ₁

(ρ+1)φ

или

ρ²θ₂

θ₀

(ρ+1)²φ

и если направление тока меняется на противоположное последовательно 𝑛 раз, мы находим

(-1)

^𝑛

_𝑛

^-𝑛

θ₀

ρ+1

ρ-1

(1-ρ

^-𝑛

)φ

откуда можно найти φ в виде

(θ

_𝑛

–ρ

^-𝑛

θ₀)

ρ-1

ρ+1

1-ρ

_-𝑛

Если число 𝑛 столь велико, что величиной ρ^-𝑛 можно пренебречь, то это выражение принимает вид

ρ-1

ρ+1

Для применения этого метода при точных измерениях необходимо точно знать ρ – величину отношения амплитуд двух соседних колебаний, зависящую от сопротивлений, действующих на магнит. Неточности, возникающие из-за того, что трудно избежать неопределённости в значении ρ, обычно перевешивают преимущества больших угловых отклонений. И только когда мы хотим установить существование очень малых токов, создавая с их помощью видимое движение стрелки, этот метод действительно полезен.

Об измерении переходных токов

748. Когда ток длится только в течение небольшой доли времени колебания магнита гальванометра, общее количество электричества, перенесённое током, можно измерить через угловую скорость, сообщённую магниту за время прохождения тока; эту величину можно определить по величине максимального отклонения при первом колебании магнита.

Если мы пренебрежём сопротивлением, которое приводит к затуханию колебаний магнита, исследование становится очень простым.

Пусть γ -сила тока в произвольный момент времени, а 𝑄 – количество электричества, которое он переносит; тогда

𝑄

∫

𝑑𝑡

(1)

Пусть 𝑀 – магнитный момент, 𝐴 – момент инерции магнита вместе с подвешенной аппаратурой, а θ -угол, который образует магнит с плоскостью катушки; тогда

𝐴

𝑑²θ

𝑑𝑡²

𝑀𝐻

sin θ

𝑀𝐺γ

cos θ

(2)

Если время прохождения тока очень мало, мы можем произвести интегрирование по 𝑡 в течение этого короткого промежутка времени, не принимая во внимание изменение θ, и мы найдём

𝐴

𝑑θ

𝑑𝑡

𝑀𝐺

cos θ₀

∫

𝑑𝑡

𝐶

𝑀𝐺𝑄

cos θ₀

𝐶

(3)

Отсюда видно, что прохождение заряда 𝑄 создаёт момент количества движения магнита, равный 𝑀𝐺𝑄 cos θ₀, где θ₀ есть значение θ в момент прохождения тока. Если первоначально магнит находился в положении равновесия, мы можем положить θ₀=0, 𝐶=0.

Далее магнит свободно поворачивается и достигает отклонения θ₁. Если сопротивление отсутствует, работа, совершаемая против магнитной силы за время этого перемещения, равна 𝑀𝐻(1-cos θ₁).

Энергия, сообщённая магниту током, равна

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑θ

𝑑𝑡

⎞²

⎟

⎠

Приравнивая эти величины, мы находим

⎛

⎜

⎝

𝑑θ

𝑑𝑡

⎞²

⎟

⎠

𝑀𝐻

𝐴

(1-cos θ₁)

(4)

откуда

𝑑θ

𝑑𝑡

⎛

⎜

⎝

𝑀𝐻

𝐴

⎞½

⎟

⎠

sin ½θ₁

𝑀𝐺

𝐴

𝑄

(согласно (3)).

(5)

Но время 𝑇 одного колебания магнита от состояния покоя до состояния покоя равно

𝑇

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑀𝐻

⎞½

⎟

⎠

(6)

и мы находим

𝑄

𝐻

𝐺

𝑇

2sin ½θ₁

(7)

где 𝐻 – горизонтальная магнитная сила, 𝐺 – коэффициент гальванометра, 𝑇 – время одного колебания и θ₁ – величина первого максимального отклонения магнита.

749. Во многих реальных экспериментах углы максимального отклонения невелики, поэтому мы легко можем учесть действие сопротивления, ибо можем рассматривать уравнение движения как линейное уравнение.

Пусть магнит находится в положении равновесия в состоянии покоя, пусть ему мгновенно сообщена угловая скорость 𝑣, и пусть его первая элонгация равна θ₁

Уравнение движения следующее:

𝐶𝑒

^{-ω₁𝑡 tg β}

sin ω₁𝑡

(8)

𝑑ω

𝑑𝑡

𝐶ω₁

sec β

𝑒

^{-ω₁𝑡 tg β}

cos(ω₁𝑡+β)

(9)

Когда

𝑡=0,

θ=0

𝑑θ

𝑑𝑡

𝐶ω₁

𝑣

Когда

ω₁𝑡

⎛

⎝

–β

⎞

⎠

tg β

𝐶𝑒

cos β

θ₁

(10)

Следовательно,

⎛

⎝

–β

⎞

⎠

tg β

θ₁

𝑣

𝑒

cos β

ω₁

(11)

Далее, согласно п. 741,

𝑀𝐻

𝐴

ω²

ω₁²

sec²β

(12)

tg β

ω₁

𝑇₁

(13)

и в соответствии с уравнением (5)

𝑣

𝑀𝐺

𝐴

𝑄

(14)

Следовательно,

arctg

θ₁

𝑄𝐺

⎛

⎜

⎝

π²+λ²

⎞½

⎟

⎠

𝑒

𝐻

𝑇₁

(15)

arctg

𝑄

𝐻

𝑇₁θ₁

𝑒

𝐺

√

π²+λ²

(16)

что даёт выражение для величины первой элонгации через количество электричества в переходном токе и наоборот; здесь 𝑇₁ есть полученное из наблюдений время одного колебания с учётом влияния реального затухания. При малых λ мы можем пользоваться приближённой формулой

𝑄

𝐻

𝐺

𝑇

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

θ₁

(17)

Метод отдачи

750. Изложенный выше метод предполагает, что во время протекания через катушку переходного тока магнит находится в положении равновесия в состоянии покоя. Если мы желаем повторить опыт, мы должны ждать, пока магнит снова не окажется в состоянии покоя. В некоторых случаях, однако, когда мы можем создавать переходные токи равной интенсивности и можем делать это в любой момент времени по своему усмотрению, наиболее удобным для осуществления непрерывной серии измерений является следующий метод, описанный Вебером ³.

³ Gauss and Weber, Resultate des Magnetischen Vereins, 1838, p. 98.

Предположим, что мы привели магнит в состояние колебательного движения при помощи переходного тока, величина которого характеризуется значением 𝑄₀. Если для краткости мы запишем

arctg

𝐺

√

π²+λ²

𝑒

𝐾

𝐻

𝑇₁

(18)

то первая элонгация

θ₁

𝐾𝑄₀

𝑎₁

(19)

Мгновенно сообщённая вначале магниту скорость равна:

𝑣₀

𝑀𝐺

𝐴

𝑄₀

(20)

Когда магнит, возвращаясь, проходит через точку равновесия в отрицательном направлении, его скорость равна:

𝑣₁

𝑣₀

𝑒

^-λ

(21)

Следующая отрицательная элонгация будет

θ₂

θ₁

𝑒

^-λ

𝑏₁

(22)

Когда магнит снова вернётся в точку равновесия, его скорость будет равна

𝑣₂

𝑣₀

𝑒

^-2λ

(23)

Пусть теперь в тот момент времени, когда магнит находится в нулевой точке, через катушку пропущен мгновенный ток, полный заряд в котором равен -𝑄. Это изменит скорость магнита 𝑣₂ до величины 𝑣₂-𝑣, где

𝑣

𝑀𝐺

𝐴

𝑄

(24)

Если 𝑄 больше, чем 𝑄₀𝑒^-2λ, то новая скорость будет отрицательной и равной

𝑀𝐺

𝐴

(𝑄-𝑄₀𝑒

^-2λ

)

Магнит, таким образом, станет двигаться в противоположном направлении, и следующая элонгация будет отрицательной:

θ₃

–𝐾

(𝑄-𝑄₀𝑒

^-2λ

)

𝑐₁

–𝐾𝑄

θ₁

𝑒

^-2λ

(25)

После этого магниту предоставляется возможность достигнуть положительной элонгации

θ₄

θ₃

𝑒

^-λ

𝑑₁

𝑒

^-λ

(𝐾𝑄-𝑎₁𝑒

^-2λ

)

(26)

а когда он вновь придёт в точку равновесия, пропускается положительный ток с общим зарядом 𝑄. Это отбрасывает магнит обратно в положительном направлении до положительной элонгации

θ₅

𝐾𝑄

θ₃

𝑒

^-2λ

(27)

или, называя это первой элонгацией второй серии из четырёх,

𝑎₂

𝐾𝑄

(1-𝑒

^-2λ

)

𝑎₁

𝑒

^-4λ

(28)

Продолжая аналогичным образом, т.е. наблюдая две элонгации + и -, затем посылая отрицательный ток и наблюдая две элонгации – и +, затем снова посылая положительный ток и так далее, мы получаем серию, состоящую из наборов по четыре элонгации, в каждой из которых

𝑑-𝑏

𝑎-𝑐

𝑒

^-λ

(29)

𝐾𝑄

(𝑎-𝑏)𝑒^-2λ+𝑑-𝑐

1+𝑒^-λ

;

(30)

Если проведено 𝑛 таких наблюдений, то логарифмический декремент мы находим из уравнения

∑(𝑑)-∑(𝑏)

∑(𝑎)-∑(𝑐)

𝑒

^-λ

(31)

а 𝑄 – из уравнения

𝐾𝑄

(1+𝑒

^λ

)

(2𝑛-1)

∑

_𝑛

(𝑎-𝑏-𝑐+𝑑)

(1+𝑒

^-2λ

)

–

(𝑎₁-𝑏₁)

(𝑑

_𝑛

–𝑐

_𝑛

)

𝑒

^-2λ

(32)

Движение магнита при использовании метода отдачи графически представлено на рис. 59, где абсцисса представляет время, а ордината – отклонение магнита в этот момент времени, см. п. 760.

Рис. 59

Метод умножения

751. Если пропускать переходный ток каждый раз, когда магнит проходит через нулевую точку, причём всегда так, чтобы увеличивать скорость магнита, то для последовательных элонгаций будем иметь

θ₂

𝐾𝑄

–

𝑒

^-λ

θ₁

(33)

θ₃

𝐾𝑄

–

𝑒

^-λ

θ₂

(34)

Предельное значение, к которому стремится элонгация после большого числа колебаний, получается, если положить θ_𝑛=-θ_𝑛-1; откуда мы находим

=±

1-𝑒^-λ

𝐾𝑄

(35)

Если величина λ мала, то значение предельной элонгации может быть большим, а поскольку такой опыт продолжается долго и предполагает точное определение λ (малые ошибки в λ вносят большую ошибку при определении 𝑄), то этот метод редко используется для количественных измерений, его следует использовать для получения данных о наличии или отсутствии токов, слишком слабых для того, чтобы их можно было обнаружить непосредственно.

Во всех опытах, в которых переходные токи воздействуют на движущийся магнит гальванометра, существенно, чтобы весь ток успел пройти за то время, пока расстояние от магнита до нулевой точки составляет малую долю полной элонгации. Период колебаний поэтому должен быть большим по сравнению с временем, необходимым для создания тока, а оператор должен постоянно следить за движением магнита, так чтобы регулировать момент прохождения тока в соответствии с моментом прохождения магнита через точку равновесия.

Чтобы оценить ошибку, вносимую в связи с неспособностью оператора включить ток в необходимый момент времени, заметим, что увеличение элонгации, обусловленное импульсом, меняется как

𝑒

^{φ tg β}

cos(φ+β)

и максимально, когда φ=0, Следовательно, ошибка, возникающая из-за несвоевременности включения тока, всегда будет приводить к недооценке его величины; ошибку можно оценить, сравнив с единицей косинус фазы колебания в момент прохождения тока.

ГЛАВА XVII

СРАВНЕНИЕ КАТУШЕК

Экспериментальное определение электрических постоянных катушки

752. В п. 717 мы поняли, что радиус катушки чувствительного гальванометра должен быть мал, но катушка при этом должна содержать много витков провода. Определение электрических постоянных такой катушки путём прямого измерения её формы и размеров было бы чрезвычайно затруднительно даже при наличии доступа к каждому витку провода для его измерения. Фактически же не только большая часть витков полностью скрыта под внешними витками, но у нас даже нет уверенности в том, что давление внешних витков не изменило формы внутренних после наматывания провода.

Следовательно, электрические постоянные катушки лучше измерять путём прямого электрического сравнения с некоторой эталонной катушкой, постоянные которой известны.

Поскольку размеры эталонной катушки должны определяться из реальных измерений, она должна иметь большие размеры, с тем чтобы неизбежные ошибки измерения её диаметра и периметра окружности оказались бы по возможности малыми по сравнению с измеряемыми величинами. Каркас, внутри которого наматывается катушка, должен иметь прямоугольное сечение, а размеры сечения должны быть малы по сравнению с радиусом катушки. Это необходимо не столько для уменьшения поправок, связанных с конечным размером сечения, сколько для того, чтобы устранить всякую неопределённость относительно расположения тех витков катушки, которые скрыты под внешними витками ¹.

¹ Большие тангенс-гальванометры иногда делают с одним круговым проводящим кольцом значительной толщины, обладающим достаточной жёсткостью, чтобы сохранять свою форму без какой-либо опоры. Но для эталонного гальванометра этот вариант нехорош. Распределение тока внутри проводника зависит от относительной проводимости его различных частей. Поэтому любые скрытые разрывы однородности металла могут приводить к тому, что основной поток электричества будет протекать ближе либо к внешнему, либо к внутреннему ободу кругового кольца. При этом истинный путь тока становится неопределённым. Кроме того, при однократном протекании тока по кольцу необходимо принимать особые меры для предотвращения какого-либо действия на подвешенный магнит, обусловленного током на его пути к кольцу и от кольца, ибо в этом случае ток в электродах равен току, циркулирующему по окружности. При построении многих приборов действие этой части тока, по-видимому, совсем упущено из виду.

Наиболее совершенный метод состоит в том, чтобы один из электродов изготавливать в виде металлической трубки, а другой – в виде провода, покрытого изолирующим материалом и помещённого внутрь трубки концентрично ей. При таком устройстве внешнее действие электродов равно нулю (п. 683).

Основные постоянные, которые мы хотим определить, следующие.

(1). Магнитная сила, создаваемая в центре катушки единичным током. В п. 700 эта величина обозначена через 𝐺₁.

(2). Магнитный момент катушки с единичным током. Это величина 𝑔₁.

753.Как определить 𝐺₁. Поскольку катушки работающих гальванометров гораздо меньше эталонной катушки, мы поместим гальванометр внутрь эталонной катушки так, чтобы их центры совпадали, а плоскости обеих катушек были вертикальны и параллельны земной магнитной силе. Таким образом, мы получили разностный гальванометр, одной из катушек которого является эталонная катушка с известным значением 𝐺₁ тогда как для второй катушки значение этой величины 𝐺₁' мы должны определить.

На магнит, подвешенный в центре катушки гальванометра, действуют токи обеих катушек. Если сила тока в эталонной катушке равна γ, а в катушке гальванометра γ', и если эти токи, текущие в противоположных направлениях, производят отклонение магнита δ, то

𝐻

tg δ

𝐺₁'γ'

–

𝐺₁γ

(1)

где 𝐻 – горизонтальная магнитная сила Земли.

Если токи подобраны так, что отклонение отсутствует, мы можем найти 𝐺₁' из уравнения

𝐺₁'

γ'

𝐺₁

(2)

Отношение γ/γ' можно определить несколькими способами. Поскольку значение 𝐺₁ обычно для гальванометра больше, чем для эталонной катушки, мы можем построить контур таким образом, чтобы весь ток вначале протекал через эталонную катушку, а далее разделялся так, чтобы ток γ' протекал через гальванометр и катушки сопротивления с общим сопротивлением 𝑅₁, а оставшийся ток γ-γ' протекал через другой набор катушек сопротивления, общее сопротивление которых равно 𝑅₂.

Тогда в соответствии с п. 276 мы имеем

γ'

𝑅₁

(γ-γ')𝑅₂

(3)

γ'

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

(4)

𝐺₁'

𝑅₁+𝑅₂

𝑅₂

𝐺₁

(5)

При наличии неопределённости в фактическом значении величины сопротивления катушки гальванометра (обусловленной, скажем, неопределённостью её температуры) можно добавить к ней катушку сопротивления, так чтобы сопротивление самого гальванометра составляло малую часть 𝑅₁ и потому вносило бы лишь небольшую неопределённость в окончательный результат.

754.Для определения 𝑔₁ – магнитного момента малой катушки, обусловленного протекающим по ней единичным током,– магнит по-прежнему остаётся подвешенным в центре эталонной катушки, а малая катушка перемещается параллельно самой себе вдоль общей оси обеих катушек до тех пор, пока один и тот же ток, текущий по катушкам в противоположных направлениях, перестанет отклонять магнит. Если расстояние между центрами катушек равно 𝑟, мы имеем

𝐺₁

𝑔₁

𝑟³

𝑔₂

𝑟⁴

𝑔₃

𝑟⁵

+…

(6)

Повторяем опыт, поместив малую катушку по другую сторону от эталонной катушки; измеряя расстояние между положениями малой катушки, мы исключаем неизвестную ошибку в определении центров магнита и малой катушки и избавляемся от членов 𝑔₂, 𝑔₄, ….

Если эталонная катушка устроена так, что можно пропустить ток через половину её витков, задавая тем самым другое значение 𝐺₁, мы можем определить новое значение 𝑟 и, таким образом (как и в п. 454), исключить член, содержащий 𝑔₃.

Часто, однако, оказывается возможным определить 𝑔₃ путём непосредственных, достаточно точных измерений малой катушки, что позволяет вычислить величину поправки к 𝑔₁ в соответствии с уравнением

𝑔₁

𝐺₁𝑟³

–2

𝑔₃

𝑟²

(7)

где, согласно п. 700,

𝑔₁

π𝑎²

(6𝑎²+3ξ²-2η²)

Сравнение коэффициентов индукции

755. Существует лишь небольшое число случаев, когда легко выполнить непосредственное вычисление коэффициентов индукции, исходя из формы и положения контуров. Для достижения достаточной степени точности необходимо, чтобы расстояние между контурами допускало точное измерение. Но когда расстояние между контурами достаточно велико, для того чтобы ошибки измерений не приводили к большим ошибкам в результате, сама величина коэффициента индукции должна сильно уменьшиться. Однако во многих экспериментах требуется сделать коэффициент индукции большим, а это можно осуществить, только тесно сблизив контура. В этом случае метод прямых измерений неприменим, и для определения коэффициента индукции необходимо сравнение его с коэффициентом индукции пары катушек, сконструированных так, что их коэффициент индукции может быть получен путём прямых измерений и расчётов.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."