Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

сообщить о нарушении

Текущая страница: 17 (всего у книги 34 страниц)

⎠

𝔈

,

(I)

или для случая постоянных 𝐶 и 𝐾

𝑢

=

𝐶𝑃

+

1

4π

𝐾

𝑑𝑃

𝑑𝑡

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝑣

=

𝐶𝑄

+

1

4π

𝐾

𝑑𝑄

𝑑𝑡

,

𝑤

=

𝐶𝑅

+

1

4π

𝐾

𝑑𝑅

𝑑𝑡

,

(I*)

612. Объёмная плотность свободного электричества в любой точке находится через составляющие электрического смещения из уравнения

ρ

=

𝑑𝑓

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑ℎ

𝑑𝑧

.

(J)

613. Поверхностная плотность электричества равна

σ

=

𝑙𝑓

+

𝑚𝑔

+

𝑛ℎ

+

𝑙'𝑓'

+

𝑚'𝑔'

+

𝑛'ℎ'

,

(K)

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали, проведённой от поверхности в среду, где составляющие смещения равны 𝑓, 𝑔, ℎ, а 𝑙', 𝑚', 𝑛' – направляющие косинусы нормали, проведённой от поверхности в среду, где эти составляющие равны 𝑓', 𝑔', ℎ'.

614. Когда вся намагниченность среды индуцирована действующей на неё магнитной силой, мы можем написать уравнение индуцированной намагниченности в виде

𝔅

=

μℌ

,

(L)

где μ есть коэффициент магнитной проницаемости, который можно рассматривать либо как скалярную величину, либо как линейную векторную функцию, действующую на ℌ, в соответствии с тем, изотропна среда или нет.

615. Для рассматриваемых нами величин эти соотношения можно считать основополагающими. Их можно было бы скомбинировать так, чтобы исключить некоторые из величин. Однако сейчас наша задача состоит не в получении компактных математических формул, а в написании выражения для каждого соотношения, о котором мы что-либо знаем. На этой стадии исследования исключение любой величины, отражающей полезную идею, было бы скорее потерей, чем выигрышем.

Есть, однако, один очень важный результат, который мы можем получить, комбинируя уравнения (А) и (Е).

Если предположить, что в поле не существует никаких магнитов, кроме электрических контуров, то исчезнет различие между магнитной силой и магнитной индукцией, которое мы сохраняли до сих пор, потому что только в намагниченном веществе эти величины отличаются одна от другой.

Согласно гипотезе Ампера, которая будет пояснена в п. 833, свойства того, что мы называем намагниченным веществом, обусловлены молекулярными электрическими контурами, так что наша теория намагничивания применима только тогда, когда мы рассматриваем вещество в больших массах; если же считать, что наши математические методы могут учитывать также и явления, происходящие в пределах отдельных молекул, то они не откроют нам там ничего, кроме электрических контуров, и мы найдём, что магнитная сила и магнитная индукция повсюду совпадают. Однако для того, чтобы иметь возможность по своему желанию использовать либо электрическую, либо электромагнитную систему измерений, мы сохраним коэффициент μ, помня, что его значение равно единице в электромагнитной системе.

616. Составляющие магнитной индукции, согласно уравнениям (А) п. 591, равны

𝑎

=

𝑑𝐻

𝑑𝑦

–

𝑑𝐺

𝑑𝑧

,

𝑏

=

𝑑𝐹

𝑑𝑧

–

𝑑𝐻

𝑑𝑥

,

𝑐

=

𝑑𝐺

𝑑𝑥

–

𝑑𝐹

𝑑𝑦

.

Составляющие электрического тока, согласно уравнениям (Е) п. 607, равны

4π𝑢

=

𝑑γ

𝑑𝑦

–

𝑑β

𝑑𝑧

,

4π𝑣

=

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑γ

𝑑𝑥

,

4π𝑤

=

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑α

𝑑𝑦

.

Согласно нашей гипотезе, составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 равны соответственно μα, μβ и μγ. Поэтому мы получаем (при постоянном μ)

4πμ𝑢

–

𝑑²𝐺

𝑑𝑥𝑑𝑦

–

𝑑²𝐹

𝑑𝑦

–

𝑑²𝐹

𝑑𝑧

+

𝑑²𝐻

𝑑𝑥𝑑𝑦

.

(1)

Если записать

𝐽

=

𝑑𝐹

𝑑𝑥

+

𝑑𝐺

𝑑𝑦

+

𝑑𝐻

𝑑𝑧

,

(2)

и¹

∇²

=

–

⎛

⎜

⎝

𝑑²

𝑑𝑥²

+

𝑑²

𝑑𝑦²

+

𝑑²

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

,

(3)

¹ Отрицательный знак применяется здесь для того, чтобы сделать наши уравнения согласованными с уравнениями, в которых используются Кватернионы.

то мы можем написать уравнение (1):

4πμ𝑢

=

𝑑𝐽

𝑑𝑥

+

∇²𝐹

.

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

Аналогично

4πμ𝑣

=

𝑑𝐽

𝑑𝑦

+

∇²𝐺

,

4πμ𝑤

=

𝑑𝐽

𝑑𝑧

+

∇²𝐻

.

(4)

Обозначим

𝐹'

=

μ

∭

𝑢

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝐺'

=

μ

∭

𝑣

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

𝐻'

=

μ

∭

𝑤

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(5)

ϰ

=

1

4π

∭

𝐽

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(6)

где 𝑟 – расстояние до данной точки от элемента (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на всё пространство; тогда

𝐹

=

𝐹'

–

𝑑ϰ

𝑑𝑥

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

𝐺

=

𝐺'

–

𝑑ϰ

𝑑𝑦

,

𝐻

=

𝐻'

–

𝑑ϰ

𝑑𝑧

,

(7)

Величина ϰ исчезает из уравнений (А) и не имеет отношения ни к какому физическому явлению. Если предположить, что она всюду равна нулю, то величина 𝐽 также будет везде равна нулю. Тогда уравнения (5) (с опущенными штрихами) дадут правильные значения составляющих 𝔄.

617. Поэтому мы можем принять в качестве определения 𝔄, что это есть вектор-потенциал электрического тока, так же связанный с электрическим током, как скалярный потенциал связан с материей, потенциалом которой он является, и что этот потенциал находится с помощью аналогичной процедуры интегрирования, которую можно описать так.

Пусть из данной точки проведён вектор, по величине и направлению представляющий заданный элемент тока, делённый на численное значение расстояния до этого элемента от данной точки. Пусть это проделано для каждого элемента электрического тока. Результирующая всех полученных таким образом векторов является потенциалом всего тока. Поскольку ток – величина векторная, его потенциал также является вектором, см. п. 422.

Когда задано распределение электрических токов, то существует одно и только одно распределение величины 𝔄, такое, при котором 𝔄 всюду конечно, непрерывно, удовлетворяет уравнениям

∇²𝔄

=

4πμℭ

,

𝑆.∇𝔄

=

0

и исчезает на бесконечном расстоянии от электрической системы. Это та самая величина, которая даётся уравнениями (5), допускающими запись в кватернионной форме:

𝔄

=

μ

∭

ℭ

𝑟

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Кватернионные выражения для электромагнитных уравнений

618. Мы старались избегать в этом трактате каких-либо операций, требующих от читателя знания кватернионного исчисления. В то же время там, где это было необходимо, мы, не колеблясь, вводили понятие вектора, и когда у нас возникала возможность обозначить вектор каким-либо одним символом, мы прибегали к готическим буквам. Число различных векторов получилось столь большим, что символы, излюбленные Гамильтоном, оказались бы сразу же исчерпанными. Поэтому любая готическая буква, где бы она ни использовалась, означает гамильтоновский вектор и указывает не только на его величину, но и на его направление.

Составляющие же вектора обозначаются латинскими или греческими буквами.

Основными векторами, которые мы должны рассмотреть, являются:

Символ

вектора

Составляющие

Радиус-вектор точки

ρ

𝑥

𝑦

𝑧

Электромагнитный

импульс в точке

𝔄

𝐹

𝐺

𝐻

Магнитная индукция

𝔅

𝑎

𝑏

𝑐

(Полный)

электрический ток

ℭ

𝑢

𝑣

𝑤

Электрическое смещение

𝔇

𝑓

𝑔

ℎ

Электродвижущая

напряжённость

𝔈

𝑃

𝑄

𝑅

Механическая сила

𝔉

𝑋

𝑌

𝑍

Скорость точки

𝔊

или

ρ̇

𝑥̇

𝑦̇

𝑧̇

Магнитная сила

ℌ

α

β

γ

Интенсивность

намагниченности

𝔍

𝐴

𝐵

𝐶

Ток проводимости

𝔎

𝑝

𝑞

𝑟

Мы имеем также следующие скалярные функции:

Электрический потенциал

Ψ

Магнитный потенциал

(там, где он существует)

Ω

Электрическая плотность

𝖊

Плотность магнитной «материи»

𝖒

Кроме этих, мы имеем ещё следующие величины, указывающие на физические свойства среды в каждой точке:

𝐶

–

проводимость для электрических токов,

𝐾

–

диэлектрическая индуктивная способность,

μ

–

магнитная индуктивная способность.

Эти величины в изотропных средах являются просто скалярными функциями ρ, но в общем случае они представляют собой линейные векторные операторы, действующие на векторные функции, к которым они применяются. Операторы 𝐾 и μ являются, несомненно, всегда самосопряжёнными, вероятно, и 𝐶 тоже.

619. Уравнения (А) для магнитной индукции, первое из которых

𝑎

=

𝑑𝐻

𝑑𝑦

–

𝑑𝐺

𝑑𝑧

,

можно теперь записать в виде

𝔅

=

𝑉.∇𝔄

.

где ∇ есть оператор

𝑖

𝑑

𝑑𝑥

+

𝑗

𝑑

𝑑𝑦

+

𝑘

𝑑

𝑑𝑧

,

а 𝑉 указывают на то, что следует брать только векторную часть результата этой операции.

Так как 𝔄 подчиняется условию 𝑆.∇𝔄=0, то ∇𝔄 есть чистый вектор, и символ 𝑉 не нужен.

Уравнения (В) для электродвижущей напряжённости, первое из которых

𝑃

=

𝑐𝑦̇

–

𝑏𝑧̇

–

𝑑𝐹

𝑑𝑡

–

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

принимают вид

𝔈

=

𝑉.𝔊𝔅

–

𝔄̇

–

∇Ψ

.

Уравнения (С) для механической силы, первое из которых

𝑋

=

𝑐𝑣

–

𝑏𝑤

+

𝑒𝑃

–

𝑚

𝑑Ω

𝑑𝑥

,

принимают вид

𝔉

=

𝑉ℭ𝔅

+

𝑒𝔈

–

𝑚∇

Ω

.

Уравнения (D) для намагничивания, первое из которых есть 𝑎=α+4π𝐴, принимают вид

𝔅

=

ℌ

+

4π𝔍

.

Уравнения (Е) для электрических токов, первое из которых

4π𝑢

=

𝑑γ

𝑑𝑦

–

𝑑β

𝑑𝑧

,

принимают вид

4πℭ

=

𝑉.∇ℌ

.

Уравнение для тока проводимости, по закону Ома, есть

𝔎

=

𝐶𝔈

.

Уравнение для электрического смещения

𝔇

=

1

4π

𝐾𝔈

.

Уравнение для полного тока, возникающего из-за изменения электрического смещения и из-за наличия тока проводимости, следующее:

ℭ

=

𝔎+𝔇̇.

Когда намагниченность возникает из-за магнитной индукции, то

𝔅

=

μℌ.

Мы должны также определить электрическую объёмную плотность

𝔢

=

𝑆.∇𝔇

и магнитную объёмную плотность

𝔪

=

𝑆.∇𝔍

.

Когда магнитная сила может быть вычислена через потенциал, то

ℌ

=

–∇

Ω

.

ГЛАВА X

РАЗМЕРНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ

620. Любая электромагнитная величина может быть определена относительно фундаментальных единиц Длины, Массы и Времени. Если мы будем исходить из определения единицы электричества, данного в п. 65, мы можем получить определения единиц любых других электромагнитных величин, пользуясь уравнениями, куда входят и эти величины, и величины, представляющие количество электричества. Система единиц, полученная таким образом, называется Электростатической Системой.

С другой стороны, если мы будем исходить из определения единицы магнитного полюса, данного в п. 374, то для того же самого набора величин мы получим иную систему единиц, которая не совпадает с предыдущей и называется Электромагнитной Системой.

Начнём с установления общих для обеих систем связей между различными единицами, а затем уже построим таблицу размерностей единиц, соответствующих каждой системе.

621. Подлежащие рассмотрению первичные простейшие величины объединим попарно. В первых трёх парах произведение двух величин в каждой из пар является величиной энергии или работы. У следующих трёх пар произведение каждой пары является величиной энергии, отнесённой к единице объёма.

ПЕРВЫЕ ТРИ ПАРЫ

Электростатическая пара

Обозначение

(1).

Количество электричества

𝑒

(2).

Электродвижущая сила или электрический потенциал

𝐸

Магнитная пара

(3).

Количество свободного магнетизма или мощность полюса

𝑚

(4).

Магнитный потенциал

Ω

Электрокинетическая пара

(5).

Электрокинетический импульс контура

𝑝

(6).

Электрический ток

𝐶

ВТОРЫЕ ТРИ ПАРЫ

Электростатическая пара

(7).

Электрическое смещение (измеренное через поверхностную плотность)

𝔇

(8).

Электродвижущая напряжённость

𝔈

Магнитная пара

(9).

Магнитная индукция

𝔅

(10).

Магнитная сила

ℌ

Электрокинетическая пара

(11).

Плотность электрического тока в точке

ℭ

(12).

Вектор-потенциал электрических токов

𝔄

622. Между этими величинами существуют: следующие соотношения. Прежде всего, поскольку размерность энергии равна [𝐿²𝑀/𝑇²], а размерность энергии, отнесённой к единице объёма, [𝑀/𝐿𝑇²], мы имеем следующие уравнения для размерностей:

[𝑒𝐸]

=

[𝑚

Ω

]

=

[𝑝𝐶]

=

⎡

⎢

⎣

𝐿²𝑀

𝑇²

⎤

⎥

⎦

,

(1)

[𝔇𝔈]

=

[𝔅ℌ]

=

[ℭ𝔄]

=

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝐿𝑇²

⎤

⎥

⎦

.

(2)

Во-вторых, поскольку 𝑒, 𝑝, 𝔄 являются интегралами по времени от 𝐶, 𝐸 и 𝔈 соответственно, то

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝐶

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑝

𝐸

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝔄

𝔈

⎤

⎥

⎦

=

[𝑇]

(3)

В-третьих, поскольку 𝐸, Ω и 𝑝, являются линейными интегралами от 𝔈, ℌ и 𝔄 соответственно, то

⎡

⎢

⎣

𝐸

𝔈

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

Ω

ℌ

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑝

𝔄

⎤

⎥

⎦

=

[𝐿]

.

(4)

Наконец, поскольку 𝑒, 𝐶 и 𝑚 являются поверхностными интегралами от 𝔇, ℭ и 𝔅 соответственно, то

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝔇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝐶

ℭ

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝔅

⎤

⎥

⎦

=

[𝐿²]

.

(5)

623. Эти пятнадцать уравнений не являются независимыми, и, для того чтобы получить размерности двенадцати входящих в них единиц, нам требуется ещё одно дополнительное уравнение. Если, однако, мы возьмём либо 𝑒, либо 𝑚 в качестве независимой единицы, можем выразить через них размерности остальных единиц:

(1).

[𝑒]

=

[𝑒]

=

⎡

⎢

⎣

𝐿²𝑀

𝑚𝑇

⎤

⎥

⎦

.

(2).

[𝐸]

=

⎡

⎢

⎣

𝐿²𝑀

𝑒𝑇²

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝑇

⎤

⎥

⎦

.

(3).

и

(5).

[𝑝]

=

[𝑚]

=

⎡

⎢

⎣

𝐿²𝑀

𝑒𝑇

⎤

⎥

⎦

=

[𝑚].

(4).

и

(6).

[𝐶]

=

[

Ω

]

=

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝐿²𝑀

𝑚𝑇²

⎤

⎥

⎦

.

(7).

[𝔇]

=

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝐿²

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝐿

𝑚𝑇

⎤

⎥

⎦

.

(8).

[𝔈]

=

⎡

⎢

⎣

𝐿𝑀

𝑒𝑇²

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝐿𝑇

⎤

⎥

⎦

.

(9).

[𝔅]

=

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝑒𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝐿²

⎤

⎥

⎦

.

(10).

[ℌ]

=

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝐿𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝐿𝑀

𝑚𝑇²

⎤

⎥

⎦

.

(11).

[ℭ]

=

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝐿²𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝑚𝑇²

⎤

⎥

⎦

.

(12).

[𝔄]

=

⎡

⎢

⎣

𝐿𝑀

𝑒𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝐿

⎤

⎥

⎦

.

624. Зависимости первых десяти из этих величин можно показать, расположив их следующим образом:

𝑒,

𝔇,

ℌ,

𝐶

и

Ω

.

⎪

⎪

⎪

𝐸,

𝔈,

𝔅,

𝑚

и

𝑝.

𝑚

и

𝑝,

𝔅,

𝔈,

𝐸.

𝐶

и

Ω

,

ℌ,

𝔇,

𝑒.

Величины, входящие в первую строку, получаются из 𝑒, а соответствующие им величины второй строки – из 𝑚 с помощью одних и тех же операций. Нетрудно углядеть, что порядок расположения величин в первой строке в точности обратен порядку расположения величин во второй строке. Размерности первых четырёх величин каждой строки содержат символ первой величины, стоящей в данной строке, в числителе, а размерности последующих четырёх величин содержат этот символ в знаменателе.

Все приведённые выше соотношения справедливы независимо от того, какую систему единиц мы примем.

625. Единственными системами, представляющими ценность для науки, являются электростатическая и электромагнитная системы. Электростатическая система основана на определении единицы электричества, данной в п. 41, 42; она может быть выведена из уравнения 𝔈=𝑒/𝐿², которое означает, что в произвольной точке результирующая электрическая сила 𝔈, обусловленная действием количества электричества 𝑒 на расстоянии 𝐿, находится делением 𝑒 на 𝐿² Подставляя уравнения размерности (1) и (8), мы находим

⎡

⎢

⎣

𝐿𝑀

𝑒𝑇²

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝐿²

⎤

⎥

⎦

,

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝐿𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝑚𝑇

⎤

⎥

⎦

,

откуда в электростатической системе

[𝑒]

=

[𝐿

^3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

]

,

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

]

.

Электромагнитная система основана на строгой аналогии в определении единицы мощности магнитного полюса, данном в п. 374, которое приводит к уравнению ℌ=𝑚/𝐿², откуда

⎡

⎢

⎣

𝑒

𝐿𝑇

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝑒𝑇

⎤

⎥

⎦

,

⎡

⎢

⎣

𝐿𝑀

𝑚𝑇²

⎤

⎥

⎦

=

⎡

⎢

⎣

𝑚

𝐿²

⎤

⎥

⎦

,

т.е. в электромагнитной системе

𝑒

=

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

]

,

𝑚

[𝐿

^3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

]

.

Из этих результатов находятся размерности других величин.

626.

Таблица размерностей

Размерность в

Обозна

чение

электро

статической

системе

электро

магнитной

системе

Количество

электричества

𝑒

[𝐿

^3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

]

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

].

Криволинейный

интеграл от

электрической

силы

𝐸

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

]

[𝐿

^3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-2

].

Количество

магнетизма

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝑚

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

]

[𝐿

^3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

].

Электро

кинетический

импульс тока

𝑝

Электрический

ток

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

𝐶

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

[𝐿

^3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-2

]

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

].

Магнитный

потенциал

Ω

Электрическое

смещение

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝔇

[𝐿

^-1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

]

[𝐿

^-3/2

𝑀

^1/2

].

Поверхностная

плотность

Электродвижущая

напряжённость

𝔈

[𝐿

^-1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

]

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-2

].

Магнитная

индукция

𝔅

[𝐿

^-3/2

𝑀

^1/2

]

[𝐿

^-1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

].

Магнитная сила

ℌ

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-2

]

[𝐿

^-1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

].

Плотность тока

ℭ

[𝐿

^-1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-2

]

[𝐿

^-3/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

].

Вектор-потенциал

𝔄

[𝐿

^-1/2

𝑀

^1/2

]

[𝐿

^1/2

𝑀

^1/2

𝑇

^-1

].

627. Мы уже рассмотрели произведения пар этих величин в том порядке, в каком они стоят. В некоторых случаях представляют научный интерес их отношения. Так:

Обозна

чение

Электро

магнитная

система

Электро

статическая

система

𝑒

𝐸

=

ёмкость накопителя

𝑞

[𝐿]

⎡

⎢

⎣

𝑇²

𝐿

⎤

⎥

⎦

.

𝑃

𝐶

=

коэффициент

самоиндукции

тока, или

электромагнитная

способность

𝐿

⎡

⎢

⎣

𝑇²

𝐿

⎤

⎥

⎦

[𝐿].

𝔇

𝔈

=

удельная

индуктивная

способность

диэлектрика

𝐾

[0]

⎡

⎢

⎣

𝑇²

𝐿²

⎤

⎥

⎦

.

𝔅

ℌ

=

магнитная

индуктивная

способность

μ

⎡

⎢

⎣

𝑇²

𝐿²

⎤

⎥

⎦

.

[0].

𝐸

𝐶

=

сопротивление

проводника

𝑅

⎡

⎢

⎣

𝑇

𝐿

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

𝐿

𝑇

⎤

⎥

⎦

.

𝔈

ℭ

=

удельное

сопротивление

вещества

𝑟

𝑇

⎡

⎢

⎣

𝐿²

𝑇

⎤

⎥

⎦

.

628. Если единицы длины, массы и времени одни и те же в двух системах, то число электростатических единиц электричества, содержащихся в одной электромагнитной единице, численно равно некоторой скорости, абсолютное значение которой не зависит от величины используемых фундаментальных единиц. Эта скорость является важной физической величиной, которую мы обозначим символом 𝑣.

Число электростатических единиц в одной электромагнитной единице

Для 𝑒, 𝐶, Ω, 𝔇, ℌ, ℭ, …𝑣.

Для 𝑚, 𝑝, 𝐸, 𝔅, ℭ, 𝔄, …1/𝑣.

Для электростатической способности,диэлектрической индуктивной способности и проводимости – 𝑣².

Для электромагнитной способности, магнитной индуктивной способности и сопротивления – 1/𝑣².

Некоторые методы определения 𝑣 будут даны в п. 768-780.

В электростатической системе удельная диэлектрическая индуктивная способность воздуха предполагается равной единице. Следовательно, в электромагнитной системе эта величина равна 1/𝑣².

В электромагнитной системе удельная магнитная индуктивная способность воздуха предполагается равной единице. Следовательно, в электростатической системе эта величина равна 1/𝑣².

Практическая система электрических единиц

629. Инженеры-электрики, практически занимающиеся электромагнитной телеграфией, из этих двух систем единиц больше используют электромагнитную. Если, однако, взять единицы длины, времени и массы, обычно употребляемые в других отраслях науки, такие, как метр или сантиметр, секунда и грамм, то единицы сопротивления и электродвижущей силы будут настолько малы, что для выражения величин, встречающихся в практике, придётся использовать огромные числа, а единицы, выражающие количества электричества и ёмкости, будут так велики, что только их чрезвычайно малые доли могут когда-либо встретиться в практике. Поэтому инженеры-электрики приняли набор электрических единиц, выведенных с помощью электромагнитной системы из большой единицы длины и малой единицы массы.

Единица длины, использованная для этой цели, равна десяти миллионам метров, или примерно длине четверти земного меридиана.

Единица времени равна, как и прежде, одной секунде.

Единица массы равна 10^-11 грамма, или одной стомиллионной части миллиграмма.

Электрические единицы, полученные из этих фундаментальных единиц, названы в честь выдающихся первооткрывателей в области электричества. Так, практическая единица сопротивления называется Ом; она представлена катушкой сопротивления, сделанной Британской Ассоциацией и описанной в п. 340. В электромагнитной системе она выражается скоростью 10 000 000 метров в секунду.

Практическая единица электродвижущей силы называется Вольт; она мало отличается от электродвижущей силы ячейки Даниэля. М-р Лэтимер Кларк (Latimer Clark) изобрёл недавно очень стабильную ячейку, электродвижущая сила которой почти точно равна 1,454 Вольт.

Практическая единица ёмкости называется Фарада. Количество электричества, протекающее через сопротивление один Ом под действием электродвижущей силы в один Вольт за одну секунду, равно заряду, создаваемому в конденсаторе ёмкостью одна Фарада электродвижущей силой один Вольт.

Таблица

Фундамен

тальные

единицы

Практическая

система

Доклад Б. А.

1863

Томсон

Вебер

Длина

четверть

земного

меридиана

метр

сантиметр

миллиметр

Время

секунда

секунда

секунда

секунда

Масса

10

^-11

секунда

грамм

грамм

миллиграмм

Сопротив

ление

Ом

10

⁷

10

⁹

10

¹⁰

Электро

движущая

сила

Вольт

10

⁵

10

⁸

10

¹¹

Ёмкость

Фарада

10

^-7

10

^-9

10

^-10

Количество

электри

чества

Фарада

(заряженная

до 1 Вольта)

10

^-2

10

^-1

10

Использование этих наименований оказалось более удобным, чем постоянное повторение слов «электромагнитные единицы» вместе с дополнительным указанием тех фундаментальных единиц, на которых они основаны.

Когда необходимо измерить очень большие величины, образуется крупная единица путём умножения первоначальной единицы на миллион и добавления к её наименованию приставки мега.

Аналогичным образом с помощью приставки микро образуется малая единица, составляющая одну миллионную первоначальной единицы.

Значения этих практических единиц в различных системах, которые были приняты в разные времена, даны в таблице.

ГЛАВА XI

ОБ ЭНЕРГИИ И НАПРЯЖЕНИИ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Электростатическая энергия

630. Энергию системы можно разделить на потенциальную и кинетическую. Потенциальная энергия, обусловленная электризацией, уже была рассмотрена в п. 85. Её можно записать так:

𝑊

=

1

2

∑

(𝑒Ψ)

,

(1)

где 𝑒 – заряд электричества в том месте, где электрический потенциал равен Ψ, а суммирование следует распространить на каждую область, где существует электризация.

Если 𝑓, 𝑔, ℎ являются составляющими электрического смещения, то количество электричества в элементе объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 равно

𝑒

=

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑓

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑ℎ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(2)

а

𝑊

=

1

2

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑓

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑ℎ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

Ψ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(3)

где интегрирование следует распространить на всё пространство.

631. После интегрирования этого выражения по частям с учётом того, что на бесконечно большом расстоянии 𝑟 от данной точки, принадлежащей конечной заряженной системе, потенциал Ψ становится величиной бесконечно малой, имеющей порядок 𝑟^-1, а 𝑓, 𝑔, ℎ становятся бесконечно малыми величинами порядка 𝑟^-2 выражение приводится к виду

𝑊

=-

1

2

∭

⎛

⎜

⎝

𝑓

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑔

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

ℎ

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(4)

где интегрирование следует распространить на всё пространство.

Если теперь вместо -𝑑Ψ/𝑑𝑥, -𝑑Ψ/𝑑𝑦 и -𝑑Ψ/𝑑𝑧 мы запишем составляющие электродвижущей напряжённости 𝑃, 𝑄, 𝑅, то найдём

𝑊

=

1

2

∭

(

𝑃𝑓

+

𝑄𝑔

+

𝑅ℎ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(5)

Следовательно, электростатическая энергия всего поля будет такой же самой, если мы предположим, что она имеется в каждой части поля, где есть электродвижущая напряжённость и электрическое смещение, а не сосредоточена в тех местах, где находится свободное электричество.

Энергия в единице объёма равна половине произведения электродвижущей напряжённости и электрического смещения, умноженной на косинус угла, который образуют эти векторы.

На языке кватернионов это есть

-

1

2

𝑆.𝔈𝔇

.

Магнитная энергия

632. Энергию, обусловленную намагниченностью, мы можем трактовать аналогично тому, как это сделано в случае электризации, п. 85. Если составляющие намагниченности равны 𝐴, 𝐵, 𝐶, а составляющие магнитной силы α, β, γ, то потенциальная энергия системы магнитов равна (п. 389)

-

1

2

∭

(

𝐴α

+

𝐵β

+

𝐶γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(6)

причём интегрирование распространяется на пространство, занятое намагниченной материей. Однако эта часть энергии будет включена в кинетическую энергию в той форме, в которой мы её сейчас получим.

633. Мы можем преобразовать это выражение в отсутствии электрических токов следующим образом.

Мы знаем, что

𝑑𝑎

𝑑𝑥

+

𝑑𝑏

𝑑𝑦

+

𝑑𝑐

𝑑𝑧

=

0.

(7)

Следовательно (п. 97), если

α

=-

𝑑Ω

𝑑𝑥

,

β

=-

𝑑Ω

𝑑𝑦

,

γ

=-

𝑑Ω

𝑑𝑧

,

(8)

что всегда имеет место для магнитных явлений при отсутствии токов, то

∭

(

𝑎α

+

𝑏β

+

𝑐γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0,

(9)

где интегрирование распространяется на всё пространство, или

∭

{(α+4π𝐴)α

+

(β+4π𝐵)β

+

+

(γ+4π𝐶)γ}

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0,

(10)

Следовательно, энергия, обусловленная магнитной системой, равна

-

1

2

∭

(

𝐴α

+

𝐵β

+

𝐶γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

1

8π

∭

(α²+β²+γ²)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

=

1

8π

∭

ℌ²

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(11)

Электрокинетическая энергия

634. В п. 578 мы уже представили кинетическую энергию системы токов в виде

𝑇

=

1

2

∑

(𝑝𝑖)

,

(12)

где 𝑝 – электромагнитный импульс контура, а 𝑖 – сила циркулирующего по нему тока; суммирование распространяется на все контуры.

Но мы уже доказали (п. 590), что 𝑝 можно представить как линейный интеграл вида

𝑝

=

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

(13)

где 𝐹, 𝐺, 𝐻 являются составляющими электромагнитного импульса 𝔄 в точке (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на замкнутый контур 𝑠. Таким образом, мы находим

𝑇

=

1

2

∑

𝑖

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

.

(14)

Если 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются составляющими плотности тока в произвольной точке проводящего контура, а 𝑆 – поперечное сечение контура, то можно записать

𝑖

𝑑𝑥

𝑑𝑠

=

𝑢𝑆

,

𝑖

𝑑𝑦

𝑑𝑠

=

𝑣𝑆

,

𝑖

𝑑𝑧

𝑑𝑠

=

𝑤𝑆

.

(15)

Мы можем также записать объём 𝑆𝑑𝑠=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, и тогда находим

𝑇

=

1

2

∭

(

𝐹𝑢

+

𝐺𝑣

+

𝐻𝑤

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(16)

где интегрирование следует распространить на все части пространства, где имеются электрические токи.

635. Подставим теперь вместо 𝑢, 𝑣, 𝑤 их значения, следующие из уравнений (Е) п. 607, выражающих электрические токи через компоненты магнитной силы α, β, γ. Тогда имеем

𝑇

=

1

8π

∭

⎧

⎨

⎩

𝐹

⎛

⎜

⎝

𝑑γ

𝑑𝑦

–

𝑑β

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

𝐺

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑧

–

𝑑γ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

+

+

𝐻

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑥

–

𝑑α

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(17)

где интегрирование распространяется на часть пространства, включающую все токи.

Если проинтегрировать это выражение по частям и вспомнить, что на большом расстоянии 𝑟 от системы составляющие α, β и γ являются величинами порядка 𝑟^-3, мы найдём, что, когда область интегрирования распространена на всё пространство, выражение сводится к такому:

𝑇

=

1

8π

∭

⎧

⎨

⎩

α

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑𝑦

–

𝑑𝐺

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

β

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐹

𝑑𝑧

–

𝑑𝐻

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

+

+

γ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐺

𝑑𝑥

–

𝑑𝐹

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(18)

Из уравнений (А) п. 591 для магнитной индукции мы можем подставить вместо величин в круглых скобках составляющие магнитной индукции 𝑎, 𝑏, 𝑐, так что кинетическую энергию можно записать

𝑇

=

1

8π

∭

(

𝑎α

+

𝑏β

+

𝑐γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(19)

интегрирование следует распространить на все части пространства, где магнитная сила и магнитная индукция имеют отличные от нуля значения.

Величина, стоящая в этом выражении в скобках, является произведением магнитной индукции и проекции магнитной силы на направление магнитной индукции.

На языке кватернионов это можно записать более просто: -𝑆.𝔅ℌ, где 𝔅 – магнитная индукция, составляющие которой равны 𝑎, 𝑏, 𝑐, а ℌ – магнитная сила, составляющими которой являются α, β, γ.

636. Таким образом, электрокинетическая энергия системы может быть выражена в виде интеграла, который следует брать либо там, где есть электрические токи, либо по всем тем частям поля, где существует магнитная сила. Первый интеграл является естественным выражением для теории, в которой предполагается прямое воздействие токов друг на друга на расстоянии, тогда как второй интеграл соответствует теории, пытающейся объяснить действие между токами с помощью некоторого промежуточного действия в пространстве между ними. В настоящем трактате принят этот последний метод исследования, поэтому мы, естественно, принимаем второе выражение как наиболее содержательную форму представления кинетической энергии.

В соответствии с нашей гипотезой мы предполагаем, что кинетическая энергия существует в любом месте, где есть магнитная сила, т.е., вообще говоря, в каждой части поля. Количество этой энергии в единице объёма равно

-

1

8π

𝑆.𝔅ℌ

,

причём эта энергия существует в форме какого-то вида движения материи в каждой части пространства.

Когда мы перейдём к рассмотрению открытия Фарадея, связанного с действием магнетизма на поляризованный свет, мы укажем причины нашей убеждённости в том, что в каждом месте, где есть линии магнитной силы, имеется вращательное движение материи вокруг этих линий; см. п. 821.

Сравнение магнитной и электрокинетической энергии

637. В п. 423 мы нашли, что взаимная потенциальная энергия двух магнитных оболочек с мощностями φ и φ', ограниченных соответственно замкнутыми кривыми 𝑠 и 𝑠', равна

-φφ'

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

,

где ε – угол между направлениями 𝑑𝑠 и 𝑑𝑠', 𝑟 – расстояние между ними.

Мы также нашли (п. 521), что взаимная энергия двух контуров 𝑠 и 𝑠', по которым текут токи 𝑖 и 𝑖', равна

𝑖𝑖'

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

Если 𝑖 и 𝑖' равны соответственно φ и φ', то механическое действие между магнитными оболочками равно по величине действию между соответствующими электрическими контурами и имеет одинаковое с ним направление. В случае магнитных оболочек сила стремится уменьшить их взаимную потенциальную энергию, а в случае контуров она стремится увеличить их взаимную энергию, потому что эта энергия является кинетической.

Никаким распределением намагниченной материи невозможно воспроизвести систему, во всех отношениях соответствующую электрическому контуру, поскольку в каждой точке пространства потенциал магнитной системы однозначен, в то время как потенциал электрической системы многозначен.

Однако всегда можно при соответствующем расположении бесконечно малых электрических контуров воспроизвести систему, во всех отношениях соответствующую любой магнитной системе, при условии, что путь интегрирования, по которому мы следуем при вычислении потенциала, не проходит сквозь какой-нибудь из этих маленьких контуров. Более полно это будет объяснено в п. 833.

Действие магнитов на расстоянии совершенно равнозначно действию электрических токов. Поэтому мы попытаемся для некоторых случаев проследить оба действия, а поскольку мы не можем объяснить электрические токи с помощью магнитов, мы должны принять другую альтернативу и объяснять магниты при помощи молекулярных электрических токов.

638. В наших исследованиях магнитных явлений в части III этого трактата мы не делали никаких попыток объяснять магнитное действие на расстоянии и подходили к нему как к основополагающему опытному факту. Таким образом, мы предполагали, что энергия магнитной системы является потенциальной и что эта энергия уменьшается, когда части системы подчиняются магнитным силам, действующим на них.

Если, однако, считать, что свойства магнитов определяются электрическими токами, циркулирующими внутри их молекул, то их энергия является кинетической и сила их взаимодействия такова, что стремится двигать их в направлении, где при условии неизменности силы токов кинетическая энергия возрастает.

Этот способ объяснения магнетизма требует от нас отказа от метода, которому мы следовали в части III, рассматривая магнит как сплошное однородное тело, любая самая малая часть которого обладает того же сорта магнитными свойствами, что и всё тело в целом.

Теперь мы должны считать, что магнит содержит конечное, хотя и очень большое, число электрических контуров и что он обладает существенно молекулярной структурой, отличной от непрерывной.

Если считать наш математический аппарат настолько грубым, что линия интегрирования не может проходить сквозь молекулярный контур, и если предположить, что в нашем элементе объёма содержится бессчётное количество магнитных молекул, то мы снова придём к результатам, сходным с результатами главы III; если же, однако, считать наш математический аппарат более тонким, пригодным для исследования того, что происходит внутри молекул, то мы должны будем отставить старую теорию магнетизма и принять теорию Ампера, не допускающую никаких иных магнитов, кроме магнитов, состоящих из электрических токов.

Мы должны также рассматривать и магнитную и электромагнитную энергию как энергию кинетическую, приписав ей надлежащий знак, как это было сделано в п. 635.

В дальнейшем, хотя мы и можем при случае, как в п. 639 и далее, попытаться следовать старой теории магнетизма, мы обнаружим, что полностью согласованная система получается только при отказе от этой теории и принятии теории молекулярных токов Ампера, как в п. 644.

Энергия поля состоит, таким образом, только из двух частей: электростатической, или потенциальной энергии

𝑊

=

1

2

∭

(

𝑃𝑓

+

𝑄𝑔

+

𝑅ℎ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

и электромагнитной, или кинетической энергии