Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

𝑅

𝑚

₁

𝑚

₂

4λ

₁

²+1

, 𝐻

𝑚

₁

𝑚

₂

₁

𝑟

⁴

√

3λ

₁

²+1

𝑟

⁴

√

3λ

₁

²+1

(21)

На рис. XIV в конце этого тома нарисованы силовые линии и эквипотенциальные поверхности в двумерном случае. Предполагается, что они создаются магнитами в виде двух длинных цилиндрических поперечно намагниченных стержней, сечения которых показаны полыми кружками, а направление намагниченности – стрелками.

Если вспомнить о наличии натяжения вдоль силовых линий, то легко понять, что каждый из магнитов будет стремиться повернуться в направлении движения часовой стрелки.

Кроме того, в целом правый магнит будет стремиться смещаться вверх по странице, а левый магнит – вниз.

О потенциальной энергии магнита, помещённого в магнитное поле

389. Пусть 𝑉 – магнитный потенциал, создаваемый любой системой магнитов, действующих на данный рассматриваемый магнит. Будем называть его потенциалом внешней магнитной силы.

Если маленький магнит длиной 𝑑𝑠 расположен так, что его положительный полюс величины 𝑚 находится в точке с потенциалом 𝑉, а отрицательный – в точке с потенциалом 𝑉', то потенциальная энергия этого магнита будет равна 𝑚(𝑉-𝑉') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,

𝑚

𝑑𝑉

𝑑𝑠

(1)

Если 𝐼 – величина намагниченности, λ, μ, ν – её направляющие косинусы, то можно написать

𝑚

𝑑𝑠

𝐼

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑉

𝑑𝑠

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑𝑉

𝑑𝑧

и, наконец, если 𝐴, 𝐵, 𝐶 – составляющие намагниченности, то 𝐴=λ𝐼, 𝐵=μ𝐼, 𝐶=ν𝐼, так что выражение (1) для потенциальной энергии элемента магнита станет таким:

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝐵

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝐶

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(2)

Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим

𝑊

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝐵

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝐶

𝑑𝑉

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(3)

Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.

Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.

Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала:

𝑊

∬

(

𝐴𝑙

𝐵𝑚

𝐶𝑛

)

𝑉

𝑑𝑆

–

(4)

∭

𝑉

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝐵

𝑑𝑦

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы нормали к элементу поверхности 𝑑𝑆. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт

𝑊

∬

𝑉σ

𝑑𝑆

∭

𝑉ρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(5)

Уравнение (3) можно переписать в виде

𝑊

–

∭

(

𝐴α

𝐵β

𝐶γ

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(6)

где α, β, и γ – составляющие внешней магнитной силы.

О магнитном моменте и оси магнита

390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие α, β, γ постоянны. Записав

∭

𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑙𝐾

∭

𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑚𝐾

∭

𝐶

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑛𝐾

(7)

и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину 𝑊 можно представить в виде

𝑊

–𝐾

(

𝑙α

𝑚β

𝑛γ

(8)

В этом выражении 𝑙, 𝑚, 𝑛 – направляющие косинусы оси магнита, 𝐾 – его магнитный момент. Если обозначить через ε угол между осью магнита и направлением магнитной силы ℌ то величину 𝑊 можно переписать так:

𝑊

–𝐾

ℌ

cos ε

(9)

Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут φ и наклонён на угол θ относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут δ и наклонение ζ, получим

ℌcos ζ cos δ,

ℌcos ζ sin δ,

ℌ sin ζ;

(10)

𝑙

cos θ cos φ,

𝑚

cos θ sin φ,

𝑚

sin θ;

(11)

Откуда следует

𝑊

–𝐾

{

cos ζ

cos θ

cos (φ-δ)

sin ζ

sin θ

(12)

Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол φ, равен

𝑑𝑊

𝑑φ

–𝐾ℌ

cos ζ

cos θ

sin (φ-δ)

(13)

О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам

391. Пусть 𝑉 – потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (ξ,η,ζ), его значение в точке 𝑥, 𝑦, 𝑧 равно

𝑉

{

(ξ-𝑥)²

(η-𝑦)²

(ζ-𝑧)²

}

^-½

(1)

Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда

𝑉

₀

𝑉

₁

𝑉

₂

+ и т.д.

(2)

где

𝑉

₀

=(1/𝑟)

(3)

𝑟 – расстояние до точки (ξ,η,ζ) от начала координат,

𝑉

₁

ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧

𝑟³

(4)

𝑉

₂

3(ξ𝑥+η𝑦+ζ𝑧)-(𝑥²+𝑦²+𝑧²)(ξ²+η²+ζ²)

2𝑟⁵

(5)

и т.д.

Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для 𝑊 в уравнении (3) п. 389 по 𝑥, 𝑦 и 𝑧, считая ξ, η, ζ и 𝑟 постоянными.

Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками 𝑉₀, 𝑉₁ и 𝑉₂, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:

𝑙𝐾

∭

𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑚𝐾

∭

𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑚𝐾

∭

𝐶

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

;

(6)

𝐿

∭

𝐴𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑀

∭

𝐵𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑁

∭

𝐶𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

;

(7)

𝑃

∭

(𝐵𝑧+𝐶𝑦)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑄

∭

(𝐶𝑥+𝐴𝑧)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑅

∭

(𝐴𝑦+𝐵𝑥)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(8)

Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (ξ,η,ζ), находим

𝑊

𝐾

𝑙ξ+𝑚η+𝑛ζ

𝑟³

ξ²(2𝐿-𝑀-𝑁)+η²(2𝑀-𝑁-𝐿)

𝑟⁵

3(𝑃ηζ+𝑄ζξ+𝑅ξη)

𝑟⁵

+ и т.д.

(9)

Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (ξ,η,ζ).

О центре магнита и о главной и побочных осях магнита

392. Это выражение можно упростить, изменив направление координатных осей и положение начала координат. Прежде всего направим ось 𝑥 параллельно оси магнита. Это эквивалентно тому, что

𝑙

𝑚

𝑛

(10)

Если перенести начало координат в точку (𝑥',𝑦',𝑧'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы 𝑙𝐾, 𝑚𝐾 и 𝑛𝐾 останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом:

𝐿'

𝐿

–

𝑙𝐾𝑥'

𝑀'

𝑀

–

𝑚𝐾𝑦'

𝑁'

𝑁

–

𝑛𝐾𝑧'

(11)

𝑃'

𝑃

–

𝐾(𝑚𝑧'+𝑛𝑦')

𝑄'

𝑄

–

𝐾(𝑛𝑥'+𝑙𝑧')

𝑅'

𝑅

–

𝐾(𝑙𝑦'+𝑚𝑥')

(12)

Если сделать направление оси 𝑥 параллельным оси магнита и положить

𝑥'

2𝐿-𝑀-𝑁

2𝐾

𝑦'

𝑅

𝐾

𝑧'

𝑄

𝐾

(13)

то для новых осей значения 𝑀 и 𝑁 останутся прежними, а значение 𝐿' окажется равным (𝑀+𝑁)/2; не изменится также и величина 𝑃, в то время как 𝑄 и 𝑅 обратятся в нуль. Следовательно, мы можем для потенциала записать

𝐾

𝑟³

3/2⋅(η²-ζ²)(𝑀-𝑁)+3𝑃ηζ

𝑟⁵

+ ….

(14)

Мы нашли, следовательно, фиксированную относительно магнита точку, такую, что если её выбрать в качестве начала координат, второй член в разложении потенциала выразится в наиболее простой форме; поэтому эту точку можно определить как центр магнита, а проведённую через неё ось в направлении, ранее названном направлением магнитной оси, определить как главную ось магнита.

Мы можем упростить результат ещё больше, повернув оси 𝑦 и 𝑧 вокруг оси 𝑥 на половину угла, тангенс которого равен 𝑃/(𝑀-𝑁). Тогда 𝑃 станет равным нулю, и окончательное выражение для потенциала примет вид

𝐾

𝑟³

(η²-ζ²)(𝑀-𝑁)

𝑟⁵

+ и т.д.

(15)

Это есть простейшая форма представления первых двух членов потенциала магнита. Оси 𝑦 и 𝑧, направленные таким образом, могут быть названы побочными осями магнита.

Центр магнита мы можем определить и иначе, отыскав такое положение начала координат, при котором поверхностный интеграл от квадрата второго члена в разложении потенциала, взятый по сфере единичного радиуса, минимален.

Величина, которую следует сделать минимальной, согласно п. 141 равна

4(𝐿²+𝑀²+𝑁²-𝑀𝑁-𝑁𝐿-𝐿𝑀)

3(𝑃²+𝑄²+𝑅²)

(16)

Изменения значений этой величины, вызванные изменением положения начала координат, можно вывести из уравнений (11) и (12). Условия минимума следующие:

2𝑙(2𝐿-𝑀-𝑁)

3𝑛𝑄

3𝑚𝑅

2𝑚(2𝑀-𝑁-𝐿)

3𝑙𝑅

3𝑛𝑃

2𝑛(2𝑁-𝐿-𝑀)

3𝑚𝑃

3𝑙𝑄

(17)

Если положить 𝑙=1, 𝑚=0, 𝑛=0, то эти условия станут такими:

2𝐿-𝑀-𝑁

𝑄

𝑅

(18)

т.е. они совпадут с условиями, использованными в предыдущем рассмотрении.

Это исследование можно сравнить с тем, которое проводится при разложении потенциала системы, состоящей из гравитирующей материи. Там наиболее удобной точкой при выборе начала координат является центр тяжести системы, а наиболее удобными осями – проходящие через эту точку главные оси инерции.

В случае магнита точка, соответствующая центру тяжести, бесконечно удалена в направлении оси, и то, что мы назвали центром магнита, по своим свойствам отличается от центра тяжести. Величины 𝐿, 𝑀, 𝑁 соответствуют моментам инерции, а 𝑃, 𝑄, 𝑅 – произведениям инерции материального тела с той разницей, что 𝐿, 𝑀, 𝑁 не должны быть обязательно положительными.

Когда центр магнита взят в качестве начала координат, то сферическая гармоника второго порядка становится секторной,а её ось совпадает с осью магнита; ни для какой другой точки это не справедливо.

Когда магнит, как в случае тела вращения, симметричен по всем направлениям относительно этой оси, что член, содержащий гармонику второго порядка, полностью исчезает.

393. Во всех частях земной поверхности, кроме некоторых участков Полярных областей, один конец магнита показывает на север, или, по крайней мере, в северном направлении, а другой – в южном. Следуя распространённому способу образования наименований, мы, говоря о концах магнита, будем называть конец, указывающий на север, его северным концом. Если, однако, прибегать к языку теории магнитных жидкостей, мы должны использовать слова Борейный и Аустральный (boreal – северный, austral – южный). Борейный магнетизм – это воображаемый вид материи, который предполагается более распространённым в северных частях Земли, а Аустральный магнетизм – воображаемая магнитная материя, преобладающая в южных областях Земли. Магнетизм северного конца магнита является Аустральным, а магнетизм южного конца – Борейным. Следовательно, когда мы говорим о северном и южном концах магнита, мы не сравниваем его с Землёй, как с большим магнитом, а просто обозначаем направление, которое он стремится принять при своём свободном движении. С другой стороны, когда мы хотим сравнить распределение воображаемой магнитной жидкости в магните с распределением в Земле, мы будем применять эти более величественные слова – Борейный и Аустральный магнетизм.

394. Говоря о поле магнитной силы, мы будем использовать выражение Магнитный Север для обозначения направления, в котором указывает северный конец стрелки компаса, помещённого в поле силы.

Говоря о линии магнитной силы, мы всегда будем считать её проведённой от магнитного юга к магнитному северу и называть это направление положительным. Аналогично направление намагниченности магнита обозначается линией, проведённой от южного конца магнита к северному, а конец магнита, указывающий на север, называется положительным.

Мы будем считать Аустральный магнетизм, т.е. магнетизм конца магнита, указывающего на север, положительным. Обозначив его численное значение через 𝑚, для магнитного потенциала будем иметь 𝑉=∑(𝑚𝑟), и положительным является такое направление силовой линии, в котором 𝑉 убывает.

ГЛАВА II

МАГНИТНАЯ СИЛА И МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

395. Магнитный потенциал данной точки, обусловленный магнитом с заданной всюду внутри его вещества намагниченностью, был уже определён нами в п. 385. Мы показали, что математически этот результат может быть выражен как через истинную намагниченность каждого из элементов магнита, так и через некоторое воображаемое распределение «магнитной материи», часть которой рассеяна по веществу внутри магнита, а часть сосредоточена на его поверхности.

Определённый таким образом магнитный потенциал вычисляется с помощью одной и той же математической процедуры для точек, заданных внутри магнита и вне его. Сила, испытываемая единичным магнитным полюсом, помещённым в произвольную точку вне магнита, получается из потенциала аналогичным дифференцированием, что и в соответствующей электрической задаче. Если составляющие этой силы равны α, β, γ, то

𝑑𝑉

𝑑𝑥

𝑑𝑉

𝑑𝑦

𝑑𝑉

𝑑𝑧

(1)

Для экспериментального определения магнитной силы в точке внутри магнита необходимо прежде всего удалить часть намагниченного вещества, чтобы образовать полость для внесения в неё магнитного полюса. Сила, действующая на полюс, будет, вообще говоря, зависеть от формы этой полости и от наклона её стенок по отношению к направлению намагниченности. Поэтому во избежание неоднозначности, говоря о магнитной силе в магните, необходимо уточнять форму и положение полости, внутри которой следует измерять магнитную силу. Ясно, что когда форма и положение полости заданы, точку внутри неё, куда помещается магнитный полюс, уже не следует считать принадлежащей веществу магнита; это делает сразу же применимыми к ней обычные методы определения магнитной силы.

396. Рассмотрим теперь часть магнита, намагниченность внутри которой однородна по направлению и величине. Образуем внутри неё полость в виде цилиндра, ось которого параллельна направлению намагниченности, и на оси в центре поместим магнитный полюс.

Поскольку образующие цилиндра параллельны направлению намагниченности, на его боковой поверхности не возникнет поверхностного распределения магнетизма, а на круглых торцах, поскольку они перпендикулярны направлению намагниченности, появится однородное поверхностное распределение с поверхностной плотностью 𝐼 на отрицательном конце и -𝐼 – на положительном.

Обозначим длину цилиндра через 2𝑏, а радиус через 𝑎. Сила, действующая со стороны этих поверхностных распределений на магнитный полюс в центральной точке оси, будет обусловлена притяжением к положительному концу диска и отталкиванием от отрицательного конца диска. По величине и по направлению обе силы одинаковы, а сумма их равна

𝑅

4π𝐼

⎛

⎜

⎝

𝑏

√𝑎²+𝑏²

⎞

⎟

⎠

(2)

Из этого выражения следует, что сила зависит не от абсолютных размеров полости, а от отношения длины цилиндра к его диаметру. Следовательно, какой бы малой ни делать полость, сила, связанная с поверхностным распределением магнетизма на её стенках, остаётся, вообще говоря, конечной.

397. Выше мы предполагали, что намагниченность той части магнита, из которой удаляется цилиндрический кусок, однородна и одинаково направлена. В общем случае, при отсутствии этого ограничения, во всём веществе магнита должно появиться объёмное распределение воображаемой магнитной материи, часть которой, вырезая цилиндр, мы удаляем. Однако поскольку в геометрически подобных объёмных телах силы в соответствующих точках пропорциональны линейным размерам тел, то изменение силы, действующей на магнитный полюс, обусловленное объёмной плотностью магнитной материи, будет неограниченно убывать с уменьшением размера полости, в то время как эффект, обусловленный поверхностной плотностью на стенках полости, остаётся, вообще говоря, конечным.

Таким образом, если размеры цилиндра настолько малы, что намагниченность удалённой части можно считать всюду параллельной оси цилиндра и имеющей постоянную величину 𝐼, сила, действующая на магнитный полюс, помещённый в среднюю точку на оси цилиндрической полости, будет состоять из двух сил. Первая обусловлена распределением магнитной материи как на внешней поверхности магнита, так и по всему его объёму, за исключением удалённой части. Составляющие этой силы равны величинам α, β и γ, полученным из потенциала с помощью уравнений (1). Вторая часть – это сила 𝑅, действующая вдоль оси цилиндра в направлении намагниченности. Величина этой силы зависит от отношения длины цилиндрической полости к её диаметру.

398.Случай I. Пусть это отношение очень велико, т.е. диаметр цилиндра мал по сравнению с его длиной. Разлагая выражение для 𝑅 в ряд по степеням 𝑎/𝑏, находим

𝑅

4π𝐼

⎧

⎨

⎩

𝑎²

𝑏²

–

𝑎⁴

𝑏⁴

+ и т.д.

⎫

⎬

⎭

(3)

величина 𝑅 обращается в нуль, когда отношение 𝑏/𝑎 становится бесконечным.

Следовательно, если полость имеет форму очень тонкого цилиндра с осью, параллельной направлению намагниченности, то поверхностное распределение на торцах цилиндра не сказывается на магнитной силе, и её составляющие просто равны величинам α, β и γ:

–

𝑑𝑉

𝑑𝑥

–

𝑑𝑉

𝑑𝑦

–

𝑑𝑉

𝑑𝑧

(4)

Силу внутри такой полости мы определим как магнитную силу внутри магнита. Сэр Уильям Томсон назвал это Полярным определением магнитной силы. Когда нам представится случай рассматривать эту силу как вектор, мы будем обозначать её через ℌ.

399.Случай II. Пусть длина цилиндра очень мала по сравнению с его диаметром, так что цилиндр становится тонким диском. Выражение для 𝑅 после разложения в ряд по степеням 𝑏/𝑎 принимает вид

𝑅

4π𝐼

⎧

⎨

⎩

𝑎

𝑏

𝑎³

𝑏³

– и т.д.

⎫

⎬

⎭

(5)

предельное значение при стремлении отношения 𝑎/𝑏 к бесконечности равно 4π𝐼.

Следовательно, когда полость имеет вид тонкого диска, плоскость которого перпендикулярна направлению намагниченности, на единичный полюс, находящийся на её оси в центре, действует в направлении намагниченности сила 4π𝐼, возникающая из-за поверхностного магнетизма, распределённого на круговых поверхностях диска ¹.

¹ О силах внутри полостей других конфигураций

1. Произвольная узкая пещерка (crevasse). Сила, обусловленная поверхностным магнетизмом, равна 4π𝐼 cos ε и направлена по нормали к поверхности пещерки; ε – угол между этой нормалью и направлением намагниченности. Когда пещерка параллельна направлению намагниченности, сила совпадает с магнитной силой ℌ если пещерка перпендикулярна направлению намагниченности, сила совпадает с магнитной индукцией 𝔅.

2. В бесконечно вытянутом цилиндре, ось которого образует угол ε с направлением намагниченности, сила, обусловленная поверхностным магнетизмом, равна 4π𝐼 sin ε; она перпендикулярна оси и лежит в плоскости, содержащей ось цилиндра и направление намагниченности.

3. В сфере сила, обусловленная поверхностным магнетизмом, равна (4/3)π𝐼 и направлена вдоль намагниченности.

Так как намагниченность 𝐼 имеет составляющие 𝐴, 𝐵 и 𝐶, компоненты этой силы равны 4π𝐴, 4π𝐵 и 4π𝐶. Это следует объединить с силой, имеющей составляющие α, β, γ.

400. Пусть реальная сила, действующая на магнитный полюс, обозначена вектором 𝔅, а её составляющие – 𝑎, 𝑏 и 𝑐, тогда

𝑎

4π𝐴

𝑏

4π𝐵

𝑐

4π𝐶

(6)

Мы определим силу внутри полого диска, плоские стороны которого ортогональны намагниченности, как Магнитную Индукцию внутри магнита. Сэр Уильям Томсон назвал это Электромагнитным определением магнитной силы.

Три вектора: намагниченность 𝔍, магнитная сила ℌ и магнитная индукция 𝔅, связаны векторным равенством

𝔅

ℌ

4π𝔍

(7)

Криволинейный интеграл от магнитной силы

401. Поскольку магнитная сила, определённая в п. 398, обусловлена свободным магнетизмом, распределённым как на поверхности магнита, так и внутреннего, и не зависит от поверхностного магнетизма полости, её можно вычислить непосредственно из общего выражения для потенциала магнита; криволинейный интеграл от магнитной силы, взятый вдоль произвольной кривой между точками 𝐴 и 𝐵, равен

𝐵

∫

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

𝑉

_𝐴

–𝑉

_𝐵

(8)

где через 𝑉_𝐴 и 𝑉_𝐵 обозначены потенциалы в точках 𝐴 и 𝐵 соответственно.

Поверхностный интеграл от магнитной индукции

402. Поток магнитной индукции через поверхность S определяется как величина интеграла

𝑄

∬

𝔅

cos ε

𝑑𝑆

(9)

где 𝔅 – величина магнитной индукции на элементе поверхности 𝑑𝑆, ε – угол между направлением индукции и нормалью к элементу поверхности; интегрирование распространяется на всю поверхность, которая может быть либо замкнутой поверхностью, либо поверхностью, ограниченной некоторой замкнутой кривой.

Если обозначить составляющие магнитной индукции через 𝑎, 𝑏, 𝑐 и направляющие косинусы нормали через 𝑙, 𝑚, 𝑛, то поверхностный интеграл может быть записан в виде

𝑄

∬

(

𝑙𝑎

𝑚𝑏

𝑛𝑐

)

𝑑𝑆

(10)

Выражая составляющие магнитной индукции через составляющие намагниченности и магнитной силы, как в п. 400, получим

𝑄

∬

(

𝑙α

𝑚β

𝑛γ

)

𝑑𝑆

4π

∬

(

𝑙𝐴

𝑚𝐵

𝑛𝐶

)

𝑑𝑆

(11)

Предположим теперь, что поверхность, по которой производится интегрирование, замкнута, и исследуем значения величин двух членов в правой части этого уравнения.

Математическая форма связи между магнитной силой и свободным магнетизмом такая же, как между электрической силой и свободным электричеством, поэтому мы можем применить результаты п. 77 к первому члену выражения для 𝑄, заменив составляющие электрической силы 𝑋, 𝑌, 𝑍 в п. 77 на составляющие магнитной силы α, β, γ, а алгебраическую сумму свободного электричества 𝑒 на алгебраическую сумму свободного магнетизма 𝑀.

Таким образом, получаем уравнение

∬

(

𝑙α

𝑚β

𝑛γ

)

𝑑𝑆

4π𝑀

(12)

Так как каждая магнитная частица имеет два полюса одинаковой величины и противоположных знаков, алгебраическая сумма магнетизма частицы равна нулю. Поэтому частицы, которые целиком находятся внутри замкнутой поверхности 𝑆, не могут дать вклада в алгебраическую сумму магнетизма внутри 𝑆, т.е. величина 𝑀 должна зависеть только от магнитных частиц, которые рассечены поверхностью 𝑆.

Рассмотрим маленький элемент магнита длиной 𝑠 с поперечным сечением 𝑘², намагниченный в направлении его длины так, что мощность его полюсов равна 𝑚 Момент этого небольшого магнита равен 𝑚𝑠, а намагниченность, равная от ношению магнитного момента к объёму,

𝐼

𝑚

𝑘²

(13)

Пусть этот маленький магнит так рассечён поверхностью 𝑆, что направление намагниченности образует с наружной нормалью к поверхности угол ε', тогда, если обозначить через 𝑑𝑆 площадь сечения,

𝑘²

𝑑𝑆

cos ε'

(14)

Отрицательный полюс этого магнита -𝑚 находится внутри поверхности 𝑆.

Следовательно, если обозначить через 𝑑𝑀 вклад этого маленького магнита в ту часть свободного магнетизма, которая находится внутри 𝑆, то

𝑑𝑀

–𝑚

–𝐼𝑘²

–𝐼

cos ε'

𝑑𝑆

(15)

Для того чтобы найти алгебраическую сумму свободного магнетизма 𝑀 внутри замкнутой поверхности 𝑆, необходимо проинтегрировать это выражение по замкнутой поверхности 𝑆:

𝑀

∬

𝐼

cos ε'

𝑑𝑆

или через составляющие намагниченности 𝐴, 𝐵, 𝐶 и направляющие косинусы наружной нормали 𝑙, 𝑚, 𝑛:

𝑀

∬

(

𝑙𝐴

𝑚𝐵

𝑛𝐶

)

𝑑𝑆

(16)

Это даёт значение интеграла во втором члене правой части уравнения (11). Величину 𝑄 в (11) можно, таким образом, найти, используя уравнения (12) и (16):

𝑄

4π𝑀

–

4π𝑀

(17)

или интеграл от магнитной индукции, взятый по произвольной замкнутой поверхности, равен нулю.

403. Если предположить, что замкнутая поверхность есть поверхность дифференциального элемента объёма 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, мы получим уравнение

𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑐

𝑑𝑧

(18)

Это есть условие соленоидальности, которому всегда удовлетворяют составляющие магнитной индукции.

Так как распределение магнитной индукции соленоидально, то поток индукции через любую поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит только от формы и положения этой замкнутой кривой и не зависит от формы и положения самой поверхности.

404. Поверхности, во всех точках которых

𝑙𝑎

𝑚𝑏

𝑛𝑐

(19)

называются поверхностями с нулевым потоком индукции, а пересечение двух этих поверхностей называется линией индукции. Условия, при которых некоторая кривая 𝑠 может быть линией индукции, таковы:

𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑠

𝑐

𝑑𝑧

𝑑𝑠

(20)

Совокупность линий индукции, проведённых через каждую точку замкнутой кривой, образует трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции.

Поток индукции через любое сечение такой трубки одинаков. Если поток индукции в трубке равен единице, она называется единичной трубкой индукции.

Всё, что Фарадей² говорит о магнитных силовых линиях и магнитных «спондилоидах» (sphondiloids), математически верно, если под ними понимать линии и трубки магнитной индукции.

² Exp. Res., series XXVIII.

Вне магнита магнитная сила и магнитная индукция совпадают, однако внутри вещества магнита их следует тщательно различать.

В случае прямого однородно намагниченного стержня магнитная сила, создаваемая самим магнитом, направлена от конца, указывающего на север (мы называем его положительным полюсом), к южному концу (отрицательному полюсу) как внутри магнита, так и вне его.

С другой стороны, магнитная индукция вне магнита тоже направлена от положительного полюса к отрицательному, но внутри магнита – от отрицательного полюса к положительному, так что линии и трубки индукции образуют сами в себя входящие, или замкнутые, кривые.

Важность магнитной индукции как физического понятия будет видна более отчётливо при изучении электромагнитных явлений. Когда магнитное поле создаётся движущимся проводом, как в опытах Фарадея (Exp. Res. 3076), непосредственно измеряемой величиной является именно магнитная индукция, а не магнитная сила.

Вектор-потенциал магнитной индукции

405. Как показано в п. 403, поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит от этой кривой, но не зависит от формы ограничиваемой ею поверхности; поэтому должен существовать способ определения потока индукции внутри замкнутой кривой с помощью процедуры, зависящей только от характера кривой и не включающей конструкцию поверхности, которая диафрагмирует эту кривую.

Это можно сделать, отыскав вектор 𝔄, связанный с магнитной индукцией 𝔅 таким образом, чтобы линейный интеграл от 𝔄 по замкнутой кривой был равен поверхностному интегралу от по поверхности, ограниченной этой кривой.

Обозначив, как и в п. 24, через 𝐹, 𝐺, 𝐻 составляющие 𝔄, через 𝑎, 𝑏, 𝑐 составляющие 𝔅, получим между ними следующую связь:

𝑎

𝑑𝐻

𝑑𝑦

–

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑏

𝑑𝐹

𝑑𝑧

–

𝑑𝐻

𝑑𝑥

𝑐

𝑑𝐺

𝑑𝑥

–

𝑑𝐹

𝑑𝑦

(21)

Вектор 𝔄 с составляющими 𝐹, 𝐺, 𝐻 называется вектор-потенциалом магнитной индукции.

Поместим в начало координат магнитную молекулу с моментом 𝑚 и направлением оси намагниченности (λ,μ,ν). Согласно п. 387, её потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧), на расстоянии 𝑟 от начала координат будет равен

-𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑑

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑦

𝑑

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑟

;

𝑐

𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑑²

𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑑²

𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑²

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑟

С помощью уравнения Лапласа последнему выражению можно придать вид

𝑚

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑

𝑑𝑧

–

𝑑

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑟

–

𝑚

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑑

𝑑𝑦

–

𝑑

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑟

Аналогично можно преобразовать величины 𝑎, 𝑏.

Следовательно,

𝐹

𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑑

𝑑𝑦

–

𝑑

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑟

𝑚(μ𝑧-ν𝑦)

𝑟³

Составляющие 𝐺, 𝐻 можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.

Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности 𝐴, 𝐵, 𝐶 в точке (𝑥,𝑦,𝑧) составляющие вектор-потенциала в точке (ξ,η,ζ) равны

𝐹

∭

⎛

⎜

⎝

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑧

–

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝐺

∭

⎛

⎜

⎝

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑥

–

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝐻

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑦

–

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(22)

где через 𝑝 для краткости обозначено обратное расстояние между точками (ξ,η,ζ) и (𝑥,𝑦,𝑧), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.

406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид

𝑉

∭

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(23)

Помня, что

𝑑𝑝

𝑑𝑥

= -

𝑑𝑝

𝑑ξ

и что интеграл

∭

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑝

𝑑𝑥²

𝑑²𝑝

𝑑𝑦²

𝑑²𝑝

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

равен -4π(𝐴), когда точка (ξ,η,ζ), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (𝐴) – значение 𝐴 в точке (ξ,η,ζ), получаем для 𝑥-составляющей магнитной индукции

𝑑𝐻

𝑑η

–

𝑑𝐺

𝑑ζ

∭

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝐴

𝑑²𝑝

𝑑𝑦𝑑η

𝑑²𝑝

𝑑𝑧𝑑ζ

⎞

⎟

⎠

–

𝐵

𝑑²𝑝

𝑑𝑥𝑑η

–

𝐶

𝑑²𝑝

𝑑𝑥𝑑ζ

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑

𝑑ξ

∭

⎧

⎨

⎩

𝐴

𝑑𝑝

𝑑𝑥

𝐵

𝑑𝑝

𝑑𝑦

𝐶

𝑑𝑝

𝑑𝑧

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

–

∭

𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑝

𝑑𝑥²

𝑑²𝑝

𝑑𝑦²

𝑑²𝑝

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(24)

Первый член этого выражения равен, очевидно, -𝑑𝑉/𝑑ξ или составляющей магнитной силы α.

Величина же, стоящая под знаком интеграла во втором члене, равна нулю для любого элемента объёма, кроме того, в котором находится точка (ξ,η,ζ). Легко показать, что второй член равен 4π(𝐴), где (𝐴) – значение 𝐴 в точке (ξ,η,ζ); во всех точках вне магнита величина (𝐴) равна нулю.

Теперь можно 𝑥-составляющую магнитной индукции записать в виде

𝑎

4π(𝐴)

(25)

что равнозначно первому из уравнений, приведённых в п. 400; уравнения для 𝑏 и 𝑐 также совпадают с соответствующими уравнениями п. 400.

Как мы уже видели, магнитная сила вычисляется через скалярный потенциал 𝑉 путём применения к нему оператора Гамильтона ∇; следуя п. 17, можно записать

ℌ

∇𝑉

(26)

это уравнение справедливо как вне, так и внутри магнита.

Из проведённых сейчас исследований явствует, что магнитная индукция вычисляется через вектор-потенциал 𝔄 путём применения к нему того же самого оператора; и этот результат справедлив внутри магнита так же, как вне его.

Применение этого оператора к векторной функции может дать в общем случае и скалярную и векторную величину. Однако скалярная часть, названная нами конвергенцией векторной функции, исчезает, если векторная функция удовлетворяет условию соленоидальности

𝑑𝐹

𝑑ξ

𝑑𝐺

𝑑η

𝑑𝐻

𝑑ζ

(27)

Дифференцируя выражения (22) для 𝐹, 𝐺, 𝐻, убеждаемся, что эти величины удовлетворяют условию соленоидальности.

Таким образом, мы можем записать между магнитной индукцией и её вектор-потенциалом:

𝔅

∇𝔄

которую можно выразить такими словами: магнитная индукция является вихрем (ротором) своего вектор-потенциала, см. п. 25.

ГЛАВА III

МАГНИТНЫЕ СОЛЕНОИДЫ И МАГНИТНЫЕ ОБОЛОЧКИ¹

¹ См. работу сэра У. Томсона «Математическая теория магнетизма» (W. Thomson «Mathematical Theory of Magnetism»). См. Phil. Trans., June 1849 and June 1850 или Reprint of Papers on Electrostatics and Magnetism, p. 340.

О частных формах магнитов

407. Если длинная тонкая нить из магнитной материи, напоминающая проволоку, всюду является намагниченной в продольном направлении, то произведение любого её поперечного сечения на интенсивность намагниченности, среднюю по этому сечению, называется мощностью магнита в этом сечении. Если бы нить оказалась разрезанной на две части без изменения её намагниченности, то на двух поверхностях разреза после их разделения обнаружилось бы наличие равных и противоположных величин поверхностной намагниченности, численно совпадающих с мощностью магнита в данном сечении.

Нить магнитной материи, намагниченная таким образом, что её мощность в любом произвольно по длине нити проведённом сечении одинакова, называется Магнитным Соленоидом.

Если 𝑚 – мощность соленоида, 𝑑𝑠 – элемент его длины, причём 𝑠 отсчитывается от отрицательного полюса магнита к положительному, 𝑟 – расстояние от данной точки до этого элемента, ε – угол, который образует 𝑟 с осью намагниченности элемента, то потенциал, обусловленный элементом магнита в данной точке, равен

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."