Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Текст добавлен: 20 января 2018, 14:00

Текст книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."

Автор книги: Джеймс Максвелл

Жанры:

Прочая научная литература

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 34 страниц)

Назад к карточке книги

Определение коэффициента индуцированной намагниченности

426. Пусть ℌ – магнитная сила, определённая, как в п. 398, в каждой точке тела, а 𝔍 – намагниченность в этой точке; отношение 𝔍 к ℌ называется коэффициентом индуцированной намагниченности.

Обозначив этот коэффициент через ϰ, запишем основное уравнение индуцированного магнетизма:

𝔍

ϰℌ

(1)

Коэффициент ϰ положителен для железа и парамагнитных веществ и отрицателен для висмута и диамагнитных веществ. В железе он достигает значения 1600, по некоторым сведениям он велик также для никеля и кобальта, но во всех остальных случаях это очень маленькая величина, не превышающая 0,000 01.

Сила ℌ возникает частично благодаря действию магнитов, внешних по отношению к телу, намагничиваемому по индукции, а частично благодаря индуцированной намагниченности самого этого тела. И обе эти составляющие удовлетворяют условию существования потенциала.

427. Пусть 𝑉 является потенциалом, обусловленным внешним относительно тела магнетизмом, а Ω – потенциалом, связанным с индуцированной намагниченностью, тогда если 𝑈 есть истинный потенциал, обусловленный обеими этими причинами, то

𝑈

𝑉

(2)

Пусть проекции магнитной силы ℌ на оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 равны α, β, γ, а проекции намагниченности 𝔍 – 𝐴, 𝐵, 𝐶, тогда согласно уравнению (1)

𝐴

ϰα

𝐵

ϰβ

𝐶

ϰγ

(3)

Умножив эти уравнения соответственно на 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и сложив, найдём

𝐴𝑑𝑥

𝐵𝑑𝑦

𝐶𝑑𝑧

ϰ(

α𝑑𝑥

β𝑑𝑦

γ𝑑𝑧

Но, поскольку α, β и γ получаются из потенциала 𝑈, мы можем записать второй член как -ϰ𝑑𝑈.

Следовательно, если коэффициент ϰ всюду внутри вещества постоянен, то первый член также должен быть полным дифференциалом некоторой функции 𝑥, 𝑦 и 𝑧, которую мы назовём φ, после чего уравнение принимает вид

𝑑φ

–ϰ𝑑𝑈

(4)

где

𝐴

𝑑φ

𝑑𝑥

𝐵

𝑑φ

𝑑𝑦

𝐶

𝑑φ

𝑑𝑧

(5)

Следовательно, по определению, принятому в п. 412, намагниченность является ламеллярной.

В п. 385 было показано, что объёмная плотность свободного магнетизма ρ равна

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐴

𝑑𝑥

𝑑𝐵

𝑑𝑦

𝑑𝐶

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

или с учётом уравнений (3)

–ϰ

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

𝑑γ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

Но из п. 77

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

𝑑γ

𝑑𝑧

–4πρ

Поэтому (1+4πϰ)ρ=0, откуда следует, что

(6)

внутри всего вещества, и поэтому намагниченность оказывается и соленоидальной, и ламеллярной, см. п. 407.

Таким образом, свободного магнетизма нет нигде, кроме поверхности, ограничивающей тело. Если обозначить через ν нормаль, проведённую внутрь от поверхности, то магнитная поверхностная плотность будет равна

𝑑φ

𝑑ν

(7)

Поэтому потенциал Ω в произвольной точке, создаваемый этой намагниченностью, можно найти из поверхностного интеграла

∬

𝑟

𝑑𝑆

(8)

Значения Ω всюду конечны, непрерывны и удовлетворяют уравнению Лапласа в каждой точке внутри и вне поверхности. Если пометить штрихом потенциал Ω вне поверхности и обозначить через ν' нормаль, проведённую наружу, то на поверхности будем иметь

;

(9)

𝑑Ω

𝑑ν

𝑑Ω'

𝑑ν'

-4πσ

(см. п. 78б),

4π

𝑑φ

𝑑ν

(см. (7)),

-4πϰ

𝑑𝑈

𝑑ν

(см. (4)),

-4πϰ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑉

𝑑ν

𝑑Ω

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

(см. (2)).

Таким образом, мы можем записать второе условие на поверхности:

(

4πϰ

)

𝑑Ω

𝑑ν

𝑑Ω'

𝑑ν'

4πϰ

𝑑𝑉

𝑑ν

(10)

Итак, определение магнетизма, индуцированного в однородном изотропном ограниченном поверхностью 𝑆 теле, находящемся под действием внешних магнитных сил, потенциал которых равен 𝑉, может быть сведено к следующей математической задаче.

Мы должны найти две функции Ω и Ω', удовлетворяющие следующим условиям.

Внутри поверхности 𝑆 функция Ω должна быть конечной, непрерывной и должна удовлетворять уравнению Лапласа.

Вне поверхности 𝑆Ω должна быть конечной и непрерывной, она должна обращаться в нуль при бесконечном удалении от 𝑆 и удовлетворять уравнению Лапласа.

В каждой точке самой поверхности должно выполняться равенство Ω=Ω', а производные от функции Ω, Ω' и 𝑉 по нормали должны удовлетворять уравнению (10).

Такой подход к формулировке задачи об индуцированном магнетизме принадлежит Пуассону. Величина 𝑘, которую он использует в своих трудах, отличается от величины ϰ – они связаны между собой следующим соотношением:

4πϰ

(𝑘-1)

3𝑘

(11)

Коэффициент ϰ, который мы здесь использовали, был введён Ф. Е. Нейманом.

428. Проблему индуцированного магнетизма можно рассматривать и другим способом, введя величину, которую мы, следуя Фарадею, назвали Магнитной Индукцией.

Связь между магнитной индукцией 𝔅, магнитной силой ℌ и намагниченностью 𝔍 выражается уравнением

𝔅

ℌ

4π𝔍

(12)

Индуцированная намагниченность выражается через магнитную силу следующим уравнением:

𝔍

ϰℌ

(13)

Отсюда, исключая 𝔍, находим

𝔅

(1+4πϰ)ℌ

(14)

что и является связью между магнитной индукцией и магнитной силой в веществах, намагниченность которых индуцирована магнитной силой.

В самом общем случае ϰ может быть функцией не только положения точки в веществе, но и направления вектора ℌ, однако в случае, который мы сейчас рассматриваем, ϰ является числом.

Если далее записать

4πϰ

(15)

то можно определить μ как отношение магнитной индукции к магнитной силе и называть это отношение магнитной индуктивной способностью вещества, отличая её, таким образом, от коэффициента индуцированной намагниченности ϰ.

Если обозначить через 𝑈 полный магнитный потенциал, составленный из потенциала внешних источников 𝑉 и потенциала Ω, обусловленного индуцированной намагниченностью, то можно выразить составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 магнитной индукции и составляющие α, β, γ магнитной силы следующим образом:

𝑎

μα

–μ

𝑑𝑈

𝑑𝑥

𝑏

μβ

–μ

𝑑𝑈

𝑑𝑦

𝑐

μγ

–μ

𝑑𝑈

𝑑𝑧

(16)

Составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 удовлетворяют условию соленоидальности:

𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑏

𝑑𝑦

𝑑𝑐

𝑑𝑧

(17)

Следовательно, потенциал 𝑈 должен удовлетворять уравнению Лапласа

𝑑²𝑈

𝑑𝑥²

𝑑²𝑈

𝑑𝑦²

𝑑²𝑈

𝑑𝑧²

(18)

в любой точке, где величина μ постоянна, т.е. в каждой точке внутри однородного вещества или в пустом пространстве.

Если обозначить через ν нормаль, проведённую внутрь вещества магнита, а через ν' – нормаль, проведённую наружу, и вообще все величины вне вещества отмечать штрихами, то условие непрерывности магнитной индукции на самой поверхности будет таким:

𝑎

𝑑𝑥

𝑑ν

𝑏

𝑑𝑦

𝑑ν

𝑐

𝑑𝑧

𝑑ν

𝑎'

𝑑𝑥

𝑑ν'

𝑏'

𝑑𝑦

𝑑ν'

𝑐'

𝑑𝑧

𝑑ν'

(19)

или с учётом уравнений (16)

𝑑𝑉

𝑑ν

μ'

𝑑𝑉

𝑑ν'

(20)

где μ' -коэффициент индукции вне магнита, равный единице, если окружающая среда не является магнитной или диамагнитной.

Выражая 𝑈 через 𝑉 и Ω и μ через ϰ, получим то же самое уравнение (10), к которому мы пришли методом Пуассона.

Задача об индуцированном магнетизме, рассматриваемая с точки зрения связи между магнитной индукцией и магнитной силой, в точности соответствует задаче о протекании электрических токов в разнородной среде, рассмотренной в п. 310.

Магнитная сила выражается через магнитный потенциал точно так же, как электрическая сила выражается через электрический потенциал.

Магнитная индукция является величиной, имеющей природу потока, и она удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и электрический ток.

В изотропных средах зависимость магнитной индукции от магнитной силы точно соответствует зависимости электрического тока от электродвижущей силы.

Удельная магнитная индуктивная способность в первой задаче соответствует удельной проводимости во второй. Поэтому Томсон в своей «Теории индуцированного магнетизма» (Reprint, 1872, р. 484) назвал эту величину проницаемостью среды.

Теперь мы уже готовы к рассмотрению теории индуцированного магнетизма с той точки зрения, которой, как я полагаю, придерживался Фарадей.

Когда магнитная сила действует на произвольную среду, магнитную, диамагнитную или нейтральную, внутри неё возникает явление, называемое Магнитной Индукцией.

Магнитная индукция – это направленная величина, имеющая природу потока; она удовлетворяет тем же условиям непрерывности, что и электрический ток и другие потоки.

В изотропных средах магнитная сила и магнитная индукция одинаково направлены, причём магнитная индукция равна произведению магнитной силы на величину, называемую коэффициентом индукции, которую мы обозначили через μ.

В пустом пространстве коэффициент индукции равен единице. В телах, способных к индуцированному намагничиванию, коэффициент индукции равен μ=1+4πϰ, где ϰ – величина, уже определённая как коэффициент индуцированной намагниченности.

429. Пусть μ и μ' – значения μ по разные стороны от поверхности, разделяющей две среды, а 𝑉 и 𝑉' – потенциалы в этих двух средах, тогда проекции магнитной силы на нормаль к поверхности в этих средах равны 𝑑𝑉/𝑑ν и 𝑑𝑉'/𝑑ν'.

Величины потоков магнитной индукции через элемент поверхности 𝑑𝑆 в направлении этого элемента 𝑑𝑆 равны соответственно в двух средах

𝑑𝑉

𝑑ν

𝑑𝑆

μ'

𝑑𝑉'

𝑑ν'

𝑑𝑆

Поскольку общий поток, направленный к 𝑑𝑆, равен нулю, то

𝑑𝑉

𝑑ν

𝑑𝑆

μ'

𝑑𝑉'

𝑑ν'

𝑑𝑆

Но из теории потенциала следует, что вблизи поверхности с плотностью σ

𝑑𝑉

𝑑ν

𝑑𝑆

𝑑𝑉'

𝑑ν'

𝑑𝑆

4πσ

Поэтому

𝑑𝑉

𝑑ν

⎛

⎜

⎝

–

μ'

⎞

⎟

⎠

4πσ

Если ϰ₁ есть отношение поверхностной намагниченности к силе, действующей по нормали в первой среде, коэффициент индукции которой равен μ, то мы имеем

4πϰ

₁

μ-μ'

μ'

Отсюда следует, что ϰ₁ будет положительным или отрицательным в зависимости от того, превышает или не превышает величина μ величину μ'. Если подставить μ=4πϰ+1 и μ'=4πϰ'+1, то

₁

ϰ-ϰ'

4πϰ'-1

В этом выражении ϰ и ϰ' – коэффициенты индуцированной, намагниченности первой и второй сред, подсчитанные на основании экспериментов, проделанных в воздухе, а ϰ₁ – коэффициент индуцированной намагниченности первой среды, окружённой второй средой.

Если коэффициент ϰ' больше, чем ϰ то ϰ₁ отрицателен, т.е. кажущаяся намагниченность первой среды противоположна по направлению намагничивающей силе.

Поэтому, если взять сосуд, содержащий слабый водный раствор парамагнитной соли железа, и, погрузив его в более сильный раствор той же соли, подействовать магнитом, то этот сосуд будет двигаться как намагниченный в направлении, противоположном тому, в котором установился бы помещённый в это место какой-либо магнит.

Это может быть объяснено, если выдвинуть гипотезу, что раствор в сосуде на самом деле намагничен вдоль направления магнитной силы, но окружающий его раствор намагничен в том же направлении ещё сильнее. Сосуд поэтому подобен слабому магниту, помещённому между двумя сильными магнитами при условии, что все они намагничены в одном и том же направлении, а их противоположные полюса находятся в контакте друг с другом. Северный полюс слабого магнита указывает в том же направлении, что и северные полюсы сильных магнитов, но при наличии контакта с южным полюсом одного из сильных магнитов около него образуется избыток южного магнетизма, который и является причиной того, что слабый магнит кажется намагниченным в противоположном направлении.

У некоторых веществ, однако, кажущаяся намагниченность отрицательна даже при погружении их в так называемый вакуум.

Если мы положим для вакуума ϰ=0, то для этих веществ коэффициент ϰ будет отрицателен. Однако веществ, для которых отрицательное значение ϰ численно превышает 1/4π, не обнаружено; поэтому для всех известных веществ величина μ положительна.

Вещества, для которых ϰ отрицательно и, следовательно, меньше единицы, называются Диамагнитными. Вещества, для которых величина ϰ положительна и μ больше единицы, называются Парамагнитными, Ферромагнитными или просто магнитными.

Мы рассмотрим физическую теорию диамагнитных и парамагнитных свойств, когда перейдём к электромагнетизму (п. 832-845).

430. Математическая теория магнитной индукции впервые была дана Пуассоном ² . Физической гипотезой, на которой он основал свою теорию, служило допущение о наличии двух магнитных жидкостей; эта гипотеза обладала теми же математическими преимуществами и сталкивалась с теми же физическими трудностями, что и теория двух электрических жидкостей. Однако для объяснения того факта, что кусок мягкого железа хотя и может быть намагничен по индукции, но не может быть заряженным неравными количествами одного из двух видов магнетизма, Пуассон предположил, что, вообще говоря, вещество является непроводящим для обеих жидкостей и только в некоторых малых его объёмах жидкости пребывают в условиях свободного подчинения действующим на них силам. Причём каждый из этих маленьких магнитных элементов веществ содержит точно равные количества обеих жидкостей, и, свободно перемещаясь внутри каждого элемента, эти жидкости никогда не могут переходить от одного элемента к другому. Поэтому задача оказывается однотипной с задачей о большом числе маленьких проводников электричества, распределённых в диэлектрической изолирующей среде. Проводники могут иметь любую форму при условии, что они малы и не касаются друг друга.

²Mémoires de l'Institut, 1824, p. 247.

Если они являются вытянутыми телами, повёрнутыми в одном общем для них направлении, или если в одном из направлений они уплотнены сильнее, чем в другом, то среда, как показал сам Пуассон, не будет изотропной. Поэтому, чтобы избежать бесполезной запутанности, Пуассон рассматривает случай, когда все элементы являются сферическими и равномерно распределёнными по всем направлениям. Он предполагает, что полный объём всех магнитных элементов в единице объёма вещества равен 𝑘.

В п. 314 мы уже рассмотрели электрическую проводимость среды, внутри которой распределены маленькие сферы другой среды.

Для случая, когда проводимость среды равна μ₁, а проводимость сфер μ₂, мы получили, что проводимость составной среды равна

₁

2μ₁+μ₂+2𝑘(μ₂-μ₁)

2μ₁+μ₂-𝑘(μ₂-μ₁)

При μ₁=1 и μ₂=∞ это даёт

1+2𝑘

1-𝑘

Эта величина μ определяет электрическую проводимость среды, состоящей из идеально проводящих сфер, распределённых в среде с единичной проводимостью, причём суммарный – агрегатный – объём всех сфер в единице объёма равен 𝑘.

Величина μ также представляет собой коэффициент магнитной индукции среды, состоящей из сфер с бесконечной проницаемостью, рассеянных в среде с проницаемостью, равной единице.

Величина 𝑘, которую мы будем называть Магнитным Коэффициентом Пуассона, представляет собой отношение объёма магнитных элементов к полному объёму вещества.

Величина ϰ известна как Коэффициент Индуцированной Намагниченности Неймана. Она более удобна, чем коэффициент Пуассона.

Величину μ мы будем называть Коэффициентом Магнитной Индукции. Её преимущество состоит в том, что она облегчает преобразование магнитных задач в соответствующие электрические и тепловые.

Соотношения между этими величинами таковы:

𝑘

4πϰ

4πϰ+3

𝑘

μ-1

μ+2

μ-1

4π

3𝑘

4π(1-𝑘)

1+2𝑘

1-𝑘

4πϰ

Если положить ϰ=32 (именно такое значение дают эксперименты Талена ³ с мягким железом), то получим 𝑘=135/136 Но по теории Пуассона эта величина должна быть равна отношению объёма, занимаемого магнитными молекулами, к полному объёму железа. Однако ведь невозможно заполнить какое-либо пространство одинаковыми сферами так плотно, чтобы отношение их объёма к объёму этого пространства было бы столь близко к единице. И совершенно невероятно, чтобы такая большая доля объёма железа была занята твёрдыми молекулами, какую бы форму они ни имели. В этом состоит одна из причин, по которой мы должны отказаться от гипотезы Пуассона. Другие будут приведены в главе VI. Но, конечно, при этом полностью сохраняется значение математических исследований Пуассона, ибо они основаны не на его гипотезе, а на экспериментальном факте наличия индуцированной намагниченности.

³Recherches sur les propriétés magnétiques du jer, Nova Acla, Upsal, 1863.

ГЛАВА V

ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Полая сферическая оболочка

431. Первый пример полного решения задачи о магнитной индукции был дан Пуассоном для случая полой сферической оболочки, находящейся под воздействием произвольных магнитных сил.

Для простоты будем считать, что источник магнитной силы расположен во внешнем по отношению к оболочке пространстве.

Если обозначить через 𝑉 потенциал, создаваемый внешней магнитной системой, то его можно будет разложить в ряд по пространственным гармоникам следующего вида:

𝑉

𝐶

₀

𝑆

₀

𝐶

₁

𝑆

₁

𝑟

+и т.д. +

𝐶

_𝑖

𝑆

_𝑖

𝑟

^𝑖

(1)

где 𝑟 – расстояние от центра оболочки, 𝑆_𝑖 – поверхностная гармоника 𝑖-гo порядка, 𝐶_𝑖 – коэффициент.

Этот ряд будет сходящимся при условии, что 𝑟 меньше расстояния до ближайшего из магнитов, создающих данный потенциал. Следовательно, для полой сферической оболочки он сходится и на самой оболочке, и в области внутри неё.

Обозначим через 𝑎₂ внешний радиус оболочки, через 𝑎₁ – внутренний радиус и через Ω – потенциал, создаваемый индуцированной в ней намагниченностью. Во внутреннем пространстве, внутри вещества оболочки, и во внешнем пространстве вид функции Ω, вообще говоря, различен. Разложив эти функции в ряды по гармоникам и сосредоточив своё внимание на членах, содержащих поверхностную гармонику 𝑆_𝑖, мы увидим, что потенциал Ω₁, относящийся к полости внутри оболочки, следует разлагать по положительным гармоникам вида 𝐴₁𝑆_𝑖𝑟^𝑖, поскольку внутри сферы радиуса 𝑎₁ он не должен обращаться в бесконечность.

В веществе оболочки, где значения 𝑟 лежат между 𝑎₁ и 𝑎₂, ряд может содержать как положительные, так и отрицательные степени 𝑟 вида 𝐴₂𝑆_𝑖𝑟^𝑖+𝐵₂𝑆_𝑖𝑟^-(𝑖+1).

Вне оболочки, где 𝑟 больше 𝑎₂, разложение должно сходиться при сколь угодно больших 𝑟, и поэтому мы должны брать только отрицательные степени 𝑟 вида 𝐵₃𝑆_𝑖𝑟^-(𝑖+1)

Функция ω должна удовлетворять следующим условиям: (1°) быть конечной, (2°) быть непрерывной, (3°) обращаться в нуль на бесконечном расстоянии и (4°) везде удовлетворять уравнению Лапласа.

Из условия (1°) следует

𝐵

₁

Из условия (2°) при 𝑟=𝑎₁

(

𝐴

₁

–

𝐴

₂

)

𝑎

2𝑖+1

–

𝐵

₂

(2)

и при 𝑟=𝑎₂

(

𝐴

₂

–

𝐴

₃

)

𝑎

2𝑖+1

𝐵

₂

–

𝐵

₃

(3)

Из условия (3°) следует 𝐴₂, а условие (4°) выполнено всюду, так как все эти функции являются гармоническими.

Помимо этих условий, существуют и другие, которым в силу уравнения (10) п. 427 необходимо удовлетворить на внешней и внутренней сторонах оболочки.

На внутренней поверхности при 𝑟=𝐴₁.

(1+4πϰ)

𝑑Ω₂

𝑑𝑟

–

𝑑Ω₁

𝑑𝑟

4πϰ

𝑑𝑉

𝑑𝑟

(4)

на внешней поверхности при 𝑟=𝑎₂

-(1+4πϰ)

𝑑Ω₂

𝑑𝑟

𝑑Ω₃

𝑑𝑟

–

4πϰ

𝑑𝑉

𝑑𝑟

Из этих условий получаем уравнения

(1+4πϰ)

{

𝑖𝐴

₂

𝑎

2𝑖+1

–

(𝑖+1)𝐵

₂

𝑖𝐴

₁

𝑎

2𝑖+1

4πϰ

𝑖𝐶

_𝑖

𝑎

2𝑖+1

(6)

(1+4πϰ)

{

𝑖𝐴

₂

𝑎

2𝑖+1

–

(𝑖+1)𝐵

₂

(𝑖+1)𝐵

₃

4πϰ

𝑖𝐶

_𝑖

𝑎

2𝑖+1

(7)

из которых, обозначив

𝑁

_𝑖

(1+4πϰ)(2𝑖+1)²

(4πϰ)²

𝑖(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

–

⎧

⎪

⎩

𝑎

₁

⎫2𝑖+1

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

(8)

находим

𝐴

₁

(4πϰ)²

𝑖(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

–

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫2𝑖+1

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

(9)

𝐴

₂

4πϰ𝑖

⎡

⎢

⎣

2𝑖

4πϰ

(𝑖+1)

⎛

⎜

⎝

–

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫2𝑖+1

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

(10)

𝐵

₂

4πϰ

𝑖(2𝑖+1)

𝑎

2𝑖+1

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

(11)

𝐵

₃

4πϰ

𝑖{2𝑖+1+4πϰ(𝑖+1)}

(

𝑎

2𝑖+1

–

𝑎

2𝑖+1

)

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

(12)

Эти величины при подстановке в ряды по гармоникам дают ту часть потенциала, которая обусловлена намагниченностью оболочки. Величина 𝑁_𝑖 всегда положительна, так как множитель (1+4πϰ) никогда не может быть отрицательным. Следовательно, 𝐴₁ всегда принимает отрицательные значения, или, другими словами, действие намагниченной оболочки в точке внутри неё всегда противоположно действию внешней магнитной силы, независимо от того, является ли оболочка парамагнитной или диамагнитной. Истинное значение результирующего потенциала внутри оболочки равно (𝐶_𝑖+𝐴₁)𝑆_𝑖𝑟^𝑖 или

(1+4πϰ)

(2𝑖+1)²

𝑁

_𝑖

𝐶

_𝑖

𝑆

_𝑖

𝑟

^𝑖

(13)

432. Если ϰ является большим числом, как в случае мягкого железа, то для не слишком тонкой оболочки магнитная сила внутри неё составляет малую долю внешней силы.

Именно таким способом сэр У. Томсон, поместив свой морской гальванометр в трубу из мягкого железа, сделал его независящим от внешней магнитной силы.

433. Наибольшую практическую ценность представляет случай 𝑖=1, для которого имеем

𝑁

_𝑖

9(1+4πϰ)

2(4πϰ)²

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

𝑎

₁

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

(14)

𝐴

₁

-2(4πϰ)²

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑁

₁

𝐶

₁

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐴

₂

4πϰ

⎡

⎢

⎣

3+8πϰ

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

𝑎₁

𝑎₂

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑁

₁

𝐶

₁

𝐵

₂

12πϰ

𝑎

₁

𝑁

₁

𝐶

₁

𝐵

₂

4πϰ

(3+8πϰ)

(

𝑎

₂

–

𝑎

₁

)

𝑁

₁

𝐶

₁

(15)

В этом случае магнитная сила внутри полой оболочки является однородной, а её величина равна

𝐶

₁

+𝐴

₁

9(1+4πϰ)

𝐶

₁

9(1+4πϰ)

2(4πϰ)²

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

𝑎

₁

⎫³

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑎

₂

(16)

Если мы хотим определить ϰ путём сравнения магнитной силы, измеренной внутри полой оболочки, с внешней магнитной силой, то наилучшее значение толщины оболочки можно найти из уравнения

–

𝑎₁³

𝑎₂³

1+4πϰ

2(4πϰ)²

(17)

Магнитная сила внутри оболочки при этом составляет половину значения магнитной силы вне оболочки.

Поскольку для железа значения ϰ лежат между 20 и 30, то толщина оболочки должна составлять около двух сотых долей её радиуса. Этот метод применим только при больших значениях ϰ. Если же они очень малы, то и величина 𝐴₁ становится неощутимо малой, так как она пропорциональна квадрату ϰ.

Для случая почти сплошной сферы с очень маленькой сферической полостью

𝐴

₁

2(4πϰ)²

(3+4πϰ)(3+8πϰ)

𝐶

₁

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐴

₂

4πϰ

3+4πϰ

𝐶

₁

𝐵

₃

4πϰ

3+4πϰ

𝐶

₁

𝑎

₂

(18)

Это исследование можно было полностью провести, непосредственно исходя из решения задачи о протекании тока через сферическую оболочку, рассмотренную в п. 312. Для этого в приведённых там выражениях следует положить 𝑘₁=(1+4πϰ)𝑘₂ и учесть, что величины 𝐴₁ и 𝐴₂ в задаче о протекании тока эквивалентны величинам 𝐶₁+𝐴₁ и 𝐶₁+𝐴₂ в задаче о магнитной индукции.

434. Соответствующее двумерное решение представлено графически на рис. XV в конце этого тома. Там показано, как линии индукции, почти горизонтальные вдали от центра, искажаются поперечно намагниченным цилиндрическим стержнем, помещённым в положение устойчивого равновесия. Линии, пересекающие это семейство под прямыми углами, изображают эквипотенциальные поверхности, одна из которых является цилиндром. Большой пунктирный круг соответствует сечению цилиндра из парамагнитного вещества, а пунктирные горизонтальные линии внутри него изображают линии индукции в веществе, непрерывно переходящие во внешние линии индукции. Вертикальные пунктирные линии представляют собой внутренние эквипотенциальные поверхности, неразрывно связанные с внешней системой эквипотенциалей.

Следует отметить, что линии индукции сгущаются внутри вещества, а эквипотенциальные поверхности раздвигаются парамагнитным цилиндром, который, выражаясь языком Фарадея, проводит линии индукции лучше, чем окружающее вещество.

Если считать систему вертикальных линий линиями индукции, а горизонтальную систему – эквипотенциальными поверхностями, то получится, во-первых, случай поперечно намагниченного цилиндра, помещённого в неустойчивое равновесие среди раздвинутых им силовых линий; во-вторых, если считать, что большой пунктирный круг соответствует сечению диамагнитного цилиндра, пунктирные линии внутри него вместе с внешними линиями будут представлять действие диамагнитного вещества, состоящее в разрежении линий индукции и сближении эквипотенциальных поверхностей, ибо такое вещество является худшим проводником магнитной индукции, чем окружающая среда.

Случай сферы с коэффициентами намагниченности, различными в разных направлениях

435. Пусть α, β, γ – составляющие магнитной силы, а 𝐴, 𝐵, 𝐶 – составляющие намагниченности в произвольной точке, тогда наиболее общее линейное соотношение между этими величинами даётся уравнениями

𝐴

𝑟

₁

𝑝

₃

𝑞

₂

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐵

𝑞

₃

𝑟

₂

𝑝

₁

𝐶

𝑝

₂

𝑞

₁

𝑟

₂

(1)

где 𝑝, 𝑞, 𝑟 – девять коэффициентов намагниченности.

Предположим теперь, что условия намагниченности внутри сферы радиуса α именно таковы и что намагниченность в каждой точке вещества однородна и одинаково направлена, а её составляющие равны 𝐴, 𝐵, 𝐶.

Предположим также, что внешняя намагничивающая сила также однородна и параллельна какому-нибудь направлению и имеет составляющие 𝑋, 𝑌, 𝑍.

Тогда значение 𝑉 будет равно

𝑉

–(

𝑋𝑥

𝑌𝑦

𝑍𝑧

(2)

а для значения потенциала Ω' вне сферы намагниченности, согласно п. 391, получим

4π

𝑎³

𝑟³

(

𝐴𝑥

𝐵𝑦

𝐶𝑧

(3)

Значение потенциала Ω внутри сферы намагниченности равно

4π

(

𝐴𝑥

𝐵𝑦

𝐶𝑧

(4)

Истинный потенциал внутри сферы равен 𝑉+Ω, т.е. для составляющих магнитной силы внутри сферы имеем

𝑋

–

π𝐴

𝑌

–

π𝐵

𝑍

–

π𝐶

(5)

Следовательно,

⎛

⎜

⎝

π𝑟

₁

⎞

⎟

⎠

𝐴+

π𝑝

₃

𝐵+

π𝑞

₂

𝐶

𝑟

₁

𝑋

𝑝

₃

𝑌

𝑞

₂

𝑍

π𝑞

₃

𝐴+

⎛

⎜

⎝

π𝑟

₂

⎞

⎟

⎠

𝐵+

π𝑝

₁

𝐶

𝑞

₃

𝑋

𝑟

₂

𝑌

𝑝

₁

𝑍

π𝑝

₂

𝐴+

π𝑞

₁

𝐵+

⎛

⎜

⎝

π𝑟

₃

⎞

⎟

⎠

𝐶

𝑝

₂

𝑋

𝑞

₁

𝑌

𝑟

₃

𝑍

(6)

Решая эти уравнения, находим

𝐴

𝑟

₁

'𝑋

𝑝

₃

'𝑌

𝑞

₂

'𝑍

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐵

𝑞

₃

'𝑋

𝑟

₂

'𝑌

𝑝

₁

'𝑍

𝐶

𝑝

₂

'𝑋

𝑞

₁

'𝑌

𝑟

₃

'𝑍

(7)

где

𝐷'𝑟

₁

𝑟

₁

π(

𝑟

₃

𝑟

₁

–

𝑝

₂

𝑞

₂

𝑟

₁

𝑟

₂

–

𝑝

₃

𝑞

₃

⎛

⎜

⎝

⎞²

⎟

⎠

𝐷

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

𝐷'𝑝

₁

𝑝

₁

–

π(

𝑞

₂

𝑞

₃

𝑝

₁

𝑟

₁

𝐷'𝑞

₁

𝑞

₁

–

π(

𝑝

₂

𝑝

₃

𝑞

₁

𝑟

₁

)

и т.д.

(8)

Здесь 𝐷 – определитель из коэффициентов в правой части уравнения (6), а 𝐷' – определитель из коэффициентов в левой части.

Новая система коэффициентов 𝑝', 𝑞', 𝑟' будет симметричной только для симметричной системы 𝑝, 𝑞, 𝑟, т.е. когда коэффициенты типа 𝑝 равны соответствующим коэффициентам типа 𝑞.

436. Момент пары сил, стремящийся повернуть сферу вокруг оси 𝑥 в направлении от 𝑦 к 𝑧 , находится путём вычисления моментов, действующих на элементарные объёмы, и их суммирования по всей сфере. Результат следующий:

𝐿

π𝑎³

(γ𝐵-β𝐶)

π𝑎³

{

𝑝

₁

'𝑍²

–

𝑞

₁

'𝑌²

(𝑟

₂

'-𝑟

₃

')𝑌𝑍

𝑋(𝑞

₃

'𝑍-𝑝

₂

'𝑌)

(9)

Если положить 𝑋=0, 𝑌=𝐹 cos θ, 𝑍=𝐹 sin θ, то это будет соответствовать магнитной силе 𝐹 лежащей в плоскости 𝑦𝑧 и наклонённой под углом θ к оси 𝑦. Будем теперь поворачивать сферу, сохраняя силу постоянной, тогда работа, совершаемая при вращении сферы на каждый полный оборот, окажется равной

2π

∫

𝐿

𝑑θ

Но эта работа равна

π²

𝑎³

𝐹²

(𝑝

₁

'-𝑞

₁

(10)

Следовательно, чтобы вращающаяся сфера не могла стать неисчерпаемым источником энергии, необходимо выполнение равенства 𝑝₁'-𝑞₁' и, аналогично, 𝑝₂'-𝑞₂', 𝑝₃'-𝑞₃'.

Эти условия показывают, что в первоначальных уравнениях (6) коэффициент при 𝐵 в третьем уравнении равен коэффициенту при 𝐶 во втором и т.д. Система уравнений, таким образом, оказывается симметричной и после приведения к главным осям намагниченности становится такой:

𝐴

𝑟

₁

𝑋

π𝑟

₁

𝐵

𝑟

₂

𝑌

π𝑟

₂

𝐶

𝑟

₃

𝑍

π𝑟

₃

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(11)

Момент пары сил, стремящийся повернуть сферу вокруг оси 𝑥, равен

𝐿

π𝑎³

𝑟

₂

–𝑟

₃

𝑌𝑍

⎛

⎜

⎝

π𝑟

₂

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

π𝑟

₃

⎞

⎟

⎠

(12)

В большинстве случаев различия между коэффициентами намагниченности в различных направлениях очень малы и, считая 𝑟 средним значением для этих коэффициентов, можно положить

𝐿

π𝑎³

𝑟

₂

–𝑟

₃

𝐹²

sin 2θ

⎛

⎜

⎝

π𝑟

⎞²

⎟

⎠

(13)

Эта сила стремится развернуть кристаллическую сферу вокруг оси 𝑥 в направлении от 𝑦 к 𝑧. Она всегда старается направить ось, соответствующую наибольшему магнитному (или наименьшему диамагнитному) коэффициенту параллельно линии магнитной силы.

Соответствующий двумерный случай представлен на рис. XVI.

Если предположить, что верхняя сторона рис. XVI смотрит на север, то там будут представлены силовые линии и эквипотенциальные поверхности, возмущённые поперечно намагниченным цилиндром, северная сторона которого направлена на восток. Результирующая сила стремится повернуть цилиндр с востока на север. Большая пунктирная окружность представляет сечение цилиндра из кристаллического вещества, у которого коэффициент индукции вдоль оси, направленной с северо-востока на юго-запад, больше, чем вдоль оси, направленной с северо-запада на юго-восток. Пунктирные линии внутри окружности изображают линии индукции и эквипотенциальные поверхности, которые теперь уже пересекаются не под прямым углом друг к другу. Действующая на цилиндр результирующая сила, очевидно, стремится повернуть его с востока на север.

437. Задача об эллипсоиде, помещённом в поле однородной и параллельной магнитной силы, очень изобретательно была решена Пуассоном.

Если потенциал в точке (𝑥,𝑦,𝑧), обусловленный гравитацией тела произвольной формы с однородной плотностью ρ, равен 𝑉, то потенциал магнетизма, создаваемый тем же телом при однородной намагниченности в направлении оси 𝑥 с интенсивностью 𝐼=ρ, равен -(𝑑𝑉/𝑑𝑥).

Действительно, значение -(𝑑𝑉/𝑑𝑥)δ𝑥 в произвольной точке есть превышение потенциала тела 𝑉 над потенциалом 𝑉' того же тела, смещённого на расстояние -δ𝑥 в направлении 𝑥.

Предположим, что тело смещено на расстояние -δ𝑥, а его плотность вместо ρ стала -ρ (как будто тело сделано из отталкивающей материи вместо притягивающей), тогда величина -(𝑑𝑉/𝑑𝑥)δ𝑥 будет потенциалом, создаваемым этими двумя телами.

Рассмотрим теперь элементарную порцию тела с объёмом δ𝑣 и массой ρ𝑑𝑣, а также соответствующий объём смещённого на расстояние -δ𝑥 тела с массой -ρδ𝑣. Действие этих двух элементов эквивалентно действию магнита с мощностью ρδ𝑣 и длиной δ𝑥. Интенсивность намагниченности находится делением магнитного момента элемента на его объём. Результат равен δ𝑥.

Следовательно, величина -(𝑑𝑉/𝑑𝑥)δ𝑥 есть магнитный потенциал тела, намагниченного с интенсивностью ρδ𝑥 в направлении 𝑥, а -(𝑑𝑉/𝑑𝑥) – потенциал тела, намагниченного с интенсивностью ρ.

Этот потенциал можно рассматривать и в ином свете. Тело было смещено на расстояние -δ𝑥, и его плотность изменена на -ρ. В той области пространства, которая является общей для двух положений тела, плотность равна нулю, так как две равные и противоположные плотности уничтожают друг друга (пока речь идёт о притяжении). Таким образом, остаётся оболочка из положительной материи на одной стороне тела и оболочка из отрицательной материи на другой. Можно считать, что ими и создаётся результирующий потенциал. Толщина оболочки в точке, где нормаль, проведённая наружу, образует угол ε с осью 𝑥, равна δ𝑥 cos ε; и поэтому при объёмной плотности ρ поверхностная плотность равна ρδ𝑥 cos ε. Если потенциал записан в виде -(𝑑𝑉/𝑑𝑥), то поверхностная плотность окажется равной ρ cos ε.

Таким способом мы можем найти магнитный потенциал любого тела, однородно намагниченного параллельно данному направлению. Но если эта однородная намагниченность обусловлена магнитной индукцией, то магнитная сила во всех точках внутри тела также должна быть однородной и параллельной.

Эта сила состоит из двух частей: одна связана с внешними источниками, другая – с намагниченностью тела. Поэтому при однородной и параллельной внешней магнитной силе магнитная сила, связанная с намагниченностью, также должна быть однородной и параллельной во всех точках внутри тела.

Назад к карточке книги "Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2."