Текст книги "Итоги тысячелетнего развития, кн. I-II"
Автор книги: Алексей Лосев
Жанр:
Философия
сообщить о нарушении
Текущая страница: 74 (всего у книги 115 страниц)
1. Нефилософская литература
Наиболее значительным текстом из этой литературы необходимо считать следующее стихотворение Архилоха (frg. 67a D. Верес.):
Сердце, сердце! Грозным строем встали беды пред тобой.
Ободрись и встреть их грудью, и ударим на врагов!
Пусть везде кругом засады, – твердо стой, не трепещи.
Победишь, – своей победы напоказ не выставляй,
Победят, – не огорчайся, запершись в дому, не плачь.
В меру радуйся удаче, в меру в бедствиях горюй.
Познавай тот ритм, что в жизни человеческой сокрыт.
По–видимому, это чисто человеческое понимание ритма как правильно размеренной жизни является самым главным.
2. Ранняя и средняя классика
Термин"ритм"трактовался в античности настолько далеко от философских обобщений, что нужно считать прямо удивительным отсутствие его у таких, например, философов, как Гераклит, у которых вечная процессуальность и ее правильное чередование, казалось бы, и должны были формулироваться при помощи именно этого термина. Поэтому термин"ритм"у философов весьма мало популярен.
а)Из всей древнейшей натурфилософии в так называемой раннейклассике мы встречаем этот термин только у Демокрита, да и у него он поясняется как"фигура", то есть как совокупность одновременных особенностей данной вещи. Поэтому rhythmos мы перевели бы здесь не как"ритм", но, скорее, как"очертание". Именно, по Демокриту (A 38=II 94, 7), бытие обладает очертанием, соприкасанием и поворотом. Причем очертание объясняется здесь как"схема"(то же – Левкипп A 6=II 72, 21). Может быть, некоторый намек на движение содержится в суждении Левкиппа (A 28) о шарообразном очертании атомов души, поскольку эта последняя легко всюду проникает. Но фундаментальность этого статического представления о ритме еще раз прямо подтверждается текстами Демокрита (A 44. 125) о том, что полное в пустом производит все при помощи очертанияи поворота (tropëi). У Мелисса (a 5 = I 263, 29) говорится, что вода, воздух и др., будучи одним и тем же, различаются между собою только очертанием.
У Демокрита же попадается и настолько обобщенное понимание термина"ритм", что его невозможно относить даже и к физическим телам. А именно, у него (B 266=II 200, 5) говорится, что при существующем порядке вещейдаже хорошие правители должны творить обиды. Однако здесь статический характер ритма не подлежит сомнению.
б)В среднейклассике возникло две новости, но, по–видимому, обоснованные еще в ранней классике. А именно, софисты Фразимах и Горгий явились изобретателями того, что мы сейчас называем метрикой, которой они пользовались вначале даже неумеренно (82 A 32; 85 A 12). Эта метрика и была для них не чем иным, как ритмикой. Но это понятно, поскольку античная метрика основана не на чередовании ударений, но на чередований долгот и кратностей. Поэтому некоторый момент подвижности тем самым уже был внесен в понятие ритма. Еще один софист, Гиппий (A 2), тоже учил о ритмах – тактах.
С другой стороны, в эту же эпоху выяснилась и настоятельная потребность толковать новооткрытые ритмы–метры с точки зрения их психологического и даже морального воздействия. Учитель Платона, музыкант Дамон (B 9 = I 384, 19), исследовал то,"какие размеры подходят для выражения низости, наглости, бездумия и других дурных свойств и какие ритмы надо оставить для выражения противоположных состояний"(этот текст взят из Plat. R. P. III 400a).
Что касается доплатоновской литературы, то еще имеется несколько указаний на такое название трактатов, в которое входит термин"ритм". Однако это обстоятельство едва ли мешает указанному у нас взгляду на статическую природу тогдашней ритмики.
3. Зрелая и поздняя классика
а)Переходя к зрелойклассике, то есть к Платону, необходимо сказать, что именно здесь утвердилось подлинно античное понимание ритма. Платон понимает ритм как"порядок движения"(Legg. II 665a) и как согласование долгот и краткостей (Conv. 187c). Но Платон делает из этого все психологические, моральные, общественно–политические и художественные выводы и, теоретически рассуждая, также и космологические выводы, но этих последних в буквальном смысле у Платона не имеется. Все основные тексты из Платона о ритме были приведены у нас в своем месте (ИАЭ II 402 – 404). Поэтому приводить здесь тексты мы не будем, а формулируем только общий из них вывод.
Подробное изучение этих текстов безусловно свидетельствует, прежде всего, о воспитательномподходе к ритмике. Для Платона здесь важнее всего воспитать благородных граждан, которым решительно чужды всякие излишества и всякий беспорядок, так что и для личности, и для государства здесь необходимо проводить, по Платону, строжайшее внимание и систему. Но здесь важно отметить также и то, что Платона никак нельзя считать каким то моралистически настроенным толстовцем. Красоту искусства Платон глубоко понимает и любит. Но, конечно, искусство у него неотделимо от жизни; и, конечно, подлинная красота для него та, которая тут же обязательно осуществляется в жизни. Надо считать, что это и есть подлинное античное учение о ритме.
б)Что касается позднейклассики, то динамический момент движения, в общем, тоже не был чужд Аристотелю. Тем не менее указание на определенную связь ритмики с движением мы находим только в псевдоаристотелевских"Проблемах"(V 16, 882b 2):"…всякий ритм измеряется разграниченно данным движением". Косвенно на существенность динамического момента указывает текст из"Поэтики"(I, 1447a 26 – 28):"только ритмом, без гармонии совершается подражание в искусстве плясунов, ибо они изобразительными ритмами достигают подражания характерам, и страстям, и действиям". В этом смысле ритмика так же свойственна природе человека, как и гармония и как подражание вообще; но тут же говорится, что метры есть только разновидность ритмов (4, 1448b 21 – 24; Rhet. III 8, 1408b 28 – 31). О природном происхождении ритмики читаем и в другом месте (De spirit. 9, 485b 9). Полное отождествление ритмики и метрики встречается у Аристотеля не раз (Met. XIV 1, 1087b 34 – 36). Особенно большое значение придает Аристотель воспитательным функциям ритмики (Polit. VIII 7, 1341b, 19 – 26).
4. Эллинизм
В эпоху эллинизма философы не дали точного определения ритма, но засвидетельствовали его огромное значение. По стоикам, ритмы выражают собой как подобающее, так и неподобающее, как прекрасное, так и безобразное (III 88=233, 33 – 34). Что же касается Плотина, то ритмы у него не только прекрасны (I 6, 1, 3) и не только исключают разногласие и безмерность (I 31, 26 – 28), но ритмы в музыке соответствуют умопостигаемым ритмам (V 9, 11, 11) и ритмы в живом космосе тоже совершаются согласно разуму (IV 4, 35, 20 – 21), так что все существующее, включая ум, душу, живое и весь космос, есть одно нераздельное специфическое качество, обладающее своими собственными гармонией и ритмом (VI 7, 12, 14 – 30; 18, 43 – 46).
Глава VI. ЗАВЕРШИТЕЛЬНАЯ СИНТЕТИЧЕСКИ-КОНСТИТУТИВНАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ
§1. Пифагорейское учение о музыкальной гармонии как обобщенная совокупность всей синтетически структуральной терминологии античности
После изучения как элементарной, так и композиционной конструктивной терминологии мы должны перейти к обзору завершительных форм всей этой гармонической синтетики. Однако, прежде чем это сделать, мы вынуждены огромным количеством соответствующих материалов дать обозрение такого, казалось бы, узкого вопроса, как пифагорейская гармония.
Дело в том, что до нас дошло колоссальное количество материалов по античной музыкальной гармонии и материалы эти свидетельствуют о детальной разработанности в античности всех синкретических категорий, правда, в чрезвычайно разбросанном, противоречивом и исторически весьма разнородном виде. Волей-неволей приходится отводить значительное время для изучения сначала, казалось бы, узкомузыкальных и даже акустических материалов. Но в результате оказывается, что тут-то как раз и торжествовала античная максимально обобщенная и синтетическая терминология, не исключавшая анализа самых мелких терминов из этой области. Поэтому и нашему читателю придется вникнуть в разного рода акустические и математические построения у пифагорейцев, но зато в результате мы получаем такую универсальную гармоническую концепцию, которая охватывает и всю физическую, и всю человеческую, и всю космическую область, и всякую как художественную, так и философскую обобщенность античной мысли. И только после этого мы сможем говорить об окончательном терминологическом закреплении всего этого огромного структурального синтеза, а именно о категории совершенства.
Как известно, в пифагорейской музыкальной гармонии большую роль играет акустика. И необходимо сказать, что эти акустические рассуждения в области музыкальной теории были в античности, вообще говоря, весьма любимым занятием, и об этом гласит огромное количество дошедших до нас античных источников. Не желая нарушить стройности изложения, мы отложим эти акустические рассуждения древних на самый конец античного учения о гармонии. Кроме того, и по самому существу своему эти пифагорейские категории больше относятся именно к синтетическому завершению всей античной концепции гармоний. Сейчас мы к этому и переходим.
1. Необходимая предпосылка
а) Как мы видели выше (часть седьмая, глава II, §2, п. 3), античное пифагорейство прославилось своим учением о числе. У пифагорейцев, а за ними, можно сказать, и во всей античности, реальная действительность на всех ступенях своего развития всегда мыслилась числовым образом устроенной, так что без числовой структуры античный философ вообще не мыслил ничего существующего, будь то материальное, будь то душевное или умственное, будь то абсолютное первоединство, будь то неживая вещь, будь то человек, будь то сам бог. Мы не ошибемся, если скажем, что эта числовая теория, аритмология, была для античности самым настоящим априоризмом, под который подгонялось всякое позитивно-реальное и даже экспериментальное наблюдение.
б) Нужно отчетливо понимать этот античный априоризм. Нечего и говорить о том, что он не имел ровно ничего общего с европейским субъективизмом Нового и Новейшего времени, когда всякое априори обязательно понималось как принадлежность человеческому субъекту, который эту свою чисто субъективную установку и применил для понимания реальной действительности. Античный числовой априоризм, наоборот, был не чем иным, как обобщением исходной вещественно-телесной интуиции, которая всегда исходила из объективной данности благоустроенной и целесообразно действующей вещи. Поэтому если пифагорейцы пользовались своими числами как априорными структурами, то сами-то эти числа возникли, в свою очередь, как обобщение вещественной и телесно-данной интуиции. Этот априоризм, таким образом, был априоризмом самой же действительности, то есть не чем иным, как областью ей же самой принадлежащих, но только уже обобщенных смысловых структур.
в) Этот выставляемый нами сейчас тезис надо считать необходимой предпосылкой при рассмотрении пифагорейской акустики. Дело в том, что тут были две стороны пифагорейской эстетики – одинаково исконные и одинаково для пифагорейства очевидные.
Первое обстоятельство заключается в том, что пифагорейцы весьма глубоко и с бесконечным упорством понимали музыкальную гармонию как консонанс, а консонанс – обязательно как кварту, квинту и октаву в сравнении с основным тоном. Кое-кто объявлял консонансом еще дуодециму, то есть соединение октавы и квинты, или даже две октавы. В основном, однако, везде фигурировали, прежде всего, в качестве консонансов именно кварта, квинта и октава. Это было неумолимое требование античного слуха, который отчетливо и весьма упорно, в первую очередь, считал консонансами именно кварту, квинту и октаву, и с этим требованием нам необходимо считаться как с неопровержимым историческим фактом.
Второе обстоятельство заключается в том, что всякий музыкальный консонанс, как и вообще все на свете, трактовался обязательно у пифагорейцев в виде определенного рода числовой конструкции. Но здесь важно и не только это. А важно то, что отношение кварты к основному тону пифагорейцы с давних времен толковали как отношение 4:3, отношение квинты – как 3:2 и отношение октавы – как 2:1. Как пифагорейцы могли прийти к таким – числовым – конструкциям? Ведь они же не обладали настолько точными измерительными приборами, чтобы получать такие точные данные.
Другое дело наша современная акустика. Здесь определенно говорится о колебаниях той или иной упругой среды, например воздушной, говорится о частоте колебаний этой среды или говорится о длине волн этих колебаний. Но ни о каких волнах античность не имела никакого представления. Как же это вдруг получилось – и притом в самые древние времена, – что кварте, квинте и октаве были приписаны такие точные, подтвержденные современной акустикой числовые соотношения? У нас есть сведения о некоторых экспериментальных приемах, которые в древности употреблялись для получения этих числовых данных. Все эти эксперименты, однако, ни в каком случае не могли давать в те времена такого рода точных и окончательных числовых данных.
Но у пифагорейцев были еще и теоретические, как мы бы сейчас сказали, априорные операции, приводившие тоже к этим же числовым результатам. И это тоже, не может не вызывать удивления. Скажем только наперед, что пифагорейский числовой априоризм не имел ничего общего ни с каким субъективизмом, как это мы сказали выше, а был априоризмом, так сказать, самой же природы, самой же действительности. И не в этом ли разгадка той удивительной точности, которая была характерна для числовых конструкций кварты, квинты и октавы.
Перейдем к обзору источников.
2. Вопрос об экспериментальных данных
Вопрос о соотношении слышимых звуков и их числового выражения, если иметь в виду дошедшие до нас античные источники, является вопросом трудным и запутанным, почему и существуют самые разнообразные взгляды на эту тему в современной научной литературе. Казалось бы, самым естественным положением дела было бы то, когда сначала производятся звуковые эксперименты, а потом на основании этих экспериментов делаются точные числовые выводы. Однако, насколько можно судить, в античности дело обстояло вовсе не так, поскольку в те времена совершенно не было возможности производить эксперименты с необходимой для науки точностью.
а) В древности (Никомах, Гауденций и Боэций) фигурировал рассказ о том, как Пифагор, проходя однажды мимо кузницы, заметил, что четыре различных по весу молота при ударе их по железу издавали тоны, равные кварте, квинте и октаве. Этот анекдот далее гласил, что Пифагор взвесил эти молоты; и оказалось, что их веса относятся между собою как 6:8:9:12. Отношение 12:6 (или 2:1) равнялось музыкальной октаве, отношение 9:6 (или 3:2) – квинте и отношение 8:6 (или 4:3) – кварте. Фантастический характер подобного сообщения ясен сам собою, поскольку трудно предположить, чтобы молоты в кузнице действительно находились между собою в таком гармоническом отношении как по весу, так и по тону.
Тот же анекдот говорит еще об одном экспериментальном варианте. Рассказывается, что те же самые гармонические соотношения тонов Пифагор получил от звучания таких четырех одинаковых струн, на которых были подвешены грузы с их весовым соотношением 6:8:9:12. Однако получение искомых соотношений кварты, квинты и октавы на основании такого подвешивания физически невозможно, поскольку высоты тонов, издаваемых струнами, зависят от квадратов весов подвешенных на них грузов, а не просто только от самих этих весов. Таким образом, при возрастании веса груза, например, в 2 раза высота тона увеличивается не в 2 раза, а в 4 раза.
Лас Гермионский (по Феону Смирнскому) на границе VI и V веков получал искомые музыкальные соотношения при помощи наполнения сосудов водою. Он утверждал, что пустой сосуд при ударе об его стенки издавал тон на октаву более высокий, чем сосуд, наполненный водой наполовину. Соответственно говорилось также о кварте и квинте. Однако в строго физическом смысле такого рода наблюдение тоже никуда не годится, поскольку при заполнении сосуда водой высота звука меняется значительно медленнее; и сосуд, наполненный наполовину, звучит меньше чем с разницей в октаву в сравнении с пустым сосудом.
В поздних схолиях указывается еще на четвертый тип античного экспериментального получения музыкальной гармонии. Брали бронзовые диски одинакового диаметра, но с толщиною в соотношении 1 : 11/3 : 1½ : 2; и как будто бы при этом получались как раз те самые гармонические соотношения, которые считались музыкальными консонансами, то есть кварта, квинта и октава. Подобного рода теория совсем бессмысленна, потому что звучание таких дисков зависит от многих других причин помимо их широты, и в первую очередь зависит от характера материала, из которого сделаны диски, от его плотности или разреженности и прочих физических свойств.
б) Произвольность и неточность древнепифагорейских экспериментов была довольно рано обнаружена, не говоря уже об Аристотеле и его школе. Излагая пифагорейскую гармонию сфер, Аристотель (De coel. II 13, 293a 25) прямо говорит, что пифагорейцы «не искали теорий и объяснений сообразных с наблюдаемыми фактами, а притягивали за уши наблюдаемые факты и пытались их подогнать под какие-то свои теории и воззрения». Такую же острую критику псевдоэмпирических наблюдений можно найти и у Аристоксена (ИАЭ IV 665), и у Птолемея (Harm. I 8). Если бы эти древнепифагорейские эксперименты давали бы хоть какой-нибудь надежный результат, то указанные авторы, обладавшие высочайшей ученостью, не выражались бы так резко отрицательно о древних пифагорейцах. Однако здесь было, по-видимому, два исключения.
Именно, довольно большой точностью могли обладать эксперименты с разделением струны на отрезки и с продвижением выдыхаемого воздуха во время игры на духовых инструментах. Столб выдыхаемого воздуха на флейте, издававшей то или иное звучание на одном расстоянии, давал на двойном расстоянии тон на октаву ниже. Но больше всего рассуждали при помощи деления струны на отрезки. Только здесь у пифагорейцев, надо полагать, было определенного рода достижение в области гармонической теории.
3. Монохорд, канон, геликон, ламбдома
Монохордом назывался деревянный продолговатый ящик, приспособление, на котором была натянута струна, а по этой струне двигалась приставка, дававшая возможность делить струну на определенные отрезки и сопоставлять эти отрезки со шкалой музыкальных инструментов. При помощи такого инструмента было легко найти, например, середину струны и тут же путем пощипывания сопоставлять длину струны с тем или другим соответствующим ей тоном. Получалось, что половина струны звучала на октаву выше, чем вся струна. Подобным же образом при помощи монохорда легко можно было найти и такие отрезки струны, которые соответствовали кварте и квинте. Строго говоря, полной математической точности не получалось даже и здесь. Однако такой точности здесь и не требовалось, поскольку практически соответствие музыкальных интервалов и длины отрезков линии ощущалось определенно.
Насколько такого рода измерительное приспособление восходило к древнему пифагорейству, судить об этом трудно. Самый термин "монохорд" впервые мы встречаем только у Никомаха Геразского, то есть только во II веке н.э. Возможно, что хронологически конкурентом монохорда был еще так называемый канон, мало чем отличавшийся от монохорда. Аристид Квинтилиан и Птолемей свидетельствуют еще о существовании геликона, тоже приспособления для линейного измерения музыкальных интервалов. Этот геликон имел четыре струны с длинами в отношении 6:8:9:12, то есть как раз с теми соотношениями, которые характерны для кварты, квинты и октавы. Впоследствии появилась еще и ламбдома, под которой понимался треугольник без проведения основания, но разделенный несколькими параллельными линиями, тоже демонстрировавшими своим соотношением указанные основные музыкальные интервалы.
Уже это обилие приспособлений для демонстрации линейно-звуковых соотношений свидетельствует о том, что при такой линейной оценке интервалов получались гораздо более надежные результаты, чем с применением указанных выше четырех типов музыкального эксперимента. В настоящее время точнее было бы говорить о соотношении колебаний воздушных волн, а не о соотношении соответствующих отрезков струны. Тем не менее и в настоящее время с точки зрения колебаний волн половина струны тоже издает тон на октаву выше, чем те колебания, которые характерны для всей длины струны.
Правда, сводить пифагорейство на одни физические эксперименты было бы очень грубой ошибкой и было бы полным игнорированием основной пифагорейской теории числа. Несомненно, что интеллектуальная теория числа тоже находила для себя самое почетное место у пифагорейцев, отнюдь не меньшее, а, скорее, даже большее, чем экспериментальные приемы. Скажем об этом несколько подробнее.
4. Теоретико-числовые операции. Симметрия, включая золотое деление
Теоретико-числовые операции были у пифагорейцев самые разнообразные.
а) Простейшая арифметическая операция заключалась просто в интерпретации первых четырех чисел натурального ряда ввиду общепризнанного для всех пифагорейцев принципиального значения «тетрады», или «тетрактиды», то есть «четверицы». В самом деле, что такое отношение 2:1? Уже простейшее звуковое восприятие обнаруживало определенного рода повторяемость звуков, то есть определенного рода соотношение звуков. В тоне, который был на октаву выше основного тона, находили тот же самый основной тон, но только повторенный на большей высоте. Здесь само собой напрашивается соотношение 2:1.
Точно так же при переходе от 2 к 3 само собой возникало и переживание отношения 3:2, как и далее – отношение 4:3. Эти отношения в области первой четверицы были не только первичными и сами собой очевидными, но и наиболее истинными, наиболее красивыми. А так как слух требовал самой высокой гармонической оценки именно квинты и кварты, причем кварта явно была меньше квинты, то и получалось, что уже первичная четверица содержала в себе отношения и октавы, и кварты, и квинты. Тут уже не нужно было производить те или другие эксперименты. Тут нужно было исходить только из двух моментов, а именно, из чисто слуховой оценки музыкальных консонансов и из того абсолютного соотношения чисел, которые содержались уже в первичной тетрактиде. Эти две очевидности, музыкально-слышимая и числовым образом мыслимая, должны были во что бы то ни стало отождествляться. И это ровно без всяких научно поставленных экспериментов.
б) Приведем еще и другой способ теоретико-числового оперирования у пифагорейцев. Довольно подробное представление об этом можно найти у Птолемея [273]. Исходя из представления об октаве как об отношении 2:1 и беря подряд две квинты, получаем тон, который вовсе не давал никакого консонанса с исходным основным тоном. Из этого делали вывод, что и каждая квинта тоже не является консонансом в смысле 2:1. Следовательно, консонансы кварты и квинты в числовом отношении нужно было объяснять иначе, то есть не установлением кратных отношений, но установлением более сложных отношений. Рассуждали так: если число равно самому себе и в этом смысле вполне гармонично само с собою, то к этому числу надо прибавить или от него отнять некую цельную единицу, которая в данном случае трактовалась не просто в виде арифметической единицы, но в виде наличия или отсутствия какого-то еще постороннего элемента. Отсюда и получалось отношение или . В сравнении с октавой такого рода отношения тонов, конечно, расценивались значительно ниже, но это не мешало им фигурировать наряду с октавой. Теперь и спрашивали: что же такое квинта при таком новом соотношении тонов, если оставаться в пределах все той же первичной тетрактиды? Вот тут-то и получалось отношение для квинты ; и для кварты . Подтверждением этого являлось то обстоятельство, что при умножении 3/2 × 4/3 получалось именно 2/1, то есть 2. Заметим при этом, что речь шла у пифагорейцев именно о перемножении двух дробей, а не об их сложении, поскольку при их сложении получалась бы механическая последовательность интервалов, в то время как при их умножении обе дроби не остаются внешне противопоставленными, но повторяют и развивают одна другую.
Наконец, важно отметить еще и то, что при отношении 3/2 : 4/3 появляется еще новое отношение – 9/8. А это является числовым выражением целого тона. Сейчас мы увидим, что здесь появлялся еще новый оттенок музыкальной гармонии, который указывал уже на наличие здесь определенного рода симметрии.
в) Именно, если квинта отличается от кварты на один тон, то всю октаву можно представить себе как наличие двух кварт, которые отделены друг от друга целым тоном. Другими словами, посредине мы имеем целый тон как ось симметрии, а по бокам – равные одна другой кварты. Получается, таким образом, весьма отчетливая и вполне безупречная симметрия. Музыкальная октава мыслилась как точная числовая симметрия.
г) На основе пифагорейского теоретико-числового учения о гармонии формулировался еще один тип симметрии, в отличие от предыдущего типа который можно было бы назвать динамическим типом симметрии. Это – то, что впоследствии получило название золотого деления. В самой общей форме этот закон золотого деления гласил: величина, взятая вся целиком, так относится к своей большей части, как эта большая часть относится к меньшей части той же величины. Динамической эту симметрию мы назвали бы потому, что она формулирует постепенный переход от целого к части; и так как этих частей может быть сколько угодно, то ясно, что в порядке постепенности ими исчерпывается вся величина, взятая в целом, и исчерпывается путем постепенного перехода от большей части целого к его меньшей части.
Возьмем те числовые данные, которые, как мы видели выше, были установлены у пифагорейцев для кварты, квинты и октавы, а также и для целого тона. Если исходный тон принять за 1, то, как мы видели, октавой будет число 2. Если иметь в виду числовую характеристику квинты как 3:2, то мы получаем следующее вполне очевидное и убедительное равенство:
2 : 3/2 = 3/2 : 9/8
Это выражение, очевидно, гласит, что октава так относится к квинте, как квинта к целому тону. И поскольку тут имеется в виду отношение большей и меньшей части целого, то, очевидно, указанное выражение есть не что иное, как арифметическое, и, как увидим ниже, только арифметическое и больше ничего другого, выражение закона золотого деления.
То же самое мы получаем и для кварты:
2 : 4/3 = 4/3 : 8/9
Другими словами, октава тоже относится к кварте, как кварта к целому тону.
Здесь возможно сомнение, которое легко развеять. Могут сказать, что при сопоставлении этих двух форм золотого деления квинта вполне уравнивается кварте. Это, однако, вовсе не так. В данном случае кварта и квинта вовсе не уравниваются количественно, а уравнивается лишь их отношение к соседнему крайнему тону октавы. Эта форма гласит только то, что кварта и квинта возникают в октаве не как попало, но только в определенном месте октавы; и это место каждый раз соотносится с крайними тонами октавы тоже вполне определенным способом.
Другое сомнение возникает с первого взгляда потому, что последний член этих двух пропорций в первом случае является как 9/8, а в другом случае – как 8/9. Однако и здесь к приводимым числам нельзя относиться лишь количественно, но только в их отношении с обоими концами полной октавы. И если идти от одного конца, получается одно отношение, а если идти от другого конца, то получается, конечно, то же самое отношение, но только в обратном порядке, а именно, не 9/8, а 8/9, то есть в указанном смысле оба отношения совершенно тождественны.
д) Самое же главное, что нужно иметь в виду при рассмотрении указанных у нас выше двух пропорций с квартой и квинтой, – это то, что указанные пропорции исключительно только арифметические, а вовсе не музыкальные. Музыкальность мыслится здесь только весьма условно. Эти пропорции мы только для того и формулировали, чтобы использовать любимейшие пифагорейские интервалы кварты, квинты и октавы. Если же подойти к делу чисто музыкально, то с указанными выше двумя пропорциями придется либо предпринять некоторого рода допущения, либо просто расстаться.
Все дело заключается здесь в том, что указанные две пропорции, вполне точно выражая отношение между целой величиной, ее большей и ее меньшей частью, противоречат другому основному требованию золотого деления, а именно, сумма большей и меньшей части целого совсем не равняется в них всему целому. Если же мы захотели бы формулировать пропорцию действительно музыкальную, то пришлось бы, например, в случае с квинтой меньшею частью октавы считать не 9/8, но 2 : 2 = 1, то есть вовсе не тон, а половину октавы. Но музыкальный смысл половины октавы невыразим в целых числах. Она есть не что иное, как нечто весьма близкое к сексте, и, конечно, вовсе не сама секста. Но ни сексту, а также и ни увеличенную и ни уменьшенную сексту в античности вовсе не считали консонансом. Точно так же и расстояние между такой псевдосекстой и октавой равнялось бы терции, причем тоже не точной или, как говорят, не чистой. Но никакую терцию в античности тоже не считали консонансом. Это и приводило легко к тому, чтобы вместо уменьшенной сексты говорить просто о квинте, которая отличалась от уменьшенной сексты даже гораздо меньше, чем на тон. А мы уже знаем, как произвольно поступали пифагорейцы при математическом выражении своих экспериментальных данных. Они просто не считались с арифметической точностью, которую к тому же они и не могли выразить, а давали лишь приблизительную числовую квалификацию своих экспериментальных данных. Поэтому и предложенные нами две пропорции есть только насильственная попытка применить пифагорейские целочисленные операции к музыкальным тонам, чтобы хоть как-нибудь формулировать музыкальное применение закона золотого деления. Эти две наши арифметические пропорции вполне условны. Даже и число 2 мы сочли выражением октавы только в этом условном смысле.
5. То же. Три пропорции
Наконец, среди теоретико-числовых операций в области музыкальной гармонии у пифагорейцев имела место еще и теория трех пропорций. Ее совершенно точно формулировал Архит (47 B 2).
а) Первая пропорция, арифметическая, есть такое соотношение чисел, когда разница Между двумя числами одной пары равняется разнице чисел другой пары. Если октаву представить себе в виде 7 тоновых промежутков, а квинту – в виде четырех таких же промежутков, то получается такая ясная пропорция: 7 – 4 = 4 – 1. Это значит, что полная октава на столько же тонов превосходит квинту, на сколько сама квинта превосходит один тон.
