Текст книги "Итоги тысячелетнего развития, кн. I-II"
Автор книги: Алексей Лосев
Жанр:
Философия
сообщить о нарушении
Текущая страница: 51 (всего у книги 115 страниц)
в)Точно так же уже Демокрит, как это установлено в современной науке, вовсе не понимал свои атомы как в полном смысле неделимые величины. Атомы – это только отдельные пункты постепенного уменьшения любой величины. Они являются каждый раз пределом для уменьшения больших величин и началом дальнейшего уменьшения, причем это уменьшение никогда не может достигнуть нуля. Здесь мы по необходимости выражаемся кратко, и желающих узнать подробности современных представлений об античном атоме с точки зрения бесконечно малых мы относим к нашему специальному исследованию (ИАЭ I 441 – 443). А. О. Маковельский [216]подобрал все фрагменты из Демокрита, относящиеся к математике. Из этих фрагментов видно, что если, например, конус пересечь плоскостями, параллельными его основанию, то при равных сечениях получается не конус, а цилиндр, а при неравных сечениях образующая конуса не будет прямой линией, а будет ломаной, состоящей из какого угодно количества отрезков. Другими словами, без признания взаимного непрерывного перехода точек на образующей никак нельзя получить самой этой образующей в цельном виде, то есть в виде прямой. В таких случаях Демокрит, очевидно, взывает к признанию континуально–сущностной непрерывности. Неделимость атома у Демокрита является, собственно говоря, невозможностью представлять отдельные точки непрерывного процесса в виде изолированных остановок на путях континуального становления (в частности, уменьшения). Атом неделим потому, что он несет на себе все становление целиком [217].
Между прочим, среди материалов Демокрита имеется один странный текст, который, как он ни странен, все таки решительно говорит о наличии момента непрерывности в такой, казалось бы, дискретной картине мира, как античный атомизм. Именно, мы читаем (59 A 45=II 18, 1 – 3 Лурье 237):"Все те, которые принимают бесконечное множество элементов, как Анаксагор и Демокрит… говорят, что бесконечное непрерывно касанием". Этот термин"касание"(harhë) уже в древности вызывал многочисленные споры, которых мы здесь касаться не будем и которые приводит С. Я. Лурье в своем издании Демокрита [218]. Не касаясь подробностей, можно сказать, что понимать этот термин можно либо как максимальное приближение одного к другому, либо как слияние одного и другого с исчезновением границы между ними. Собственно говоря, в указанном тексте то и другое понимание касания вполне возможно и относительно Анаксагора и относительно Демокрита.
Если речь идет о максимально близком касании, то, очевидно, здесь мы имеем вполне определенный намек на использование принципа бесконечно малого приближения. И в отношении атомов Демокрита это необходимо признать потому, что, согласно общему учению Демокрита, атомы не могут соприкасаться. Но другое понимание касания тоже возможно. И это будет в согласии с учением Демокрита о неделимости атома, то есть о слиянии составляющих его частей в одно непрерывное целое. При этом любопытно то, что атом, в сущности говоря, вовсе не характеризуется какой нибудь величиной, потому что весь мир тоже есть атом (Демокрит A 47). Получается, таким образом, что непрерывность имеет у Демокрита универсальное значение и характерна для всего космоса, как и у Гераклита.
Самое же главное то, что приведенный текст гласит не только о Демокрите, но и об Анаксагоре. Здесь сама собой напрашивается следующая схема. Именно, если у элейцев на первый план выдвигается непрерывность и все прерывное, оставаясь прерывным, несет на себе печать непрерывного бытия, то у Демокрита – наоборот: если у атомистов на первый план выдвигаются прерывные атомы, то непрерывность внутри самих же этих атомов, хотя она и остается всюду непрерывной, все же несет на себе печать атомистической прерывности. Что же касается Анаксагора, то он явно занимает среднее место между элейцами и Демокритом: каждая гомеомерия делима, поскольку содержит в себе всю бесконечность элементов, и вполне неделима, то есть вполне непрерывна, поскольку руководящим и оформляющим принципом каждой гомеомерии является какой нибудь один элемент, то есть одно качество, одинаково и непрерывно присутствующее во всех вторичных элементах, составляющих гомеомерию. Другими словами, так или иначе, но континуально–непрерывный принцип есть то, с чем никогда не расставалась античная философия.
г)Нам хотелось бы только внести здесь уточнение, без которого инфинитезимальное понимание античного атомизма оказывается самой невероятной модернизацией.
С. Я. Лурье в своей очень интересной и ученой книге (эта книга была названа у нас выше), прекрасно понимая, что все существующее делимо до бесконечности, приписывает Демокриту такой взгляд, что атом вполне делим до бесконечности, если этот атом понимать физически, и совершенно неделим, если его понимать математически. Однако этот автор забывает, что и всякая вообще вещь, поскольку она есть нечто, тоже неделима: дом можно перестраивать сколько угодно, но он есть все таки нечто одно на такой то улице, и с таким то номером, и принадлежащее такому то владельцу. Можно прямо сказать, что Демокрит вовсе не в этом смысле говорил о неделимости атомов. Атом действительно неделим, как и всякая вещь вообще. Но Демокрит понимает его как результат дробления вещи. Поэтому он неделим в смысле того предела, к которому стремится уменьшающаяся вещь. Физически он тоже делим, поскольку делимость всегда бесконечна. Но как идея, как смысл полученного результата деления, он вполне неделим. Вот это понятие предела и является свидетельством того, что атомисты обязательно мыслили бесконечное деление вещей, но с сохранением каждого результата этого деления в качестве цельной неделимости. Любопытно, что и сам С. Я. Лурье вовсе не чужд понятия предела в обрисовке атомистической теории. Он пишет [219]:"И уже Демокриту должна была принадлежать своеобразная примитивная"теория пределов", дававшая возможность перебросить мост между формулами недоступного чувствам и формулами чувственного мира". Но можно только пожалеть, что С. Я. Лурье так мало разработал эту атомистическую теорию пределов. Правда, теория эта скорее является нашим выводом из теории Демокрита, чем прямой формулировкой первоисточников. Но как ни квалифицировать теорию пределов у греческих атомистов, она там все же была. И потому можно считать вполне доказанным наличие у греческих атомистов принципа непрерывного и сплошного, континуального становления, несмотря на четкую, единораздельную и геометрическую фигурность атома.
Такое понимание инфинитезимализма было проведено нами выше в своем месте (ИАЭ I 435 – 436). В изложении С. Я. Лурье очень трудно добиться ясного представления о том, что такое античный атом. Но, повторяем, в книге этого автора очень много ценных, хотя и разбросанных, античных текстов, говорящих на тему о континуальном становлении как и о приближении переменной величины к ее пределу. Таковы, например, важные тексты, углубляющие наше представление об Архимеде, Евклиде и Евдоксе [220].
В итоге необходимо признать, что инфинитезимальная значимость античного атома вполне доказана в нашей современной науке о греческих атомистах. Мы только настаиваем на том, что без понятия предела античный атом является малопонятным и исторически ненужным понятием. Больше того. Поскольку у Демокрита мы не находим никаких точных определений и никаких формул, то весь античный атомизм можно считать только отдаленной мечтой и отдаленным пророчеством новоевропейского учения о бесконечно малых. А если это так, то античный атом можно считать даже некоторого рода интегралом, поскольку этот атом есть не что иное, как предел суммы бесконечно малых приращений (или уменьшений).
С. Я. Лурье, затративший столько времени на поиски теории бесконечно малых у греческих атомистов, удивительным образом совершенно обходится без понятия предела. И метод исчерпывания у Евдокса, и метод исчерпывания у Евклида и Архимеда [221]С. Я. Лурье ухитряется излагать без всякого намека на теорию предела.
Поэтому не только основной труд С. Я. Лурье, о котором мы говорили выше, но и его книга об Архимеде страдает одним принципиальным недостатком, а именно неясностью конечных выводов. Интересно, что у С. Я. Лурье имеется даже целая глава, проводящая аналогию с нашей современной математикой и, в частности, с учением о кратных интегралах. Но, во–первых, здесь тоже нет ни слова ни о пределе суммы бесконечно малых приращений, ни вообще о пределе. Во–вторых, сам же С. Я. Лурье аннулирует свою аналогию атома Демокрита с двукратным интегралом следующими словами:"Но эта аналогия не полная и не очень плодотворная" [222]. У С. Я. Лурье имеется также целая глава о значении Архимеда в истории математики [223].
Но в этой главе излагаются взгляды многочисленных ученых, древних и новых, по этому вопросу; а как сам автор расценивает это значение, остается неизвестным.
Наконец, относительно понятия предела нельзя возражать указанием на отсутствие соответствующего термина у Евдокса, Демокрита, Евклида или Архимеда. Ведь термин"бесконечно малое"тоже отсутствует у этих мыслителей.
И тем не менее С. Я. Лурье считает должным ввести этот термин даже в заглавие своей книги. Нужно твердо помнить, что все эти инфинитезимальные представления вовсе не содержатся у названных мыслителей буквально. Их мы домысливаем только сами же, чтобы уяснить сущность дела. Если же угодно гоняться даже и за терминами, то тогда придется считать основателем античного инфинитезимализма вовсе не этих мыслителей, но Платона.
д)Подлинным основателем учения о бесконечно малых и о континууме является Платон, который сейчас и будет нами обсуждаться. Но справедливость заставляет сказать, что было еще одно имя периода Сократа и Платона, с которым необходимо связывать раннюю и не философскую, не критическую, а еще только чисто фактическую эпоху античного учения о континуальном приближении к пределу. Именно, был софист Антифонт, который, между прочим, выступает у Ксенофонта среди собеседников Сократа. У этого Антифонта, как гласят очевиднейшие источники (B 13D), прямо имеется рассуждение о совпадении с окружностью круга, вписанного в этот круг многоугольника при достаточно большом увеличении числа его сторон. Едва ли тут было какое нибудь философское обоснование учения о бесконечно малых. Вероятно, это было у Антифонта покамест еще примитивным и только чисто математическим соображением. Чисто философская проблема в этой области в отчетливой форме ставится только у Платона.
е)Принцип континуального становления не в математической, но в принципиально философской форме в яснейшем виде установлен Платоном. В"Тимее"(47e – 53c) мы находим учение о первичной материи (термин"материя"тут пока отсутствует), которая совершенно лишена всяких качеств и является сплошным и нераздельным становлением. А то, что такого рода становление формулируется Платоном и для мира идей, то есть для самого разума, это мы уже говорили выше (часть пятая, глава II, §4, п. 7).
В результате всего этого, если иметь в виду категориальную точность, то подлинным основателем античного учения о бесконечно малых необходимо считать, как сказано, не Анаксагора и не Демокрита, а именно Платона. Наконец, у Платона в"Филебе"(ИАЭ II 265 – 274, ср. также таблицу на с. 679) имеется даже и соответствующая терминология ("предел","беспредельное"и"смешанное").
Здесь мы, однако, должны сказать, что платоновские термины"предел","беспредельное"и"смешанное"нужно еще уметь расшифровать.
Именно, платоновский термин peras хотя и можно перевести как"предел", это вовсе не есть предел в нашем смысле слова. Мы понимаем под пределом какую то такую постоянную величину, расстояние которой от той переменной величины, которая к ней приближается, может стать менее любой заданной величины. У Платона это, собственно говоря, не предел, но, скорее,"граница". В"Тимее"(55c) этот термин употребляется в рассуждениях о границе космоса, а в"Софисте"(252b) говорится о сведении элементов к ограниченному числу (eis peras). Но еще яснее этот платоновский термин выступает в"Пармениде", где прямо говорится, что"конец и начало образуют предел (peras) каждой вещи"(137d) и что предел (peras) есть то целое, что охватывает части (145a). Другими словами, обычный перевод данного платоновского термина как"предел"чрезвычайно неточен. Это даже и не есть просто"граница". Это такая граница, которая не только отделяет одну вещь от другой, но которая и внутри самой вещи отграничивает одну ее часть от другой части. Правильный перевод был бы"раздельность"или"расчлененность". И поэтому, когда мы приписываем Платону учение о математическом пределе, мы имеем в виду вовсе не термин peras, в котором нет никакого намека на такую переменную величину, которая бесконечно и непрерывно стремится к определенной постоянной величине, приближаясь к ней как угодно близко. Следовательно, наше понятие предела нужно связывать вовсе не с платоновским термином"предел", а с терминами"беспредельное"и"смешанное".
Это"беспредельное"не только квалифицируется у Платона как то, что противоположно раздельности ума и потому является"блуждающей"или"беспорядочной причиной"(Tim. 46e, 48a). В противоположность всегда самотождественному принципу это другой принцип, когда имеется в виду принцип"рассеянного в возникающих и бесконечно разнообразных вещах и превратившегося во множество"(Phileb. 15b) или просто"беспорядочность", ataxia (Tim. 30a). Яснее же всего об этой беспредельности говорится там, где удовольствие, в отличие от упорядоченного ума, трактуется как беспорядочное становление, в котором нет ни начала, ни середины, ни конца (Phileb. 31a). Таким образом, если мы говорим, что именно у Платона имеется учение о континуально–сплошном становлении, то самым ярким доказательством этого является платонический термин apeiron.
Но мало и этого. Дело в том, что так называемое"смешанное"уже по самому своему названию свидетельствует о наличии в нем как расчлененной единораздельной цельности, так и континуально–непрерывного становления. В данном случае речь идет у Платона, очевидно, о сплошном и непрерывном переходе одной части целого к другой его части, так что такое прерывно–непрерывное целое является уже пределом в современном математическом смысле слова, то есть пределом суммы бесконечно малых приращений, происходящих внутри того целого, частями которого они являются.
Итак, то, что именно Платон является в античности основателем терминологически зафиксированного учения о бесконечно малых, можно считать, доказанным.
ж)Ни Платону, ни Аристотелю не повезло в смысле признания за ними предчувствия теории бесконечно малых. Из Платона прежде всего излагают его учение об идеях, а из Аристотеля – прежде всего учение о форме и материи.
Но обыкновенно очень мало обращают внимания на то, что и у того и у другого мыслителя имеется весьма осязательная попытка мыслить бесконечно малое и связанное с этим учение о континуально–сущностном становлении, то есть о континууме.
Чтобы соблюсти параллелизм между Аристотелем и Платоном в данном вопросе, укажем на такие категории Аристотеля, как единое и беспредельное.
О едином у Аристотеля имеется обширное рассуждение в"Метафизике"(V 6). Кто проштудирует эту главу, тот убедится в правильности нашей характеристики Аристотеля как платоника, но только дистинктивно–дескриптивного характера. В этой главе даются очень тонкие дистинкции, которые даже трудно формулировать в систематическом виде. Непрерывность, как и у Парменида, трактуется здесь в качестве разновидности единого. Но в этом тексте (1016a 4 – 6) дается покамест еще слишком узкое определение непрерывности:"Название непрерывной дается той вещи, у которой движение, если ее взять как таковую, одно и иначе [чем одно] быть не может; движение же бывает одно у той вещи, у которой оно неделимо, при этом неделимо – во времени". Таким образом, непрерывность определяется здесь как такое единое, которое остается самим собою в движении вещи, когда движение этой вещи неделимо во времени.
Более подробное, но зато и более общее учение о непрерывности мы находим у Аристотеля в его"Физике"(V 3). Это учение можно изобразить при помощи следующей таблицы [224].
Эта таблица настолько ясна сама по себе, что едва ли требует пояснения. Однако это пояснение мы все таки сделаем.
Именно, нужно взять какой нибудь тип непрерывности. В предыдущей цитате из"Метафизики"определенно имелось в виду время. В настоящей же таблице мы имеем в виду другой тип континуума, а именно пространство. Но, собственно говоря, Аристотель имеет в виду вообще любую непрерывность, а для непрерывности необходимо как то, что именно непрерывно, так и тот процесс, в результате которого получается непрерывность. Поэтому непрерывностью является не только то или другое"место", о непрерывном появлении которого речь, но и сам процесс этого появления, то есть"изменение". Если иметь в виду пространственное положение, то отдельные его точки можно брать либо отдельно одна от другой, либо вместе. Но для процесса изменения необходимо брать раздельные точки. В таком случае, если эти точки раздельны, но погружены в процесс изменения, то необходимо признать и нечто промежуточное между ними, а также и следование одной точки за другой в данном изменении. Но при этом мало будет одного следования. Необходимо использовать еще другую категорию"места", а именно категорию"вместе", дающую в более развитом виде категорию"касание". Поэтому если объединить полученное нами следование с касанием, то возникнет"смежное". Однако и"смежное"тоже еще слишком раздельно. Надо, чтобы в этом смежном слились все границы, которые отделяют одно смежное от другого. Вот тогда то и получится непрерывность.
Во всем этом рассуждении Аристотеля о непрерывности заслуживает огромного интереса попытка Аристотеля понять континуум не глобально, но структурно. Только для этого и вводились у Аристотеля такие понятия, как"раздельно"и"вместе"или"следование"и"касание". Континуум изображен у Аристотеля структурно, хотя с первого взгляда никакой структуры нет ни во временном протекании, ни в глобальной внеположности пространства. На самом же деле эта глобальность тоже имеет свою структуру подобно тому, как куча песка бесформенна в сравнении с раздельными вещами, но на самом деле она тоже имеет свою форму, а именно форму кучи. Континуум – не просто пустое поле неизвестно чего. Тут есть и своя различимость, и свое следование различных точек, и своеобразный тип их соприкосновения. А иначе континуум не будет иметь никакой структуры.
Если читателю угодно найти у Аристотеля краткую формулу непрерывности, то вышеприведенное рассуждение из"Физики", (V 3) кратко, отчетливо и суммарно дается в том же трактате в другом месте (VI 1, 231a 20 – b 6).
В предыдущем мы исходили из тех рассуждений Аристотеля, в которых он конструирует свою непрерывность как разновидность единого. Но у Аристотеля имеется еще и такое рассуждение, где он рассматривает непрерывность как разновидность другой платоновской категории, а именно как разновидность беспредельности, апейрона. Это – в другом месте той же"Физики"(III 4 – 8).
Беспредельное, по Аристотелю, то, что может безо всякой остановки увеличиваться или уменьшаться. Но в таком виде беспредельность не может характеризовать собою всю картину действительности. Ведь беспредельность есть только материя, которая и на самом деле может быть и тем, и другим, и третьим, и вообще чем угодно, являясь, таким образом, только потенцией действительно существующего. Но действительно существующее есть также еще и форма; придающая вещам их определенность и совершенство, что и делает их целостными. Следовательно, беспредельное"скорее подходит под определение момента, чем целого, так как материя есть момент целого, как медь для медной статуи"(6, 207a 27 – 29). Но ведь космос, по Аристотелю, пространственно ограничен; он совершенен, целостен и в этом смысле вполне конечен (ИАЭ IV 270 – 273). Как же в таком случае совмещается в космосе беспредельное и предельное? На этот вопрос можно ответить только так, что граница космоса есть постоянная величина; а то, что находится внутри космоса, бесконечно стремится к этой границе, то есть может отстоять от нее на расстояние, меньшее любой заданной наперед величины. Другими словами, Аристотель тут тоже пророчествует о теории бесконечно малых и, значит, тем самым о континууме.
Наконец, вся упомянутая у нас сейчас VI книга"Физики"посвящена прямо доказательству того, что континуум нельзя составить из отдельных точек, будь то во времени, будь то в пространстве, будь то в движении.
В этой связи Аристотель дает сокрушительную критику всех попыток дробить непрерывность на отдельные прерывные отрезки, будь то апории Зенона, будь то атомизм Левкиппа и Демокрита. При этом подобного рода дискретные конструкции Аристотель понимает слишком буквально. Ведь из апорий Зенона именно вытекает требование о невозможности дробления континуума, а из атомизма Левкиппа и Демокрита вытекает требование о невозможности только одного дискретного представления о действительно существующем.
Между прочим, во многих отношениях аналогий к VI книге"Физики"может считаться трактат"О неделимых линиях", принадлежащий либо самому Аристотелю, либо кому нибудь из его учеников [225]. Если миновать детали, то аргументация здесь сводится к следующему.
Именно, если две линии пересекаются, то для всех очевидно, что они пересекаются только в одной точке, принадлежащей одновременно обеим этим линиям. Но такое окончательное влияние двух предметов возможно только в том случае, если эти предметы не состоят из разных частей, поскольку предметы, состоящие из нескольких частей, и соприкасаются между собой не в одной, но во многих точках; и этих точек соприкосновения в данном случае столько, сколько имеется частей в соприкасающихся предметах. Значит, две линии могут пересекаться в одной точке только при условии их неделимости, то есть при условии их непрерывности. На наш взгляд, здесь мы находим тоже солидно обоснованное представление о континуально–сущностной природе даже такого простого геометрического элемента, как линия.
Такого рода континуально–сущностных рассуждений или намеков на них мы можем найти у Аристотеля немало. Здесь мы коснулись только главнейшего. Впрочем, для всей этой проблемы даже и не нужно искать специальных рассуждений у Аристотеля. Даже самые общие концепции Аристотеля немыслимы без континуально–сущностной интуиции. Таковы концепции умопостигаемой материи (ИАЭ IV 56 – 68), потенции, энергии и энтелехии (92 – 94), ставшей чтойности (94 – 95) и четырехпринципной структуры каждой вещи (599 – 603).
2. Назревание принципа континуально–сущностной эманации у представителей точных наук
а)Уже в школе Платона оказался один мыслитель, который выдвинул принцип, существенно дополнивший учение об идеях, если эти идеи понимать как полную неподвижность. Этот мыслитель – Евдокс Книдский(ок. 391 – 338 гг.), который в Платоновской Академии был временно, потому что сам он имел свою собственную школу гораздо более эмпирического направления. Об его фрагментах – ниже, часть шестая, глава II, §4, п. 2.
Евдокс ввел одну небывалую по своей математической точности концепцию, которую в Новое время (не очень удачно) стали называть"методом исчерпывания". Под"методом исчерпывания"нужно понимать в данном случае именно метод приближения к пределу на путях непрерывного становления, так что"исчерпывается"здесь именно предел становления, причем исчерпаться он никогда не может. Из предыдущего мы можем заключить, что это было идеей уже и элейца Зенона, уже и Демокрита, уже и Антифонта, уже и Платона. Но все эти мыслители, в общем, были весьма далеки один от другого. Что же касается Евдокса, то он, как бы мы сказали, был не больше и не меньше, как в школе самого Платона, почему его принцип континуального становления был прямым распространением и углублением платоновского учения об идеях и числах.
Евдокс тоже обратил внимание на то, что многоугольник, вписанный в круг или описанный вокруг него, по мере увеличения числа своих сторон все больше и больше приближается к кругу, хотя никогда и не может его достигнуть, так что разница между периметром многоугольника и данной окружности может стать меньше любой заданной величины. Точно так же объем цилиндра есть предельное выражение для бесконечно большого количества маленьких цилиндров, но в то же самое время объем конуса тоже составлен из бесконечно большого числа цилиндриков, когда эти цилиндрики, начиная снизу, постепенно уменьшаются и в своем объеме доходят до точки, образующей вершину конуса. Тот же самый процесс происходит при составлении пирамиды из бесконечно большого числа призм.
То же самое получается также и при разделении отрезка прямой на все меньшие и меньшие отрезки, которые, как бы они ни уменьшались, никогда не могут стать равными нулю. Это было тоже осознанием концепции, которую мы сейчас называем принципом бесконечно малых величин. Платоновскую систему идей и чисел этот принцип Евдокса решительно реформировал в том смысле, что идея вещи, или ее число, соотносилась с самой вещью не просто категориально, то есть в условиях неподвижности как идеи, или числа, так и вещи, но в условиях непрерывного растекания идеи, или числа, непрерывного становления этой идеальной области, непрерывного излияния идей и чисел в инобытии вплоть до возникновения вещей.
Такая концепция сущностного становления несомненно повлияла на Аристотеля, который, как мы знаем, тоже боролся с предполагаемой платоновской неподвижностью идей и чисел и на этом основании ввел, например, свое замечательное учение о потенции, энергии и энтелехии. Однако и Аристотель это континуально–сущностное становление все еще слишком близко связывает с самими идеями и числами и не рассматривает это становление как таковое в его чистом виде. На путях самостоятельного изучения такого текуче–сущностного становления, насколько можно судить, сыграли в античности большую роль представители точного знания, у которых принцип исчерпывания Евдокса как раз и получил большое развитие. Само собой разумеется, что это текуче–сущностное становление уже и Аристотель не мог не рассматривать в специальном виде. Ему принадлежит специальный трактат"О возникновении и уничтожении". В этом трактате множество разного рода тонких наблюдений.
Однако наблюдения эти соответствуют нашей общей характеристике философии Аристотеля как дистинктивно–дескриптивного аналога платонизма.
б)Чтобы перейти к дальнейшему, нужно остановиться еще на одной идее Евдокса, которая имеет ближайшее отношение к теории континуума. Эта идея уже не чисто геометрическая, но общечисловая и даже общепонятийная. Это есть проблема пропорцийв связи с континуумом. В этой сложной области мы не будем приводить всех первоисточников, поскольку они уже приведены в науке и достаточно обстоятельно обследованы [226]. Не будем касаться и подробностей этой сложной проблемы, а скажем только самое главное, и притом с нашей собственной интерпретацией.
Пропорция есть равенство отношений. Но что такое отношение? С первого взгляда кажется, что для отношения нужны соотносящиеся величины, а величины должны быть определены качественно или количественно. Но, судя по материалам Евдокса, дело здесь вовсе не в качествах и не в количествах. А если так, то Евдокса здесь интересует, очевидно, отношение только как логическая категория. А в этом смысле оно совершенно одинаково присутствует решительно везде. Ведь мы уже видели, как пропагандисты чистого и вполне изолированного единства, – и это уже начиная с самого Парменида, – требовали присутствия такого единого решительно во всем существующем, поскольку все существующее всегда есть нечто, и притом определенное нечто, то есть тем самым является и неделимым единым, как бы пестры и разнообразны ни были существующие вещи. Вот точно так же каждой вещи присуще и отношение ее к другим вещам, без которого эта вещь не могла бы быть ориентирована среди всех других вещей. Но если отношение одинаково присуще всем вещам, оно тем самым, следовательно, и непрерывно. Вещи только потому и могут мыслиться нами, что они отличаются одна от другой и сопоставимы одна с другой. А это и значит, что и природа и функционирование отношения возможны только в виде всеобщего континуума.
На этом основании Евдокс доказывал, что и пропорция возможна только потому, что существует континуум. Пропорция есть равенство отношений, и даже не просто равенство, но и вообще любая связь. Другими словами, если все действительно связано и представляет собою единораздельную цельность, то это возможно только потому, что эта цельность, будучи тем или иным единством отношений, совершенно непрерывно представлена во всех своих частях. А это значит, что здесь Евдокс демонстрирует общеантичную идею тождества нераздельного единства и бесконечно становящейся внутренней множественности этого единства. Именно так, надо думать, Евдокс опирает систему отношений на всеобщий континуум, а всеобщий континуум понимает как систему отношений.
Интересно отметить, что подобного рода сведения о пропорциях мы получаем из V книги"Элементов"Евклида, но анонимный схолиаст Евклида (Eucl. V, pars. 1, p. 211, 7 – 8; 213, 1 – 7 Heib. – Stam.) утверждает, что вся эта книга, возможно, принадлежит Евдоксу.
Если вернуться к методу исчерпывания Евдокса, но уже не для самого Евдокса, которого мы проанализировали, а для его последующих сторонников, то необходимо будет сказать о Евклиде и Архимеде.
Прежде чем расстаться с Евдоксом, мы хотели бы обратить внимание на образцовое издание его фрагментов, принадлежащих Ф. Лассерру. Здесь кроме античных свидетельств об Евдоксе (с. 3 – 11) и общих суждений об его учении в области философии (с. 12 – 14), астрономии (с. 15 – 18) и геометрии (с. 18 – 37) дается тщательный подбор собственных суждений Евдокса (с. 39 – 134). Наконец, это издание Ф. Лассерра необходимо высоко расценивать еще и потому, что все приводимые в нем фрагменты снабжены обширным и много дающим комментарием (с. 137 – 271).
в)Между прочим, такое тщательное издание фрагментов Евдокса, как издание Ф. Лассерра, интересно еще и тем, что дает возможность точно определить место бесконечно малых в мировоззрении Евдокса. Когда некоторые исследователи характеризуют бесконечно малые у Евдокса как то, что может стать меньше любой заданной величины, то подобного рода утверждение звучит совсем в стиле современного математического анализа, где такого рода определение действительно дается в чистом виде. Но такое абстрактное понимание бесконечно малого не существовало раньше Ньютона и Лейбница. Раньше это было только частичной характеристикой того или иного вполне конкретного и вполне специфического бытия. Так, например, точные категории математического анализа назревали у Николая Кузанского только в связи с его чисто теологическими представлениями. Точно так же невозможно и древним приписывать какой нибудь инфинитезимализм в чистом виде. Ведь все наши предыдущие исследования были основаны на чисто телесном миропредставлении, на чисто физической интуиции живого тела. Поэтому и к своему представлению о бесконечно малом приближении древние приходили обязательно только в связи с основной телесной интуицией. Наблюдая живые тела, древние не могли сводить эти тела только на совокупность мертвых линий и фигур, хотя бы и чисто телесных. Эти телесные линии, фигуры и тела при всей своей скульптурной законченности рассматривались еще и как подвижные, живые и бурлящие, как властно зовущие сплошно и непрерывно переходить от одного их момента к другому. Такого рода величины становились тем, что мы сейчас называем иррациональными величинами. Но, во–первых, всякая такая иррациональность всегда мыслилась в античности как нечто зримо и телесно ощутимое; а во–вторых, также и те величины, которые мы сейчас называем иррациональными, тоже рассматривались древними в их живом смысловом потоке. Проще всего это видно хотя бы на диагонали квадрата, сторона которого равна 1. Ведь такая диагональ квадрата равняется корню квадратному из 2, причем сами древние прекрасно понимали, что такая диагональ квадрата несоизмерима со стороной квадрата, то есть не имеет с ней общей меры. Такой квадратный корень из 2 недостижим никакими вычислениями, а, тем не менее он вполне телесен и его можно видеть. Вот это и есть настоящее античное учение о бесконечно малом. Эта бесконечность ни при каких абсолютных вычислениях недостижима, но она телесна и ее можно видеть. Поэтому необходимо сказать, что бесконечно малое ни в какай мере не было в античности уничтожением исходной и вполне конечной телесной интуиции, а, наоборот, было только оживлением и бурлящим смысловым потоком все тех же единораздельных и скульптурных построений.
