Текст книги "Избранные научные труды"

Автор книги: Нильс Бор

сообщить о нарушении

Текущая страница: 42 (всего у книги 58 страниц)

Особенно ярким примером является взаимоотношение между теми ситуациями, в которых мы обдумываем мотивы наших действий, и теми, когда мы испытываем чувство решимости. В нормальной жизни такой переход от одного состояния к другому (сдвиг упомянутой выше границы) более или менее осознается интуитивно. Но психиатрам хорошо известны и симптомы, характеризуемые как «раздвоение личности», которое может привести к её распаду. Тот факт, что для описания различных, одинаково важных сторон человеческой души приходится применять различные, как бы исключающие друг друга характеристики, и в самом деле представляет замечательную аналогию с положением в атомной физике, где определение дополнительных явлений требует применения совсем разных элементарных понятий. Прежде всего самое слово «сознательный» относится к опыту, который может удержаться в памяти; это обстоятельство подсказывает нам сравнение между сознательным опытом и физическими наблюдениями. В этой аналогии невозможность придать недвусмысленное содержание идее подсознания соответствует невозможности наглядного (модельного) толкования квантовомеханического аппарата. Между прочим, можно сказать, что психоаналитическое лечение неврозов восстанавливает равновесие в содержании памяти пациента тем, что приносит ему новый сознательный опыт, а не тем, что помогает ему измерить бездны его подсознания.

С биологической точки зрения мы можем толковать признаки психических явлений, только считая, что всякий сознательный опыт соответствует остаточному следу в организме, сводящемуся к остающейся в нервной системе необратимой записи исхода процесса; самые же процессы не поддаются самоанализу, но их едва ли можно исчерпывающе определить и с механистической точки зрения. Такие записи, в которых принимает участие взаимодействие многих нервных клеток, конечно, существенно отличаются от неизменяемых структур в каждой из тех клеток организма, которые связаны с генетическим воспроизведением. Рассуждая с телеологической точки зрения, мы могли бы подчеркнуть не только полезность остаточных следов, сказывающуюся в их влиянии на наши реакции на последующие раздражители, но и важность того, что позднейшие поколения уже не обременены частными переживаниями отдельных индивидуумов; для этих поколений существенно только воспроизведение тех свойств организмов, которые оказались полезными для накопления и использования знаний. При всякой попытке продвинуть исследование дальше мы, конечно, должны быть готовы встретить всё возрастающие на каждом шагу трудности такого исследования. Надо думать, что простые понятия физической науки уже перестанут быть непосредственно приложимыми, и это в тем большей степени, чем ближе мы подойдём к тем чертам живых организмов, которые родственны свойствам нашего душевного мира.

Чтобы иллюстрировать это рассуждение, можно вкратце напомнить старую проблему свободы воли. Из того, что было сказано, уже ясно, что слово «воля» (volition) необходимо для исчерпывающего описания психических явлений, а проблема состоит собственно в том, в какой мере можем мы говорить о свободе поступать согласно нашим возможностям. Если принять ничем не ограниченную детерминистическую точку зрения, то идея такой свободы, конечно, исключается. Но общий урок, извлекаемый из атомной физики и в особенности из факта ограниченности механистического описания биологических явлений, наводит на мысль, что в способности живых организмов приспосабливаться к окружающей среде заключена возможность выбирать наиболее подходящий для этого путь. Так как о подобных вопросах на чисто физической основе судить нельзя, то чрезвычайно важно уяснить себе, что более подходящую информацию об этих проблемах может дать наш психологический опыт. Решающим пунктом является здесь следующее: если мы будем пытаться предсказать, как решит поступить другой человек при данных обстоятельствах, то мы не только должны стараться узнать всю его подоплёку (включая историю его жизни со всех тех сторон, которые могли повлиять на формирование его характера), но кроме этого мы должны уяснить себе, что то, к чему мы здесь в конечном счёте стремимся, – это поставить себя на его место. Конечно, невозможно сказать, хочет ли человек сделать что-то, потому что он считает, что он это может, или же он может, потому что хочет; однако едва ли можно сомневаться в том, что у нас есть ощущение, так сказать, способности использовать обстоятельства наилучшим образом. С точки зрения объективного описания здесь ничего нельзя ни прибавить, ни убавить, и в этом смысле как практически, так и логически мы вправе говорить о свободе воли, причём, однако, мы должны оставлять достаточно простора для употребления таких слов, как «ответственность» и «надежда», – слов, которые в отдельности так же мало поддаются определению, как и другие слова, необходимые для человеческого общения.

Такие рассуждения раскрывают гносеологические выводы, в отношении нашего положения как наблюдателей, из урока, преподанного нам развитием физических наук. Нам пришлось отказаться от привычных требований, предъявлявшихся к объяснению, но взамен этого нам предоставлены логические средства для охвата и понимания более широких областей нашего опыта, причём оказалось необходимым обращать должное внимание на положение линии раздела объект – субъект. Поскольку в философской литературе иногда ссылаются на разные степени (уровни) объективности или субъективности или даже реальности, нелишне подчеркнуть, что в объективном описании – таком, как мы его определили, – представление о первичном субъекте, так же как и понятия, подобные реализму и идеализму, не находит себе места; однако это обстоятельство отнюдь не означает какого-либо ограничения для нашего исследования и для области, к которой оно относится.

После того как я рассмотрел некоторые научные проблемы, имеющие отношение к единству знаний, я хочу обратиться к следующему вопросу, поставленному в нашей программе, а именно к вопросу о том, существует ли поэтическая, или духовная, или культурная истина, отличная от истины научной. При всей свойственной мне как естествоиспытателю неохоте входить в эти области, я попытаюсь, однако, прокомментировать этот вопрос с той же точки зрения, какой я придерживался в предыдущих своих рассуждениях. Возвращаясь к нашей мысли о зависимости между нашими средствами выражения и областью интересующего нас опыта, мы не можем миновать вопроса о взаимоотношении между наукой и искусством. Причина, почему искусство может нас обогатить, заключается в его способности напоминать нам о гармониях, недосягаемых для систематического анализа. Можно сказать, что литературное, изобразительное и музыкальное искусства образуют последовательность способов выражения, и в этой последовательности всё более полный отказ от точных определений, характерных для научных сообщений, предоставляет больше свободы игре фантазии. В частности, в поэзии эта цель достигается сопоставлением слов, связанных с меняющимся восприятием наблюдателя, и этим эмоционально объединяются многообразные стороны человеческого познания.

Всякое произведение искусства требует вдохновения. Не будет, однако, непочтительным заметить, что даже на вершине своего творчества художник полагается на общечеловеческий фундамент, на котором строим и мы. В частности, мы должны осознать, что самое слово «импровизация», так легкомысленно слетающее с языка, когда говорят о художественном исполнении, указывает на неотъемлемое свойство всякого сообщения. В обычном разговоре мы более или менее бессознательно выбираем словесные выражения, передавая то, о чем мы думаем; даже в написанных бумагах, где мы имеем возможность пересмотреть каждое слово, вопрос о том, оставить его или заменить, требует для ответа какого-то окончательного решения, по существу эквивалентного импровизации. Между прочим, равновесие между серьёзностью и шуткой, типичное для всякого истинно художественного исполнения, напоминает нам о дополнительных аспектах, бросающихся в глаза в детской игре и не менее ценимых взрослыми. В самом деле, если мы будем стараться всегда говорить совершенно серьёзно, мы рискуем очень скоро показаться нашим слушателям и себе самим смехотворно скучными; а если мы попробуем всё время шутить, мы скоро обнаружим (да и наши слушатели тоже), что находимся в унылом настроении шутов в драмах Шекспира.

При сравнении между науками и искусствами, конечно, нельзя забывать, что в науках мы имеем дело с систематическими согласованными усилиями, направленными к накоплению опыта и разработке представлений, пригодных для его толкования; это похоже на переноску и подгонку камней для постройки. В то же время искусство представляет собой более интуитивные попытки отдельного лица вызвать чувства, напоминающие о некоторой душевной ситуации в целом. Здесь мы подходим к той точке, где вопрос о единстве знаний, как и самое слово «истина», становится неоднозначным. Действительно, в отношении к духовным и культурным ценностям мы тоже не должны забывать о проблемах теории познания, которые связаны здесь с правильным балансом между нашим стремлением к всеобъемлющему взгляду на жизнь во всём её многообразии и нашими возможностями выражать свои мысли логически связным образом.

Наука и религия занимают в этом вопросе существенно разные исходные позиции. Наука стремится к развитию общих методов упорядочения общечеловеческого опыта, а религии возникают из стремления споспешествовать гармонии взглядов и поведения внутри сообщества людей. Во всякой религии знания, которыми обладали члены общества, вкладывались, конечно, в некоторую уже готовую схему или структуру; первичное же содержание этой структуры составляли ценности и идеалы, положенные в основу культа и веры. Поэтому внутренняя связь между содержанием и формой мало привлекала к себе внимание до тех пор, пока последующее развитие науки не принесло новых принципиальных выводов космологического или гносеологического характера. Ход истории даёт много таких примеров; мы можем сослаться, в частности, на настоящий раскол между наукой и религией, сопровождавший развитие механистического понимания природы во времена европейского Возрождения. С одной стороны, многие явления, на которые до тех пор смотрели как на проявление божественного провидения, оказались следствиями незыблемых общих законов природы. С другой стороны, физические методы и взгляды были очень далеки от того, чтобы делать упор на человеческие ценности и идеалы, важные для религии. Поэтому общим для школ так называемой эмпирической и критической философии было стремление провести какое-то (хотя и довольно неопределённое) различие между объективным значением и субъективной верой.

Благодаря признанию того, что в имеющем определённый смысл словесном сообщении необходимо обращать внимание на место, где проводится линия раздела объект – субъект, современное развитие науки создало новую основу для употребления таких слов, как «знание» и «вера». Прежде всего признание ограничений, присущих понятию причинности, выдвинуло систему понятий, в которой идея мирового предопределения заменена понятием естественной эволюции. Что касается организации человеческих обществ, то мы хотели бы особенно подчеркнуть, что в описании положения отдельного лица внутри общества имеются типично дополнительные стороны, связанные с подвижной границей между оценкой человеческих ценностей и общими положениями, на основании которых о них судят. Конечно, всякое устойчивое человеческое общество нуждается в честной игре, установленной мудрыми правилами; и в то же время жизнь без привязанности к семье и друзьям была бы, очевидно, лишена одной из своих самых драгоценных и привлекательных сторон. Общую цель всех культур составляет самое теснейшее сочетание справедливости и милосердия, какого только можно достигнуть; тем не менее следует признать, что в каждом случае, где нужно строго применить закон, не остаётся места для проявления милосердия, и наоборот, доброжелательство и сострадание могут вступить в конфликт с самыми принципами правосудия. Во многих религиях этот конфликт иллюстрируется мифами о битвах между богами, олицетворяющими такие идеалы, а в древневосточной философии это подчёркивается следующим мудрым советом: добиваясь гармонии человеческой жизни, никогда не забывай, что на сцене бытия мы сами являемся как актёрами, так и зрителями.

При сравнении различных культур, опирающихся на традиции, воспитанные историческими событиями, мы встречаем затруднение, которое состоит в том, что трудно оценить культуру одного народа на фоне традиций другого. В этом отношении связь между национальными культурами иногда характеризовалась как дополнительная, но это слово нельзя здесь употреблять в его строгом смысле, в каком его употребляют в атомной физике или в психологическом анализе, где мы имеем дело с неизменяемыми чертами нашего положения. С одной стороны, контакт между народами часто приводил к слиянию культур при сохранении ценных элементов национальных традиций; с другой стороны, и антропологические исследования постепенно становятся важным источником, освещающим общие для всех культур черты развития. Нам представляется несомненным, что проблему единства знаний нельзя отделять от стремления к всеобщему взаимопониманию как средству поднятия человеческой культуры.

В заключение этого доклада мне следовало бы просить извинения в том, что, говоря на такие общие темы, я так много ссылался на одну специальную область знаний, а именно на физические науки. Но мне хотелось указать на одну точку зрения, подсказанную нам в наши дни тем серьёзным уроком, который был преподан нам в этой области; мне кажется, что эта точка зрения имеет важное значение для проблемы единства знаний. Эту установку можно резюмировать как стремление достигнуть гармоничного понимания всё более широких аспектов того положения, в котором мы находимся. Мы должны признать, что ни один опытный факт не может быть сформулирован помимо некоторой системы понятий и что всякая кажущаяся дисгармония между опытными фактами может быть устранена только путём надлежащего расширения этой системы понятий.

1956

78 МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ ^*

^*Mathematics and Natural Philosophy. The Scientific Monthly, 1956, 82, 85-88.

Каждый из нас впервые обнаруживал мощь математических рассуждений в их простейшей форме, когда знакомился с числами и их использованием. Все мы по воспоминаниям о нашем собственном детстве и из опыта воспитания наших детей представляем себе, как обычный счёт из детской игры постепенно находит себе более осознанное применение в качестве мощного инструмента для упорядочения множества вещей и событий, инструмента, который выражается в правилах действий – сложения, вычитания, умножения и деления. Подобным же образом упоминание о нашем обучении элементарной математике вызывает в нашей памяти чудесные впечатления ранней юности, когда мы узнавали о способах измерения расстояний и высоты деревьев с помощью простых геометрических построений, которые применялись ещё древними жителями Египта и Месопотамии с такой осведомлённостью в геодезии и астрономии.

Роль изучения математики в развитии логического мышления, несомненно, невозможно переоценить. Мы должны сознавать, что каждый учащийся проходит своим собственным умом, хотя и в гораздо более лёгких условиях и с соответственно большей скоростью, шаг за шагом весь тот величественный путь, который человечество проделало и вымостило в течение веков. Важной вехой этого пути были достижения Древней Греции, в которой одновременно с непревзойдённым процветанием искусств предпринимались попытки построить математическую науку на фундаменте чётко сформулированных логических принципов, причём эти попытки оказались настолько успешными, что и сейчас вызывают наше восхищение и представляют собой вечный вызов.

Мне нет необходимости подчёркивать, сколь бесценный образец для тренировки строгости аргументации по-прежнему представляют собой начала Эвклида и как много нам дало глубокое изучение геометрических пропорций, которое привело Эвдокса к различению так называемых рациональных и иррациональных чисел, явившемуся основой ещё более широких математических обобщений. То обстоятельство, что греческим философам были известны парадоксы, встречающиеся в проблемах, связанных с бесконечными последовательностями (как, например, комическая история о состязании в беге между Ахиллесом и черепахой), повышало требования к строгости математических доказательств. Поучительной иллюстрацией в этом отношении является недоверие Архимеда к методам, родственным современному исчислению бесконечно малых, которые он использовал при первом выводе своих знаменитых формул объёма пирамиды и сферы.

Осознание роли математики как руководящего принципа в натурфилософии также восходит к времени древних греков. Всем известно, как подчёркивал Пифагор, важность простых численных соотношений в музыкальной гармонии и в космологии или какую роль в изучении правильных многогранников сыграло стремление Платона к идеалу красоты и совершенства. Среди имеющих непреходящее значение вкладов греческих математиков в физическую науку следует особо упомянуть законы равновесия опёртых и плавающих тел, которые Архимед с его безошибочной интуицией обосновал простыми аргументами симметрии и баланса. Однако в трактовке динамических задач долго оставались большие трудности на пути исключения аргументов, связанных с представлением о воздействии, оказываемом извне на наши движения, и о неких целях, находящихся за пределами наших повседневных действий.

Освобождение от аристотелева подхода к динамике, как известно, впервые произошло в эпоху Возрождения, когда Галилей осознал элементарный характер равномерного движения и применимость представления о воздействии силы лишь к случаям изменения такого движения. На этой основе Ньютон построил чудесное здание классической механики, которая благодаря своему могуществу и широте, а также удобству выполнения математических расчётов стала идеальным образцом научного описания и привела к так называемой механистической картине природы. Кроме того, из аналитической геометрии Декарта возник очень удобный математический инструмент в виде дифференциального исчисления, в которое сам Ньютон, в равной мере выдающийся физик и математик, внёс столь фундаментальный вклад.

Это революционное развитие породило чрезвычайно тесную связь между физическими и математическими исследованиями; открытия в физике стимулировали работу математиков, а математические абстракции и обобщения в свою очередь способствовали прояснению физических проблем. В качестве типичного примера можно вспомнить, как изучение явления теплопроводности побудило Фурье заняться разработкой гармонического анализа, который до наших дней остаётся важным разделом чисто математических исследований и в то же время оказывается всё в большей степени незаменимым инструментом во многих областях физики. Мы можем также упомянуть взаимосвязь между фундаментальными результатами Фарадея в области электричества и магнетизма и теорией Максвелла электромагнитных полей, которая вызвала развитие таких математических дисциплин, как векторный и тензорный анализ, оказавшихся столь полезными во многих разделах физической науки.

Очень внушительный обзор мощных средств, которыми располагают сегодня физики благодаря изобретательной деятельности математиков прошлых столетий, представлен в великолепном трактате Куранта и Гильберта о методах математической физики. В этом труде, неоценимом для каждого студента, ясно излагаются логические обобщения, оказавшиеся исключительно плодотворными не только для изучения разнообразнейших проблем в рамках классической физики, но и способствовавшие прояснению новых вопросов, с которыми мы столкнулись в ходе современного развития физической науки.

Новый, более широкий подход к описанию и пониманию явлений природы начинается с осознания ограниченной применимости самих понятий абсолютного пространства, времени и причинности, на которых основывалась механическая картина природы. Первым толчком к этому, как известно, послужили утонченные оптические измерения. С их помощью было показано отсутствие эффектов, ожидаемых в связи с движением Земли вокруг Солнца, и установлено, что наблюдатели, движущиеся друг относительно друга с большими скоростями, воспринимают явления по-разному. Фактически такие наблюдатели не только получают различные представления о положении и форме твердых тел; события в разных точках пространства могут казаться одному из них одновременными, в то время как другой будет считать их происходящими в разные моменты времени.

Осознание того, в какой степени описание физического явления зависит от точки зрения наблюдателя, не вызвало замешательства или затруднений, но побудило заняться выяснением фундаментальных физических законов, общих для всех наблюдателей. Вряд ли необходимо напоминать об открытии Эйнштейном универсального соотношения между массой и энергией или глубоком переосмыслении идей Ньютона на основе подчёркивания эквивалентности действия гравитационных полей и ускорения системы с точки зрения наблюдателя. Общая теория относительности, которая расширила наш кругозор и придала нашей картине мира такое единство, какого ранее нельзя было и вообразить, несомненно, является одним из величайших триумфов рационального человеческого мышления.

Для обсуждаемой мною темы принципиальный интерес представляет тот факт, что математические обобщения, которые развивались вне связи с практическими применениями, а просто для достижения логической гармонии, оказались очень удобным инструментом для осуществления грандиозной программы Эйнштейна. Отказавшись не только от представлений об абсолютности пространства и времени, но и от эвклидовой геометрии в качестве основы физики, Эйнштейн обратился к рассмотрению криволинейной четырёхмерной римановой метрики, что автоматически привело его к объяснению гравитационных эффектов и особой роли скорости света, которая представляет собой верхний предел логически последовательного применения скорости как физического понятия. Математики к этому времени уже постепенно привыкли к абстракциям такого рода, разрабатывая неэвклидову геометрию и её различные модели.

Несмотря на все эти новые особенности, в теории относительности оказалось возможным сохранить и даже уточнить детерминистическое описание, характерное для классической физики. Однако в последние десятилетия в результате исследований атомной структуры материи, проведение которых стало возможным на основе новейших достижений экспериментальной техники, обнаружилась внутренняя ограниченность самого представления о причинности. Интересно отметить, что, хотя предположение об ограниченной делимости вещества восходит к древности, оно до недавнего времени рассматривалось как гипотеза, для которой не могут быть получены никакие прямые подтверждения. Большой прогресс химии и физики за последние столетия сделал атомистические идеи ещё более плодотворными; в частности, оказалось возможным разработать методы математической статистики для описания усреднённого поведения систем, состоящих из большого числа частиц, и таким образом объяснить эмпирически установленные законы термодинамики. Важным шагом в этом направлении было выяснение Больцманом общего соотношения между понятием энтропии и вероятностью того, что такая система характеризуется определённой степенью упорядоченности.

Это огромное достижение явилось ключом к анализу закономерностей теплового излучения, который был проведен Планком и в первый год нашего столетия привёл его к эпохальному открытию универсального кванта действия. Это открытие Планка, говорившее о том, что все физические процессы характеризуются несвойственными механистической картине природы чертами прерывности, вскрыло тот факт, что законы классической физики являются идеализациями, которые применимы к описанию явлений лишь тогда, когда участвующие в них величины размерности действия достаточно велики, чтобы можно было пренебречь величиной кванта. В то время как в явлениях обычного масштаба это условие выполняется с большим запасом, в атомных процессах мы сталкиваемся с закономерностями совершенно нового типа, которые не укладываются в рамки наглядного детерминистического описания. Прекрасными иллюстрациями этому служат известные дилеммы относительно свойств электромагнитного излучения и материальных частиц, основанные на том обстоятельстве, что в обоих случаях для полного описания экспериментальных данных в равной мере необходимы такие противоречащие друг другу картины, как волны и частицы.

Здесь мы с очевидностью оказываемся в такой ситуации, когда невозможно однозначно определить атрибуты физического объекта независимо от способа наблюдения явления. В частности, оказывается недопустимым пренебрегать взаимодействием между объектом и измерительным прибором, что было характерно для механистической картины природы. Эта ситуация потребовала нового пересмотра тех принципов, которые лежат в основе описания и понимания результатов физических наблюдений. С одной стороны, мы должны сознавать, что как бы далеко ни выходили подобные факты за пределы явлений, рассматриваемых классической физикой, всё же остаётся очевидной необходимость описания экспериментальных установок и данных наблюдений на обычном языке, в должной мере дополненном терминами технической физики. С другой стороны, именно необходимость объяснять действие измерительной аппаратуры на основе классических понятий в принципе исключает в соответствующих квантовых явлениях точный учёт воздействия измерительных приборов на атомные объекты.

Это обстоятельство, в частности, делает невозможным произвольное сочетание пространственно-временно́го описания с динамическими законами сохранения, которое являлось основой детерминистического описания классической физики. Фактически всякое однозначное применение понятий пространства и времени предполагает использование какой-либо экспериментальной установки, в которой происходит принципиально неконтролируемая передача импульса и энергии к приборам, подобным измерительным стержням и синхронизированным часам, которые необходимы для установления системы отсчёта. И наоборот, всякое описание явления, в котором явно учитывается сохранение импульса и энергии, вызывает принципиальную необходимость отказа от детального анализа пространственно-временно́го поведения.

Принципиальная неделимость соответствующих квантовых явлений находит свое логическое выражение в том факте, что всякая попытка чётко определённого подразделения потребовала бы таких изменений в экспериментальной установке, которые сделали бы невозможным наблюдение самого явления. В этих условиях не удивительно, что результаты наблюдений явления с помощью различных экспериментальных установок кажутся противоречащими друг другу, когда их пытаются совместить в единую картину. Такие явления можно назвать дополнительными в том смысле, что они представляют собой равнозначные аспекты доступных нам сведений относительно атомных объектов и лишь в совокупности исчерпывают эти сведения. Понятие дополнительности не подразумевает произвольного отказа от привычных нам требований, предъявляемых ко всякому физическому объяснению, но просто связано с нашим положением в качестве наблюдателей в этой новой области.

В действительности, чтобы построить разумное обобщение классической механики, которое даёт полное объяснение большому числу разнообразных явлений на основе дополнительного способа описания, потребовались объединённые усилия целого поколения физиков-теоретиков. В этом квантовомеханическом формализме обычные кинематические и динамические переменные заменяются на операторы, которые подчиняются определённым правилам коммутации, содержащим постоянную Планка. Здесь мы опять встречаемся с математическими абстракциями, которые уже широко изучались ранее. Например, давно было известно, что сумма вращений твердого тела как результат последовательных поворотов вокруг различных осей зависит от того, в каком порядке эти повороты совершаются.

Пользуясь терминологией квантовой механики, можно сказать, что некоммутативность символических операторов прямо отражает взаимную несовместимость экспериментальных установок, которые позволяли бы производить точное измерение соответствующих физических величин. Более того, взаимное ограничение применимости кинематических и динамических величин в квантовомеханическом описании состояния физической системы находит количественное выражение в соотношениях неопределённости Гейзенберга, которые, как оказалось, имеют фундаментальное значение для выяснения физической ситуации, особенно в отношении пределов применимости обычных классических представлений о причинности.

В соответствии с тем обстоятельством, что в данной экспериментальной установке могут происходить различные индивидуальные квантовые процессы, предсказания этого формализма относительно результатов наблюдений имеют существенно статистический характер. Однако следует иметь в виду, что здесь мы сталкиваемся не с каким-то аналогом использования вероятностного рассмотрения при описании поведения сложных механических систем, а с невозможностью указания каких-либо конкретных сведений относительно хода индивидуальных процессов сверх того, что допускается внутренне согласованным обобщением детерминистической механики.

Для всякого, кто в течение многих лет имел дело с трудностями и парадоксами квантовой физики, глубокое удовлетворение доставляет то обстоятельство, что такая степень логической стройности достигается с помощью тонких методов, предлагаемых математической наукой. Поистине радостно видеть, как огромное количество экспериментальных результатов, относящихся к атомным и молекулярным спектрам, химической связи и радиоактивным процессам, в течение нескольких лет было детально объяснено и сведено воедино с простейшими данными об инертных массах и электрических зарядах частиц, из которых состоят все атомы.

Здесь мы встречаем закономерности, фундаментальные с точки зрения свойств материи, которые, хотя и находятся за пределами механических принципов, очень полезных во многих областях техники, всё же не могут обойти математических формулировок и численных расчётов. В связи с этим важно также, что создание быстродействующих вычислительных машин, подобных чудесной машине UNIVAC, установленной в Институте математических наук при Нью-Йоркском университете, вызвавшей большие сдвиги в решении многих задач из области классической физики, даёт основания для надежд на подобные же сдвиги и в изучении атомных проблем.