Текст книги "Избранные научные труды"

Автор книги: Нильс Бор

сообщить о нарушении

Текущая страница: 37 (всего у книги 58 страниц)

1950

73 ИЗМЕРЕНИЕ ПОЛЯ И ЗАРЯДА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ^*

(Совместно с Л. Розенфельдом)

^*Field and Charge Measurments in Quantum Electrodynamics (With L. Rosenfeld). Phys. Rev., 1950, 78, 794-798.

В работе дан обзор проблемы измеримости в квантовой электродинамике и показано, что в принципе можно с помощью идеализированных измерительных устройств достичь полного согласия с интерпретацией формализма в отношении определения полевых и зарядовых величин.

ВВЕДЕНИЕ

Недавний важный вклад Томонаги, Швингера и других ¹ в развитие квантовой электродинамики показал, что проблема взаимодействия между заряженными частицами и электромагнитными полями может трактоваться таким образом, что на каждом этапе удовлетворяются требования релятивистской ковариантности. В этой формулировке существенно используется такое представление компонент электромагнитного поля, с одной стороны, и величин, характеризующих заряженные частицы, с другой, которое соответствует исчезающе малому взаимодействию между полем и частицами. Взаимодействие вводится затем посредством приближённой процедуры, основанной на разложении в ряд по степеням безразмерной константы 𝑒²/ℎ𝑐. В отношении интерпретации формализма этот метод имеет то преимущество, что он ясно подчёркивает дуальный аспект электродинамики. В самом деле, однозначное определение электромагнитных полевых величин основано только на рассмотрении импульсов, сообщаемых соответствующим пробным телам, несущим заряды или токи, в то время как распределение зарядов-токов, связанное с частицами, в конечном счёте определяется полями, которые порождаются этими распределениями.

¹ S. Tomonaga. Progr. Theor. Phys., 1946, 1, 27; Phys. Rev., 1948, 74, 224; J. Schwinger. Phys. Rev., 1948, 74, 1439; 1949, 75, 651; 1949, 75, 1912; 1949, 76, 790; F. Daуsоn. Phys. Rev., 1949, 75, 486; 1949, 75, 1736; R. Feуnman. Phys. Rev., 1949, 76, 749; 1949, 76, 769.

Именно с этой точки зрения проблема измеримости полевых величин обсуждалась авторами в предыдущей работе ². Аналогичное исследование измеримости плотности электрического заряда также было предпринято, но вследствие различных обстоятельств публикация его задержалась ³. Недавно, когда были подведены итоги, оказалось возможным более общее и исчерпывающее рассмотрение при использовании новейшего развития формулировки квантовой электродинамики ⁴. Поскольку это рассмотрение может быть полезным в обсуждении современной ситуации в атомной физике, мы здесь приведём краткий обзор выводов современной электронной теории, относящихся к измерению плотности заряда-тока. С этой целью удобно начать с резюме нашего предыдущего исследования измеримости полевых величин ⁵.

² N. Bohr, L. Rosenfeld. Kgl. Danske Vid. Sels. Math.-Fys. Medd., 1933, 12, № 8 (статья 39). В дальнейшем цитируется как I.

³ Отчёт о предварительных результатах исследования, которые обсуждались на нескольких физических конференциях в 1938 г., недавно включён в монографию: A. Pais. Developments in the Theory of the Electron. (Princeton University. Press, Princeton, New Jersey, 1948).

⁴ Внимание авторов к использованию этой формулировки для обсуждения проблемы измеримости было привлечено в стимулирующей переписке с проф. B. Паули.

⁵ Более детальный отчёт об этом исследовании с более полными ссылками на литературу появится позже в «The Communications of the Copenhagen Academy».

1. Измерения электромагнитных полей

Классическая электродинамика оперирует с идеализацией компонент поля 𝑓_μν(𝑥), определённых в каждой точке (𝑥) пространства-времени. Хотя в квантовой теории поля эти понятия формально сохраняются, важно понять, что только средние значения таких компонент поля по конечной области пространства-времени 𝑅 типа

𝐹

_μν

(𝑅)

=

1

𝑅

∫

𝑅

𝑓

_μν

(𝑥)

𝑑

⁴

𝑥

(1)

имеют вполне определённый смысл (I, § 2). В начальном приближении, в котором пренебрегается всеми эффектами, включающими 𝑒²/ℏ𝑐, эти средние подчиняются перестановочным соотношениям общего вида

[𝐹

_μν

(𝑅),𝐹

_ϰλ

(𝑅')]

=

𝑖ℏ𝑐

[

𝐴

_μν,ϰλ

(𝑅,𝑅')

–

𝐴

_ϰλ,μν

(𝑅',𝑅)

],

(2)

где выражения типа 𝐴_μν,ϰλ(𝑅,𝑅'), определённые как интегралы по пространственно-временны́м областям 𝑅 и 𝑅' от некоторых сингулярных функций, имеют конечные значения, зависящие от формы и относительного расположения областей 𝑅 и 𝑅'.

Измерение полевой средней 𝐹_μν(𝑅) требует контроля за полным импульсом, передаваемым внутри пространственно-временно́й области 𝑅 системе подвижных пробных тел с соответствующим распределением плотности заряда или тока ρ_ν, покрывающим всю часть пространства, которая в любой момент времени принадлежит области 𝑅. В случае электрической компоненты поля 𝐹_4𝑙 мы должны взять распределение заряда с постоянной плотностью ρ₄, а в случае магнитной компоненты поля 𝐹_𝑚𝑛 – равномерное распределение тока в перпендикулярном направлении с компонентами плотности ρ_𝑚 и ρ_𝑛. Действие поля такого распределения заряда-тока, поскольку оно не происходит в результате смещений пробных тел, сопровождающих контроль импульса, может в принципе быть исключено путём использования фиксированных вспомогательных тел, несущих распределение заряда-тока противоположного знака и построенных таким образом, чтобы не препятствовать свободному движению пробных тел. В случае токового распределения такие вспомогательные тела даже необходимы, чтобы обеспечить замкнутые цепи токов путём некоторой гибкой проводящей связи с пробными телами. В результате этой компенсации, источники поля всей измерительной установки будут, таким образом, описываться только поляризацией 𝑃_μν возникающей от неконтролируемых смещений пробных тел в ходе измерений поля.

Если пробные тела выбраны достаточно тяжёлыми, мы можем всюду пренебрегать любым разбросом в их скоростях, но контроль их импульсов будет, конечно, приводить к существенному разбросу в их координатах в степени, требуемой соотношением неопределённости. Тем не менее можно, не нарушая никаких требований квантовой механики, не только удержать каждое пробное тело фиксированным в его первоначальном положении за исключением временных интервалов внутри области 𝑅 соответствующей этому положению, но также гарантировать, что в течение таких временных интервалов смещения всех пробных тел в направлении передаваемого импульса, который следует измерить, совершенно одинаковы, хотя и неконтролируемы. Это общее смещение 𝐷_μ описывается, в случае измерения электрического поля, компонентой 𝐷_𝑙 параллельной компоненте поля 𝐹_4𝑙 а при измерении магнитного поля – компонентами 𝐷_𝑚 и 𝐷_𝑛, перпендикулярными 𝐹_𝑚𝑛. Кроме того, не ограничивая точности измерений поля, можно считать смещение 𝐷_𝑚 произвольно малым, если только плотность заряда-тока ρ_ν пробных тел выбрана достаточно большой. Путём дальнейшего усовершенствования составной измерительной установки, описанной в нашей предыдущей работе (I, § 3), можно даже свести измерение любой полевой средней к контролю импульса одного единственного дополнительного тела и, таким образом, получить ещё более сжатое выражение окончательных следствий из общего соотношения неопределённости.

Однако существенное обстоятельство в измерениях поля состоит в необходимости исключить в той степени, в какой это только возможно, неконтролируемый вклад в усреднённое поле, присутствующее в области 𝑅, возникающий от смещения пробных тел в ходе измерения. В самом деле, математическое ожидание этого вклада будет меняться обратно пропорционально величине разброса, допускаемого в измерениях поля, так как она пропорциональна поляризации 𝑃_μν=𝐷_μρ_ν-𝐷_νρ_μ внутри области 𝑅. Однако именно это обстоятельство делает возможным с помощью подходящего механического устройства, с помощью которого на пробные тела действует сила, пропорциональная их смещению, скомпенсировать импульс, передаваемый этим телам неконтролируемым полем, поскольку отношение этих полей к их источникам выражается классической теорией поля. С описанной процедурой компенсации результирующее измерение поля 𝐹_μν(𝑅) действительно удовлетворяет всем требованиям квантовой теории поля относительно определения полевых средних (I, § 5). В самом деле, вследствие существенно статистического характера элементарных процессов, включающих испускание и поглощение фотонов, некомпенсируемая часть действия поля пробных тел точно соответствует характерным флуктуациям поля, которые в квантовой электродинамике накладываются на все математические ожидания величин, определяемых источниками поля.

Когда рассматривается измерение двух полевых средних 𝐹_μν(𝑅) и 𝐹_ϰλ(𝑅'), оказывается (I, § 4), что математическое ожидание усреднённой компоненты поля Φ_μν,ϰλ(𝑅,𝑅') которое создаётся в области 𝑅' смещением пробных тел в области 𝑅, равно произведению ½𝑅𝑃_μν на величину 𝐴_μν,ϰλ(𝑅,𝑅'), встречающуюся в перестановочных соотношениях (2). Аналогично математическое ожидание усреднённой компоненты поля Φ_ϰλ,μν(𝑅',𝑅) в области 𝑅, обусловленного пробными телами в области 𝑅, равно ½𝑅'𝑃_ϰλ'𝐴_ϰλ,μν(𝑅',𝑅). Когда установлена оптимальная компенсация импульсов, передаваемых пробным телам этими полями, (она достигается с помощью соответствующих устройств, использующих корреляцию путём световых сигналов между точками этих двух областей R и R'), из взаимный неопределённости контроля координаты и импульса можно сделать вывод, что единственное ограничение измеримости двух рассматриваемых полевых средних в точности соответствует следствиям перестановочных соотношений (2) для таких средних (I, § 6, 7). В этой связи следует подчеркнуть, что флуктуации поля, которые неотделимы от некомпенсируемых частей полей, порожденных действием пробных тел, не приводят к каким-либо ограничениям измеримости компонент поля в двух асимптотически совпадающих пространственно-временных областях. Фактически мы здесь имеем дело с полной аналогией существующей в квантовой механике воспроизводимости значений, наблюдаемых в двух непосредственно следующих друг за другом измерениях.

2. Измерения заряда-тока в начальном приближении

В формализме квантовой электродинамики плотности заряда-тока вводятся, подобно полевым величинам, компонентами 𝑗_ν(𝑥) в каждой пространственно-временно́й точке, но даже в начальном приближении, в котором такие символы формально перестановочны, чётко определённые выражения даются только интегралами типа

𝐽

_ν

(𝑅)

=

1

𝑅

∫

𝑅

𝑗

_ν

(𝑥)

𝑑

⁴

𝑥

,

(3)

представляющими усреднённую плотность заряда-тока в конечной пространственно-временно́й области 𝑅. Из основных уравнений электродинамики следует в наиболее общем виде, что

𝑅𝐽

_ν

(𝑅)

=

∫

𝑅

∂𝑓_μν

∂𝑥_ν

𝑑

⁴

𝑥

=

∫

𝑆

𝑓

_μν

𝑑σ

_ν

;

(4)

это соотношение представляет собой определение средней плотности заряда-тока в области 𝑅 в терминах потока электромагнитного поля через границу 𝑆 этой области. В этом четырёхмерном представлении такие обобщённые потоки включают, конечно, кроме обычного потока электрического поля, определяющего среднюю плотность заряда, другие выражения, связанные со средними плотностями тока и представляющие циркуляции магнитного поля и токи смещения.

В простом частном случае, когда область 𝑅 определена фиксированным пространственным объёмом 𝑉 и постоянным временны́м интервалом 𝑇, средняя плотность заряда в соответствии с (4) будет задаваться, в обычном векторном представлении, выражением

𝐽

₄

(𝑉,𝑇)

=

1

𝑉𝑇

∫

𝑇

𝑑𝑡

∫

𝑆

𝐄𝐧

𝑑σ

,

(5)

где 𝑆 – поверхность, ограничивающая объём 𝑇, а 𝐧 – единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. В таком представлении средняя плотность тока будет иметь вид

𝐉(𝑉,𝑇)

=

1

𝑉𝑇

∫

𝑇

𝑑𝑡

∫

𝑆

[𝐧𝐇]

𝑑σ

–

1

𝑉𝑇

∫

𝑉

𝐄

𝑑𝑣

⎪

⎪

⎪

𝑡₂

𝑡₁

,

(6)

где первый член в правой части представляет собой интеграл по времени от тангенциальной составляющей магнитного поля, проинтегрированной по поверхности 𝑆, тогда как последний член выражает разность между объёмными интегралами от электрического поля в начале и в конце временно́го интервала 𝑇.

Таким образом, определение средней плотности заряда-тока 𝐽_ν(𝑅) требует измерения потока поля через границу 𝑆 пространственно-временно́й области 𝑅. Исследование проблемы такого измерения разумно начать с рассмотрения усреднённого потока через тонкую четырёхмерную оболочку, расположенную на границе 𝑆; при этом для простоты будем предполагать, что она имеет постоянную толщину в пространстве-времени. Как в ситуации, встречающейся при измерении усреднённой компоненты поля 𝐹_μ,ν(𝑅) нам потребуется для этой цели некоторая система подвижных пробных тел, заполняющих пространство, принадлежащее в данный момент времени оболочке с соответствующим равномерным распределением заряда-тока, действие полей которых обычным образом нейтрализуется распределением противоположного знака на фиксированных, проницаемых вспомогательных телах. Для измерения усреднённой плотности заряда 𝐽₄ достаточно взять набор пробных тел с равномерным распределением плотности заряда ρ₄, в то время как при измерении компоненты тока 𝐽_𝑙 мы должны использовать, кроме таких пробных тел, другой независимый набор свободно движущихся пробных тел с равномерным распределением плотности тока ρ_𝑙 параллельным компоненте измеряемого тока.

В измерении средней плотности заряда оценка потока через оболочку требует определения алгебраической суммы импульсов, передаваемых пробным телам в направлении нормали к мгновенной пространственной границе. Однако оценка этой суммы не требует независимых измерений импульсов, передаваемых отдельным пробным телам в пределах временны́х интервалов, в течение которых их координаты принадлежат пространственно-временно́й оболочке. Она может быть получена путём комбинированного процесса измерения, в котором координаты всех пробных тел скоррелированы соответствующими устройствами, чтобы обеспечить в течение этих интервалов одну и ту же величину смещения каждого пробного тела в направлении нормали. Путём выбора достаточно большого значения произведения толщины оболочки на плотность заряда пробных тел можно сделать неконтролируемое общее смещение 𝐷 всех пробных тел в направлении нормали произвольно малым и всё же получить неограниченную точность для среднего потока через оболочку. Подобно измерению простой полевой средней, можно кроме того достичь автоматической компенсации неконтролируемых вкладов в этот средний поток, обусловленных полями, вызванными смещением пробных тел, и пропорциональных 𝐷ρ₄. Эта компенсация будет даже полной в рассматриваемом начальном приближении, так как флуктуации поля благодаря отсутствию источников не дают никакого вклада в поток. Поскольку эти рассуждения справедливы при любой заданной толщине оболочки, в принципе возможно, в асимптотическом пределе резкой границы, точное измерение средней плотности заряда в пределах чётко определённой пространственно-временно́й области.

В измерениях усреднённой компоненты тока 𝐽_𝑙 мы должны учитывать циркуляцию магнитного поля так же, как и электрическое поле пространственно-временно́й оболочки. Таким образом, в частном случае, когда 𝑅 определено пространственным объёмом 𝑉 и временным интервалом 𝑇, мы имеем дело, согласно (6), не только со вкладом от средней по интервалу 𝑇 магнитной циркуляцией вокруг направления 𝑙 в тонкой пространственной оболочке на границе 𝑉, но также со вкладом, представляющим разность между объёмными интегралами по 𝑉 от компоненты электрического поля в направлении 𝑙, усреднённой по двум коротким временны́м интервалам в начале и в конце интервала 𝑇. Оценка этих вкладов требует измерительных процедур такого же типа, как описанные выше в случае измерений простых полевых средних. В то время как измерение последнего вклада требует контроля импульса в направлении 𝑙, передаваемого набору пробных тел с постоянной плотностью заряда ρ оценка первого вклада требует контроля импульса, нормального к пространственной границе, передаваемого другому набору пробных тел с постоянной плотностью тока ρ_𝑙.

Точно так же, как в случае обсуждавшихся выше измерений заряда или поля, все эти операции могут быть скоррелированы таким путём, что определение алгебраической суммы импульсов, передаваемых каждому пробному телу в требуемом интервале времени и направлении, может быть сведено к контролю импульса некоторого дополнительного тела. При такой корреляции все пробные тела с плотностью заряда ρ будут испытывать в течение соответствующих временны́х интервалов одинаковое смещение 𝐷_𝑙 а все пробные тела с плотностью тока ρ_𝑙 – одинаковое нормальное смещение 𝐷. Интерпретация измерений тока требует далее установления корреляции между этими двумя смещениями, которые должны удовлетворять условию: ρ𝐷_𝑙=ρ_𝑙𝐷. При таких обстоятельствах путём выбора достаточно больших ρ и ρ_𝑙, можно без ограничения точности измерения достичь того, чтобы смещения 𝐷_𝑙 и 𝐷 были произвольно малыми. Более того, с помощью соответствующих механических устройств уже упомянутого типа можно получить полное автоматическое исключение неконтролируемых вкладов от действия пробных тел в измеряемый средний ток.

Едва ли нужно добавлять, что процедура может быть распространена на совершенно произвольную пространственно-временну́ю область 𝑅. Для этого необходимо использовать установку, в которой каждое пробное тело смещается как раз в таком временном интервале, в течение которого его координаты принадлежат пространственно-временно́й оболочке, окружающей область 𝑅. В этой связи следует отметить, что компактное четырёхмерное описание всех измерительных процессов компонент заряда-тока предполагает использование 4-вектора распределения тока, постоянного в оболочке и параллельного измеряемой компоненте заряда-тока.

Как и в случае измерений заряда, все рассуждения, касающиеся измерений тока, не зависят от толщины оболочки, и поэтому в принципе возможно, в рассмотренном начальном приближении, определять с неограниченной точностью любую усреднённую компоненту заряда-тока 𝐽_ν(𝑅) в чётко ограниченной области 𝑅. Что касается измерений заряда-тока в двух пространственно-временны́х областях, то легко видеть, что в предельном случае резких границ все действия поля, сопровождающие измерения потока, будут исчезать в любой точке пространства-времени, не принадлежащей границам. Поэтому в соответствии с формализмом в рассматриваемом приближении не будет взаимного влияния измерений усреднённых плотностей заряда-тока в различных пространственно-временны́х областях.

Ситуация, описанная до сих пор, конечно, представляет собой только иллюстрацию совместимости последовательной математической схемы с точным применением определения физических понятий, к которым оно относится; в частности, она совершенно не зависит от вопроса о возможности действительно создать пробные тела с требуемыми свойствами и манипулировать этими телами. Такого рода пренебрежение всеми ограничениями, которые могут возникнуть вследствие атомного строения материи, однако вполне оправдано, когда имеют дело с квантовой электродинамикой в первом приближении. Фактически на этой стадии формализм существенно не зависит от пространственно-временно́го масштаба, так как содержит только универсальные константы 𝑐 и ℏ, которых недостаточно, чтобы определить какую-нибудь величину размерности длины или интервала времени.

3. Измерения заряда-тока в теории с электронно-позитронными парами

Новые аспекты проблемы измерений возникают в квантовой электродинамике в следующем приближении, в котором рассматриваются эффекты, пропорциональные 𝑒²/ℏ𝑐 и где мы встречаемся с дополнительными особенностями, связанными с рождением электронных пар, вызванным электромагнитными полями. Для перестановочных соотношений компонент поля это означает в общем лишь небольшую модификацию, выражаемую дополнительными членами, содержащими 𝑒²/ℏ𝑐. Однако зарядо-токовые величины уже не будут коммутирующими, а будут подчиняться перестановочным соотношениям вида

[

𝐽

_ν

(𝑅)

,

𝐽

_μ

(𝑅')

]

=

𝑖ℏ𝑐

[

𝐵

_νμ

(𝑅,𝑅')

–

𝐵

_μν

(𝑅',𝑅)

]

,

(7)

где выражения 𝐵_νμ(𝑅,𝑅') – интегралы от сингулярных функций по областям 𝑅 и 𝑅'. В противоположность величинам 𝐴_μν,ϰλ(𝑅,𝑅'), встречающимся в соотношении (2), которые зависят от простых пространственно-временны́х характеристик задачи, величины 𝐵, однако, кроме таких характеристик также существенно включают длину ℎ/𝑚𝑐 и период ℎ/𝑚𝑐², связанные с массой электрона 𝑚.

Для подхода к проблеме измеримости зарядо-токовой величины 𝐽_ν(𝑅) этом приближении, мы должны опять рассмотреть системы заряженных пробных тел, действующих в пространственно-временно́й оболочке на границе области 𝑅 но мы должны теперь исследовать эффект появления плотности заряда-тока как следствия реального или виртуального рождения электронных пар в результате действия поля, происходящего от смещения пробных тел в течение измерительного процесса. Как мы увидим, эти эффекты, которые нераздельно связаны с измерениями, никоим образом не ограничивают возможности проверки теории ⁶.

⁶ В статье Халперна и Джонсона (Halpern, Johnson, Phys. Rev., 1941,59,896) выдвигаются аргументы, указывающие на гораздо более жёсткие ограничения измерений поля и тока. Однако в этих рассуждениях не делается достаточного разделения между такими действиями заряженных пробных тел, которые непосредственно связаны с их использованием в измерительной процедуре, и такими действиями, которые могут быть исключены соответствующей нейтрализацией вспомогательными телами противоположного заряда.

Прежде всего усреднённый эффект поляризации вакуума в результате виртуального и реального рождения пар в процессе измерения может быть исключён с помощью компенсирующего устройства, подобного описанному ранее. Правда, прямая оценка этих поляризационных эффектов в квантовой электродинамике приводит к расходящимся выражениям, которые могут быть сделаны конечными только путём некоторой процедуры перенормировки или регуляризации ⁷. При такой процедуре усреднённые поляризационные эффекты дадут вклад в плотность заряда-тока, который пропорционален общему смещению пробных тел. Таким образом, в пределе резкой границы области 𝑅, обозначая поверхностную поляризацию на границе через 𝑃_ν, мы получаем выражение 𝑅𝑃_ν𝐵_μν(𝑅,𝑅), где последний множитель представляет собой значение 𝐵_μν(𝑅,𝑅'), в соотношении (7) для совпадающих пространственно-временны́х объёмов.

⁷ Ср.: W. Pauli, F. Villa г s. Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 434.

Кроме того, интерпретация статистических эффектов, обусловленных реальным рождением электронных пар в процессе измерения, неразрывно связана с интерпретацией флуктуаций усреднённых плотностей заряда-тока в квантовой электродинамике. В то время как среднее квадратичное отклонение компоненты поля 𝐹_μν(𝑅) в резко ограниченной пространственно-временно́й области 𝑅 является конечным, конечные значения для средних квадратичных флуктуаций зарядо-токовых величин можно получить, однако, только при дальнейшем усреднении по ансамблю областей 𝑅, границы которых могут иметь определённую ширину около некоторой данной поверхности ⁸.

⁸ Ср.: W. Heisenberg. Leipziger Вег., 1934, 86, 317. Мы признательны д-рам Посту и Лэттинджеру за информацию об их более точной оценке флуктуаций заряда-тока, показывающей, что неограниченное возрастание флуктуации заряда-тока в пространственно-временно́й области с убыванием ширины фиксации границ содержит только логарифм отношения между линейными размерами области и этой шириной. Даже ширина, очень малая по сравнению с ℏ/𝑚𝑐, не приведёт к чрезмерному эффекту для флуктуаций заряда. С ситуацией, полностью аналогичной во всех этих отношениях ситуации в электронной теории, мы встречаемся в квантовой электродинамике, имеющей дело с заряженными частицами спина нуль, подчиняющимися статистике Бозе. Мы признательны д-ру Коринальдези за сообщение его результатов относительно флуктуаций заряда-тока и эффектов рождения пар в такой теории.

Эта особенность точно соответствует тому, что имеет место при оценке, по указанной процедуре, статистических эффектов реальных пар, которые рождаются при измерениях заряд-токовых величин. Фактически средние квадратичные флуктуации усреднённого потока будут возрастать неограниченно с уменьшением толщины оболочки, в которой действуют пробные тела, точно так же, как согласно формализму средняя квадратичная флуктуация соответствующей плотности заряда-тока будет меняться с шириной пространственно-временны́х объёмов, по ансамблю которых производится усреднение. Появление бесконечной средней квадратичной флуктуации в резко ограниченной пространственно-временно́й области никоим образом не связано с расходимостями, которые проявляются в эффектах поляризации вакуума, но является прямым следствием фундаментального предположения теории, согласно которому электроны рассматриваются как точечные заряды.

В случае измерений зарядо-токовых средних в двух пространственно-временны́х областях можно показать, что поляризационные эффекты от воздействия пробных тел, использованные для измерения 𝐽_ν(𝑅), будут в пределе резкой границы давать вклад в компоненту усреднённой плотности заряда-тока с индексом μ в области 𝑅', равный произведению величины 𝐵_μν(𝑅',𝑅) входящей в формулу (7), на 𝑅𝑃_ν, где 𝑃_ν – поверхностная поляризация на границе 𝑅, созданная в течение процесса измерения. Обратно, измерение 𝐽_ν(𝑅') даст вклад 𝑅'𝑃_μ'𝐵_μν(𝑅',𝑅) в компоненту с индексом ν усреднённой плотности заряда-тока в 𝑅. Поэтому с помощью компенсационных устройств, подобных тем, которые требуются при двух измерениях поля, возможно, как легко видеть, получить точность измерений усреднённых плотностей заряда-тока в двух пространственно-временны́х областях, подчиняющуюся только взаимным ограничениям, выраженным перестановочным соотношением (7).

4. Заключительные замечания

Согласие между формализмом квантовой электродинамики и интерпретацией идеализированных измерений заряда и поля, конечно, не имеет непосредственного отношения к вопросу об области применимости теории и о действительной возможности измерения физических величин, с которыми она имеет дело.

При современном состоянии атомной физики проблема действительного ограничения измерений, интерпретируемая с помощью понятий классической электродинамики, едва ли может быть полностью исследована. Тем не менее ввиду большого успеха квантовой электродинамики в объяснении многочисленных явлений, формальная интерпретация которых включает пространственно-временну́ю координацию электронов внутри областей с размерами, много меньшими, чем ℏ/𝑚𝑐 и ℏ/𝑚𝑐², может быть, разумно предположить, что измерения внутри таких областей в принципе возможны. В самом деле, сравнительно тяжёлые и сильно заряженные пробные тела столь малых размеров и подвергающиеся воздействию в течение столь коротких временных интервалов, которые потребовались бы для этих измерений, можно представлять себе построенными из ядерных частиц.

Однако на ограниченность непротиворечивого применения этого формализма указывает как необходимость введения короткодействующих сил в теории ядра, не имеющих аналога в классической электродинамике, так и то обстоятельство, что отношение массы электрона к массе покоя квантов ядерного поля имеет тот же порядок величины, что и фундаментальный параметр 𝑒²/ℏ𝑐 квантовой электродинамики ⁹. Дальнейшее исследование таких проблем может потребовать радикального пересмотра оснований для применения основных дуальных понятий полей и частиц.

⁹ См., например: N. Bohr. Report on the Solvay Council, 1948. (См. также статью 71. – Ред.).

Институт теоретической физики

Копенгагенского университета

Отдел теоретической физики

Манчестерского университета

Поступила 19 октября 1949 г.