Текст книги "Избранные научные труды"

Автор книги: Нильс Бор

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 58 страниц)

¹ См.: L. Rosenfeld, J. Solomon. Journ. d. Phys., 1931, 2, 139, а также: W. Pauli. Handbuch der Physik, 2-е изд., т. 24/1, 1933, стр. 255.

² Cp.: W. Heisenberg. Leipziger Berichte, 1931, 83, 1.

§ 3. Предпосылки физических измерений поля

Измерение электромагнитного поля основывается по определению на передаче количества движения (импульса) тем или иным находящимся в поле электрическим и магнитным пробным телам. Квантовая теория требует здесь прежде всего осторожности в применении обычной идеализации, состоящей в том, что компонентам поля приписываются определённые значения в каждой пространственно-временно́й точке. Но помимо этого нужно учитывать, что дело идёт здесь всегда об усреднённых значениях этих компонент; мы имеем в виду как усреднение по промежуткам времени, необходимым для передачи количества движения, так и усреднение по объёмам, внутри которых распределены электрические заряды и магнитные полюса пробных тел. Разумеется, уже предположение о равномерном распределении заряда внутри пробного тела представляет собою идеализацию; однако эта идеализация, хотя и имеет лишь ограниченную применимость ввиду атомистической структуры всех материальных тел, тем не менее необходима для однозначного определения величин поля.

Чтобы остановиться на чем-нибудь определённом, рассмотрим измерение усреднённого значения компоненты 𝕰_𝑥 электрического поля по оси 𝑥 усреднение берётся по объёму 𝑉 и промежутку времени 𝑇. Для этого мы должны взять пробное тело с электрическим зарядом, равномерно распределённым с плотностью ρ по объёму 𝑉; нам нужно будет найти значения 𝑝'_𝑥 и 𝑝''_𝑥 составляющей количества движения по оси 𝑥 для начала 𝑡' и для конца 𝑡'' промежутка времени 𝑇. Тогда искомое усреднённое значение 𝕰_𝑥 определится из равенства

𝑝

_''

^𝑥

–

𝑝

_'

^𝑥

=

ρ

𝕰

_𝑥

𝑉𝑇

.

(15)

При этом делаются следующие предположения: во-первых, промежутки времени, потребные для измерения импульса (пусть их порядок величины будет Δ𝑡), должны быть весьма малы по сравнению с 𝑇; во-вторых, смещения пробного тела, испытываемые им как вследствие измерения импульса, так и в результате ускорения, сообщаемого ему измеряемым полем за время 𝑇, должны быть малы по сравнению с линейными размерами объёма 𝑉.

Выбирая пробное тело достаточно тяжёлым, мы можем, очевидно, сколь угодно уменьшить его ускорение под действием поля. При измерении же импульса мы встречаемся с обстоятельствами, не зависящими от массы пробного тела. В силу соотношения неопределённости всякое выполненное с неточностью Δ𝑝_𝑥 измерение компоненты импульса 𝑝_𝑥 сопряжено с утратой Δ𝑥 точности знания координаты данного тела, причём порядок величины Δ𝑥 связан с Δ𝑝_𝑥 соотношением

Δ𝑝

_𝑥

Δ

𝑥

∼

ℏ

.

(16)

содержащимся в формуле (6). Само по себе это обстоятельство не представляет, впрочем, ограничения для достижения точности в измерении поля, поскольку мы ещё можем распоряжаться значением плотности заряда. В самом деле, пренебрегая величинами Δ𝑡 и Δ𝑥 по сравнению с 𝑇 и 𝐿, мы получаем из (15) и (16) для порядка величины неточности Δ𝕰_𝑥 в измерении поля значение

Δ

𝕰

_𝑥

∼

ℏ

ρΔ𝑥𝑉𝑇

,

которое при сколь угодно малом Δ𝑥 может быть сделано сколь угодно малым путём выбора достаточно большого значения ρ.

Строго говоря, точность измерения поля зависит ещё от абсолютного значения самой величины В самом деле, даже если бы 𝕰_𝑥 было равно нулю, получаемое из (15) значение будет, при заданных допусках для Δ𝑡 и Δ𝑥, обладать вследствие нерезкости границы области измерения неопределённостью, которая может превысить любое заданное значение, если 𝕰_𝑥 будет возрастать до бесконечности. Однако последнее обстоятельство отражает только ограничение, свойственное всем физическим измерениям, а именно тот факт, что для надлежащего выбора измерительных приборов необходимо наперёд знать порядок величины ожидаемых эффектов. В нашей задаче верхний предел интересующих нас эффектов определяется тем, что при возрастании значений компонент поля мы постепенно переходим в область применимости классической электромагнитной теории. Если взять случай 𝐿 > 𝑐𝑇 особенно пригодный для проверки аппарата квантовой электродинамики, то критической в указанном отношении величиной поля будет

𝑄

=

⎧

⎪

⎩

ℏ

𝑉𝑇

⎫½

⎪

⎭

(18)

Это выражение совпадает с правой частью первой из формул (14), рассмотренных в предыдущем параграфе. Используя это обозначение, можно написать соотношение (17) в виде

Δ

𝕰

_𝑥

∼

λ𝑄

,

(19)

где

λ=

𝑄

ρΔ𝑥

(20)

есть безразмерный множитель, характеризующий точность измерения поля.

Требование, чтобы λ было мало по сравнению с единицей и чтобы вместе с тем Δ𝑥 было мало по сравнению с 𝐿, означает, что полный электрический заряд тела должен состоять из весьма большого числа элементарных зарядов ε. Действительно, это число 𝑁, согласно (20), равно

𝑁

=

ρ𝑉

ε

=

𝑄𝑉

λεΔ𝑥

=

1

λ

⋅

𝐿

Δ𝑥

⋅

⎧

⎪

⎩

𝐿

𝑐𝑇

⎫½

⎪

⎭

⋅

⎧

⎪

⎩

ℏ𝑐

ε²

⎫½

⎪

⎭

(21)

и оно весьма велико, если выполняются перечисленные требования и если, как мы предполагали, 𝐿 > 𝑐𝑇. В формуле (21) последний множитель есть обратная величина корня квадратного из постоянной тонкой структуры, а малость этой постоянной представляет, как мы уже указывали во введении, существенную предпосылку основанной на принципе соответствия электронной теории. Как мы подчёркивали, измерение поля посредством элементарного заряда, взятого в качестве пробного тела, связано с большими ограничениями; это видно уже из формулы (21), если в ней положить 𝑁=1 ¹. Кроме того, предположение, что 𝑁 велико, представляет необходимое условие физической осуществимости равномерного распределения заряда пробного тела по объёму 𝑉; и пока линейные размеры пробного тела остаются большими по сравнению с размерами атома, выполнение этого условия не представляет, очевидно, затруднений. Выше было использовано также допущение, относящееся к массе пробного тела; оно сводится к тому, что эта масса должна быть весьма велика по сравнению с массой светового кванта длины волны 𝐿. В предположении, что 𝑁 велико, это допущение всегда выполнимо, и его можно было бы не оговаривать.

¹ См.: V. Fock, Р. Jordan. Zs. f. Phys., 1930, 60, 206, где указывается на ограничения для измерений поля, не связанные с квантовой теорией полей. См. также: J. Solomon. Journ. d. Phys., 1933, 4, 368.

С ускорением всякого пробного тела, сопровождающим измерение его импульса, связано возникновение добавочного электромагнитного поля, которого мы, однако, до сих пор не рассматривали. Это добавочное поле налагается на первоначальное и должно входить в средние значения поля, определяемые уравнениями вида (15). В связи с этим главная задача нижеследующих рассуждений будет состоять в нахождении такого измерительного устройства, при котором поля, возникающие от пробных тел, были бы доступны контролю или компенсировались бы в максимально возможной степени.

Здесь мы должны, однако, сперва рассмотреть вопрос о том, в какой мере обратное действие полей излучения, порождаемых ускорениями пробных тел при измерении их импульса, способно помешать измерению входящих в формулу (15) начального и конечного значений компоненты импульса. Именно имея в виду возможность этих помех, Ландау и Пайерлс в своей цитированной выше работе подвергли сомнению применимость к заряженным телам соотношения неопределённости (16). Названные авторы пришли к выводу, что это соотношение следует заменить другим, ещё больше ограничивающим возможности измерения и содержащим явно заряд пробного тела. Но при этом они уподобили поведение пробного тела в электромагнитном поле поведению точечного заряда 𝑒. Для изменения количества движения пробного тела, вызванного обратным действием излучения за время Δ𝑡, они применяли поэтому оценку

δ

_𝑒

𝑝

_𝑥

∼

𝑒²

𝑐³

Δ𝑥

(Δ𝑡)²

.

(22)

Но если рассматривать δ_𝑒𝑝_𝑥 как дополнительную неопределённость в измерении импульса, то, полагая ρ𝑉=𝑒 и пренебрегая различием между 𝕰_𝑥 и 𝕰_𝑥 мы получаем вместо (17) выражение

Δ

_𝑒

𝕰

_𝑥

∼

ℏ

𝑒𝑇Δ𝑥

+

𝑒Δ𝑥

𝑐³𝑒𝑇(Δ𝑡)²

,

(23)

минимум которого относительно 𝑒, очевидно, равен

Δ

_𝑚

𝕰

_𝑥

∼

√ℏ𝑐

𝑐²𝑒𝑇Δ𝑡

.

(24)

Если теперь, следуя Ландау и Пайерлсу, пренебречь различием между 𝑇 и Δ𝑡, то это выражение перейдёт в даваемый ими абсолютный предел измеримости компонент поля; на существовании же такого рода предела базируется вся их критика основ квантовой электродинамики.

Однако мнимые трудности измерения импульса тотчас исчезнут при достаточно полном учёте протяженности электрического заряда пробного тела. Если ввести в качестве идеализации равномерное распределение зарядов, способное смещаться как твердое тело (допустимость такой идеализации будет обсуждена ниже), то электрические поля в объёме 𝑉 при ускорении пробного тела в течение времени Δ𝑡 могут достигнуть, самое большее, порядка величины ρΔ𝑥. В самом деле, согласно уравнениям Максвелла производные по времени от этих полей будут достигать, самое большее, порядка величины плотности тока, которая будет порядка ρΔ𝑥/Δ𝑡. Обратное электромагнитное воздействие этих полей на тело за время измерения Δ𝑡 может поэтому привести к передаче импульса, не превышающей по порядку величины выражения

δ

_ρ

𝑝

_𝑥

∼

ρ²𝑉

Δ

𝑥

Δ

𝑡

.

(25)

Сравнение формул (16) и (25) даёт, при учёте (18) и (20),

δ

_ρ

𝑝

_𝑥

∼

Δ

𝑝

_𝑥

λ

^-2

Δ𝑡

𝑇

(26)

а отсюда следует, что при наперёд заданной точности измерения поля, характеризуемой величиной λ, обратное влияние электромагнитного поля на импульс пробного тела («отдача») будет пренебрежимо мало́, если только взять Δ𝑡 достаточно малым по сравнению с 𝑇. Это обстоятельство и является решающим при суждении о точности измерений поля; в силу него оказывается невозможным непосредственно учитывать при отдельных измерениях импульса влияние «отдачи» на баланс импульса и энергии. В частности, предложение Паули ¹ определять передаваемые излучением импульс и энергию путём последующего измерения при помощи особого приспособления является невыполнимым; это будет так уже потому, что возникающие при измерениях импульса, сделанных в начале и в конце промежутка времени 𝑇 поля излучения не могут быть отделены в должной мере друг от друга, по крайней мере в том случае, когда 𝐿 > 𝑐𝑇, а именно этот случай особенно важен для измерений поля. В следующих параграфах мы покажем в общем виде, что всякая попытка контроля над полем, возникающим от пробных тел, препятствовала бы использованию производимых при помощи их измерений поля.

¹ См.: W. Pauli. Handbuch der Physik, 1933, Bd. 24/1, S. 257. (См. перевод: В. Паули. Общие принципы волновой механики. М.—Л., 1947. – Ред.)

Рассматривать пробные тела как непрерывные распределения зарядов, а не как точечные заряды важно, впрочем, не только для обсуждения поведения пробных тел во время измерения, но и для суждения о взаимном влиянии пробных тел, если их несколько. Ведь если не делать различия между неопределённостью в положении пробного тела, рассматриваемого как точечный заряд, и линейными размерами области, к которой относится измерение, то это будет означать произвольное допущение, чуждое проблеме измеримости. По этой причине нельзя признать правильными и выражения для произведения неопределённостей в 𝕰_𝑥 и 𝕳_𝑦 внутри одной и той же пространственно-временно́й области, полученные путём, рассмотрения точечных зарядов разными авторами (Гейзенбергом, с одной стороны, и Ландау и Пайерлсом, с другой). Эти выражения не только противоречат тому, что следует ожидать исходя из формального аппарата квантовой электродинамики (мы уже об этом говорили выше), но и не согласуются между собой за исключением частного случая, когда 𝐿 ∼ 𝑐𝑇. В этом случае обе оценки дают выражение 𝑄², которое получается из формального аппарата для порядка величины произведения дополнительных неопределённостей в двух по-разному усреднённых компонентах поля (пространственно-временна́я область усреднения для одной компоненты поля смещена по отношению к области усреднения для другой компоненты на отрезки порядка 𝐿 и 𝑇). Что касается совпадающих пространственно-временны́х областей, то в этом случае указанное произведение неопределённостей тождественно равно нулю, и это представляет существенную черту формального аппарата теории. Физический смысл этого результата становится очевидным, если мы учтём равномерное распределение зарядов пробного тела, используемого для измерения 𝕰_𝑥. В самом деле, представим себе, что смещение заряда ρ𝑑𝑣, находящегося в элементе объёма вблизи точки 𝑃₁, производит в точке 𝑃₂ объёма 𝑉 некоторое магнитное поле; но это поле равно и противоположно по знаку тому магнитному полю, которое возникает в точке 𝑃₁, когда такое же смещение испытывает заряд ρ𝑑𝑣, находящийся вблизи точки 𝑃₂; поэтому возникающее в результате смещения пробного тела магнитное поле после усреднения по объёму 𝑉 оказывается равным нулю.

Из сказанного можно сделать следующие выводы. Для изучения вопроса об измеримости поля чрезвычайно существенным является предположение, что используемые пробные тела ведут себя как равномерно заряженные твердые тела, причём для всякого наперёд заданного сколь угодно малого промежутка времени их импульсы могут быть измерены с точностью, связанной соотношением дополнительности (16) с неконтролируемыми смещениями, сопровождающими измерение. При этом вследствие конечной скорости распространения всех сил мы не можем, разумеется, иметь в виду обычную механическую идеализацию твердого тела, а должны представлять себе каждое пробное тело как систему отдельных тел достаточно малых размеров; измерение полного импульса этой системы должно выполняться так, чтобы все эти отдельные тела испытывали при таком измерении приблизительно одинаковое смещение. Требование это не встречает принципиальных препятствий, по крайней мере постольку, поскольку можно отвлечься от атомистической структуры пробных тел. Это связано с тем, что необходимые измерения импульсов могут быть полностью описаны на языке классической физики. Такое описание возможно как в том случае, когда речь идёт о процессе столкновения между пробным телом и подходящим твердым телом, воспринимающим удар, так и в том случае, когда измерения основаны на исследовании эффекта Допплера, происходящего при отражении излучения от пробного тела. Взаимодействие между пробным телом и телом, воспринимающим удар, может быть прослежено на классической основе в обоих случаях: в первом случае при условии, что масса тела, воспринимающего удар, достаточно велика, а во втором случае при условии, что пучок света, применяемый для измерения эффекта Допплера, содержит достаточно большое число световых квантов. В самом деле, сопровождающая измерение импульса утрата определённости в положении пробного тела связана исключительно с невозможностью проследить, параллельно измерению импульса, ход процесса соударения относительно данной пространственно-временно́й системы отсчёта. Характерная дополнительность в способах описания основана ведь в конечном счёте на том, что фиксация процесса относительно определённой системы отсчёта связана с передачей импульса и энергии необходимым для реализации этой системы отсчёта масштабам и часам ¹.

¹ См.: N. Bohr. Atomtheorie und Naturbeschreibung. Berlin, Springer, 1931. Этот вопрос рассмотрен автором подробнее в его венском докладе, который вскоре выйдет в свет. Там подробно рассматриваются также парадоксы, возникающие при интерпретации соотношения неопределённости с учётом теории относительности.

Во всяком описании остаётся некоторая неопределённость во времени Δ𝑡. Напомним, что согласно соотношению неопределённости величина Δ𝑡 связана с неопределённостью Δ𝐸 в величине энергии, которой обменялись во время соударения пробное тело и тело, воспринимающее удар, соотношением

Δ𝐸

⋅

Δ

𝑡

∼

ℏ

.

(27)

Так как для обоих тел между энергией и компонентами количества движения (импульса) и скорости имеет место соотношение

𝑑𝐸

=

𝑣

_𝑥

𝑑𝑝

_𝑥

,

(28)

то из предыдущего уравнения непосредственно следует, что

Δ𝑝

_𝑥

|

𝑣

''

_𝑥

–

𝑣

'

_𝑥

|

Δ

𝑡

∼

ℏ

.

(29)

Для достаточно тяжёлого пробного тела входящее сюда изменение |𝑣''_𝑥 – 𝑣'_𝑥| его скорости при измерении импульса может считаться известным сколь угодно точно (мы об этом говорили выше). Но и тогда множитель

|

𝑣

''

_𝑥

–

𝑣

'

_𝑥

|

Δ

𝑡

=

Δ

𝑥

(30)

означает, очевидно, допуск в положении тела относительно фиксированной системы отсчёта, что находится в полном соответствии с соотношениями неопределённости (16). Из формулы (30) непосредственно вытекает условие

Δ𝑥

<

𝑐

Δ

𝑡

,

(31)

которое вместе с (16) даёт абсолютный нижний предел неточности Δ𝑝_𝑥 при измерении импульса за промежуток времени с верхним пределом Δ𝑡 Но ввиду релятивистской инвариантности соотношений (16) и (27), а также (28) это обстоятельство не налагает каких-либо ограничений на формулировку и применимость принципа неопределённости. К тому же в нашей задаче допустимо при рассмотрении механической стороны вопроса пренебрегать всякими поправками на теорию относительности. В самом деле, если пользоваться достаточно тяжёлыми пробными телами, всегда окажется возможным устроить так, чтобы в течение всего процесса измерения скорости всех пробных тел оставались малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому мы можем даже всегда рассматривать смещения Δ𝑥 при измерениях импульса как малые величины по сравнению с соответствующим значением 𝑐Δ𝑡 которое и само может быть сделано сколь угодно малым.

Возможность измерить полный импульс протяженного тела в течение наперёд заданного промежутка времени и с требуемой точностью, выражаемой формулами (16), обусловлена именно тем, что служащий для измерения импульса процесс может быть точно прослежен относительно данной пространственно-временно́й системы отсчёта. Так, полный импульс используемой в качестве пробного тела системы заряженных тел, его составляющей, может быть определён посредством одного-единственного столкновения. Для этого тело, воспринимающее удар, должно иметь особую конструкцию: оно должно приходить в соприкосновение со всеми частями пробного тела и каждой из них сообщать одинаковое ускорение в одно и то же время. Конечно, такое устройство предъявляет конструкции пробных тел и тела, воспринимающего удар, обширные требования, которые, однако, в принципе выполнимы, если только пренебрегать атомной структурой тел.

Рассматриваемое измерение полного импульса пробного тела можно, по-видимому, проще всего осуществить оптическим путём, если использовать эффект Допплера, например, следующим образом. Представим себе, что каждая составная часть пробного тела снабжена маленьким зеркалом, перпендикулярным направлению оси 𝑥 представим себе также ряд других зеркал, закреплённых так, чтобы длина светового пути от источника излучения до каждой из составных частей пробного тела была одной и той же. С помощью надлежащего приспособления можно запустить пучок света длительности Δ𝑡, содержащий достаточно большое число световых квантов (это число должно быть весьма велико по сравнению с числом составных частей пробного тела). Тогда все эти составные части одновременно получат толчок и испытают ускорение, которое можно с заданной точностью считать одинаковым.

Покажем, что при помощи такого приспособления можно в самом деле определить полный импульс пробного тела с точностью, допускаемой соотношением (16). Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть взаимодействие между системой, составляющей пробное тело, и световым пучком. При упомянутом выше предположении о том, что скорость пробного тела мала по сравнению со скоростью света, мы получим для каждой из его составных частей

𝑚

_τ

(

𝑣

''

τ,𝑥

–

𝑣

'

τ,𝑥

)=

ℏ

𝑐

 

∑

^𝑛_τ

(ν'+ν'')

,

1

2

𝑚

_τ

(

𝑣

''

τ,𝑥

–

𝑣

''

τ,𝑥

)=

ℏ

 

∑

^𝑛_τ

(ν'+ν'')

.

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

(32)

Здесь 𝑚_τ – масса составной части, 𝑣^'_τ,𝑥    и 𝑣^''_τ,𝑥    – её скорости до и после отражения света, а суммирование распространяется на все отражённые от данной составной части световые кванты (числа 𝑛_τ) с угловыми частотами ν' до и ν'' после отражения (угловая частота равна 2π, делённому на период). Значение до и после столкновения компоненты импульса данной составной части будет согласно (32) равно

𝑝

'

^τ,𝑥

=

𝑚

_τ

𝑣

'

^τ,𝑥

=

𝑚

_τ

𝑐

∑ (ν'-ν'') ^𝑛_τ

∑ (ν'+ν'') ^𝑛_τ

–

1

2

ℏ

𝑐

∑

^𝑛_τ

(ν'+ν'')

𝑝

''

^τ,𝑥

=

𝑚

_τ

𝑣

'

^τ,𝑥

=

𝑚

_τ

𝑐

∑ (ν'-ν'') ^𝑛_τ

∑ (ν'+ν'') ^𝑛_τ

+

1

2

ℏ

𝑐

∑

^𝑛_τ

(ν'+ν'')

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

(33)

Предположим теперь, что средняя спектральная частота ν₀ светового пучка весьма велика как по сравнению со средним отклонением (Δ𝑡)^-1 в распределении частот, так и по сравнению со всеми изменениями частот ν'-ν'' Тогда мы можем с достаточным приближением положить происшедшие в результате удара изменения скорости каждой из составных частей тела равными

𝑣

''

^τ,𝑥

–

𝑣

'

^τ,𝑥

=

ℏ

𝑚_τ𝑐

∑

^𝑛_τ

(ν'+ν'')

=

2𝑛_τℏν₀

𝑚_τ𝑐

(34)

и принять их одинаковыми для всех составных частей. Таким образом, в результате соударения все составные части пробного тела получают хотя и недоступные контролю, но почти в точности одинаковые смещения (их можно считать одинаковыми со сколь угодно большой точностью). Порядок величины Δ𝑥 этих смещений удовлетворяет соотношению (30), где |𝑣''_𝑥 – 𝑣'_𝑥 | можно считать равным общему изменению скорости всей системы составных частей пробного тела. Как и раньше, мы будем считать Δ𝑥 весьма малым по сравнению с 𝑐Δ𝑡 На основании (33) и (34) мы получим тогда для произведения Δ𝑥 на неопределённость в полном импульсе пробного тела приближённое выражение

Δ𝑝

_𝑥

Δ

𝑥

∼

Δ

𝑡⋅

Δ

⎧

⎪

⎩

 

∑

^τ

 

∑

^𝑛_τ

ℏν'

–

 

∑

^τ

 

∑

^𝑛_τ

ℏν''

⎫

⎪

⎭

.

(35)

Стоящие здесь в скобках величины представляют как раз полные энергии обоих световых пучков: пучка, падающего на пробное тело, и пучка, отражённого от него. Энергия последнего может быть измерена с любой точностью, хотя бы путём спектрального анализа отражённого излучения. Для падающего же пучка подобный анализ был бы, очевидно, несовместимым с условиями опыта. Полная энергия этого излучения могла бы быть, однако, измерена с неточностью, связанной с Δ𝑡 соотношением дополнительности (27). Для этого было бы достаточным чисто механическое приспособление, при помощи которого рассматриваемый пучок мог бы быть выделен из некоторого общего поля излучения, такого, что его энергия могла бы быть измерена с любой желаемой точностью (например, путём спектрального анализа) до и после выделения пучка. Таким образом, соотношение (35) совпадает с обычным соотношением неопределённости (16). Заметим ещё, что доказательство такого совпадения существенным образом связано с тем, что описанное устройство даёт только полный импульс пробного тела, но не импульсы составляющих его частей.

То обстоятельство, что применяемая при необходимых для нашей цели измерениях импульса система пробных тел испытывает общее смещение, важно не только для вычисления сопровождающего эти измерения поля, порождаемого пробными телами, но ещё и в другом отношении. Оно даёт нам возможность ставить опыт так, чтобы за исключением коротких промежутков времени, потребных для измерения импульса, всё остальное время все используемые для измерения поля пробные тела могли рассматриваться как неподвижные. (Это вносит в вычисления поля большие упрощения.) Чтобы достигнуть этого, мы можем сразу после каждого измерения импульса, т. е. практически ещё в пределах интервала Δ𝑡, сообщить при помощи надлежащего приспособления системе пробных тел второй, противоположный толчок, который уничтожил бы то изменение скорости, какое произошло от первого толчка. Это можно сделать для каждого входящего в систему тела с точностью, обратно пропорциональной его массе (т.е. практически с любой точностью), притом так, что знание полного импульса пробного тела не утрачивается. Однако промежуток времени между двумя толчками не может быть определён с допуском, меньшим, чем Δ𝑡. Поэтому пробное тело не возвращается в результате второго толчка в свое первоначальное положение; как этого требует принцип неопределённости, оно займёт новое, смещенное па величину Δ𝑥 положение, где и перейдёт с данной степенью точности в состояние покоя.

В следующих параграфах мы ближе займёмся ограничениями измеримости величин поля, связанными с принципом дополнительности, а для суждения об этих ограничениях необходимо иметь возможность как можно точнее проследить поведение пробных тел в течение всего процесса измерения. Прежде всего необходимо точно знать положение каждого пробного тела в периоды времени до и после его использования для измерения. Для этого целесообразно устроить так, чтобы вне того промежутка времени, когда телу передаётся подлежащий измерению импульс от поля, тело было жёстко скреплено с твердым каркасом, представляющим пространственную систему отсчёта. В начале указанного промежутка времени связь с каркасом прерывается и производится измерение компоненты импульса пробного тела в направлении подлежащей определению компоненты поля. При этом мы всегда будем предполагать, что вслед за измерением производится встречный толчок описанного выше типа и в результате чего тело вновь приходит в состояние покоя, причём новое положение тела будет известно лишь приближённо, с неточностью, обратно пропорциональной его массе. В конце указанного промежутка времени, после нового измерения той же компоненты импульса, жёсткая связь с каркасом восстанавливается, причём существенно заставить пробное тело занять в точности первоначальное положение. Уже эти предписания налагают на конструкцию системы пробных тел весьма жёсткие условия, особенно в том случае, когда желательно достаточно точно отграничить те пространственно-временны́е области, по которым берётся усреднение. В самом деле, вследствие запаздывания всех действий, строго говоря, необходимо, чтобы открепление, а затем и скрепление всей системы твердых тел с твердым каркасом производилось одновременно. При этом линейные размеры отдельных тел, составляющих систему, должны быть по крайней мере столь же малыми, как наименьшее из рассматриваемых значений величины 𝑐Δ𝑡 а это значит, что всё должно происходить в пределах того промежутка времени Δ𝑡, который затрачивается на измерение импульса; самый же этот промежуток времени должен быть мал по сравнению с временем усреднения 𝑇.

Требования, предъявляемые к идеальной конструкции системы пробных тел и к манипуляциям с нею, простираются ещё дальше, если речь идёт об измерении значений поля, усреднённых по двум частично перекрывающимся областям пространства-времени. В этом случае мы должны располагать такими пробными телами, которые бы могли вдвигаться одно в другое, не испытывая механического взаимодействия. Кроме того, мы должны стремиться к тому, чтобы наличие системы пробных тел возможно меньше возмущало подлежащие измерению электромагнитные поля. Для этого мы должны к каждому входящему в систему электрическому или магнитному пробному телу присоединять другое, нейтрализующее его тело с точно таким же по величине, но противоположным по знаку зарядом. В случае магнитной системы пробных тел нужно иметь в виду, что равномерное распределение полюсов на теле с резкими границами невозможно. Но в принципе можно себе представить, что каждое входящее в такую систему пробное тело соединено посредством гибких магнитных (т. е. способных намагничиваться) нитей с соответственным нейтрализующим телом. В течение всего процесса измерения все эти нейтрализующие тела должны быть связаны с твердым каркасом, но так, чтобы свободная подвижность тех тел, которые являются пробными телами в собственном смысле, при этом не нарушалась. Всякого рода идеализации, связанные как с этими, так и с другими предположениями о необходимых компенсационных механизмах (которые мы ещё будем рассматривать ниже), сохраняют смысл лишь в той мере, в какой мы можем пренебречь атомным строением пробных тел. Это пренебрежение не представляет, однако, как мы уже говорили, принципиального ограничения для возможности проверки аппарата квантовой электродинамики, поскольку его формулировка не содержит универсальных констант размерности пространства или времени. Цель изложенных выше рассуждений состояла поэтому также и в том, чтобы проанализировать те чисто механические проблемы, которые связаны с измерениями поля, и показать возможность проведения строгого различия между двумя типами возникающих здесь ограничений. Мы имеем в виду, с одной стороны, те ограничения, которые накладываются на свойства пробных тел атомной структурой материи, и, с другой стороны, те ограничения, которым подвержены манипуляции с пробными телами в силу существования универсального кванта действия; эти последние ограничения формулированы в соотношениях неопределённости.