Текст книги "Избранные научные труды"
Автор книги: Нильс Бор
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 11 (всего у книги 58 страниц)
Обсуждая применимость чисто физических идей к живым организмам, мы, конечно, подходим к жизни совершенно так же, как и к любому другому явлению материального мира. Мне, однако, едва ли нужно подчёркивать, что эта позиция, характерная для биологических исследований, отнюдь не предполагает игнорирования психологической стороны жизни. Наоборот, признание ограниченности механических понятий в атомной физике скорее может быть полезным для примирения как бы противоречащих друг другу точек зрения физиологии и психологии. В самом деле, необходимость вводить в рассмотрение взаимодействие между измерительными приборами и объектом исследования в атомной механике представляет близкую аналогию со своеобразными трудностями психологического анализа, проистекающими от того факта, что духовное содержание неизбежно меняется, если внимание сосредоточивается на какой-нибудь его определённой стороне. Мы бы ушли слишком далеко от нашего предмета, если бы стали распространяться об этой аналогии, дающей существенное разъяснение психофизическому параллелизму. Однако я хотел бы подчеркнуть, что рассуждения такого рода, как я здесь приводил, совершенно противоположны всяким попыткам искать в статистическом описании атомных явлений новые возможности для духовного влияния на поведение материи. Например, с нашей точки зрения, невозможно придать однозначный смысл высказываемому иногда взгляду, согласно которому вероятность того, что в теле произойдут некоторые атомные процессы, может находиться под непосредственным влиянием воли. В самом деле, согласно обобщённому толкованию психофизического параллелизма, свободу воли следует считать признаком сознательной жизни; свобода воли соответствует отправлениям организма, не только ускользающим от причинно-механистического описания, но не поддающимся даже и физическому анализу в той доведённой до предела форме, какая требуется для однозначного применения статистических законов атомной механики. Не пускаясь в метафизические спекуляции, я, пожалуй, мог бы добавить об анализе самого понятия объяснения следующее: альфой и омегой такого анализа должен быть отказ от объяснения нашей собственной сознательной деятельности.
В заключение мне едва ли нужно особо подчёркивать, что ни в одном из своих замечаний я не имел в виду выразить какой-либо скептицизм по отношению к будущему развитию физической и биологической наук. Такой скептицизм и в самом деле был бы далёк от мыслей физиков в настоящее время, когда именно признание ограниченного характера наших самых основных понятий привело нас к такому замечательному развитию нашей науки. Точно так же и отказ от объяснения жизни не помешал удивительному прогрессу во всех отраслях биологии, включая те, которые оказались столь полезными в искусстве врачевания. Даже если мы не можем провести резкой грани между здоровьем и болезнью, для скептицизма, конечно, нет места и в той специальной области, которая является предметом этого конгресса. Не следует только сворачивать с большой дороги прогресса, по которой с таким успехом шли учёные, начиная с основополагающих работ Финзена 1, и которая характеризуется самым тесным сочетанием между изучением лечебных эффектов светотерапии и изучением физических её сторон.
1 Нильс Финзен (1860—1904) – датский медик и биолог, известный своими исследованиями по светотерапии. – Прим. ред.
1933
39 К ВОПРОСУ ОБ ИЗМЕРИМОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ *
(Совместно с Л. Розенфельдом)
*Zur Frage der Messbarkeit der elektromagnetischen Feldgrossen (Mit. L. Rosenfeld). Kgl. Danske Vidensk. Selskab., Math.-Fys. Medd., 1933, 12, № 8, 3—65.
§ 1. Введение
Дискуссия о неразрешённых ещё трудностях релятивистской атомной механики возбудила большой интерес к вопросу о вытекающих из существования кванта действия ограничениях для измеримости величин электромагнитного поля. Путём рассуждений ориентировочного характера Гейзенберг 1 пытался установить связь между ограничениями измеримости полевых величин и квантовой теорией поля, аналогичную связи между ограничениями измеримости кинематических и динамических величин и нерелятивистским аппаратом квантовой механики; последние ограничения выражаются соотношениями неопределённости и приводят к понятию дополнительности. Ландау и Пайерлс 1 в своем критическом исследовании основ релятивистского обобщения аппарата квантовой механики пришли, однако, к заключению, будто бы измеримость полевых величин подчинена дальнейшим ограничениям, идущим значительно дальше предпосылок квантовой теории поля и тем самым подрывающим физические основы этой теории.
1 W. Heisenberg. Die physikalischen Prinzipien der Quantentheorie, 1930, S. 33 (см. перевод В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. М.—Л., 1932, стр. 41 и сл. – Прим. ред.).
1 L. Landau, R. Реiегls. Zs. f. Phys., 1931, 69, 56.
На первый взгляд в этом противоречии можно было бы усмотреть серьёзную дилемму. А именно, с одной стороны, квантовая теория поля должна рассматриваться как выполненное в духе принципа соответствия последовательное обобщение классической электромагнитной теории, понимаемое в том же смысле, в каком квантовая механика представляет учитывающее существование кванта действия обобщение классической механики. С другой же стороны, именно квантовая электродинамика существенно умножила те трудности гармонического сочетания теории поля с теорией атома, с которыми мы уже сталкивались в классической электронной теории. При ближайшем рассмотрении оказывается, однако, что возникающие здесь разнообразные проблемы могут быть рассмотрены раздельно в силу того, что сам по себе аппарат квантовой электромагнитной теории является независимым от тех или иных представлений об атомном строении материи. Последнее явствует уже из того, что из числа универсальных констант в него входит помимо скорости света только квант действия; а из этих двух констант, очевидно, ещё нельзя составить какую-либо характерную длину или интервал. В квантовой теории строения атома введение такой характерной длины достигается лишь путём использования значений элементарного электрического заряда и массы покоя элементарных частиц.
Именно недостаточно чёткое проведение различия между теорией поля и теорией атома и составляет основную причину неувязок в прежних исследованиях измеримости полевых величин, где в качестве пробного тела рассматривались исключительно только заряженные материальные точки. Лежащее в основе существующей атомной механики использование классической электронной теории, проводимое в духе принципа соответствия, имеет своей предпосылкой прежде всего малость элементарного электрического заряда по сравнению с корнем квадратным из произведения кванта действия на скорость света; именно эта малость позволяет рассматривать реакцию излучения как малую величину по сравнению с действующими на частицы пондеромоторными силами. Между тем при измерении электромагнитного поля является существенной возможность распоряжаться зарядом пробных тел в таких пределах, что предположение о малости реакции излучения оказалось бы нарушенным, если бы пробные тела рассматривались как точечные заряды. Как мы увидим ниже, эти затруднения исчезают при использовании пробных тел конечных размеров; а именно, размеры эти должны быть настолько велики по сравнению с атомными размерами, чтобы плотность заряда могла считаться приближённо постоянной во всей области, занятой пробным телом.
В связи с этим является также существенной ограниченность представлений классической теории, согласно которым электромагнитное поле описывается значением его компонент в каждой пространственно-временно́й точке, причём поле это может быть промерено посредством точечных зарядов в смысле электронной теории. Эти представления являются идеализацией, имеющей в квантовой теории лишь ограниченную применимость. Указанное обстоятельство находит себе рациональное выражение как раз в аппарате квантовой электродинамики, где полевые величины представляются уже не функциями точки в собственном смысле, а функциями пространственно-временны́х областей; эти функции области формально соответствуют усреднённым по указанным областям значениям идеализированных (т. е. рассматриваемых как функции точки) полевых величин. Аппарат квантовой электродинамики позволяет делать однозначные утверждения только об измеримости этих функций области. Наша задача будет, таким образом, состоять в исследовании того, насколько выводимые отсюда дополнительные (в смысле соотношений дополнительности) ограничения для измеримости полевых величин согласуются с физическими возможностями измерения.
В той мере, в какой можно отвлечься от атомистической структуры измерительных приборов и связанных с ней ограничений, такое согласие действительно может быть установлено. Доказательство этого требует, однако, помимо детального исследования устройства и способа употребления пробных тел, учёта ряда других обстоятельств. При обсуждении вопроса об измеримости выявляются некоторые особенности дополнительного способа описания, которые не входят в обычную формулировку принципа дополнительности, соответствующую нерелятивистской квантовой механике. Существенное усложнение задачи вносит уже и то обстоятельство, что при сравнении средних значений поля, взятых по разным пространственно-временны́м областям, мы не можем говорить однозначным образом о последовательности актов измерения во времени. Но помимо этого даже истолкование отдельного результата измерения требует в случае измерений поля ещё большей осторожности, чем в обычных квантовомеханических задачах об измерении.
Отличительным признаком этих последних задач является возможность истолковать каждый отдельный результат измерения вполне определённым, в смысле классической механики, образом. Это достигается надлежащим учётом того принципиально неконтролируемого взаимодействия 1 между измерительным прибором и измеряемым объектом, которое обусловлено существованием кванта действия. А именно, учитывается влияние каждого измерительного процесса на те статистические ожидания, которые подлежат проверке в последующих измерениях. При измерениях же полей дело обстоит иначе, хотя и здесь каждый результат измерения может быть выражен через классическое понятие поля. Дело в том, что ограниченная применимость классической теории поля к описанию неизбежно происходящих при измерении электромагнитных взаимодействий пробных тел влечёт за собой то, что, как мы увидим, эти взаимодействия искажают до известной степени самый результат измерения, оказывая на него влияние, не поддающееся компенсации. Однако более детальное исследование принципиально статистического характера следствий из аппарата квантовой теории электромагнитного поля приводит к следующему выводу. Указанное влияние процесса измерения на объект не только не исключает возможности проверки этих следствий, а, напротив, должно рассматриваться как существенный признак тесного соответствия между квантовой теорией полей и проблемой их измеримости.
1 Термин «принципиально неконтролируемое взаимодействие» является не вполне удачным, и впоследствии Бор от него отказался. Правильнее было бы говорить о логической связи между классическим описанием прибора и квантовомеханическим описанием микрообъекта. – Прим, перев.
Прежде чем переходить к более подробному изложению намеченных выше соображений, мы хотели бы ещё раз подчеркнуть, что предлагаемое исследование никоим образом не касается тех трудностей принципиального характера, которые препятствуют последовательному использованию теории поля в теории атома. Для суждения о связи этих трудностей с известными парадоксами проблемы измерений в релятивистской квантовой механике представлялось бы необходимым учитывать как раз атомистическую структуру всех измерительных приборов. В частности, здесь было бы существенно учесть те ограничения основанной на принципе соответствия атомной механики, которые обусловлены конечным значением элементарного заряда по сравнению с корнем квадратным из произведения скорости света на квант действия .
1 Ср.: N. Bohr. Atomic Stability and Conservation Laws. Atti del Congresso di Fisica Nucleare, 1932. [Недавнее открытие появляющихся при особых обстоятельствах так называемых «положительных электронов» и установление связи этого явления с принадлежащей Дираку релятивистской теорией электрона будут обсуждены в отдельной статье, где будет также обсуждаться отношение этих открытий к вопросам, затронутым в цитированной работе. – Прим. авт. при корректуре (1933 г.).]
§ 2. Измеримость полей согласно квантовой теории
Отправной точкой квантовой электродинамики являлась разработанная Дираком квантовая теория излучения, характеризуемая введением некоммутирующих канонически сопряженных амплитуд колебаний излучательного поля; эта некоммутативность связана с перестановочными соотношениями квантовой механики. На основе этой теории были установлены перестановочные соотношения между компонентами электромагнитного поля; это было сделано сперва Иорданом и Паули для случая отсутствия зарядов, а затем в работе Гейзенберга и Паули было учтено при помощи принципа соответствия взаимодействие между полем и материальными носителями зарядов, благодаря чему аппарат теории достиг известного завершения. Последовательное применение теории к атомным проблемам наталкивается, однако, на существенные затруднения из-за того, что здесь возникают известные парадоксы, связанные с собственной энергией элементарных частиц. Эти парадоксы не были устранены и тем видоизменением математического аппарата, которое было предложено Дираком 1. Но для нашего исследования ограничений измеримости полевых величин эти затруднения не играют роли в силу того, что для целей нашего исследования атомистическое строение материи не является существенным. Хотя измерение полей и требует применения материальных заряженных пробных тел, однозначность результатов применения их как измерительных приборов всё же достигается постольку, поскольку мы можем пользоваться классической электродинамикой как при учёте воздействия полей на пробные тела, так и при учёте их влияния как источников поля.
1 Ср.: L. Rоsеnfеld. Zs. f. Phys., 1932, 76, 729.
При таком положении вещей мы можем оставаться в пределах теории поля в собственном смысле, и при изучении следствий из квантовой электродинамики, относящихся к измеримости полевых величин, мы можем исходить прямо из перестановочных соотношений для полей без зарядов. Используя обычные обозначения [𝑝,𝑞] = 𝑝𝑞-𝑞𝑝, мы будем тогда иметь следующие соотношения 1 между компонентами поля в двух пространственно-временны́х точках (𝑥1,𝑦1,𝑧1,𝑡1) и (𝑥2,𝑦2,𝑧2,𝑡2):
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕰
(2)
𝑥
]
=
[𝕳
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑥
]
=
√
–1
ℏ
(𝐴
(12)
𝑥𝑥
–𝐴
(21)
𝑥𝑥
),
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕰
(2)
𝑦
]
=
[𝕳
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑦
]
=
√
–1
ℏ
(𝐴
(12)
𝑥𝑦
–𝐴
(21)
𝑥𝑦
),
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑥
]
=
0,
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑦
]
=
-[𝕳
(1)
𝑥
,
𝕰
(2)
𝑦
]
=
√
–1
ℏ
(𝐵
(12)
𝑥𝑦
–𝐵
(21)
𝑥𝑦
),
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(1)
Здесь выписаны только типичные соотношения для некоторых компонент; остальные получаются из них циклической перестановкой.
1 Ср.: Jordan, W. Pauli. Zs. f. Phys., 1928, 47, 151, а также: W. Heisenberg, W. Pauli. Zs. f. Phys., 1929, 56, 33. Если отвлечься от несущественного отличия в знаке, происходящего от иного выбора направления времени в разложении Фурье для поля, приведённые здесь формулы совпадают по своему смыслу с теми, какие выведены в цитированных работах. В частности, используемое здесь написание, в котором все члены представлены как запаздывающие, означает чисто формальное изменение, введённое с целью сделать возможно более наглядным толкование проблем измерения.
В этих соотношениях символы 𝕰(1)𝑥, 𝕰(1)𝑦, 𝕰(1)𝑧, 𝕳(1)𝑥, 𝕳(1)𝑦, 𝕳(1)𝑧 означают значения компонент электрического и магнитного поля в пространственно-временно́й точке (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑡1); в соотношениях использованы также сокращенные обозначения
𝐴
(12)
𝑥𝑥
=
-
⎧
⎪
⎩
∂2
∂𝑥1∂𝑥2
–
1
𝑐2
∂2
∂𝑡1∂𝑡2
⎫
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
–𝑡
1
–
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐴
(12)
𝑥𝑦
=
-
∂2
∂𝑥1∂𝑦2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
–𝑡
1
–
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐵
(12)
𝑥𝑦
=
-
1
𝑐
∂2
∂𝑡1∂𝑧2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
–𝑡
1
–
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(2)
Далее, ℏ обозначает делённую на 2π постоянную Планка, 𝑐 – скорость света и 𝑟 – пространственное расстояние между двумя точками. Наконец, δ обозначает введённую Дираком несобственную функцию, определяемую, как известно, соотношением
𝑡''
∫
𝑡'
δ(𝑡-𝑡
0
)
𝑑𝑡
=
⎧
⎨
⎩
1 при 𝑡' < 𝑡0 < 𝑡'',
0 при 𝑡0 < 𝑡' или 𝑡0 > 𝑡''.
⎫
⎬
⎭
(3)
Эта функция дифференцируется формально как обычная функция.
Появление в перестановочных соотношениях (1) дельта-функции, определяемой формулой (3), связано с тем уже упоминавшимся выше обстоятельством, что в квантовой теории поля величины поля не могут рассматриваться просто как функции точки; однозначный смысл имеют лишь интегралы от компонент поля, взятые по пространственно-временно́й области. Имея в виду простейшую возможность проверить математический аппарат, мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением средних значений компонент поля, взятых по односвязной пространственно-временно́й области 𝐺, пространственная часть которой остаётся в течение некоторого промежутка времени постоянной. Обозначая через 𝑉 объём этой пространственной части и через 𝑇 соответствующий промежуток времени, мы можем дать, например, для среднего по 𝐺 значения 𝕰𝑥 следующее определение:
𝕰
(𝐺)
𝑥
=
1
𝑉𝑅
∫
𝑅
𝑑𝑡
∫
𝑉
𝕰
𝑥
𝑑𝑣
.
(4)
Для определяемых таким образом средних значений двух составляющих поля, взятых по двум заданным пространственно-временны́м областям I и II, имеют место перестановочные соотношения, которые легко получаются из (1) путём интегрирования по обеим областям и деления на произведение четырёхмерных протяженностей этих областей. При этом значения скобок [𝕰(I)𝑥, 𝕰(II)𝑥] и т. д. прямо получаются из формул (1), если в этих формулах заменить величины 𝐴(12), 𝐵(12) их средними значениями по обеим областям, а именно
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
=
-
1
𝑉I𝑉II𝑇I𝑇II
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
∫
𝑇II
𝑑𝑡
2
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
×
×
⎧
⎪
⎩
∂2
∂𝑥1∂𝑥2
–
1
𝑐2
∂2
∂𝑡1∂𝑡2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
–𝑡
1
–
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐴
(I,II)
𝑥𝑦
=
-
1
𝑉I𝑉II𝑇I𝑇II
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
∫
𝑇II
𝑑𝑡
2
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
×
×
∂2
∂𝑥1∂𝑦2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
–𝑡
1
–
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐵
(I,II)
𝑥𝑦
=
-
1
𝑉I𝑉II𝑇I𝑇II
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
∫
𝑇II
𝑑𝑡
2
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
×
×
1
𝑐
∂2
∂𝑡1∂𝑧2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
–𝑡
1
–
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(5)
Как известно, лежащее в основе принципа неопределённости соотношение Гейзенберга
Δ𝑝
Δ
𝑞
∼
ℏ
(6)
для двух канонически сопряженных механических величин выводится из общих перестановочных соотношений квантовой механики
[𝑞,𝑝]
=
–√
–1
ℏ
(7)
Совершенно так же для произведения дополнительных неопределённостей в рассматриваемых средних значениях поля получаются следующие типичные формулы:
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕰
(II)
𝑥
∼
ℏ|
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
–
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
|,
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕰
(II)
𝑦
∼
ℏ|
𝐴
(I,II)
𝑥𝑦
–
𝐴
(II,I)
𝑥𝑦
|,
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕳
(II)
𝑥
=
0,
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕳
(II)
𝑦
∼
ℏ|
𝐵
(I,II)
𝑥𝑦
–
𝐵
(II,I)
𝑥𝑦
|.
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(8)
Некоторые важные для нас результаты выводятся непосредственно из выражений (5) и (8). Прежде всего мы видим, что в силу свойства дельта-функции, выражаемого равенством (3), величины 𝐴(I,II) и 𝐵(I,II) при непрерывном смещении границ областей I и II меняются непрерывно, пока размеры этих областей, т. е. значения 𝑉I, 𝑇I, 𝑉II, 𝑇II остаются отличными от нуля. В частности, разности 𝐴(I,II) – 𝐴(II,I) и 𝐵(I,II) – 𝐵(II,I) обращаются непрерывным образом в нуль, когда границы обеих областей сливаются. Отсюда следует, что взятые по одной и той же пространственно-временно́й области средние значения всех компонент поля друг с другом коммутируют, так что должно быть возможно их точно измерить независимо друг от друга. Это следствие теории существенно шире предположения о неограниченной измеримости каждой компоненты поля в отдельности; его можно рассматривать как частный случай двух общих теорем, вытекающих из свойств симметрии величин 𝐴(I,II) и 𝐵(I,II). В самом деле, из того факта, что выражения 𝐴(12) – 𝐴(21) меняют свой знак при перестановке моментов времени 𝑡1 и 𝑡2 вытекает, что средние значения двух однотипных (т. е. двух электрических или двух магнитных) компонент поля, взятые по двум любым пространственным объёмам, всегда коммутируют, если только соответствующие промежутки времени совпадают. Подобно этому из антисимметрии выражений 𝐵(12) – 𝐵(21) при перестановке пространственных точек (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) следует далее, что средние значения двух разнотипных компонент (например, 𝕰𝑥 и 𝕳𝑦), взятые по двум произвольным промежуткам времени, коммутируют, если только совпадают соответствующие пространственные области.
Эти результаты могут на первый взгляд показаться несовместимыми с перестановочными соотношениями для поля, которые рассматриваются в цитированной книге Гейзенберга. Указанные соотношения выводятся из аппарата теории в форме Гейзенберга—Паули и относятся к средним значениям полевых величин, взятым по конечным пространственным областям для одного и того же момента времени. Что касается средних значений однотипных компонент, то они признаются коммутирующими и в книге Гейзенберга, относительно же разнотипных компонент там утверждается, что их средние значения, взятые по одной и той же пространственной области, не коммутируют. Решение этого противоречия состоит просто в том, что трактовка Гейзенберга соответствует предельному переходу, в котором две первоначально различные пространственно-временны́е области приводятся к совпадению следующим образом: сперва приводятся к одному и тому же моменту времени их временные протяженности, а затем уже приводятся к совпадению их пространственные протяженности (объёмы). Имея в виду, что выражение (2) для 𝐵(12)𝑥𝑦 симметрично относительно 𝑡1 и 𝑡2, и используя свойство (3) дельта-функции, мы находим для совпадающих промежутков времени
𝐵
(I,II)
𝑥𝑦
–
𝐵
(II,I)
𝑥𝑦
=
2
𝑉I𝑉II𝑇²
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
∂
∂𝑧1
⎧
⎪
⎩
1
𝑟
⎫
⎪
⎭
,
(9)
где положено 𝑇I=𝑇II=𝑇, а двойной интеграл взят по всем парам таких точек обоих объёмов, которые удалены друг от друга на расстояние 𝑟, меньшее, чем 𝑐𝑇 (пару точек образуют одна точка из первого и одна из второго объёма). Если мы теперь предположим, что оба объёма одинаковы по величине (равной 𝑉I=𝑉II=𝑉) и одинаковы по форме, но только смещены друг относительно друга в направлении оси 𝑧, то в предельном случае, когда можно считать 𝑐𝑇 исчезающе малым по сравнению с линейными размерами объёмов, мы можем вычислить входящий в (9) объёмный интеграл. После интегрирования по частям мы получим для него выражение вида ±2π𝑐²𝑇²𝐹, где 𝐹 – некоторая площадь, для вычисления которой нужно спроектировать кривую пересечения поверхностей, ограничивающих области 𝑉I и 𝑉II, на плоскость 𝑥𝑦 и взять площадь, ограниченную этой проекцией; эта площадь и будет равна 𝐹. Знак в приведённом выше выражении берётся в зависимости от направления смещения по оси 𝑧 области II по отношению к области I (а именно, знак плюс при положительном и знак минус при отрицательном смещении). Таким образом, если оба объёма смещаются непрерывным образом один сквозь другой, то разность 𝐵(I,II)𝑥𝑦 – 𝐵(II,I)𝑥𝑦 терпит разрыв, равный 8π𝑐𝐹/𝑉² » причём оба выражения 𝐵(I,II)𝑥𝑦 и 𝐵(II,I)𝑥𝑦 меняют свой знак. Поэтому в рассмотренном предельном случае перестановочное соотношение для мгновенных значений пространственных средних от 𝕰𝑥 и 𝕳𝑦 оказывается существенно неоднозначным, чем и разъясняется упомянутое выше кажущееся противоречие.
В прежних исследованиях физических возможностей измерения был получен вывод, будто бы существуют ограничения дополнительного характера для измеримости разнотипных компонент поля внутри одного и того же пространственного объёма. Этот вывод основан, однако, на том, что в качестве пробных тел используются точечные заряды, в результате чего становится невозможным достаточно резко ограничить область измерения. Как мы уже подчёркивали, для проверки аппарата квантовой электродинамики допустимы лишь измерения с пробными телами конечных размеров, внутри которых распределен заряд; это следует из того, что всякое однозначным образом вытекающее из этого аппарата утверждение относится к средним значениям компонент поля, взятым по конечным областям пространства-времени. Последнее же обстоятельство никоим образом не препятствует тому, чтобы проверять путём измерений поля все однозначные следствия из теории Гейзенберга—Паули, относящиеся к зависимости от времени усреднённых по пространству значений компонент поля. Для этого достаточно производить усреднение по таким областям, чтобы их временная протяженность 𝑇 (умноженная на 𝑐) была достаточно мала по сравнению с их линейными размерами, порядок величины которых мы будем впредь обозначать через 𝐿.
Именно случай 𝐿 > 𝑐𝑇 особенно пригоден для подробной проверки тех следствий, к каким приводит аппарат теории в собственно квантовой области. Противоположный случай 𝐿 ≤ 𝑐𝑇 не представляет интереса даже в пределах применимости классической теории. Дело в том, что все имеющиеся внутри объёма 𝑉 особенности волновых полей почти полностью выравниваются при усреднении, если учитывать распространение волны за время 𝑇. В квантовой области к этому выравниванию присоединяются ещё характерные флуктуационные явления, вытекающие из принципиально статистического характера теории. Как мы увидим, в случае 𝐿 ≤ 𝑐𝑇 эти флуктуации существенно входят в решения рассматриваемых задач, в случае же 𝐿 > 𝑐𝑇 они играют сравнительно малую роль.
Упомянутые выше флуктуации теснейшим образом связаны с невозможностью наглядно иллюстрировать на основе классических понятий характерное для квантовой теории поля представление о световых квантах. В частности, они выражают взаимно исключающее положение между точным знанием квантового состава электромагнитного поля и знанием среднего значения какой-либо его компоненты, взятого по определённой пространственно-временно́й области. Рассмотрим световые кванты с определённым параметром поляризации 𝑖 и с заданным импульсом и энергией ℏϰ𝑥, ℏϰ𝑦, ℏϰ𝑧 и ℏν=ℏ𝑐√ϰ2𝑥 + ϰ2𝑦 + ϰ2𝑧. Если мы даже будем считать известной плотность световых квантов ω𝑖(ϰ𝑥, ϰ𝑦, ϰ𝑧), то хотя математические ожидания всех средних значений поля будут равны нулю, но математическое ожидание квадрата флуктуации будет для всякой компоненты поля [например, для компоненты 𝕰(G)𝑥 определяемой по формуле (4)] выражаться легко выводимой формулой
𝑆(𝐺)
=
1
𝑉2𝑇2
ℏ
3
∫
𝑇
𝑑𝑡
1
∫
𝑇
𝑑𝑡
2
∫
𝑉
𝑑𝑣
1
∫
𝑉
𝑑𝑣
2
×
×
∂2
∂𝑡1∂𝑡2
+∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
∑
𝑖
ω
𝑖
+1
⎫
⎪
⎭
×
×
cos[
ϰ
𝑥
(𝑥
1
–𝑥
2
)
+
ϰ
𝑦
(𝑦
1
–𝑦
2
)
+
ϰ
𝑧
(𝑧
1
–𝑧
2
)
–
ν(𝑡
1
–𝑡
2
)
]
×
×
𝑑ϰ𝑥𝑑ϰ𝑦𝑑ϰ𝑧
ν
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(10)
Из формулы (10) можно усмотреть, что при заданном квантовом составе упомянутые флуктуации никогда не могут отсутствовать. Действительно, даже при ω𝑖 = 0, т. е. при полном отсутствии световых квантов, они принимают конечное положительное значение, которое можно после нетрудных вычислений привести к виду
𝑆
0
(𝐺)
=
2
3π²
ℏ𝑐
𝑉²
∫
𝑉
𝑑𝑣
1
∫
𝑉
𝑑𝑣
2
1
𝑟²[(𝑐𝑇)²-𝑟²]
,
(11)
Для всякого другого распределения световых квантов, определяемого заданием плотности ω𝑖, математическое ожидание квадрата флуктуации усреднённого значения компоненты поля будет больше, чем 𝑆0(𝐺). С другой стороны, вытекающие из аппарата теории флуктуации усреднённых значений поля могут стать сколь угодно малыми, если предположить известными (хотя бы из прямых измерений) значения компоненты поля. Разумеется, в этом случае спектральная плотность световых квантов ω𝑖 уже не будет определённой величиной, и мы должны будем довольствоваться статистическими характеристиками этой плотности.
Для обсуждения возможностей измерения существенным является, далее, то обстоятельство, что выражение (11) справедливо не только для флуктуаций поля в пространстве, где нет световых квантов. Оно представляет квадрат флуктуации усреднённого значения поля также и в том более общем случае, когда источниками поля служат распределения токов и зарядов, допускающие классическое описание. В этом случае состояние поля однозначно определяется следующими требованиями: во-первых, математическое ожидание каждой компоненты поля должно совпадать с классическим значением этой компоненты; во-вторых, число световых квантов с заданным импульсом и поляризацией должно распределяться вокруг своего среднего значения 𝑛0 (которое можно оценить на основе принципа соответствия) по закону распределения вероятности
𝑤(𝑛)
=
𝑛 𝑛0𝑒𝑛0
𝑛!
(12)
справедливому для независимых событий. Для флуктуаций поля в этом состоянии получается в результате простых вычислений как раз выражение (11). В силу особых свойств флуктуаций чёрного излучения оказывается далее, что и в общем случае поля заданного квантового состава добавление полей от каких-либо источников, допускающих классическое описание, не оказывает влияния на явления, связанные с флуктуациями.
Корень квадратный из выражения (11) может рассматриваться как некоторая критическая величина поля 𝔖 в том смысле, что при рассмотрении усреднённых значений поля мы можем отвлечься от его флуктуаций только в том случае, когда эти усреднённые значения оказываются значительно большими, чем 𝔖. Для суждения о возможности проверки аппарата теории в собственно квантовой области приходится вводить ещё и другую критическую величину поля 𝔄. Эта последняя равна корню квадратному из произведения (8) дополнительных неопределённостей в значениях поля, усреднённых по двум областям, перекрывающим друг друга только отчасти, а именно взаимно смещенных в пространстве и во времени на величины порядка 𝐿 и соответственно 𝑇. Для напряжённостей поля, значительно больших, чем 𝔄, мы возвращаемся, очевидно, к области применимости классической электромагнитной теории; в этой области все квантовые особенности аппарата теории теряют свое значение. Оценивая критические величины поля при помощи формул (8) и (11), мы приходим к выводу, что в случае 𝐿 ≤ 𝑐𝑇 обе величины, 𝔄 и 𝔖, оказываются одного порядка, а именно
𝔄
∼
𝔖
∼
√ℏ𝑐
𝐿⋅𝑐𝑇
.
(13)
В случае же 𝐿 > 𝑐𝑇 оказывается
𝔄
∼
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝐿³𝑇
⎫½
⎪
⎭
; 𝔖
∼
√ℏ𝑐
𝐿²
.
(14)
Таким образом, в пределе, когда 𝐿 ≫ 𝑐𝑇 критическое значение поля 𝔄 будет гораздо больше, чем 𝔖, вследствие чего мы можем при проверке характерных выводов из аппарата теории в большой мере отвлечься от флуктуаций поля.
В дальнейшем мы будем сравнивать выводы, полученные в этом параграфе из аппарата квантовой электродинамики, с физическими возможностями измерения поля. Но прежде чем переходить к этому сравнению, мы хотели бы ещё подчеркнуть, что непротиворечивому толкованию этой теории никоим образом не препятствуют такие парадоксальные черты в её математической записи, как появление бесконечной нулевой энергии. В частности, этот последний парадокс (который, впрочем, может быть устранен 1 путём формального изменения в записи теории) не имеет прямого отношения к проблеме измеримости величины поля. В самом деле, определение электромагнитной энергии в заданной пространственно-временно́й области потребовало бы согласно теории поля знания компонент поля в каждой точке области; измерить же их в каждой точке невозможно. Физическое измерение энергии поля можно было бы осуществить только при помощи надлежащего механического приспособления, которое отделяло бы электромагнитные поля в заданной области пространства от остального поля так, чтобы энергию в этой области можно было бы потом измерить, применяя закон сохранения. Но подобное разделение полей вызвало бы вследствие взаимодействия с измерительным механизмом неподдающееся контролю изменение энергии поля в заданной области; наличие же такого изменения является существенным для разъяснения тех хорошо известных парадоксов, которые возникают при обсуждении флуктуаций энергии чёрного излучения 2.
