Текст книги "Избранные научные труды"
Автор книги: Нильс Бор
Жанр:
Физика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 13 (всего у книги 58 страниц)
§ 4. Вычисление влияния пробных тел на поле
Мы исследовали выше те физические требования, какие должны предъявляться к свойствам пробных тел. Теперь мы перейдём к более подробному рассмотрению тех электромагнитных действий пробных тел, которые сопровождают измерения поля; действия эти весьма существенны для решения вопроса об измеримости. Согласно сказанному выше мы будем при этом рассматривать каждое пробное тело как непрерывное распределение зарядов, равномерно заполняющее пространственную область, по которой производится усреднение; при измерении импульса это распределение зарядов испытывает параллельное перемещение. Порождаемые при этом электромагнитные поля будут нами вычисляться сперва на основе классической электродинамики, и лишь затем будут рассмотрены вносимые квантом действия ограничения применимости такого способа расчёта.
Рассмотрим две пространственно-временны́е области I и II, имеющие объёмы 𝑉I и 𝑉II и протяженности во времени 𝑇I и 𝑇II. Поставим вопрос: каково будет электромагнитное поле в точке (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2) области II, возникающее в результате измерения значения 𝕰𝑥 усреднённого по области I. Мы будем считать, что в объёме 𝑉I первоначально находятся два распределения электрических зарядов с постоянными плотностями +ρI и -ρI. За время от 𝑡'I до 𝑡'I+Δ𝑡I первое распределение зарядов испытывает неравномерное параллельное перемещение в направлении оси 𝑥 на отрезок 𝐷(I)𝑥; в течение времени от 𝑡'I+Δ𝑡I до 𝑡''I оно остаётся в покое в смещенном положении; наконец, за время от 𝑡''I до 𝑡''I+Δ𝑡I оно вновь передвигается неравномерно в направлении оси 𝑥 и возвращается при этом в свое первоначальное положение, в котором заряды нейтрализуются. В соответствии с требованием, поставленным в предыдущем параграфе, мы примем далее, что Δ𝑡I весьма мало́ по сравнению с 𝑇I = 𝑡''I – 𝑡'I и что 𝐷(I)𝑥 мало́ не только по сравнению с линейными размерами объёма 𝑉I (по которому производится усреднение), но и по сравнению с 𝑐Δ𝑡I.
Таким образом, в случае исчезающе малых Δ𝑡I источники искомого поля могут быть выражены через некоторую поляризацию и некоторую плотность тока. Поляризация существует в области I в промежутке времени от 𝑡'I до 𝑡''II она направлена по оси 𝑥 и имеет постоянную плотность 𝑅(I)𝑥 = 𝐷(I)𝑥. Плотность тока существует только в моменты времени, примыкающие к 𝑡'I и 𝑡''I и может быть записана в виде
𝐽
(I)
𝑥
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
[
δ(𝑡-𝑡
'
I
)-
δ(𝑡-𝑡
''
I
)],
(36)
где используется дельта-функция, определяемая формулой (3). Используя дельта-функцию, можно также представить значение поляризации для любого момента времени 𝑡 в виде
𝑃
(I)
𝑥
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
𝑡''I
∫
t'
δ(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
1
.
(37)
Эти источники порождают в пространственно-временно́й точке (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2) поле, компоненты которого могут быть вычислены по известным формулам
𝐸
(I)
𝑥
=-
∂φ(I)
∂𝑥2
–
1
𝑐
∂ψ
(I)
𝑥
∂𝑡
2
;
𝐸
(I)
𝑦
=-
∂φ(I)
∂𝑦2
;
𝐸
(I)
𝑧
=-
∂φ(I)
∂𝑧2
,
𝐻
(I)
𝑥
=0;
𝐻
(I)
𝑦
=
∂ψ
(I)
𝑥
∂𝑧
2
;
𝐻
(I)
𝑧
=-
∂ψ
(I)
𝑥
∂𝑦
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(38)
Здесь мы обозначили компоненты поля латинскими буквами, чтобы отличить это поле от того, которое подлежит измерению. В формуле (38) величина φ(I) обозначает запаздывающий скалярный потенциал
∫
𝑉I
⎡
⎢
⎢
⎣
𝑃
(I)
𝑥
⎧
⎩
𝑡
2
–
𝑟
𝑐
⎫
⎭
⎤
⎥
⎥
⎦
φ
(I)
=
∂
𝑑𝑣
1
,
∂𝑥
2
𝑝
(39)
а ψ(I)𝑥 – компоненту запаздывающего векторного потенциала
∫
𝑉I
𝐼
(I)
𝑥
⎧
⎩
𝑡
2
–
𝑟
⎫
⎭
ψ
(I)
𝑥
=
1
𝑐
𝑑𝑣
1
,
𝑐
𝑟
(40)
причём 𝑟 есть расстояние между пространственными точками (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Выражение (36) может быть также написано в виде
𝐽
(I)
𝑥
=-
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
𝑡
''
I
∫
𝑡
'
I
∂
∂𝑡1
∂(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
1
.
(41)
На основании (37) и (41) мы можем получаемые из (38), (39) и (40) выражения для компонент поля представить в виде
𝐸
(I)
𝑥
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
𝐴
(12)
𝑥𝑥
;
𝐸
(I)
𝑦
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
𝐴
(12)
𝑥𝑦
,
𝐻
(I)
𝑥
=
0,
𝐻
(I)
𝑦
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
𝐵
(12)
𝑥𝑦
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(42)
Здесь использованы сокращенные обозначения (2) и выписаны только некоторые, типические компоненты.
В силу свойств дельта-функции легко видеть, что даваемые формулами (42) компоненты поля всегда остаются конечными и даже не превышают значений порядка ρI𝐷(I)𝑥 ни в одной пространственно-временно́й точке (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2). Именно такой порядок величины имеют, как мы уже говорили (при обсуждении возражений Ландау и Пайерлса) в § 3, те электромагнитные силы, которые возникают при измерении импульса пробного тела в течение времени Δ𝑡. Эти силы не могут заметно возрасти и в последующее время, поскольку сразу же после измерения импульса тело испытывает противоположный толчок, в результате которого оно приходит в состояние покоя; все эти обстоятельства математически выражаются в идеализированном виде формулами (36) и (37).
Нас особенно интересуют значения компонент поля, усреднённые по области II. Эти средние значения получаются из (42) после интегрирования в соответствующих пределах по координатам и времени; они выражаются формулами
𝐸
(I,II)
𝑥
=
𝐷
(I)
𝑥
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
;
𝐸
(I,II)
𝑦
=
𝐷
(I)
𝑥
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝐴
(I,II)
𝑥𝑦
;
𝐻
(I,II)
𝑥
=
𝐷
;
𝐻
(I,II)
𝑦
=
𝐷
(I)
𝑥
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝐵
(I,II)
𝑥𝑦
.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(43)
На основании свойств выражений 𝐴 и 𝐵, уже обсуждённых нами в § 2, мы можем утверждать, что даваемые формулами (43) выражения для средних значений поля представляют при заданной величине 𝐷(I)𝑥 вполне определённые непрерывные функции областей I и II. При убывании продолжительности измерения импульса Δ𝑡 и соответствующего непредсказуемого смещения Δ𝑥 эти средние значения поля оказываются, таким образом, не зависящими от подробностей хода процессов столкновения и просто пропорциональными постоянной величине смещения пробного тела за время измерения 𝑇I. Именно это обстоятельство и является, как мы увидим ниже, решающим для возможности далеко идущей компенсации не поддающихся контролю полей, возникающих от пробных тел.
До сих пор вычисление этих полей производилось нами на чисто классической основе. Для более подробного сравнения возможностей измерения с требованиями, вытекающими из аппарата квантовой электродинамики, нам необходимо рассмотреть ещё квантовую сторону дела. Мы должны учесть те ограничения, которые налагаются на классический способ расчёта квантовыми особенностями полевых воздействий, связанными с представлением о световых квантах. Чтобы получить понятие о тех соотношениях, которые здесь имеют место, мы допустим, что рассматриваемые области усреднения одинаковы по порядку величины и смещены в пространстве относительно друг друга на отрезки того же порядка величины, как их линейные размеры, которые мы обозначим через 𝐿; кроме того, мы допустим, что соответствующие временны́е интервалы (имеющие порядок 𝑇) не превышают величины 𝐿/𝑐. При таких условиях в спектральном разложении полевых воздействий будут встречаться в основном только волны, длина которых будет того же порядка, что и 𝐿. Далее, напряжённость поля, порождаемого измерением импульса, будет по порядку величины равна ρΔ𝑥, а значит энергия поля, содержащаяся в объёме 𝑉, будет порядка ρ²(Δ𝑥)²𝑉. Поэтому оценка для числа световых квантов, которые могут здесь играть роль, будет даваться выражением
𝑛
∼
ρ²
(
Δ
𝑥)²
𝑉
𝐿
ℏ𝑐
=
λ
-2
𝐿
𝑐𝑇
,
(44)
где λ – множитель, характеризующий точность измерения и определяемый формулой (20). Таким образом, если требуется точность, позволяющая мерить поля, меньше критической величины 𝑄 [формула (18)], то в нашем случае число квантов 𝑛 будет всегда велико по сравнению с единицей.
Относительная точность классически вычисленных выражений (42) и (43) для рассматриваемых полевых воздействий будет тем большей, чем больше точность измерения поля, которой мы задаёмся. Необходимо, однако, заметить, что абсолютная точность этих выражений не меняется при возрастании 𝑛. В самом деле, статистические флуктуации значений поля, усреднённых по некоторой пространственно-временно́й области, будут в нашем случае иметь порядок величины
ρΔ𝑥
√𝑛
∼
⎧
⎪
⎩
ℏ𝑐
𝑉𝐿
⎫½
⎪
⎭
∼
√ℏ𝑐
𝐿²
.
Это выражение, дающее оценку флуктуаций поля, порождаемого пробными телами, всегда остаётся конечным и зависит только от линейных размеров области усреднения. Оно совпадает с выражением (14), относящимся к чистым флуктуациям чёрного излучения; последнее было выведено для случая 𝐿 > 𝑐𝑇 из формального аппарата теории. Вообще приведённое выше рассуждение представляет не более чем пример рассмотренного в § 2 общего соотношения между флуктуациями чёрного излучения и статистическими отклонениями поля от его значения, вычисляемого на основе классической теории по заданному расположению источников. Там уже было упомянуто, что в случае 𝐿 > 𝑐𝑇, особенно важном для проверки аппарата теории, флуктуации чёрного излучения будут всегда меньше той напряжённости поля 𝑄, которая характеризует дополнительную измеримость полевых величин, а именно, они будут тем меньше, чем больше отношение 𝐿 к 𝑐𝑇. В нижеследующем сравнении между измерениями поля и аппаратом теории мы будем поэтому всегда исходить из вычисляемых классически выражений (43) и лишь под конец мы обсудим вопрос о значении флуктуационных явлений для непротиворечивости аппарата теории.
§ 5. Измерение отдельных усреднённых значений поля
В основу исследования возможностей измерения усреднённых значений поля мы положим уравнение (15), из которого будем исходить как из определения. Уравнение это выражает классически описываемый баланс количества движения (импульса) для пробного тела, находящегося в поле. Согласно приведённым выше рассуждениям, каждая компонента поля, например 𝕰𝑥, должна рассматриваться как результат наложения полей всех источников, включая поля от самих пробных тел. Сущность проблемы измерения состоит как раз в решении вопроса о том, в какой мере все эти поля могут быть сопоставлены отдельным источникам. Но мы хотели бы уже здесь подчеркнуть, что для принятого выше определения усреднённых значений поля строгая применимость классического понятия поля остаётся в полной силе; она не подрывается тем, что классическое описание полей, порождаемых пробными телами, справедливо, как мы уже упоминали, лишь в известных пределах. Для однозначности принятого выше определения требуется лишь, чтобы массы пробных тел могли быть выбраны достаточно большими (настолько большими, чтобы можно было пренебречь теми изменениями электромагнитных полей, которые происходят от ускорения пробных тел под влиянием измеряемых полей). Это соображение не связано с рассмотренным в § 3 вопросом о достижимой точности измерения импульса пробных тел в начале и в конце данного промежутка времени. Можно было бы усмотреть в указанном пренебрежении противоречие с атомным (дискретным) характером обмена импульса между электромагнитными полями и материальными телами. Однако здесь нужно иметь в виду, что в рассматриваемой проблеме измерения речь вовсе не идёт о том, чтобы проследить какие-либо определённые элементарные процессы в смысле представления о световых квантах. Так, в описанном выше измерительном устройстве твердый каркас (с которым каждое пробное тело связано до начала и после конца измерения) принимает на себя неконтролируемый импульс (толчок).
В предельном случае, когда возможно классическое описание взаимодействия между цугом электромагнитных волн и достаточно тяжёлым заряженным телом, указанный перенос импульса в точности компенсировал бы импульс, воспринятый пробным телом в течение промежутка времени, затраченного на измерение.
Прежде чем перейти к общему обсуждению проблемы измерения, мы рассмотрим сперва отдельное измерение поля, когда требуется (как в § 3) определить значение 𝕰𝑥, усреднённое по определённой пространственно-временно́й области, которую мы будем обозначать индексом I, в соответствии с обозначениями предыдущего параграфа. Согласно основному уравнению (15) мы получим для приращения импульса пробного тела выражение
𝑝
(II)''
𝑥
–
𝑝
(II)'
𝑥
=
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
⎧
⎩
𝕰
(I)
𝑥
+
𝐸
(I,I)
𝑥
⎫
⎭
.
(45)
Здесь 𝕰(I)𝑥 – среднее значение того поля 𝕰𝑥, которое было бы в области I, если бы в момент времени 𝑡' не было предпринято измерение импульса пробного тела. Величина же 𝐸(I,I)𝑥 есть среднее значение той части поля, которая происходит от этого измерения импульса; основанная на классической теории оценка этой части поля даётся выражением (43), в котором нужно положить области I и II совпадающими.
Согласно изложенному в § 3, входящую в формулу (45) сумму усреднённых полей 𝕰(I)𝑥 и 𝐸(I,I)𝑥 можно определить с любой точностью, если только взять ρI достаточно большим. Однако чем больше ρI, тем больше будет неподдающееся контролю значение 𝐸(I,I)𝑥, а в силу этого для точности, достижимой при помощи только что описанного простого измерительного устройства, будет существовать верхняя граница. Согласно (45) указанная точность даётся формулой
Δ
𝕰
(I)
𝑥
∼
Δ𝑝
(I)
𝑥
ρ
I 𝑉
I 𝑇
I
+
Δ
𝐸
(I,I)
𝑥
.
(46)
Имея в виду, что входящая в (43) величина 𝐷(I,I)𝑥 может быть указана только с допуском Δ𝑥(I), и учитывая соотношение .неопределённости (16), мы получаем из (46) следующее выражение для Δ𝕰(I)𝑥:
Δ
𝕰
(I)
𝑥
∼
ℏ
ρIΔ𝑥I𝑉I𝑇I
+
ρ
I
Δ
𝑥
I
𝑉
I
𝑇
I
|
𝐴
(II)
𝑥𝑥
|.
(47)
Наименьшее значение этого выражения, очевидно, равно
Δ
𝑚
𝕰
(I)
𝑥
∼
⎧
⎪
⎩
ℏ
|
𝐴
(II)
𝑥𝑥
|
⎫½
⎪
⎭
.
(48)
а в случае 𝐿I > 𝑐𝑇I это число равно как раз критической величине 𝑄. Правда, в том случае, когда 𝐿I велико по сравнению с 𝑇I величина (48) будет существенно меньше того выражения (24), которое рассматривалось Ландау и Пайерлсом как абсолютный предел измеримости полевых величин. Но если бы величина (48) действительно была неизбежным пределом точности измерения поля, то мы бы всё же вынуждены были прийти к заключению, совпадающему с точкой зрения указанных авторов, а именно, что формальный аппарат квантовой электродинамики не допускает, будто бы, проверки в собственно квантовой области, так что вся теория поля имела бы реальный физический смысл только в классическом предельном случае.
Это заключение не может, однако, быть признано справедливым. В самом деле, согласно (43) входящий в выражение для 𝐸(I,I)𝑥 множитель при неизвестном смещении 𝐷(I)𝑥 представляет вполне определённую величину, зависящую только от геометрических соотношений; а это обстоятельство позволяет расположить измерения так, чтобы действие поля 𝐸(I)𝑥 полностью компенсировалось, если не считать неизбежных флуктуаций поля. Этого можно достигнуть таким измерительным устройством, в котором пробное тело даже и в течение времени измерения 𝑇 не будет свободным, а остаётся связанным с твердым каркасом посредством пружинного механизма, упругое напряжение которого пропорционально 𝐷(I)𝑥. Пусть этот механизм действует на пробное тело с некоторой упругой силой и пусть составляющая этой силы по оси 𝑥 равна -𝐹I𝐷(I)𝑥. Если коэффициент упругости 𝐹I этой силы взять равным
𝐹
I
=
ρ
2
I
𝑉
2
I
𝑇
2
I
𝐴
(II)
𝑥𝑥
,
(49)
то, очевидно, весь импульс, переданный полем 𝐸(I)𝑥 пробному телу, полностью нейтрализуется пружиной. Во всяком случае это будет так, если пробное тело настолько тяжело, что период его колебаний под действием пружины велик по сравнению с 𝑇I а значит его смещение (производимое за время 𝑇I натяжением пружины) мало́ по сравнению с 𝐷(I)𝑥. Правда, действие пружины может описываться при помощи классической механики лишь в асимптотическом предельном случае; однако основанные на таком описании расчёты будут справедливы с тем большей точностью, чем больше масса пробного тела. Если оставить в стороне те ограничения, которые обусловлены атомистической структурой всех тел, то против описанного выше компенсирующего устройства никаких принципиальных возражений быть не может. Во-первых, использование механической пружины позволяет обходиться без электромагнитных полей, которые были бы неотделимы от полей, подлежащих измерению. Во-вторых, здесь, очевидно, не требуется учёта каких-либо эффектов запаздывания, если только длина пружины достаточно мала, т. е. мала по сравнению с величиной 𝑐𝑇I. При условии, что система пробных тел достаточно тяжела, будет безразлично, действует ли пружина на отдельное (одно) пробное тело или же используется система пружин, действующих равномерно на все пробные тела.
Таким образом, возможность придать определённый смысл отдельному измерению поля ограничена только возможностью классического описания поля, порождаемого пробными телами. Граница эта (которая тем менее существенна, чем больше 𝐿I по сравнению с 𝑐𝑇I) не вносит даже и в случае 𝐿I ≤ 𝑐𝑇I каких-либо ограничений возможности опытного подтверждения выводов из формального аппарата квантовой электродинамики. При суждении по этому вопросу необходимо строго различать между тем предположением, что необходимые для теоретических выводов исходные данные об электрических и магнитных полях получены путём измерений поля, и тем предположением, что они получены иным путём. В первом случае проверка теоретических выводов требует, очевидно, исследования взаимосвязи между несколькими измерениями поля; в наших же рассуждениях речь идёт только о проверке выводов из исходных данных второго рода.
Те заключения о средних значениях поля, которые основаны не на прямом его измерении, а на данных о его квантовом составе или об его источниках (описываемых классически), носят существенно статистический характер. Это есть, как уже было сказано в § 2, главный результат, к которому приводит квантовая теория поля. Приведённое там подробное рассмотрение показывает также, что учёт флуктуаций полей, порождаемых пробными телами, не вносит изменений в упомянутые статистические заключения (мы имеем в виду флуктуации около значений, получаемых путём классического расчёта). Результаты измерений посредством описанного устройства дают, таким образом, без дальнейших поправок все искомые средние значения поля. Они и представляют то данные, Которые необходимы для проверки теоретических предсказаний. Правомерность такой интерпретации результатов измерений будет обоснована нами ниже для общего случая. Она вытекает и из того соображения, что во всех измерениях физических величин речь идёт, по определению, о применении классических представлений; поэтому и при измерении поля всякая попытка учёта ограничений строгой применимости классической электродинамики противоречила бы самому понятию измерения.
Как уже было указано во введении, при измерениях поля понятие измерения должно применяться с ещё большей осторожностью, чем в обычных проблемах квантовомеханических измерений. Но в том отношении, что между измерительным процессом и самим явлением имеется неразрывная связь, описанная выше ситуация представляет близкую аналогию с обычными проблемами. Представим себе измерение координат или импульса электрона в атоме водорода, находящемся в заданном состоянии. Даже и в этом случае можно с известным правом утверждать, что результат измерения создаётся лишь самим измерением 1. Правда, здесь речь идёт не о невозможности (или ограничении возможности) истолковать результаты измерения на основе классической механики, а только об отказе от какого бы то ни было контроля над влиянием процесса измерения на состояние атома. Эта черта дополнительности описания существенна для его непротиворечивости. В случае измерений поля она соответствует тому обстоятельству, что в результате воздействия пробных тел утрачивается знание квантового состава поля, и это в тем большей мере, чем больше желаемая точность измерений [последнее видно из (44) ]. Если же мы попытаемся восстановить посредством какого-либо измерительного устройства квантовый состав поля путём особого (последующего) измерения, то мы уже не сможем использовать результаты рассматриваемых (предыдущих) измерений поля.
1 Эти рассуждения используют понятие неконтролируемого взаимодействия, которое вызывает возражения (см. прим, перев. на стр. 122). Но выводы, относящиеся к измеримости поля, не зависят от этого спорного понятия и остаются верными. – Прим. перев.
Возможность проверки следствий из аппарата квантовой электродинамики посредством отдельных измерений поля и возможность истолковать такое измерение на основе классической электродинамики вполне согласуются между собою. То обстоятельство, что при доказательстве такой согласованности в обоих случаях в качестве ограничений выступают флуктуации чёрного излучения, не означает, однако, что эти флуктуации ставят использованию измерений поля какую-то абсолютную границу. Рассматривая соотношения между значениями компоненты поля, усреднёнными по двум различным областям, мы не наталкиваемся на такого рода ограничения ни при изучении следствий из аппарата теории, ни при проверке этих соотношений посредством прямых измерений поля. Это вытекает из рассуждений следующего параграфа, где будет, в частности, показано, что требование повторимости измерений кинематических и динамических величин, столь существенные при исследовании внутренней непротиворечивости обычной квантовой механики, имеет свой аналог для измерений поля.
§ 6. Измеримость двух усреднённых значений одной компоненты поля
При исследовании измеримости двух полевых величин целесообразно начинать с измерения значений одной и той же компоненты поля, усреднённой по двум различным областям I и II. Рассматривая, как и выше, компоненту поля 𝕰𝑥 и оставляя пока в стороне ограничения для классического описания полей, порождаемых пробными телами, мы можем записать баланс импульса обоих пробных тел. Вместо (45) мы будем теперь иметь
𝑝
(I)''
𝑥
–
𝑝
(I)'
𝑥
=
ρ
I
𝑇
I
𝑉
I
⎧
⎩
𝕰
(I)
𝑥
+
𝐸
(I,I)
𝑥
+
𝐸
(II,I)
𝑥
⎫
⎭
,
𝑝
(II)''
𝑥
–
𝑝
(II)'
𝑥
=
ρ
II
𝑇
II
𝑉
II
⎧
⎩
𝕰
(II)
𝑥
+
𝐸
(II,II)
𝑥
+
𝐸
(I,II)
𝑥
⎫
⎭
.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(50)
Здесь 𝐸(I,II)𝑥 определяется выражением (43), а 𝐸(II,I)𝑥 получается из этого выражения простой перестановкой индексов I и II.
Согласно сказанному в предыдущих параграфах наличие в равенствах (50) выражений 𝐸(I,I)𝑥 и 𝐸(II,II)𝑥 имеет следствием то, что каждое из искомых усреднённых значений поля 𝕰(I)𝑥 и 𝕰(II)𝑥 может быть при помощи простого измерительного устройства определено лишь с ограниченной точностью,. даваемой формулой (48). Поэтому с самого начала ясно, что неизбежно применение какого-то компенсационного способа. Для предварительной ориентировки в рассматриваемой усложнённой измерительной задаче мы сперва рассмотрим поэтому измерительное устройство, в котором обратные действия ρI𝑉I𝑇I𝐸(I,I)𝑥 и ρII𝑉II𝑇I𝐸(II,II)𝑥 полей на пробные тела I и II компенсируется двумя действующими на эти тела пружинами, упругость которых даётся формулой (49) и другим аналогичным выражением.
Для неопределённостей обоих измерений поля при таком измерительном устройстве можно из уравнений (50) (без членов 𝐸(I,I)𝑥 и 𝐸(II,II)𝑥) получить согласно (16) и (43) следующие выражения:
Δ
𝕰
(I)
𝑥
∼
ℏ
ρIΔ𝑥I𝑉I𝑇I
+
ρ
II
Δ
𝑥
II
𝑉
II
𝑇
II
⎪
⎪
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎪
⎪
,
Δ
𝕰
(II)
𝑥
∼
ℏ
ρIIΔ𝑥II𝑉II𝑇II
+
ρ
I
Δ
𝑥
I
𝑉
I
𝑇
I
⎪
⎪
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
⎪
⎪
.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(51)
Здесь учтено, что входящие в 𝐸(I,II)𝑥 и 𝐸(II,I)𝑥 смещения 𝐷(I)𝑥 и 𝐷(II)𝑥 пробных тел друг от друга не зависят и известны лишь с точностью Δ𝑥I и Δ𝑥II. Путём надлежащего выбора значений ρIΔ𝑥I и ρIIΔ𝑥II можно, очевидно, сколь угодно уменьшить каждую из величин Δ𝕰(I)𝑥 и Δ𝕰(II)𝑥 в отдельности, но лишь ценой возрастания другой из этих величин. Для произведения обеих величин мы получим из (51) минимальное значение 1
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕰
(II)
𝑥
∼
ℏ
⎡
⎣
⎪
⎪
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
⎪
⎪
+
⎪
⎪
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎪
⎪
⎤
⎦
.
(52)
1 Более точное вычисление даёт Δ𝕰
(I)
𝑥 Δ𝕰
(II)
𝑥 ∼ ℏ
⎧
⎩
⎧
⎩
⎪
⎪ 𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
⎪
⎪
⎫½
⎭ +
⎧
⎩
⎪
⎪ 𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
⎪
⎪
⎫½
⎭
⎫2
⎭ но так как речь идёт здесь только о порядке величины, то различие между этой формулой и (52) несущественно. – Прим. перев.
При всём сходстве соотношения (52) с вытекающими из аппарата теории соотношениями неопределённости (8) между теми и другими соотношениями имеется принципиальное различие: в формулы (8) входит не сумма абсолютных значений величин 𝐴(I,II)𝑥𝑥 и 𝐴(II,I)𝑥𝑥 а их алгебраическая разность. Вообще говоря, в том случае, когда области I и II сдвинуты в пространстве и во времени на отрезки порядка 𝐿 и 𝑇, правые части формул (8) и (52) по порядку величины совпадают и имеют порядок величины 𝑄². Но вследствие того, что в соотношение неопределённости (8) входит разность, в некоторых важных случаях может (как уже отмечалось в § 2) оказаться, что произведение дополнительных неопределённостей равно нулю, несмотря на то, что величины 𝐴(I,II)𝑥𝑥 и 𝐴(II,I)𝑥𝑥 в отдельности отличны от нуля. Это будет иметь место, например, тогда, когда взятые для усреднения промежутки времени 𝑇II и 𝑇II совпадают; в частности, это будет при полном совпадении областей усреднения I и II. В последнем случае даваемая формулой (52) граница измеримости двух усреднённых значений поля противоречила бы даже результату проведённого выше обсуждения измерений, относящихся к одному усреднённому значению. Вообще выражения (52) и (8) совпадают полностью только в том случае, когда хотя бы одна из величин 𝐴(I,II)𝑥𝑥 или 𝐴(II,I)𝑥𝑥 обращается в нуль. Припоминая, что в интегралы (5) для этих величин входит дельта-функция от аргументов 𝑡1-𝑡2-𝑟/𝑐 или 𝑡2-𝑡1-𝑟/𝑐 мы можем сказать, что для обращения одной из них в нуль, вообще говоря, необходимо, чтобы один из этих аргументов оставался отличным от нуля для любой пары точек (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑡1) и (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2) из областей I и II.
За исключением только что рассмотренного случая, когда между обоими усреднёнными значениями нет никакой корреляции или есть только односторонняя корреляция, для доказательства совпадения между измеримостью поля и выводами из аппарата квантовой электродинамики требуется рассмотреть какое-то более совершенное измерительное устройство, в котором неконтролируемые эффекты компенсировались бы в большей степени. С необходимостью особого компенсирующего устройства мы встретились уже при рассмотрении одной полевой величины. Здесь же возникает ещё одно усложнение, которое состоит в том, что смещения обоих пробных тел не только остаются неизвестными, но полностью независимы друг от друга. Это обстоятельство не приводит, однако, к принципиальным трудностям; приходится только несколько усложнить измерительную процедуру, чтобы по возможности компенсировать также и влияние относительного смещения пробных тел на измерения поля. С этой целью мы выделим из каждой системы пробных тел I и II по одному телу εI и εII, для каждого из которых выражение 𝑟-𝑐(𝑡1-𝑡2) обращается в нуль для двух моментов времени 𝑡*I и 𝑡* II лежащих соответственно в промежутках 𝑇I и 𝑇II. Если бы такое выделение оказалось невозможным, то согласно сказанному выше согласие между возможностями измерения и аппаратом теории достигалось бы даже без добавочной компенсации. Для установления необходимой связи между пробными телами естественно было бы применить пружину, непосредственно соединяющую тела εI и εII, но при этом возникли бы затруднения из-за запаздывания в распространении сил. Но здесь можно обойтись пружиной, которая была бы короткой, т. е. малой по сравнению с 𝑐𝑇. Для этого нужно присоединить ко второй системе пробных тел нейтральное добавочное тело εIII, находящееся вблизи тела εI (принадлежащего к первой системе) и связанное с ним пружиной.
Пусть тело εIII сперва связано с твердым каркасом (как и все прочие тела, составляющие обе системы пробных тел). Пусть в момент 𝑡I оно открепляется от каркаса и его импульс измеряется с той же точностью, что и импульс системы II пробных тел. В результате оно испытывает неизвестное смещение 𝐷(III)𝑥 в направлении оси 𝑥, причём порядок величины этого смещения будет тот же, как Δ𝑥II. Пусть упругость пружины, действующей между εIII и εI, выбрана равной
1
2
ρ
I
ρ
II
𝑉
I
𝑉
II
𝑇
II
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
.
Тогда за время 𝑇I от тела εIII будет передан телу εI импульс
𝑃
=
1
2
ρ
I
ρ
II
𝑉
I
𝑉
II
𝑇
I
𝑇
II
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
⎧
⎩
𝐷
(I)
𝑥
+
𝐷
(III)
𝑥
⎫
⎭
.
(53)
Импульс самого тела εIII претерпевает за то же время изменение, равное -𝑃. В момент 𝑡''I вновь измеряется с той же точностью импульс тела εIII. Но перед этим измерением, в момент 𝑡*II, посылается короткий световой сигнал от εII к εIII; при помощи этого сигнала и надлежащего устройства может быть измерено с любой точностью относительное смещение этих тел 𝐷(III)𝑥 – 𝐷(II)𝑥 При отправлении и при приеме сигнала соответствующие тела испытывают изменения импульса, которые хотя и остаются полностью неизвестными, но в точности взаимно компенсируются в выражении для суммы измеренных на телах приращений импульса.
Составляя баланс для изменений импульса обеих систем пробных тел во время измерения, мы получаем, если будем причислять тело εIII к системе II,
𝑝
(II)''
𝑥
–
𝑝
(I)'
𝑥
=
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
⎧
⎩
𝕰
(I)
𝑥
+
𝐸
(II,I)
𝑥
⎫
⎭
+𝑃
,
𝑝
(II)''
𝑥
–
𝑝
(II)'
𝑥
+
𝑝
(III)''
𝑥
–
𝑝
(III)'
𝑥
=
=
ρ
II
𝑉
II
𝑇
II
⎧
⎩
𝕰
(II)
𝑥
+
𝐸
(I,II)
𝑥
⎫
⎭
–𝑃
.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(54)
Если воспользоваться соотношениями (43) и (53), то эти формулы можно привести к виду
𝑝
(II)''
𝑥
–
𝑝
(I)'
𝑥
=
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝕰
(I)
𝑥
+
½
ρ
I
ρ
II
𝑉
I
𝑉
II
𝑇
I
𝑇
II
×
×
⎛
⎝
–
𝐷
(II)
𝑥
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
–
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
+
⎧
⎩
𝐷
(II)
𝑥
–
𝐷
(III)
𝑥
⎫
⎭
×
×
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
+
𝐷
(I)
𝑥
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
⎞
⎠
,
𝑝
(II)''
𝑥
–
𝑝
(II)'
𝑥
+
𝑝
(III)''
𝑥
–
𝑝
(III)'
𝑥
=
ρ
II
𝑉
II
𝑇
II
𝕰
(II)
𝑥
+
+
½
ρ
I
ρ
II
𝑉
I
𝑉
II
𝑇
I
𝑇
II
⎛
⎝
𝐷
(I)
𝑥
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
–
-
⎧
⎩
𝐷
(II)
𝑥
–
𝐷
(III)
𝑥
⎫
⎭
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
+
+
𝐷
(II)
𝑥
⎧
⎩
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎫
⎭
⎞
⎠
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(55)
Последние члены в фигурных скобках формул (55) пропорциональны неизвестным смещениям пробных тел I и II; они могут быть поэтому исключены путём устройства надлежащих пружинных связей с твердым каркасом (подобно тому, как это было сделано для исключения обратных воздействий каждого пробного тела на самого себя). Это сводится к тому, что выражение (49) для коэффициента упругости пружины, действующей на тело I, заменяется на
𝐹
I,II
=
ρ
2
I
𝑉
2
I
𝑇
2
I
𝐴
(I,I)
𝑥𝑥
+
1
2
ρ
I
ρ
II
𝑉
I
𝑉
II
𝑇
II
⎛
⎝
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
+
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
⎞
⎠
(56)
причём упругость пружины, действующей между каркасом и телом II, должна быть изменена аналогичным образом. Далее, члены, пропорциональные относительному смещению 𝐷(III)𝑥 – 𝐷(II)𝑥 могут для описанного выше измерительного устройства считаться известными с любой желаемой степенью точности и могут поэтому быть просто учтены при измерениях поля. Впрочем, при помощи несколько более сложного устройства можно даже добиться того, чтобы разность 𝐷(III)𝑥 – 𝐷(II)𝑥 исчезала. Для этого нужно (подобно тому, как это делается в описанном в § 3 устройстве для измерения полного импульса всей системы пробных тел) применять для 𝑝(II)𝑥 – 𝑝(III)𝑥 определения один и тот же световой пучок и подобрать надлежащим образом световые пути пучка, используя определённое расположение твердых зеркал. А именно, нужно подобрать их так, чтобы при первом измерении импульса отражения света от тела εIII и от всех тел, составляющих систему II, происходили в моменты времени 𝑡'I и соответственно 𝑡' II, а при втором измерении они происходили в моменты времени 𝑡''I и соответственно 𝑡''II
