Текст книги "Избранные научные труды"

Автор книги: Нильс Бор

сообщить о нарушении

Текущая страница: 27 (всего у книги 58 страниц)

¹¹ Е. Feenberg. Phys. Rev., 1939, 55, 504.

Ядра, для которых величина 𝑍²/𝐴 несколько меньше предельного значения (11), стабильны по отношению к малым произвольным деформациям; однако деформации большей величины приводят к тому, что отталкивание за счёт дальнодействующих сил начинает преобладать над притяжением, создаваемым короткодействующими силами, ответственными за поверхностное натяжение. Поэтому ядро, должным образом деформированное, оказывается в состоянии самопроизвольно делиться. Особенно важен случай критической деформации, когда ядро находится как раз на грани деления. При этом капля приобретает форму, соответствующую состоянию неустойчивого равновесия: работа, затрачиваемая на бесконечно малое отклонение от этой равновесной конфигурации, в первом порядке обращается в нуль. Чтобы изучить это состояние несколько подробнее, рассмотрим поверхность, которая получается, если откладывать на графике энергию произвольной деформации в зависимости от параметров, определяющих форму и величину этой деформации. При этом нужно иметь в виду, что потенциальный барьер, препятствующий делению, должен иметь седловидную точку, которую можно сравнить с перевалом, соединяющим две долины на этой поверхности. Энергетические соотношения схематически показаны на рис. 3; конечно, мы можем представить на рисунке лишь два из большого числа параметров, которые требуются для описания формы капли. Значения параметров деформации, соответствующие седловидной точке, дают критическую форму капли; потенциальную энергию 𝐸_𝑓, требуемую для такой деформации, мы будем называть критической энергией деления. Рассмотрим непрерывное изменение формы капли, приводящее от первоначальной сферы к двум сферам вдвое меньшего объёма, удалённым друг от друга на бесконечное расстояние. При этом критическая энергия, которой мы интересуемся, есть наименьшее значение энергии, необходимой для перехода от начальной конфигурации к конечной, которое можно получить, выбирая различным образом последовательность промежуточных конфигураций.

Рис. 3. Потенциальная энергия, связанная с произвольным изменением формы ядра, в зависимости от параметров, определяющих деформацию, может быть графически представлена некоторой поверхностью, горизонтали которой схематически изображены в левой части рисунка. Перевал, или седловидная точка, соответствует критической деформации неустойчивого равновесия. В той мере, в какой мы можем пользоваться классической картиной, течение реакции деления можно уподобить поведению шарика, лежащего в углублении в начале координат (сферическая форма ядра) и внезапно испытывающего толчок, который заставляет его колебаться около положения равновесия, описывая сложную фигуру Лиссажу. Если энергия достаточно велика, шарик с течением времени может случайно получить скорость в нужном направлении и преодолеть седловидную точку (это соответствует тому, что произошло деление) при условии, что он не потеряет до этого своей энергии (это соответствует испусканию нейтрона или гамма-кванта). Справа для иллюстрации расчёта вероятности деления в единицу времени, который делается в тексте, изображено сечение поверхности вдоль линии, пересекающей барьер деления

Простые соображения размерности показывают, что критическая энергия деформации для капли, соответствующей ядру с данным зарядом и массовым числом, может быть записана как произведение энергии поверхностного натяжения на безразмерную функцию отношения заряда к массе

𝐸

_𝑓

=

4π𝑟

₀

²

𝑂𝐴

⋅

𝑓

⎛

⎜

⎝

𝑍²/𝐴

(𝑍²/𝐴)_{предельн.}

⎞

⎟

⎠

.

(13)

Мы можем определить 𝐸_𝑓, если нам известна форма ядра в критическом состоянии. Последняя даётся решением известного уравнения для формы поверхности, находящейся в состоянии равновесия под действием силы поверхностного натяжения (определяемой коэффициентом поверхностного натяжения 𝑂) и объёмных сил, описываемых потенциалом φ:

𝑘𝑂+φ

=

const,

(14)

где 𝑘 – полная нормальная кривизна поверхности. Однако ввиду значительных трудностей, связанных с описанием больших деформаций, мы можем рассчитать форму критической поверхности и значение безразмерной функции 𝑓 в (13) лишь при некоторых специальных значениях аргумента, а именно:

1. Если объёмный потенциал в (14) полностью обращается в нуль, мы видим из (14), что поверхность неустойчивого равновесия имеет постоянную кривизну. Фактически мы имеем дело с делением жидкости на две сферы. Таким образом, в случае отсутствия электростатических сил, способствующих делению, критическая энергия при делении на два одинаковых осколка будет точно равна полной работе, которую нужно затратить против сил поверхностного натяжения в процессе разделения, т. е.

𝐸

_𝑓

=

2⋅

4π𝑟

₀

²

𝑂

(𝐴/2)

^2/3

–

4π𝑟

₀

²

𝑂

𝐴

^2/3

.

(15)

Отсюда следует, что

𝑓(0)

=

2

^1/3

–1

=

0,260.

(16)

2. Если заряд капли отличен от нуля, но всё же очень мал, критическая форма поверхности мало отличается от двух соприкасающихся сфер. При этом будет существовать узкий перешеек из жидкости, соединяющий две части фигуры; радиус его 𝑟_𝑛 должен быть таким, чтобы обеспечить равновесие. В первом приближении

2π𝑟

_𝑛

𝑂

=

(𝑍𝑒/2)²

[2𝑟₀(𝐴/2)^1/3]²

,

(17)

или

𝑟_𝑛

𝑟₀𝐴^1/3

=

0,66

𝑍²/𝐴

(𝑍²/𝐴)_{предельн.}

(18)

Чтобы рассчитать критическую энергию в первом порядке по 𝑍²/𝐴, можно пренебречь влиянием перешейка, которое приводит к изменению энергии лишь во втором порядке. При этом нам достаточно сравнить сумму энергии поверхностного натяжения и электростатической энергии для первоначального ядра с соответствующей величиной для двух соприкасающихся сферических ядер вдвое меньшего объёма. Находим

𝐸

_𝑓

=

2⋅

4π𝑟

₀

²

𝑂

(𝐴/2)

^2/3

–

4π𝑟

₀

²

𝑂

𝐴

^2/3

+

+

2⋅

3(𝑍𝑒/2)²

5𝑟₀(𝐴/2)^1/3

+

(𝑍𝑒/2)²

2𝑟₀(𝐴/2)^1/3

–

3(𝑍𝑒/2)²

5𝑟₀𝐴^1/3

(19)

откуда

𝐸_𝑓

4π𝑟₀²𝑂𝐴^2/3

≡

𝑓(𝑥)

=

0,260-0,215𝑥,

(20)

где

𝑥

=

𝑍²/𝐴

(𝑍²/𝐴)_{предельн.}

=

=

(Заряд)²

(Коэффициент поверхностного

натяжения)×(Объём)×10

(21)

считается малой величиной.

3. В случае, представляющем наибольший практический интерес, когда 𝑍²/𝐴 очень близко к критическому значению, для достижения критического состояния достаточно лишь небольшого отклонения от сферической формы. Согласно равенству (9), потенциальная энергия, необходимая для бесконечно малого изменения формы, растет пропорционально квадрату амплитуды, причём наименьшее значение энергии соответствует деформации вида 𝑃₂(cos θ). Чтобы найти деформацию, при которой потенциальная энергия достигает максимума и начинает убывать, мы должны провести более тщательные расчёты. С точностью до четвёртого порядка по α₂ мы получаем для энергии деформации выражение

Δ𝐸

_𝑆+𝐸

=

4π𝑟

₀

²

𝑂𝐴

^2/3

[

2α

₂

²

/5

+

11α

₂

³

/105

+

+

101α

₂

⁴

/35

+

2α

₂

²

α

₄

/35

+

α

₄

²

]-

-

3(𝑍𝑒/2)²

5𝑟₀𝐴^1/3

[

α

₂

²

/5

+

64α

₂

³

/105

+

58α

₂

⁴

/35

+

+

8α

₂

²

α

₄

/35

+

5α

₄

²

/27

],

(22)

Заметим, что здесь нам нужно учитывать члены порядка α₄² имея в виду взаимосвязь между деформациями вида 𝑃₂ и 𝑃₄ при конечных амплитудах. Находя минимум потенциальной энергии по переменной α₄, получаем

α

₄

=

–

243

595

α

₂

²

(23)

Это соответствует тому, что по мере того, как форма критической конфигурации становится всё более вытянутой с убыванием 𝑍²/𝐴, она приобретает вогнутость в области экваториального пояса, которая с уменьшением заряда ядра приводит непрерывным образом к той гантелевидной фигуре, которая обсуждалась в предыдущем пункте.

С помощью формулы (23) мы получаем энергию деформации как функцию одного параметра α₂. Непосредственным вычислением можно найти её максимальное значение, достигаемое с изменением α₂. Это даёт значение энергии, необходимой для создания такой деформации, когда ядро находится на грани деления,

𝐸_𝑓

4π𝑟₀²𝑂𝐴^2/3

=

𝑓(𝑥)

=

98

135

(1-𝑥)

³

–

11368

34425

(1-𝑥)

⁴

+….

(24)

Это выражение справедливо для значений 𝑍²/𝐴, близких к пределу стабильности.

Интерполируя разумным образом в интервале между двумя полученными предельными значениями критической энергии деления, получаем кривую (рис. 4) для 𝑓 как функции отношения квадрата заряда ядра к его массовому числу. В верхней части рисунка показан в увеличенном виде наиболее интересный участок кривой. Указанный справа масштаб энергии основан на оценке энергии поверхностного натяжения, даваемой формулой (12) при массе ядра 𝐴 = 235. Небольшим отличием множителя 4π𝑟₀²𝑂𝐴^2/3 для различных изотопов урана и тория можно пренебречь по сравнению с изменением множителя 𝑓(𝑥).

Рис. 4. Энергия 𝐸_𝑓 необходимая для создания критической деформации, приводящей к делению, поделена на энергию поверхностного натяжения 4π𝑅²⋅𝑂, чтобы получилась безразмерная функция величины 𝑥=(заряд)²[10 × (объём) × (коэффициент поверхностного натяжения)]. В тексте вычислено поведение функции 𝑓(𝑥) вблизи точек 𝑥=0 и 𝑥=1, после чего проведена плавная кривая, соединяющая две области этих значений. Приводимая для сравнения прямая 𝑓*(𝑥) определяет энергию, необходимую для такой деформации, когда ядро переходит в две соприкасающиеся сферы. В отмеченной штриховкой области, представляющей интерес для рассмотрения самых тяжёлых ядер, энергия поверхностного натяжения меняется незначительно. Принимая для неё значение 530 Мэв, получаем масштаб энергии в верхней части рисунка. В разделе IV мы находим из данных наблюдений оценку 𝐸_𝑓∼6 Мэв для U²³⁹. Отсюда с помощью рисунка можно найти (𝑍/𝐴)_{предельн.}=47,8 и оценить барьеры деления для других ядер, как указано на рисунке

В разделе IV мы на основании данных наблюдений получим оценку критической энергии деления для ядра U²³⁹, которая оказывается близкой к 6 Мэв. Согласно рис. 4, это соответствует значению 𝑥=0,74, откуда мы заключаем, что (𝑍/𝐴)_{предельн.} = 92²/(239⋅0,74)=47,8. Этот результат позволяет нам оценить критические энергии для других изотопов, как это показано на рисунке. Видно, что протактиний был бы особенно интересен как объект для экспериментов по изучению деления ядер.

Одним из побочных результатов нашего рассмотрения является возможность вычислить с помощью формулы (11) радиус ядра по известной величине энергии поверхностного натяжения. Принимая для 4π𝑟₀²𝑂 значение 14 Мэв, данное Финбергом, получаем 𝑟₀ = 1,47⋅10^-13 см, что удовлетворительно согласуется с результатом Финберга, определявшего радиус ядра по кривой коэффициента упаковки, и вместе с тем представляет совершенно независимую проверку этого результата.

До сих пор всё рассмотрение было чисто классическим. Однако в действительности всякое состояние движения, разумеется, должно описываться на языке квантовомеханических понятий. Использование классической картины в какой-то степени оправдывается малостью амплитуды нулевых колебаний обсуждавшегося выше типа по сравнению с радиусом ядра. Простой расчёт даёт следующий результат для квадрата отношения этих величин:

╱

╲

α

_𝑛

²

╲

╱ср. по осн. сост.

=

𝐴

^-7/6

×

×

⎡

⎢

⎣

ℏ²

12𝑀_𝑝 𝑟₀²

⋅

1

4π𝑟₀²𝑂

⎤1/2

⎥

⎦

𝑛

^1/2

(2𝑛+1)

^1/2

×

×

[

(𝑛-1)

(𝑛+1)

(2𝑛+1)

–

20(𝑛-1)𝑥

]

^-1/2

.

(25)

Поскольку

⎡

⎢

⎣

ℏ²

12𝑀_𝑝 𝑟₀²

⋅

1

4π𝑟₀²𝑂

⎤1/2

⎥

⎦

≈

1

3

,

это отношение действительно является малой величиной, и, следовательно, деформации, величина которых сравнима с размерами ядра, можно приближённо описывать классически посредством волновых пакетов, построенных из квантовых состояний. В частности, можно приближённо описывать классически критическую деформацию, приводящую к делению. Это следует из сравнения критической энергии 𝐸_𝑓 ∼ 6 Мэв, требуемой, как мы увидим в разделе IV, для объяснения данных наблюдений в случае урана, с энергией нулевых колебаний простейшего вида (капиллярные колебания), равной

1

2

ℏω

₂

=

𝐴

^-1/2

⎡

⎢

⎣

4π𝑟

₀

²

𝑂

⋅

2(1-𝑥)

×

×

ℏ²

3𝑀_𝑝 𝑟₀²

⎤1/2

⎥

⎦

≈

0,4

Мэв

.

(26)

Отсюда очевидно, что амплитуда рассматриваемой деформации значительно превосходит размер возмущений, создаваемых нулевыми колебаниями,

╱

╲ α₂²

╲

╱

ср.

╱

╲ α₂²

╲

╱

ср. по осн. сост.

∼

𝐸_𝑓

½ℏω₂

∼

15.

(27)

Капля, с которой мы сравниваем ядро, может совершать колебания около формы неустойчивого равновесия также и в критическом состоянии. Если рассмотреть распределение этих характеристических колебаний по частотам, то при больших частотах нам следует ожидать спектра, качественно не очень сильно отличающегося от спектра обычных колебаний нормальных видов около состояния устойчивого равновесия. Обсуждаемые колебания можно схематически представить на рис. 3 в виде движения изображающей точки системы в конфигурационном пространстве перпендикулярно направлению, которое ведёт к делению. Когда система находится вблизи критического состояния, распределение её энергии между такими видами движения и теми, которые ведут к делению, является определяющим для вероятности деления. Проблема нахождения её значения рассматривается с помощью статистической механики в разделе III. Здесь мы хотели бы лишь отметить, что процесс деления с практической точки зрения является почти необратимым процессом. Действительно, представим себе, что два ядра-осколка, возникшие в результате деления, отразились без потери энергии и стали двигаться прямо навстречу друг другу. Тогда в обычных условиях электростатическое отталкивание не позволит им прийти в соприкосновение. Это видно из рассмотрения разницы в энергии между начальным ядром и двумя сферическими ядрами вдвое меньшего объёма, которая даётся формулой (19) и связана с величиной 𝑓*(𝑥) изображённой на графике (см. рис. 4), пунктирной линией. Чтобы сравнить эту разницу с энергией, необходимой для первоначального процесса деления [сплошная кривая 𝑓(𝑥) на том же рисунке], заметим, что энергия поверхностного натяжения 4π𝑟₀²𝑂𝐴^2/3 для самых тяжёлых ядер порядка 500 Мэв. Отсюда получаем значение 0,05⋅500 Мэв = 25 Мэв для разности между энергией, которой обладает тяжёлое ядро при наступлении возможности деления, и той энергией, которая необходима для приведения в соприкосновение двух сферических осколков. Разумеется, при сближении осколков в них будут возникать вполне заметные приливные силы, но простая оценка показывает, что они снижают упомянутую разность энергий на величину около 10 Мэв, что не меняет наших выводов. Однако здесь нет парадокса; это следует из того факта, что процесс деления в действительности происходит через такую конфигурацию, в которой сумма энергии поверхностного натяжения и электростатической энергии значительно меньше, чем для двух соприкасающихся сфер, даже с учётом искажения формы за счёт приливных сил. Можно считать, что в ходе процесса деления разрыв поверхности, окружающей начальное ядро, происходит лишь тогда, когда энергия взаимного электростатического отталкивания двух возникающих ядер падает до значения, значительно меньшего, чем то, которое соответствует двум разделённым сферам. При этом запас электростатической энергии должен быть достаточным для совершения работы, которую нужно затратить для разрыва поверхности. Площадь же последней возрастает при этом до значения, большего, чем то, которое соответствует двум сферам. Отсюда ясно, что два образующихся при делении осколка будут обладать внутренней энергией возбуждения. Следовательно, если мы хотим обратить процесс деления, то мы должны сделать так, чтобы осколки сходились вновь достаточно деформированными, причём их деформации должны иметь такое направление, чтобы выступы их поверхностей могли прийти в соприкосновение и силы поверхностного натяжения начали стягивать их вместе, пока электростатическое отталкивание между эффективными центрами тяжести электрических зарядов двух частей ещё не стало слишком большим. Вероятность того, чтобы два атомных ядра в произвольном реальном столкновении оказались нужным образом возбуждёнными и обладали бы такими фазовыми соотношениями, чтобы было возможно их слияние с образованием составного ядра, должна быть крайне малой. Такие процессы слияния, обратные делению, могут ожидаться для невозбуждённых ядер лишь при кинетической энергии, гораздо большей, чем выделяющаяся в обсуждаемых здесь процессах деления.

Приведённое рассмотрение процесса деления, основанное на сравнении свойств ядра со свойствами жидкой капли, следует дополнить следующим замечанием. Хотя деформация, которая приводит к делению, связана с большей эффективной массой и более низкими квантовыми частотами, чем все остальные ядерные колебания высшего порядка, и, следовательно, в наибольшей степени подходит для классического описания, ей свойствен ряд специфических квантовомеханических черт. В частности, в определении критической энергии имеется принципиальная неточность, которая оказывается порядка энергии нулевых колебаний ℏω²/2, что, впрочем, как мы видели выше, составляет лишь сравнительно малую величину. Более важной с точки зрения стабильности ядра является возможность квантовомеханического туннельного эффекта, благодаря которому ядро может делиться даже в основном состоянии, проникая через область конфигурационного пространства, в которой по классическим представлениям кинетическая энергия должна быть отрицательной.

Точное решение задачи о делении тяжёлого ядра в основном состоянии, очевидно, является очень сложной математической проблемой. Используя естественное обобщение известной теории альфа-распада, вероятность процесса деления в единицу времени можно в принципе вычислять по формуле

λ

_𝑓

=

Γ_𝑓

ℏ

=

5ω_𝑓

2π

exp

⎧

⎨

⎩

–2

𝑃₂

∫

𝑃₁

⎡

⎢

⎣

2(𝑉-𝐸)

∑

𝑖

𝑚

_𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑎

𝑑𝑥_𝑖

⎞2

⎟

⎠

⎤1/2

⎥

⎦

𝑑𝑎

ℏ

⎫

⎬

⎭

.

(28)

Множитель 5 учитывает степень вырождения колебаний, приводящих к нестабильности. Квант энергии, характеризующий эти колебания, равен согласно (26) ℏω ∼ 0,8 Мэв. Интеграл в экспоненте для случая одной частицы сводится к коэффициенту проницаемости Гамова. В нашей проблеме интеграл подобным же образом берётся в конфигурационном пространстве от точки устойчивого равновесия 𝑃₁ по пути, проходящему через седловидную точку (как указано пунктирной линией на рис. 3) и спускающемуся наиболее быстро к точке 𝑃₂, в которой классическая кинетическая энергия 𝐸-𝑉 снова равна нулю. Вдоль этого пути можно выразить координаты 𝑥_𝑖 каждой элементарной частицы через некоторый параметр α. Так как интеграл не зависит от того, каким образом выбран этот параметр, можно для удобства выбрать а равным расстоянию между центрами тяжести возникающих ядер. Выполнить точный расчёт интеграла, входящего в (28), на основе модели жидкой капли представляется весьма сложным; поэтому мы оценим результат приближённо, приняв, что каждая элементарная частица проходит по прямой расстояние ½α вправо или влево в зависимости от того, с каким из двух возникающих ядер она связана. Кроме того, мы примем разность 𝑉-𝐸 по порядку величины равной критической энергии деления 𝐸_𝑓. При этом для показателя экспоненты в (28) получаем приближённое выражение

(2𝑀𝐸

_𝑓

)

^1/2

⋅

α

ℏ

.

(29)

Полагая 𝑀=239⋅1,66⋅10^-24, 𝐹_𝑓∼6 Мэв = 10^-5 эрг и считая расстояние между ядрами величиной, значение которой находится в интервале между значениями диаметра и радиуса ядра, т. е., например, порядка 1,3⋅10^-12 см, мы находим отсюда среднее время жизни по отношению к делению в основном состоянии

1

λ_𝑓

=

10

^-21

exp

⎡

⎢

⎣

(2⋅4⋅10

^-22

⋅10

^-5

)

^1/2

⋅

1,3⋅10^-12

10^-27

⎤

⎥

⎦

∼

∼

10

³⁰

сек

≈

10

²²

лет.

(30)

Видно, что эта оценка времени жизни не только многократно превосходит промежутки времени порядка 10^-15, характеризующие скорость наблюдающихся на опыте процессов деления, вызываемых нейтронами, но она велика даже по сравнению с временем жизни урана и тория по отношению к альфа-распаду. Такая высокая степень стабильности тяжёлых ядер по отношению к делению объясняется, как легко видеть, большими значениями масс частиц. Это обстоятельство уже отмечалось в цитированной статье Мейтнер и Фриша, где подчёркивались наиболее существенные характерные черты эффекта деления.

III. РАСПАД СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ КАК МОНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ РЕАКЦИЯ

Чтобы определить вероятность деления, рассмотрим микроканонический ансамбль ядер, каждое из которых обладает энергией возбуждения, заключённой между 𝐸 и 𝐸+𝑑𝐸. Число ядер выберем точно равным числу уровней ρ(𝐸)𝑑𝐸 в этом интервале энергий, так что в каждом состоянии будет находиться одно ядро. Число ядер, которые испытают деление в единицу времени, при этом равно ρ(𝐸)𝑑𝐸Γ_𝑓/ℏ в соответствии с нашим определением величины Γ_𝑓. Это число будет равно числу ядер в переходном состоянии, проникающих наружу через барьер деления в единицу времени ¹². На единицу длины, измеряемой вдоль пути, который ведёт к делению, будет (𝑑𝑝/ℎ)ρ*(𝐸-𝐸_𝑓-𝐾)𝑑𝐸 квантовых состояний микроканонического ансамбля, для которых импульс и кинетическая энергия деформации имеют значения, лежащие соответственно в интервалах 𝑑𝑝 и 𝑑𝐾=𝑣𝑑𝑝. Здесь ρ* – плотность тех уровней составного ядра в переходном состоянии, которые возникают вследствие возбуждения всех остальных степеней свободы, кроме координаты вдоль пути, ведущего к делению. В начальный момент у нас имеется одно ядро в каждом из рассматриваемых квантовых состояний, и, следовательно, число делений в единицу времени равно

¹² Общее обсуждение идей, связанных с понятием переходного состояния, можно найти в статье Вигнера (Trans. Faraday Soc., 1938, 34. pt. 1, 29).

𝑑𝐸

∫

𝑣𝑑𝑝

ℎ

ρ*

(𝐸-𝐸

_𝑓

–𝐾)

=

𝑑𝐸

𝑁*

ℎ

,

(31)

где 𝑁* – число уровней в переходном состоянии при заданной степени возбуждения. Сравнение с нашим исходным выражением для числа делений даёт

Γ

_𝑓

𝑁*

2πρ(𝐸)

=

𝑑

2π

𝑁*

.

(32)

Эта формула выражает ширину по отношению к делению через плотность уровней составного ядра или через расстояние между уровнями 𝑑.

Приведённый здесь вывод ширины уровней справедлив лишь в том случае, если 𝑁* достаточно велико по сравнению с единицей, т. е. если ширина по отношению к делению сравнима или велика по сравнению с расстоянием между уровнями. Это соответствует условиям, при которых возможно рассмотрение деформации, ведущей к делению, на основании принципа соответствия. С другой стороны, когда энергия возбуждения лишь немного превосходит критическую энергию 𝐸_𝑓 или опускается ниже её, существенными оказываются квантовомеханические барьерные эффекты. Конечно, вероятность деления падает очень быстро с уменьшением энергии возбуждения ниже этого предела, где математическое выражение для скорости реакции в итоге переходит в формулу (28) для вероятности подбарьерного проникновения, дающую, как мы видели, ничтожно малую вероятность деления для урана.

Вероятность обратного испускания захваченного нейтрона, столь существенная для ограничения выхода реакции деления при больших энергиях возбуждения, оценивалась на основании статистических аргументов различными авторами, в частности Вайскопфом ¹³. Результат можно вывести очень просто с помощью рассмотрения микроканонического ансамбля, который был введён выше. По сравнению с рассуждением, использованным для случая деления, нужны лишь небольшие изменения. Переходным состоянием будет сферическая оболочка единичной толщины, вплотную прилегающая снаружи к поверхности ядра площадью 4π𝑅²; критической энергией будет энергия связи нейтрона 𝐸_𝑛; плотность уровней в переходном состоянии ρ** определяется спектром остаточного ядра. Число квантовых состояний в микроканоническом ансамбле, лежащих в переходной области и характеризующихся импульсом нейтрона в пределах от 𝑝 до 𝑝+𝑑𝑝 и в телесном угле 𝑑Ω, равно

¹³ V. Weisskоpf. Phys. Rev., 1937, 52, 295.

4π𝑅²⋅𝑝²𝑑𝑝𝑑Ω

ℎ³

ρ**

(𝐸-𝐸

_𝑓

–𝐾)

𝑑𝐸

.

(33)

Умножая это на нормальную составляющую скорости 𝑣 cos θ=(𝑑𝐾/𝑑𝑝) cos θ и интегрируя, получаем для числа актов испускания нейтрона в единицу времени выражение

𝑑𝐸

⋅

4π𝑅²⋅2π𝑚

ℎ³

∫

ρ**

(𝐸-𝐸

_𝑓

–𝐾)

𝐾𝑑𝐾

.

(34)

Его следует приравнять ρ(𝐸)𝑑𝐸(Γ_𝑛/ℏ) При этом получим, что вероятность испускания нейтрона, выраженная в энергетических единицах, равна

Γ

_𝑛

=

1

2πρ

⋅

2𝑚𝑅²

ℏ²

∫

ρ**

(𝐸-𝐸

_𝑓

–𝐾)

𝐾𝑑𝐾

=

=

𝑑

2π

𝐴^2/3

𝐿'

∑

𝑖

𝐾

_𝑖

,

(35)

что вполне аналогично выражению

Γ

_𝑓

=

𝑑

2π

∑

𝑖

1

(36)

для ширины по отношению к делению. Как и в последней формуле, где сумма берётся но всем уровням ядра в переходном состоянии, обладающим заданной энергией возбуждения, в предыдущей суммирование проводится по всем состояниям остаточного ядра, причём 𝐾_𝑖 обозначает соответствующую кинетическую энергию 𝐸-𝐸_𝑛-𝐸_𝑖 которую получает нейтрон. 𝐾' с точностью до множителя совпадает с кинетической энергией нулевых колебаний элементарной частицы в ядре, которая даётся выражением 𝐴^2/3ℏ²/2𝑚𝑅² и равна 9,3 Мэв, если радиус ядра принять равным 𝐴^1/3⋅1,48⋅10^-13 см.

При выводе формул (35) и (36) не принимался во внимание момент количества движения ядра. Поэтому рассматриваемые выражения дают нам средние значения ширин уровней по многим состояниям составного ядра, которым соответствует много различных значений вращательного квантового числа 𝐽. В то же время в действительности захват нейтрона с энергией в 1-2 Мэв приводит к значениям 𝐽, сосредоточенным в небольшом интервале. Это обстоятельство в общем случае не имеет большого значения, поскольку ширина не очень сильно зависит от 𝐽, и поэтому в последующем рассмотрении мы будем использовать приведённые выше оценки для Γ_𝑓 и Γ_𝑛 в том виде, как они записаны. В частности, 𝑑 будет означать среднее расстояние между уровнями с данным моментом количества движения. Однако, если мы хотим определить парциальную ширину Γ_𝑛', дающую вероятность того, что составное ядро распадается с образованием остаточного ядра в основном состоянии и передаёт нейтрону всю возможную кинетическую энергию, то в этом случае было бы неправильным просто выбрать из суммы в (35) соответствующий член и отождествить его с Γ_𝑛'. В действительности более тщательное вычисление на основе указанного выше рассмотрения с учётом момента количества движения микроканонического ансамбля наряду с его энергией даёт следующее выражение для парциальной ширины по отношению) к испусканию нейтрона:

∑

(2𝑀+1)

Γ

𝑀

𝑛'

=

(2𝑠+1)(2𝑖+1)

𝑑

2π

⋅

𝑅²

ƛ²

(37)

где сумма берётся по значениям 𝐽, осуществляющимся при бомбардировке ядра со спином 𝑖 нейтронами данной энергии, спин которых 𝑆=½.

Так как масса нейтрона мала по сравнению с приведённой массой двух возникающих при делении ядер, то для применимости метода переходного состояния в первом случае нам нужно достигнуть значительно больших энергий возбуждения по сравнению с высотой барьера, чем во втором. В действительности приведённая длина волны нейтрона ƛ=λ/2π лишь при кинетической энергии, значительно большей 1 Мэв, становится существенно меньше радиуса ядра и позволяет использовать понятия скорости и направления движения в применении к нейтронам, вылетающим с ядерной поверхности.

Абсолютный выход различных реакций, вызываемых бомбардировкой нейтронами, зависит от вероятности захвата нейтрона с образованием составного ядра. Эта вероятность обратно пропорциональна вероятности Γ_𝑛'/ℏ такого испускания нейтрона, когда остаточное ядро оказывается в основном состоянии. Величина Γ_𝑛' при низких энергиях пропорциональна скорости нейтрона; согласно имеющейся информации о ядрах среднего атомного веса ширина в электронвольтах составляет примерно 10^-3 от корня квадратного из энергии нейтрона в электронвольтах ¹⁴. С увеличением энергии нейтрона от тепловых значений до 100 кэв следует ожидать роста Γ_𝑛' от величины порядка 10^-4 эв до 0,1 или 1 эв. Для нейтронов высоких энергий можно применять формулу (37), согласно которой Γ_𝑛' возрастает пропорционально энергии за вычетом той компенсации, которая возникает за счёт уменьшения расстояний между уровнями при достижении очень высоких энергий возбуждения. Для оценки порядка величины можно принять, что в уране расстояние между уровнями уменьшается от 100 кэв для самых низких уровней до 20 кэв для уровней с энергией около 6 Мэв (захват тепловых нейтронов) и до 1/5 эв при энергии нейтронов 2,5 Мэв. При 𝑑 = 1/2 эв получаем Γ_𝑛'(½π×5)(239^2/3/10)2½≈1,5 эв для нейтронов из реакции 𝐷+𝐷. Парциальная ширина по отношению к испусканию нейтрона при любой энергии не превосходит по порядку величины это значение, так как при более высоких энергиях уменьшение расстояния между уровнями будет решающим фактором.

¹⁴ Н. А. Вéthе. Rev. Mod. Phys., 1937, 9, 150. 322

После того как образовалось составное ядро, результат конкуренции между процессами деления, испускания нейтрона и излучения гамма-кванта будет определяться соотношением ширин Γ_𝑓, Γ_𝑛 и соответствующей радиационной ширины Γ_𝑟. Из данных по ядрам типа урана и тория можно сделать вывод, что радиационная ширина Γ_𝑟 не превосходит величины порядка 1 эв и что она приблизительно постоянна в области энергий возбуждения, соответствующих захвату нейтрона (рис. 5). Ширина по отношению к делению будет ничтожно мала при энергии возбуждения ниже критической 𝐸_𝑓 но с возрастанием энергии выше этого значения ширина Γ_𝑓 становится заметной, а вскоре превосходит радиационную ширину и растет примерно экспоненциально при высоких энергиях. Поэтому, когда критическая энергия деления сравнима или больше энергии возбуждения, вызываемого захватом нейтрона, следует ожидать, что излучение гамма-кванта будет более вероятным, чем деление; но если высота барьера несколько меньше, чем величина энергии связи нейтрона, во всяком случае при достаточно большой энергии нейтронов, радиационный захват будет менее вероятен, чем деление. Однако с увеличением скорости бомбардирующих нейтронов нельзя ожидать неограниченного роста выхода реакции деления, поскольку результат будет определяться конкуренцией в составном ядре между делением и испусканием нейтрона. Ширина Γ_𝑛, определяющая вероятность последнего процесса, при энергиях, меньших величины порядка 100 кэв, совпадает с Γ_𝑛' – парциальной шириной по отношению к испусканию нейтрона с образованием остаточного ядра в основном состоянии, поскольку возбуждение остаточного ядра при этом энергетически невозможно. При больших же энергиях нейтрона число допустимых уровней быстро растет, и Γ_𝑛, возрастая приблизительно экспоненциально с ростом энергии, становится гораздо больше Γ_𝑛'.

Рис. 5. Схематическая диаграмма для парциальных вероятностей переходов (умноженных на ℏ и выраженных в энергетических единицах) и обратных величин (имеющих размерность и порядок времени жизни) в зависимости от энергии возбуждения для типичного тяжёлого ядра. Γ_𝑟, Γ_𝑓, Γ_𝑑 означают вероятность электромагнитного излучения, деления и испускания α-частиц, а Γ_𝑛' и Γ_𝑛 – соответственно вероятность испускания нейтрона с образованием остаточного ядра в основном состоянии и полную вероятность испускания нейтрона. Последние две величины, разумеется, равны нулю при энергии возбуждения, меньшей энергии связи нейтрона, которая принимается равной примерно 6 Мэв

В этой области энергий, где уровни чётко разделены, сечения, определяющие выход рассмотренных выше реакций, могут быть получены непосредственным приложением дисперсионной теории Брейта и Вигнера ¹⁵. В случае резонанса, когда энергия падающего нейтрона 𝐸 близка к некоторому значению 𝐸₀, характеризующему положение изолированного уровня составного ядра, мы имеем для сечений деления и радиационного захвата соответственно