Текст книги "Избранные научные труды"

Автор книги: Нильс Бор

сообщить о нарушении

Текущая страница: 4 (всего у книги 58 страниц)

Возвращаясь от наблюдений к нашим ощущениям, мы ещё раз должны учитывать квантовый постулат в связи с восприятием средства наблюдения – будет ли это путём непосредственного действия на глаз или с помощью соответствующего вспомогательного средства, как фотографическая пластинка, камера Вильсона и т. д. Однако легко видеть, что привносимый при этом статистический элемент не будет влиять на неопределённость в описании объекта. Можно было бы даже предполагать, что произвол в том, что считать объектом и что – средством наблюдения, открывает возможность совершенно избежать этой неопределённости. В связи с измерением положения частицы можно, например, поставить вопрос: нельзя ли определить импульс, передаваемый при рассеянии, с помощью закона сохранения импульса по измерению изменения импульса, испытываемого микроскопом (вместе с источником света и фотографической пластинкой) во время процесса наблюдения. Однако более подробное исследование показывает, что такое измерение невозможно, если мы одновременно хотим знать с достаточной точностью положение микроскопа. В самом деле, из опытов, которые нашли выражение в волновой теории материи, следует, что положение центра тяжести какого-либо тела и его полный импульс могут быть определены только в пределах точности, задаваемых формулой (2).

Строго говоря, понятие наблюдения принадлежит именно причинному пространственно-временно́му способу описания. Однако вследствие общего характера соотношений (2) это понятие может быть последовательно применено и в квантовой теории, если только принять во внимание неопределённость, выражаемую этими соотношениями. Как было отмечено Гейзенбергом, можно получить поучительную иллюстрацию квантово-теоретического описания атомных (микроскопических) явлений, сравнивая эту неопределённость с неопределённостью, обусловленной несовершенством измерений, свойственным любому наблюдению при обычном описании явлений природы. Он замечает в этой связи, что даже в случае макроскопических явлений можно в некотором смысле сказать, что они возникают вследствие повторных наблюдений. Однако нельзя забывать, что в классических теориях каждое последующее наблюдение позволяет предсказать будущие события со всё возрастающей точностью, так как это улучшает наше знание начального состояния системы. Согласно квантовой теории, именно невозможность пренебречь взаимодействием с измерительными средствами означает, что каждое наблюдение вводит новый неконтролируемый элемент. В самом деле, из предыдущего рассмотрения видно, что измерение пространственных координат частицы сопровождается не только конечным изменением динамических переменных; фиксация её положения означает также полный разрыв с причинным описанием её динамического поведения, тогда как определение импульса частицы всегда предполагает отсутствие знаний о её пространственно-временно́й эволюции. Эта ситуация чрезвычайно ясно показывает дополнительный характер описания атомных явлений, который выступает как неизбежное следствие противоречия между квантовым постулатом и разграничением объекта и средства наблюдения, свойственным самой идее наблюдения.

§ 4. Принцип соответствия и матричная теория

До сих пор мы рассматривали только некоторые общие черты квантовой проблемы. Однако суть дела заключается в том, что особое значение имеет формулировка законов взаимодействия объектов, символизированных абстрактными образами изолированных частиц и излучения. Отправные пункты такой формулировки дала прежде всего проблема строения атома. Здесь, как известно, оказалось возможным осветить существенные аспекты экспериментальных данных путём элементарного использования классических понятий в сочетании с квантовым постулатом. Например, опыты с возбуждением спектров электронным ударом или излучением находят адекватное объяснение на основе предположения о дискретных стационарных состояниях и индивидуальных процессах перехода. Это прежде всего обусловлено тем обстоятельством, что в этих вопросах не требуется более детального описания пространственно-временно́го поведения процессов.

Здесь отличие от обычного способа описания проявляется особенно резко в том обстоятельстве, что спектральные линии, которые с классической точки зрения должны быть приписаны одному и тому же состоянию атома, согласно квантовому постулату соответствуют отдельным процессам перехода, между которыми выбирает возбуждённый атом. Однако, несмотря на это противоречие, можно установить формальную связь с классическими представлениями в пределе, когда асимптотически исчезает относительное различие свойств соседних стационарных состояний и когда при статических применениях можно пренебречь прерывностями. Благодаря такой связи стало возможным истолковать в широких пределах закономерности в спектрах на основе наших представлений о строении атома.

Стремление рассматривать квантовую теорию как рациональное обобщение классических теорий привело к установлению так называемого принципа соответствия. Использование этого принципа для интерпретации спектроскопических результатов основывалось на символическом применении классической электродинамики, в котором каждому процессу перехода сопоставлялась одна из гармонических компонент движения атомной частицы, ожидаемых согласно обычной механике. За исключением упомянутого предела, когда можно пренебречь относительным различием соседних стационарных состояний, такое частичное применение классических теорий могло бы только в некоторых случаях привести к строгому количественному описанию явлений. В этом отношении особенно следует упомянуть о связи, установленной Ладенбургом и Крамерсом, между классической трактовкой дисперсии и статистическими законами, сформулированными Эйнштейном для процессов перехода, связанных с излучением. Хотя теория дисперсии Крамерса привела к выводам, весьма важным для рациональной разработки идеи соответствия, только благодаря квантово-теоретическим методам, созданным за последние несколько лет, общие стремления, заложенные в упомянутом принципе, получили адекватную формулировку.

Как известно, новое развитие квантовой теории началось с фундаментальной работы Гейзенберга, в которой ему удалось полностью освободиться от классического понятия движения и с самого начала заменить обычные кинематические и механические величины символами, относящимися непосредственно к индивидуальным процессам, требуемым квантовым постулатом. Это было достигнуто заменой разложения классически-механических величин в ряд Фурье некоторой матричной схемой, элементы которой символизируют чисто гармонические колебания и ассоциируются с возможными переходами между стационарными состояниями. На основании требования, чтобы частоты, сопоставленные элементам этой матрицы, всегда удовлетворяли комбинационному принципу спектральных линий, Гейзенберг смог ввести простые правила расчёта для этих символов, позволяющие непосредственно перенести основные уравнения классической механики на язык квантовой теории. Этот остроумный переход к динамической проблеме в атомной теории с самого начала оказался исключительно сильным и плодотворным методом количественной интерпретации экспериментальных результатов. Благодаря работам Борна и Иордана, а также Дирака теория получила формулировку, которая могла конкурировать с классической механикой в отношении общности и законченности. Особенно примечательно, что такой элемент, характерный для квантовой теории, как постоянная Планка, входит в явной форме только в правила расчётов над символами (так называемыми матрицами). Матрицы, соответствующие канонически сопряженным переменным в смысле уравнений Гамильтона, не подчиняются закону коммутативности относительно умножения; вместо этого для двух таких величин 𝑞 и 𝑝 справедливо следующее правило перестановки:

𝑝𝑞-𝑞𝑝

=

√

–1

ℎ

2π

.

(3)

Это соотношение действительно ярко выражает символический характер матричной формулировки квантовой теории. Матричную теорию часто называют исчислением с непосредственно наблюдаемыми величинами. Однако следует помнить, что описанный прием ограничивается только такими проблемами, в которых при применении квантового постулата возможен в большой мере отказ от пространственно-временно́го описания, и поэтому вопрос о наблюдении в собственном смысле отходит на задний план.

Для дальнейшего прослеживания соответствия квантовых законов и классической механики особое значение имело подчёркивание статистического характера квантового описания, который обусловлен квантовым постулатом. В этом отношении благодаря обобщению символических методов Дираком и Иорданом был достигнут большой прогресс, сделавший возможным оперирование с матрицами, элементы которых расположены не по стационарным состояниям, но в которых допустимые значения любого набора переменных могут входить в качестве индексов матричных элементов. Аналогично тому, как в первоначальной теории «диагональные элементы», связанные только с одним стационарным состоянием, могли интерпретироваться как средние по времени значения изображаемых величин, общая теория преобразований матриц допускает представление таких средних значений некоторой механической величины, причём при вычислении этих средних некоторый набор переменных, характеризующих «состояние» системы, имеет данные значения, в то время как канонически сопряженные переменные могут принимать все возможные значения. На основе метода, разработанного этими авторами, и в тесной связи с идеями Борна и Паули Гейзенберг попытался в уже цитированной работе дать более детальный анализ физического содержания квантовой теории и особенно на первый взгляд парадоксального перестановочного соотношения (3). В связи с этим он сформулировал соотношение

Δ𝑞Δ𝑝

∼

ℎ

(4)

как общее выражение для максимально возможной точности, с которой могут одновременно наблюдаться две канонически сопряженные переменные. Таким путём Гейзенберг смог выяснить многие, парадоксы, возникавшие при применении квантового постулата, и доказать в широких пределах непротиворечивость символического метода. В связи с дополнительной природой квантово-теоретического описания мы должны, как уже отмечалось, постоянно иметь в виду возможности определения и наблюдения. Именно при обсуждении этого вопроса метод волновой механики, развитый Шредингером, как увидим, оказал большую помощь. Этот метод допускает общее применение принципа суперпозиции также в проблеме взаимодействия и, таким образом, позволяет установить непосредственную связь с обсуждавшимися выше соображениями об излучении и свободных частицах. В дальнейшем мы вернёмся к связи волновой механики с общей формулировкой квантовых законов при помощи теории преобразования матриц.

§ 5. Волновая механика и квантовый постулат

Уже в своих первоначальных соображениях о волновой теории материальных частиц де Бройль указал, что стационарные состояния атома могут рассматриваться как интерференционный эффект фазовых волн, сопоставленных связанному электрону. Верно, что эта точка зрения вначале давала в количественном отношении не больше, чем старые методы квантовой теории, в развитие которых столь существенный вклад внёс Зоммерфельд. Однако Шредингеру удалось развить метод волновой механики, открывший новые аспекты и имевший решающее значение для огромного прогресса атомной теории в последние годы. В самом деле, было найдено, что собственные колебания волнового уравнения Шредингера дают представление стационарных состояний атома, отвечающее всем требованиям. При этом энергия каждого состояния связана с соответствующим периодом колебания общим квантовым соотношением (1). Кроме того, число узлов различных собственных колебаний даёт простую интерпретацию понятия квантового числа, которое было известно уже из старых методов, но сначала казалось исчезнувшим в матричной формулировке. Далее Шредингер смог связать с решениями волнового уравнения непрерывное распределение электрического заряда и тока, которые в применении к некоторому собственному колебанию представляют электростатические и магнитные свойства атома в соответствующем стационарном состоянии. Аналогичным образом, суперпозиция двух собственных решений соответствует непрерывному колеблющемуся распределению электрического заряда. При этом возникающее согласно классической электродинамике излучение служит поучительной иллюстрацией к следствиям квантового постулата и требованиям соответствия в отношении процесса перехода между двумя стационарными состояниями, сформулированными в матричной механике. Другое приложение метода Шредингера, важное для дальнейшего развития, дал Борн в своем исследовании столкновений атомов и свободных электрических частиц. В связи с этим ему удалось установить статистическую интерпретацию волновой функции, которая позволяет вычислить вероятность индивидуальных процессов перехода, требуемых квантовым постулатом. Это заключает в себе волновомеханическую формулировку адиабатического принципа Эренфеста, плодотворность которого особенно ясно следует из многообещающих исследований Хунда по проблеме образования молекул.

Благодаря этим результатам Шредингер выразил надежду, что развитие волновой теории, быть может, позволит в конце концов устранить иррациональные элементы, выражаемые квантовым постулатом, и открыть путь для полного описания атомных явлений, соответствующего основным чертам классических теорий. В подтверждение такого взгляда в недавно появившейся работе ⁴ Шредингер подчеркнул, что дискретный обмен энергией между атомами, требуемый квантовым постулатом, с точки зрения волновой теории заменяется простым резонансом. В частности, представление об индивидуальных стационарных состояниях оказалось бы фикцией и его применимость служила бы только иллюстрацией упомянутого резонанса. Однако мы должны принимать во внимание, что в этой проблеме резонанса речь идёт о замкнутой системе, которая, согласно изложенной здесь точке зрения, не поддаётся никакому наблюдению. Действительно, с этой точки зрения волновая механика, как и матричная теория, представляет собой символическое толкование проблемы движения в классической механике, приспособленное к требованиям квантовой теории и поддающееся интерпретации только при явном использовании квантового постулата. В самом деле, можно сказать что обе формулировки проблемы взаимодействия являются дополнительными в том же самом смысле, как волновое и корпускулярное представления в описании свободных объектов. С этим различием в исходных пунктах как раз и связано кажущееся противоречие в применении энергетического аспекта в обеих теориях.

⁴ Е. Schrödinger. Ann. d. Phys., 1927, 83, 956.

Основные трудности, стоящие на пути пространственно-временно́го описания системы взаимодействующих частиц, сразу возникают из неизбежности принципа суперпозиции для описания поведения индивидуальных частиц. Как мы видели, уже для свободной частицы знание энергии и импульса исключает точное знание пространственно-временны́х координат. Это означает, что непосредственное использование понятия энергии в связи с классическим представлением о потенциальной энергии системы исключается. В волновом уравнении Шредингера этих трудностей можно избежать путём замены классического выражения функции Гамильтона дифференциальным оператором с помощью соотношения

𝑝

=

√

–1

ℎ

2π

∂

∂𝑞

 ,

(5)

где 𝑝 – обобщённая компонента импульса и 𝑞 – канонически сопряженная переменная. При этом значение энергии со знаком минус рассматривается как величина, сопряженная времени. Таким образом, в волновом уравнении как время и пространство, так энергия и импульс применяются сначала чисто формально.

Символический характер метода Шредингера проявляется не только в том, что простота его так же, как и матричного метода, основана на существенном использовании мнимых арифметических величин. Здесь не может быть речи о непосредственной связи с нашими привычными воззрениями главным образом потому, что «геометрическая» задача, представляемая волновым уравнением, связана с так называемым конфигурационным пространством, число измерений которого равно числу степеней свободы системы и поэтому, вообще говоря, больше числа измерений обычного пространства. Кроме того, шредингеровская формулировка проблемы взаимодействия, так же как и её формулировка в матричной теории, включает в себя пренебрежение конечной скоростью распространения сил, требуемой теорией относительности.

В общем, требование наглядности в отношении пространственно-временно́й картины в случае проблемы взаимодействия вряд ли можно считать оправданным. Все наши знания о внутренних свойствах атомов получены из опытов по их излучению или столкновениям. В конце концов интерпретация экспериментальных фактов осуществляется с помощью таких абстракций, как излучение в свободном пространстве и свободные материальные частицы. На этих абстракциях покоится, следовательно, всё наше пространственно-временно́е толкование физических явлений; определение понятий энергии и импульса в конечном счёте также зависит от этих абстракций. При суждении о применимости этих вспомогательных представлений мы должны требовать только их внутренней непротиворечивости, в связи с чем особое внимание должно быть уделено возможности определения и наблюдения.

Собственные решения волнового уравнения Шредингера, как уже отмечалось, дают адекватное представление стационарных состояний атома, допускающих однозначное определение энергии системы с помощью общего квантового соотношения (1). Однако это означает, что при интерпретации наблюдений неизбежен принципиальный отказ от пространственно-временно́го описания. Как мы увидим, последовательное применение понятия стационарных состояний исключает всякую детализацию в отношении. поведения отдельных частиц в атоме. В проблемах, где описание этого поведения существенно для истолкования наблюдений, мы вынуждены использовать общее решение волнового уравнения, получаемое путём суперпозиции собственных решений. Здесь мы встречаемся с дополнительностью возможностей определения, совершенно аналогичной той, которая рассматривалась ранее в связи со свойствами света и свободных материальных частиц. В то время как определение энергии и импульса объектов связано с понятием элементарной гармонической волны, всякая пространственно-временна́я детализация описания явлений основывается, как мы видели, на рассмотрении интерференции, происходящей в группе таких элементарных волн. В данном случае согласие возможностей наблюдения с возможностями определения также можно непосредственно показать.

Согласно квантовому постулату всякое наблюдение поведения электрона в атоме будет сопровождаться изменением состояния атома. Как отметил Гейзенберг, это изменение в случае атомов в стационарных состояниях с низким квантовым числом состоит, вообще говоря, в выбрасывании электрона из атома. Следовательно, описание «орбиты» электрона с помощью последовательных наблюдений в таких случаях невозможно. Это связано с тем обстоятельством, что из собственных колебаний с немногими узлами нельзя построить волновой пакет, который хотя бы приближённо представлял «движение» частицы. Однако дополнительная природа описания выражается, в частности, в том, что использование наблюдений над поведением частиц в атоме основано на возможности пренебречь взаимодействием между частицами в процессе наблюдения и, таким образом, считать частицы свободными. Но для этого требуется, чтобы длительность процесса наблюдения была мала по сравнению с естественными периодами атома, что снова влечёт за собой неопределённость в энергии, изменяющейся в процессе, причём эта неопределённость больше, чем разности энергий соседних стационарных состояний.

При суждении о возможностях наблюдения вообще следует помнить, что волновомеханические решения могут получить наглядное истолкование постольку, поскольку их можно описать с помощью понятия свободных частиц. Здесь особенно ярко обнаруживается различие между классической механикой и квантово-теоретической трактовкой проблемы взаимодействия. В классической механике указанное ограничение не является необходимым, поскольку «частица» обладает непосредственной «реальностью» независимо от того, свободна она или связана. Это особенно важно в связи с последовательным применением шредингеровской плотности электрического заряда как меры вероятности нахождения электронов внутри определённой пространственной области в атоме. При упомянутом ограничении такое толкование представляется простым следствием предположения, что вероятность присутствия свободного электрона определяется плотностью электрического заряда, связанного с волновым полем, так же как вероятность наличия светового кванта определяется плотностью энергии излучения.

Как уже упоминалось, способ общего последовательного использования классических понятий в квантовой теории дан в теории преобразований Дирака—Иордана; с помощью этой теории Гейзенберг формулировал свое общее соотношение неопределённостей (4). И в этой теории волновое уравнение Шредингера получило поучительное применение. Собственные решения этого уравнения появляются здесь как вспомогательные функции, которые определяют преобразования матриц с индексами, представляющими значения энергии системы, в другие матрицы, индексами которых являются возможные значения координат частиц. В связи с этим следует упомянуть, что недавно Иордан и Клейн ⁵ пришли к формулировке проблемы взаимодействия, выраженной волновым уравнением Шредингера; принимая в качестве отправного пункта волновое представление отдельных частиц, они применили символический прием, связанный с глубокой трактовкой проблемы излучения, развитой Дираком на основе матричной теории. К этому мы вернёмся ниже.

⁵ Р. Jоrdаn, О. Klein. Zs. f. Phys., 1927, 45, 751.

§ 6. Реальность стационарных состояний

В понятии стационарных состояний, как отмечалось выше, мы имеем характерное применение квантового постулата. По самой своей природе это понятие подразумевает полный отказ от описания во времени. С принятой здесь точки зрения именно этот отказ является необходимым условием однозначного определения энергии атома. Больше того, понятие стационарного состояния, строго говоря, требует устранения всякого внешнего взаимодействия с объектами, не относящимися к системе. Приписывая такой замкнутой системе определённое значение энергии, мы непосредственно выражаем требование причинности, содержащееся в законе сохранения энергии. Это обстоятельство оправдывает предположение о немеханической природе устойчивости стационарных состояний, лежащее в основе применения квантового постулата к вопросам строения атомов. Согласно этому предположению, атом до и после внешних воздействий всегда находится в точно определённом стационарном состоянии; это предположение составляет основу применения квантового постулата в проблемах строения атома.

При суждении об известных парадоксах, возникающих при описании процессов излучения и столкновений на основе этого предположения, существенно учитывать выражаемые соотношением (2) ограничения возможностей определения свойств реагирующих свободных объектов. Действительно, если определение энергии реагирующих объектов настолько точно, что можно говорить о сохранении энергии при этой реакции, то согласно этому соотношению реакции необходимо сопоставить промежуток времени, большой по сравнению с периодом, связанным с процессом перехода; этот период согласно соотношениям (1) зависит от разности энергий стационарных состояний. Это следует помнить при рассмотрении процессов, происходящих при прохождении быстро движущихся частиц сквозь атом. Согласно обычной кинематике, эффективное время такого прохождения должно быть очень мало по сравнению с естественными периодами атома, и, по-видимому, невозможно согласовать закон сохранения энергии с предположением об устойчивости стационарных состояний ⁶. Однако с точки зрения волновых представлений рассматриваемое время реакции непосредственно связано с точностью определения энергии сталкивающейся частицы, и поэтому никогда не может быть противоречия с законом сохранения. В связи с обсуждением парадоксов такого рода Кэмпбелл ⁷ предложил рассматривать само понятие времени как существенно статистическое по своей природе. С нашей точки зрения, согласно которой основой пространственно-временно́го описания является абстрактный образ свободных объектов, фундаментальное отличие времени и пространства должно исключаться требованиями теории относительности. Особое положение времени в связи с проблемой стационарных состояний, как мы видели, обусловлено особой природой таких проблем.

⁶ Ср.: N. Bohr. Zs. f. Phys., 1925, 34, 142 (статья 27, т. I).

⁷ Campbell. Phil. Mag., 1926, 1, 1106.

Применение понятия стационарных состояний предполагает, что при всяком наблюдении, например с помощью столкновения или реакции излучения, позволяющем различить отдельные стационарные состояния, можно было отвлечься от предшествующей истории атома. Тот факт, что символические методы квантовой теории приписывают каждому стационарному состоянию определённую фазу, значение которой зависит от предшествующей истории атома, на первый взгляд, казалось бы, противоречит самой идее стационарных состояний. Однако, коль скоро мы имеем дело с некоторой временной проблемой, о рассмотрении строго замкнутой системы не может быть речи. Использование простых гармонических собственных колебаний при интерпретации наблюдений означает поэтому только удобную идеализацию, которая при более корректном рассмотрении всегда должна заменяться группой гармонических колебаний, распределённых по некоторому конечному интервалу частот. Тот факт, что группе в целом нельзя приписать фазу в том смысле, как это может быть сделано для каждой элементарной волны, составляющей группу, является, как уже упоминалось, общим следствием принципа суперпозиции.

Такая ненаблюдаемость фазы, известная из теории оптических инструментов, проявляется особенно просто при обсуждении опыта Штерна – Герлаха, столь важного для исследования свойств отдельных атомов. Как отметил Гейзенберг, для разделения атомов с различной ориентацией в магнитном поле необходимо, чтобы отклонение пучка было больше, чем дифракция на щели для волн де Бройля, представляющих поступательное движение этих атомов. Как показывает простой расчёт, это условие означает, что произведение времени, необходимого для прохождения атома через поле, на неопределённость его энергии в поле, обусловленную конечной шириной пучка, должно по крайней мере равняться кванту действия. Гейзенберг считает этот результат подтверждением соотношения (2) взаимных неопределённостей значений энергии и времени. Однако в данном случае мы имеем дело не просто с изменением энергии атома в некоторый заданный момент времени. Так как периоды собственных колебаний атома в поле связаны с его полной энергией общим соотношением (1), мы видим, что указанное условие разделимости означает утрату сведений о фазе. Это обстоятельство устраняет также кажущиеся противоречия, возникающие в некоторых задачах (мысленных опытах) с когерентностью резонансного излучения, которые часто обсуждались и также рассматривались Гейзенбергом.

Рассматривать атом как замкнутую систему, как это делалось выше, означает пренебрежение спонтанным испусканием излучения, которое даже в отсутствие внешних воздействий ограничивает время жизни стационарных состояний. Тот факт, что излучением можно пренебречь во многих приложениях, связан с тем обстоятельством, что связь атома с полем излучения, которую можно ожидать по классической электродинамике, вообще говоря, очень слаба по сравнению со связью между частицами в атоме. В действительности при описании состояния атома можно в значительной степени пренебрегать реакцией излучения, если отвлечься от размытости значений энергии, связанной с временем жизни стационарных состояний, согласно формуле (2) ⁸. Именно на этом основана возможность вывести заключения о свойствах излучения на основе классической электродинамики.

⁸ Ср.: N. Bohr. Zs. f. Phys., 1923, 13, 117 (статья 24, т. I).

Трактовка проблемы излучения с помощью новых квантово-теоретических методов подразумевала вначале количественную формулировку этих соображений соответствия. Это был исходный пункт первоначальных рассмотрений Гейзенберга. Поучительный анализ шредингеровской трактовки явлений излучения на основе принципа соответствия дал недавно Клейн ⁹. В развитой Дираком ¹⁰ более строгой форме теории поле излучения включается в рассматриваемую замкнутую систему. Благодаря этому стало возможным рационально учесть индивидуальный характер процессов излучения, требуемый квантовой теорией, и построить дисперсионную теорию, в которой принимается во внимание конечная ширина спектральных линий. Отказ от пространственно-временно́й картины, характеризующей этот анализ, является замечательным указанием на дополнительный характер квантовой теории. Об этом напоминают и резкие отклонения от причинного описания природы, с которыми мы встречаемся в явлениях излучения и о которых говорилось уже в связи с вопросом о возбуждении спектров.

⁹ О. Klein. Zs. f. Phys., 1937, 41, 407.

¹⁰ P. A. M. Dirac. Proc. Roy. Soc., 1927, A114, 243.

Вследствие асимптотической связи свойств атомов с классической электродинамикой, требуемой принципом соответствия, взаимно исключающий характер понятия стационарных состояний и описания поведения отдельных частиц в атоме может рассматриваться как трудность. Фактически эта связь означает, что механическая картина движения электронов может быть рационально использована в пределе больших квантовых чисел, где относительное различие между соседними стационарными состояниями асимптотически исчезает. Однако следует подчеркнуть, что эта связь не может рассматриваться как постепенный переход к классической теории в том смысле, что квантовый постулат становился излишним для больших квантовых чисел. Наоборот, выводы, получаемые из принципа соответствия с помощью классических образов, основаны именно на предположении о сохранении понятия стационарных состояний и индивидуальных процессов перехода даже в этом пределе.

Этот вопрос представляет поучительный пример применения новых методов. Как показал Шредингер ¹¹, в этом пределе можно путём суперпозиции собственных колебаний, построить группы волн, протяженности которых малы по сравнению с «размером» атома и распространение которых сколь угодно приближается к классическому представлению движущихся материальных частиц, если только квантовые числа выбраны достаточно большими. В частном случае простого гармонического осциллятора он показал, что такие группы волн будут существовать неограниченно долго и колебаться взад и вперёд в соответствии с классической картиной движения осциллятора. В этом обстоятельстве Шредингер увидел поддержку его надежды на построение чисто волновой теории без ссылки на квантовый постулат. Однако, как подчеркнул Гейзенберг, простота соотношений для случая осциллятора является исключением, связанным с гармонической природой соответствующих классических движений. В этом примере также нет речи о какой-либо возможности постепенного приближения к проблеме свободных частиц. В общем случае группы волн будут постепенно расплываться по всей области атома и «движение» какого-либо связанного электрона может быть прослежено только за такое число оборотов, которое будет порядка величины квантовых чисел, отвечающих собственным колебаниям. Подробнее этот вопрос исследован в недавно появившийся работе Дарвина ¹², в которой дано несколько поучительных примеров поведения групп волн. Трактовка аналогичной проблемы с точки зрения матричной теории рассмотрена Кеннардом ¹³.