Текст книги "Избранные научные труды"

Автор книги: Нильс Бор

сообщить о нарушении

Текущая страница: 31 (всего у книги 58 страниц)

1941

66 СООТНОШЕНИЕ СКОРОСТЬ—ПРОБЕГ ДЛЯ ОСКОЛКОВ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР ^*

^*Velocity-Range Relation for Fission Fragments. Phys. Rev., 1941, 59, 270—275.

Детально проанализированы и сопоставлены с новыми экспериментальными данными выполненные ранее вычисления, относящиеся к замедлению продуктов распада по мере разлета. В частности, дана более точная оценка эффективного заряда в столкновениях с электронами, которые играют определяющую роль в торможении на начальном участке пути осколка, и радиуса экранирования в ядерных соударениях, ответственных за окончательную остановку. Для оценки роли электронных взаимодействий были использованы данные о пробеге α-частиц таких же скоростей. При этом, однако, необходимо ввести некоторую поправку, обусловленную различием формул, описывающих торможение в этих двух случаях. Кроме того, следы осколков деления обнаруживают, в отличие от α-частиц, заметный разброс по длине, возникающий в конце пробега. Показано, что и в этом пункте полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В предыдущей заметке ¹ мы вкратце обсудили некоторые специфические свойства процесса торможения осколков деления, обнаруженные в экспериментах с использованием камеры Вильсона ². В частности, было отмечено, что на различных участках пробега механизм торможения неодинаков. В начале пути, когда полный заряд осколка ещё велик, практически всё торможение обусловлено передачей энергии отдельным электронам атомов газа, заполняющего камеру Вильсона. Однако по мере уменьшения скорости заряд осколка, существенный во взаимодействии с электронами, быстро уменьшается, и постепенно начинает играть всё большую роль прямая передача импульса атомам газа, происходящая при непосредственном сближении ядер. В конечной части пробега торможение фактически почти полностью определяется вторым механизмом. В предыдущей заметке было показано, как простые соображения, учитывающие изменение заряда осколков, с уменьшением их скорости, позволяют объяснить, по крайней мере, качественно характерные особенности торможения осколков в процессе разлета. Однако в дальнейшем удалось добиться значительного улучшения различных оценок, относящихся к этим вычислениям, и поэтому, вероятно, представляет интерес рассмотреть этот вопрос более подробно.

¹ N. Воhr. Phys. Rev., 1940, 58, 654 (статья 63).

² К. J. Brostrøm, J. K. Bøggild, T. Lauritsen. Phys. Rev., 1940, 58, 651.

Для дальнейшего проблемой первостепенной важности является оценка числа электронов, увлекаемых фрагментами деления в процессе разлета. Это число определяется из условий равновесия между непрерывным захватом и потерей электронов осколками при столкновениях с атомами газа. Здесь мы впервые сталкиваемся с ситуацией, существенно отличной от той, которая имеет место в случае быстрых частиц с малым зарядом, т.е., скажем, в случае протонов или α-частиц. Действительно, в последнем случае каждый захваченный электрон будет иметь «орбитальную скорость», значительно меньшую, чем скорость самой частицы как целого, и потому вероятность захвата электрона мала по сравнению с вероятностью последующей его потери. Таким образом, эти частицы будут лишены электронов на протяжении почти всего пробега. Когда же мы имеем дело с осколками деления, значительное число электронов соответствующих нейтральных атомов обладает орбитальной скоростью, большей, нежели начальная скорость осколка. Как уже отмечалось в предыдущей заметке, в таких условиях захват и потеря электронов происходят совсем иначе, чем в случае, когда электроны связаны с атомами более слабо.

Совокупность электронов, скорости которых больше, чем мгновенная скорость осколка 𝑉, мы будем в дальнейшем для краткости называть «электронной сердцевиной» (кором) осколка. Прежде всего вероятность захвата электронов на энергетические уровни, которые в нормальном состоянии относятся к кору, значительно больше, чем на более высокие энергетические уровни. Действительно, при столкновениях с атомами газа, достаточно тяжёлыми для того, чтобы обладать собственным электронным кором, вероятность захвата электрона на оболочку, принадлежащую кору осколка, весьма значительна при каждом отдельном соударении, при котором коры атомов взаимно проникают друг в друга. Кроме того, в то время как электроны, находящиеся за пределами кора, легко теряются при соударениях с электронами и ядрами атомов газа, электроны, принадлежащие кору, при этом, очевидно, не могут быть потеряны, во всяком случае тогда, когда заряд осколка превосходит заряд ядра атома газа. Таким образом, с очень хорошей точностью можно полагать, что на всей длине пробега осколок увлекает за собой электроны, составляющие его кор.

В этой связи интересно заметить, что, вероятно, даже в самом процессе деления каждый осколок вылетает вместе со своим электронным кором как целое. Несмотря на силы, действующие при разрушении делящегося тяжёлого ядра, начальные скорости фрагментов оказываются в действительности значительно меньшими, чем орбитальные скорости большей части электронов соответствующего атома. Вследствие того что влияние поступательного движения ядерных осколков на эти электроны является почти адиабатическим, при любой скорости будет устанавливаться равновесие, подобное описанному, ещё до того, как осколки разойдутся на расстояния, сравнимые с размерами атома ³.

³ В одной из первых попыток оценить влияние захвата электронов на торможение продуктов деления ядер в процессе разлета Бек и Гавас (Compt. Rend., 1939, 208, 1643) предположили, что непосредственно после деления осколки почти полностью лишены электронов и что по мере прохождения через газ они постепенно захватывают электроны таким образом, что их заряды убывают со временем по экспоненциальному закону. Предполагая далее, что захват происходит настолько быстро, что осколки практически нейтрализуются прежде, чем их скорость уменьшится наполовину, и пренебрегая тормозящим и ионизирующим эффектом прямых ядерных столкновений, они пришли к заключению, что все ионизационные эффекты исчезнут ещё задолго до полной остановки осколков. В частности, в этом они видели возможное объяснение кажущегося расхождения между данными о пробегах, основанными на измерении ионизующей способности осколков, с одной стороны, и его положения как источника радиоактивности – с другой. Однако из того, что в конце пробега в камере Вильсона становятся очень заметными отклонения траектории осколка от прямой линии, вытекает, что упомянутое расхождение скорее следует отнести за счёт обычной тепловой диффузии осколков в газе за время радиоактивного распада, которое чрезвычайно велико по сравнению с интервалом, в течение которого осколок теряет всю его начальную скорость.

В предшествующей заметке торможение осколков рассчитывалось на основе следующей формулы (которая там не была выведена точно):

1

𝑁

𝑑𝑉

𝑑𝑥

=

4π𝑒⁴

𝑀₁𝑚𝑉³

(𝑍

₁

^эфф

)

²

∑

𝑠

ln

⎛

⎜

⎝

𝑚𝑉³

2πν_𝑠𝑒²𝑍₁^эфф

⎞

⎟

⎠

+

+

4π𝑒⁴𝑍₁²𝑍₂²

𝑀₁𝑀₂𝑉³

ln

⎛

⎜

⎝

𝑀₁𝑀₂

𝑀₁+𝑀₂

⋅

𝑉²𝑎₁₂^экр

𝑍₁𝑍₂𝑒²

⎞

⎟

⎠

,

(1)

где 𝑁 – число атомов газа в единице объёма, 𝑒 и 𝑚 – заряд и масса электрона, 𝑍₁𝑚, 𝑍₂𝑚 и 𝑀₁ и 𝑀₂ – заряды и массы ядер фрагмента и атомов газа соответственно, 𝑍₁^эфф – эффективный при соударении с электроном заряд ядра осколка и 𝑎₁₂^экр – расстояние между ядрами, на котором электронное экранирование эффективно кладёт предел взаимодействию их зарядов при близких столкновениях. Суммирование в первом члене правой части формулы (1) распространяется на различные электроны атомов газа или скорее на различные виртуальные атомные осцилляторы с частотами ν_𝑠, взятые с соответствующими весами.

Первый член учитывающий торможение осколка, которое происходит вследствие передачи энергии отдельным электронам атомов, соответствует прежней формуле ⁴ для описания торможения быстрых частиц, основанной на простом классическом рассмотрении. Она отличается от полученной Бете ⁵ в рамках борновского приближения квантовомеханической формулы множителем

ϰ

=

ℎ𝑉/4π𝐸

₁

𝐸

₂

(2)

в аргументе логарифма. Здесь ℎ – постоянная Планка, а 𝐸₁ и 𝐸₂ – заряды рассматриваемых частиц, т. е. в нашем случае 𝐸₁=𝑍₁^эфф𝑒 и 𝐸₂=𝑒. Причина, по которой в нашем случае используется классическая формула, а не формула Бете, состоит в том, что, как будет показано ниже, величина ϰ мала по сравнению с единицей на всём участке тормозного пути, где электронные взаимодействия являются существенным фактором торможения. Действительно, применительно к столкновению двух заряженных частиц простое квантовомеханическое рассмотрение является строгим только при ϰ≪1. Когда же ϰ≫1, хорошим приближением, несомненно, является классическая картина ⁶.

⁴ N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 25, 10; 1915, 30, 581 (статьи 4 и 13, т. I).

⁵ Н. А. Вéthе. Ann. d. Physik, 1930, 5, 325.

⁶ Cp.: F. Bloch. Ann. d. Physik, 1933, 16, 285; E. J. Williams. Sci. Progress, 1936, 121. Более подробное обсуждение см. в работе, цитируемой в примечании 11.

Второй член в формуле (1) учитывает торможение, возникающее в результате прямой передачи импульса от осколка атомам газа при близком ядерном столкновении. Так как немногие из таких столкновений приводят к возникновению ответвлений от трека осколка, основной вклад в торможение в конце пробега обусловлен многочисленными столкновениями, каждое из которых недостаточно эффективно для создания наблюдаемого ответвления и влияет только на ионизацию вдоль трека частицы. В этом случае величина ϰ весьма мала (∼10^-3) и, следовательно, реализуются условия, в которых классическое описание применимо с очень высокой степенью точности. В противоположность случаю электронных столкновений, когда предельная величина передаваемой энергии обусловлена динамическими свойствами атомных осцилляторов (на что указывает зависимость аргумента логарифма от ν_𝑠), предел, определяемый параметром 𝑎₁₂^экр, накладывает экранирование зарядов ядер сталкивающихся атомов статическим распределением заряда связанных электронов.

Приведённая в предыдущей заметке формула, описывающая скорость торможения осколков, была получена из соотношения (1) путём подстановки в него грубых оценок

𝑍

₁

^эфф

=

𝑉/𝑉

₀

 и

𝑎

₁₂

^экр

=

𝑎

₀

⎛

⎜

⎝

1

𝑍₁

+

1

𝑍₂

⎞

⎟

⎠

(3)

где использованы обычные обозначения

𝑎

₀

=

ℎ

²

/4π

²

𝑚𝑒

²

 и

𝑉

₀

=

2π𝑒

²

/ℎ

(4)

для радиуса электронной орбиты атома водорода и скорости электрона на ней. Однако более детальное рассмотрение распределения электронов в тяжёлых атомах, основанное на результатах, которые были получены статистическим методом Томаса – Ферми, приводит к более точным оценкам

𝑍

₁

^эфф

=

𝑍

₁

^1/3

𝑉/𝑉

₀

 и

𝑎

₁₂

^экр

=

𝑎

₀

⎛

⎝

𝑍

₁

^2/3

+

𝑍

₂

^2/3

⎞-1/2

⎠

(5)

Первое из равенств (5) определяет результирующий заряд осколка деления вместе с электронным кором при скоростях, не очень близких к 𝑉₀; второе выражение определяет эффективный радиус экранирования в ядерных столкновениях, который практически не зависит от скорости осколка во всём рассматриваемом интервале.

Подставляя значение 𝑍₁^эфф из (5) в формулу (2), получаем

ϰ

=

1/2

𝑍

₁

^2/3

,

(6)

откуда видно, что значение ϰ достаточно мало по сравнению с единицей, так как для осколков деления величина 𝑍₁^2/3 лежит в интервале от 3 до 4. Таким образом, оправдывается использование классической механики при выводе формулы (1). Для сравнения в дальнейшем с торможением α-частиц интересно наметить, что это значение ϰ оказывается даже значительно меньше значений ϰ^-1 для протонов и α-частиц в том же интервале скоростей. Относительно оправданности использования первого члена в формуле (1) для описания торможения осколков деления в результате столкновений с электронами можно заметить следующее. Линейные размеры кора осколка, радиус которого приближённо выражается формулой

𝑟

_𝑐

=

𝑎

₀

𝑍

₁

^1/3

𝑉

₀

/𝑉

,

(7)

разумеется, имеют как раз тот же порядок величины, что и минимальное расстояние, на которое в соответствии с классической механикой электрон, имеющий скорость 𝑉, может подойти к частице с зарядом 𝑍₁^эфф.

Как уже отмечалось в предыдущей заметке, формула (1) предсказывает, что скорость торможения почти не зависит от скорости осколка в начальной части пробега в соответствии с почти постоянным наклоном экспериментальной кривой скорость – пробег в этой области. Этот результат вытекает из линейной зависимости величины 𝑍₁^эфф от 𝑉, а также из того, что в рассматриваемом сейчас интервале скоростей сумма логарифмов в первом члене формулы (1) примерно пропорциональна 𝑉. При оценке абсолютной величины этой суммы путём сравнения с экспериментальными данными о торможении α-частиц такой же скорости необходимо иметь в виду, что в последнем случае в аргументе логарифма в формуле (1) присутствует множитель ϰ, поскольку к таким лёгким частицам следует применять формулу Бете; это приводит к значительной поправке. Оценка, основанная на предположении о статистическом распределении осцилляторов по частотам ν_𝑠 в тяжёлых атомах, приводит к результату, что значение суммы логарифмов, как и в случае α-частиц, почти пропорционально 𝑍₂^1/2 но его численное значение составляет лишь около ³/₅ от значения для α-частиц, имеющих ту же скорость.

Рис. 1. Эмпирические кривые скорость – пробег в аргоне (штрих-пунктирная кривая – для тяжёлого осколка, сплошная кривая – для лёгкого)

Поскольку сумма логарифмов очень нечувствительна к малым изменениям величины 𝑍₁, скорость торможения осколков деления с различными зарядом и массой должна быть в начале пробега пропорциональной 𝑍₁^2/3/𝑀₁. Поэтому в согласии с эмпирическими кривыми зависимости скорость – пробег в аргоне, приведёнными на рис. 1 ^{7, 8}, мы можем ожидать немного большего наклона кривой для более лёгкого из двух основных групп осколков деления с отношением масс и зарядов порядка 2:3, чем для более тяжёлого. Кроме того, как видно из рис. 1, путём линейной экстраполяции начального наклона кривой к нулевой скорости получается хорошая оценка действительной полной длины пробега. Опираясь на этот факт при вычислении длины пробега и используя для α-частиц известную формулу Гейгера, находим из первого члена (1) отношение между пробегом 𝑅_𝐹 осколков деления и пробегом 𝑅_α α-частиц с той же начальной скоростью

𝑅

_𝐹

/𝑅

_α

=

5(𝑀

₁

/𝑍

₁

^2/3

)

(𝑉

₀

/𝑉

₁

)

²

;

(8)

здесь при определении численного коэффициента учтена упоминавшаяся выше разница между значениями сумм логарифмов в двух рассматриваемых случаях. Соотношение (8) действительно оказывается в хорошем согласии с экспериментальными данными.

⁷ N. Bohr, К. J. Brostrøm, J. К. Bøggild, Т. Lauritsen. Phys. Rev., 1940, 58, 839 (Статья 64).

⁸ J. К. Вøggild, К. J. Brostrøm, T. Lauritsen. Kgl. Danske Vid. Sels. Math.-Fys. Medd. (Math.-Phys. Comm., Acad. Sci. Copenhagen), 1940, 18, 4. (См. примечание 11. – Ред.)

Это общее согласие можно рассматривать как чувствительный тест для оценки эффективного заряда быстрого осколка при столкновениях с электронами. Однако в этой связи необходимо отметить, что было бы неоправданно использовать аргументы такого рода для отождествления величины 𝑍₁^эфф с полным зарядом осколка при рассматриваемых скоростях. Действительно, более детальное рассмотрение показывает, что если у осколка имеются связанные электроны помимо кора, то уменьшение тормозящего и ионизующего действия будет существенно меньше того, которое соответствовало бы уменьшению полного заряда. Поэтому весьма интересно, что выполненное Перфиловым ⁹ прямое измерение заряда осколка по отклонению в магнитном поле осколков деления, выбитых в вакуум из тонких слоев U₃O₈, даёт значение около 20 𝑒. Это значение в действительности хорошо согласуется с формулой (5) для 𝑍₁^эфф в начале пробега, когда скорость 𝑉 порядка 𝑉₀.

⁹ Н. А. Перфилов. ДАН СССР, 1940, 28, 5.

Переходя к той части пробега, где скорость осколков близка к 𝑉₀ и где эмпирическая кривая скорость – пробег имеет почти платообразный характер, необходимо учитывать ряд обстоятельств, относящихся к применимости формулы (1). Во-первых, как уже отмечалось выше, оценка (5) величины заряда осколка справедлива только для скоростей 𝑉, значительно превышающих 𝑉₀. Когда же скорости меньше, заряд в действительности убывает быстрее и при скоростях, близких к 𝑉₀. стремится к единице, поскольку очень слабо связанные электроны в тяжёлых атомах удерживаются почти так же, как электрон в атоме водорода. Далее, основные предположения, положенные в основу вывода формулы (1) и состоящие в том, что скорость поступательного движения частицы существенно больше орбитальных скоростей атомных электронов и что размер частицы мал по сравнению с размерами атомных орбит, уже перестают выполняться, когда величина скорости 𝑉 приближается к 𝑉₀. По этим причинам скорость торможения в рассматриваемой области должна быть значительно меньше того почти постоянного значения, которое наблюдается при больших скоростях частиц. Это находится в согласии с постепенным уменьшением наклона кривой скорость—пробег.

Как раз в той части пробега, где скорость частицы порядка 𝑉₀, тормозящее действие ядерных соударений, которое в начальной части пробега играло очень незначительную роль по сравнению с эффектом электронных взаимодействий, постепенно становится, как было показано в предыдущей заметке, преобладающим и приводит к крутому наклону кривой скорость – пробег в самом конце пробега. Действительно, такой характер кривой соответствует очень быстрому возрастанию с уменьшением скорости множителя, стоящего перед логарифмом во втором члене формулы (1). Поскольку при 𝑉=𝑉₀ аргумент логарифма в этом члене всё ещё велик по сравнению с единицей (порядка 15), выражение для тормозящего действия ядерных столкновений остаётся справедливым при много меньших скоростях, чем первый член в формуле (1); это выражение приближённо выполняется вплоть до скоростей, много меньших 𝑉₀. В то время как логарифм очень нечувствителен к малым изменениям величины 𝑎₁₂^экр и его значение почти одинаково для тяжёлой и для лёгкой группы осколков, множитель перед логарифмом для тяжёлых осколков существенно больше. Это приводит к тому, что и наклон кривой скорость – пробег в конце пробега должен быть больше для этой группы в согласии с экспериментальными данными.

Ход эмпирической кривой зависимости скорости от пробега вблизи его конца находится также в хорошем количественном согласии со вторым членом формулы (1). Действительно, если сравнить длину пробега 𝑅₀ осколка, имеющего начальную скорость 𝑉₀, полученную из формулы (1) в предположении, что первый член в (1) вообще отсутствует, с найденной из этого члена описанным выше образом полной длиной пробега осколка 𝑅_𝐹 с начальной скоростью 𝑉_𝑖, то приходим к соотношению

𝑅

₀

/𝑅

_𝐹

=

𝑘

(𝑀

₂

/𝑚)

𝑍

₁

^-4/3

𝑍

₂

^-3/2

(𝑉

₀

/𝑉

_𝑖

)

,

(9)

где 𝑘 – константа, зависящая от логарифмов в обоих членах формулы (1) и равная примерно 0,07. Полагая 𝑉_𝑖=5𝑉₀, мы получаем из соотношения (9) для аргона 𝑅₀=𝑅_𝐹/10, что очень хорошо согласуется с ходом кривых на рис. 1.

Как отмечалось выше, отношение полных пробегов осколков деления и α-частиц практически одинаково для тяжёлых и лёгких газов. Однако, как видно из соотношения (9), мы можем ожидать, что отношение длины последней части пробега (где торможение целиком обусловлено столкновениями с ядрами) к полной его длине должно быть обратно пропорционально величине 𝑍₂^1/2 (за исключением водорода, для которого отношение 𝑀/𝑍₂ слишком мало). Этот вывод подтверждается также недавними экспериментами по измерению пробега осколков деления в гелии ¹⁰, которые показали, что длина его, выраженная в длинах пробега α-частиц, примерно на 20% больше, чем соответствующий пробег в аргоне. Это различие можно объяснить, если считать, что отношение 𝑅₀=𝑅_𝐹 в гелии в три раза больше, чем в аргоне, соответственно обратному отношению квадратных корней из зарядов этих ядер.

¹⁰ J. К. Bøggild, К. J. Brostrøm, Т. Lauritsen. Phys. Rev., 1941, 59, 275.

В измерениях пробегов осколков деления обнаружен весьма значительный разброс, который, как уже отмечалось в предыдущей заметке, следует отнести за счёт последней части пробега. Действительно, в начальной части пробега, где торможение обусловлено столкновениями с электронами, мы должны, как и в случае α-частиц, ожидать очень незначительного разброса, однако в конце пути, где торможение обязано соударениям с много более тяжёлыми частицами, разброс будет намного больше. Следуя вычислениям, которые были первоначально проведены для оценки разброса α-частиц ¹¹, можно ожидать для разброса, обусловленного ядерными столкновениями, что пробеги будут иметь статистическое распределение согласно формуле

𝑊(𝑅)

=

1

(2π)^1/2ξ𝑅₀

exp

⎡

⎢

⎣

–

(𝑅-𝑅₀)⁰

2ξ²𝑅₀²

⎤

⎥

⎦

,

(10)

где 𝑊(𝑅)𝑑𝑅 – вероятность того, что пробег лежит в интервале между 𝑅 и 𝑅+𝑑𝑅, величина 𝑅₀ —среднее значение пробега и ξ —численная константа, приближённо определяемая выражением

ξ

²

=

3𝑀

₁

𝑀

₂

/4(𝑀

₁

+𝑀

₂

)

²

.

(11)

Для гелия и аргона формула (11) даёт значения ξ, равные соответственно 0,16 и 0,37. Хотя относительный разброс в аргоне более чем в два раза превышает разброс в гелии, его абсолютная величина в них почти одинакова, так как значение 𝑅₀ наиболее чувствительной последней части пробега в гелии должно быть примерно в три раза больше, чем в аргоне. Согласно приведённым оценкам доли той части пробега, где преобладающую роль играет торможение за счёт ядерных столкновений, можно ожидать, что для обоих газов величина 𝑅₀ξ будет порядка 5% от полного пробега; это хорошо согласуется с экспериментом, в котором обнаружен как для аргона, так и для гелия, разброс как раз такого порядка ^{8, 10}.

Изложенные здесь соображения обсуждаются значительно более детально в статье, которая должна вскоре быть напечатана в «Communications of the Copenhagen Academy of Science» ¹¹. Особенно подробно в ней рассматриваются вопросы применимости простых механических соображений для описания торможения и рассеяния тяжёлых атомных частиц с большим зарядом, а также вопросы ионизации и захвата электронов этими частицами.

¹¹ N. Bohr. Kgl. Danske Vid. Sels. Math.-Fys. Medd. (Mat.-Phys. Comm., Acad. Sci. Copenhagen) 18, 8, 144. (Указанный том вышел лишь в 1948 г. Эта статья не вошла в настоящее издание. – Прим, ред.)

Добавление при корректуре. После того как данная статья была отправлена из Копенгагена, мы получили выпуск «The Physical Review» от 15 октября 1940 г., в котором напечатана статья В. Лэмба о прохождении осколков деления урана через вещество. В основных чертах она перекликается с изложенными здесь соображениями, и в ней получены аналогичные результаты. Однако в ряде пунктов имеются расхождения, которые мы прокомментируем в цитированной выше более подробной статье ¹¹; там же будут обсуждены результаты ряда самых последних экспериментальных работ.

Институт теоретической физики

Копенгагенского университета

Поступила 28 ноября 1940 г.