Текст книги "Круг Ландау"

Автор книги: Борис Горобец

сообщить о нарушении

Текущая страница: 39 (всего у книги 40 страниц)

«В мае 1952 года, на седьмом году моей работы заведующей библиотекой Института Физических проблем (ИФП) АН СССР, внезапно мне была вручена повестка явиться в Отдел кадров АН СССР. Сначала я была просто удивлена: зачем бы я там понадобилась, но потом встревожилась. Разные слухи ходили среди знакомых об этом учреждении. Мое предчувствие оправдалось. Зав. Отделом кадров (запомнила его фамилию – Яковенко) любезно встретил меня в своем кабинете и мгновенно исчез. Одновременно из двух различных дверей вышли два незнакомых мне человека, как я догадалась, сотрудники МГБ, уселись за стол, меня посадили напротив и стали задавать вопросы. Спросили, ездила ли я в начале лета 1951 года на Рижское взморье на машине вместе с Е.М. Лифшицем (Е.М.). Я ответила, что да, вместе с Е.М. и А.И. Шальниковым на две недели на дачу, которую снимала семья Шальникова. На вопрос, зачем Е.М. Лифшиц ездил с нами, я ответила то, что и было: он поехал, чтобы снять дачу для своей семьи, пробыл там четыре дня и уехал в Москву. Поясню, что, начиная с 1948 года, мы действительно проводили ежегодно отпуск вместе с моим будущим вторым мужем Е.М. Лифшицем. При этом и мой тогдашний муж С.Б. Ратнер, и жена Е.М. Лифшица – Е.К. Березовская об этом знали и воспринимали сложившуюся ситуацию спокойно. (Не хочу сейчас останавливаться на подробностях личной жизни ни нашей, ни наших тогдашних супругов. Это уводило бы от основной темы рассказа. Так уж сложилась наша жизнь в те годы.) Важно отметить, что летом 1952 года вместе с нами и Е.М. на юг ездил и Ландау. Итак, продолжу пересказ эпизода.

На вопрос, знал ли мой муж об этой поездке, я ответила, что, конечно, знал. После этого начались неясные вопросы с намеками, что им нужна какая-то моя помощь. Я сразу поняла, что это за «помощь», и приняла твердое решение ни за что не соглашаться. Но сделала вид, что у меня не хватает сообразительности и спросила, о какой помощи идет речь. Они ни за что не хотели сказать мне прямо, в чем должна заключаться моя «помощь». Наконец, я устала от этой словесной дуэли и прямо им сказала, что на меня нашло озарение – я догадалась. Тут же они «мертвой хваткой» впились в меня, чтобы я сказала, о чем же я догадалась. Но я ответила, что если они не хотят сказать мне прямо, чего от меня ждут, то и я имею право им не сообщать о своей догадке.

Начались угрозы, говорили, что будет плохо мне, моему мужу и детям, если я не соглашусь им помогать. Но я не сдавалась. Наконец им тоже надоело «толочь воду в ступе» и передо мной положили страницу напечатанного текста о моем отказе, о том, что я никогда никому не расскажу, где я была и о чем шел разговор.

Слава богу, полуторачасовой «разговор» подошел к концу, и я обещала никому, кроме своего мужа, об этом не рассказывать. Я нарочно сказала им, что посоветуюсь с мужем (и, кстати, сделала это в тот же день, а потом рассказала об этом также и Е.М., от которого впоследствии об этой попытке вербовки узнал и Ландау). Мне захотелось хоть как-то «отплатить» за их провокационный вопрос о муже, заданный в начале разговора, дать понять, что здесь их шантаж не срабатывает. Когда я произнесла эти слова, один из сотрудников МГБ снова стал угрожать мне и всей моей семье. Но я стояла на своем: якобы не понимаю, почему о таком существенном событии я не могу посоветоваться с мужем, от которого в принципе у меня нет такого, чего не могла бы с ним обсудить. В конце концов я подписала предложенную бумагу об отказе от разглашения содержания этой беседы.

Кара за отказ сотрудничества последовала быстро. Когда после летнего отпуска в институт вернулся академик А.П. Александров (директор ИФП в ту пору, когда П.Л. Капица был опале) он вызвал меня к себе. Очень мягко и сочувственно он сообщил, что вынужден меня уволить, так как по не известным ему причинам мне не могут дать «секретную форму», которая теперь требуется для зав. библиотекой (?!) И даже обещал помочь в поисках новой работы. Осенью 1952 г. я была уволена из Института физпроблем. Это было как раз в разгар «дела врачей», и работу было найти нелегко. Но здесь мне повезло, без работы я оставалась недолго. Мне предложила новую работу секретарь партбюро Центральной библиотеки АН СССР (ее фамилия Орлова, а инициалов я не помню), она была известна как очень отзывчивый человек. Орлова предложила мне должность зав. библиотекой Института этнографии АН СССР. На мой вопрос о том, требуется ли и там засекречивание, она махнула рукой и сказала, что не требуется. С января 1953 г. я приступила к работе в Институте этнографии.

З.И. Горобец-Лифшиц. 30 мая 2000».

Дополнение по теме. Из рассказа З.И. в начале 2000-х гг.

Когда в 1955 г. академик П.Л.Капица вновь был назначен директором Института физпроблем, то он сразу же выступил на общем собрании сотрудников института. Всех приветствовал, особенно старых сотрудников, которых был вынужден покинуть в 1946 г. В частности, Капица обратился ко всем со следующей нестандартной просьбой. Он просил сотрудников не обижаться на него за то, что он не будет отвечать на приветствия при встрече в коридорах института. Сотрудников стало много, он не может отягощать свое внимание, замечая всех и помня, с кем уже здоровался, а с кем нет. При этом он просит сотрудников тоже не здороваться с ним при случайных встречах в институте: он будет это считать нормальным. Так оно и было потом.

В 1956 г. З.И. приступила к работе в редакции ЖЭТФ, которая помещалась на территории ИФП. Когда Капица случайно встречал ЗИ в коридорах или во дворе ИФП, то всегда ее замечал, подходил и жал руку. Сначала она не понимала, почему он сделал для нее исключение. Потом предположила, что Капица узнал каким-то образом (наверное, это было нетрудно), что бывшая заведующая библиотекой была вынуждена уволиться в 1952 г. из ИФП. Возможно, он догадался об истинной причине увольнения, но вполне вероятно, что у него были и свои каналы для получения более точной информации. Понятно, что, здороваясь за руку персонально, он хотел выразить как свое уважение, так и сочувствие за происшедшее при прежнем, «временном» директоре его, капицынского института.

Докладная записка в ЦК КПСС (1956)

(Цитируется по книге А.М. Блоха «Советский Союз в интерьере Нобелевских премий» [2001. С. 343–345)]

Заведующий отделом науки, вузов и школ ЦК КПСС В.А. Кириллин, заместитель заведующего Н.И. Глаголев, инструктор А. С. Монин

В ЦК КПСС, от 16.1.1956,

30 ноября– 1 декабря 1955– г. Отделение физико-математических наук Академии наук СССР проводило научную сессию, посвященную 50-летию теории относительности. В подготовке и проведении сессии имелись серьезные недостатки.

Программа сессии, подготовленная оргкомитетом, в который входили академики Тамм и Ландау, член-корреспондент АН СССР Гинзбург и проф. Лифшиц, была неудовлетворительной, так как в нее были включены доклады академика Ландау, члена-корреспондента АН СССР Гинзбурга и профессора Лифшица, не работающих в области теории относительности и известных своим нигилистическим отношением к выработке методологических вопросов этой теории, и предусматривалось лишь одно сообщение специалиста, непосредственно занимающегося исследованиями по теории относительности (члена-корреспондента АН СССР Михайлова). Не были предусмотрены доклад крупнейшего специалиста по теории относительности академика Фока, доклады по методологическим вопросам и доклады специалистов Московского государственного университета, много занимавшихся вопросами теории относительности.

Отдел науки и вузов ЦК КПСС указал на эти недостатки президенту АН СССР т. Несмеянову. Программа сессии была расширена: на первое заседание были намечены доклады академика Ландау и членов-корреспондентов АН СССР Гинзбурга, Михайлова и Александрова, на второе заседание – доклады академика Фока, члена-корреспондента АН СССР Субботина и профессоров Лифшица и Широкова. Однако намеченный порядок сессии не был соблюден, так как т. Александров, предполагавший выступить на сессии с методологическим докладом, был извещен о сроке и теме доклада по своему ленинградскому адресу лишь вечером накануне доклада и не смог своевременно прибыть на сессию. В результате этого по предложению председательствовавшего на сессии академика Тамма на первом заседании вместо доклада т. Александрова был заслушан доклад т. Лифшица, так что первое заседание состоялось по программе, предварительно намечавшейся оргкомитетом для всей сессии. На второе заседание значительная часть ученых, в том числе академик Ландау и многие его ученики, уже не явилась.

Запросив у некоторых участников сессии тезисы их докладов, оргкомитет не запросил тезисов у т. Лифшица. Стенограммы на заседании сессии не велись. Эти упущения оказались серьезными, так как в докладе т. Лифшица имелись серьезные идеологические ошибки. Указанный доклад, посвященный обзору исследований по релятивистской космологии, явился существенной пропагандой идеалистической «теории расширяющейся вселенной». Эта «теория», являющаяся незаконным распространением на вселенную в целом нестационарных решений уравнений тяготения Эйнштейна, была построена аббатом Лемэтром по прямому заказу римского папы. Согласно этой «теории» вселенная имеет конечный возраст; в момент своего образования она занимала ничтожно малый объем, а затем стала расширяться; такое расширение имеет место и в настоящее время.

Не упомянув ни слова о многочисленных исследованиях советских ученых, посвященных критике «теории расширяющейся вселенной» и правильному толкованию проблем космологии (работы т.т. Фесенкова, Богородского, Зельманова, Огородникова, Фока и других авторов), т. Лифшиц преподнес указанную теорию как разумное научное построение, якобы подтверждающееся всеми экспериментальными данными. Игнорируя работы по иерархической структуре распределения материи во вселенной, в частности, по структуре метагалактики, т. Лифшиц утверждал, что материя распределена во вселенной с постоянной в среднем плотностью, как это допускается в «теории расширяющейся вселенной», и заявил, что по значению этой плотности можно определить, имеет ли «расширяющаяся вселенная» конечный или бесконечный объем. Приведенная т. Лифшицем оценка оказалась как раз на грани между этими возможностями.

Далее т. Лифшиц подсчитал возраст вселенной (называя его «характерным временем»). Совпадение полученного «возраста» (несколько миллиардов лег) с определенным радиоактивным методом возрастом геологических пород Земли, указывающее на бессмысленность такой оценки не только для метагалактики, но и для отдельных галактик, т. Лифшиц объявил неслучайным и утверждал, что это совпадение якобы подтверждает «теорию расширяющейся вселенной». Это заявление было поддержано выступившим членом-корреспондентом АН СССР Зельдовичем, по данным которого тот же возраст имеют не только геологические породы Земли, но и химические элементы вообще. При этом было использовано выражение «время с момента, когда был спущен курок». При изложении перечисленных вопросов т. Лифшиц не делал никаких оговорок об ограниченной применимости рассматриваемых «моделей» и об их идеологическом смысле.

Хотя прений на сессии не предусматривалось, академик Фок счел необходимым выступить с замечанием по докладу т. Лифшица, указав, что изложенные в докладе «модели» не следует понимать буквально, и что они могут быть использованы лишь для попыток описания «фона» поля тяготения в отдельных конечных частях вселенной. Оценку доклада т. Лифшица как идеалистической вылазки подтвердили присутствовавшие на сессии специалисты – астроном член-корреспондент АН СССР Паренаго и философ проф. Кузнецов.

Недостатки имелись также в докладах т.т. Ландау и Гинзбурга. Характеризуя научное творчество А. Эйнштейна, т. Ландау преподнес свое личное отрицательное мнение о критике Эйнштейном логических основ квантовой механики и об исследованиях Эйнштейна по единой теории поля как бесспорное положение. Доклад т. Гинзбурга по экспериментальной проверке теории относительности был сделан поверхностно, на невысоком научном уровне, что стало очевидным после конкретных докладов на ту же тему тт. Михайлова и Субботина. Следует также отметить, что после доклада т. Фока т. Гинзбург вступил с ним в дискуссию, критикуя положения т. Фока, позволяющие сделать вывод о преимуществах системы Коперника перед системой Птоломея.

Президиум АН СССР уже не впервые проявляет недостаточное внимание к подготовке и проведению совещаний при Отделении физико-математических наук АН СССР. Так, серьезные недостатки имелись при проведении весной 1955 года всесоюзного совещания по квантовой электродинамике и теории элементарных частиц. Эти недостатки были обсуждены бюро Отделения физико-математических наук, но президиум АН СССР не сделал никаких выводов из указанного обсуждения и не принял мер против повторения подобных недостатков в будущем.

Считали бы необходимым указать президиуму АН СССР на недостаточное внимание к подготовке и проведению совещаний при Отделении физико-математических наук, а также предложить президиуму АН СССР организовать в месячный срок обсуждение идеологических ошибок, допущенных в докладе т. Лифшица, в бюро Отделения физико-математических наук. Просим Вашего согласия.

В левой части первого листа запись: «Согласиться. Поручить т. Кириллину сделать это в какой-либо форме… (далее неразборчиво). Д. Шепилов. 26.1.56». Ниже – подписи П. Поспелова, М. Суслова, А. Аристова, Н. Мухитдинова. ЦХСД, фонд 5, опись 35, ед. хр. 19, л. 70–73.

Письмо академика E.Л. Фейнберга в газету «Московские новости»

НЕ СОГЛАСЕН

(Опубликовано с купюрами в газете «Московские Новости» № 32, 20–26 августа 2002 г.

Ниже полужирным выделены места, вырезанные бывшими руководителями редакции этой газеты)

Главному Редактору газеты «Московские новости»

г-ну Виктору Лошаку

Непостижимым образом в уважаемой газете МН от 5 августа с.г. появилась пошлая, наполненная ложью статья о книге жены академика Ландау (1908–1968). Разбираться в ней подробно не стоит и неприятно, ограничусь тремя замечаниями.

1. Все физики, знавшие Ландау, относятся к этой книге крайне отрицательно, многие с отвращением. Конечно, если очистить ее от лжи, она может представить интерес для психолога и психиатра.

2. Один пример клеветы – перенесенное из этой книги без колебаний и малейшего понимания вопроса поношение выдающегося ученого, академика АН СССР Е.М. Лифшица (не «Лившица», как беззаботно пишет ничего не знающий о мире физиков рецензент[107]107
  Под рецензентом имеется ввиду Золотоносов М., подписавший заметку «Гений глазами жены». Прим. Б.Г.


[Закрыть]). Это ближайший друг, ученик, соавтор Ландау по созданию уникального 10-томного курса теоретической физики, многократно переиздававшегося и у нас, и во многих странах (Лифшиц продолжил его после катастрофы 1962 г., сделавшей Ландау неработоспособным). Трудно представить себе, как без его организованности, широты знаний, полного взаимопонимания с Ландау, научной честности этот труд-подвиг был бы совершен. Как и то, что без его любви к Ландау, без четкого руководства деятельностью физиков по помощи врачам удалось бы вернуть Ландау к жизни.

3. Изливается клевета и на автора ценной книги о Ландау – Анну Михайловну Ливанову, физика, автора не только этой книги (которую рецензент неизвестно почему назвал «курьезной книжонкой», хотя она переиздана в Англии в Пергамон-пресс и во многих других странах), но и ряда книг о физиках и физике. В «курьезной книжонке» о Ландау ценно не только то, что написано о нем самом, но и интересные, компетентные рассказы о его ближайших учениках, об атмосфере знаменитого общемосковского семинара Ландау. Всех этих людей она лично знала. Беззаботно рецензент пишет, что у Ливановой «ничего не говорится о катастрофе 1962 г. не приведена дата смерти!». Это ложь самого рецензента, видимо, даже не читавшего книгу Ливановой (в издании 1983 г. мог бы посмотреть стр. 15 и 57).

Как все это могло произойти?

Академик РАН Е.Фейнберг

Популярная математическая «Игра Ландау»

Ниже приводится цикл заметок из журнала Наука и жизнь об «игре Ландау в номера». Первые заметки об этой игре и ее правилах были опубликованы М.И. Кагановым в журнале «Природа» (1975, № 8.) и книгах:

«Воспоминания о Л.Д. Ландау» [1988] и [Каганов, 1988]. В юности я слышал об этой игре от матери, а позже прочел о ней в упомянутых книгах. На меня произвели особенное впечатление номера, не решенные Ландау («неподдающиеся случаи», по словам М.И. Каганова), а также следующие слова из диалога Каганова с Ландау:

«Всегда ли можно “сделать” равенство из автомобильного номера?» – спросил я у Ландау. – «Нет», – ответил он весьма определенно. – Вы доказали теорему о несуществовании решения?» – удивился я. – «Нет», – убежденно сказал Лев Давидиович, – но не все номера у меня получались».

Несмотря на это один из харьковских математиков нашел формулу общего решения этой игровой задачи Ландау. В своих заметках М.И. Каганов не указал его имени, но в ответе на мое письмо к нему вспомнил, что «это был Юра Палант». Математик нашел довольно громоздкую формулу, представляющую собой суперпозицию нескольких тригонометрических функций, в т. ч. аркфункций. «Работает» она медленно, шаг за шагом уменьшая одну из цифр в номере на единицу, до тех пор пока обе пары цифр не сравняются. «Я привел доказательство Ландау. Оно ему очень понравилось…, – пишет Каганов – и мы полушутя, полусерьезно обсуждали, не опубликовать ли его в каком-нибудь научном журнале».

Мне показалось, что игра Ландау заслуживает дальнейшей популяризации. Она дает огромный набор примеров любого уровня сложности, от простейших тестов для школьников до весьма сложных частных или даже общих решений, достигающих «олимпиадного уровня». Мне также удалось найти простое новое общее решение задачи Ландау, которое мгновенно, в отличие от решения Юрия Паланта, обеспечивает равенство любых пар цифр. Оно достигается, если потребовать равенства синусов от факториального аргумента, выраженного в градусах, что приводит к равенству нулей (во всех сложных случаях). Я написал заметку на эту тему в журнал Наука и жизнь. После публикации редакция получила массу писем с весьма остроумными частными решениями конкретных трудных случаев. Был получен также один новый вариант общего решения (в письме кандидата физ. – мат. наук С. Федина из Московской области, Щелково-3), помещенный ниже.

Б.Горобец

Б.С.Горобец

ИГРА ЛАНДАУ В НОМЕРА

(Наука и жизнь, № 1,2000. Текст дается в варианте, поступившем в редакцию)

Друзья знаменитого физика, Нобелевского лауреата Льва Давидовича Ландау (1908–1968) вспоминают, что путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам поиграть в номера автомашин. Игру он сам и придумал (см. статьи М.И. Каганова и З.И. Горобец-Лифшиц в книге «Воспоминания о Л.Д. Ландау», Москва, 1988). В то время номера машин состояли из двух букв и еще двух пар цифр. Нужно было найти такие математические действия, которые позволили бы приравнять обе пары цифр. Для этого нужно подобрать и вставить в каждую пару цифр подходящие знаки действий и символы элементарных функций: +, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, факториал (!) (Напомним, что факториал – знак произведения последовательности натуральных чисел 1∙2∙…∙n = n! Его раньше изучали в школьной программе в разделе «Комбинаторика».) Между обеими парами цифр необходимо вставить знак равенства.

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71–15. Вы тут же сообщаете спутникам: ⁷√1 = 1⁵. Это очень легкий номер. А вот номер посложнее: 53–41. Приравнять его можно с помощью факториала: – (5–3!) = √4–1. Еще пример: 75–33; равенство из него: 7–5 = log_√33. Обратите внимание, здесь применен способ получить 2 с помощью логарифма; этот прием можно использовать для любой пары одинаковых цифр, начиная с 22.

Конечно, сегодняшний школьник может предложить продифференцировать числа в номере, стоящие по обе стороны черточки – производная от постоянной величины равна нулю. Однако это запрещено правилами игры Ландау: дифференцирование – действие из высшей математики. К тому же такой тривиальный способ решения лишил бы игру всякого интереса, соревновательного или тренировочного.

Навык находить равенство приобретается довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно решить? Такой вопрос и задал М.И. Каганов академику Ландау. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему не существования решения?» – спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, – ответил Ландау. – Например, номер 75–65.»

Далее М.И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой харьковских физиков и математиков. Один из математиков, имя которого, к сожалению, не сообщается, отнесся к игре серьезно. Он вывел формулу универсального решения задачи. Вот она: – √N + 1 = sec arctg √N. Суть формулы: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, N используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства.

Для вывода этой формулы необходимо знать, что: 1) tg arctg х = х; 2) 1/соs²x = tg²x + 1. Проделаем следующие тождественные преобразования. N + 1 = (√N)² + 1 = tg²arctg √N +1 = 1/cos²arctg √N = sec²arctg √N. Извлекая корень из N + 1 слева и из секанса в квадрате справа, получаем окончательную формулу.

Заметим, что вот уже более 20 лет, как из школьной тригонометрии исключили секанс и косеканс. Нынешние школьники не знают, что sec x = 1/cos х, cosec х = 1/sin х и обходятся без них. В игре Ландау нельзя, однако, обойтись без секанса, так как выражение его через косинус содержит 1 в числителе, что запрещено правилами игры.

Разумеется, полученная формула не может рассматриваться как практическое средство ведения игры, поскольку она как раз наносит смертельный удар по игре как таковой. Строго говоря, нужно ввести в правила игры пункт, запрещающий применение универсальных формул. Поиск же последних можно рассматривать как самостоятельную математическую игру более высокого уровня сложности.

В заключение приводим еще несколько примеров «неподдающихся» номеров: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37.

В наши дни номера машин стали непригодными для игры. (И слава Богу – не будут отвлекать внимание водителя. Рассказывают, что академик Е.М. Лифшиц, друг и соавтор Ландау по знаменитому курсу теоретической физики, играл с ним сидя за рулем, и нередко выигрывал.

Если под рукой нет случайных чисел, берите две последние пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Или придумайте другой источник номеров. Может быть; кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.

*****

С.Н. Федин

СНОВА ОБ ИГРЕ ЛАНДАУ В НОМЕРА

(Наука и жизнь, № 4, 2000)

Ни одна пристойная игра не лишена какой-то поучительности.

Николай Кузовский. «Игра в шар»

С удовольствием прочитал заметку профессора Б. Горобца (см. Наука и жизнь № 1, 2000 г.) о занимательной игре-головоломке, придуманной в свое время академиком Л.Д. Ландау. Напомню вкратце суть игры: требуется с помощью знаков арифметических действий и символов элементарных функций (т. е. +, —, V, sin, cos, arcsin, arctg, lg и т. д.) привести к одному и тому же значению два произвольных двузначных числа. При этом допускается использование факториала (n! = 1∙2∙… n), но не допускается использование секанса, косеканса и дифференцирования.

Например, если наудачу выбрана пара чисел 32–88 (во времена Ландау в качестве случайного датчика таких пар чисел выступали четырехзначные номера проносящихся мимо машин), то искомое равенство достигается следующим образом:

√(3–2) = log₈8 (или менее вычурно: 3–2 = 8: 8).

Однако не все номера «решаются» так просто. В процитированной заметке автор указывает даже несколько и вовсе «неподдающихся» номеров: 59–58, 47–73, 47–97, 27–37 и 75–65 (этот номер якобы не удавалось «решить» и самому Ландау). Попутно предлагается найти какой-либо универсальный подход, единую формулу, позволяющую «решать» любую пару номеров. В заметке даже приводилась одна такая формула:

√N + 1 = sec arctg √N, позволяющая в результате неоднократного применения выразить любую цифру через любую меньшую. Однако в этой формуле используется «запрещенный» секанс (он не входит в школьную программу), а посему ее нельзя считать удовлетворительной.

Мне удалось найти общий метод «решения» любого номера, не выходя за рамки, очерченные в начале этой заметки. Для этого воспользуемся тождествами:

tg (arcctg х) = 1/х, cos(arctg х) = 1/(√(1 + δ²)

Они получаются из равенств:

tg (arcctg х) = 1/ctg(arcctg x) = 1/x,

sin(arctg x)/cos(arctg x) = x,

sin²(arctg x) + cos²(arctg x) = 1.

Решая систему из двух последних уравнений, получим искомое тождество.

Обозначив левые части этих равенств соответственно через f₁(x) и f₂(x), а композицию этих функций f₁(f₂(x)), через f(x), получим: f(N) = (1 + N)^1/2, откуда окончательно

f(√N)= √(1 + N²)

(или tg arcctg cos arctg = √(1 + N)

Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других цифр, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау-Горобца. Возьмем, к примеру, один из «неподдающихся» номеров: 59–58. Тогда решение будет таким:

5 + √9 = 5 + f(√8), где f(√8) = √9 = 3.

Разумеется, приведенный универсальный метод – не единственный, можно было бы придумать еще несколько подобных. Однако все они так или иначе используют тригонометрические тождества. Поэтому интересно, усложняя задачу, попытаться найти общее «решение» игры, не используя тригонометрию.

Предлагаю одну из возможностей. Коль скоро разрешается пользоваться факториалом, то почему бы не воспользоваться знаками [] и {} соответственно целой и дробной части числа (как и факториал, они не входят в программу обычных школ, но широко применяются в элементарной математике и, как правило, их проходят в «продвинутых» классах и школах). Напомню, что [х] – это наибольшее целое число, не превосходящее х (например, [4,32] = 4, [—2,8] = —3 и т. д.), [х] = х – [х] (так, {1,2} = 0,2, (—0,6] = 0,4).

Введение только этих функций сразу дает несколько тривиальных решений нашей задачи. Например, достаточно взять дробную часть от обоих двузначных чисел и в результате получить в обоих случаях ноль.

А ведь можно еще использовать известные со школьной скамьи знаки модуля, длины вектора (скажем, |√2; √7 |= √(2 + 7) = 3) и так далее.

*****

ИГРА ЛАНДАУ В НОМЕРА ПРОДОЛЖАЕТСЯ

(Редакционная статья в журнале Наука и жизнь № 6, 2001.

Ее автор – зав. физико-математическим отделом журнала С.Д. Транковский)

Заметка доктора геолого-минералогических наук Бориса Соломоновича Горобца «Игра Ландау в номера» (см. Наука и жизнь № 1, 2000 г.) вызвала у читателей журнала огромный интерес. Напомним, в чем состояла суть игры.

Предлагалось из цифр двух пар случайных чисел составить равенство, используя только знаки арифметических действий и тригонометрических функций. Академик Л. Д. Ландау придумал эту игру, чтобы скоротать время при поездках в машине, и использовал в ней номера попутных автомобилей. Он признался, что некоторые номера решению не поддаются. В статье был приведен их перечень.

Редакция получила несколько десятков писем с различными вариантами решений «неподдающихся» номеров; часть их была опубликована (см. Наука и жить № 10. 2000 г.; № 1, 2001 г.). Общий метод решения любого номера, отличающийся от приведенного Б. Горобцом, дал математик С. Федин, давний автор журнала (см. Наука и жизнь № 4, 2000 г.). Сегодня мы продолжаем обзор новых читательских писем.

Наименьшее затруднение по-прежнему вызывает пара 58–59: решение 5∙8 = 5!/√9 прислали С. Медведев (г. Егорьевск), В. Идпатулин (г. Ижевск), Е. Аникин (г. Мийск), С. Масилевич (г. Солигорск) и В. Донченко (г. Ростов-на-Дону); решение 5!/8 = 5√9 – К. Кузнецов (Москва), А. Залесов (Москва), семья Аюповых (пришло по электронной почте без адреса), А. Пикапов (г. Новокуйбышевск). А доцент Днепропетровского университета А. Дышлис отметил, что эти решения симметричны: первое при умножении обеих частей равенства на √9/8 превращается во второе.

Е. Головин (г. Сыктывкар) прислал сразу несколько решений, часть из которых, к сожалению, некорректна – цифры в них идут не в том порядке. Верных решений было три:

27 – 37: 2 ⁷ = (sin arcctg √3)⁷, так как arcctg √3 = π/6, sin π/6 = 1/2;

59 – 58: —lg – (5–9) = lg sin arcctg √(-(5–8));

47 – 97: Ig sin arcctg √-(4 – 7) = – lg(9–7).

He менее интересные решения прислали и уже упомянутые выше авторы. К. Кузнецов, студент факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, дал самые простые варианты из всех присланных:

47 – 73: √4 ln √7 = ln (7!/((3!)!);

47 – 97: √4 ln √7 = – ln(((√/9)!)!/7!);

27 – 37: 2ln √7 = —ln((3!)!/7!).

При этом он считает, что на самом деле решил всего один пример: последние два равенства легко получаются из первого.

B. Донченко предложил сразу несколько вариантов (аргументы тригонометрических функций нужно рассматривать в градусной мере): _

47 – 73: tg((-(√4–7))!)° = tg(7!/3!)°,

4 – sin(7!)° = 7–3;

47 – 97:4 – sin(7!)° = – (√9–7),

4 – 7 = – (√9 – sin(7!)°),

√(√4 + 7) = √9 – sin(7!)°);

27 – 37: √(2 + 7) = 3 – sin(7!)°).

C.Масилевич те же номера представляет в виде:

47 – 73: cos (4∙7!)° = lg(7 + 3);

47 – 97: cos (4∙7!)°° = cos (9∙7!)°;

27 – 37: cos (2∙7!)° = lg(3 + 7).

Семья Аюповых использовала двойной факториал!!. Этот редко применяемый символ означает произведение либо только четных чисел, либо только нечетных, в зависимости от характеристики числа, при котором он стоит (например, 6!! = 2∙4∙6, а 7!! = 3∙5∙7).

47—73: 4!! – 7 = 7–3!;

47 – 97: – 4 + 7 = √(9!!/7!!) (9!!/7!!).

В. Идпатулин обошелся без тригонометрических формул:

47 – 73: ^√4√7! = √(7∙(3!)!);

47 – 97: ⁴√7! = √(√9))∙7;

27 – 37: ^2√7! = √((3!)∙7). (По его собственному признанию, этот номер получился «похуже» – двойка при квадратном корне все-таки не ставится.)

И. Довганчук (г. Новосибирск) проанализировал большое количество пар чисел и нашел, что наибольшее их число решается при помощи только арифметических и алгебраических действий, а некоторые – путем однократного применения тригонометрических функций. Однако есть номера, которые можно решить только путем двух-трехкратного применения тригонометрических функций, например:

00 – 26:,

0 + 0 = tg arcsec tg arcsec √√(-2 + 6)

К ним, по мнению автора, относятся следующие пары номеров:

00 – (26, 27, 38, 47, 57, 58, 62,68, 72, 74, 83, 85, 86);

01 – (27, 47, 58, 72, 74, 85);

05 – (26, 57, 62, 68, 75, 86);

06 – (57, 75);

07 – (26, 38, 57, 58, 62, 68, 75, 83, 85, 86);

08 – (27, 38, 47, 57, 58, 68, 72, 74, 75, 83, 85, 86);

10 – (27, 47, 58, 72, 74, 85);

70 – (58, 85);

80 – (27, 47, 58, 72, 74, 85).

Их он предлагает попытаться решить без применения тригонометрии. Думается, у читателей это должно получиться. Дело упрощает то, что по определению 0! = 1, и некоторые пары получают очень простое выражение:

00 – 68: 0! + 0! = – 6 + 8;

07 – 26: 0! + 7 = 2 + 6;

00 – 38: 0! + 0! = ³√8;

05 – 62: 0! – 5 = – (6–2).

Игра Ландау в номера продолжается.

ИГРА ЛАНДАУ – новые общие решения

(Наука и жизнь, № 12, 2001)