Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (КО)"

Конечная математика

Коне'чная матема'тика, область математики, занимающаяся изучением свойств структур финитного (конечного) характера, которые возникают как внутри математики, так и в её приложениях. К числу таких конечных структур могут быть отнесены, например, конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машина Тьюринга и т. п. Иногда допускают расширение предмета К. м. до произвольных дискретных структур и приходят к дискретной математике, отождествляя последнюю с К. м. К таким структурам могут быть отнесены некоторые алгебраические системы, бесконечные графы, определённые виды вычислительных схем, клеточные автоматы и т. д. В качестве синонима понятий «К. м.» и «дискретная математика» иногда употребляется термин «дискретный анализ». Ниже термин «К. м.» понимается в широком смысле, включающем дискретную математику.

  В отличие от К. м., классическая математика в основном занимается изучением свойств объектов непрерывного характера. Использование классической математики или К. м. как аппаратов исследования связано с тем, какие задачи ставит перед собой исследователь и, в связи с этим, какую модель изучаемого явления он рассматривает, дискретную или непрерывную. Так, например, при нахождении массы радиоактивного вещества в данный момент с определённой точностью можно считать, что процесс изменения массы при радиоактивном распаде носит непрерывный характер, и в то же время ясно, что на самом деле этот процесс дискретен. Само деление математики на классическую и дискретную в значительной мере условно, поскольку, например, с одной стороны, происходит активная циркуляция идей и методов между ними, а с другой – часто возникает необходимость исследования моделей, обладающих как дискретными, так и непрерывными свойствами одновременно. Следует отметить также, что в математике существуют подразделы, использующие средства дискретной математики для изучения непрерывных моделей (например, алгебраическая геометрия ) и, наоборот, часто средства и постановки задач классического анализа используются при исследовании дискретных структур (например, асимптотические вопросы в теории чисел). Эти примеры указывают на известное слияние рассматриваемых областей.

  К. м. представляет собой важное направление в математике, в котором можно выделить характерные для К. м. предмет исследования, методы и задачи, специфика которых обусловлена в первую очередь необходимостью отказа в К. м. от основополагающих понятий классической математики – предела и непрерывности – и в связи с этим тем, что для многих задач К. м. сильные средства классической математики оказываются, как правило, мало приемлемыми. Наряду с выделением К. м. путём указания её предмета можно также определить К. м. посредством перечисления подразделов, составляющих К. м. К ним в первую очередь должны быть отнесены комбинаторный анализ , графов теория , теория кодирования , теория функциональных систем и некоторые другие. Часто под термином «К. м.», предполагая, что её предмет исчерпывается конечными структурами, понимается именно совокупность перечисленных дисциплин. Как отмечалось, возможно и более широкое толкование К. м. за счёт расширения понимания её предмета. С этой точки зрения к К. м. могут быть также отнесены как целые разделы математики, например математическая логика, так и части таких разделов, как теория чисел, алгебра, вычислительная математика, теория вероятностей и другие, в которых изучаемый объект носит дискретный характер.

  Элементы К. м. возникли в глубокой древности и, развиваясь параллельно с другими разделами математики, в значительной мере являлись их составной частью. Типичными для того периода были задачи, связанные со свойствами целых чисел и приведшие затем к созданию теории чисел. К их числу могут быть отнесены отыскания алгоритмов сложения и умножения натуральных чисел у древних египтян (2-е тыс. до н. э.), задачи о суммировании и вопросы делимости натуральных чисел в пифагорийской школе (6 в. до н. э.) и т. п. Позже (17—18 вв.), в основном в связи с игровыми задачами, появились элементы комбинаторного анализа и дискретной теории вероятностей (Б. Паскаль , П. Ферма и др.), а в связи с общими проблемами теории чисел, алгебры и геометрии (18—19 вв.) возникли важнейшие понятия алгебры, такие как группа, поле, кольцо и др. (Ж. Лагранж , Э. Галуа и др.), определившие развитие и содержание алгебры на много лет вперёд и имевшие по существу дискретную природу. Стремление к строгости математических рассуждений и анализ рабочего инструмента математики – логики привели к выделению ещё одного важного раздела математики – математической логики (19– 20 вв.). Однако наибольшего развития К. м. достигла в связи с запросами практики, приведшими к появлению новой науки – кибернетики и её теоретической части—математической кибернетики (20 в.). Математическая кибернетика, непосредственно изучающая с позиций математики самые разнообразные проблемы, которые ставит перед кибернетикой практическая деятельность человека, является мощным поставщиком идей и задач для К. м., вызывая к жизни целые новые направления в К. м. Так, прикладные вопросы, требующие большой числовой обработки, стимулировали появление сильных численных методов решения задач, оформившихся затем в вычислительную математику , а анализ понятий «вычислимость» и «алгоритм» привёл к созданию важного раздела математической логики – теории алгоритмов. Растущий поток информации и связанные с ним задачи хранения, обработки и передачи информации привели к возникновению теории кодирования; экономические задачи, задачи электротехники, равно как и внутренние задачи математики, потребовали разработки теории графов; задачи конструирования и описания работы сложных управляющих систем составили теорию функциональных систем и т. д. В то же время математическая кибернетика широко использует результаты К. м. при решении своих задач.

  Наряду с уже отмеченными, К. м. имеет ещё ряд особенностей. Так, вместе с задачами типа существования, имеющими общематематический характер, важное место в К. м. занимают задачи, связанные с алгоритмической разрешимостью и построением конкретных решающих алгоритмов, что характерно уже для К. м. Другой особенностью К. м. является то, что она по существу первой показала необходимость глубокого исследования так называемых дискретных многоэкстремальных задач, особенно часто возникающих в математической кибернетике. Соответствующие методы классической математики для поиска экстремумов, существенно использующие определённую гладкость функций, в этих случаях оказываются мало эффективными. Типичными задачами такого рода в К. м. являются, например, задачи об отыскании в некотором смысле оптимальных стратегий в шахматной партии при ограниченном числе ходов, а также важный вопрос математической кибернетики о построении минимальных дизъюнктивных нормальных форм для булевых функций, то есть так называемая проблема минимизации булевых функций (см. Алгебра логики ), и т. п. Особенностью К. м., связанной уже с задачами для конечных структур, является и то, что для многих из этих задач, как правило, существует алгоритм решения, в то время как в классической математике полное решение задачи часто возможно лишь при весьма жёстких ограничениях. Примером такого алгоритма может служить алгоритм просмотра всех возможных вариантов, то есть так называемый алгоритм типа «полного перебора». К задачам указанного вида могут быть отнесены, например, упомянутые задачи о стратегиях в шахматной партии, о минимизации булевых функций и др. Вместе с тем решения типа «полного перебора» очень трудоёмки и практически мало приемлемы, в связи с чем возникает ряд новых задач, связанных с условиями, ограничивающими перебор и приводящими к сведению индивидуальных задач, характеризующихся конкретными значениями параметров, к массовой проблеме, характеризующейся бесконечным множеством значений параметров; возникают задачи в наложении ограничений, естественных для этого класса задач, на средства решения и т. п. Постановка такого рода вопросов и разработка методик осуществляется на конкретных моделях, доставляемых различными разделами математики. К их числу относятся, например, модели минимизации булевых функций, синтеза управляющих систем из математической кибернетики и ряд других.

  Лит.: Яблонский С. В., Обзор некоторых результатов в области дискретной математики, «Информационные материалы», 1970, №5(42), с. 5—15; Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в конечную математику, пер. с англ., М., 1965; Дискретный анализ. Сб. трудов (Новосиб., 1963).

  В. Б. Кудрявцев.

Конечная морена

Коне'чная море'на, фронтальная морена, обломочный материал, отложенный в виде одной или нескольких дугообразных гряд у нижнего конца долинного ледника при его длительном стационарном положении. Включает материал боковых морен, основной (поддонной), срединной и внутренней морен. Понижения, разделяющие отдельные гряды К. м., нередко заняты озёрами. Внешняя гряда обычно на несколько десятков метров возвышается над дном долины.

Конечное

Коне'чное, то, что имеет предел, границу, конец. В философии понятие К. используется как категория, характеризующая всякий определённый, ограниченный объект (вещь, процесс, явление, состояние, свойство и т. д.). Каждый познаваемый объект действительности выступает в некотором отношении как К.

  Определённость К. придаёт его граница. Она может быть пространственно-временной, количественной, качественной. Граница и отделяет конечный объект от других, и связывает его с ними. Поэтому К., с одной стороны, обладает относительно самостоятельным, обособленным бытием, а с другой – обусловлено чем-то другим и зависит от него. В этом заключается противоречивость К. Наиболее глубокое представление о К. даётся знанием присущей ему меры . Наличие границы или меры необходимо предполагает возможность выхода за неё, т. е. отрицания данного К., перехода или превращения его в другое. Учёт этого приводит к диалектической концепции К., согласно которой оно может быть понято только как единство собственного бытия с собственным небытием, как взаимопереход их друг в друга. Иначе говоря, К. должно пониматься как движущееся, изменяющееся, преходящее.

  Рассмотрение процесса движения К., в ходе которого совершается постоянный выход за его границу, ведёт к идее бесконечности . Связь К. с бесконечным носит двоякий характер: во-первых, всякий конечный объект связан с бесконечным многообразием других конечных объектов «вне себя» (экстенсивная бесконечность); во-вторых, он содержит бесконечное в себе как выражение всеобщих, инвариантных характеристик (интенсивная бесконечность). Следовательно, при познании любого материального объекта мы наталкиваемся на единство К. и бесконечного. Всякий материальный объект неисчерпаем (принцип неисчерпаемости материи). Познание «заключается в том, что мы находим и констатируем бесконечное в конечном, вечное – в преходящем» (Энгельс Ф., смотри Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548).

  В математике понятие К. (как и понятие бесконечного) конкретизируется применительно к специфике математических объектов. При построении той или иной математической теории оно получает различные истолкования, в которых учитываются лишь те способы определения и ограничения объектов, с которыми оперирует данная теория. При рассмотрении объектов, конечных в одном отношении и бесконечных в другом, в математике нередко называют их конечными, но неограниченными, или бесконечными, но ограниченными (например, множество точек отрезка прямой бесконечно, но ограничено; замкнутое эллиптическое пространство Римана конечно, но не ограничено). В этих случаях, однако, под конечностью (бесконечностью) также понимается наличие (отсутствие) границы в некотором отношении (например, пространство Римана конечно в том смысле, что имеет количественную границу, характеризующую величину наибольшего расстояния в нём). В наиболее общей форме математического определения К. (конечного множества) даются в математической логике и теории множеств (например, дедекиндово определение: множество М конечно, если среди его собственных подмножеств не существует такого, которое было бы эквивалентно ему). Доказано, что среди различных определений конечного множества не может быть ни «самого сильного», ни «самого слабого», т. е. для любого из них найдётся как такое определение, которое логически выводимо из него, так и такое, из которого оно само может быть выведено.

  А. С. Кармин.

Конечно-моренный рельеф

Коне'чно-море'нный релье'ф, рельеф, возникший у конца долинных и материковых ледников; см. Моренный рельеф .

Конечности

Коне'чности, 1) у животных органы, служащие, как правило, для передвижения. У разных групп животных К. могут различаться по происхождению и строению, но выполнять сходные функции (аналогичные органы ). Простейшие К.– параподии многощетинковых кольчатых червей – парные (по 1 паре на сегмент тела), короткие, мускулистые и подвижные придатки, состоящие каждый из общего основания и 2 ветвей – спинной и брюшной, часто снабженных особыми щетинками. Благодаря однообразным гребущим движениям параподии животное может плыть или, цепляясь щетинками, передвигаться по грунту. К. членистоногих – дальнейшее развитие параподии – соединены с туловищем суставами и образуют многочленные рычаги, значительно более подвижные. Первично каждый сегмент тела членистоногих имел пару К., но в связи с дифференциацией отделов туловища и усложнением функций К. на некоторых сегментах они исчезли, на других частично или полностью утеряли двигательную функцию. Так, К. головного отдела превратились в осязательные придатки и челюсти, некоторые К. грудного отдела – в т. н. ногочелюсти, брюшного – в копулятивные органы (у самцов) или яйцеклад (у самок). К. ракообразных, будучи первично двуветвистыми, состоящими из основания – протоподита и 2 ветвей – наружной (экзоподит) и внутренней (эндоподит), часто утрачивают одну из ветвей (или она сильно редуцируется). Ходильные К. паукообразных (4 пары), насекомых (3 пары) и многоножек, как правило, состоят из одного ряда члеников. Различные придатки туловища других беспозвоночных, часто также выполняющие двигательную функцию, обычно К. не называются, например щупальца-руки головоногих моллюсков, лучи-руки иглокожих.

  У хордовых животных различают непарные и парные К. У низших хордовых (личинки оболочников, ланцетник) непарные К. представлены кожной складкой, в которой можно выделить спинную, брюшную и хвостовую части. В виде общей складки закладываются непарные К. и у личинок круглоротых, рыб и земноводных. У взрослых низших позвоночных в связи с дифференциацией функций единая складка распадается на отдельные плавники (рис. 1 , А, Б), поддерживаемые хрящевыми или костными лучами и имеющие собственную мускулатуру. Складка сохраняется лишь у водных хвостатых земноводных. У всех наземных позвоночных непарных К. нет, но они могут вторично возникать при возврате к водному образу жизни (например, у ихтиозавров, сирен, китов). Непарные плавники обеспечивают устойчивость тела в воде, способствуют движению животного вперёд, служат главным образом рулями. Парные К. появляются у рыб, у которых они служат рулями глубины и органами равновесия. По-видимому, парные К. первично возникли также в виде непрерывных боковых кожных складок, из которых в дальнейшем сохранились лишь наиболее функционально важные – передняя и задняя части (рис. 1 , Б, В). Опорой каждой пары К. служит т. н. пояс К. Основу каждой К. составляет скелет, состоящий из хрящевых или (чаще) костных образований, сочлененных друг с другом и приводимых в движение мышцами. Среди парных К. (плавников) рыб различают грудные, расположенные позади головы, и брюшные, лежащие обычно перед анальным отверстием; соответственно пояса К. называются грудным или плечевым и тазовым. Скелет К. у большинства рыб развит слабо, плавники укреплены в основном лучами кожного происхождения. Только у кистепёрых и двоякодышащих рыб скелет К. развит лучше и более дифференцирован (рис. 2 , А). Преобразование парных К. некоторых ископаемых кистепёрых рыб привело к появлению пятипалых в своей основе К. наземных позвоночных (рис. 2 , Б), которые стали главными органами движения на суше (см. Локомоция ).

  К. наземных позвоночных состоят из трёх отделов: плеча (в передних) или бедра (в задних), сочленяющихся с поясом К., предплечья (в передней) или голени (в задней) с двумя костями в каждой (соответственно—локтевая и лучевая, малая и большая берцовые) и кисти (в передних) или стопы (в задних), состоящих из большого числа мелких косточек, группирующихся в передней К. в запястье, пясть и фаланги пальцев, а в задней – в предплюсну, плюсну и также фаланги пальцев. В ходе эволюции парные К. подверглись значительным преобразованиям. Развитие полёта у летающих ящеров, птиц и летучих мышей вызвало превращение передних К. в крылья. К. морских ящеров, китообразных, ластоногих стали ластами, внешне напоминающими плавники рыб. Приспособление к быстрому бегу привело к сокращению числа пальцев (до 1 у лошади) и площади опоры К. путём замены стопохождения пальцехождением, а у копытных – даже копытохождением с опорой только на конечную фалангу. К. наземных позвоночных часто выполняют ряд дополнительных функций, например передние К. кротов превратились в органы рытья, а у древесных форм, например К. обезьян, – хватания. В ряде случаев парные К. с утерей функционального значения исчезают: например брюшные плавники угрей, задние К. китообразных и сирен, обе пары К. у безногих земноводных, некоторых ящериц, всех змей.

  2) У человека различают верхние и нижние К., причленяющиеся к телу плечевым и тазовым поясом. В связи с переходом предков человека к прямохождению, т. е. хождению только на задних К., передние К. освободились и под влиянием труда преобразовались в совершенные органы, имеющие универсальное назначение, – руки.

  В. Б. Суханов.

Рис. 2. Преобразование передней конечности при переходе к наземному образу жизни: А – кистепёрая рыба; Б – Древнейшее наземное позвоночное – стегоцефал; 1 – плечевая кость; 2 – лучевая кость; 3 – локтевая кость; I – плечо; II – предплечье; III – запястье; IV – пясть; V – фаланги пальцев.

Рис. 1. Три последовательные стадии (А, Б, В) образования непарных и парных плавников (схема).

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (КО)"