Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 35 страниц)

4. Изменение профилей линий на диске Солнца.

Хорошим способом проверки теории линейчатых спектров звёзд является изучение изменения профилей линий при переходе от центра солнечного диска к его краю. Вместе с тем такое изучение может дать некоторые сведения о структуре солнечной атмосферы.

Мы сейчас рассмотрим только поведение далёких крыльев сильных линий. Как и раньше, предположим, что отношение коэффициента поглощения в линии к коэффициенту поглощения в непрерывном спектре, обозначенное нами через η_ν, постоянно в атмосфере. Очевидно, что величина 1-𝑟_ν(μ) в крыльях линии пропорциональна η_ν. Поэтому поведение крыльев линии на солнечном диске удобно характеризовать величиной

𝐶(μ)

=

lim

η_ν→0

1-𝑟_ν(μ)

η_ν

.

(11.36)

Найдём величину 𝐶(μ) при разных механизмах образования линий. В случае локального термодинамического равновесия на основании формулы (9.18) имеем

𝐶(μ)

=

β_ν⃰μ

1+β_ν⃰μ

.

(11.37)

Для определения величины 𝐶(μ) при предположении о когерентном рассеянии света мы должны воспользоваться формулой (10.72). Входящая в эту формулу функция φ_ν(μ) определяется уравнением (10.67), а величина λ_μ – формулой (10.63). При η_μ≪1 из уравнения (10.67) следует

φ

_ν

(μ)

=

1+

1-γ

2

η

_ν

μ

ln

1+μ

μ

.

(11.38)

Поэтому из формулы (10.72) получаем (при 𝑄=1):

𝐶(μ)

=

3

2

–

γ

2

1-γ

2

μ

ln

1+μ

μ

–

1

1+β_ν⃰μ

⎡

⎢

⎣

1+

β_ν⃰

2

(1-γ)

⎤

⎥

⎦

.

(11.39)

При предположении о полностью некогерентном рассеянии из формулы (11.28) находим

𝐶(μ)

=

1-

φ(μ)

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑝_ν𝑑ν

η_ν+1

⎞½

⎟

⎠

–½

1

∫

0

φ(𝑧')

𝑧+𝑧'

𝐴₁

⎛

⎜

⎝

1

𝑧'

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑧'

𝑧'

⎤

⎥

⎦

,

(11.40)

где функция φ(𝑧) определяется уравнением (11.27). Эта формула относится к случаю β_ν⃰ и γ=0, однако можно получить и более общее выражение для величины 𝐶(μ) (см. [7]).

Приведённые теоретические выражения для величины 𝐶(μ) могут быть сравнены с наблюдательными данными. Такое сравнение показывает, что лучше всего теория согласуется с наблюдениями при предположении о некогерентном рассеянии света. Однако и в этом случае имеется расхождение между ними. Объясняется это, по-видимому, тем, что величина η_ν в действительности не постоянна в атмосфере.

В связи с этим заметим, что профили некоторых резонансных линий (в частности, линий 𝙷 и 𝙺 ионизованного кальция) были вычислены также для реальной модели атмосферы Солнца. Такие профили, полученные при предположении о полном перераспределении излучения по частоте, уже удовлетворительно согласуются с наблюдёнными профилями. Согласие оказывается ещё лучше, если используется закон истинного перераспределения по частоте.

5. Многоуровенный атом.

Выше речь шла об образовании отдельной линии поглощения, т.е. рассматривался двухуровенный атом. На самом деле все линии связаны между собой, так как происходят переходы электронов с каждого уровня на другие. Поэтому в строгой теории образования звёздных спектров следует рассматривать многоуровенные атомы. В этом случае необходимо решить систему уравнений, состоящую из условий стационарности для каждого уровня и уравнений переноса излучения для каждой линии. Должно также приниматься во внимание перераспределение излучения по частоте внутри линии.

Данная задача оказывается особенно сложной для атомов, которые играют существенную роль в возникновении непрерывного спектра звезды. Для таких атомов задача об образовании линий поглощения должна решаться совместно с задачей об образовании непрерывного спектра. В основном это относится к атому водорода.

При расчёте же линейчатого спектра какого-либо другого атома модель фотосферы (т.е. распределение в ней температуры и плотности) предполагается уже известной. Тем самым считаются заданными все величины, характеризующие вероятности атомных столкновений и вероятности радиативных переходов, связанных с непрерывным спектром (т.е. фотоионизаций и рекомбинаций).

Решение упомянутой выше системы уравнений стационарности и уравнений переноса излучения требует большой вычислительной работы. С целью её упрощения можно в качестве первого приближения использовать результаты расчётов для отдельных линий, а затем принять во внимание влияние линий друг на друга. Однако такая процедура применима лишь в случае слабой связи между линиями. Иногда точные расчёты делаются только для нескольких первых уровней атома, а влияние более высоких уровней учитывается приближённо.

Расчёт интенсивностей и профилей спектральных линий описанным путём производился для многих атомов (в частности, для водорода и гелия применительно к звёздам ранних классов). Результаты вычислений удовлетворительно согласуются с наблюдательными данными. Вместе с тем эти результаты в некоторых отношениях значительно отличаются от тех, которые получаются при предположении о локальном термодинамическом равновесии (подробнее см. [6]).

§ 12. Химический состав звёздных атмосфер

1. Эквивалентные ширины линий.

Одной из наиболее важных характеристик линии поглощения является её эквивалентная ширина, т.е. ширина соседнего участка непрерывного спектра, энергия которого равна энергии, поглощённой в линии. Эквивалентная ширина линии определяется формулой

𝑊

=

∫

(1-𝑟

_ν

)

𝑑ν

,

(12.1)

где 𝑟_ν=𝐻_ν/𝐻_ν⁰ (см. § 9).

Подставляя в формулу (12.1) теоретическое выражение для величины 𝑟_ν, мы можем получить зависимость между эквивалентной шириной линии и числом поглощающих атомов. Эта зависимость, изображённая на графике, называется обычно «кривой роста». По измеренной эквивалентной ширине линии с помощью кривой роста можно определить число поглощающих атомов. Такие определения служат основой для нахождения химического состава звёздной атмосферы. В этом состоит очень важное (но не единственное) назначение кривой роста.

Для вычисления величины 𝑊 по формуле (12.1) надо задать модель атмосферы. В случае модели Шварцшильда – Шустера величина 𝑟_ν определяется формулой (10.19). Подставляя (10.19) в (12.1), мы получаем зависимость между 𝑊 и 𝑁 Однако, строго говоря, в эту зависимость должны входить ещё величины, являющиеся параметрами в выражении для коэффициента поглощения 𝑘_ν Если для 𝑘_ν взять выражение (8.18), то такими параметрами будут 𝑘₀, Δν_𝐷 и 𝑎. Очевидно, что в данном случае эквивалентная ширина линии зависит от произведения 𝑘₀𝑁 и от параметров Δν_𝐷 и 𝑎, т.е.

𝑊

=

𝐹₁

⎛

⎝

𝑘₀

𝑁

,

Δ

ν

_𝐷

,

𝑎

⎞

⎠

.

(12.2)

В случае модели Эддингтона при простейших предположениях величина 𝑟_ν даётся формулой (10.37), в которой η_ν=𝑘_ν𝑛/α_ν В данном случае для эквивалентной ширины линии имеем

𝑊

=

𝐹₂

⎛

⎜

⎝

𝑘₀

𝑛

α_ν

,

Δ

ν

_𝐷

,

𝑎

⎞

⎟

⎠

.

(12.3)

Легко видеть, что величина 𝑛/α_ν обладает таким же физическим смыслом, как и величина 𝑁, т.е. представляет собой число поглощающих атомов в столбе с сечением 1 см² над фотосферой. В самом деле, мы имеем

𝑁

=

∞

∫

𝑟₀

𝑛

𝑑𝑟

=

𝑛

α_ν

∞

∫

𝑟₀

α

_ν

𝑑𝑟

=

𝑛

α_ν

τ

_ν

.

(12.4)

А так как оптическая глубина основания атмосферы в непрерывном спектре τ_ν порядка единицы, то величины 𝑛/α_ν и 𝑁 должны быть одного порядка.

Из сказанного следует, что для определения числа поглощающих атомов с помощью кривой роста необходимо знать параметры 𝑘₀, Δν_𝐷 и 𝑎. Однако в большинстве случаев эти параметры известны плохо, и поэтому их пытаются находить также с помощью кривой роста. Это можно делать потому, что обычно в спектре звезды содержится много линий данного атома, т.е. мы имеем много соотношений типа (12.2) или (12.3), в которых значения величины 𝑊 известны из наблюдений.

Таким образом, с помощью кривой роста может быть решён ряд задач. Мы сейчас перечислим некоторые из них.

1. Определение числа поглощающих атомов 𝑁 (или 𝑛/α_ν), т.е. числа атомов в состоянии, при переходах из которого возникает данная линия. После этого производится оценка числа атомов рассматриваемого элемента во всех состояниях. Таким путём находится химический состав атмосферы.

2. Нахождение числа атомов в разных состояниях (если в спектре звезды наблюдаются линии, возникающие из разных состояний). При представлении этих чисел формулой Больцмана определяется «температура возбуждения» атомов в атмосфере.

3. Определение доплеровской полуширины линии, равной

Δ

ν

_𝐷

=

ν₀

𝑣

𝑐

,

(12.5)

где 𝑣 – средняя скорость хаотического движения атомов (теплового и турбулентного). Отсюда может быть получено значение скорости 𝑣.

4. Нахождение параметра 𝑎, который даётся формулой (8.27). Тем самым определяется роль столкновений в затухании излучения.

5. Определение величины 𝑘₀, связанной с эйнштейновским коэффициентом спонтанного перехода 𝐴_𝑘𝑖 формулой (8.16). Выражая коэффициент 𝐴_𝑘𝑖 через силу осциллятора ƒ, получаем

𝑘₀

=

√π𝑒²

𝑚ν₀𝑣

ƒ

,

где 𝑚 – масса электрона и 𝑒 – его заряд. Следовательно, зная 𝑘₀, можно найти силу осциллятора для данной линии.

Ниже мы получим теоретические кривые роста в явном виде и сообщим результаты их применения к определению химического состава звёздных атмосфер. Вопросы определения других параметров атмосфер с помощью кривых роста будут кратко рассмотрены в следующем параграфе. Подробнее см. [9] и [10].

2. Кривая роста для модели Шварцшильда – Шустера.

Чтобы получить зависимость эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Шварцшильда – Шустера, надо подставить в формулу (12.1) выражение (10.19). Сделав это, находим

𝑊

=

∫

𝑘_ν𝑁

1+𝑘_ν𝑁

𝑑ν

.

(12.7)

Для коэффициента поглощения 𝑘_ν мы возьмём выражение (8.18). Так как интеграл (12.7) в общем виде не берётся, то мы рассмотрим три частных случая, соответствующих трём участкам кривой роста.

1. Пусть 𝑁 мало, так что 𝑘_ν𝑁≪1 для всех частот. В этом случае формулу (12.7) можно переписать в виде

𝑊

=

𝑁

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

.

(12.8)

Подставляя сюда выражение (8.18), получаем

𝑊

=

√

π

ν₀𝑣

𝑐

𝑘₀

𝑁

.

(12.9)

Эта формула справедлива только для очень слабых линий.

2. Пусть 𝑁 велико, так что 𝑘_ν₀𝑁≫1, но 𝑘_ν𝑁≪1 в тех частях линии, где 𝑘_ν определяется затуханием излучения. В данном случае для 𝑘_ν можно взять выражение (8.24). Подставляя его в формулу (12.7), имеем

𝑊

=

𝑘₀

𝑁

ν₀𝑣

𝑐

+∞

∫

–∞

𝑒^-𝑢²𝑑𝑢

1+𝑘₀𝑁𝑒^-𝑢²

.

(12.10)

Приближённое вычисление интеграла даёт

𝑊

=

2

ν₀𝑣

𝑐

√

ln 𝑘₀𝑁

.

(12.11)

Заметим, что формула (12.11) может быть также получена из следующих соображений. Найдём то расстояние Δν от центра линии, на котором 𝑟_ν=½. Согласно формуле (10.19), на этом расстоянии должно быть 𝑘_ν𝑁=1 или

𝑘₀

𝑁

exp

–

⎛

⎜

⎝

𝑐

𝑣

Δν

ν₀

⎞²

⎟

⎠

=

1.

(12.12)

Отсюда находим

Δ

ν

=

ν₀

𝑣

𝑐

√

ln 𝑘₀𝑁

.

(12.13)

Так как приближённо 𝑊=2Δν, то мы снова приходим к формуле (12.11).

3. Пусть, наконец, 𝑁 настолько велико, что неравенство 𝑘_ν𝑁≫1 осуществляется даже в тех далёких от центра частях линии, где 𝑘_ν определяется затуханием излучения. Очевидно, что в данном случае для вычисления интеграла (12.7) на всем протяжении линии можно пользоваться для 𝑘_ν выражением (8.25). Подставляя (8.25) в (12.7), получаем

𝑊

=

𝑎

𝑘₀𝑁

ν₀𝑣

+∞

∫

–∞

𝑑𝑢

,

√

π

𝑐

𝑢²

+

𝑎

𝑘₀𝑁

√

π

(12.14)

или, после интегрирования,

𝑊

=

π³

^/

⁴

ν₀𝑣

𝑐

√

𝑎𝑘₀𝑁

.

(12.15)

Суммируя полученные результаты, можем сказать, что эквивалентная ширина линии 𝑊 растёт с увеличением числа поглощающих атомов сначала как 𝑁, затем приблизительно как √ln 𝑁 и, наконец, как √𝑁.

При практическом использовании зависимости между 𝑊 и 𝑁 обычно её несколько преобразуют. Прежде всего, от эквивалентной ширины в шкале частот 𝑊_ν (её мы выше обозначали просто через 𝑊) переходят к эквивалентной ширине в шкале длин волн 𝑊_λ. Эти величины связаны между собой очевидным соотношением

𝑊_λ

λ

=

𝑊_ν

ν

.

(12.16)

Далее, от числа поглощающих атомов 𝑁 переходят к величине

𝑋₀

=

𝑘₀𝑁

,

(12.17)

представляющей собой приближённо оптическую толщину атмосферы в центре линии (так как 𝑘_ν₀ мало отличается от 𝑘₀ при 𝑎≪1).

Учитывая сказанное, можно переписать полученные выше формулы в следующем виде: при малых 𝑋₀

𝑊_λ

λ

=

√

π

𝑣

𝑐

𝑋₀

,

(12.18)

при больших 𝑋₀

𝑊_λ

λ

=

2

𝑣

𝑐

√

ln 𝑋₀

,

(12.19)

при очень больших 𝑋₀

𝑊_λ

λ

=

π³

^/

⁴

𝑣

𝑐

√

𝑎 𝑋₀

.

(12.20)

Вместо последней формулы мы можем также написать

𝑊_λ

λ

=

π¹^/⁴

2

⎛

⎜

⎝

𝑣Γ

𝑐ν₀

𝑋₀

⎞½

⎟

⎠

,

(12.21)

где Γ – постоянная затухания (обусловленная как затуханием вследствие излучения, так и затуханием вследствие столкновений). Здесь мы воспользовались соотношением

𝑎

=

𝑐Γ

4πν₀𝑣

(12.22)

вытекающим из определения величины 𝑎, даваемого формулой (8.27).

Как уже сказано, кривая, представляющая зависимость 𝑊 от 𝑁 (или ln 𝑊_λ/λ от ln 𝑋₀), называется кривой роста. Для построения кривых роста пользуются как приведёнными выше формулами (12.18) – (12.20), так и результатами численного определения интеграла (12.7) для промежуточных значений 𝑋₀.

Все кривые роста составляют семейство, зависящее от двух параметров: средней скорости хаотического движения атомов 𝑣 и постоянной затухания Γ (или величины 𝑎).

3. Кривая роста для модели Эддингтона.

Для получения зависимости эквивалентной ширины линии от числа поглощающих атомов в случае модели Эддингтона мы должны взять для 𝑟_ν выражение (10.37) [или более общее выражение (10.52)]. Подставляя это выражение в формулу (12.7), можно получить зависимость 𝑊 от 𝑘₀𝑛/α_ν. Мы не будем производить вычислений, а приведём лишь их результат. Оказывается, что эквивалентная ширина линии 𝑊 сначала растёт как 𝑘₀𝑛/α_ν, затем как

⎛

⎜

⎝

ln

𝑘₀

𝑛

α_ν

⎞½

⎟

⎠

и, наконец, как √𝑘₀𝑛/α_ν. Иными словами, кривая роста в случае модели Эддингтона имеет приблизительно такой же вид, как и в случае модели Шварцшильда – Шустера. Напомним, что величина 𝑛/α_ν по своему физическому смыслу аналогична величине 𝑁.

Пользуясь точным выражением для величины 𝑟_ν, даваемым формулой (10.72), мы можем получить точную кривую роста для модели Эддингтона. Допустим для простоты, что флуоресценция отсутствует, т.е. γ=0. В таком случае формула (10.72) принимает вид

𝑟

_ν

(μ)

=

φ_ν(μ)

(1+β_ν⃰μ)√1+η_ν

×

×

⎡

⎢

⎣

1+

β_ν⃰

1+η_ν

⎛

⎜

⎝

μ+

α_ν1η_ν

2√1+η_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(12.23)

где η_ν=𝑘_ν𝑛/α_ν, функция φ_ν(μ) определяется уравнением (10.67) и α_ν1 – её первый момент.

Формулой (12.23) определяется профиль линии на угловом расстоянии arccos μ от центра диска. При помощи этой формулы можно получить следующее выражение для величины 𝑟_ν, определяющей профиль линии в спектре всей звезды:

𝑟

_ν

=

1

×

⎛

⎜

⎝

1

+

1

β

_ν

⃰

⎞

⎟

⎠

√

1+η

_ν

2

3

×

⎡

⎢

⎣

α

_ν2

+

β

_ν

⃰

⎛

⎜

⎝

α

_ν2

+

α

_ν1

²η

_ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

,

1+η

_ν

2+√

1+η

_ν

(12.24)

где α_ν2 – второй момент функции φ_ν(μ).

Подстановка выражения (12.23) или (12.24) в формулу (12.7) и выполнение интегрирования должно дать искомую кривую роста. Указанное интегрирование было численно произведено Врубелем, который привёл свои результаты в виде таблиц и графиков.

Рис. 12

На рис. 12 даются полученные кривые роста. По оси абсцисс отложена величина

η₀

=

𝑘₀𝑛

α_ν

,

а по оси ординат – величина

𝑊_λ

λ

𝑐

𝑣

.

При больших значениях η₀ кривая разветвляется на ряд кривых, соответствующих разным значения параметра 𝑎.

Кривые роста, изображённые на рис. 12, относятся к случаю, когда β_ν⃰=³/₂. Напомним, что β_ν⃰=β_να/α_ν, где β_ν определяется формулой (6.7). Следовательно, величина β_ν⃰, а с ней вместе и кривая роста, могут заметно меняться при переходе от одного участка спектра к другому.

4. Построение кривых роста по наблюдательным данным.

Теоретические кривые роста зависят от ряда параметров (𝑘₀,𝑎,𝑣), которые заранее точно не известны. Поэтому для определения этих параметров приходится пользоваться наблюдёнными эквивалентными ширинами линий. С этой целью для данной звезды по линиям рассматриваемого атома строится эмпирическая кривая роста. Путём сравнения этой кривой с теоретической кривой роста и определяются значения упомянутых параметров.

Возможность построения кривой роста по наблюдательным данным основана на наличии в спектре звезды мультиплетов. Для линий мультиплета, имеющих общий нижний уровень, число 𝑁 одно и то же, а силы осцилляторов часто известны. Поэтому для указанных линий значения величины lg 𝑋₀, которая согласно формулам (12.17) и (12.6) равна

lg 𝑋₀

=

lg ƒ

+

lg

√π𝑒²

𝑚ν₀𝑣

𝑁

,

(12.25)

отличаются друг от друга только неизвестным постоянным слагаемым. Это обстоятельство позволяет по наблюдённым эквивалентным ширинам линий, входящих в мультиплет, построить часть кривой роста с неизвестным, однако, нуль-пунктом на оси абсцисс. Соответствующие участки кривой роста могут быть построены также по линиям других мультиплетов. После этого путём перемещения полученных участков кривой роста вдоль оси абсцисс для достижения согласия между ними может быть определена полная кривая роста. На рис. 13 в виде примера дана кривая роста, построенная Д. Кулиевым по линиям 𝙵𝚎 I (точки), 𝙲𝚊 I (крестики) и 𝙽𝚊 I (кружочки) в спектре α Персея.

Рис. 13

Сравнение эмпирической кривой роста с семейством теоретических кривых даёт возможность выбрать ту из них, которая ближе всего соответствует наблюдениям. Тем самым определяются значения параметров 𝑣 и α (или Γ) для рассматриваемых атомов в атмосфере данной звезды. По полученной таким путём кривой роста может быть найдено и число поглощающих атомов 𝑁.

Изучение звёздных атмосфер при помощи кривых роста приводит к весьма интересным результатам. Укажем, например, на то, что для звёзд-сверхгигантов значения параметра 𝑣 часто оказываются в несколько раз превосходящими средние тепловые скорости атомов. Это объясняется турбулентными движениями в атмосферах звёзд (см. § 13).

В случае звёзд-карликов найденные из наблюдений значения параметра Γ оказываются во много раз больше (например, в случае Солнца – в 5—10 раз) соответствующих теоретических значений, определённых при учёте только затухания вследствие излучения. Это значит, что в атмосферах звёзд большую роль играет также затухание вследствие столкновений. Большое значение Γ для звёзд-карликов объясняется сравнительно большой плотностью их атмосфер.

5. Содержание различных атомов в атмосферах.

Основным назначением кривой роста является определение с её помощью химического состава звёздных атмосфер. По эквивалентной ширине линии кривая роста даёт число поглощающих атомов, т.е. число атомов в нижнем состоянии для данной линии. В большинстве случаев это состояние является возбуждённым. Чтобы перейти к числу атомов в основном состоянии, обычно пользуются формулой Больцмана. Часто бывает, что в спектре звезды наблюдаются линии, возникающие из возбуждённых состояний нейтрального атома, а большинство атомов данного элемента находится в ионизованном состоянии (или наоборот). В таком случае для нахождения полного числа атомов этого элемента приходится применять также формулу ионизации Саха. Входящая в эту формулу концентрация свободных электронов должна быть предварительно определена одним из способов, описанных в следующем параграфе.

Указанный метод определения химического состава звёздных атмосфер довольно прост и часто применяется на практике. Однако надо иметь в виду, что он связан с двумя погрешностями. Первая из них возникает вследствие отклонения распределения атомов по состояниям от распределения, даваемого формулами Больцмана и Саха. Источником другой погрешности является использование средних для всей атмосферы значений температуры и электронной концентрации, в то время как эти величины сильно меняются в атмосфере.

По этим причинам в настоящее время определение химического состава звёздных атмосфер с помощью кривой роста рассматривается лишь в качестве первого приближения. В следующем приближении (с целью устранения второй из упомянутых погрешностей) используются расчёты моделей звёздных фотосфер, выполненных применительно к данной звезде (см. § 6). Результаты таких расчётов дают распределение температуры и плотности в поверхностных слоях звезды. Это позволяет более или менее точно вычислить профиль любой линии рассматриваемого элемента при различных предположениях относительно его содержания. Путём сравнения вычисленных и наблюдённых эквивалентных ширин определяется содержание этого элемента в звёздной атмосфере.

Определение химического состава атмосфер различных звёзд делалось во многих исследованиях. Мы сейчас приведём некоторые результаты, взятые из статьи Аллера [9].

В таблице 13 содержатся сведения о химическом составе атмосферы Солнца. Здесь под 𝑛 понимается полная концентрация атомов данного элемента. В таблице даются значения lg 𝑛, причём для водорода условно принято lg 𝑛=12.

Таблица 13

Химический состав атмосферы Солнца

Элемент

lg 𝑛

Элемент

lg 𝑛

𝙷

12,0

𝚂

7,30

𝙻𝚒

0,96

𝙺

4,70

𝙱𝚎

2,36

𝙲𝚊

6,15

𝙲

8,72

𝚂𝚌

2,82

𝙽

7,98

𝚃𝚒

4,86

𝙾

8,96

𝚅

3,70

𝙽𝚊

6,30

𝙲𝚛

5,36

𝙼𝚐

7,40

𝙼𝚗

4,90

𝙰𝚕

6,20

𝙵𝚎

6,57

𝚂𝚒

7,50

𝙲𝚘

4,64

𝙿

5,34

𝙽𝚒

5,91

𝙲𝚞

5,04

𝚁𝚑

0,78

𝚉𝚗

4,40

𝙿𝚋

1,21

𝙶𝚊

2,36

𝙰𝚐

0,14

𝙶𝚎

3,29

𝙲𝚍

1,46

𝚁𝚋

2,48

𝙸𝚗

1,46

𝚂𝚛

2,60

𝚂𝚗

1,54

𝚈

2,25

𝚂𝚋

1,94

𝚉𝚛

2,23

𝙱𝚊

2,10

𝙽𝚋

1,95

𝚈𝚋

1,53

𝙼𝚘

1,90

𝙿𝚍

1,33

𝚁𝚞

1,43

В таблице 13 нет сведений о количестве атомов гелия в солнечной атмосфере, что объясняется отсутствием линий поглощения гелия в видимой части спектра Солнца. В этой части спектра могут наблюдаться линии гелия, возникающие только из возбуждённых состояний. Однако потенциал возбуждения гелия очень велик, вследствие чего при сравнительно низкой температуре Солнца в возбуждённых состояниях оказывается мало атомов гелия и они не могут дать заметных линий поглощения. Интенсивные линии поглощения гелия появляются только в спектрах горячих звёзд (классов B и O).

Однако, как увидим ниже, в спектре солнечной хромосферы наблюдаются эмиссионные линии гелия. По отношению интенсивностей эмиссионных линий гелия и водорода удалось определить, что число атомов гелия составляет примерно 0,2 числа атомов водорода.

Таким образом, наиболее распространённым элементом в солнечной атмосфере является водород. За ним следует гелий. Далее идут лёгкие элементы: углерод, азот, кислород. Число атомов металлов, вместе взятых, составляет примерно одну десятитысячную числа атомов водорода.

В таблице 14 приведены данные о химическом составе атмосфер звёзд класса B (точнее говоря, значения ln 𝑛). Эта таблица, как и предыдущая, взята из упомянутой статьи Аллера, который использовал опубликованные результаты ряда авторов. Частично эти результаты получены при помощи кривых роста, а частично – при помощи моделей фотосфер. Для звезды τ Скорпиона приведены два результата. Расхождение между ними обусловлено как различиями в наблюдательном материале, так и различиями в принятых методах определения химического состава.

Таблица 14

Химический состав атмосфер звёзд класса B

Элемент

γ

Peg

ζ

Per

τ

Sco

10 Lac

55 Cyg

𝙷

12,00

12,00

12,00

12,00

12,00

12,00

𝙷𝚎

11,17

11,31

11,32

–

11,23

11,18

𝙲

8,58

8,26

8,37

7,70

8,37

8,41

𝙽

8,01

8,31

8,57

8,26

8,37

8,63

𝙾

8,63

9,03

9,12

8,63

8,77

8,98

𝙽𝚎

8,73

8,61

8,72

8,86

8,72

–

𝙼𝚐

7,95

7,76

7,73

8,30

8,22

–

𝙰𝚕

5,76

6,78

6,58

6,40

7,07

–

𝚂𝚒

7,03

7,96

7,95

7,63

7,75

7,46

Из таблиц 13 и 14 видно, что химический состав звёздных атмосфер в общих чертах не отличается от химического состава атмосферы Солнца. Как мы узнаем дальше, приблизительно таким же оказывается и химический состав газовых туманностей. Вывод об единстве химического состава различных типов звёзд и туманностей имеет громадное значение для астрофизики.

Большой интерес представляет вопрос о выявлении реальных различий в химическом составе звёздных атмосфер. Из наблюдательных данных следует, что звёзды с приблизительно одинаковой поверхностной температурой иногда очень сильно различаются по своим спектрам. В качестве примера можно указать звёзды типа Вольфа – Райе, спектры которых довольно резко делятся на две последовательности: азотную и углеродную. Другим примером могут служить звёзды поздних классов, спектры которых делятся на кислородную и углеродную ветви (первая из них характеризуется полосами 𝚃𝚒𝙾, а вторая – полосами 𝙲, 𝙲𝙽 и 𝙲𝙷). Наблюдениями установлено также существование звёзд с очень слабыми спектральными линиями водорода («звёзды, бедные водородом») и звёзд с очень сильными линиями некоторых металлов («металлические звёзды»). По-видимому, в большинстве указанных случаев спектральные аномалии объясняются особенностями химического состава. Однако вполне возможно, что в некоторых случаях эти аномалии вызваны особенностями возбуждения и ионизации атомов в атмосферах звёзд.

Проблема определения химического состава атмосфер звёзд разных типов очень важна как для теории звёздной эволюции, так и для теории образования элементов. Это обусловлено тем, что в недрах звёзд происходят ядерные реакции, при которых одни элементы превращаются в другие. Надо однако иметь в виду, что по содержанию элементов в атмосфере звезды можно судить о химическом составе её недр лишь в случае перемешивания вещества внутри звезды (подробнее см. [11]).

§ 13. Физические условия в атмосферах

1. Возбуждение и ионизация атомов.

Как известно, при термодинамическом равновесии степень возбуждения и ионизации атомов определяется формулами Больцмана и Саха. Строго говоря, в звёздных атмосферах термодинамическое равновесие отсутствует. Однако и в этом случае в качестве первого приближения пользуются всё-таки формулами Больцмана и Саха. Поэтому при рассмотрении физических условий в звёздных атмосферах мы должны прежде всего остановиться на этих формулах.

Пусть 𝐸_𝑖 – энергия 𝑖-го уровня атома и 𝑔_𝑖 – его статистический вес (или кратность уровня). Обозначим через 𝑛_𝑖 число атомов с энергией 𝐸_𝑖 в 1 см² при термодинамическом равновесии. Основная формула статистической физики даёт

𝑛

_𝑖

=

𝐶

𝑔

_𝑖

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝐸_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.1)

где 𝐶 – некоторая постоянная.

Из формулы (13.1) получаем

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁-χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.2)

где обозначено 𝐸_𝑖-χ_𝑖. Величина χ_𝑖 представляет собой энергию ионизации с 𝑖-го уровня, а величина χ₁-χ_𝑖 – энергию возбуждения этого уровня. Формула (13.2) называется обычно формулой Больцмана.

Формулу (13.1) можно применить и к состояниям с положительной энергией, в которых электрон не связан с атомом. Это даёт возможность найти отношение числа ионов к числу нейтральных атомов. Формула, определяющая это отношение (так называемая формула Саха) имеет вид

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

𝑔⁺

𝑔₁

2(2π𝑚𝑘𝑇)²^/³

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.3)

где 𝑛⁺ – число ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см³, 𝑔⁺ – статистический вес этого состояния, 𝑛_𝑒 – число свободных электронов в 1 см³.

Аналогичные формулы служат и для нахождения числа атомов в следующих стадиях ионизации. В частности, отношение числа дважды ионизованных атомов к числу однажды ионизованных атомов даётся формулой

𝑛

_𝑒

𝑛⁺⁺

𝑛⁺

=

𝑔⁺⁺

𝑔⁺

2(2π𝑚𝑘𝑇)²^/³

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁'

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.4)

где 𝑛⁺⁺ – число дважды ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см³, 𝑔⁺⁺ – статистический вес этого состояния, χ₁' – энергия ионизации из основного состояния однажды ионизованного атома.

Применим в качестве примера приведённые формулы к атому водорода. В данном случае 𝑔_𝑖=2𝑖² и χ_𝑖=χ₁/𝑖². Поэтому формула (13.2) принимает вид

𝑛_𝑖

𝑛₁

=

𝑖²

exp

⎡

⎢

⎣

–

χ₁

𝑘𝑇

⎛

⎜

⎝

1

–

1

𝑖²

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(13.5)

В частности, для второго уровня имеем

𝑛₂

𝑛₁

=

4

exp

⎛

⎜

⎝

–

117 900

𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(13.6)

Из формулы (13.6) следует, что при господствующих в звёздных атмосферах температурах в тысячи кельвинов подавляющее большинство атомов водорода находится в основном состоянии. Однако с увеличением температуры степень возбуждения атомов быстро растёт.

Из формулы (13.5) также видно, как меняется число возбуждённых атомов с увеличением номера уровня 𝑖. Если температура не очень высока, то величина 𝑛_𝑖/𝑛₁ с увеличением 𝑖 сначала убывает, а затем растёт, причём при очень больших 𝑖 она растёт приблизительно пропорционально 𝑖². Отсюда следует, что если бы осуществлялись все уровни атома, то полное число атомов в возбуждённых состояниях было бы бесконечно большим. Однако в действительности из-за возмущений, вызываемых посторонними частицами, высокие уровни атомов не осуществляются. Поэтому число атомов во всех возбуждённых состояниях оказывается обычно гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.

При применении формулы ионизации (13.3) к атому водорода мы должны положить 𝑔⁺=1, 𝑔₁=2, χ₁/𝑘=157 200. В результате находим

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

2,4⋅10¹⁵

𝑇²

^/

³

exp

⎛

⎜

⎝

–

157 200

𝑇

⎞

⎟

⎠

.

(13.7)

Степень ионизации зависит не только от температуры 𝑇 но и от концентрации свободных электронов 𝑛_𝑒. Поскольку же значение 𝑛_𝑒 в звёздных атмосферах сравнительно мало, то даже при не очень высоких температурах степень ионизации может быть большой. Например, полагая 𝑛_𝑒≈10¹², из формулы (13.7) получаем, что уже при 𝑇≈10 000 K значение 𝑛⁺/𝑛₁ для водорода будет порядка 300.

При практических расчётах формула ионизации (13.3) часто используется в виде

𝑝

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=

2

𝑔⁺

𝑔₁

(2π𝑚)³^/²(𝑘𝑇)⁵^/²

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

–

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(13.8)

где 𝑝_𝑒 – электронное давление, равное

𝑝

_𝑒

=

𝑛

_𝑒

𝑘𝑇

.

(13.9)

Производя логарифмирование, вместо (13.8) получаем

lg

𝑝

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

=-

5040

𝑇

χ₁

+

2,5

lg

𝑇

–

0,48

+

lg

2𝑔⁺

𝑔₁

.

(13.10)

Здесь электронное давление 𝑝_𝑒 выражено в барах (1 бар = 1 дина/см²), а энергия ионизации – в электронвольтах. Под электронвольтом понимается энергия, которую приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 вольт (1 эВ = 1,60⋅10⁻¹² эрг).

В таблице 15 приведены значения энергии ионизации нейтральных и однажды ионизованных атомов. Из таблицы видно, что наименьшими энергиями ионизации из нейтральных атомов обладают металлы (𝙽𝚊, 𝙲𝚊, 𝙵𝚎 и др.). В звёздных атмосферах они ионизуются уже при температурах порядка 5 000 K. При повышении температуры претерпевает ионизацию водород. Самая высокая температура нужна для ионизации гелия.

Таблица 15

Энергия ионизации некоторых атомов

(в электронвольтах)

Элемент

χ₁

χ₁'

Элемент

χ₁

χ₁'

𝙷

13,60

𝙰𝚛

15,75

27,6

𝙷𝚎

24,58

54,4

𝙺

4,34

31,8

𝙻𝚒

5,39

76,6

𝙲𝚊

6,11

11,9

𝙱𝚎

9,32

18,2

𝚂𝚌

6,56

12,8

𝙱

8,30

25,1

𝚃𝚒

6,83

13,6

𝙲

11,26

24,4

𝚅

6,74

14,6

𝙽

14,54

29,6

𝙲𝚛

6,76

16,5

𝙾

13,61

35,1

𝙼𝚗

7,43

15,6

𝙵

17,42

35,0

𝙵𝚎

7,90

16,2

𝙽𝚎

21,56

41,1

𝙲𝚘

7,86

17,0

𝙽𝚊

5,14

47,3

𝙽𝚒

7,63

18,2

𝙼𝚐

7,64

15,0

𝙲𝚞

7,72

20,3

𝙰𝚕

5,98

18,8

𝚉𝚗

9,39

18,0

𝚂𝚒

8,15

16,3

𝙶𝚊

6,00

20,5

𝙿

10,55

19,6

𝙶𝚎

7,88

15,9

𝚂

10,36

23,4

𝙰𝚜

9,85

20,2

𝙲𝚕

13,01

23,8

𝚂𝚎

9,75

21,4

𝙱𝚛

11,84

21,6

𝙺𝚛

14,00

24,6

𝚁𝚋

4,18

27,4

𝚂𝚛

5,69

11,0

𝚈

6,60

12,3

𝚉𝚛

6,95

14,0

𝙽𝚋

6,77

13,5

𝙼𝚘

7,18

15,2

𝚃𝚌

7,45

15,0

𝚁𝚞

7,50

16,4

𝚁𝚑

7,70

18,1

𝙿𝚍

8,33

19,9

𝙰𝚐

7,57

22,0

𝙲𝚍

8,99

16,9

𝙸𝚗

5,78

18,9

𝚂𝚗

7,33

14,6

Как уже сказано, формулы Больцмана и Саха можно применять к звёздным атмосферам только в качестве первого приближения. В тех же случаях, когда для определения величин 𝑛_𝑖/𝑛₁ и 𝑛⁺/𝑛₁ необходимо иметь более точные формулы, приходится рассматривать те конкретные процессы, которые обусловливают эти величины, т.е. процессы возбуждения и ионизации атомов под действием излучения и под действием столкновений (а также обратные процессы). В таких случаях для определения степени возбуждения и ионизации атомов получаются формулы (13.2) и (13.3) с некоторыми поправочными множителями. Для звёздных атмосфер эти множители обычно не сильно отличаются от единицы. Однако для многих других астрофизических объектов отклонение упомянутых множителей от единицы оказывается очень большим. Примером могут служить газовые туманности, которые мы рассмотрим позднее (см. § 23 и 24).