Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 28 (всего у книги 35 страниц)

Поскольку считается, что пульсар в Крабовидной туманности возник при вспышке сверхновой 1054 г., то были сделаны попытки найти пульсары в других туманностях, появившихся при вспышках сверхновых. В некоторых случаях такие попытки привели к успеху. Однако в иных случаях пульсары обнаружить не удалось, хотя центры активности и наблюдаются.

Для понимания природы пульсаров важное значение имеет вывод о том, что размеры этих объектов должны быть очень малыми. Это следует из наблюдаемой кратковременности импульсов излучения, идущего от пульсаров. Если Δ𝑡 – продолжительность импульса и 𝑐 – скорость света, то линейный размер излучающей области должен удовлетворять неравенству 𝑅≲𝑐Δ𝑡 (так как излучение от более удалённой части области запаздывает по сравнению с излучением от ближайшей части на время 𝑅/𝑐). Принимая Δ𝑡≈0,01 с, получаем, что размер излучающей области не превосходит 1000 км. Такой же вывод может быть сделан и на основании малости периодов пульсаров. В качестве механизма, вызывающего пульсацию блеска, можно рассматривать колебания тела или его вращение. В обоих случаях при массе тела, близкой к массе Солнца, и при периоде около 0,1 с для радиуса тела получаются значения порядка 100 км.

Заключение о чрезвычайно малых размерах пульсаров привело к гипотезе о том, что они являются нейтронными звёздами. Возможность существования таких звёзд была предсказана Л. Д. Ландау ещё в 1932 г. Эти звёзды, в которых давление вырожденного нуклонного газа уравновешивает силу тяготения, должны иметь радиусы порядка 10 км.

Разумеется, модель пульсара в виде нейтронной звезды с тепловым излучением не может объяснить наблюдаемых характеристик пульсаров. В настоящее время наиболее приемлемой считается модель пульсара, предложенная Голдом. Пульсар представляет собой быстро вращающуюся нейтронную звезду с сильным магнитным полем, причём магнитная ось образует некоторый угол с осью вращения. Поскольку период пульсара принимается равным периоду вращения звезды, то скорость вращения на её экваторе должна быть порядка 10⁸ см/с. Звезда может выдержать такое вращение не разрываясь. Вероятная напряжённость магнитного поля на поверхности звезды достигает значений порядка 10¹² эрстед.

Столь сильное магнитное поле жёстко связывает звезду с окружающей её плазмой, которая вращается вместе с звездой. Это совместное вращение прекращается на границе, где скорость вращения становится порядка скорости света. При пересечении плазмой этой границы возникает магнитно-тормозное излучение, направленное по касательной к границе. Чтобы объяснить импульсный характер излучения, надо допустить неустойчивость плазмы в определённом месте. Когда эта плазма пересекает упомянутую границу, то светится некоторая небольшая область. Вследствие вращения этой области и направленности излучения мы имеем подобие маяка.

Согласно описанной модели, свечение пульсара происходит за счёт энергии вращения. Следовательно, с течением времени скорость вращения звезды должна убывать. Зная энергию, излучаемую пульсаром, а также массу и скорость вращения звезды, можно легко определить увеличение периода за единицу времени. Вычисленные значения этой величины находятся в согласии с наблюдательными данными, указанными выше. Для объяснения внезапных изменений периода было высказано предположение, что они вызываются перестройкой твёрдой коры нейтронной звезды.

Результаты исследования пульсаров подробно изложены в книгах [14], [15], [16] и др.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI

Соболев В. В. Движущиеся оболочки звёзд. – Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1947.

Горбацкий В. Г.,Минин И. Н. Нестационарные звёзды. – М.: Физ-матгиз, 1963.

Воронцов-Вельяминов Б. А. Газовые туманности и новые звёзды. —М.: Изд-во АН СССР, 1948.

Амбарцумян В. А. Научные труды, т. II. – Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1960.

Вспыхивающие звёзды. – Ереван.: Изд-во АН АрмССР, 1977.

Мирзоян Л. В. Нестационарность и эволюция звёзд. – Ереван.: Изд-во АН АрмССР, 1981.

Гурзадян Г. А. Вспыхивающие звёзды.– М.: Наука, 1973.

Гершберг Р. Е. Вспыхивающие звёзды малых масс. – М.: Наука, 1978.

Звёзды, туманности, галактики. – Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1969.

Kraft R. P. Cataklysmic variables as binary Stars, 1963 (русск. перевод. Крафт Р. Взрывные переменные как двойные звёзды. – М.: Мир, 1965).

Горбацкий В. Г. Новоподобные и новые звёзды. – М.: Наука, 1974.

Шкловский И. С. Сверхновые звёзды. – М.: Наука, 1966.

Гинзбург В. Л., Сыроватский С. И. Происхождение космических лучей. – М.: Изд-во АН СССР, 1963.

Каплан С. А., Цытович В. Н. Плазменная астрофизика. – М.: Наука, 1972.

Дайсон Ф., Тер-Хаар Д. Нейтронные звёзды и пульсары. – М.: Мир, 1973.

Smith F. G. Pulsars, 1977 (русский перевод: Смит Ф. Г. Пульсары.– М.: Мир, 1977).

Глава VII МЕЖЗВЁЗДНАЯ СРЕДА

Межзвёздное вещество в нашей Галактике встречается как в виде пыли, так и в виде газа. Существование межзвёздной пыли обнаруживается прежде всего по производимому ею поглощению света звёзд в непрерывном спектре. Это поглощение является селективным: в красной части спектра оно слабее, чем в фиолетовой; по этой причине далёкие объекты кажутся нам «покрасневшими».

В некоторых участках неба поглощение оказывается особенно сильным. Оно вызывается находящимися сравнительно близко от нас тёмными пылевыми туманностями. В Галактике наблюдаются также светлые пылевые туманности, которые светятся вследствие отражения ими излучения звёзд.

О присутствии газа в межзвёздном пространстве позволяют судить вызываемые им линии поглощения в звёздных спектрах. Вблизи горячих звёзд межзвёздный газ сильно ионизован и он светится за счёт ультрафиолетовой энергии звёзд. Излучение межзвёздного газа, как линейчатое, так и непрерывное, наблюдается не только в видимой области спектра, но и в области радиочастот.

Межзвёздное вещество довольно сильно концентрируется к плоскости Галактики. В первом приближении считается, что оно образует однородный слой или что его плотность с удалением от галактической плоскости убывает по экспоненциальному закону.

В действительности межзвёздное вещество весьма неоднородно и характеризуется сильными флуктуациями плотности. Иногда принимается, что оно состоит из отдельных облаков, движущихся друг относительно друга. Следует заметить, что если бы в какой-то момент межзвёздная материя и была однородной, то через некоторое время, благодаря движению звёзд и производимому ими световому давлению, создались бы области пониженной и повышенной плотности.

Количество межзвёздного вещества в Галактике очень велико. По-видимому, его масса составляет около одной сотой массы звёзд. Поэтому межзвёздное вещество должно играть большую роль как в физических, так и в космогонических процессах, происходящих в Галактике.

§ 32. Межзвёздная пыль

1. Связь между звёздами и туманностями.

Как уже сказано, свечение туманностей происходит под действием излучения звёзд. Почти всегда можно точно указать ту звезду или группу звёзд, которая вызывает свечение данной туманности. Как показывают наблюдения, свечение газовых туманностей вызывается очень горячими звёздами (спектральных классов O и B1). Этот факт вполне понятен, так как энергия ультрафиолетового излучения более холодных звёзд слишком мала, чтобы вызвать заметное свечение туманности в видимой части спектра. Из наблюдений также следует, что пылевые туманности светятся в основном под действием излучения более холодных звёзд (спектральных классов более поздних, чем B1). С первого взгляда кажется странным отсутствие пылевых туманностей, отражающих излучение горячих звёзд. Для объяснения этого явления были высказаны некоторые гипотезы. Согласно одной из них горячие звёзды, являющиеся вместе с тем и звёздами высокой светимости, отгоняют от себя пыль световым давлением. Согласно другой гипотезе, под действием излучения горячей звезды пыль превращается в газ. В действительности указанные наблюдательные данные объясняются, по-видимому, тем, что в пылевых туманностях всегда содержится некоторое количество газа. Если туманность находится близко от холодной звезды, то пыль светится, а газ нет. Если же рядом с туманностью расположена горячая звезда, то светятся и пыль, и газ. Однако газ светится гораздо ярче пыли, так как ультрафиолетовое излучение горячей звезды гораздо интенсивнее её излучения в видимой части спектра.

Интересно выяснить характер связи между туманностью и освещающей её звездой. Туманность и звезда могут быть связаны между собой генетически (т.е. общим происхождением), а могут и случайно встретиться друг с другом при движении в Галактике. В. А. Амбарцумян и Ш. Г. Горделадзе [1] следующим путём решили эту задачу.

Если связь между туманностью и звездой случайная, то числа туманностей, связанных со звёздами различных спектральных классов, должны быть пропорциональны частям пространства, освещённых звёздами этих классов. Посмотрим, соблюдается ли в действительности такая пропорциональность?

Каждая звезда освещает вокруг себя объём 𝑉, освещённость внутри которого превосходит некоторое критическое значение 𝐸. Когда туманность попадает в этот объём, то она является светлой, вне же этого объёма она тёмная. Очевидно, что для звезды светимости 𝐿 радиус 𝑟₀ указанного объёма определяется из соотношения

𝐸

𝐿

4π𝑟₀²

(32.1)

а величина самого объёма равна

𝑉

⎛

⎜

⎝

𝐿

4π𝑟𝐸

⎞³/₂

⎟

⎠

(32.2)

Так как светимость 𝐿 связана с абсолютной величиной звезды 𝑀 соотношением 𝐿~10^-0,4𝑀, то вместо (32.2) имеем

𝑉

𝑉₀

^-0,6𝑀

(32.3)

где 𝑉₀ – значение объёма 𝑉 для звезды нулевой абсолютной величины.

Пусть φ(𝑀) – функция светимости для звёзд данного спектрального класса, т.е. φ(𝑀)𝑑𝑀 – вероятность того, что абсолютная величина звезды заключена в интервале от 𝑀 до 𝑀+𝑑𝑀. Тогда среднее значение объёма 𝑉 для звёзд этого класса будет равно

𝑉

𝑉₀

+∞

∫

–∞

φ(𝑀)

⋅

^-0,6𝑀

𝑑𝑀

(32.4)

Если мы обозначим через 𝑛 число звёзд данного спектрального класса в единице объёма, то величина 𝑛𝑉 будет представлять собой искомую долю пространства, освещённого этими звёздами.

Для вычисления интеграла (32.4) В. А. Амбарцумян предложил использовать основное интегральное уравнение звёздной статистики

𝑁(𝑚)

∞

∫

𝑛(𝑟)

φ(𝑀)

𝑟²

𝑑𝑟

(32.5)

где 𝑁(𝑚) – число звёзд рассматриваемого спектрального класса видимой звёздной величины от 𝑚-½ до 𝑚+½, находящихся в телесном угле Ω. Будем считать, что звёзды распределены в пространстве равномерно, т.е. 𝑛=const. Тогда, принимая во внимание известную формулу

𝑀

𝑚

5-5

lg 𝑟

(32.6)

вместо (32.5) получаем

𝑁(𝑚)

Ω𝑛

5 lg 𝑒

+∞

∫

–∞

φ(𝑀)

⋅

^{0,6(𝑚-𝑀)+3}

𝑑𝑀

(32.7)

Здесь не учитывается поглощение света в Галактике. Сравнивая между собой соотношения (32.4) и (32.7), находим

𝑛

𝑉

𝑁(𝑚)𝑉₀

⋅

^-3-0,6𝑚

5 lg 𝑒

(32.8)

Формула (32.8) даёт возможность легко определить величину 𝑛𝑉 по наблюдательным данным. Значения этой величины для звёзд разных спектральных классов приведены в табл. 49. В той же таблице даны для сравнения числа туманностей, освещённых звёздами этих классов.

Таблица 49

Сопоставление долей пространства,

освещённого звёздами разных классов,

с числами туманностей,

светящихся под действием излучения таких звёзд

Спектральный

класс

𝑛

𝑉

⋅10⁴

Число

туманностей

0,2

0,6

B1-B9

2,9

0,8

0,25

0,18

0,25

0,02

Мы видим, что числа в столбцах табл. 49 между собой приблизительно пропорциональны. Отсюда можно сделать вывод, что связь между туманностями и звёздами является случайной.

Строго говоря, данные для звёзд классов O и B0 не следовало бы включать в таблицу, так как эти звёзды связаны с газовыми туманностями, а не с пылевыми. Поэтому объём пространства, освещённый такой звездой, не будет определяться формулой (32.2).

Из таблицы можно вывести ещё одно важное следствие. Если мы сложим все числа 𝑛𝑉, то получим долю пространства, освещённую всеми звёздами. Эта доля равна 5⋅10⁻⁴. Так как светятся только те туманности, которые попадают в освещённые части пространства, то мы приходим к заключению, что число светлых туманностей в Галактике примерно в 2000 раз меньше числа тёмных туманностей.

Таким образом, число тёмных туманностей в Галактике оказывается очень большим. Оценив это число и приняв некоторое среднее значение для оптической толщины туманности, полученное по наблюдениям известных тёмных туманностей, мы можем определить величину среднего поглощения, обусловленного туманностями, на единице пути. Эта величина оказывается примерно равной находимой из наблюдений величине общего поглощения света в Галактике (порядка одной звёздной величины на килопарсек в галактической плоскости). Поэтому мы можем считать, что общее поглощение света в Галактике вызывается в основном наличием в ней большого числа пылевых туманностей. Вследствие случайного распределения туманностей поглощение света в Галактике является очень неравномерным. Если туманность находится близко от нас и её оптическая толщина сравнительно велика, то присутствие такой туманности обнаруживается по заметному уменьшению числа звёзд до определённой величины в данной области неба.

2. Флуктуации яркости Млечного Пути.

Клочковатая структура межзвёздной среды приводит к большим различиям в яркости неба в разных направлениях. Задавая число туманностей (или, как иногда говорят, облаков) на единице пути и их поглощательную способность, мы можем определить вероятности тех или иных яркостей. Сделаем это, следуя работе В. А. Амбарцумяна [1].

Возьмём для простоты плоскость Галактики и предположим, что звёзды распределены в ней равномерно. Коэффициент излучения, обусловленный звёздами, обозначим через ε. Будем считать, что все туманности обладают одинаковой прозрачностью, равной 𝑞. Число туманностей, расположенных в заданном направлении до расстояния 𝑠. от нас, обозначим через 𝑛(𝑠). Тогда интенсивность излучения, приходящего к нам в этом направлении, будет равна

∞

∫

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

В разных направлениях поведение целочисленной функции 𝑛(𝑠) различно, вследствие чего и возникают флуктуации яркости неба.

Пусть 𝑓(𝐼) – вероятность того, что интенсивность излучения меньше 𝐼, т.е.

𝑓(𝐼)

𝑃

⎛

⎜

⎝

∞

∫

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

𝐼

⎞

⎟

⎠

(32.9)

Для определения функции 𝑓(𝐼) применим следующий приём.

Перепишем формулу (32.9) в виде

𝑓(𝐼)

𝑃

⎛

⎜

⎝

𝑎

∫

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

ε𝑞

^𝑛(𝑎)

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

𝐼

⎞

⎟

⎠

(32.10)

где 𝑎 – некоторое малое расстояние. Можно считать, что величина 𝑛(𝑎) принимает либо значение 𝑛(𝑎)=0, либо 𝑛(𝑎)=1. Обозначим через ν среднее число облаков на единице пути. Тогда вероятность первого из указанных значений 𝑛(𝑎) будет 1-ν𝑎 а вероятность второго ν𝑎. Вероятностями других значений при малых 𝑎 можно пренебречь. Очевидно, что в первом из рассмотренных случаев интеграл

𝑎

∫

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

равен

𝑎

а во втором случае он равен 𝑎θ где 0<θ<1. Поэтому вместо соотношения (32.10) получаем

𝑓(𝐼)

(1-ν𝑎)

𝑃

⎛

⎜

⎝

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

𝐼

–

𝑎ε

⎞

⎟

⎠

ν𝑎𝑃

⎛

⎜

⎝

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

𝐼-𝑎θε

𝑞

⎞

⎟

⎠

(32.11)

Так как при перемене места наблюдения вероятность измерить ту или иную яркость не должна меняться, то мы имеем

𝑃

⎛

⎜

⎝

∞

∫

𝑎

𝑞

^{𝑛(𝑠)-𝑛(𝑎)}

𝑑𝑠

𝐼

⎞

⎟

⎠

𝑃

⎛

⎜

⎝

∞

∫

𝑞

^𝑛(𝑠)

𝑑𝑠

𝐼

⎞

⎟

⎠

(32.12)

Вследствие этого уравнение (32.11) принимает вид

𝑓(𝐼)

(1-ν𝑎)

𝑓(𝐼-𝑎ε)

ν𝑎𝑓

⎛

⎜

⎝

𝐼-𝑎θε

𝑞

⎞

⎟

⎠

(32.13)

Пользуясь малостью 𝑎 вместо (32.13), находим

𝑓(𝐼)

(1-ν𝑎)

⎡

⎣

𝑓(𝐼)

–

𝑎ε𝑓 '(𝐼)

⎤

⎦

ν𝑎𝑓

⎛

⎜

⎝

𝐼

𝑞

⎞

⎟

⎠

(32.14)

или

𝑓(𝐼)

𝑓 '(𝐼)

𝑓

⎛

⎜

⎝

𝐼

𝑞

⎞

⎟

⎠

(32.15)

Введём вместо 𝐼 безразмерную яркость 𝑢, равную

𝑢

𝐼

(32.16)

Тогда для определения функции 𝑓(𝑢) будем иметь уравнение

𝑓(𝑢)

𝑓 '(𝑢)

𝑓

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑞

⎞

⎟

⎠

(32.17)

Обозначим через 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢 вероятность того, что безразмерная яркость 𝑢 заключена в интервале от 𝑢 до 𝑢+𝑑𝑢. Так как 𝑔(𝑢)=𝑓 '(𝑢), то из уравнения (32.17) получаем

𝑔(𝑢)

𝑔'(𝑢)

𝑞

𝑔

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑞

⎞

⎟

⎠

(32.18)

Уравнение (32.18) является искомым. Из него можно легко получить выражение для функции 𝑔(𝑢) в виде некоторого ряда. Уравнение (32.18) даёт также возможность определить моменты функции 𝑔(𝑢), т.е. величины

𝑢

^𝑘

∞

∫

𝑢

^𝑘

𝑔(𝑢)

𝑑𝑢

(32.19)

без предварительного нахождения функции 𝑔(𝑢).

Найдём, например, величины 𝑢 и 𝑢², представляющие интерес для некоторых применений теории. Умножая уравнение (32.18) на 𝑢, интегрируя по 𝑢 в пределах от 0 до ∞ и используя условие нормировки функции 𝑔(𝑢), получаем

𝑢

1-𝑞

(32.20)

После умножения уравнения (32.18) на 𝑢² и интегрирования, аналогично находим

𝑢²

(1-𝑞)(1-𝑞²)

(32.21)

При помощи (32.20) и (32.21) получаем следующее выражение для относительного среднего квадратичного отклонения:

(𝑢-𝑢)²

𝑢²

–

1-𝑑

1+𝑑

(32.22)

Приведённые теоретические результаты можно сравнить с наблюдательными данными. В качестве последних берутся фотометрические карты Млечного Пути. На основании этих карт находится средняя яркость 𝐼 и относительное среднее квадратичное отклонение

(𝐼-𝐼)²

𝐼²

При помощи формул (32.16) и (32.20) получаем

𝐼

𝑢

1-𝑞

(32.23)

Пользуясь также формулой (32.22), находим

(𝐼-𝐼)²

𝐼²

1-𝑞

1+𝑞

(32.24)

Так как левые части полученных соотношений известны из наблюдений, то эти соотношения дают возможность определить величины 𝑞 и ε/ν.

Указанным способом для средней прозрачности облака было получено значение 𝑞=0,8. Следовательно, при прохождении света звезды через облако происходит ослабление её яркости на 0,25 звёздной величины. При помощи формулы (32.23) было также найдено значение величины ε/ν. При известной из звёздных подсчётов величине ε это позволило определить величину ν. Оказалось, что в среднем на пути в 1 килопарсек находятся четыре туманности. Таким образом, пылевые туманности в Галактике производят поглощение, равное приблизительно одной звёздной величине на килопарсек. Этот результат находится в согласии с величиной поглощения, полученной из наблюдательных данных об ослаблении света далёких объектов в галактической плоскости.

Наличие пылевой материи в Галактике вызывает поглощение света не только звёзд, но и внегалактических туманностей (т.е. других галактик). Как известно, число внегалактических туманностей 𝑁 до определённой звёздной величины убывает с уменьшением галактической широты 𝑏. При этом область неба близ галактического экватора является «зоной избегания» для внегалактических туманностей. Объясняется это тем, что с уменьшением 𝑏 растёт оптический путь луча в слое поглощающей материи. По изменению величины 𝑁 в зависимости от 𝑏 можно определить оптическую толщину этого слоя (она оказывается порядка 0,5). Можно также рассмотреть изменение величины 𝑁 в зависимости от галактической долготы 𝑙 при постоянном 𝑏 При изменении 𝑙 величина 𝑁 обнаруживает значительные флуктуации, вызываемые случайным распределением пылевых облаков в Галактике. В. А. Амбарцумян создал теорию флуктуаций чисел внегалактических туманностей и на её основе определил среднюю оптическую толщину одного облака.

3. Свечение пылевых туманностей.

Пылевые туманности светятся благодаря отражению ими излучения звёзд (вследствие чего они иногда называются отражательными туманностями). По свечению туманностей можно судить о природе пылевых частиц. Очевидно, что для этого надо связать наблюдаемые яркости туманностей с величинами, характеризующими процессы рассеяния света в элементарном объёме.

Теоретическое определение яркостей туманностей встречается с большими трудностями. Одна из них вызвана весьма сложными геометрическими формами туманностей. Другая трудность обусловлена тем, что каждый элементарный объём туманности рассеивает излучение, приходящее не только от звезды, но и от других частей туманности. Иными словами, в туманностях происходит многократное рассеяние света.

Однако для решения задачи об определении оптических свойств пылевых частиц нам нет необходимости рассматривать сложные формы туманностей, а достаточно ограничиться простыми. Мы рассмотрим сейчас однородную сферическую туманность с находящейся в её центре звездой. По-видимому, некоторые из наблюдаемых туманностей можно считать сферическими, так как их изофоты близки к окружностям.

Предположим, что звезда светимости 𝐿 находится в центре сферической туманности радиуса 𝑟₀. Оптические свойства вещества туманности будем характеризовать объёмным коэффициентом поглощения α, вероятностью выживания кванта при элементарном акте рассеяния λ (эту величину можно также назвать альбедо частицы) и индикатрисой рассеяния 𝑥(γ), где γ – угол между направлением излучения, падающего на данный объём, и направлением излучения, рассеянного этим объёмом. Подразумевается, что величины α, λ и 𝑥(γ) зависят от частоты.

Рассмотрим процесс многократного рассеяния света в туманности. Искомую интенсивность диффузного излучения обозначим через 𝐼. Она зависит как от расстояния 𝑟 от звезды, таки от угла θ между направлением излучения и радиусом-вектором. Уравнение переноса излучения, служащее для определения величины 𝐼, в случае сферической симметрии имеет вид

cos θ

∂𝐼

∂𝑟

–

sin θ

𝑟

∂𝐼

∂θ

α𝐼

(32.25)

где ε – объёмный коэффициент излучения. Вводя обозначения τ=α𝑟 и ε=α𝑆, вместо уравнения (32.25) получаем

cos θ

∂𝐼(τ,θ)

∂τ

–

sin θ

∂𝐼(τ,θ)

∂θ

𝐼(τ,θ)

𝑆(τ,θ)

(32.26)

Величина 𝑆 обусловлена рассеянием света, приходящим в данный объём как от звезды, так и от туманности. Она может быть представлена в виде

𝑆

∫

𝐼𝑥(γ)

𝑑ω

4π

λ𝑥(θ)𝐿

16π²𝑟²

𝑒⁻

^τ

(32.27)

где интегрирование производится по всем направлениям. Считая, что направление излучения в данном месте характеризуется полярным углом θ и азимутом φ, мы получаем

cos

θ'

sin

θ'

cos(φ-φ')

(32.28)

и 𝑑ω=sin θ' 𝑑θ' 𝑑φ'. Обозначая

2π

∫

𝑥(γ)

𝑑φ

𝑝(θ,θ')

(32.29)

𝐿α²

16π²

𝐴

(32.30)

вместо уравнения (32.27) находим

𝑆(τ,θ)

∫

𝐼(τ,θ')

𝑝(τ,θ')

sin

θ'

λ𝑥(θ)

𝐴

τ²

𝑒⁻

^τ

(32.31)

Таким образом, для определения искомых функций 𝑆(τ,θ) и 𝐼(τ,θ) мы имеем уравнения (32.26) и (32.31). К ним надо ещё добавить граничное условие, выражающее собой тот факт, что нет излучения, падающего на туманность извне.

Из уравнений (32.26) и (32.31) мы можем получить интегральное уравнение, определяющее функцию 𝑆(τ,θ). Для этого надо найти величину 𝐼(τ,θ) из уравнения (32.26) и подставить её в уравнение (32.31).

В случае сферической индикатрисы рассеяния, т.е. при 𝑥(γ)=1, величина 𝑆 зависит только от τ. В данном случае упомянутое интегральное уравнение получается в виде

τ𝑆(τ)

τ₀

∫

⎡

⎣

𝐸₁|τ-τ'|

–

𝐸₁|τ+τ'|

⎤

⎦

𝑆(τ')τ'

𝑑τ'

λ𝐴

𝑒⁻

^τ

(32.32)

где τ₀=α𝑟₀ – оптический радиус туманности.

При τ₀=∞ легко найти точное решение уравнения (32.32). Вводя функцию

𝑈(τ)

∞

∫

𝑆(τ)τ

𝑑τ

(32.33)

мы для её решения получаем уравнение

𝑈(τ)

τ₀

∫

⎡

⎣

𝐸₁|τ-τ'|

–

𝐸₁|τ+τ'|

⎤

⎦

𝑈(τ')τ'

𝑑τ'

λ𝐴𝐸₁τ

(32.34)

Обозначая через Γ(τ,τ') резольвенту уравнения (32.34) и полагая Γ(τ,0)=Φ(τ), мы видим, что 𝑈(τ)=𝐴Φ(τ), а значит,

𝑆(τ)

𝐴

Φ'(τ)

(32.35)

Что же касается функции Φ(τ), то она была определена ранее формулой (27.21). Пользуясь этой формулой, находим

𝑆(τ)

𝐴

⎧

⎨

⎩

4λ

∞

∫

𝑥²𝑒

^-𝑥τ

𝑑𝑥

(λπ)²

⎛

⎜

⎝

2𝑥

𝑥-1

⎞

⎟

⎠

𝑥+1

2𝑘²(1-𝑘²)

𝑒

^-𝑘τ

⎫

⎬

⎭

λ+𝑘²-1

(32.36)

где величина 𝑘 связана с λ уравнением

2𝑘

1+𝑘

1-𝑘

Функция 𝑆(τ) включает в себя в виде слагаемого величину

𝑆₁(τ)

λ𝐴

τ²

𝑒

^-τ

(32.37)

представляющую собой функцию 𝑆(τ), обусловленную рассеянием первого порядка. В табл. 50 приведены значения отношения 𝑆(τ)/𝑆₁(τ), вычисленные при помощи формул (32.36) и (32.37) для разных значений альбедо частицы λ.

Таблица 50

Значения величины 𝑆(τ)/𝑆₁(τ)

0,3

0,5

0,7

0,9

1,0

1,00

0,1

1,07

1,12

1,17

1,24

1,29

0,2

1,12

1,23

1,35

1,51

1,65

0,4

1,22

1,43

1,70

2,14

2,66

0,6

1,31

1,62

2,08

2,90

4,11

0,8

1,40

1,82

2,49

3,81

6,13

1,0

1,47

2,00

2,92

4,89

8,92

1,5

1,65

2,47

4,11

8,50

20,90

2,0

1,80

2,94

5,50

13,80

45,00

2,5

1,95

3,42

7,11

21,40

92,00

3,0

2,08

3,91

8,98

32,10

181,00

Таблица ясно показывает, какова роль рассеяний высших порядков при разных λ. При каждом λ вокруг звезды существует область, в которой рассеяния высших порядков играют меньшую роль, чем однократное рассеяние, но вне этой области положение обратное. Размеры упомянутой области тем больше, чем меньше λ. Однако надо иметь в виду, что в реальных туманностях величина τ₀ конечная, а индикатриса рассеяния отличается от сферической. Поэтому результаты, приведённые в табл. 50, по отношению к туманностям носят лишь иллюстративный характер.

Уравнения (32.26) и (32.31) при любом оптическом радиусе туманности τ₀ и при произвольной индикатрисе рассеяния 𝑥(γ) могут быть решены приближённым методом. В этом случае величина 𝑆(τ,θ) представляется в виде

𝑆(τ,θ)

λ𝑥(θ)

𝐴

τ²

𝑒

^-τ

𝑆(τ,θ,𝑥₁,λ,τ₀)

(32.38)

где рассеяние первого порядка учитывается точно, а рассеяние высших порядков – приближённо. При этом величина Δ𝑆 зависит не от всей индикатрисы рассеяния, а только от параметра 𝑥₁ представляющего собой первый коэффициент в разложении 𝑥(γ) по полиномам Лежандра.

Рис. 44

Если функция 𝑆(τ,θ) известна, то можно легко найти распределение яркости по диску туманности (рис. 44). Обозначим через 𝐼(ρ) интенсивность излучения, выходящего из туманности на расстоянии ρ от центра диска (в прежних обозначениях это есть 𝐼(τ₀,θ₀))). Как следует из уравнения переноса излучения, величина 𝐼(ρ) равна

𝐼(ρ)

𝑠₀

∫

–𝑠₀

𝑆(τ,θ)

𝑒

^{-α(𝑠₀-𝑠)}

𝑑𝑠

(32.39)

где 𝑠₀=√𝑟₀²-ρ². Переходя здесь к новой переменной интегрирования θ посредством соотношений τ=αρ/sin θ и 𝑠=ρ ctg θ, получаем

𝐼(ρ)

π-θ₀

∫

θ₀

𝑆

⎛

⎜

⎝

σρ

sin θ

,θ

⎞

⎟

⎠

exp

⎛

⎝

–α

√

𝑟₀²-ρ²

ctg

⎞

⎠

αρ 𝑑θ

sin²θ

(32.40)

где sin θ₀=ρ/𝑟₀.

Знание величины 𝐼(ρ) даёт возможность вычислить светимость туманности, которая, очевидно, равна

𝐿

_𝑛

4π⋅2π

𝑟₀

∫

𝐼(ρ)

𝑑ρ

(32.41)

Для отношения светимости туманности 𝐿_𝑛 к наблюдаемой светимости звезды 𝐿_∗ находим

8π²

𝑟₀

∫

𝐼(ρ)

𝑑ρ

𝐿

_𝑛

𝐿

_∗

𝐿𝑒

^-τ₀

(32.42)

Теоретические значения величин 𝐼(ρ) и 𝐿_𝑛/𝐿_∗ могут быть сравнены с результатами наблюдений. Путём такого сравнения можно пытаться определить оптические свойства туманности, т.е. величины τ₀, λ и 𝑥(γ).

Особенно просто получаются некоторые сведения об указанных величинах в тех случаях, когда оптический радиус туманности мал (τ₀≪1). В этом случае функция 𝑆(τ,θ) определяется формулой

𝑆(τ,θ)

λ𝐿

16π²𝑟²

𝑥(θ)

(32.43)

и вместо соотношения (32.40) находим

𝐼(ρ)

λ𝐿α

16π²ρ

π-θ₀

∫

θ₀

𝑥(θ)

𝑑θ

(32.44)

Отсюда следует:

𝑑𝐼(ρ) ρ

𝑑ρ

λ𝐿α

16π²√𝑟₀²-ρ²

⎡

⎣

𝑥(θ₀)

𝑥(π-θ₀)

⎤

⎦

(32.45)

Мы видим, что из формулы (32.45) нельзя найти полностью индикатрису рассеяния 𝑥(θ), а можно получить лишь сумму 𝑥(θ)+𝑥(π-θ). Однако в случае рассеяния света пылевыми частицами доля света, рассеянного вперёд, обычно гораздо больше доли света, рассеянного назад. Следовательно, и по этой сумме можно получить более или менее правильное представление об индикатрисе рассеяния.

Чтобы при τ₀≪1 определить величину 𝐿_𝑛/𝐿_∗, надо подставить в формулу (32.42) выражение (32.44). Делая это и производя интегрирование, находим

𝐿_𝑛

𝐿_∗

λτ₀

(32.46)

Эта формула совершенно очевидна, так как при τ₀≪1 количество энергии, поглощённое туманностью, равно 𝐿(1-𝑒^-τ₀)≈𝐿τ₀, а из этой энергии туманность рассеивает долю λ.

Применение формул (32.45) и (32.46) к определению оптических свойств пылевых туманностей было произведено И. Н. Мининым. Полученные им значения величины 𝑥(γ)+𝑥(π-γ) для туманностей IC 431 и IC 435 приведены в табл. 51. Здесь использована обычная нормировка индикатрисы рассеяния, т.е.

∫

𝑥(γ)

𝑑ω

4π

Числа в скобках найдены путём экстраполяции.

Таблица 51

Значения величины 𝑥(γ)+𝑥(π-γ)

для двух туманностей

IC 431

IC 435

(35)

(8,4)

7,3

3,7

6,4

2,4

3,8

2,2

2,5

1,4

1,1

0,96

0,82

0,79

0,75

0,73

(0,69)

(0,70)

Для тех же туманностей были получены также значения величины λτ₀ по формуле (32.46). Они оказались равными 0,063 и 0,16 соответственно. Так как τ₀=α𝑟₀, а λα представляет собой объёмный коэффициент рассеяния σ, то мы имеем λτ₀=σ𝑟₀. При помощи этого соотношения для указанных туманностей была определена величина σ по значениям величины λτ₀ и радиуса туманности 𝑟₀.

Как показывают наблюдения, туманности с изофотами, близкими к окружностям, составляют довольно значительную долю светящихся диффузных туманностей. Однако трудно думать, что каждая из них представляет собой приблизительно сферическую туманность с находящейся в её центре звездой. По-видимому, большинство таких туманностей является просто освещёнными частями более обширных туманностей. Очевидно, что освещённая часть будет приблизительно сферической даже в случае бесформенной туманности, если её оптическая толщина по порядку превосходит единицу и плотность вещества в ней не сильно меняется. При определении функции 𝑆(τ,θ) для этих туманностей можно приближённо принять τ₀=∞, что ведёт к значительному упрощению вычислений.

4. Природа пылевых частиц.

Как было показано выше, изучение свечения пылевых туманностей даёт возможность определить некоторые величины, характеризующие их оптические свойства: объёмный коэффициент поглощения α, альбедо частицы λ и индикатрису рассеяния 𝑥(γ). В свою очередь знание этих величин позволяет сделать попытку решить вопросы о форме, размерах и концентрации пылевых частиц, а также о природе вещества, из которого они состоят.

Для решения этих вопросов используются результаты теории рассеяния света на отдельных частицах (см.,например, [2]). К настоящему времени выполнены многочисленные расчёты величин α, λ и 𝑥(γ) для частиц разной формы (шаров, цилиндров, дисков) и с различными показателями преломления. Вообще говоря, показатель преломления представляется в комплексной форме. Для диэлектрических частиц мнимая часть показателя преломления равна нулю, для металлических частиц она отлична от нуля. В первом случае частицы производят чистое рассеяние излучения λ=1, во втором случае – как рассеяние, так и истинное поглощение λ<1

Наиболее полно изучено рассеяние света на сферических частицах. Оптические свойства этих частиц зависят как от показателя преломления, так и от отношения радиуса частицы к длине волны излучения.

Применение указанной теории к изучению пылевых туманностей не приводит, однако, к вполне определённым результатам, так как при этом приходится делать различные предположения. Обычно заранее задаётся форма частиц и показатель преломления, и путём сравнения оптических свойств, полученных теоретически и из наблюдений, находятся размеры частиц.

При рассмотрении двух упомянутых выше туманностей было принято, что они состоят из диэлектрических частиц сферической формы. Сравнение теоретических и наблюдённых значений величины 𝑥(γ)+𝑥(π-γ) (последние приведены в табл. 51) дало для среднего радиуса частицы значение 𝑎=6,7⋅10⁻⁶ см. Примерно такие же значения 𝑎 были найдены для пылевых туманностей и другими способами. Поэтому считается, что средние размеры частиц межзвёздной пыли порядка 10⁻⁵ см.

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"