Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 31 (всего у книги 35 страниц)

Для объяснения происхождения таких линий принимается, что в межзвёздных облаках действует мазерный эффект, заключающийся в усилении линий вследствие отрицательного поглощения (иначе называемого индуцированным излучением). Как уже говорилось выше (в §8), отрицательное поглощение состоит в том, что падающее на атом (или молекулу) излучение вызывает переход с верхнего уровня на нижний, при котором вместо одного падающего кванта появляются два кванта, летящие в том же направлении. Чтобы отрицательное поглощение преобладало над обычным поглощением, необходимо выполнение неравенства

𝑛₁

<

𝑔₁

𝑔₂

𝑛₂

(если считать, что линия возникает при переходе 2→1). В таком случае происходит не уменьшение, а увеличение интенсивности излучения вдоль луча.

Для выполнения же приведённого неравенства должен существовать механизм накачки, обеспечивающий достаточно большое число молекул на втором уровне (превосходящее их число при бальмеровской распределении, соответствующем бесконечно большой температуре). Таким механизмом может быть возбуждение более высоких уровней излучением в других линиях с последующим спонтанным переходом на второй уровень.

Напишем выражение для интенсивности излучения, выходящего в частотах линии из межзвёздного облака. Пусть на облако падает излучение интенсивности 𝐼_ν⁰ и по пути происходит поглощение и испускание лучистой энергии с соответствующими объёмными коэффициентами σ_ν и ε_ν. Тогда интенсивность выходящего из облака излучения будет равна

𝐼

_ν

=

𝐼

_ν

⁰

exp

⎛

⎝

–

𝑡

_ν

⁰

⎞

⎠

+

ε_ν

σ_ν

⎡

⎣

1

–

exp

⎛

⎝

–

𝑡

_ν

⁰

⎞

⎠

⎤

⎦

,

(34.22)

где 𝑡_ν⁰=σ_ν𝑠₀ – оптический путь луча в облаке и 𝑠₀ – его геометрический путь.

При учёте индуцированного излучения для объёмного коэффициента поглощения имеем

σ

_ν

=

⎛

⎜

⎝

𝑛₁

–

𝑔₁

𝑔₂

𝑛₂

⎞

⎟

⎠

𝑘

_ν

,

(34.23)

где 𝑘_ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на одну молекулу. Мы примем, что коэффициент излучения ε_ν также пропорционален величине 𝑘_ν. Тогда, пользуясь формулой

4π

∫

ε_ν

ℎν

𝑑ν

=

𝑛₂

𝐴₂₁

и соотношением (8.12), находим

ε

_ν

=

𝑛₂

𝐴₂₁

𝑐𝑘_ν

4π𝐵₁₂

.

(34.24)

Подстановка выражений (34.23) и (34.24) в формулу (34.22) даёт

𝐼

_ν

=

𝐼

_ν

⁰

exp

⎛

⎝

–

𝑡

_ν

⁰

⎞

⎠

+

2ℎν₀³

𝑔₁

𝑛₂

×

𝑐²

𝑔₂

𝑛₁

–

𝑔₁

𝑛₂

𝑔₂

×

⎡

⎣

1

–

exp

⎛

⎝

–

𝑡

_ν

⁰

⎞

⎠

⎤

⎦

,

(34.25)

где принята во внимание зависимость (8.5) между эйнштейновскими коэффициентами 𝐴₂₁ и 𝐵₁₂ и обозначена через ν₀ центральная частота линии.

Выражая интенсивности излучения 𝐼_ν и 𝐼_ν⁰ через соответствующие яркостные температуры 𝑇_ν и 𝑇_ν⁰ согласно формуле (18.2), а отношение 𝑛₂/𝑛₁ – через температуру возбуждения 𝑇₁ по формуле

𝑛₂

𝑛₁

=

𝑔₂

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

–

ℎν₀

𝑘𝑇₁

⎞

⎟

⎠

,

(34.26)

мы вместо соотношения (34.25) получаем

𝑇

_ν

=

𝑇

_ν

⁰

exp

⎛

⎝

–

𝑡

_ν

⁰

⎞

⎠

+

𝑇₁

⎡

⎣

1

–

exp

⎛

⎝

–

𝑡

_ν

⁰

⎞

⎠

⎤

⎦

.

(34.27)

Соотношение (34.27) справедливо как при малой, так и при большой роли индуцированного излучения. Если эта роль велика, т.е.

𝑔₁

𝑔₂

𝑛₂

>

𝑛₁

,

то величины 𝑇₁ и 𝑡_ν⁰ оказываются отрицательными. В этом случае при условии, что |𝑡_ν⁰|≫1, соотношение (34.27) может быть переписано в виде

𝑇

_ν

≈

|𝑇₁|

exp

⎛

⎝

⎪

⎪

𝑡

_ν

⁰

⎪

⎪

⎞

⎠

.

(34.28)

Из формулы (34.28) видно, что при |𝑡_ν⁰|≫≈20—30 яркостная температура достигает тех огромных значений, которые получаются из наблюдений.

Нетрудно убедиться также в том, что с помощью формулы (34.28) может быть объяснён и другой важный наблюдательный факт – чрезвычайная узость спектральных линий. Допустим, что коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е.

𝑘

_ν

=

𝑘₀

exp(-𝑥²)

,

(34.29)

где

𝑥

=

ν-ν₀

Δν_𝐷

и

Δ

ν

_𝐷

=

ν₀

𝑐

⎛

⎜

⎝

2𝑘𝑇

𝑀

⎞½

⎟

⎠

–

доплеровская полуширина (𝑀 – масса молекулы и 𝑇 – кинетическая температура облака). Учитывая (34.29), вместо (34.28) находим

𝑇

_ν

≈

|𝑇₁|

exp

⎛

⎝

𝑡₀

𝑒

^-𝑥²

⎞

⎠

,

(34.30)

где обозначено

𝑡₀

=

𝑘₀

𝑠₀

⎛

⎜

⎝

𝑔₁

𝑔₂

𝑛₂

–

𝑛₁

⎞

⎟

⎠

.

Пусть Δν полуширина спектральной линии, т.е. то расстояние от центра линии, на котором интенсивность (или заменяющая её яркостная температура) приблизительно в два раза меньше её центрального значения. Пользуясь формулой (34.30), для полуширины линии получаем

Δ

ν

≈

Δν_𝐷

√𝑡₀

.

(34.31)

Так как доплеровская полуширина Δν_𝐷 мала вследствие малости кинетической температуры, а величина 𝑡₀ велика (скажем, порядка 25), то полуширина линии Δν действительно должна быть исключительно малой.

При применении формулы (34.28) следует иметь в виду, что она справедлива лишь тогда, когда населённость второго уровня определяется в основном механизмом накачки. Однако когда интенсивность излучения в линии становится достаточно большой, это излучение начинает сильно влиять на населённости уровней. Для такого мазера (его называют насыщенным) рост яркостной температуры с оптической толщиной происходит более медленно, чем по формуле (34.28) (подробнее см. [8]).

Наблюдения космических мазеров показывают, что они расположены во внешних частях огромных газово-пылевых туманностей. По мазерному излучению сделано заключение, что оно идёт от небольших и сравнительно плотных облаков (протяжённостью порядка 10¹⁶ см и плотностью порядка 10⁻¹⁸ г/см³). Предполагают, что эти облака являются зарождающимися звёздами.

6. Радиоизлучение Метагалактики.

До сих пор мы говорили только о межзвёздной среде в нашей Галактике. Однако для понимания природы межзвёздной среды очень большое значение имеют также результаты изучения других галактик. Эти результаты основываются на наблюдениях галактик как в оптической области спектра, так и в радиодиапазоне (см. [9]).

Самыми близкими к нам галактиками являются Магеллановы Облака. В них обнаружено много газовых туманностей и вызывающих их свечение горячих звёзд. Особенно велика туманность S Золотой Рыбы, масса которой составляет, по-видимому, около миллиона масс Солнца. От этой туманности идёт сильное радиоизлучение в непрерывном спектре, имеющее тепловое происхождение. Основная же часть радиоизлучения Магеллановых Облаков в непрерывном спектре имеет нетепловую (вероятно, синхротронную) природу. Важные результаты дали наблюдения излучения Магеллановых Облаков в радиолинии с длиной волны 21 см. В частности, по интенсивности этого излучения удалось определить массу находящегося в них межзвёздного водорода (приблизительно 6⋅10⁸ 𝑀_☉ в Большом Магеллановом Облаке и 4⋅10⁸ 𝑀_☉ – в Малом).

Очень близка к нам также галактика M 31 («туманность Андромеды»), во многих отношениях похожая на Млечный Путь. Изучение её свечения в линии λ=21 см позволило определить скорость вращения на разных расстояниях от центра и распределение межзвёздного водорода. Радиоизлучение галактики в непрерывном спектре идёт от более протяжённой области, чем оптическое излучение. Это свидетельствует о наличии короны, подобной короне нашей Галактики. Интенсивность излучения меняется с частотой по закону ν^-0,7, что может быть объяснено синхротронным характером излучения.

Разными наблюдателями были измерены также потоки радиоизлучения, идущие от многих других галактик. Определённое по потоку излучения в линии λ=21 см количество межзвёздного водорода в галактике оказалось сильно зависящим от её структуры. Этот факт представляет значительный интерес с точки зрения теории развития галактик.

Подавляющее большинство галактик излучает в радиодиапазоне примерно такое же количество энергии, как и Млечный Путь. К ним, в частности, относятся Магеллановы Облака и туманность Андромеды. Однако количество энергии, излучаемое в радиочастотах некоторыми галактиками, оказывается на несколько порядков больше. Такие галактики принято называть радиогалактиками. Характерным примером радиогалактики является радиоисточник Лебедь А, излучающий в радиодиапазоне примерно в миллион раз больше энергии, чем наша Галактика. На фотографиях этот источник представляет собой весьма необычную галактику с двойным ядром. Её излучение в видимой части спектра сосредоточено в ярких запрещённых линиях (𝙾 I 𝙾 II, 𝙾 III, 𝙽𝚎 II, 𝙽𝚎 III и др.). Ширина этих линий свидетельствует о внутренних движениях со скоростями порядка 400 км/с. Бааде и Минковский, подробно изучившие источник Лебедь А, высказали гипотезу, что в данном случае мы имеем дело со столкновением между собой двух галактик. В дальнейшем такая гипотеза применялась и к другим радиогалактикам, однако В. А. Амбарцумян выдвинул убедительные возражения против неё. Согласно его взглядам галактики с двойными ядрами находятся в процессе деления и этот процесс на определённом этапе сопровождается сильным радиоизлучением и образованием эмиссии в видимой области спектра.

Другим примером радиогалактики может служить радиоисточник Дева А, представляющий собой в видимых лучах гигантскую галактику почти сферической формы. В спектре ядра галактики обнаружена сильная эмиссионная линия λ 3727 [𝙾 II], возникающая, как надо думать, в газовых туманностях с небольшой плотностью. Удивительная особенность этой галактики состоит в том, что из её ядра выходит яркий выброс голубого цвета. Излучение выброса оказывается поляризованным (со степенью поляризации около 30%), а его спектр – чисто непрерывным. Можно предполагать, что свечение выброса в видимой области спектра подобно свечению Крабовидной туманности, т.е. имеет синхротронную природу.

Подробное изучение радиогалактик показывает, что возникновение их радиоизлучения, по-видимому, связано с бурной активностью их ядер. Такая активность состоит в выбрасывании вещества из ядра, приводящего к появлению в галактике релятивистских электронов, газовых облаков и нестационарных звёзд. В результате наблюдается сильное радиоизлучение, свечение голубых выбросов и эмиссионные линии в спектрах галактик.

Из наблюдений следует, что, кроме радиоизлучения от отдельных галактик, к нам приходит радиоизлучение от всей Метагалактики. Характерная черта этого излучения – независимость его интенсивности от направления: Упомянутое излучение было открыто случайно в 1965 г., хотя существование его предсказывалось двадцатью годами раньше. Наблюдения, выполненные на разных длинах волн, показали, что данное излучение хорошо описывается планковской кривой с температурой около 3 K. Интенсивность его максимальна на длине волны 0,15 см. Обычно это излучение называют реликтовым, так как считается, что оно сохранилось от той стадии развития Вселенной, когда она была плотнее и горячее. По мере же расширения Вселенной температура её излучения уменьшалась, достигнув трёх градусов к настоящему времени.

7. Квазары.

В 1963 г. среди источников космического радиоизлучения были обнаружены объекты, которые в визуальных лучах оказались похожими на звёзды. Их назвали квазизвёздными объектами или сокращённо – квазарами. Наблюдения квазаров в видимой области спектра и в радиодиапазоне привели к чрезвычайно интересным результатам (см. [10], [11] и др.).

Особенно неожиданными оказались оптические спектры квазаров, состоящие из ярких линий на непрерывном фоне. В течение некоторого времени эти линии не удавалось отождествить, но потом М. Шмидт показал, что они принадлежат известным атомам (𝙷, 𝙼𝚐 II, 𝙾 III и др.), однако сильно смещены в красную сторону спектра. Если λ₀ – длина волны линии в лабораторной системе, а Δλ, – смещение линии, то величина 𝑧=Δλ/λ₀ получается для квазаров порядка единицы. Для самого яркого квазара 3C 273 (с видимой величиной 12^𝑚,8) 𝑧=0,16. Для многих квазаров величина 𝑧 достигает 2 и больше. В спектрах таких квазаров линия L_α с длиной волны λ₀=1216 Å переходит в визуальную область.

Как известно, в спектрах галактик линии также смещены в красную сторону и это смещение объясняется удалением галактик от нас с огромными скоростями. Такое же объяснение смещения линий естественно принять и для квазаров. Поскольку смещение очень велико, то для определения скорости удаления 𝑣 необходимо пользоваться следующей формулой, даваемой теорией относительности:

Δλ

λ₀

=

⎛

⎜

⎝

𝑐+𝑣

𝑐-𝑣

⎞½

⎟

⎠

–1

,

(34.32)

где 𝑐 – скорость света. Для квазара 3C 273 по этой формуле находим, что 𝑣=45 000 км/с. Для квазара с 𝑧=2 получаем 𝑣=240 000 км/с.

Согласно закону Хаббла, скорости удаления галактик пропорциональны их расстояниям. Считая, что этот закон справедлив и для квазаров, мы получаем возможность определить расстояние до квазаров по смещениям линий в их спектрах. К настоящему времени таким способом найдены расстояния приблизительно до тысячи квазаров. Эти расстояния (называемые космологическими) очень велики – свет от квазаров идёт к нам миллиарды лет. В среднем квазары находятся от нас дальше галактик.

Знание расстояний до квазаров и их видимых звёздных величин позволяет определить светимости квазаров. Для этих величин получаются громадные значения – порядка 10⁴⁵—10⁴⁷ эрг/с, т.е. на несколько порядков превосходящие светимости галактик.

По известным расстояниям до квазаров и их угловым диаметрам можно найти линейные размеры квазаров. Для многих квазаров были измерены угловые диаметры в радиочастотах. Это дало возможность установить, что поперечники областей, от которых идёт радиоизлучение, порядка 100 парсек.

Более сложным путём определяются размеры оболочек, в которых возникают спектральные линии. Так как линейчатые спектры квазаров похожи на спектры газовых туманностей, то для выяснения физических условий в оболочках можно применить методы, изложенные в главе V. По относительным интенсивностям эмиссионных линий было получено, что в оболочках квазаров 𝑇_𝑒≈20 000 K и 𝑛_𝑒≈10⁷ см⁻³. Найденные значения 𝑇_𝑒 и 𝑛_𝑒 можно подставить в формулу (24.14), выражающую энергию, излучаемую оболочкой в бальмеровских линиях. Так как эта энергия известна из наблюдений, то с помощью указанной формулы определяется объём оболочки 𝑉. Для поперечника оболочки таким путём были получены значения порядка нескольких парсек.

Некоторое представление о размерах квазаров дало открытие очень важного явления – переменности их блеска. Как показал анализ старых наблюдений, блеск квазара 3C 273 заметно меняется с приблизительным периодом в 10 лет. Это означает, что размеры квазара не могут быть больше 10 световых лет. Такое заключение следует из того, что излучение, выходящее из разных частей протяжённого объекта одновременно, до нас доходит в разные моменты времени, т.е. оно «размазывается». Наблюдениями также обнаружены кратковременные изменения блеска квазаров (как в оптическом, так и в радиодиапазоне). По-видимому, их можно объяснить взрывами в отдельных частях квазаров.

На основании сказанного считается, что квазар состоит из небольшого ядра, окружённого оболочкой (с поперечником порядка 10¹⁸ см), в которой возникают эмиссионные линии, и протяжённой областью (с поперечником порядка 10²¹ см), излучающей энергию в радиочастотах. Механизмами возникновения эмиссионных линий являются фотоионизация и столкновения, а радиоизлучение вызывается движением релятивистских частиц в магнитном поле. Из наблюдений следует, что распределение радиоизлучения по спектру даётся формулой (34.9), где в среднем 𝑛≈0,7.

Масса оболочки квазара определяется весьма просто, поскольку нам известен объём оболочки 𝑉 и электронная концентрация 𝑛_𝑒 Эта масса оказывается порядка 10⁶—10⁷ масс Солнца. Гораздо труднее найти массу ядра квазара. Согласно различным физическим соображениям, она должна быть на два-три порядка больше массы оболочки.

Если считать, что масса квазара порядка 10⁸ массы Солнца, то энергия, соответствующая этой массе (т.е. найденная по формуле 𝐸=𝑀𝑐² будет порядка 10⁶² эрг. Интересно сравнить эту величину с энергией, излучаемой квазаром за время его жизни. Продолжительность существования квазаров может быть оценена на основании наличия вблизи некоторых из квазаров сгустков вещества, выброшенных когда-то из них. Если даже допустить, что сгусток удаляется от квазара со скоростью света, то время, прошедшее от момента выброса, оказывается не менее миллиона лет. Этот промежуток времени и можно принять в качестве возраста квазара. Так как светимость квазара порядка 10⁴⁷ эрг/с, то за время своей жизни квазар должен излучать энергию порядка 10⁶⁰ эрг. Мы видим, что эта величина является не очень малой долей энергии, эквивалентной массе покоя квазара.

Попытки объяснить строение квазаров и происхождение источников их огромной энергии делалось в многочисленных работах. В некоторых из них предполагалось, что квазар представляет собой компактное звёздное скопление, в котором энергия выделяется либо при столкновениях звёзд между собой, либо при вспышках сверхновых звёзд. Однако такая точка зрения не может быть принята хотя бы потому, что она не может объяснить квазипериодические изменения блеска квазаров.

Более естественным кажется взгляд на квазары как на одиночные массивные тела (иногда называемые «сверхзвездами»). Такие тела могут находиться в более или менее устойчивом равновесии под действием тяготения, светового давления, вращения и магнитных сил. Одним из источников излучения квазаров может быть гравитационная энергия, освобождающаяся при сжатии. Другое предположение состоит в том, что в центре квазара находится массивная «чёрная дыра», аккреция газа на которую и вызывает наблюдаемое излучение квазара.

Для понимания природы квазаров очень важен тот факт, что по многим характеристикам они похожи на ядра активных галактик (так называемых сейфертовских и N-галактик), хотя и сильно превосходят их по мощности излучения. Поэтому можно думать, что квазары представляют собой некоторый кратковременный этап в развитии ядер галактик.

Как уже говорилось, квазары, вследствие их огромных светимостей, наблюдаются на чрезвычайно больших расстояниях. Свет от квазаров идёт на нас миллиарды лет, причём в среднем дольше, чем от обычных галактик. Следовательно, квазары являются свидетелями очень далёкого прошлого Вселенной.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII

Амбарцумян В. А., Научные труды, т. I.– Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1960.

van de Hulst Н.С. Light Scattering by small particles, 1957 (русск. перевод: ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.– М.: Изд-во иностр. лит., 1961).

Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Межзвёздная среда.– М.: Физматгиз, 1963.

Greenberg J. М. Interstellar grains.– 1968 (русский перевод: Гринберг М. Межзвёздная пыль.– М.: Мир, 1970).

Долгинов А.З., Гнедин Ю. Н., Силантьев Н.А. Распространение и поляризация излучения в космической среде.– М.: Наука, 1979.

Sрitzеr L. Yr., Physical Processes in the Interstellar Medium, 1978 (русский перевод: Сnитцep Л. мл. Физические процессы в межзвёздной среде.– М.: Мир, 1981).

Горбацкий В. Г. Космическая газодинамика.– М.: Наука, 1977.

Frontiers of Astrophysics/E. Avrett, ed., 1976 (русский перевод: На переднем крае астрофизики/Под ред. Ю. Эвретта.– М.: Мир, 1979).

Pacholczyk A. G., Radiogalaxies, 1977 (русский перевод: Пахольчик А. Радиогалактики.– М.: Мир, 1980).

Wееkеs Т. С. High-Energy Astrophysics, 1969 (русский перевод: Уикс Т. К. Астрофизика высоких энергий.– М.: Мир, 1972).

Неу J. S. The Radio Universe, 1975 (русский перевод: Хей Дж. Радиовселенная.– М.: Мир, 1978).

Глава VIII ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ ЗВЁЗД

Теория внутреннего строения звёзд сильно отличается от изложенных выше разделов теоретической астрофизики. Прежде всего это объясняется необычностью физических условий внутри звезды, характеризующихся очень высокими температурами и большими плотностями. Поведение вещества и энергии при таких условиях выяснено ещё в недостаточной степени. Поэтому теория внутреннего строения звёзд может ещё встретиться со многими неожиданностями.

Другая особенность звёздных недр состоит в том, что они не могут наблюдаться с помощью обычных астрономических средств. Поэтому для проверки выводов теории могут быть использованы лишь косвенные соображения, а не прямые измерения. Правда, существует принципиальная возможность получения непосредственной информации о процессах, протекающих внутри звезды. Эта возможность заключается в измерении идущего от звезды потока нейтрино. Благодаря огромной проникающей способности этих частиц, они беспрепятственно выходят из звёздных недр наружу. Однако улавливать нейтрино весьма трудно, и создание «нейтринной астрономии» только начинается.

Основная задача теории внутреннего строения звёзд ставится так. Задана звезда с радиусом 𝑅, массой 𝑀 и светимостью 𝐿 и с определённым химическим составом. Известны граничные условия задачи, т.е. условия в поверхностных слоях звезды. Можно считать, что звезда находится в стационарном состоянии (это верно для подавляющего большинства звёзд). Требуется найти распределение плотности и температуры внутри звезды.

Однако теория должна не только выяснить строение отдельной звезды, но и объяснить различные статистические закономерности, найденные при рассмотрении совокупности звёзд. Главными из этих закономерностей являются следующие: 1) соотношение масса – светимость и 2) соотношение спектр – светимость (которое может быть также представлено как соотношение светимость – радиус).

При решении указанной основной задачи приходится, разумеется, пользоваться сведениями из теоретической физики. Как уже сказано, эти сведения могут оказаться недостаточными. Однако само изучение звёздных недр может приводить к расширению таких сведений. В качестве примера укажем на то, что поиски источников звёздной энергии способствовали открытию ядерных реакций, связанных с выделением больших количеств энергии. Несомненно, что подобные открытия будут происходить и в дальнейшем.

Теория внутреннего строения звёзд в своём развитии прошла ряд этапов. Первоначально в теории рассматривалось лишь механическое равновесие звезды под действием двух сил: тяготения и газового давления. При этом считалось, что давление пропорционально некоторой степени плотности. Эта теория нашла своё завершение в книге Эмдена [1]. В дальнейшем в уравнение механического равновесия было введено давление излучения и стало рассматриваться энергетическое равновесие звезды. Большое значение на этом этапе имели исследования Эддингтона [2]. Однако фундаментальный вопрос теории – вопрос об источниках звёздной энергии – долгое время оставался нерешённым. Лишь в сороковых годах было установлено, что основным источником звёздной энергии являются ядерные реакции, преобразующие водород в гелий. Это открытие послужило началом современного этапа теории.

На данном этапе разработка теории внутреннего строения звёзд теснейшим образом связывается с решением проблемы звёздной эволюции. Такая связь является совершенно естественной, поскольку структура звезды зависит от химического состава, а он меняется в ходе ядерных реакций.

В настоящей главе теория внутреннего строения звёзд излагается в порядке её развития. При этом первоначальные этапы теории рассматриваются весьма кратко, так как лишь очень немногие из полученных тогда результатов сохранили своё значение до нашего времени.

§ 35. Уравнения равновесия звезды

1. Уравнение механического равновесия.

Будем считать, что звезда обладает сферической симметрией и находится в равновесии под действием силы притяжения и силы газового давления. Пусть 𝑃 – давление и ρ – плотность внутри звезды. Эти величины зависят от расстояния 𝑟 от центра звезды.

Уравнение равновесия под действием указанных сил (т.е. уравнение гидростатического равновесия) имеет вид

𝑑𝑃

=-

𝑔ρ

𝑑𝑟

,

(35.1)

где 𝑔 – ускорение силы тяжести в данном месте звезды. Как известно, в случае сферической симметрии величина 𝑔 определяется формулой

𝑔

=

𝐺

𝑀_𝑟

𝑟²

,

(35.2)

где 𝐺 – постоянная тяготения и 𝑀_𝑟 – масса, заключённая внутри сферы радиуса 𝑟, т.е.

𝑀

_𝑟

=

4π

𝑟

∫

0

ρ𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.3)

Подставляя (35.2) в (35.1), получаем

𝑑𝑃

𝑑𝑟

=-

𝐺

𝑀_𝑟

𝑟²

ρ

.

(35.4)

Вводя сюда выражение для 𝑀_𝑟 приходим к уравнению механического равновесия в виде

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

4π

𝐺ρ

.

(35.5)

Уравнение (35.5) является одним из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд.

В уравнение (35.5) входят две неизвестные величины: давление 𝑃 и плотность ρ. Как уже говорилось, на первом этапе развития теории принималось, что эти величины связаны между собой зависимостью

𝑃

=

𝐶

ρ

^𝑘

,

(35.6)

где 𝐶 и 𝑘 – постоянные. Такая зависимость между 𝑃 и ρ называется политропной. Таким образом, звёзды первоначально рассматривались как политропные газовые шары.

При помощи (35.6) находим

1

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

=

𝐶𝑘

𝑘-1

𝑑ρ^𝑘-1

𝑑𝑟

.

(35.7)

Подставляя (35.7) в (35.5) и используя обозначение

ρ

^𝑘-1

=

𝑢

,

(35.8)

получаем

𝐶(1+𝑛)

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

𝑑𝑢

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

4π

𝐺𝑢

^𝑛

,

(35.9)

где 𝑛=1/(𝑘-1). Величина 𝑛 называется политропным индексом.

Уравнение (35.9), в которое входит одна неизвестная функция 𝑢(𝑟), можно несколько упростить путём введения новых безразмерных переменных. Именно, положим

𝑢

=

𝑢₀𝑦

,

𝑥

=

λ𝑟

(35.10)

и будем считать, что 𝑢₀ есть значение 𝑢 в центре звезды (при 𝑟=0). Что же касается величины λ, то подберём её так, чтобы при подстановке (35.10) в (35.9) сократились все постоянные. Тогда для определения λ получаем соотношение

𝐶(1+𝑛)

λ²

=

4π

𝐺𝑢₀

^𝑛-1

,

(35.11)

а уравнение (35.9) принимает вид

1

𝑥²

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑥²

𝑑𝑦

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

=-

𝑦

^𝑛

.

(35.12)

Очевидно, что функция 𝑦(𝑥) должна удовлетворять следующим двум условиям в центре звезды:

𝑦=1,

𝑦'=0,

при

𝑥=0.

(35.13)

Уравнение (35.12), называемое уравнением Эмдена, играло очень большую роль на первом этапе изучения строения звёзд. Исследованию этого уравнения было посвящено много работ. Однако решения уравнения Эмдена в явном виде удалось получить только для трёх значений политропного индекса (𝑛=0, 1, 5). Эти решения при граничных условиях (35.13) имеют вид

𝑦

=

1

–

𝑥²

6

при

𝑛=0,

(35.14)

𝑦

=

sin 𝑥

𝑥

при

𝑛=1,

(35.15)

𝑦

=

1

(1+𝑥²/3)¹^/²

при

𝑛=5.

(35.16)

Для других значений 𝑛 уравнение (35.12) при граничных условиях (35.13) было решено численно. В астрофизической литературе (например, в [1]) даны подробные таблицы решений уравнения Эмдена.

2. Плотность, давление и температура внутри звезды.

Если считать звезду политропным шаром с заданным политропным индексом 𝑛, то, пользуясь соответствующим решением уравнения Эмдена, можно легко найти распределение плотности, давления и температуры внутри звезды.

На основании формул (35.8) и (35.10) имеем

ρ(𝑟)

=

𝑢₀

^𝑛

𝑦

^𝑛

(λ𝑟)

.

(35.17)

Следовательно, для нахождения функции ρ(𝑟) надо знать постоянные 𝑢₀ и λ. Для их определения воспользуемся условиями на границе звезды.

Обозначим через 𝑥₁ значение 𝑥 при 𝑥=𝑅. Величина 𝑥₁ находится из того условия, что на поверхности звезды функция 𝑦(𝑥) обращается в нуль, т.е. 𝑦(𝑥₁)=0 Применяя к поверхности звезды вторую из формул (35.10), получаем

𝑥₁

=

λ𝑅

.

(35.18)

Напишем, далее, для границы звезды уравнение гидростатического равновесия. Из уравнений (35.1) и (35.2) следует

⎛

⎜

⎝

1

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠𝑟=𝑅

=-

𝐺

𝑀

𝑅²

.

(35.19)

где 𝑀 – масса звезды. Пользуясь формулами (35.7), (35.8) и (35.10), вместо (35.19) находим

𝐶(1+𝑛)

𝑢₀λ

𝑦'(𝑥₁)

=-

𝐺

𝑀

𝑅²

.

(35.20)

Подставляя в (35.20) выражение для 𝐶 из (35.11) и выражение для λ из (35.18), получаем

𝑢₀

^𝑛

=-

𝑥₁𝑀

4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)

.

(35.21)

Таким образом, искомые величины λ и 𝑢₀ даются формулами (35.18) и (35.21). После их определения, как уже сказано, по формуле (35.17) может быть найдена плотность в любом месте звезды.

Очевидно, что величина 𝑢₀^𝑛 представляет собой плотность в центре звезды, т.е. ρ_𝑐=𝑢₀^𝑛. Обозначая через ρ среднюю плотность звезды, имеем

ρ

=

𝑀

.

4

π𝑅³

3

(35.22)

Поэтому формулу (35.21) можно переписать в виде

ρ

_𝑐

=-

𝑥₁

3𝑦'(𝑥₁)

ρ

.

(35.23)

В таблице 55, взятой из книги Чандрасекара [3], даны значения величин 𝑥₁ 𝑥₁²𝑦'(𝑥₁) и ρ_𝑐/ρ для разных значений политропного индекса 𝑛.

Таблица 5

Зависимость некоторых параметров звезды

от политропного индекса

𝑛

0

1

2

3

4

5

𝑥₁

2,45

3,14

4

,35

6

,90

15

,0

𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)

4,90

3,14

2

,41

2

,02

1

,80

1,73

ρ

_𝑐

/

ρ

1,00

3,29

11

,4

54

,2

622

При помощи табл. 55 найдём в виде примера плотность в центре Солнца, принимая 𝑛=3. Так как средняя плотность Солнца равна ρ=1,41 г/см³, то для плотности в центре получаем ρ_𝑐=54,2ρ=76,5 г/см³.

Давление внутри звезды может быть найдено по формуле (35.6), для чего следует определить величину 𝐶, которая считается постоянной в звезде, но заранее не известной. При помощи формул (35.11), (35.18) и (35.21) имеем

𝐶

=

4π𝐺

1+𝑛

𝑅²

𝑥₁²

⎡

⎢

⎣

𝑥₁𝑀

4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)

⎤(𝑛-1)/𝑛

⎥

⎦

(35.24)

Для давления в центре звезды находим

𝑃

_𝑐

=

𝐺

4π(1+𝑛)

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝑅³𝑦'(𝑥₁)

⎤²

⎥

⎦

.

(35.25)

Чтобы найти температуру внутри звезды, надо задать уравнение состояния звёздного вещества, связывающее между собой температуру, плотность и давление. Мы примем, что звезда состоит из идеального газа. В таком случае в качестве уравнения состояния имеем

𝑃

=

𝑅_∗

μ

ρ𝑇

,

(35.26)

где 𝑅_∗ – газовая постоянная и μ —средняя молекулярная масса.

Из уравнения (35.26) при помощи соотношений (35.6) и (35.8) для температуры 𝑇 находим

𝑇

=

μ

𝑅_∗

𝐶𝑢

.

(35.27)

Таким образом, температура оказывается пропорциональной введённой выше величине 𝑢.

Легко получить, что в центре звезды температура равна

𝑇

_𝑐

=-

μ𝐺

(1+𝑛)𝑅_∗𝑥₁𝑦'(𝑥₁)

𝑀

𝑇

.

(35.28)

Для Солнца при 𝑛=3 по формуле (35.28) находим: 𝑇_𝑐=2⋅10⁷ кельвинов (если считать, что μ=1). Разумеется, эта оценка 𝑇_𝑐, как и сделанная выше оценка 𝑝_𝑐, является весьма грубой. Однако, как увидим дальше, и более правильные модели звёзд, рассчитанные без предположения о политропной зависимости между давлением и плотностью, приводят к таким же по порядку результатам.

3. Гравитационная энергия звезды.

Для звезды, представляющей собой политропный шар, может быть получена очень простая формула, определяющая гравитационную энергию. Мы обозначим гравитационную энергию звезды через 𝐸. Эта величина отрицательна и численно равна работе, которую надо затратить, чтобы удалить все слои звезды в бесконечность, т.е.

𝐸

=-

𝐺

∫

𝑀_𝑟

𝑟

𝑑𝑀

_𝑟

,

(35.29)

где интегрирование распространено на всю звезду.

Формулу (35.29) можно переписать в виде

𝐸

=-

𝐺

2

∫

𝑑𝑀_𝑟²

𝑟

=-

𝐺𝑀²

2𝑅

–

𝐺

2

∫

𝑀

_𝑟

²

𝑑𝑟

𝑟²

.

(35.30)

На основании соотношений (35.4) и (35.7) получаем

𝐺

∫

𝑀

_𝑟

²

𝑑𝑟

𝑟²

=-

∫

𝑀_𝑟

ρ

𝑑𝑃

=-

𝐶𝑘

𝑘-1

∫

𝑀

_𝑟

𝑑ρ

^𝑘-1

.

(35.31)

Производя здесь интегрирование по частям и пользуясь формулами (35.3) и (35.6), находим

𝐺

∫

𝑀

_𝑟

²

𝑑𝑟

𝑟²

=-

4π

𝐶𝑘

𝑘-1

∫

ρ

^𝑘

𝑟²

𝑑𝑟

=

4π

𝑘

𝑘-1

∫

𝑃𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.32)

Подстановка (35.32) в (35.30) даёт

𝐸

=-

𝐺𝑀²

2𝑅

–

2π

𝑘

𝑘-1

∫

𝑃𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.33)

С другой стороны, формулу (35.29) можно преобразовать так:

𝐸

=

∫

𝑟

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝑑𝑀

_𝑟

=

4π

∫

𝑟³

𝑑𝑃

=-

12π

∫

𝑃

𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.34)

Из (35.33) и (35.34) следует

𝐸

=-

𝐺𝑀²

2𝑅

+

𝑘

6(𝑘-1)

𝐸

,

(35.35)

откуда имеем

𝐸

=-

3

5-𝑛

𝐺𝑀²

𝑅

.

(35.36)

Этой формулой и определяется гравитационная энергия звезды при политропном индексе 𝑛.

Как видно из формулы (35.36), энергия 𝐸 отрицательна лишь при 𝑛<5. Исследование уравнения Эмдена показывает, что при 𝑛≥5 политропные шары имеют бесконечно большие радиусы.

Необходимо отметить, что гравитационная энергия звезды связана простым соотношением с её тепловой энергией. С целью получения этого соотношения обратимся к формуле (35.34) для гравитационной энергии звезды 𝐸. Эта формула была выведена непосредственно из уравнения механического равновесия (подчеркнём, что без предположения о звезде как политропном шаре). С другой стороны, тепловая энергия звезды, которую мы обозначим через 𝑄, даётся очевидной формулой