Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 35 страниц)

Назад к карточке книги

§ 23. Ионизация атомов

1. Число рекомбинаций.

Как было выяснено, в газовых туманностях происходит ионизация атомов под действием излучения горячих звёзд. Вместе с тем в туманностях происходят и обратные процессы – захваты ионами свободных электронов, т.е. рекомбинации атомов. Число ионизаций может быть определено при помощи коэффициента поглощения в непрерывном спектре, введённого в § 5. Теперь мы получим формулы для определения числа рекомбинаций.

Пусть 𝑛⁺ и 𝑛_𝑒 – число ионов и число свободных электронов в 1 см³ соответственно, а 𝑓(𝑣) 𝑑𝑣 – доля электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣. Обозначим через β_𝑖(𝑣) эффективное поперечное сечение для захвата электрона со скоростью 𝑣 на 𝑖-й уровень. Тогда число захватов электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣, происходящих в 1 см³ за 1 с, будет равно

𝑛⁺𝑛

_𝑒

_𝑖

(𝑣)

𝑓(𝑣)

𝑣

𝑑𝑣

Полное число рекомбинаций в 1 см³ за 1 с на 𝑖-уровень мы представим в виде 𝑛_𝑒𝑛⁺𝐶_𝑖(𝑇_𝑒), где 𝑇_𝑒 – температура электронного газа. Очевидно, что

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

∞

∫

_𝑖

(𝑣)

𝑓(𝑣)

𝑣

𝑑𝑣

(23.1)

Величина β_𝑖(𝑣) связана с коэффициентом поглощения в непрерывном спектре атомом, находящимся в 𝑖-м состоянии. Для установления этой связи рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае имеет место детальное равновесие, при котором любой процесс уравновешивается обратным процессом. В частности, число ионизаций, происходящих с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν, должно равняться числу захватов на этот уровень электронов со скоростями от 𝑣 до 𝑣+𝑑𝑣 причём

ℎν

𝑚𝑣²

_𝑖

(23.2)

Число ионизаций с 𝑖-го уровня при поглощении квантов с частотами от ν до ν+𝑑ν в 1 см³ за 1 с равно

𝑛

_𝑖

𝑘

_𝑖ν

⎛

⎜

⎝

1-exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑐ρ_ν

ℎν

𝑑ν

где 𝑛_𝑖 – число атомов в 𝑖-м состоянии, 𝑘_𝑖ν – коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом (множитель в скобках учитывает отрицательное поглощение), ρ_ν – плотность излучения частоты ν. На основании принципа детального равновесия имеем

𝑛⁺𝑛

_𝑒

_𝑖

(𝑣)

𝑓(𝑣)

𝑣

𝑑𝑣

𝑛

_𝑖

𝑘

_𝑖ν

⎛

⎜

⎝

1-exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑐ρ_ν

ℎν

𝑑ν

(23.3)

Как известно, при термодинамическом равновесии функция 𝑓(𝑣) определяется формулой Максвелла, плотность излучения ρ_ν – формулой Планка и распределение атомов по состояниям – формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем

_𝑖

(𝑣)

ℎ²ν²

𝑐²𝑚²𝑣²

𝑔_𝑖

𝑔⁺

𝑘

_𝑖ν

(23.4)

где 𝑔_𝑖 – статистический вес 𝑖-го состояния данного атома, и 𝑔⁺ – статистический вес основного состояния иона.

Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами β_𝑖(𝑣) и 𝑘_𝑖ν. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).

Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

𝑔_𝑖

𝑔⁺

ℎ²

𝑐²𝑚²

∞

∫

ν²

𝑣

𝑘

_𝑖ν

𝑓(𝑣)

𝑑𝑣

(23.5)

Здесь функция 𝑓(𝑣) даётся формулой Максвелла при температуре 𝑇_𝑒, т.е.

𝑓(𝑣)

4π𝑚³

(2π𝑚𝑘𝑇_𝑒)³^/²

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑚𝑣²

2𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑣²

(23.6)

Чтобы вычислить величину 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) по формуле (23.5), надо знать коэффициент поглощения для данного атома. Мы сейчас найдём 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) для водорода. В этом случае коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν Даётся формулой (5.6). Подставляя (5.6) в (23.5) и пользуясь также формулами (23.2) и (23.6), получаем

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

2⁹π⁵

(6π)³^/²

𝑒¹⁰

𝑚²𝑐³ℎ³

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑘𝑇_𝑒

⎞³/₂

⎟

⎠

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

(23.7)

где 𝐸₁𝑥 – интегральная показательная функция.

Формулу (23.7) можно переписать в виде

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

3,22⋅10⁻⁶

𝑀

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

(23.8)

где

𝑀

_𝑖

(𝑇)

𝑇³^/² 𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝐸₁

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(23.9)

Значения функции 𝑀_𝑖(𝑇)⋅10⁸ приведены в табл. 27.

Аналогично могут быть найдены коэффициенты рекомбинации для других атомов.

Таблица 27

Значения функции 𝑀_𝑖(𝑇)⋅10⁸

𝑖

𝑇, 𝐾

1 000

5 000

10 000

20 000

50 000

20,0

8,8

6,0

3,9

2,3

9,8

3,9

2,7

1,6

0,78

6,4

2,5

1,4

0,86

0,37

4,7

1,6

0,94

0,52

0,21

3,5

1,1

0,64

0,34

0,13

2,9

0,86

0,46

0,23

0,088

2,3

0,66

0,35

0,17

0,062

1,9

0,52

0,26

0,13

0,046

2. Степень ионизации в туманности.

При термодинамическом равновесии степень ионизации атомов определяется формулой Саха. В туманностях нет термодинамического равновесия, поэтому мы должны вывести новую ионизационную формулу. Для этого мы воспользуемся тем, что туманности стационарны, т.е. физические условия в них не меняются с течением времени (на самом деле изменение происходит, но очень медленно). Точнее говоря, будем считать, что в каждом объёме число ионизаций равно числу рекомбинаций.

Так как ионизация атомов в туманностях происходит преимущественно из основного состояния, то число ионизаций, совершающихся в 1 см³ за 1 с под действием излучения в интервале частот от ν до ν+𝑑ν равно

𝑛₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν

ℎν

𝑑ν

Плотность излучения в туманности ρ_ν определяется формулой (22.2). Поэтому для полного числа ионизаций, происходящих в единице объёма за единицу времени, получаем

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν^⃰

ℎν

𝑑ν

где ν₁ – частота ионизации из основного состояния.

Что же касается рекомбинаций, то они происходят на все уровни. Поэтому полное число рекомбинаций, случающихся в 1 см³ за 1 с, будет равно

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

Приравнивая друг к другу два последних выражения, имеем

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν^⃰

ℎν

𝑑ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

(23.10)

Эта формула и даёт возможность определить степень ионизации атомов в туманности, если известны величины 𝑘_1ν и 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒). Однако её можно сильно упростить, воспользовавшись соотношением (23.5). Предварительно перепишем формулу (23.10) в виде

𝑝

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

𝑐ρ_ν^⃰

ℎν

𝑑ν

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶₁(𝑇

_𝑒

)

(23.11)

где через 𝑝 обозначена доля захватов на первый уровень. Принимая во внимание соотношение (23.5), а также считая, что величина ρ_ν^⃰. даётся формулой Планка с температурой 𝑇_∗ а величина 𝑓(𝑣) – формулой Максвелла с температурой 𝑇_𝑒 вместо (23.11) находим

𝑝

𝑛₁

𝑊

∞

∫

ν₁

𝑘

_1ν

ν² 𝑑ν

exp

⎛

⎜

⎝

ℎν

–1

⎞

⎟

⎠

𝑘𝑇

_∗

𝑔₁

𝑔⁺

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑚ℎ³

2(2π𝑚𝑘𝑇_𝑒)³^/²

∞

∫

𝑘

_1ν

ν²

exp

⎛

⎜

⎝

–

𝑚𝑣²

2𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑣

𝑑𝑣

(23.12)

Чтобы вычислить интегралы, входящие в соотношение (23.12), надо знать зависимость 𝑘_1ν от частоты. Для разных атомов эта зависимость различна, однако мы примем, что для всех атомов 𝑘_1ν∼1/ν². Происходящая от этого ошибка сравнительно невелика, а вычисления существенно упрощаются. После выполнения интегрирования формула (23.12) принимает вид

𝑛_𝑒𝑛⁺

𝑛₁

𝑔⁺

𝑔₁

𝑝𝑊

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

⎛

⎜

⎝

exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

⎞-1

⎟

⎠

(23.13)

В обычно встречающихся на практике случаях ℎν₁/𝑘𝑇_∗≫1. Поэтому вместо (23.13) имеем

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

𝑔⁺

𝑔₁

𝑝𝑊

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

(23.14)

Это окончательный вид формулы ионизации для туманностей.

Мы видим, что формула (23.14) отличается от формулы Саха наличием множителя 𝑝𝑊(𝑇_𝑒/𝑇_∗)¹^/² в правой части. Этот множитель для газовых туманностей очень мал. Однако это не значит, что степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁ также мала. В действительности степень ионизации в туманностях может быть весьма значительной, так как малость коэффициента дилюции 𝑊 компенсируется малостью концентрации свободных электронов 𝑛_𝑒.

В планетарных туманностях, как мы знаем, 𝑊≈10⁻¹⁴, а ниже будет показано, что 𝑛_𝑒≈10⁴ см⁻³. В этом случае формула (23.14) даёт, что для водорода степень ионизации будет больше единицы при 𝑇_∗>20 000 K. В том же случае для гелия 𝑛⁺/𝑛₁>1 при 𝑇_∗>33 000 K.

3. Ионизация в туманности большой оптической толщины.

Формула (23.14) справедлива лишь тогда, когда оптическая толщина туманности за границей основной серии данного атома меньше единицы. В противном случае необходимо учитывать поглощение излучения звезды, а также наличие диффузного излучения туманности, происходящего от рекомбинаций на первый уровень.

Поглощение излучения звезды на пути до данного места туманности может быть учтено путём введения в правую часть формулы (23.14) множителя 𝑒^-τ, где τ – оптическое расстояние от звезды за границей основной серии, соответствующее некоторому среднему коэффициенту поглощения. Что же касается учёта ионизаций под действием диффузного излучения туманности, то его можно приближённо выполнить, отбрасывая в правой части формулы (23.10) член, соответствующий рекомбинациям на первый уровень (так как в туманности большой оптической толщины рекомбинации на первый уровень компенсируются ионизациями при поглощении диффузного излучения). Легко видеть, что в таком случае в правую часть формулы (23.14) вместо множителя 𝑝 должен входить множитель 𝑝/(1-𝑝). Для атома водорода доля захватов на первый уровень близка к половине, вследствие чего множитель 𝑝/(1-𝑝) близок к единице. Мы будем считать, что этот множитель примерно равен единице и для других атомов. Принимая во внимание все сказанное, можно переписать формулу (23.14) в следующем виде:

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

𝑔⁺

𝑔₁

𝑊

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑒

^-τ

(23.15)

Представляет интерес вопрос, как меняется степень ионизации 𝑛⁺/𝑛₁, с изменением расстояния 𝑟 от звезды? Чтобы упростить рассмотрение этого вопроса, мы возьмём планетарную туманность, толщина которой мала по сравнению с её радиусом. В гаком случае коэффициент дилюции в туманности можно считать постоянным (𝑊=const). Кроме того, примем, что концентрация атомов в туманности также постоянна (𝑛=const).

Наш расчёт будет относиться к водороду. Однако результаты в принципе будут справедливы для всех атомов, которые производят сильное поглощение за границами своих основных серий в туманностях.

Обозначим через 𝑥 долю ионизованных атомов, т.е. положим

𝑛⁺

𝑥𝑛

𝑛₁

(1-𝑥)𝑛

𝑛

_𝑒

𝑥𝑛

(23.16)

Тогда вместо формулы (23.15); получаем

𝑥²

1-𝑥

𝑔⁺

𝑔₁

𝑊

𝑛

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑇_∗

⎞½

⎟

⎠

2(2π𝑚𝑘𝑇_∗)³^/²

ℎ³

exp

⎧

⎪

⎩

–

ℎν₁

𝑘𝑇_∗

⎫

⎪

⎭

⋅

𝑒

^-τ

(23.17)

Входящее в эту формулу оптическое расстояние τ равно

𝑛𝑘

𝑟

∫

𝑟₁

(1-𝑥)

𝑑𝑟

(23.18)

где 𝑘 – средний коэффициент поглощения и 𝑟₁ – радиус внутренней границы туманности.

Из соотношений (23.17) и (23.18) легко получить дифференциальное уравнение, связывающее величины 𝑥 и 𝑟. Логарифмируя, а затем дифференцируя соотношение (23.17), находим

⎛

⎜

⎝

𝑥

1-𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑τ

(23.19)

При помощи (23.18) отсюда имеем

⎛

⎜

⎝

𝑥

1-𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

1-𝑥

𝑛𝑘

𝑑𝑟

(23.20)

Интегрирование уравнения (23.20) даёт

2 ln

𝑥₀

1-𝑥₀

1-𝑥

𝑥

1-𝑥₀

–

1-𝑥

𝑛𝑘

(𝑟-𝑟₁)

(23.21)

где 𝑥₀ – значение величины 𝑥 при τ=0.

Таблица 28

Доля ионизованных атомов 𝑥

в зависимости от 𝑟 и τ

𝑥

𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)

0,999

0,997

669

1,1

0,990

907

2,3

0,970

963

3,5

0,900

999

4,7

0,700

1009

6,4

0,500

1012

7,6

В таблице 28 в виде примера приведены значения величины 𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁), вычисленные по формуле (23.21) для разных значений 𝑥. При этом принято, что 1-𝑥₀=0,001. Там же даны значения величины τ, найденные по формуле

⎛

⎜

⎝

𝑥₀

𝑥

⎞²

⎟

⎠

1-𝑥

1-𝑥₀

(23.22)

вытекающей из (23.17).

Из приведённых формул и из таблицы видно, что величина 𝑥 остаётся близкой к единице до значения 𝑟, определяемого формулой

𝑛𝑘(𝑟-𝑟₁)

≈

1-𝑥₀

(23.23)

после чего резко убывает на сравнительно небольшом интервале изменения 𝑟. Значения 𝑟, даваемые формулой (23.23), соответствуют значениям τ порядка нескольких единиц.

Полученный результат вполне понятен из физических соображений. Когда оптическое расстояние τ становится порядка единицы, происходит уменьшение степени ионизации, т.е. возрастание числа нейтральных атомов. В свою очередь рост числа нейтральных атомов ведёт к увеличению оптического расстояния τ.

Таким образом, туманность может быть разделена на две области: внутреннюю, в которой степень ионизации велика (𝑛⁺/𝑛₁≫1) и внешнюю, в которой степень ионизации мала (𝑛⁺/𝑛₁≪1), с весьма резкой границей между ними. Первая область светится в линиях данного атома, возникающих в результате фотоионизаций и рекомбинаций, вторая в них не светится. В случае атома водорода первая из этих областей называется обычно зоной 𝙷 II, вторая – зоной 𝙷 I (рис. 31).

Рис. 31

Если температура звезды достаточно высока, чтобы вызвать вторую ионизацию данного атома, то туманность может быть разбита на три области. В первой, ближайшей к звезде области существуют в основном дважды ионизованные атомы и свечение происходит в линиях однажды ионизованного атома. В следующей области находятся в основном однажды ионизованные атомы и она светится в линиях нейтрального атома. В последней области содержатся лишь нейтральные атомы и она совсем не светится в линиях данного элемента, имеющих рекомбинационное происхождение.

Сказанное означает, что в туманностях должна существовать «стратификация» (т.е. слоистость) излучения. Этот теоретический вывод подтверждается наблюдениями: изображения планетарных туманностей, полученные с помощью бесщелевого спектрографа, имеют в разных линиях неодинаковую величину. При этом, как и следовало ожидать, размеры изображения в общем тем меньше, чем больше потенциал ионизации атома. Например, размеры изображений туманностей в линиях ионизованного гелия значительно меньше, чем в линиях нейтрального гелия.

4. Энергетический баланс свободных электронов.

При выводе ионизационной формулы мы считали, что в каждом элементарном объёме туманности число свободных электронов не меняется с течением времени. Теперь рассмотрим ещё одно важное уравнение стационарности, выражающее собой закон сохранения энергии свободных электронов. Это позволит получить зависимость между температурой звезды и электронной температурой туманности [4].

Мы будем считать, что свободные электроны возникают при фотоионизации атомов водорода. Среднюю энергию, получаемую электроном при фотоионизации, обозначим через ε. Так как число ионизаций должно равняться числу рекомбинаций, то количество энергии, приобретаемое электронами в 1 см³ за 1 с будет равно

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

Свободные электроны расходуют свою энергию разными путями. Некоторая часть их энергии тратится на излучение в непрерывном спектре при рекомбинациях и свободно-свободных переходах. Эту часть энергии мы обозначим через

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐶

_𝑖

𝑓

⎞

⎟

⎠

где ε_𝑖 – средняя энергия свободного электрона, захваченного на 𝑖-й уровень. Другая часть энергии свободных электронов, которую мы обозначим через 𝐸, расходуется на возбуждение свечения в линиях «небулия» (в предыдущем параграфе приближённо считалось, что на это идёт вся энергия, получаемая свободными электронами при фотоионизациях). Наконец, свободные электроны могут тратить свою энергию на возбуждение атомов водорода. Хотя энергия, требуемая для возбуждения атома водорода, и велика, но этих атомов очень много, вследствие чего потерю энергии свободных электронов при столкновениях с ними надо принимать во внимание. Мы обозначим через 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑖 число возбуждений 𝑖-го уровня водорода и через 𝑛₁𝑛_𝑒𝐷_𝑐 – число ионизаций атома водорода, происходящих в 1 см³ за 1 с при столкновениях со свободными электронами. Тогда энергия, теряемая свободными электронами при этих столкновениях, будет равна

𝑛₁𝑛

_𝑒

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

На основании закона сохранения энергии имеем

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

∞

∑

𝐶

_𝑖

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐶

_𝑖

𝑓

⎞

⎟

⎠

+𝐸+

𝑛₁𝑛

_𝑒

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

(23.24)

Будем для простоты считать, что температура в туманности везде одинакова. Тогда, интегрируя соотношение (23.24) по всему объёму туманности, находим

∞

∑

𝐶

_𝑖

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐶

_𝑖

𝑓

⎞

⎟

⎠

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

∫

𝐸

𝑑𝑉

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

∫

𝑛₁

𝑛

_𝑒

𝑑𝑉

(23.25)

где ε – энергия, получаемая электроном при фотоионизации, средняя для всей туманности.

Энергию, излучаемую туманностью в линиях «небулия», удобно выразить через энергию, излучаемую туманностью в какой-либо бальмеровской линии, например, в линии 𝙷_β. Делая это, имеем

∫

𝐸

𝑑𝑉

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐴₄₂

ℎ

ν₂₄

∫

𝑛₄

𝑑𝑉

(23.26)

где 𝐼_Neb/𝐼_𝙷β – отношение интенсивностей линий «небулия» и 𝙷_β в спектре туманности. Но величина 𝑛_𝑘, представляющая собой число атомов водорода в 𝑘-м состоянии в 1 см³, должна быть пропорциональна 𝑛_𝑒𝑛⁺, так как заполнение уровней атома водорода происходит в результате рекомбинаций. Поэтому, вводя обозначение 𝑛_𝑘=𝑧_𝑘𝑛_𝑒𝑛⁺ (об определении чисел 𝑧_𝑘 см. в следующем параграфе), вместо (23.26) получаем

∫

𝐸

𝑑𝑉

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐴₄₂

ℎ

ν₂₄

𝑧₄

∫

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑑𝑉

(23.27)

Подставляя (23.27) в (23.25), находим

∞

∑

𝐶

_𝑖

∞

∑

𝐶

_𝑖

+𝑓+

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐴₄₂

ℎ

ν₂₄

𝑧₄

𝑛₁

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

∞

∑

𝐷

_𝑖

ℎ

ν₁

_𝑖

𝐷

_𝑐

ℎ

ν₁

_𝑐

⎞

⎟

⎠

(23.28)

где

𝑛₁

𝑛⁺

∫𝑛₁𝑛_𝑒𝑑𝑉

∫𝑛_𝑒𝑛⁺𝑑𝑉

(23.29)

Уравнение (23.28) можно рассмотреть для двух предельных случаев. В первом случае предположим, что оптическая толщина туманности в лаймановской континууме мала (τ₀≪1). Тогда ионизация атомов водорода будет происходить в основном под действием излучения, приходящего непосредственно от звезды, и величина ε будет равна

∞

∫

ν₁ (ℎν-ℎν₁)

ρ_ν⃰

ℎν 𝑘₁_ν 𝑑ν

∞

∫

ν₁

ρ_ν⃰

ℎν 𝑘₁_ν 𝑑ν

(23.30)

Для водорода, как известно, 𝑘₁_ν∼1/ν³. Поэтому, представляя величину ε в виде

𝐴

𝑘𝑇

_∗

(23.31)

где 𝑘 – постоянная Больцмана, для величины 𝐴 получаем

𝐴

∞

∫

𝑥₀

𝑑𝑥

𝑒^𝑥-1

∞

∫

𝑥₀

𝑑𝑥

𝑥(𝑒^𝑥-1)

–

𝑥₀

(23.32)

где 𝑥₀=ℎν₁/𝑘𝑇_∗.

Во втором случае примем, что оптическая толщина туманности за границей серии Лаймана велика (τ₀≫1). В этом случае ионизация вызывается как излучением, идущим непосредственно от звезды, так и диффузным излучением самой туманности. Однако при больших значениях τ₀ можно считать, что все кванты, испускаемые при захватах электронов на первый уровень, поглощаются в туманности, т.е. число ионизаций, происходящих под влиянием диффузного излучения, равно 𝐶₁∫𝑛_𝑒𝑛⁺𝑑𝑉, а энергия, которую электроны получают при этом, равна 𝐶₁ε₁∫𝑛_𝑒𝑛⁺𝑑𝑉. Поэтому и в данном случае диффузного излучения туманности можно не учитывать. Надо только в уравнении (23.28) суммировать величины 𝐶_𝑖, и 𝐶_𝑖ε_𝑖, не от 1, а от 2. Для величины 𝐴 теперь находим

𝐴

∞

∫

𝑥₀

𝑥³ 𝑑𝑥

𝑒^𝑥-1

∞

∫

𝑥₀

𝑥² 𝑑𝑥

𝑒^𝑥-1

–

𝑥₀

(23.33)

Значения величины 𝐴, вычисленные по формулам (23.32) и (23.33), приведены в табл. 29.

Таблица 29

Значения величины 𝐴

𝑇

_∗

/1 000

𝐴

𝐴𝑇

_∗

/1 000

𝐴

𝐴𝑇

_∗

/1 000

0,90

1,24

0,83

1,46

0,77

1,63

0,71

1,76

141

Из этой таблицы видно, что в принятом интервале звёздных температур энергия ε во втором случае приблизительно в два раза больше, чем в первом. А так как число захватов на первый уровень составляет около половины общего числа захватов, то уравнение (23.28) в обоих случаях должно давать близкие между собой результаты.

Принимая второй из рассмотренных случаев (хотя он далеко не всегда осуществляется в действительности), в дополнение к равенству (23.31) положим

∞

∑

𝐶

_𝑖

𝑓

𝐵

𝑇

_𝑒

𝑘

∞

∑

𝐶

_𝑖

(23.34)

𝐴₄₂

ℎν₂₄

𝑧₄

𝐶𝑘

∞

∑

𝐶

_𝑖

(23.35)

∞

∑

𝐷

_𝑖

ℎν₁

_𝑖

𝐷

_𝑐

ℎν₁

_𝑐

𝐷𝑘

∞

∑

𝐶

_𝑖

(23.36)

Тогда вместо уравнения (23.28) получаем

𝐴𝑇

_∗

𝐵

𝑇

_𝑒

𝐶

𝐼_Neb

𝐼_𝙷β

𝐷

𝑛₁

𝑛⁺

(23.37)

Соотношение (23.37) является искомым. Оно связывает между собой температуру звезды 𝑇_∗ и электронную температуру туманности 𝑇_𝑒. Входящий в это соотношение коэффициент 𝐴 зависит только от 𝑇_∗ и дан в табл. 29. Коэффициенты 𝐵, 𝐶 и 𝐷 зависят только от 𝑇_𝑒 и приведены в табл. 30.

Таблица 30

Коэффициенты 𝐵, 𝐶 и 𝐷

𝑇

_𝑒

/1 000

𝐵

𝐵𝑇

_𝑒

/1 000

𝐶/1 000

𝐷/1 000

1,002

0,001

7,5

1,04

3,0

1,06

2,5

⋅

12,5

1,08

2,5

⋅

1,10

1,6

⋅

⁴

При помощи соотношения (23.37) можно найти электронную температуру туманности 𝑇_𝑒, если температура звезды 𝑇_∗ известна. Для этого надо знать из наблюдений также величины 𝐼_Neb/𝐼_𝙷β и 𝑛₁/𝑛⁺. Так как линии 𝙽₁ и 𝙽₂ являются самыми яркими в спектрах туманностей, то приближённо мы имеем: 𝐼_Neb/𝐼_𝙷β≈𝐼_{𝙽₁+𝙽₂}/𝐼_𝙷β=4𝐼_𝙽₂/𝐼_𝙷β. Что же касается величины 𝑛₁/𝑛⁺, то, пользуясь формулами (23.29) и (23.15), мы можем представить её в виде

𝑛₁

𝑛⁺

⎛

⎜

⎝

𝑛₁

𝑛⁺

⎞

⎟

⎠₀

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑛₁

𝑛⁺

⎞

⎟

⎠₀

⎤

⎥

⎦

(23.28)

где (𝑛₁/𝑛⁺)₀ – степень ионизации, определённая обычной ионизационной формулой [т.е. формулой (23.15) при τ=0]. Следует отметить, что величину 𝑛₁/𝑛⁺ достаточно знать лишь приближённо, так как коэффициент 𝐷 меняется с изменением электронной температуры очень быстро.

В таблице 31 приведены результаты применения соотношения (23.37) к определению электронных температур ряда планетарных туманностей. В первом столбце таблицы даётся номер туманности, во втором – значение 𝑇_𝑒, в трёх последующих столбцах – доли энергии свободных электронов, расходуемой соответственно на излучение в непрерывном спектре, на возбуждение линий «небулия» и на неупругие столкновения с атомами водорода.

В предпоследнем столбце табл. 31 приведены принятые значении температур ядер туманностей, найденные по линиям «небулия», т.е. из уравнения (22.33). Как мы помним, при написании этого уравнения предполагалось, что вся энергия, получаемая свободными электронами при фотоионизациях, идёт на возбуждение линий «небулия». В действительности на это идёт только доля энергии, равная 𝐶𝐼_Neb/𝐴𝑇_∗𝐼_𝙷β. Поэтому мы можем уточнить метод определения температур звёзд по линиям «небулия», введя в левую часть уравнения (22.33) в виде множителя эту долю. Температуры ядер, найденные после указанного уточнения, приведены в последнем столбце табл. 31. Легко видеть, что уточнённый метод определения температур звёзд по линиям «небулия» становится эквивалентным методу определения температур звёзд по линиям водорода.

Таблица 31

Электронные температуры туманностей

и температуры их ядер

Объект

𝑇

_𝑒

, K

Непрер.

спектр.

Небулий

Водород

𝑇

_∗

по

линиям

небулия,

𝑇

_∗

исправл,

NGC 7672

14 000

0,10

0,30

0,60

59 000

76 000

NGC 7009

10 000

0,15

0,55

0,30

40 000

45 000

NGC 6572

13 000

0,15

0,40

0,45

40 000

48 000

NGC 6826

9 000

0,25

0,60

0,15

27 000

29 000

ICII 4593

10 000

0,30

0,60

1,10

24 000

25 000

NGC 6543

11 000

0,20

0,30

0,50

33 000

41 000

Как следует из табл. 31, электронные температуры планетарных туманностей гораздо ниже температур их ядер. Объясняется это тем, что значительная часть энергии, получаемой свободными электронами при фотоионизации, расходуется ими на неупругие столкновения с различными атомами. При этом основную роль в охлаждении электронного газа играют столкновения с атомами, обладающими низкими потенциалами возбуждения (особенно с ионами 𝙾⁺⁺).

Определённые нами значения 𝑇_𝑒 представляют собой средние электронные температуры в зонах 𝙷 II. Однако в различных частях туманности значения 𝑇_𝑒 могут существенно отличаться друг от друга. Причиной этого являются различия как в значениях величины ε, так и в концентрациях тех атомов и ионов, при столкновениях с которыми происходит охлаждение электронного газа. Как показывают вычисления, электронные температуры в зонах 𝙷 I гораздо ниже, чем в зонах 𝙷 II.

В § 25 будут изложены другие методы для определения электронных температур туманностей (по отношению интенсивностей запрещённых линий). Значения 𝑇_𝑒, найденные этими методами, оказываются примерно такими же, как и значения, приведённые в табл. 31. Если считать электронную температуру туманности известной, то из соотношения (23.37) можно определить температуру звезды. Следует подчеркнуть, что эта температура будет характеризовать энергию звезды в самом лаймановском континууме, а не её отношение к энергии в видимой части спектра, как температура, найденная методом Занстра.

Как мы увидим дальше (в гл. VII), рассмотрение энергетического баланса свободных электронов применяется также при изучении межзвёздного газа (в основном для определения электронных температур).

§ 24. Возбуждение атомов

1. Возбуждение при фотоионизациях и рекомбинациях.

Возбуждение атомов в туманностях происходит либо при фотоионизациях и последующих рекомбинациях либо при столкновениях. Сейчас мы рассмотрим первый из этих механизмов, причём для простоты – применительно к атому водорода. Роль столкновений в возбуждении атомов будет рассмотрена позднее.

Вычисление степени возбуждения атомов в туманностях не представляет больших трудностей. В условиях туманностей вероятности переходов из возбуждённых состояний под действием излучения и столкновений оказываются гораздо меньше вероятностей спонтанных переходов (за исключением переходов с очень высоких уровней). Поэтому после фотоионизаций и рекомбинаций атомы совершают лишь «каскадные» переходы с уровня на уровень (т.е. цепь спонтанных переходов от возбуждённого состояния до первого). Образующиеся при таких переходах кванты в линиях субординатных серий беспрепятственно уходят из туманности. Вследствие этого после определения населённостей уровней могут быть легко вычислены и интенсивности эмиссионных линий.

Для определения числа атомов в разных состояниях мы должны составить уравнения стационарности, выражающие собой тот факт, что число переходов в данное состояние равно числу переходов из этого состояния.

Число переходов в 𝑖-е состояние, совершающихся в 1 см³ за 1 с, равно

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

𝑛₁

𝐵₁

_𝑖

ρ₁

_𝑖

Здесь первый член представляет собой число захватов непосредственно на 𝑖-й уровень, второй – число спонтанных переходов из выше лежащих дискретных состояний, третий – число переходов из первого состояния под действием излучения в лаймановской линии.

Из 𝑖-го состояния происходят практически только спонтанные переходы вниз. Число таких переходов в 1 см³ за 1 с равно

𝑛

_𝑖

𝑖-1

∑

𝑘=1

𝐴

_𝑖𝑘

Приравнивая два последних выражения, получаем

𝑛

_𝑖

𝑖-1

∑

𝑘=1

𝐴

_𝑖𝑘

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

𝑛₁

𝐵₁

_𝑖

ρ₁

_𝑖

(𝑖=2, 3, 4, …).

(24.1)

Величина ρ₁_𝑖, представляющая собой плотность излучения в лаймановской линии, нам заранее не известна. Рассмотрим поэтому два предельных случая уравнений (24.1).

В случае А будем предполагать, что оптическая толщина туманности в лаймановских линиях очень мала по сравнению с 1. Тогда будет малой и плотность излучения ρ₁_𝑖. Поэтому, пренебрегая последним членом в каждом из уравнений (24.1), находим

𝑛

_𝑖

𝑖-1

∑

𝑘=1

𝐴

_𝑖𝑘

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

(𝑖=2, 3, 4, …).

(24.2)

В случае В (который для наблюдаемых туманностей гораздо ближе к действительности, чем предыдущий случай) оптическая толщина туманности в лаймановских линиях считается очень большой. В этом случае почти все кванты, излучаемые при переходе 𝑖→1, поглощаются при обратном переходе, т.е. 𝑛_𝑖𝐴_𝑖₁. Следовательно, вместо системы уравнений (24.1) имеем

𝑛

_𝑖

𝑖-1

∑

𝑘=2

𝐴

_𝑖𝑘

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖

(𝑇

_𝑒

)

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

(𝑖=3, 4, 5, …).

(24.3)

Таким образом, в обоих случаях мы пришли к системе линейных алгебраических уравнений относительно чисел 𝑧_𝑖=𝑛_𝑖/𝑛_𝑒𝑛⁺.

Система уравнений (24.3) для водорода была приближённо решена Силлье, который использовал 12 первых уравнений (𝑖=3, 4, …, 14) и отбросил остальные. Коэффициент рекомбинации 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) находился при этом по формуле (23.7).

Позднее Мензел и Бэкер [5] рассмотрели системы уравнений (24.2) и (24.3), взяв более точное выражение для коэффициента рекомбинации (с гаунтовским множителем, отличным от единицы) и приняв во внимание более высокие уровни. В их таблицах приведены значения величины 𝑏_𝑖 определённой соотношением

𝑛

_𝑖

𝑏

_𝑖

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑖²ℎ³

(2π𝑚𝑘𝑇_𝑒)³^/²

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

(24.4)

т.е. показывающей, во сколько раз значение 𝑛_𝑖/𝑛_𝑒𝑛⁺ в туманностях отличается от значения 𝑛_𝑖/𝑛_𝑒𝑛⁺ в состоянии термодинамического равновесия с температурой 𝑇_𝑒.

Ситон получил более точные решения систем уравнений (24.2) и (24.3). Искомая величина 𝑧_𝑖 была при этом представлена в виде

𝑧

_𝑖

𝐶

_𝑖

∞

∑

𝑘=𝑖+1

𝑄

_𝑘𝑖

𝐶

_𝑘

𝑖-1

∑

𝑘=𝑘₀

𝐴

_𝑖𝑘

(24.5)

где 𝑘₀=1 в случае А и 𝑘₀=2 в случае В, а величины 𝑄_𝑘𝑖 (зависящие только от эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов и от значения 𝑘₀) составляют элементы «каскадной матрицы». Очевидно, что величина 𝑄_𝑘𝑖 определяет вероятность попадания атома на уровень 𝑖 с уровня 𝑘 любым путём. Вычисленные Ситоном значения величины 𝑏_𝑖exp(χ_𝑖/(𝑘𝑇_𝑒)) приведены в табл. 32.

Таблица 32

Значения величины 𝑏_𝑖 exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

⎞

⎟

⎠

𝑖

𝑇

_𝑒

, K

Случай А

Случай B

10 000

20 000

10 000

20 000

0,193

0,315

–

0,213

0,332

0,668

1,013

0,244

0,364

0,540

0,792

0,273

0,394

0,519

0,739

0,299

0,421

0,520

0,725

0,322

0,443

0,529

0,722

0,341

0,463

0,540

0,725

0,360

0,480

0,552

0,730

0,376

0,480

0,552

0,730

0,434

0,547

0,605

0,756

0,472

0,580

0,635

0,772

0,499

0,603

0,656

0,785

0,520

0,621

0,673

0,795

Мы видим, что величина 𝑏_𝑖 сильно отличается от единицы (а при 𝑖→∞, как и следовало ожидать, 𝑏_𝑖→1). На этом основании может сложиться впечатление, что в отношении распределения атомов по состояниям туманности близки к термодинамическому равновесию. В действительности это верно только в отношении величин 𝑛_𝑖/𝑛_𝑒𝑛⁺ (при 𝑖≥2 в случае А и при 𝑖≥3 в случае В). Если же рассматривать степень возбуждения атомов 𝑛_𝑖𝑛₁ то эта величина очень далека от своего значения при термодинамическом равновесии. В самом деле, из формул (23.14) и (24.4) мы получаем

𝑛_𝑖

𝑛₁

𝑝𝑊

𝑇_∗

𝑇_𝑒

𝑏

_𝑖

𝑔_𝑖

𝑔₁

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇_𝑒

–

χ₁

𝑘𝑇_∗

⎞

⎟

⎠

(24.6)

Формула (24.6) сильно отличается от формулы Больцмана. Особенно существенно присутствие в правой части формулы (24.6) малого множителя 𝑊. Вследствие этого число возбуждённых атомов в туманности гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.

Следует отметить, что система уравнений (24.3) [как и (24.2)], определяющая населённости уровней атома водорода, не является вполне точной. При написании этой системы не было принято во внимание азимутальное вырождение уровней, т.е. наличие при главном квантовом числе 𝑖 ряда состояний с различными азимутальными числами 𝑙. В действительности вместо системы (24.3) мы должны написать следующую систему уравнений для определения чисел 𝑛_𝑖𝑙:

𝑛

_𝑖𝑙

⎡

⎢

⎣

𝑖

∑

𝑘=1

𝐴

_{𝑖𝑙𝑘(𝑙-1)}

𝑖

∑

𝑘=𝑙+2

𝐴

_{𝑖𝑙𝑘(𝑙+1)}

⎤

⎥

⎦

∞

∑

𝑘=𝑖

⎡

⎣

𝑛

_𝑘(𝑙+1)

𝐴

_{𝑘(𝑙+1)𝑖𝑙}

𝑛

_𝑘(𝑙-1)

𝐴

_{𝑘(𝑙-1)𝑖𝑙}

⎤

⎦

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝐶

_𝑖𝑙

(𝑇

_𝑒

)

(

𝑖=3, 4, 5, …,

𝑙=0, 1, 2, …, 𝑖-1

(24.7)

Здесь учтено, что разрешены только такие переходы, при которых число 𝑙 меняется на единицу. Система уравнений (24.7) рассматривалась в ряде работ. Один из полученных результатов состоит в том, что замена системы (24.3) системой (24.7) не приводит к значительным изменениям в числах атомов 𝑛_𝑖 (а также и в интенсивностях эмиссионных линий).

Уравнения, определяющие населённости уровней, могут быть составлены не только для водорода, но и для других атомов. Однако для других атомов (кроме водородоподобных ионов) очень трудно найти величины 𝐴_𝑘𝑖 и 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒). Поэтому населённости уровней в этих случаях вычислялись приближённо (см. [10]).

2. Интенсивности эмиссионных линий.

Знание населённостей уровней атома даёт возможность вычислить интенсивности эмиссионных линий. Эти вычисления сильно облегчаются полной прозрачностью туманностей для излучения в линиях субординатных серий. Интенсивности линий, возникающих в спектрах туманностей в результате рекомбинаций, зависят только от коэффициентов рекомбинаций 𝐶_𝑖(𝑇_𝑒) и коэффициентов спонтанных переходов 𝐴_𝑘𝑖. Поэтому путём сравнения теории с наблюдениями можно, в частности, проверить правильность квантовомеханических вычислений этих коэффициентов. Такая проверка (представляющая особый интерес в случае сложных атомов) возможна только при изучении туманностей, благодаря крайней простоте осуществляющихся в них физических условий.

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"