Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 32 (всего у книги 35 страниц)

Назад к карточке книги

𝑄

6π

𝑅

∫

𝑃

𝑟²

𝑑𝑟

(35.37)

где ³/₂𝑃 – тепловая энергия единицы объёма. Сравнивая между собой формулы (35.34) и (35.37), имеем

𝐸

2𝑄

(35.38)

Соотношение (35.38) представляет собой частный случай теоремы вириала, утверждающей, что в стационарной гравитирующей системе потенциальная энергия равна по абсолютной величине удвоенной кинетической энергии. В астрономии эта теорема часто применяется к звёздным системам. В рассматриваемом случае одиночной звезды под кинетической энергией звезды понимается её тепловая энергия.

С помощью теоремы вириала можно легко получить оценку температуры внутри звезды. Гравитационная энергия звезды, на основании формулы (35.29), может быть записана в виде

𝐸

𝐺𝑀²

𝑅

(35.39)

где γ – безразмерный множитель, зависящий от структуры звезды. Тепловая же энергия звезды может быть представлена формулой

𝑄

𝑘

𝑇

𝑀

μ𝑚_𝙷

(35.40)

где 𝑀/μ𝑚_𝙷 – число частиц в звезде и 𝑇 – её средняя температура. Подстановка двух последних выражений в соотношение (35.38) даёт

𝑇

γμ𝑚_𝙷

3𝑘

𝐺𝑀

𝑅

(35.41)

Применяя формулу (35.41) к Солнцу, находим 𝑇≈8⋅10⁶γμ. Если в качестве примера принять γ=³/₂ и μ=1, то будем иметь 𝑇≈1,2⋅10⁷ кельвинов. Таким образом, самые простые оценки показывают, что температуры внутри звёзд очень высоки.

Как уже сказано, энергию, равную 𝐸, нужно затратить, чтобы рассеять звезду в пространстве. Однако эта энергия должна выделиться, если туманность сжимается до состояния звезды. Согласно теореме вириала, половина выделившейся при сжатии энергии идёт на нагревание звезды. Другая же половина расходуется звездой на излучение.

Раньше считали, что звёзды возникают из туманностей и свечение звезды в течение всей её жизни происходит за счёт гравитационной энергии, выделяющейся при сжатии. Однако потом выяснилось, что гравитационной энергии недостаточно для этого.

Рассмотрим для примера опять Солнце. Принимая 𝑛=3, по формуле (35.36) находим, что гравитационная энергия Солнца равна 𝐸=-6⋅10⁴⁸ эрг. Светимость Солнца составляет 4⋅10³³ эрг/с. Поэтому за счёт гравитационной энергии (точнее её половины) Солнце могло излучать при постоянной светимости не более 2,5⋅10⁷ лет. По данным же геологии Земля существует не менее 2⋅10⁹ лет, причём светимость Солнца за это время существенно не менялась. Следовательно, Солнце обладает гораздо более мощными источниками энергии по сравнению с его гравитационной энергией.

Однако для некоторых звёзд гравитационная энергия, выделяющаяся при сжатии, может быть существенным источником их свечения. К таким звёздам относятся белые карлики, не достигшие ещё полного вырождения, т.е. имеющие ещё способность сжиматься. Как известно, массы белых карликов по порядку равны массе Солнца, а их радиусы составляют несколько сотых радиуса Солнца. Поэтому гравитационная энергия белого карлика будет порядка 10⁵⁰ эрг. Светимость же белых карликов примерно в сто раз меньше светимости Солнца, т.е. порядка 10³² эрг/с. Из сопоставления этих цифр следует, что в случае сжатия белого карлика должна выделяться энергия, которая может обеспечить его свечение в течение весьма длительного времени. Разумеется, этим не решается вопрос о действительных источниках энергии белых карликов.

4. Уравнение энергетического равновесия.

Выше было получено одно из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд – уравнение механического равновесия (35.5). Теперь мы напишем второе основное уравнение этой теории – уравнение энергетического равновесия звезды. Оно должно выражать собой то условие, что количество энергии, вырабатываемое в каком-либо элементарном объёме звезды, равно количеству энергии, которое из этого объёма выходит.

Пусть ε – количество энергии, вырабатываемое одним граммом звёздного вещества, и 𝐿_𝑟 – количество энергии, вырабатываемое внутри сферы радиуса 𝑟 за 1 с. Мы имеем

𝐿

_𝑟

4π

∫

ερ

𝑟²

𝑑𝑟

(35.42)

Обозначим через 𝐻_𝑟 поток энергии в радиальном направлении на расстоянии 𝑟 от центра звезды. На основании упомянутого условия получаем

4π

𝑟²

𝐻

_𝑟

𝐿

_𝑟

(35.43)

Выражение для величины 𝐻_𝑟 определяется механизмом переноса энергии внутри звезды. Исследования показали, что основным из этих механизмов является лучеиспускание (хотя в некоторых случаях необходимо принимать во внимание конвекцию и теплопроводность).

Если считать, что энергия внутри звезды переносится только лучеиспусканием, то из уравнения переноса излучения находим

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑟

ϰρ

𝑐

𝐻

_𝑟

(35.44)

где 𝑃_𝑅 —давление излучения, ϰ – коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и 𝑐 – скорость света.

Из (35.43) и (35.44) следует

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑟

ϰρ

𝑐

𝐿_𝑟

𝑟

(35.45)

Подставляя (35.42) в (35.45), имеем

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

ϰρ

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

𝑐

(35.46)

Это и есть искомое уравнение энергетического равновесия звезды.

При получении уравнения механического равновесия мы понимали под 𝑃 газовое давление. В дальнейшем будем понимать под 𝑃 сумму давлений: газового и светового. Иными словами, будем считать

𝑃

_𝐺

𝑃

_𝑅

(35.47)

где

𝑃

_𝐺

𝑅_∗

ρ𝑇

(35.48)

𝑃

_𝑅

𝑎𝑇⁴

(35.49)

Если приведённые выражения для давлений подставить в уравнения (35.5) и (35.46), то мы получим систему двух уравнений для определения двух неизвестных функций от 𝑟: плотности ρ и температуры 𝑇. Входящие в эти уравнения величины ε, ϰ и μ должны считаться известными функциями от ρ и 𝑇.

5. Стандартная модель звезды.

До открытия ядерных реакций как источника звёздной энергии величина ε не была известна. Поэтому в теории внутреннего строения звёзд приходилось делать различные предположения относительно этой величины, в результате чего получались разные модели звёзд. Важную роль в теории сыграла модель, предложенная Эддингтоном. Её обычно называют стандартной моделью звезды.

В качестве уравнений механического и энергетического равновесия звезды возьмём уравнения (35.4) и (35.45). Поделив второе из этих уравнений на первое, получаем

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑃

ϰ𝐿_𝑟

4π𝑐𝐺𝑀_𝑟

(35.50)

Введём обозначение

𝐿_𝑟

𝑀_𝑟

𝐿

𝑀

(35.51)

Подставляя (35.51) в (35.50), имеем

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑃

ϰη

4π𝑐𝐺

𝐿

𝑀

(35.52)

Эддингтон сделал предположение, что внутри звезды

ϰη

const

(35.53)

При таком предположении вся правая часть уравнения (35.52) будет постоянной. Поэтому, обозначив

ϰη

4π𝑐𝐺

𝐿

𝑀

1-β

(35.54)

из (35.47) находим

𝑃

_𝑅

(1-β)

𝑃

(35.55)

а значит,

𝑃

_𝐺

β𝑃

(35.56)

Мы видим, что при выполнении предположения (35.53) отношение газового давления к световому не меняется в звезде.

Из формул (35.48), (35.49), (35.55) и (35.56) следует

(1-β)

𝑃

𝑎𝑇⁴

β𝑃

𝑅_∗

ρ𝑇

(35.57)

Исключая из этих соотношений 𝑇, получаем

𝑃

𝐶ρ⁴

(35.58)

где

𝐶

⎡

⎢

⎣

3(1-β)𝑅_∗⁴

αβ⁴μ⁴

⎤¹/₃

⎥

⎦

(35.59)

Если считать, что средний молекулярный вес μ постоянен в звезде, то величина 𝐶 также будет постоянной. Поэтому уравнение (35.58) будет представлять собой политропную зависимость между 𝑃 и ρ при 𝑘=⁴/₃. Иными словами, стандартная модель звезды оказывается политропным шаром 𝑛=3. Следовательно, распределение плотности, давления и температуры в стандартной модели даётся приведёнными выше формулами, основанными на решении уравнения Эмдена. В частности, сделанные выше оценки плотности и температуры в центре Солнца при 𝑛=3 соответствуют стандартной модели.

Ранее для политропного шара формулой (35.24) была определена постоянная 𝐶 в зависимости от 𝑀, 𝑅 и 𝑛. Теперь, пользуясь этой формулой, мы можем найти величину р внутри звезды. Приравнивая друг другу выражения для 𝐶, даваемые формулой (35.24) при 𝑛=3 и формулой (35.59), получаем, что величина β определяется уравнением

1-β

𝐶₁

μ⁴

𝑀²

β⁴

(35.60)

где

𝐶₁

π𝐺³𝑎

48𝑅_∗⁴[𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)]²

(35.61)

Из уравнения (35.60) видно, что доля светового давления 1-β растёт вместе с массой звезды (β=1, когда 𝑀=0, и β=0, когда 𝑀=∞).

Таблица 56

Характеристики звёзд

согласно «стандартной модели»

Звезда

𝑀/𝑀

_☉

𝑅/𝑅

_☉

𝐿/𝐿

_☉

1-β

_𝑐

𝑇

_𝑐

Солнце

1,00

,00

0,003

⋅

⁶

Сириус А

2,34

,78

0,016

⋅

⁶

Капелла А

4,18

120

0,045

,080

⋅

⁶

В таблице 56, заимствованной у Чандрасекара [3], приведены результаты вычислений некоторых характеристик для трёх звёзд, полученные при предположении, что звёзды построены согласно стандартной модели. При вычислениях были заданы значения 𝑀, 𝐿, 𝑅 и было принято μ=1.

Эддингтон, основываясь на своей модели звезды, сделал заключение о существовании зависимости между массами и светимостями звёзд. Его рассуждение (в несколько изменённом виде) было следующим. Рассмотрим соотношения (35.54) и (35.60). Исключая из них величину β, мы приходим к зависимости между величинами 𝑀, 𝐿, ϰη и μ. Будем считать, что величины ϰη и μ одинаковы для всех звёзд. Тогда получается зависимость между 𝑀 и 𝐿. При этом при малых 𝑀, (т.е. при значениях β, близких к 1) соотношения (35.54) и (35.60) дают

𝐿

𝑀³

(35.62)

а при больших 𝑀 (т.е, при малых значениях β) из (35.49) следует

𝐿

𝑀

(35.63)

Эддингтон сопоставил свои теоретические выводы с наблюдательными данными о массах и светимостях звёзд и получил согласие между ними. Разумеется, это согласие нельзя считать подтверждением рассматриваемой теории, так как при её построении был сделан ряд необоснованных предположений (главным из которых является предположение о постоянстве ϰη внутри звезды). Однако интересно то, что при этих исследованиях Эддингтон впервые получил зависимость между массами и светимостями звёзд из наблюдательных данных. Как известно, эта зависимость является одним из фундаментальных соотношений звёздной астрономии.

§ 36. Физические процессы внутри звёзд

1. Уравнение состояния звёздного вещества.

В предыдущем параграфе были в общих чертах выяснены физические условия в звёздных недрах (т.е. оценены значения плотности, температуры и давления). Теперь мы перейдём к рассмотрению физических процессов, идущих при таких условиях. Это позволит нам, в частности, получить выражения для тех параметров, которые входят в основные уравнения теории внутреннего строения звёзд.

Из приведённых выше результатов [например, из формулы (35.27)] следует, что с углублением в звезду происходит значительное увеличение температуры. Этим обусловлена сильная ионизация атомов внутри звезды. Как известно (см. § 13), отношение числа ионизованных атомов 𝑛⁺ к числу нейтральных атомов 𝑛₁ даётся следующей формулой:

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑛₁

𝑔⁺

𝑔₁

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³

exp

⎛

⎜

⎝

χ₁

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(36.1)

где χ₁ – энергия ионизации из основного состояния. Аналогичной формулой определяется и отношение числа 𝑠 раз ионизованных атомов к числу 𝑠-1 раз ионизованных атомов. Из формулы (36.1) видно, что степень ионизации существенно зависит от отношения χ₁/𝑘𝑇 и, грубо говоря, атомы переходят в следующую стадию ионизации, когда это отношение становится порядка единицы. Поэтому лёгкие атомы, обладающие небольшими энергиями отрыва последнего электрона (в частности, водород и гелий), оказываются полностью ионизованными уже в поверхностных слоях звезды. А от тяжёлых атомов по мере проникновения в глубь звезды отрывается все большее и большее число электронов.

Таким образом, газ внутри звезды (представляющий собой высокотемпературную плазму) состоит из большого числа свободных электронов, из «голых» ядер лёгких атомов и из тяжёлых атомов, лишённых значительной части своих электронных оболочек. Такой состав газа внутри звезды следует принимать во внимание при написании уравнения состояния газа и, в частности, при определении его среднего молекулярного веса.

При рассмотрении звёздных атмосфер в качестве уравнения состояния вещества мы брали уравнение состояния обычного идеального газа. Можно было бы думать, что при углублении внутрь звезды газ перестаёт быть идеальным вследствие сильного возрастания его плотности. Однако в действительности почти полная ионизация атомов внутри звезды приводит к резкому уменьшению размеров частиц (от размеров атомов порядка 10⁻⁸ см до размеров ядер порядка 10⁻¹³ см). Благодаря этому и внутри звезды газ остаётся идеальным, т.е. уравнение состояния газа мы можем записать в виде

𝑃

𝑛

𝑘𝑇

(36.2)

где 𝑛 – число частиц в 1 см³. Переходя здесь от концентрации 𝑛 к плотности ρ при помощи соотношения

𝑛

μ𝑚_𝙷

(36.3)

где μ – средняя молекулярная масса и 𝑚_𝙷 – масса атома водорода, вместо (36.2) получаем

𝑃

𝑘

μ𝑚_𝙷

ρ𝑇

(36.4)

т.е. уравнение, совпадающее с ранее использовавшимся уравнением (35.26) (так как 𝑅_∗=𝑘/μ𝑚_𝙷).

Величина μ, входящая в уравнение состояния (36.4), имеет важное значение для теории внутреннего строения звёзд. Найдём эту величину, пользуясь формулой (36.3) и имея в виду, что плотность ρ определяется в основном атомами, а концентрация 𝑛 – как атомами, так и свободными электронами. В качестве первого приближения все атомы внутри звезды будем считать полностью ионизованными.

Допустим сначала, что звезда состоит из одного элемента с атомным номером 𝑍 и атомной массой 𝐴. Так как при полной ионизации на каждый атом приходится 𝑍 свободных электронов, то мы имеем

𝑛

𝐴𝑚_𝙷

(1+𝑍)

(36.5)

Поэтому для величины μ получаем

𝐴

1+𝑍

(36.6)

Формула (36.6) даёт для водорода μ=¹/₂, для гелия μ=⁴/₃, для других элементов μ≈2. Таким образом, средняя молекулярная масса внутри звезды заключена в сравнительно небольших пределах. Однако даже небольшие различия в величине μ весьма существенны. Это объясняется тем, что температура согласно формуле (35.28) пропорциональна μ, а от температуры чрезвычайно сильно зависит количество энергии, выделяющейся при ядерных реакциях.

На самом деле звезда состоит из смеси разных элементов. Чтобы получить формулу для μ в этом случае, обозначим через 𝑥_𝑍 весовую долю элемента с атомным номером 𝑍 (т.е. будем считать, что на грамм звёздного вещества приходится 𝑥_𝑍 граммов атомов данного элемента). Для величины 𝑛 теперь находим

𝑛

∑

𝑥_𝑍ρ

𝐴𝑚_𝙷

(1+𝑍)

(36.7)

где суммирование производится по всем элементам. Подстановка (36.7) в (36.3) даёт

∑

𝑥

_𝑍

(1+𝑍)

𝐴

(36.8)

Пусть 𝑋 – весовая доля водорода, 𝑌 – весовая доля гелия и 1-𝑋-𝑌 – весовая доля других элементов. Тогда вместо (36.8) получаем

2𝑋

𝑌

(1-𝑋-𝑌)

(36.9)

или

6𝑋+𝑌+2

(36.10)

Как уже сказано, формула (36.10) справедлива только при полной ионизации атомов в данном месте звезды. Если ионизацию нельзя считать полной, то в формуле (36.8) вместо 𝑌 следует написать число оторванных от атома электронов. Это число может быть определено при помощи формулы ионизации (36.1).

2. Вырождение газа.

При углублении в звезду вместе с температурой увеличивается и плотность. Особенно сильное возрастание плотности происходит во внешних слоях звёзд с большим ускорением силы тяжести на поверхности (в частности, у белых карликов). В этих случаях внутри звёзд могут существовать области, в которых газ является вырожденным, т.е. не подчиняющимся законам, вытекающим из классической статистики. Поэтому наряду с уравнением состояния (36.4) нам следует также иметь уравнение состояния вырожденного газа.

Рассмотрим газ, состоящий из свободных электронов. Как известно, такой газ подчиняется статистике Ферми – Дирака, справедливой для частиц, обладающих двумя свойствами: 1) частицы являются неразличимыми, 2) в каждой ячейке фазового пространства не может находиться более двух частиц. Согласно указанной статистике число свободных электронов с импульсами от 𝑝 до 𝑝+𝑑𝑝 даётся формулой

𝑑𝑛

_𝑒

8π𝑝²𝑑𝑝

ℎ³

𝐷

exp

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

2𝑚𝑘𝑇

(36.11)

в которой величина 𝐷 определяется из того условия, что задано полное число свободных электронов в единице объёма, т.е.

𝑛

_𝑒

8π

∞

∫

𝑝²𝑑𝑝

ℎ³

𝐷

exp

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

2𝑚𝑘𝑇

(36.12)

Чтобы получить уравнение состояния электронного газа, надо написать выражение для давления. Если скорости частиц малы по сравнению со скоростью света, то мы имеем

𝑃

_𝑒

∫

𝑝²

2𝑚

𝑑𝑛

_𝑒

(36.13)

или, на основании (36.11),

𝑃

_𝑒

8π

∞

∫

𝑝⁴𝑑𝑝

3𝑚ℎ³

𝐷

exp

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

2𝑚𝑘𝑇

(36.14)

Из соотношений (36.12) и (36.14) путём исключения величины 𝐷 можно получить зависимость между 𝑃_𝑒, 𝑛_𝑒 и 𝑇, т.е. искомое уравнение состояния газа.

Предположим сначала, что 𝐷≫1. Тогда из соотношений (36.12) и (36.14) находим

𝑛

_𝑒

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝐷

⎛

⎜

⎝

2³^/²𝐷

+…

⎞

⎟

⎠

(36.15)

𝑃

_𝑒

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝐷

𝑘𝑇

⎛

⎜

⎝

2⁵^/²𝐷

+…

⎞

⎟

⎠

(36.16)

Отсюда приближённо следует:

𝑃

_𝑒

𝑛

_𝑒

𝑘𝑇

⎛

⎜

⎝

2⁵^/²𝐷

+…

⎞

⎟

⎠

(36.17)

𝐷

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝑛_𝑒

(36.18)

Мы видим, что уравнение состояния (36.17) мало отличается от уравнения состояния обычного идеального газа. Следовательно, в рассматриваемом случае газ слабо вырожден. Если величина 𝐷 очень велика, то вырождением можно пренебречь. Это соответствует пренебрежению единицей в знаменателе формулы (36.11) и означает переход квантовой статистики в классическую.

Если же величина 𝐷 мала, т.е.

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

ℎ³𝑛_𝑒

≪

(36.19)

то газ будет сильно вырожденным. При этом вырождение будет тем сильнее, чем меньше температура и больше плотность.

Для численных оценок надо иметь в виду, что 𝐷=5⋅10¹⁵𝑇³^/²/𝑛_𝑒 и газ является сильно вырожденным, когда 𝐷≪1. Так как внутри звёзд температуры очень высоки, то это неравенство осуществляется лишь при очень больших плотностях. Например, при 𝑇≈10⁷ кельвинов должно быть 𝑛_𝑒≫10²⁶ см⁻³.

Уравнение состояния сильно вырожденного электронного газа также может быть получено из соотношений (36.12) и (36.14). Предположим сначала, что 𝑇=0. В этом случае согласно классической статистике все частицы находятся в ячейке фазового пространства с импульсом 𝑝=0 и, следовательно, давление газа равно нулю. Однако в действительности электроны подчиняются принципу Паули, не допускающему присутствия более двух частиц в каждой ячейке. Поэтому при 𝑇=0 электроны занимают все ячейки с импульсами от 𝑝=0 до некоторого 𝑝_max, а давление газа отлично от нуля.

В данном случае вместо (36.11) имеем

𝑑𝑛

_𝑒

8π𝑝²𝑑𝑝

ℎ³

(36.20)

и из соотношений (36.12) и (36.14) находим:

𝑛

_𝑒

8π

ℎ³

𝑝_max

∫

𝑝²

𝑑𝑝

8π

3ℎ³

𝑝

_max

(36.21)

𝑃

_𝑒

8π

3𝑚ℎ³

𝑝_max

∫

𝑝⁴

𝑑𝑝

8π

15𝑚ℎ³

𝑝

_max

⁵

(36.22)

Подстановка 𝑝_max из (36.21) в (36.22) даёт

𝑃

_𝑒

⎛

⎜

⎝

⎞²/₃

⎟

⎠

ℎ²

𝑚

𝑛

_𝑒

⁵

(36.23)

Мы получили уравнение состояния полностью вырожденного электронного газа. Хотя при его выводе и принималось 𝑇=0, однако оно с большой точностью справедливо при любых температурах, удовлетворяющих неравенству 𝐷≪1. Это следует из того, что при малых 𝐷 формулы (36.12) и (36.14) приводят к уравнению (36.23) с множителем в правой части, равным

⎛

⎜

⎝

⎞⁴/₃

⎟

⎠

𝐷⁴

Таким образом, чем меньше 𝐷, т.е. чем сильнее вырождение, тем точнее уравнение состояния (36.23). Подчеркнём, что в это уравнение не входит температура, хотя она и может быть очень высокой.

При выводе уравнения (36.23) была использована для давления формула (36.13), справедливая лишь при скоростях частиц, малых по сравнению со скоростью света. Это значит, что уравнение (36.23) относится к нерелятивистскому газу. Однако с увеличением концентрации свободных электронов, как следует из формулы (36.21), растёт их максимальный импульс, а значит, и скорости могут стать близкими к скорости света. Поэтому мы должны получить уравнение состояния электронного газа, которое годилось бы и для этого случая.

Если частицы могут иметь скорости, близкие к скорости света, то вместо формулы (36.13) мы должны написать

𝑃

_𝑒

∫

𝑝²

𝑑𝑛

_𝑒

3𝑚

⎛

⎜

⎝

𝑝²

⎞

⎟

⎠

𝑚²𝑐²

(36.24)

Подставляя сюда выражение (36.20), получаем

𝑃

_𝑒

8π

𝑝_max

∫

𝑝²

𝑑𝑝

3𝑚ℎ³

⎛

⎜

⎝

𝑝⁴

⎞

⎟

⎠

𝑚²𝑐²

(36.25)

или, после интегрирования,

𝑃

_𝑒

π𝑚⁴𝑐⁵

3ℎ³

⎡

⎣

𝑥(2𝑥²-3)

√

1+𝑥²

arcsh

𝑥

⎤

⎦

(36.26)

где обозначено 𝑥=𝑝_max/𝑚𝑐.

Формулу (36.21) мы можем переписать теперь в виде

𝑛

_𝑒

8π𝑚³𝑐³

3ℎ³

𝑥³

(36.27)

Соотношения (36.26) и (36.27) представляют собой уравнение состояния полностью вырожденного электронного газа в параметрической форме. Это уравнение справедливо при любых скоростях электронов.

Если 𝑥≪1 то из соотношений (36.26) и (36.27) вытекает ранее полученное уравнение (36.23) для нерелятивистского газа. Если же 𝑥≫1, то из указанных соотношений следует

𝑃

_𝑒

⎛

⎜

⎝

⎞¹/₃

⎟

⎠

𝑐ℎ

𝑛

_𝑒

⁴

(36.28)

Это есть уравнение, состояния релятивистского полностью вырожденного электронного газа.

Приравнивая друг к другу значения 𝑃_𝑒 даваемые формулами (36.23) и (36.28), мы можем определить граничное значение 𝑛_𝑒 отделяющее область нерелятивистского газа от области релятивистского газа. Это значение 𝑛_𝑒 оказывается порядка 10³⁰ см⁻³. Следовательно, при 𝑛_𝑒≪10³⁰ см⁻³ вырожденный газ является нерелятивистским, а при 𝑛_𝑒≫10³⁰ см⁻³ – релятивистским. Формулы (36.26) и (36.27) охватывают как оба эти случая, так и промежуточную между ними область.

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"