Курс теоретической астрофизики

Текст добавлен: 4 февраля 2019, 13:00

Текст книги "Курс теоретической астрофизики"

Автор книги: Виктор Соболев

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 35 страниц)

Назад к карточке книги

3. Модели фотосфер.

Как было выяснено выше, в том случае, когда коэффициент поглощения α_ν представляется в виде (6.11), теория фотосфер сильно упрощается. В этом случае сначала можно рассчитать поле излучения в фотосфере, а затем определить структуру фотосферы. Однако обычно α_ν не представляется в виде (6.11) (так как поглощение вызывается разными атомами), вследствие чего обе указанные задачи надо решать совместно. Для этого следует совместно решить ряд уравнений, уже полученных ранее. Мы сейчас приведём эти уравнения, являющиеся основными уравнениями теории фотосфер.

1) Уравнение переноса излучения:

cos θ

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

_ν

𝐼

_ν

(6.20)

2) Условие постоянства полного потока излучения (эквивалентное условию лучистого равновесия):

2π

∞

∫

𝑑ν

∫

𝐼

_ν

cos θ

sin θ

𝑑θ

σ𝑇

𝑒

(6.21)

3) Закон Кирхгофа – Планка, выражающий собой предположение о локальном термодинамическом равновесии:

_ν

2ℎν³

𝑐²

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

(6.22)

4) Уравнение механического равновесия фотосферы:

𝑑(

𝑝

_𝑔

𝑝

_𝑟

)

𝑔ρ

𝑑𝑟

(6.23)

где

𝑝

_𝑔

𝑅_∗

ρ𝑇

𝑝

_𝑟

𝑎𝑇⁴

(6.24)

В приведённых уравнениях заданными величинами являются эффективная температура звезды 𝑇_𝑒, ускорение силы тяжести на поверхности звезды 𝑔 и химический состав фотосферы. Кроме того, надо считать заданным выражение для коэффициента поглощения α_ν, который зависит от химического состава и от физических условий в фотосфере (т.е. от 𝑇 и ρ).

В результате решения этих уравнений получается модель фотосферы, т.е. зависимость температуры 𝑇 и плотности ρ от глубины, а также поле излучения в фотосфере. В частности, при этом определяется теоретический спектр звезды, который может быть сравнён с наблюдаемым спектром.

Основные уравнения теории фотосфер обычно решаются методом последовательных приближений. При этом при построении первого приближения используется средний коэффициент поглощения α и соответствующая ему оптическая глубина τ, и принимается, что температура 𝑇 связана с τ так же, как и в случае независимости коэффициента поглощения от частоты. Иными словами, считается, что

𝑇⁴

𝑇

𝑒

⎡

⎣

𝑞(τ)

⎤

⎦

(6.25)

где

𝑑τ

𝑑𝑟

(6.26)

Из соотношений (6.23) и (6.26) мы также имеем

𝑑𝑝

𝑑τ

𝑔

(6.27)

где обозначено 𝑝=𝑝_𝑔+𝑝_𝑟. Так как величину ϰ можно выразить через 𝑇 и 𝑝, а температура 𝑇 выражается через τ формулой (6.25), то интегрирование уравнения (6.27) позволяет получить 𝑝 как функцию от τ. Зная зависимость 𝑇 и 𝑝 от τ, мы можем при помощи соотношения (6.26) перейти от оптической глубины τ к геометрической глубине 𝑧=𝑟₀-𝑟, где 𝑟₀ – произвольное расстояние от центра звезды, принимаемое за нуль-пункт отсчёта глубин.

Очень часто расчёт моделей фотосфер заканчивается на первом приближении. Однако иногда делаются и последующие приближения, для выполнения которых был предложен ряд способов. С целью облегчения вычислений составлены таблицы значений коэффициента поглощения α_ν и среднего коэффициента поглощения α в зависимости от химического состава, плотности и температуры.

Ниже в виде примеров приводятся результаты расчёта моделей фотосфер для звёзд разных спектральных классов (подробнее см. [6] – [8]).

4. Горячие звёзды.

В фотосферах горячих звёзд поглощение излучения производится в основном водородом и гелием. Как уже было установлено выше, в фотосферах звёзд с эффективными температурами 10 000-20 000 K главная роль в поглощении принадлежит водороду. С увеличением же температуры растёт роль в поглощении гелия. Как увидим дальше, число атомов гелия в фотосферах примерно лишь на порядок меньше числа атомов водорода. Однако в фотосферах холодных звёзд роль гелия в поглощении ничтожна. Объясняется это так же, как и слабое поглощение атомами водорода при низких температурах. Разница состоит лишь в том, что энергия возбуждения гелия ещё больше, чем энергия возбуждения водорода. Поэтому и поглощение атомами гелия начинает сказываться при ещё более высоких температурах. При дальнейшем повышении температуры становится существенным и поглощение ионизованным гелием.

Вместе с тем в фотосферах горячих звёзд важную роль в переносе излучения играет рассеяние света свободными электронами. Это связано с сильной ионизацией атомов водорода и гелия при высоких температурах.

Модели фотосфер горячих звёзд рассчитывались многими авторами. В табл. 2 приведены результаты Травинга, рассчитавшего модель фотосферы звезды 10 Ящерицы (спектральный класс 𝙾9 𝚅, 𝑇_𝑒=37 450 К, lg 𝑔=4,45). В последовательных столбцах таблицы даны: оптическая глубина τ, температура 𝑇, логарифм газового давления 𝑝_𝑔 логарифм электронного давления 𝑝_𝑒 и геометрическая глубина 𝑧 в километрах. Найденное на основе этой модели распределение энергии в непрерывном спектре звезды оказалось в хорошем согласии с наблюдённым распределением (например, вычисленный бальмеровский скачок равен 𝐷=0,044, а наблюдённый 𝐷=0,047).

Таблица 2

Модель фотосферы звезды 10 Ящерицы

𝑇

lg 𝑝

_𝑔

lg 𝑝

_𝑒

𝑧

в км

27 000

–

0,01

29 000

2,79

2,48

0,02

29 700

3,06

2,76

850

0,04

30 000

3,31

3,01

1640

0,06

31 900

3,46

3,16

2090

0,08

32 800

3,56

3,26

2420

0,10

33 500

3,64

3,34

2680

0,20

36 100

3,87

3,58

3520

0,40

38 700

4,09

3,81

4420

0,60

40 800

4,22

3,94

4970

0,80

42 300

4,31

4,03

5390

1,00

43 500

4,37

4,10

5730

2,00

47 800

4,57

4,30

6840

3,00

50 900

4,68

4,41

7580

Результаты других расчётов также подтверждаются наблюдательными данными о распределении энергии в видимой области спектра. В частности, для многих звёзд класса B вычисленные и наблюдённые непрерывные спектры удовлетворительно согласуются между собой во всем интервале от 3400 до 8000 Å.

Однако горячие звёзды основную часть энергии излучают в ультрафиолетовой области спектра. Поэтому большое значение для проверки теории имеют спектрограммы звёзд в ультрафиолетовой области, полученные при внеатмосферных наблюдениях. Изучение этих спектрограмм привело к заключению, что наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд класса B согласуется с теоретическим. В случае же звёзд класса O обнаружились существенные расхождения, которые были в значительной мере устранены после уточнения модели (в основном за счёт учёта так называемого «покровного эффекта», т.е. поглощения в линиях). Ещё лучшее согласие теории с наблюдениями достигается при отказе от предположения о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере (см. ниже).

5. Холодные звёзды.

Сначала в виде примера холодной звезды рассмотрим Солнце. В непрерывном спектре Солнца не наблюдается бальмеровский скачок. Уже одно это говорит о том, что главная роль в поглощении в фотосфере Солнца принадлежит не атомам водорода. Долгое время перед астрофизиками стояла важная задача – выяснить источник поглощения в солнечной фотосфере. Из наблюдений при помощи приближённой теории фотосфер была найдена зависимость коэффициентов поглощения от частоты, однако ни один из известных атомов не обладал такой поглощательной способностью. Наконец, в 1939 г. Вильд высказал правильную мысль: основным источником поглощения в фотосфере Солнца является отрицательный ион водорода.

Квантовомеханический расчёт отрицательного иона водорода представил значительные трудности, однако они были преодолены Чандрасекаром (см. § 5). Вычисления показали, что коэффициент поглощения иона H⁻ примерно так же зависит от частоты, как и коэффициент поглощения в фотосфере Солнца, найденный указанным выше способом. В частности, отсутствие скачков в видимой области спектра Солнца объясняется отсутствием скачков коэффициента поглощения иона H⁻.

Ранее уже отмечалось, что теория фотосфер при коэффициенте поглощения, не зависящем от частоты, даёт неплохие результаты в применении к Солнцу. Это связано с тем, что коэффициент поглощения иона H⁻ сравнительно мало меняется в той области спектра, в которой излучение Солнца является наиболее сильным. Пользуясь последним обстоятельством, Чандрасекар для применения к Солнцу разработал специальную теорию фотосфер при коэффициенте поглощения, мало отличающемся от среднего. На основе этой теории были получены некоторые поправки к значениям температуры, найденные ранее для случая, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты (см. [4]). Результаты расчёта модели солнечной фотосферы, выполненные при использовании указанной теории, приведены в начале гл. III.

Переходя от Солнца к другим холодным звёздам, мы можем сказать, что роль иона H⁻ является главной в образовании непрерывного спектра всех таких звёзд (с эффективными температурами приблизительно меньше 8000 К). При более высоких температурах очень сильное поглощение производят атомы водорода, и оно преобладает над поглощением ионом H⁻. К тому же при очень высоких температурах этих ионов мало, так как мало нейтральных атомов водорода, при встрече которых со свободными электронами и образуются ионы H⁻. Наоборот, при низких температурах атомы водорода поглощают слабо и их роль в поглощении гораздо меньше роли ионов H⁻. В фотосферах холодных звёзд отрицательных ионов водорода довольно много, так как почти все атомы водорода находятся в нейтральном состоянии, а свободные электроны возникают при ионизации металлов.

В фотосферах очень холодных звёзд (с температурами 2000-3000 K), кроме атомов, содержатся различные молекулы. Как выяснилось, при расчёте моделей таких фотосфер надо учитывать поглощение отрицательными ионами H⁻, H₂⁻, He⁻, поглощение в молекулярных полосах и рэлеевское рассеяние на атоме H и молекуле H₂. Поэтому для вычисления полного коэффициента поглощения следует предварительно определить концентрации различных молекул и свободных электронов в зависимости от физических условий при принятом химическом составе. С этой целью должны быть решены уравнения диссоциации молекул и уравнения ионизации металлов, поставляющих свободные электроны. При расчёте моделей фотосфер необходимо также принимать во внимание конвекцию. Вследствие сказанного расчёты моделей фотосфер холодных звёзд довольно сложны. Поэтому результатов таких расчётов сравнительно немного (см. [8] и [9]).

6. Белые карлики.

Особое место среди звёзд занимают белые карлики – звёзды с гораздо меньшей светимостью, чем звёзды главной последовательности того же спектрального класса. Радиусы белых карликов очень малы – порядка 0,01 радиуса Солнца, однако их массы – порядка массы Солнца. Поэтому ускорение силы тяжести на поверхности белых карликов очень велико – в некоторых случаях оно доходит до 10¹⁰ см/с². Столь большие значения 𝑔 приводят к ряду особенностей как в структуре фотосфер белых карликов, так и в распределении энергии в их спектрах.

В качестве примера расчётов моделей фотосфер белых карликов приведём результаты А. К. Колесова [10]. Наблюдения показывают, что в спектрах одних белых карликов (их большинство) присутствуют только линии водорода, а в спектрах других – только линии гелия. Соответственно этому при расчётах отдельно рассматривались чисто водородные и чисто гелиевые фотосферы. Расчёты были выполнены при поверхностных температурах 𝑇₀, равных 12 000, 15 000 и 20 000 K (а для чисто гелиевых фотосфер и при 𝑇₀=30 000 K), и при значениях ускорения силы тяжести 𝑔, равных 10⁶, 10⁸, и 10¹⁰ см/с². В табл. 3 содержатся результаты расчёта для случая чисто водородной фотосферы при 𝑇₀=15 000 K и 𝑔=10⁸ см/с².

В последнем столбце табл. 3 дана геометрическая глубина в километрах. Мы видим, что единичной оптической глубине соответствует геометрическая глубина порядка 0,4 км. Иными словами, такого порядка оказывается «толщина фотосферы» белых карликов, т.е. она чрезвычайно мала. У других звёзд толщина фотосферы гораздо больше. Например, как следует из табл. 2, у звезды 10 Ящерицы она порядка 6000 км. Эта разница объясняется огромным ускорением силы тяжести на поверхности белого карлика, вследствие чего требуется большой градиент давления, чтобы уравновесить притяжение.

Таблица 3

Модель фотосферы белого карлика

𝑇

𝑝⋅10⁻⁵

дин/см

𝑛

_𝑒

⋅10⁻¹⁷

см

⁻³

ρ⋅10⁷

г/см

𝑧

, км

0,1

15 900

,92

,200

,364

0,2

16 500

,41

,296

,536

,110

0,4

17 500

,24

,448

,799

,229

0,6

18 300

,00

,577

,02

,323

0,8

19 000

,72

,694

,21

,378

1,0

19 600

,43

,802

,39

,433

2,0

22 100

,86

,28

,18

,621

3,0

23 900

,68

,86

,753

4,0

25 400

,04

,45

,855

5,0

26 600

,37

,00

,938

Большие давления в фотосферах белых карликов отражаются на их спектрах. При больших давлениях высокие дискретные уровни атомов не осуществляются вследствие влияния электрических полей ионов и свободных электронов (подробнее об этом эффекте см. в § 8). Поэтому частота предела каждой серии уменьшается и ионизация с осуществляющихся нижних уровней может вызываться излучением меньших частот. Очевидно, что роль указанного эффекта различна в разных местах фотосферы (а именно, растёт с глубиной из-за увеличения давления). Вследствие этого при образовании спектра звезды должно происходить размывание скачков интенсивности у пределов серий. В частности, должен размываться и бальмеровский скачок, находящийся в видимой части спектра.

Рис. 9

На рис. 9 представлен теоретический спектр звезды с поверхностной температурой 12 000 K вблизи предела серии Бальмера. Из рисунка видно, как усиливается размывание скачка с увеличением ускорения силы тяжести в фотосфере. При больших значениях 𝑔 скачки практически отсутствуют. Наблюдаемые спектры белых карликов как раз и обладают такой особенностью.

7. Фотосферы при отсутствии ЛТР.

В изложенной выше теории фотосфер делалось допущение о локальном термодинамическом равновесии (ЛТР). Это допущение означает справедливость для каждого места фотосферы соотношения (6.22), выражающего закон Кирхгофа – Планка. В свою очередь указанное соотношение выполняется тогда, когда скорости свободных электронов распределены по формуле Максвелла, а распределение атомов по энергетическим уровням и стадиям ионизации даётся формулами Больцмана и Саха. Можно считать, что в глубоких слоях фотосферы состояние ЛТР осуществляется с большой точностью вследствие преобладающей роли столкновений в возбуждении и ионизации атомов. Однако по мере приближения к поверхности звезды роль столкновений убывает, вследствие чего возрастают отклонения от ЛТР. В самых же поверхностных слоях звезды возбуждение и ионизация атомов вызывается в основном не столкновениями, а излучением.

Таким образом, в строгой теории фотосфер определение поля излучения и населённостей энергетических уровней атомов должно производиться совместно. Точнее говоря, соотношение (6.22) надо заменить уравнениями, выражающими условие стационарности для каждого уровня. Условие состоит в том, что число переходов на данный уровень равно числу переходов с этого уровня (как при столкновениях, так и под воздействием излучения). Вместе с тем величины α_ν и ε_ν, входящие в уравнение переноса излучения, должны быть выражены через населённости уровней. К указанным уравнениям следует также добавить уравнение механического равновесия и условие постоянства потока излучения в фотосфере.

Ясно, что в такой постановке теория фотосфер оказывается чрезвычайно сложной. Поэтому представляет большой интерес возможность упростить теорию, сделав предположение о детальном равновесии радиативных переходов в линиях (т.е. о равенстве между числом переходов с одного дискретного уровня на другой и числом обратных переходов). Тогда в основных уравнениях теории из всех радиативных переходов должны приниматься во внимание лишь переходы в непрерывном спектре (т.е. фотоионизации и рекомбинации). Такое предположение можно сделать потому, что непрозрачность в линиях значительно превосходит непрозрачность в непрерывном спектре.

Теория фотосфер при отсутствии ЛТР с указанным выше предположением разрабатывалась Калкофеном и другими авторами. Были рассчитаны модели фотосфер горячих звёзд, состоящих только из водорода или из водорода и гелия. Полученные результаты для видимой области спектра в общем не сильно отличаются от тех, к которым приводит теория при наличии ЛТР. Однако расхождение между результатами оказывается очень большим в области лаймановского континуума.

Теория фотосфер при отсутствии ЛТР подробно изложена в книге Д. Михаласа [8]. Так как эта теория очень сложна, то большое значение приобретают методы решения исходных уравнений. В настоящее время на практике применяются два метода. Один из них заключается в использовании итерационного процесса, в котором в качестве первого приближения берётся решение задачи для случая наличия ЛТР. Другой метод основан на замене уравнений данной теории системой алгебраических уравнений для всех искомых величин в разных точках фотосферы. Очевидно, что последний метод требует применения очень мощных ЭВМ. Результаты расчётов моделей фотосфер при отсутствии ЛТР содержатся как в уже упомянутой монографии [8], так и во многих оригинальных исследованиях. Проблема отклонения от ЛТР в поверхностных слоях звёзд будет затронута также при рассмотрении образования линейчатых спектров звёзд (см. §9).

§ 7. Специальные вопросы теории фотосфер

1. Протяжённые фотосферы.

Предположение о том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса звезды, нельзя применять к некоторым особым звёздам (например, к звёздам типа Вольфа – Райе). Так обстоит дело тогда, когда плотность в фотосфере сравнительно медленно убывает с увеличением расстояния от центра звезды. В таких фотосферах слои одинаковой плотности должны считаться не плоскопараллельными, а сферическими.

Найдём зависимость температуры от оптической глубины в данном случае. Для этого мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения в форме (1.20). Проинтегрировав это уравнение по всем частотам, получаем

cosθ

∂𝐼

∂𝑟

–

sinθ

𝑟

∂𝐼

∂𝑟

𝐼

(7.1)

где α – средний коэффициент поглощения. Обозначая, как обычно, ε=α𝑆, в качестве условия лучистого равновесия имеем

𝑆

∫

𝐼

𝑑ω

4π

(7.2)

Интегрирование (7.1) по всем направлениям при учёте (7.2) приводит к формуле

𝐻

𝐶

𝑟²

(7.3)

где 𝐶 – некоторая постоянная. (Очевидно, что 4π𝐶 есть светимость звезды.)

Умножая (7.1) на cosθ и интегрируя по всем направлениям, в приближении Эддингтона находим

4π

𝑑𝑆

𝑑𝑟

𝐻

(7.4)

или, на основании (4.15),

𝑎𝑐

𝑑𝑇⁴

𝑑𝑟

𝐻

(7.5)

Для коэффициента поглощения α возьмём выражение

ρ²

𝑇^𝑠

(7.6)

[сравните с формулами (5.35) и (5.36)] и допустим, что плотность в фотосфере обратно пропорциональна некоторой степени расстояния от центра звезды, т.е.

𝑟^𝑛

(7.7)

Подставляя (7.3), (7.6) и (7.7) в уравнение (7.5) и интегрируя его, получаем

𝑇

𝑇₁

⎛

⎜

⎝

𝑟₁

𝑟

⎞

⎟

⎠

2𝑛+1

4+𝑠

(7.8)

где 𝑇₁ – температура на расстоянии 𝑟₁.

Пользуясь формулами (7.7) и (7.8), можно также легко получить зависимость оптической глубины τ от расстояния 𝑟. Подстановка указанных формул в соотношение 𝑑τ=-α 𝑑𝑟 и интегрирование даёт

⎛

⎜

⎝

𝑟₁

𝑟

⎞

⎟

⎠

4𝑛-𝑠-2

4+𝑠

(7.9)

где под 𝑟₁ теперь понимается расстояние от центра звезды при τ=1. Из (7.8) и (7.9) получаем искомую зависимость 𝑇 от τ:

𝑇

𝑇₁

2𝑛+1

2(4𝑛-𝑠-2)

(7.10)

Возьмём, например, 𝑛=2 и 𝑠=4. Тогда имеем

𝑇

𝑇₁

^5/4

(7.11)

Таким образом, в протяжённой фотосфере температура возрастает с оптической глубиной гораздо быстрее, чем в фотосфере, состоящей из плоскопараллельных слоёв.

Знание зависимости 𝑇 от τ=1 даёт возможность вычислить распределение энергии в непрерывном спектре звезды. Для этого надо воспользоваться уравнением переноса излучения (1.20), положив в нём, на основании гипотезы о локальном термодинамическом равновесии, ε_ν=α_ν𝐵_ν(𝑇). Первоначально в теории протяжённых фотосфер принималось, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В таком случае кривая распределения энергии в непрерывном спектре звезды получалась очень сильно отличающейся от планковской кривой – с большим избытком излучения в ультрафиолетовой части спектра. Однако при учёте зависимости коэффициента поглощения от частоты указанного избытка излучения не получается вследствие сильного поглощения за границами основных серий атомов. Следует также иметь в виду, что в протяжённых фотосферах возможны очень большие отклонения от локального термодинамического равновесия.

2. Покровный эффект.

Излучение звезды в непрерывном спектре, проходя через поверхностные слои звезды, испытывает частичное поглощение в спектральных линиях. Энергия, поглощённая в линиях, возвращается обратно в фотосферу. Вследствие этого увеличивается плотность излучения в фотосфере, а значит, и её температура. Это явление называется покровным эффектом.

Обозначим через 𝐴 долю энергии, поглощённой в спектральных линиях. Эта величина может быть найдена из наблюдений. Например, для Солнца она приблизительно равна 10%.

Поглощение энергии в линиях происходит в поверхностном слое с оптической толщиной в непрерывном спектре порядка нескольких десятых. Однако для простоты мы сейчас примем, что энергия поглощается в линиях на границе звезды (при τ=0). Тогда при предположении о независимости коэффициента поглощения в непрерывном спектре от частоты (или при использовании среднего коэффициента поглощения) учёт покровного эффекта может быть произведён точно.

При составлении уравнения лучистого равновесия для данной задачи надо иметь в виду, что на каждый элементарный объём в фотосфере падает как диффузное излучение, идущее со всех сторон, так и излучение, отражённое от границы и ослабленное по пути. Интенсивность диффузного излучения мы обозначим через 𝐼(τ,μ), а интенсивность излучения, отражённого от границы,– через 𝐼_∗. Тогда в качестве условия лучистого равновесия получаем

𝑆(τ)

∫

–1

𝐼(τ,μ)

𝑑μ

𝐼

_∗

∫

𝑒

^-τ/μ

𝑑μ

(7.12)

Подставляя в (7.12) выражение 𝐼(τ,μ) через 𝑆(τ), найденное из уравнения переноса излучения (т.е. поступая так же, как при получении уравнения Милна), находим

𝑆(τ)

∞

∫

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

𝐼

_∗

𝐸₂τ

(7.13)

Для определения величины 𝐼_∗ мы должны воспользоваться соотношением

𝐼

_∗

2𝐴

∫

𝐼(0,μ)

𝑑μ

(7.14)

выражающим собой тот факт, что из количества энергии, падающей на границу, отражается обратно доля 𝐴. Очевидно, что в данном случае поток излучения должен быть таким же, как и при отсутствии покровного эффекта (т.е. равным π𝐹). Поэтому имеем

2(1-𝐴)

∫

𝐼(0,μ)

𝑑μ

𝐹

(7.15)

Из (7.14) и (7.15) следует

𝐼

_∗

𝐴

1-𝐴

𝐹

(7.16)

Подставляя (7.16) в (7.13), получаем

𝑆(τ)

∞

∫

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

𝐴𝐹

2(1-𝐴)

𝐸₂τ

(7.17)

Уравнение (7.17) при 𝐴=0 переходит в уравнение Милна.

Легко убедиться, что решение уравнения (7.17) имеет вид

𝑆(τ)

𝐴

1-𝐴

𝐹

[τ+𝑞(τ)]

(7.18)

где 𝑞(τ) – функция Хопфа [см. формулу (2.51)].

Используя известные соотношения

𝑆(τ)

σ𝑇⁴

𝐹

σ𝑇

𝑒

вместо (7.18) находим

𝑇⁴

𝑇

𝑒

⎧

⎨

⎩

𝐴

1-𝐴

𝐹

[τ+𝑞(τ)]

⎫

⎬

⎭

(7.19)

Из формулы (7.19) видно, какое влияние оказывает покровный эффект на температуру в фотосфере. Однако эту формулу нельзя применять при очень малых значениях τ (из-за сделанного выше допущения о том, что излучение отражается от самой границы звезды).

3. Эффект отражения в тесных парах.

Рис. 10

Если две звезды находятся близко друг от друга, то при изучении их свечения необходимо принимать во внимание обмен лучистой энергией между ними. В этом случае к собственному излучению каждой звезды добавляется ещё излучение, отражённое ею. Разумеется, процесс отражения является в действительности весьма сложным: он состоит в том, что в каждой звезде под действием излучения соседней звезды происходит увеличение температуры, вследствие чего и возрастает количество излучаемой звездою энергии. Напишем уравнение лучистого равновесия для данной задачи. Допустим, что на границу звезды 𝐴 падает излучение от звезды 𝐵 внутри телесного угла Ω (рис. 10). Угол Ω для простоты будем считать малым. Среднюю интенсивность излучения, падающего внутри телесного угла Ω, обозначим через 𝐼₀, а средний угол между направлением этого излучения и нормалью к фотосферным слоям – через θ₀ Тогда уравнение лучистого равновесия будет иметь вид

𝑆(τ,μ₀)

∫

–1

𝐼(τ,μ',μ₀)

𝑑μ'

𝐼₀Ω

4π

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(7.20)

где 𝐼(τ,μ',μ₀) – интенсивность диффузного излучения в фотосфере (μ'=cos θ', μ₀=cos θ₀).

Пользуясь уравнением (7.20) и уравнением переноса излучения, как и при получении уравнения (2.45), находим

𝑆(τ,μ₀)

∞

∫

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ',μ₀)

𝑑τ'

𝐼₀Ω

4π

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

(7.21)

Уравнение (7.21) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Решение этого уравнения будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое определяется источниками энергии, находящимися внутри звезды (на бесконечно большой глубине), а второе – энергией, поступающей в фотосферу звезды 𝐴 от звезды 𝐵. На основании формул (3.16) и (3.64) получаем

𝑆(τ,μ₀)

√3

𝐹

⎡

⎢

⎣

∫

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

𝐼₀Ω

4π

φ(μ₀)

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

∫

exp

⎛

⎜

⎝

–

τ-τ'

μ₀

⎞

⎟

⎠

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

(7.22)

где φ(μ₀) и Φ(τ) – функции, определяемые уравнениями (3.53) и (3.55) соответственно.

При τ=0 из (7.22) получается следующая простая формула:

𝑆(0,μ₀)

√3

𝐹

𝐼₀Ω

4π

φ(μ₀)

(7.23)

Так как величина 𝑆(τ,μ₀) пропорциональна 𝑇⁴, то при помощи формулы (7.22) может быть вычислена температура 𝑇 на любой оптической глубине и при произвольном положении соседней звезды относительно данного места в фотосфере. Формула (7.23) позволяет определить значение поверхностной температуры 𝑇₀.

Если температура в фотосфере известна, то, пользуясь формулой (6.3), можно найти интенсивность излучения, выходящего из данного места поверхности звезды в любой частоте ν.

Очевидно, что для нахождения полной интенсивности излучения нет необходимости в знании температуры. Обозначим через θ угол отражения, т.е. угол между направлением выходящего из звезды излучения и направлением радиуса-вектора (cos θ=μ). Тогда интенсивность излучения 𝐼(0,μ,μ₀) будет определяться формулой

𝐼(0,μ,μ₀)

∞

∫

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

–

μ₀

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

(7.24)

в которую надо подставить выражение (7.22). Указанная подстановка уже была сделана в § 3. На основании формулы (3.40) (в которой 𝑚=1/μ₀) и формул (3.57) и (3.63) находим

𝐼(0,μ,μ₀)

√3

𝐹φ(μ)

𝐼₀Ω

4π

φ(μ)φ(μ₀)

μ+μ₀

μ₀

(7.25)

Из полученных формул видно, что эффект отражения тем больше, чем больше отношение 𝐼₀Ω/π𝐹 Это отношение можно представить в более удобной форме. Если телесный угол Ω мал, то мы получаем

𝐼₀

𝐿_𝐵

4π𝑟²

(7.26)

где 𝐿_𝐵 – светимость звезды 𝐵 и 𝑟 —расстояние между звёздами 𝐴 и 𝐵. С другой стороны, имеем

π𝐹

𝐿_𝐵

4π𝑟_𝐵²

(7.27)

где 𝐿_𝐵 и 𝑟_𝐵 – светимость и радиус звезды 𝐵 соответственно. Из (7.26) и (7.27) следует:

𝐼₀Ω

π𝐹

𝐿_𝐵

𝐿_𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟_𝐴

𝑟

⎞²

⎟

⎠

(7.28)

Оценки по приведённым формулам показывают, что роль эффекта отражения может быть значительной. Разумеется, она зависит от положения звезды 𝐵 относительно рассматриваемого места в фотосфере звезды 𝐴 (тем больше, чем меньше угол θ₀). Эффект отражения сказывается на кривых изменения блеска.

4. Поляризация излучения горячих звёзд.

В фотосферах горячих звёзд большую роль в переносе излучения играет рассеяние света свободными электронами. В этом случае свет, рассеянный элементарным объёмом, является поляризованным. Поэтому при изучении фотосфер горячих звёзд необходимо рассмотреть перенос поляризованного излучения.

Рассеяние света свободными электронами происходит по закону, который можно сформулировать следующим образом. Пусть 𝐼_∥ и 𝐼_⊥ – интенсивности линейно-поляризованного излучения с электрическим вектором, соответственно параллельным и перпендикулярным к плоскости рассеяния (т.е. плоскости, в которой лежат падающий и рассеянный лучи). Если излучение падает на единичный объём внутри телесного угла 𝑑ω, то количество энергии, рассеянное этим объёмом в направлении, образующем угол γ с направлением падающего излучения, в единичном телесном угле равно соответственно

_𝑒

𝐼

_∥

cos²γ

𝑑ω

4π

_𝑒

𝐼

_⊥

𝑑ω

4π

причём рассеянное излучение имеет то же направление электрического вектора, что и падающее излучение. Здесь σ_𝑒 – объёмный коэффициент рассеяния свободными электронами, определённый формулой (5.16).

Как мы знаем, поле излучения в фотосфере обладает осевой симметрией: интенсивность излучения зависит только от τ и угла θ, но не зависит от азимута. Поэтому в данном случае для характеристики поляризованного излучения достаточно задать лишь две величины (а не четыре, как в общем случае). В качестве этих величин мы можем взять интенсивности излучения 𝐼_𝑙 и 𝐼_𝑟 с колебаниями соответственно в плоскости, проходящей через луч и нормаль к фотосферным слоям, и перпендикулярно к этой плоскости. Вместо интенсивностей 𝐼_𝑙 и 𝐼_𝑟 можно взять также интенсивности 𝐼 и 𝐾, равные

𝐼

_𝑟

𝐼

_𝑙

𝐾

𝐼

_𝑟

–

𝐼

_𝑙

(7.29)

Величина 𝐼 есть общая интенсивность излучения, а величина 𝑝=𝐼/𝐾 – степень поляризации излучения.

Для определения величин 𝐼 и 𝐾 мы имеем обычные уравнения переноса излучения:

cos θ

𝑑𝐼

𝑑τ

𝐼-𝑆

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

cos θ

𝑑𝐾

𝑑τ

𝐾-𝑅

(7.30)

где 𝑑τ=-σ_𝑒𝑑𝑟.

На основании закона рассеяния света свободными электронами можно получить, что входящие в эти уравнения величины 𝑆 и 𝑅 связаны с интенсивностями излучения 𝐼 и 𝐾 следующими уравнениями лучистого равновесия:

𝑆(τ,μ)

∫

–1

𝐼(τ,μ')

⎡

⎢

⎣

𝑃₂(μ)

𝑃₂(μ')

⎤

⎥

⎦

𝑑μ'

𝑃₂(μ)

∫

–1

𝐾(τ,μ')

(1-μ'²)

𝑑μ'

(7.31)

𝑅(τ,μ)

(1-μ²)

∫

–1

𝐼(τ,μ')

𝑃₂(μ')

𝑑μ'

(1-μ²)

∫

–1

𝐾(τ,μ')

(1-μ'²)

𝑑μ'

(7.32)

где 𝑃₂(μ)=½(3μ²-1) есть второй полином Лежандра. При получении уравнений (7.31) и (7.32) принято, что мы имеем дело с чисто электронной фотосферой.

Мы не будем останавливаться на выводе приведённых уравнений и их решении, а дадим лишь результаты решения (см. [4] и [5]). В табл. 4 приведены значения величин 𝐼, 𝐾 и степени поляризации 𝑝 для излучения, выходящего из звезды.

Таблица 4

Излучение звезды

с чисто электронной фотосферой

𝐼(0,μ)

10𝐾(0,μ)

𝑝(μ)

в %

1,00

1,25

12,5

0,1

1,24

1,00

8,00

0,2

1,46

0,84

5,8

0,3

1,67

0,70

4,2

0,4

1,87

0,58

3,1

0,5

2,07

0,47

2,3

0,6

2,27

0,37

1,6

0,7

2,46

0,27

1,1

0,8

2,66

0,18

0,7

0,9

2,85

0,09

0,3

1,0

3,04

Из таблицы видно, что распределение яркости по диску звезды с чисто электронной фотосферой не сильно отличается от распределения яркости по диску обычной звезды (отношение яркости в центре диска к яркости на краю равно 3,04 вместо 2,91). Что же касается степени поляризации, то она равна нулю в центре диска и возрастает до 12,5% на краю.

Однако для реальных звёзд степень поляризации меньше, чем приведённая в табл. 4, так как в фотосферах наряду с рассеянием света свободными электронами происходит поглощение и испускание энергии атомами.

Назад к карточке книги "Курс теоретической астрофизики"